北京市各区2019届高三上学期期中、期末考试分类解析(3)：导数及其应用
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学文分类汇编：导数及其应用.docx
北京市部分区2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若曲线f （x ）＝在点（1，a ）处的切线平行于x轴，则a ＝2、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝为实数，若f（x ）在x ＝－1处取得极值，则a ＝3、（海淀区2016届高三上学期期末）直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45o ，则___.t =参考答案 1、12 2、1 3、14二、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x x =． (Ⅰ) 求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）设()()()1h x f x k x =--，若()h x 存在最大值，且当最大值大于22k -时，确定实数k 的取值范围．2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数ln ()xf x x=． （Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21[,e ]e上的零点个数5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数()e xf x x a =-，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； （Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数3()g x x =，请写出曲线()y f x =与()y g x =最多有几个交点.（直接写出结论即可）6、（东城区2016届高三上学期期中） 已知函数（I ）若a ＝1，求f （x ）的单调区间与极值； （II ）求证：在（I ）的条件下，f （x ）＞g （x ）＋12； （III ）是否存在实数a ，使f （x ）的最小值是－1？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由。
北京市各区2019届高三上学期期中、期末考试分类解析(3)：导数及其应用
三、导数及其应用1. （2019年昌平区高三期末考试理8）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(f = 1，)(x f 为)(x f 的导函数.已知)(x f y的图象如图所示,若两个正数b a,满足1)2(b af ，则21ab 的取值范围是（ A ）A. ()1,81 B.),1()81,(C.)1,8(D.),(1)8,(2.（2019年西城区高三期末考试文11）若曲线3y xax 在原点处的切线方程是20x y，则实数a______．答案：2。
3.（2019年海淀区高三年级第一学期期中练习理9）曲线1y x=在2x=处的切线的斜率为。
答案：41。
考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。
4.（顺义区2019届高三尖子生综合素质展示10）设函数(),()f x g x 在(0,5)内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x 3 4 2 1 ()g x 3 1 4 2 ()g x 2413则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程是；函数(())f g x 在2x 处的导数值是。
答案：31yx ，12。
考点：导数的几何意义；复合函数的求导。
5.（2019年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）定义在R 上的函数)(x f xo321()23f x axbxcx 同时满足以下条件：①)(x f 在0,1上是减函数，在1,上是增函数；②'()f x 是偶函数；③ )(x f 在0x处的切线与直线2y x 垂直. （Ⅰ）求函数)(x f y 的解析式；（Ⅱ）设31()()3xg x xf x e ，求函数()g x 在,1m m 上的最小值. 解：（Ⅰ）2'()2f x axbx c . ……….…１分由题意知.1)0(,02,0)1(f b f 即.1,0,02cb c b a解得.1,0,1cb a ………………4分所以函数)(x f y的解析式为31()23f x x x . ……….…….……5分（Ⅱ）31()()23xxg x x f x e xe ，'()+21xxxg x e xex e .令0)(x g 得1x ，所以函数)(x g 在,1递减，在1递增. . ……7分当1m 时，)(x g 在,1m m 单调递增，)(min m g y me m)2(. ………9分当11mm 时，即01m 时，)(x g 在,1m 单调递减，在1,1m 单调递增，e g y )1(min. …………10分当+11m 时，即0m 时，)(x g 在,1m m 单调递减，.)1()1(1minm e m m g y ……….……．12分综上，()g x 在,1m m 上的最小值.0,)1(,10,,1,)2(1minmem m e me my m m. ………13分6.（2019年海淀区高三年级第一学期期中练习文17）某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3 5 (06),814 (6).k x x Sxx，，已知每日的利润L S C ，且当2x 时，3L .（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：圆锥曲线
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线（共10区）一、选择、填空题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 坐标为_________；若双曲线22212y x a-=（0a >）的一个焦点与点F 重合，则该双曲线的渐近线方程是 ．2、（朝阳区2019届高三上学期期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________.3、（昌平区2019届高三上学期期末）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是A ．12B ．3C ．5D ．8 4、（大兴区2019届高三上学期期末）抛物线2x y =的焦点到准线的距离等于 ． 5、（东城区2019届高三上学期期末）22(10)1(23,0)______.3x y m m m-==已知双曲线的一个焦点为，则6、（房山区2019届高三上学期期末）已知点(4,0),(6,0)A B ，点P 在圆22(4)4x y +-=上运动，M 为线段BP 的中点，则使△OAM （O 为坐标原点）为直角三角形的点M 的个数为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）47、（丰台区2019届高三上学期期末）一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为 （A ）65（B ）54（C ）32（D ）528、（海淀区2019届高三上学期期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A ．(2,0)-B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ． (4,0)-9、（海淀区2019届高三上学期期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 .10、（石景山区2019届高三上学期期末）已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为(0,2)，则双曲线的离心率为__________．11、（通州区2019届高三上学期期末）已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x=的焦点重合，则a 等于A.1 B . 2C. 3D. 412、（西城区2019届高三上学期期末）设双曲线22: 13y C x -=的左焦点为F ，右顶点为A . 若在双曲线C 上，有且只有2个不同的点P 使得=PF PA λ⋅成立，则实数λ的取值范围是____．参考答案一、选择、填空题1、(2,0)；y x =±2、53、B4、125、3 6、C 7、D 8、A 9、22(1)4x y -+= 10、5 11、B 12、（－2,0）二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点 (0,2)，离心率为6=3e .记椭圆C 的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线交椭圆于P,Q 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点0(,0)M x ，求0x 的取值范围.2、（朝阳区2019届高三上学期期末）过椭圆W :2212x y +=的左焦点1F 作直线1l 交椭圆于,A B 两点，其中A (0,1)，另一条过1F 的直线2l 交椭圆于,C D 两点（不与,A B 重合），且D 点不与点()01-，重合. 过1F 作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ,G . （Ⅰ）求B 点坐标和直线1l 的方程； （Ⅱ）求证：11EF FG =.3、（大兴区2019届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为(2,0)A -，过椭圆C 的右焦点F 作互相垂直的两条直线12,l l 分别交直线:4l x =于,M N 两点，AM 交椭圆C 于另一点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线PN 恒过定点，并求出定点坐标．4、（东城区2019届高三上学期期末）已知椭圆222:12x y C a +=过点(2,1)P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上（点A 不在直线l 上），点A 关于l 的对称点为A '，直线A P '与C 交于另一点B .设O 为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由.5、（房山区2019届高三上学期期末）已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>）的离心率为36，且过点6(,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ） 设直线l 与y 轴交于点N ，点)0,3(M 关于直线l 的对称点P 在椭圆C 上，求ON 的取值范围.6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，离心率为12，直线:(4)l y k x =-(0)k ≠与椭圆C 交于不同两点,M N ，直线,FM FN 分别交y 轴于,A B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求证：||||FA FB =.7、（海淀区2019届高三上学期期末）椭圆2212x y +=的左焦点为F ，过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B 关于x 轴的对称点为B ’，求'AB 的取值范围.8、（石景山区2019届高三上学期期末）已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，其焦点为F ．M 为抛物线上除了原点外的任一点，过M 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程以及焦点坐标；（Ⅱ）若BMF △与ABF △的面积相等，求证：直线l 是抛物线C 的切线．9、（通州区2019届高三上学期期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A ，且椭圆的离心率为63． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程．10、（西城区2019届高三上学期期末）已知椭圆222 1(2)2x y C a a +=>：的离心率为22，左、右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P . （Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.参考答案 二、解答题1、解：（Ⅰ）由题意可知2222,6,3,b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得2226,2,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的标准方程为22162x y += . …… 5分 （Ⅱ）依题意，(2,0),F 直线PQ 的方程为()2y k x =-.联立方程组()221,622.x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理得()222231121260k x k x k +-+-=. ()()()()22222124126312410kk k k ∆=---+=+>,设()11,P x y 、()22,Q x y ，故21221231k x x k +=+，121224()431k y y k x x k k -+=+-=+, 设PQ 的中点为N ，则22262(,)3131k kN k k -++. 因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点0(,0)M x ， ① 当0k =时，那么00x =；② 当0k ≠时，1MN k k ⋅=-，即2222311631k k k k x k -+⋅=--+ .解得202244.1313k x k k ==++ 因为20,k >所以2133k+>，2440133k<<+，即04(0,)3x ∈. 综上，0x 的取值范围为4[0,)3. …… 13分2、解：（Ⅰ）由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可求41(,)33B --. ……………4分 （Ⅱ）当2l 与x 轴垂直时，,C D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时，设()11,C x y ，()22,D x y ，2l 的方程为(1)y k x =+（1k ≠）.由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2222214220k x k x k +++-=. 则21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+. 由已知，20x ≠，则直线AD 的方程为2211y y x x --=，令1x =-，得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)E x k y x +-=.由已知，143x ≠-，则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-，得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+.()()21211(1)1(1)34E Gx k x k y y x x +-+-+=++ ()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+ []121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+，21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中， 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++. 即0E G y y +=，即11EF FG =. .…………14分 3、解：（Ⅰ）由题意2a =， ……1分离心率12c e a ==，所以1c =. ……2分 所以2223b a c =-=， ……3分 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ……4分 （Ⅱ）由题意，设1:(1)l y k x =-，21:(1)l y x k=--． ……1分令4x =，得(4,3)M k ，3(4,)N k -， ……3分又(2,0)A -，所以直线AM 的方程为(2)2ky x =+． ……4分由22(2)23412k y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消元，得2223(2)12x k x ++=， 即2222(3)44120k x k x k +++-=， ……5分 设(,)P P P x y ，则2241223p k x k--=+，所以22623p k x k-=+． ……6分 所以222626(,)33k k P k k-++， ……7分 又3(4,)N k -，所以直线PN 的斜率为22222263()63(3)3362(66)243PNk k k k k k k k k kk --+++===-----+， ……8分所以直线PN 的方程为33()(4)2y x k k --=--，即3(2)2y x k=--， ……9分 直线PN 恒过定点(2,0)． ……10分4、解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x y C a +=过点,，可得28a =. 所以椭圆C 的方程为22182x y +=，离心率63222e ==. .........................4分 （Ⅱ）直线AB 与直线OP 平行.证明如下：设直线():12PA y k x -=-，():12PB y k x -=--，(,)(,).A AB B A x y B x y 设点的坐标为点的坐标为，由2218221x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k ++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A A k k k k k k x x k k k ----+=-=--=+++则同理2288k 241B k x k +-=+，所以216k.41A B x x k --=+ 21A A y kx k =-+由，21B B y kx k =-++，()28441A B A B k y y k x x k k --=+-=+有， 因为A 在第四象限，所以0k ≠，且A 不在直线OP 上.1.21,.2A B AB A B op AB OP y y k x x k k k -==-==又故所以直线AB 与直线OP 平行. .............................13分5、6、解：（Ⅰ）由题意得222112.c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得23.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22143x y += ………………5分 （Ⅱ）设()()112212,,,(11)M x y N x y x x ≠≠且.由()224,1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222433264120k x k x k +-+-=依题意()()()2222=3244364120kk k ∆--⋅+⋅->，即2104k <<. 则2122212232,436412.43k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………8分因为121211MF NF y yk k x x +=+-- ()()12124411k x k x x x --=+-- ()()()12121225811k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦=-- ()()222212641232258434311k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--0=.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OFA OFB ∠=∠. 因为OF AB ⊥，所以||||FA FB =. …………………14分7、解：（Ⅰ）因为,a b ==2221，所以,,a b c ===211所以离心率c e a ==22（Ⅱ）法一：设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2)y k x =+ 所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122，所以()k x k x k +++-=222221882028160k ∆=->，所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y - 所以221212|'|()()AB x x y y =-++ 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+ 12121224(2)(2)()421k y y k x k x k x x k +=+++=++=+ 所以22222281616|'|(21)(21)k k AB k k -=+++ 228(21)k =+ 22221k =+ 因为k ≤<2102，所以|'|(2,22]AB ∈ 法二： 设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时，|'|22AB =当直线l 不是x 轴时，设直线l 的方程为2x t y =- 所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122，所以()t y t y ++=-222420，28160t ∆=->，所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222 因为22'(,)B x y - 所以221212|'|()()AB x x y y =-++因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++ 所以|'|AB =222222168(1)(2)2t t t t t +-++ 4222222282222222(1)(2)222t t t t t t t ====-++++ 因为t >22，所以|'|(2,22)AB ∈综上，|'|AB 的取值范围是(2,22].8、解：（Ⅰ）因为抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，所以222p =，2p =．所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 点坐标为(1,0)．（Ⅱ）因为BMF △与ABF △的面积相等，所以BM AB =，所以B 为AM 的中点．设0000(,)(0)M x y x y ≠，则0(,0)A x -．所以直线l 的方程为000()2y y x x x =+， 与抛物线24y x =联立得： 2000840x y y x y -+=， 2200002006464161604x x x x y x ∆=-=-= 所以直线l 是抛物线C 的切线．9、解：（Ⅰ）由题意得2221,6,3.b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =． 所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y , ………………………………5分 由2213x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分 因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． …………………………………………10分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分 由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分 而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． ………………………………………………14分 10、。
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
北京市部分区2019届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用（共10区）一、选择、填空题1、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数()y f x =满足下列条件： ①定义域为R ；②函数()y f x =在(0,1)上单调递增；③函数()y f x =的导函数()y f x '=有且只有一个零点， 写出函数()f x 的一个表达式 .2、（房山区2019届高三上学期期末）设函数2,,()24,.x x a f x x x x a ⎧=⎨-->⎩≤① 若0a =，则()f x 的极小值为 ；② 若存在m 使得方程()0f x m -=无实根，则a 的取值范围是 ． 3、（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位，就可以得到函数()g x 的图像 D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数4、（海淀区2019届高三上学期期中）已知函数ln ,,(),.x x a f x x a x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩e 0(Ⅰ) 若函数()f x 的最大值为1，则____;a = （Ⅱ）若函数()f x 的图象与直线ay =e只有一个公共点，则a 的取值范围为____. 5、（通州区2019届高三上学期期末）设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-= （AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>． 其中真命题的个数为 A. 1B.2C.3D. 46、（通州区2019届高三上学期期中）曲线21xy e-=+在点()0,2处的切线方程为7、（通州区2019届高三上学期期中）设函数()xf x x a=-，若()f x 在()1,+∞单调递减，则实数a 的取值范围是 ． 参考答案一、选择、填空题1、2y x =(或3y x =等) 2、3、C4、4； (0,e)]5、C6、220x y +-= 7.(]0,1二、解答题1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知函数ax ax x x f 2ln )(2+-=． (Ⅰ)若1-=a ，求曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； (Ⅱ)若x x f ≤)(恒成立，求实数a 的取值范围．2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知函数2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.3、（朝阳区2019届高三上学期期中）已知函数32()231f x mx x =-+ (m ∈R ). （Ⅰ）当 1m =时，求()f x 在区间[1,2]-上的最大值和最小值； （Ⅱ）求证：“1m >”是 “函数()f x 有唯一零点”的充分而不必要条件.4、（大兴区2019届高三上学期期末）已知函数()ln f x x a x =-． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为210x y -+=，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =在区间[1,4]上的极值．5、（东城区2019届高三上学期期末）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．6、（房山区2019届高三上学期期末）已知函数ln ().xf x x= （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设实数k 使得1()2kf x x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求k 的取值范围.7、（丰台区2019届高三上学期期末）设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．8、（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数2()xa x f x e -=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.9、（海淀区2019届高三上学期期中）已知函数32()1f x x x ax =++-.(Ⅰ) 当a =-1时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 求证：直线y ax =-2327是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）写出a 的一个值，使得函数()f x 有三个不同的零点（只需直接写出数值）.10、（石景山区2019届高三上学期期末）已知函数()()ln f x x a x =+． （Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．11、（通州区2019届高三上学期期末）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()2g x xm =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m的最大值． 12、（西城区2019届高三上学期期末）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值； （Ⅱ）如果函数2()()=f x g x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．13、（通州区2019届高三上学期期中）已知函数()()ln R f x x x a a =-+∈． （Ⅰ）若函数()f x 的最大值为3，求实数a 的值； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）若1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：121x x <．参考答案 二、解答题1、解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞. （I ）1-=a 时，x x x x f 2ln )(2-+=,1()22f x x x'=+-, 1)1(='f ，且1)1(-=f .所以曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为 1)1(-=--x y ，即02=--y x .…… 5分（II ）若x x f ≤)(恒成立，即0)(≤-x x f 恒成立．设x a ax x x x f x g )12(ln )()(2-+-=-=，只要0)(max ≤x g 即可；xx a ax x g 1)12(2)(2+-+-='．①当0=a 时，令0)(='x g ，得1=x .)(),(,x g x g x '变化情况如下表：x)1,0( 1 ),1(+∞)(x g '+-)(x g↗极大值↘所以01)1()(max <-==g x g ，故满足题意. ②当0>a 时，令0)(='x g ，得ax 21-=（舍）或1=x ； )(),(,x g x g x '变化情况如下表：x)1,0( 1 ),1(+∞)(x g ' +-)(x g↗极大值↘所以1)1()(max -==a g x g ，令01≤-a ，得10≤<a . ③当0<a 时，存在121,x a =->满足0)12ln()12(>-=-aa g ，所以0)(<x f 不能恒成立，所以0<a 不满足题意.综上，实数a 的取值范围为[0,1]. …… 13分2、解：(Ⅰ) 当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. .…………3分（Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1e m =，则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增； （ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减. .…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <， 当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时：（ⅰ）当1e m =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0ef -=-<，2(1)e 0e f =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<，只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. .…………13分3、解：（Ⅰ）2()666(1)f x mx x x mx '=-=-，当1m =时，()6(1)f x x x '=-,当x 在[1,2]-内变化时，(),()f x f x '的变化如下表：当[1,2]x ∈-时，max ()5f x =；min ()4f x =-. …………………….5分 （Ⅱ）若1m >，1()6()f x mx x m'=-. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：x (,0)-∞ 01(0,)m 1m1(,)m+∞ ()f x ' + 0-0 +()f x ↗极大值 ↘ 极小值 ↗3221111()2311f m m m m m =⋅-⋅+=-+，因为1,m >所以2101m <<.即1()0f m>. 且22()(23)10f m m m -=--+<，所以()f x 有唯一零点. 所以“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分条件.又2m =-时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化如下表：x1(,)2-∞- 12-1(,0)2- 0 (0,)+∞()f x ' - 0+ 0-()f x ↘极小值↗极大值 ↘又113()10224f -=-+>，(0)0f >，(3)0f <. 所以此时()f x 也有唯一零点.从而“1m >”是“()f x 有唯一零点”的充分不必要条件. …………………….13分x1- (1,0)- 0(0,1) 1(1,2) 2 ()f x '+0 -+()f x4- ↗ 极大值1 ↘ 极小值0 ↗ 54、解：（Ⅰ）因为()ln f x x a x =-，所以1()2af x xx'=-， 所以1(1)2f a '=-. ……2分 因为()y f x =在1x =处的切线方程为210x y -+=. 所以1122a -=， ……3分 解得0a =. ……4分 （Ⅱ）因为()ln f x x a x =-，[1,4]x ∈，所以12()22ax af x xxx-'=-=， ……2分 ①当21a ≤，即12a ≤时，()0f x '≥在[1,4]恒成立，所以()y f x =在[1,4]单调递增；所以()y f x =在[1,4]无极值； ……4分 ②当22a ≥，即1a ≥时，()0f x '≤在[1,4]恒成立，所以()y f x =在[1,4]单调递减，所以()y f x =在[1,4]无极值； ……6分 ③当122a <<，即112a <<时， ……7分 ,(),()x f x f x '变化如下表：x 2(1,4)a24a2(4,4)a()f x '- 0+()f x 单调递减↘ 极小值 单调递增↗……8分因此，()f x 的减区间为2(1,4)a ，增区间为2(4,4)a ．所以当24x a =时，()f x 有极小值为22ln(2)a a a -，无极大值.……9分5、解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2xf x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-. 又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立， 由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1e xx a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()exxg x -'=. 当0x ≥时，有()0.g x '≤ 所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1ex x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.， 综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞. .............................13分6、7、解：（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '= .当[0,]2x π∈时，()0f x '≥恒成立， 所以 ()f x 在区间[0,]2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥. . .. …… …….5分 （Ⅱ）因为()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈，所以()(1)cos sin f x a x x x '=-+.①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对[0,]2x π∈恒成立； ②当1a >时，因为[0,]2x π∈，所以()0f x '>. 因此()f x 在区间[0,]2π上单调递增， 所以()(0)0f x f =≥对[0,]2x π∈恒成立；③当1a <时，令()()g x f x '=，则()(2)sin cos g x a x x x '=-+， 因为[0,]2x π∈，所以()0g x '≥恒成立， 因此()g x 在区间[0,]2π上单调递增， 且(0)10()022g a g ππ=-<=>，， 所以存在唯一0[0,]2x π∈使得0()0g x =，即0()0f x '=.所以任意0(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减.所以()(0)0f x f <=，不合题意. . .. …… …….12分 综上可知，a 的最小值为1. . .. …… …….13分8、解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e 2所以()'()xx a x af x -++=e 22当a =-1时，'()xx x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e 22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222 令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到a a x +++=>222402，所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e exax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)xg x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:x(,)x 30 x 3(,)x +∞3'()f x -0 + ()f x]极小值Zx(,)011(,)+∞1'()h x-+所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e 22，令'()f x =0得,a a a a x x +-++++==2212242422当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222 注意到a a x +++=22242和a >0，所以a a x +++=>222422设()xxF x -=e 2，其中x >2 ()h x ]极小值Zx(,)x 10 x 1(,)x x 12 x 2(,)x +∞2'()f x +0 -0 +()f xZ 极大值]极小值Z所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242 而()--=-->e e e e2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e2 所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()e F x >-所以()()f x F x >>-e29、x(,)022(,)+∞2'()F x-0 +()F x]极小值Z10、解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. (1)1,(1)0f f '==， 所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. （Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x-'=-=令()0g x '=，解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞()g x '- 0 + ()g x减极小值ln 2a +增① 若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意. ② 若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：x0(,)a x 0x 0(,1)x()f x '– 0 + ()f x减极小值增所以20a e -<<.11、解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分 当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分 由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分 由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分所以223ln 42a m a a =-()0a >． …………………………………………9分设223()ln 0)42th t t t t =->（，则1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分 当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减． 所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =，即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分12、13.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞． 1分因为 ()11xf x x x x-'=-=， 2分 所以在()0,1内，()0f x '>，()f x 单调递增；在()1,+∞内，()0f x '<，()f x 单调递减．所以函数()f x 在1x =处取得唯一的极大值，即()f x 的最大值()1ln11f a =-+． 因为函数()f x 的最大值为3， 3分 所以ln113a --=，解得4a =． 4分 （Ⅱ） 因为当()1,x ∈+∞时，()()()3122f x k xf x a k x ⎛⎫'>-++-≤ ⎪⎝⎭恒成立， 所以3ln 112x x a k x a x ⎛⎫-+>-+-+- ⎪⎝⎭， 所以()()ln 13x x k x +>-，即()()ln 130x x k x +-->． 5分 令()()()ln 13g x x x k x =+--，则()ln 2g x x k '=+-． 6分因为2k ≤， 所以()0g x '>．所以()g x 在()1,+∞单调递增． 7分 所以()()1g x g >=12k +， 所以 120k +≥， 所以12k ≥-．即实数k 的取值范围是1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知：()10,1x ∈，()21,x ∈+∞．所以()210,1x ∈． 9分 因为1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，所以()()120f x f x ==． 10分 因为()()122211f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222211ln lnx x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭22212ln x x x =+-． 11分 令()12ln h x x x x=+-， 则()()22222121211x x x h x x x x x --+-'=--==-． 所以在()1,+∞，()0h x '<，()h x 单调递减． 所以()()10h x h <=． 所以()1210f x f x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，即()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭． 13分 由（Ⅰ）知，()f x 在()0,1单调递增， 所以121x x <， 所以121x x <． 14分。
2019年北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编：导数及其应用Word版含答案
高考数学精品复习资料
2019.5
北京市部分区高三上学期考试数学理试题分类汇编
导数及其应用
1、（昌平区高三上学期期末）设函数
()ln(1)f x ax bx ，2()()g x f x bx . （Ⅰ）若1,1a
b ，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y g x 在点(1,ln3)处的切线与直线1130x y 平行.
(i) 求,a b 的值；
(ii)求实数(3)k k 的取值范围，使得2()()g x k x x 对(0,)x 恒成立.
2、（朝阳区高三上学期期末）设函数2()ln(1)1f x x ax x ，2()(1)e x g x x ax ，R a ．
（Ⅰ）当1a
时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数
()g x 有两个零点，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）证明()()f x g x ．3、（朝阳区高三上学期期中）已知函数
2()e ()x f x x a ，a R ．（Ⅰ）当1a
时，求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数
()f x 在(3,0)上单调递减，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为2e ，试求a 的值．
4、（东城区高三上学期期末）设函数
()ln(1)()1ax f x x a x R ．（Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集【海淀】19.（本小题满分14分）已知函数2()x a x f x e-=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.【东城】(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【朝阳】18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥.（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【丰台】19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,2f x a x x x x π=-∈．（Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．【西城】18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．【石景山】19.（本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【导数类题】汇集【海淀】19.（本小题满分14分）已知函数2()x a x f x -=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x >-对任意(0,)x ∈+∞成立.解：（Ⅰ）因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22当a =-1时，'()xx x f x --=e 21所以'()f -=e 11，而()f -=e21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =--（Ⅱ）法一：因为()'()x x a x a f x -++=e 22，令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0e f =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0，得a x +=322，当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而(a a F ++--=>e e 122222注意到a x ++=>2202，所以(())f x x F =>-e 222，问题得证x(,)x 10x 1(,)x x 12x 2(,)x +∞2'()f x +0-0+()f x Z极大值]极小值Zx(,)x 30x 3(,)x +∞3'()f x -0+()f x ]极小值Z法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e e xax x -+>”即“x >0，2+12e e()0e x x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-，所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e x h x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0x g x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”x(,)011(,)+∞1'()h x -0+()h x ]极小值Z因为()'()xx a x af x -++=e 22，令'()f x =0得a a x x +-++==122222当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0e f =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e22222222222注意到a x ++=222和a >0，所以a x ++=>2222设()xxF x -=e 2，其中x >2所以()()'()xxx x F x --=-=e e 2121当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e2242240所以()()f x F x >->e222，问题得证x(,)x 10x 1(,)x x 12x 2(,)x +∞2'()f x +0-0+()f x Z极大值]极小值Z法四：因为a >0，所以当x >0时，()x xax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e 2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e 2所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而(--=-->e e e e2242240所以x >0时，2()eF x >-所以()()f x F x >>-e2【东城】(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．（18）（共13分）x(,)022(,)+∞2'()F x -0+()F x ]极小值Z解：(Ⅰ)当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-．.................4分(Ⅱ)当0x >时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立，由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1ex x a +>恒成立.令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=.当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1e xx g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞..............................13分【朝阳】18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥.（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-..…………3分（Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1e m =，则1()(1)(e )0e x f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减.(ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或；当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减..…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时：（ⅰ）当1e m =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0ef =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1e m >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<，只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1e e 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点；当e 2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m m f m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e 02m ≤<..…………13分【丰台】19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,2f x a x x x x π=-∈．（Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值．19．（共13分）解：（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '=.当[0,]2x π∈时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在区间[0,2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥....………….5分（Ⅱ）因为()sin cos ,[0,]f x a x x x x π=-∈，所以()(1)cos sin f x a x x x '=-+.①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对[0,2x π∈恒成立；②当1a >时，因为[0,]2x π∈，所以()0f x '>.因此()f x 在区间[0,]2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥对[0,]2x π∈恒成立；③当1a <时，令()()g x f x '=，则()(2)sin cos g x a x x x '=-+，因为[0,2x π∈，所以()0g x '≥恒成立，因此()g x 在区间[0,]2π上单调递增，且(0)10()022g a g ππ=-<=>，，所以存在唯一0[0,]2x π∈使得0()0g x =，即0()0f x '=.所以任意0(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减.所以()(0)0f x f <=，不合题意....………….12分综上可知，a 的最小值为1....………….13分【西城】18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x ，………………1分因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，………………2分由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=，解得1=a .………………4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x ，求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ，………………5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.……6分对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x ，由()0'=h x ，解得2=x ，………………7分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x (1,2)2(2,e)所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增.又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--；max ()(1)22h x h a ==-.………………9分如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x .所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min 0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ；○1…………11分如果函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ，所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a .○2…………12分因为函数2()()=f x g x x 在区间(1,e)上不是单调函数，结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a .………………13分【石景山】19.（本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围．19.（本小题13分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.(1)1,(1)0f f '==，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-.（Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x '=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x -'=-=令()0g x '=，解得x a =.,(),()x g x g x '的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞()g x '-0+()g x 减极小值ln 2a +增1若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意.2若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >.所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：x 0(,)a x 0x 0(,1)x ()f x '–0+()f x 减极小值增所以20a e -<<.。
北京10区2019高三上年末数学(理)试题分类汇编：导数及其应用
北京10区2019高三上年末数学（理）试题分类汇编：导数及其应用导数及其应用一、填空、选择题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数()=ln f x x，则函数()=()'()g x f x f x 旳零点所在旳区间是A.（0,1）B. （1,2）C.（2,3） D.（3,4）【答案】B 2.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】图中阴影部分旳面积等于．【答案】1【解析】根据积分应用可知所求面积为1231031x dxx.3.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】已知函数ln ,0,()1,0,x xf x x xD 是由x 轴和曲线()yf x 及该曲线在点(1,0)处旳切线所围成旳封闭区域，则3zx y在D上旳最大值为A. 4B. 3C.D. 1【答案】B 4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】10(1)x dx= .【答案】32二、解答题1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】已知函数32()4f x xax（a R ）.（Ⅰ）若函数)(x f y旳图象在点P （1，)1(f ）处旳切线旳倾斜角为4，求()f x 在1,1上旳最小值；（Ⅱ）若存在),0(0x ，使)(0x f ，求a 旳取值范围．【答案】解：（I ）.23)(2ax xx f ………………………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f aa 即…………………3分此时，32()24f x x x ,则2()34f x x x.令124'()00,.3f x x x ，得x 1(1,0)0(0,1)f x7- 0+ f x1↘4↗3…………………………………………………………………………………………. 6分∴当1,1x 时，f x最小值为04f . ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x ≤当时在上单调递减.又(0)4,0,()4.f x f x 则当时000,0,()0.a x f x 当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a a axf x xf x 则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333maxa a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a aa 即…………….............................. 13分综上，a 旳取值范围是(3,).2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知函数1()()2ln ()f x a xx axR ．（Ⅰ）若2a ，求曲线()yf x 在点(1,(1))f 处旳切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 旳单调区间；（Ⅲ）设函数()a g x x．若至少存在一个0[1,e]x ，使得00()()f x g x 成立，求实数a 旳取值范围．【答案】解：函数旳定义域为0,，222122()(1)axx af x a xxx．…………………………………………………1分（Ⅰ）当2a 时，函数1()2()2ln f x xxx，(1)0f ，(1)2f ．所以曲线()y f x 在点(1,(1))f 处旳切线方程为02(1)y x ，即220x y．………………………………………………………………………3分（Ⅱ）函数()f x 旳定义域为(0,)．（1）当0a时，2()20h x ax x a 在(0,)上恒成立，则()0f x 在(0,)上恒成立，此时()f x 在(0,)上单调递减．……………4分（2）当0a 时，244a，（ⅰ）若1a ，由()0f x ，即()0h x ，得211a x a或211a x a；………………5分由()0f x ，即()0h x ，得221111a a x aa．………………………6分所以函数()f x 旳单调递增区间为211(0,)a a和211(,)a a，单调递减区间为221111(,)a aaa．……………………………………7分（ⅱ）若1a ，()0h x 在(0,)上恒成立，则()0f x 在(0,)上恒成立，此时()f x 在(0,)上单调递增．………………………………………………………………8分（Ⅲ））因为存在一个0[1,e]x 使得00()()f x g x ，则002ln ax x ，等价于2ln x ax .…………………………………………………9分令2ln ()x F x x，等价于“当1,ex 时，mina F x”.对()F x 求导，得22(1ln )()x F x x.……………………………………………10分因为当[1,e]x 时，()0F x ，所以()F x 在[1,e]上单调递增.……………12分所以min ()(1)0F x F ，因此0a .…………………………………………13分另解：设2ln F x f x g xax x，定义域为0,，22ax F x axx.依题意，至少存在一个0[1,e]x ，使得00()()f x g x 成立，等价于当1,ex 时，maxF x. ………………………………………9分（1）当0a时，0F x在1,e 恒成立，所以F x在1,e单调递减，只要max10F x F a，则不满足题意. ……………………………………………………………………10分（2）当0a时，令0Fx 得2xa.（ⅰ）当201a，即2a时，在1,e上0Fx ，所以F x在1,e上单调递增，所以maxee 2F x F a ，由e 20a 得，2ea，所以2a.……………………………………………………………………11分（ⅱ）当2ea，即20ea时，在1,e上0Fx ，所以F x在1,e单调递减，所以max1F x F a，由0a得20ea.…………………………………………………………………12分（ⅲ）当21ea，即22ea 时，在2[1,)a上F x ，在2(,e]a上F x ，所以F x在2[1,)a 单调递减，在2(,e]a单调递增，maxF x，等价于10F 或e 0F ，解得0a，所以，22ea .综上所述，实数a 旳取值范围为(0,). ………………………………………13分3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】已知a R ，函数()ln 1a f x x x．（Ⅰ）当1a 时，求曲线()yf x 在点(2,(2))f 处旳切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间0,e上旳最小值．【答案】解：（Ⅰ）当1a 时，1()ln 1f x x x ，),0(x ，所以22111()x f x x xx，),0(x .………………………………2分因此1(2)4f ．即曲线)(x f y在点(2,(2))f 处旳切线斜率为14. …………………………4分又1(2)ln 22f ，所以曲线)(x f y 在点(2,(2))f 处旳切线方程为11(ln 2)(2)24y x ，即44ln 240x y ．……………………………………………6分（Ⅱ）因为()ln 1a f x x x，所以221()a x af x xxx．令()0f x ，得xa ．……………………………………………8分①若a ≤0，则()0f x ，f x在区间0,e上单调递增，此时函数()f x 无最小值．②若0e a，当0,xa时，()f x ，函数f x 在区间0,a上单调递减，当,e xa 时，()f x ，函数f x在区间,ea 上单调递增，所以当xa 时，函数()f x 取得最小值ln a ．………………………………10分③若e a ≥，则当0,ex时，()0f x ≤，函数f x 在区间0,e 上单调递减，所以当e x时，函数()f x 取得最小值ea ．…………………………………12分综上可知，当a ≤0时，函数f x 在区间0,e 上无最小值；当0e a时，函数f x 在区间0,e 上旳最小值为ln a ；当e a ≥时，函数f x在区间0,e上旳最小值为ea ．……………13分4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】知函数1)(2xax b x f . （Ⅰ）若函数()f x 在1x 处取得极值2，求,a b 旳值；（Ⅱ）当221ba时，讨论函数()f x 旳单调性.解：（Ⅰ）222(1)2()'()()(1)a xx b ax f x x R x ……………1分2222(1)ax bx ax 依题意有，222'(1)(11)a b a f 2(1)211b a f ………………3分解得0b，4a………………5分经检验，4,0a b符合题意，所以，4,0ab (Ⅱ) 当221ba时，222222(1)(1)('()(1)(1)ax a x aax x a f x xx）当0a 时，22'()(1)x f x x解'()0f x ，得x当(,0)x 时，'()0f x ；当(0,)x 时，'()f x 所以减区间为(,0)，增区间为(0,). ………………7分当0a时，解'()0f x ，得121,x x aa，………………9分当0a 时，1aa当1(,)x a 或(,)x a 时，'()0f x ；当1(,)x a a时，'()0f x 所以增区间为1(,)a ，(,)a ，减区间为1(,)a a. ………………11分当0a 时，1aa当(,)x a 或1(,)x a时，'()0f x ；当1(,)xa a时，'()0f x 所以增区间为1(,)a a，减区间为(,)a ,1(,)a .………………13分综上所述：当0a时, ()f x 减区间为(,0)，增区间为(0,)；当0a时, ()f x 增区间为1(,)a，(,)a ，减区间为1(,)a a；当0a 时, 增区间为1(,)a a，减区间为(,)a ，1(,)a.5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知函数2()(0)xaxbx cf x a e旳导函数'()y f x 旳两个零点为-3和0.（Ⅰ）求()f x 旳单调区间；（Ⅱ）若f(x)旳极小值为3e，求f(x)在区间[5,)上旳最大值.【答案】解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()xxx xax b e ax bx c e axa b x b c f x e e令2()(2)g x axa b x b c，因为0xe，所以'()yf x 旳零点就是2()(2)g x ax a b x b c旳零点，且()f x 与()g x 符号相同.又因为0a，所以30x时，g(x)>0,即()f x ，………………………４分当3,0x x 时,g(x)<0 ,即()0f x ，…………………………………………６分所以()f x 旳单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……７分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x =-3是()f x 旳极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e e b c a a b b c 解得1,5,5a b c ，…………………………………………………………11分所以255()xxx f x e. ()f x 旳单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），(0)5f 为函数()f x 旳极大值, …………………………………………………12分()f x 在区间[5,)上旳最大值取(5)f 和(0)f 中旳最大者. (13)分而555(5)5f ee>5，所以函数f(x)在区间[5,)上旳最大值是55e．.…14分6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数e().1axf x x （I ）当1a 时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处旳切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 旳单调区间.【答案】解：当1a时，e()1axf x x ，2e (2)'()(1)xx f x x ………2分又(0)1f ，'(0)2f ，所以()f x 在(0,(0))f 处旳切线方程为21yx ………4分（II ）2e [(1)]'()(1)axax a f x x 当0a时，21'()(1)f x x 又函数旳定义域为{|1}x x所以()f x 旳单调递减区间为(,1),(1,)………6分当0a时，令'()0f x ，即(1)0ax a ，解得1a xa………7分当0a 时，11a x a，所以()f x ，()f x 随x 旳变化情况如下表x(,1)1(1,)a a1a a1(,)a a'()f x 无定义()f x 极小值所以()f x 旳单调递减区间为(,1)，1(1,)a a ，单调递增区间为1(,)a a…………10分当0a 时，11a xa所以()f x ，()f x 随x 旳变化情况如下表：x1(,)a a 1a a1(,1)a a1(,)a a'()f x 0 无定义()f x 极大值所以()f x 旳单调递增区间为1(,)a a，单调递减区间为1(,1)a a，(1,)……………13分7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax aR 是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 旳图象在点(1,(1))P f 处旳切线旳方程；（Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x旳图象在直线旳下方；（Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点旳个数．【答案】（Ⅰ）1()=f x ax…………………1分(1)=+1f a ，=(1)=1l k f a ，所以切线l 旳方程为(1)=(1)l yf k x ，即=(1)y a x．…………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x ，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x xx，解得x)1,0(),1(()F x 0)(x F ↗最大值↘…………………6分(1)<0F ，所以>0x 且1x ，()<0F x ，()<(1)f x a x，即函数=()(1)y f x x旳图像在直线l 旳下方．…………………8分（Ⅲ）令()=ln +1=0f x xax ，ln +1=x a x . 令ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x x g x xxx，则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，当=1x 时，()g x 旳最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x xax ，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a，()=ln +1f x xax 单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax 与曲线=ln y x有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x得1=x a，由函数旳单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln>0f aa，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a有且仅有一个零点；又因为1()=<0a f ee，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点；当=1a 或0a时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点.…………………13分8.【北京市顺义区2013届高三上学期期末理】设函数12,03123b bxxg a ax xxf . (I)若曲线x f y 与曲线x g y 在它们旳交点c,1处具有公共切线,求b a,旳值;(II)当b a 21时,若函数x g x f 在区间0,2内恰有两个零点,求a 旳取值范围; (III)当121b a时,求函数xg x f 在区间3,tt 上旳最大值解:(I)bxx g a xxf 2,2.因为曲线xf y 与曲线xg y 在它们旳交点c,1处具有公共切线,所以11g f ,且11g f ,即1231b ba,且b a21,解得31,31ba.…………………………………………………………3分(II)记xg xf xh ,当b a 21时,aax xa xx h 232131,a x x a x a xxh 112,令0xh ,得0,121ax x .当x 变化时,x h x h ,旳变化情况如下表: x 1,1a,1a,a x h 0 —0 xh ↗极大值↘极小值↗所以函数xh 旳单调递增区间为,,1,a ;单调递减区间为a,1,……………………………………………………………………………6分故x h 在区间1,2内单调递增,在区间0,1内单调递减,从而函数x h 在区间,2内恰有两个零点,当且仅当,01,02h h h 解得310a, 所以a 旳取值范围是31,0.…………………………………………………9分(III)记xg x f xh ,当121b a时,1313x xx h .由(II)可知,函数x h 旳单调递增区间为,1,1,;单调递减区间为1,1. ①当13t 时,即4t时,x h 在区间3,tt 上单调递增,所以xh 在区间3,tt 上旳最大值为58331133313233t ttt t t h ;②当1t且131t,即24t时,x h 在区间1,t 上单调递增,在区间3,1t 上单调递减,所以xh 在区间3,t t 上旳最大值为311h ；当1t 且13t ,即12t时，t+3<2且h(2)=h(-1)，所以x h 在区间3,tt 上旳最大值为311h ；③当11t时,123t ,xh 在区间1,t 上单调递减,在区间3,1t上单调递增,而最大值为th 与3t h 中旳较大者.由2133t t th t h 知,当11t时,t h th 3,所以xh 在区间3,tt 上旳最大值为58331323t ttth ;……13分④当1t时,x h 在区间3,tt 上单调递增,所以xh 在区间3,t t 上旳最大值为58331323t ttt h .………………………………………………14分9.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】【北京市通州区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数322,.f x xaxbx a a bR （Ⅰ）若函数f x在1x处有极值为10，求b 旳值；（Ⅱ）若对于任意旳4,a ，f x在0,2x 上单调递增，求b 旳最小值．【答案】（Ⅰ）232f x xax b，………………… 1分于是，根据题设有213201110f a b f a ba解得411a b或33a b……………………3分当411a b时，23811f x xx ，641320，所以函数有极值点；………………………………………………………………4分当33a b时，231f x x ，所以函数无极值点．……………5分所以11b．………………………………………………………………6分（Ⅱ）法一：2320f x x ax b 对任意4,a ，0,2x 都成立，………7分所以2230F a xa xb 对任意4,a，0,2x 都成立…8分因为0x,所以F a 在4,a 上为单调递增函数或为常数函数，………9分所以2min 4830F aF x x b 对任意0,2x 都成立…10分即2max38bxx. …………………………………………11分又2241616383333xx x，所以当43x时，2max16383xx，………………………………12分所以163b，所以b 旳最小值为163．………………………………13分法二：2320f xxax b对任意4,a ，0,2x 都成立，……………7分即232bxax 对任意4,a，0,2x都成立，即2max32b x ax．…………………………………………8分令22232333a aF xx ax x，………………………………9分当0a时，maxF xF ，于是0b ；…………………………10分当40a时，2max33a a F xF，于是，23a b．………11分又2max1633a ，所以163b．………………………………12分综上，b 旳最小值为163．………………………………13分10.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】已知函数2()x f x xb，其中b R ．（Ⅰ）求)(x f 旳单调区间；（Ⅱ）设0b．若13[,]44x，使()1f x ，求b 旳取值范围．【答案】（Ⅰ）解：①当0b时，1()f x x ．故()f x 旳单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间．…………1分②当0b时，222()()b x f x x b ．…………3分令()f x ，得1x b，2x b．()f x 和()f x 旳情况如下：x (,)b b(,)b b b (,)b ()f x 0()f x ↘↗↘故()f x 旳单调减区间为(,)b ，(,)b ；单调增区间为(,)b b ．………5分③当0b 时，()f x 旳定义域为{|}D x x b R ．因为222()()b x f x xb 在D 上恒成立，故()f x 旳单调减区间为(,)b ，(,)b b ，(,)b ；无单调增区间．………7分（Ⅱ）解：因为0b，13[,]44x ，所以()1f x 等价于2b xx，其中13[,]44x ．…………9分设2()g x xx，()g x 在区间13[,]44上旳最大值为11()24g ．………11分则“13[,]44x，使得2b x x”等价于14b．所以，b 旳取值范围是1(0,]4．………13分11.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数()f x 旳定义域为(0,)，若()f x yx在(0,)上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x yx在(0,)上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成旳集合记为1，所有“二阶比增函数”组成旳集合记为2.(Ⅰ)已知函数32()2f x xhxhx，若1(),f x 且2()f x ，求实数h 旳取值范围；(Ⅱ)已知abc ，1()f x 且()f x 旳部分函数值由下表给出，x a b ca b c()f x dd4求证：(24)0d d t ；(Ⅲ)定义集合2()|(),,(0,)(),f x f x k xf x k 且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ，(0,)x ，有()f x M成立？若存在，求出M 旳最小值；若不存在，说明理由.【答案】解：（I ）因为1(),f x 且2()f x ，即2()()2f x g x x hx h x 在(0,)是增函数，所以h ………………1分而2()()2f x h h x x hxx在(0,)不是增函数，而2'()1h h x x当()h x 是增函数时，有0h，所以当()h x 不是增函数时，0h综上，得h…4分(Ⅱ) 因为1()f x ，且0a b c a b c所以()()4=f a f a b c a a b c a b c，所以4()a f a da b c ，同理可证4()b f b da b c ，4()c f c ta b c 三式相加得4()()()()24,a b c f a f b f c d ta b c所以240d t …………6分因为,d d ab 所以()0,b a d ab而0ab ，所以0d所以(24)0d d t ………8分(Ⅲ) 因为集合2()|(),,(0,)(),f x f x k xf x k 且存在常数使得任取,所以()f x ，存在常数k ，使得()f x k 对(0,)x成立我们先证明()0f x 对(0,)x成立假设0(0,),x 使得0()f x ，记02()0f x mx 因为()f x 是二阶比增函数，即2()f x x是增函数.所以当0xx 时，0220()()f x f x m xx ，所以2()f x mx所以一定可以找到一个10x x ，使得211()f x mx k这与()f x k 对(0,)x成立矛盾…………11分()0f x 对(0,)x成立所以()f x ，()0f x 对(0,)x成立下面我们证明()0f x 在(0,)上无解假设存在20x ，使得2()0f x ，则因为()f x 是二阶增函数，即2()f x x是增函数一定存在320x x ，322232()()0f x f x x x ，这与上面证明旳结果矛盾所以()0f x 在(0,)上无解综上，我们得到()f x ，()0f x 对(0,)x 成立所以存在常数0M，使得()f x ，(0,)x，有()f x M成立又令1()(0)f x x x，则()0f x 对(0,)x 成立，又有23()1f x xx在(0,)上是增函数，所以()f x ，而任取常数0k ，总可以找到一个00x ，使得0xx 时，有()f x k所以M 旳最小值为0…13分一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。
北京市高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是A 、x ＝1B 、y ＝12C 、x ＋y ＝1D 、x －y ＝1 2、（东城区2016届高三上学期期中）已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图，则的解集为参考答案1、B2、A 二、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P 的切线的斜率为2，则点P 的坐标是参考答案1、（e ，e ）三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()()2ln 1f x x =+.（Ⅰ）若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =，求切点P 的坐标；（Ⅱ）求证：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-；（其中e 2.71828=⋅⋅⋅） （Ⅲ）确定非负实数．．．．a 的取值范围，使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立.2、（朝阳区2016届高三上学期期末） 已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；（ⅱ）试判断方程ln 3()2x f x x =+是否有实数解，并说明理由．3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．6、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝。
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编--解析几何
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编---解析几何一、选填题部分1.（2019海淀期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为 AA ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2.（2019海淀期末）直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 AA ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=， 圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
3.（2019海淀期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 答案：22(1)4x y -+=考点：抛物线的性质，圆的标准方程。
解析：抛物线24y x =的焦点F 为（1,0），圆心坐标为（1,0）， 抛物线的准线为x ＝－1，圆与准线相切，所以，R ＝2 所以，圆的方程为：22(1)4x y -+=221______.3x y m m m-==4.（2019东城期末）已知双曲线的一个焦点为，则5（2019通州期末）已知双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则a 等于（ ）B A ．1B ．2C ．3 D.4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a 2+5＝32＝9， ∵a ＞0，解得a ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．6.（2019朝阳期末）在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为AA.4B. C.2D.7.（2019朝阳期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________. 5 8．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）D （A ）65（B ）54 （C ）32 （D ）52考点：双曲线的概念与性质。
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷含解析
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.（II）的最小值为2【解析】【分析】（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f （x）的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求的面积.【答案】证明见解析（II）【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】（I）；.（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】（I），当时，，当在内变化时，，的变化如下表：当时，；.（II）若，.当变化时，，的变化如下表：，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】（I）.（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）（III），【解析】【分析】（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。
北京市城六区2019届高三期末数学(文)解分类汇编之导数Word版含答案
在区间
(1,
e) 上不是单调函数，
结合 ○1 ○2 ，可得 3 ln 2 a 1 ，
2
所以实数 a 的取值范围是 3 ln 2 a 1 .……………… 2
13 分
【东城】 （ 19）（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = axex - 1 x2 - x ， a∈R． 2
(Ⅰ ) 当 a = 1时，求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
所以 x ， f '( x) ， f (x) 在区间 (0, ) 上的变化情况如下表 :
x
f '(x) f (x)
(0, x2) ]
x2 0 极小值
(x2 , ) + Z
所以 f (x) 在区间 (0, x2 ) 上单调递减，在 ( x2 , ) 单调递增，
2 所以 f (x) 在 (0, ) 上的最小值为 f ( x2 ) ，所以只需证明 f ( x2 ) e
③当 - ln a > - 1 ，即 0 < a < e 时，
当 - 1< x < - ln a 时， f ' (x) < 0 ；当 x < - 1或x > - ln a 时， f ' (x) > 0 .
所以 f ( x) 的单调递减区间为 (- 1,- ln a) ，单调递增区间为 (- ? , 1) ， (- ln a,+ ? ) .
ex
x2 2x 3
当 a 3 时， f '(x)
ex
所以 f '( 1) 0 ，而 f ( 1) 2e
曲线 y f (x) 在 ( 1, f ( 1)) 处的切线方程为 y 2e
北京市部分区届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编：导数及其应用
北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是A、x＝1B、y＝12C、x＋y＝1D、x－y＝12、（东城区2016届高三上学期期中）已知定义在R上的函数()f x的图象如图，则的解集为参考答案1、B2、A二、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P 的坐标是参考答案1、（e ，e ）三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数()()2ln 1f x x =+.（Ⅰ）若函数()f x 在点()()00P x f x ，处的切线方程为2y x =，求切点P 的坐标；（Ⅱ）求证：当[0,e 1]x ∈-时，()22f x x x ≥-；（其中e 2.71828=⋅⋅⋅） （Ⅲ）确定非负实数．．．．a 的取值范围，使得()()220,x f x x a x ∀≥≥-成立.2、（朝阳区2016届高三上学期期末）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；（ⅱ）试判断方程ln 3()2x f x x =+是否有实数解，并说明理由．3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()2ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--． （Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．6、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f （x ）＝。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、导数及其应用1. （2019年昌平区高三期末考试理8）已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(f = 1，)(x f '为)(x f 的导函数.已知)(x f y '=的图象如图所示,若两个正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则21--a b 的取值范围是（ A ） A. () 1 , 81- B.) , 1 ()81, (∞+--∞C.) 1 , 8(-D.) , (1 ) 8 , (∞+--∞2.（2019年西城区高三期末考试文11）若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =______．答案：2。
3. （2019年海淀区高三年级第一学期期中练习理9）曲线1y x=在2x =处的切线的斜率为 。
答案：41-。
考点：8个基本函数的导数的求法；导数的几何意义。
4.（顺义区2019届高三尖子生综合素质展示10）设函数(),()f x g x 在(0,5)内导数存在，且有以下数据：则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程是 ；函数(())f g x 在2x =处的导数值是 。
答案：31y x =-，12。
考点：导数的几何意义；复合函数的求导。
5.（2019年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）定义在R 上的函数321()23f x ax bx cx =+++同时满足以下条件：①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数；②'()f x 是偶函数；③ )(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直. （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）设31()()3x g x x f x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 在[],1m m + 上的最小值.解：（Ⅰ）2'()2f x ax bx c =++. ……….…1分由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-='=='.1)0(,02,0)1(f b f 即⎪⎩⎪⎨⎧-===++.1,0,02c b c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-===.1,0,1c b a ………………4分所以函数)(x f y =的解析式为31()23f x x x =-+. ……….…….……5分 （Ⅱ）()31()()23x xg x x f x e x e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ()()'()+21x x x g x e x e x e =-=-. 令0)(='x g 得1x =，所以函数)(x g 在(),1-∞递减，在()1+∞递增. . ……7分 当1m ≥时，)(x g 在[],1m m +单调递增，)(min m g y =me m )2(-=. ………9分当11m m <<+时，即01m <<时，)(x g 在[],1m 单调递减，在[]1,1m +单调递增，e g y -==)1(min . …………10分当+11m ≤时，即0m ≤时，)(x g 在[],1m m +单调递减，.)1()1(1min +-=+=m e m m g y ……….…….12分综上，()g x 在[],1m m +上的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<-≥-=+.0,)1(,10,,1,)2(1minm e m m e m e m y m m . ………13分 6.（2019年海淀区高三年级第一学期期中练习文17）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3 5 (06),814 (6).k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，，已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。
解：（Ⅰ）由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=6,1160,282x x x x k x L …………2分 因为2x =时，3L =， 所以282223+-+⨯=k. ………4分 所以18k =. …5分 （Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-.所以18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--（）≤.当且仅当18288x x-=-（），即5x =时取得等号.……………………………………10分 当6x ³时，115L x =-?. ……………………………………12分 所以当5x =时，L 取得最大值6.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.……13分7. （2019年海淀区高三年级第一学期期中练习理17）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式x C 2010000+=，每日的销售额R（单位：元）与日产量x 的函数关系式⎪⎩⎪⎨⎧≥<<++-=120,204001200,29030123x x x ax x R ，已知每日的利润C R y -=，且当30=x 时，100-=y .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨 时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.解：（Ⅰ）由题意可得：32127010000,0120301040020,120.x ax x x y x x ìïï-++-<<ï=íïï-?ïî，………2分因为30=x 时，100-=y ， 所以3211003030270301000030a -=-???.……4分所以3a =. ……5分 （Ⅱ）当0120x <<时，32132701000030y x x x =-++-.………6分 21'627010y x x =-++. ………8分 由21'6270010y x x =-++=可得：1290,30x x ==-（舍）.…………9分所以当(0,90)x Î时，原函数是增函数，当(90,120)x Î时，原函数是减函数. 所以当90x =时，y 取得最大值14300. ………………11分 当120x ³时，10400208000y x =-?. ………………12分 所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元.…13分 8.（2019年东城区高三示范校高三综合练习(一)理17）已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f .（I ）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；（II ）对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0，1ln )(+='x x f ， 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈e x 1,0,0)(<'x f ,)(x f 单调递减，当),1(+∞∈ex ，)(,0)('x f x f >单调递增. ………………2分①当t e t t ,120<+<<无解；…………………………………3分 ②当210+<<<t e t ，即e t 10<<时，e e f x f 1)1()(min -==； …………4分③当21+<≤t t e 即et 1≥时，)(x f 在[]2,+t t 上单调递增，t t t f x f ln )()(min ==；…5分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=.1,ln ,10,1)(min e t t t e t e x f ……6分（2）3ln 22-+-≥ax x x x ，则xx x a 3ln 2++≤，对一切()+∞∈,0x 恒成立.……7分设)0(3ln 2)(>++=x x x x x h ，则2)1)(3()('xx x x h -+=， 当)(,0)('),1,0(x h x h x <∈单调递减，当)(,0)('),,1(x h x h x >+∞∈单调递增. …10分)(x h 在),0(+∞上，有唯一极小值)1(h ，即为最小值.所以4)1()(min ==h x h ，因为对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成成立， 所以4)(min =≤x h a . …13分9.（2019年海淀区高三年级第一学期期中练习文19）已知函数32119()(0)322f x x ax a =-+>.（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求证：曲线()y f x =总有斜率为a 的切线；（Ⅲ）若存在[1,2]x ∈-，使()0f x <成立，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）当3a =时，函数32139()322f x x x =-+.2'()3f x x x =-. …………2分令2'()30f x x x =->，解得0x <或3x >. ……………3分所以，函数()f x 的单调递增区间是(,0)-∞，(3,)+∞.………4分 （Ⅱ）2'()f x x ax =-令2'()f x x ax a =-=，即20x ax a --=.因为0a >，所以240a a ∆=+>恒成立. …………6分所以方程20x ax a --=对任意正数a 恒有解.……………7分 所以 曲线()y f x =总有斜率为a 的切线. ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：2'()f x x ax =-.令2'()0f x x ax =-=，解得120,x x a ==.………9分 因为0a >，所以当02a <<时，()'(),f x f x 的变化情况如下表因为3253270,066a a -->>， 所以，对于任意[1,2]x ?，()0f x >.即此时不存在[1,2]x ∈-，使()0f x <成立.…11分当2a ³时，()'(),f x f x 的变化情况如下表因为0662-=?，所以，函数()f x 在[1,2]-上的最小值是43126a-.因为存在[1,2]x ∈-，使()0f x <成立， 所以，431206a -<. 所以，4312a >. …13分 所以a 的取值范围是43(,)12+?. ………14分10.（2019年海淀区高三年级第一学期期中练习理18）已知函数)(ln )(22R a x a ax x x f ∈-+=（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+?. ………………1分21'()2f x a a x x=+- …………………3分 2221a x ax x-++=.因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以2'(1)120f a a =+-=. …………5分所以12a =-或1a =. 经检验，12a =-或1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点.所以a 的值是12-或1. ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：21'()2f x a a x x=+-2221a x ax x -++=.若0a =，1'()0f x x=>. 所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+?； ………………8分若0a ¹，令(21)(1)'()0ax ax f x x +-+==，解得1211,2x x a a=-=. …9分当0a >时， ()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞；……11分 当0a <时，()'(),f x f x 的变化情况如下表∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -，单调递减区间是1(,)2a-+∞.…13分11.（2019年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理20） 已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-（a ∈R 且0a ≠）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ） 记函数()y F x =的图象为曲线C .设点11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上的不同两点.如果在曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在“中值相依切线”，请说明理由.解：(Ⅰ)显然函数()f x 的定义域是(0,)+∞. …1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ……2分 ⑴当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<; 令'()0f x <,解得1x >. 所以函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减. ……3分 ⑵当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; 令'()0f x <,解得11x a-<<.所以，函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a-上单调递减……4分②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……5分③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-;令'()0f x <,解得11x a<<-.所以，函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a-上单调递减.…6分综上所述，⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减； ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增,在1(,1)a-上单调递减； ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1(,)a -+∞上单调递增,在1(1,)a-上单调递减. 7分(Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-. 2121ABy y k x x -=-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x -=-++-- ……8分曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12()2x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+， …9分 依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-⋅+-+.化简可得：2121ln ln x x x x --122x x =+，即21ln x x =21212()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+. 11分设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++, 即4ln 21t t +=+. …12分 令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增, 显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4ln 21t t +=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”. ………14分12.（顺义区2019届高三尖子生综合素质展示16）现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为x 和y 时，得到的回报是3231y x P =．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报.解：由于10000=+yx ，所以100000,)10000(32313231≤≤-==y y y y x P ．4分考虑23)10000(y y P -=，由0320000)(23=-='y y P 得320000,021==y y ， -8分 由于当320000<y 时，0)(3>'P ；当320000>y 时，0)(3<'P ， ---10分 所以3200002=y 是3P 的极大值点，从而也是P 的极大值点．---------------12分故当投到产品开发的资金为320000元时，得到的回报最大. ----------------13分13.（顺义区2019届高三尖子生综合素质展示文19）已知0>a ，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x ∈R .（Ⅰ）当1=a 时,求函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在[1,1]-的极值;（Ⅲ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，求正实数．．．a 的取值范围． 解: 由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. …………1分 （Ⅰ）当1=a 时(1)1'=-f , (1)0=f …………3分所以()f x 在点(1,(1))f 的切线方程是1=-+y x …………4分（Ⅱ）令()0'=得：f x 10=x ,22=x a。