2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练3 复数与程序框图 文
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故z 1z 2＝2＋i i＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x>1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x>1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2 答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ， 由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h . 由题意知V ＝112×(2πr )2×h .所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝a ·b |a ||b |＝－510＝－12， 所以向量a 与b 的夹角为2π3.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. 5B. 3 C ．2 2 D. 6 答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1， 由此可计算BD ＝22为最长棱长．7．已知函数f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1eB.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－e 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e ，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e 答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ， 可得f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值， ∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值， 而f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增， ∴e x＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝e －1－2＋3a ＋2<0，f ′(0)＝1＋3a ＋2>0，解得－1<a <－13e，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e . 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C. 3 D.52答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点， 设渐近线与PF 2的交点为M ， ∴OM ∥F 1P ， ∵∠F 1PF 2为直角， ∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a2＝b ， ∴|PF 2|＝2b . 在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)， 即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ， 则双曲线的离心率e ＝c a＝2.9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则cos 2α＝________. 答案 35解析 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13＝tan α－11＋tan α， 解得tan α＝12，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，将正切值代入得cos 2α＝35. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0172 017＝________.答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1) ＝(1＋2×2 016＋1)×1 0092＝2 017×1 009，∴S 2 0172 017＝1 009. 11．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π， 得x B ＝－φω，x A ＝π－φω，x C ＝2π－φω.由OA ＋OC ＝2OB ，得3π－2φω＝2φω，解得φ＝3π4.13．函数y ＝x 2＋x ＋1x 与y ＝3sin πx2＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝________.答案 4解析 因为函数y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝3sin πx2＋1的对称中心均为(0,1)．画出y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝g (x )＝3sinπx2＋1的图象，由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故∑4i ＝1(x i ＋y i )＝4. 14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________. 答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 又因为f (3－x )＝f (x )， 所以f (3－x )＝－f (－x )， 所以f (3＋x )＝－f (x )， 即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， 即a n ＝n ，n ∈N *， 所以a 36＝36，a 37＝37. 又因为f (－1)＝3，f (0)＝0， 所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1) ＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：(70分)8+6标准练：4理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{2,3}D ．{2,4}答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}，故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝，则z 的共轭复数为( )i 1＋iA.＋i B ．1＋i C ．1－i D.－i 121212121212答案 D解析 复数z ＝＝＝，i 1＋i i (1－i )(1＋i )(1－i )i ＋12根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为－i.12123．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D ．883163203答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝×8×2＝.131635．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝；i ＝2，S ＝1＋212＋1＋，x ＝4，y ＝；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋<33，x ＝32，y ＝1214(1＋12＋14＋18＋116)，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.1326．在△ABC 中，tan＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ＋B 2A ．(2,2]B ．(2，4]22C ．(4,2＋2]D ．(2＋2，6]22答案 C解析 由题意可得tan ＝tan ＝A ＋B 2(π2－C 2)cos C 2sin C 2＝2sin cos ，C 2C 2则sin 2＝，即＝，C 2121－cos C 212∴cos C ＝0，C ＝.π2据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×2，(a ＋b 2)据此有a ＋b ≤2，2∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2.2三角形满足两边之和大于第三边，则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋2]．27．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列的前n 项和的最大值为( ){1a n a n ＋1}A. B.241431143C. D.2413613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15，∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，∴Error!解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ，当a n ≥0时，n ≤7.5，当a n ＋1≤0时，n ≥6.5，∴数列的前7项为正数，∴＝1a n a n ＋11(15－2n )(13－2n )＝12(113－2n －115－2n )∴数列的前n 项和的最大值为{1a n a n ＋1}12(111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13)＝＝.故选D.12(1－113)6138．已知函数f (x )＝Error!若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则的取值范围是( )(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2A ．(0,12) B ．(0,16)C ．(9,21)D ．(15,25)答案 A 解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2，∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1，∵f (x 3)＝f (x 4)，由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16，∵2<x 3<4，∴的取值范围是(0,12)．(x 3－2)(x 4－2)x 1x 29．已知|a |＝1，|b |＝，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________．2答案 22解析 设a 与b 的夹角为θ，∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝，22∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝.2210．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为，且f ＝，(π2，0)(π4)12则ω的最小值为________．答案 23解析 方法一 当x ＝时，ωx ＋φ＝ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π2π2当x ＝时，ωx ＋φ＝ω＋φ＝2k 2π＋或2k 2π＋，k 2∈Z ，π4π4π65π6两式相减，得ω＝(k 1－2k 2)π－或(k 1－2k 2)π－，k 1，k 2∈Z ，π4π65π6即ω＝4(k 1－2k 2)－或4(k 1－2k 2)－，k 1，k 2∈Z ，23103又因为ω>0，所以ω的最小值为4－＝.10323方法二 直接令ω＋φ＝π，ω＋φ＝，得ω＝，π2π45π6π4π6解得ω＝.2311．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为，Q 3到α的距离为2，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．3答案 23解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝2，BP ＝，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝＝≥233AQ 2＋AP 212＋AP 2，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．312.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x 2和y ＝－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴1－x 2影区域的概率是________．答案 8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃx 2d x ＝2－Error!＝2－＝，1－11－12343y ＝－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，1－x 2则y ＝－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积，1－x 2即＝，π×122π2故质点落在图中阴影区域的概率是＝.43＋π248＋3π2413．已知实数x ，y 满足约束条件Error!则u ＝的取值范围为________．(x ＋y )2xy答案 [4，163]解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，y x 由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈.[13，2]u ＝＝(x ＋y )2xy x 2＋2xy ＋y 2xy＝＋＋2＝t ＋＋2.x y y x 1t易知u ＝t ＋＋2在上单调递减，1t [13，1]在[1,2]上单调递增．当t ＝时，u ＝；当t ＝1时，u ＝4；13163当t ＝2时，u ＝，92所以u ∈.[4，163]14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，＋1]3解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，)．3设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2a 2y 2b2只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，即－≤1，1a 23b2两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2，由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2，(4－a 2)解得－1≤a <2，所以<≤，3121a 3＋12故1<≤＋1.c a 3。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则等于( )z 1z2A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故＝＝1－2i.z 1z 22＋i i2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0}C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )112A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h .由题意知V ＝×(2πr )2×h .112所以πr 2h ＝×(2πr )2×h ，112解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A.B. C. D.π6π4π32π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝＝＝－，a ·b |a ||b |－51012所以向量a 与b 的夹角为.2π35．设x ，y 满足约束条件Error!若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3 B ．5 C ．7 D ．9答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. B. C ．2 D.5326答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，由此可计算BD ＝2为最长棱长．27．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.B.(－1，－1e )(－1，－e 3)C.D.(－3e，－1)(－1，－13e )答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ，可得f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值，而f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增，∴e x ＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得Error!解得－1<a <－，13e∴实数a 的取值范围是.(－1，－13e )8.如图，已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|x 2a 2y 2b2为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. C. D.2352答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点，设渐近线与PF 2的交点为M ，∴OM ∥F 1P ，∵∠F 1PF 2为直角，∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，b a则F 2到渐近线的距离为＝b ，bcb 2＋a 2∴|PF 2|＝2b .在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)，即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝＝2.c a9．若tan ＝－，则cos 2α＝________.(α－π4)13答案 35解析 已知tan ＝－＝，(α－π4)13tan α－11＋tan α解得tan α＝，12cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝＝，将正切值代入得cos 2α＝.cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α1－tan 2α1＋tan 2α3510．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则＝________.S 2 0172 017答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1)＝＝2 017×1 009，(1＋2×2 016＋1)×1 0092∴＝1 009.S 2 0172 01711．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立；第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立；第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立，故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案 3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π，得x B ＝－，x A ＝，x C ＝.φωπ－φω2π－φω由OA ＋OC ＝2OB ，得＝，3π－2φω2φω解得φ＝.3π413．函数y ＝与y ＝3sin ＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，x 2＋x ＋1x πx2y 2)，…，(x n ，y n )，则 (x i ＋y i )＝________.∑ni ＝1答案 4解析 因为函数y ＝＝x ＋＋1，y ＝3sin ＋1的对称中心均为(0,1)．x 2＋x ＋1x 1x πx 2画出y ＝f (x )＝＝x ＋＋1，x 2＋x ＋1x 1x y ＝g (x )＝3sin ＋1的图象，πx2由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故 (x i ＋y i )＝4.∑4i ＝114．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3－x )＝－f (－x )，所以f (3＋x )＝－f (x )，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ≠0，＝，a n ＋1a n n ＋1n 则a n ＝···…··a 1a n a n －1a n －1a n －2a n －2a n －3a 2a 1＝×××…××1＝n ，n n －1n －1n －2n －2n －321即a n ＝n ，n ∈N *，所以a 36＝36，a 37＝37.又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
2019高考数学优编增分练5套
高考数学优编增分练目录(一)三角函数与解三角形 (2)(二)立体几何 (5)(三)数列 (10)(四)解析几何 (15)(五)函数与导数 (21)(一)三角函数与解三角形1．(2018·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象(图略)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3，1＋32. 2. (2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长． 解 (1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35， sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332，得12AB ·AC ·sin A ＝332， ∴AB ·AC ＝65.又AC ＝AB ·sin B sin C ＝2013AB ， ∴AB ＝132，BC ＝AB ·sin A sin C ＝112. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C .(1)求角C 的大小；(2)若a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C 及正弦定理得，23ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2， ∴3sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴3sin C ＝cos C ， ∴tan C ＝33，又0<C <π，∴C ＝π6. (2)由a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )，得a sin B ＝b cos A .由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，又sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ，∴A ＝π4， 根据正弦定理可得2sin π4＝c sin π6，解得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2sin(π－A －C ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝3＋12.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4ab －12 ＝－⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ，∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积． 解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－1. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6－1＝0， ∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3， 由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ，在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334. (二)立体几何1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面．(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；(2)若SA 与平面SCD 所成的角为30°，求SB 的长．(1)证明 连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为SB ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SB ，因为BD ∩SB ＝B ，BD ，SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD .又因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面SBD .(2)解 将四棱锥补形成正四棱柱ABCD －A ′SC ′D ′，连接A ′D ，作AE ⊥A ′D ，垂足为点E ，连接SE .由SA ′∥CD 可知，平面SCD 即为平面SCDA ′.因为CD ⊥侧面ADD ′A ′，AE ⊂侧面ADD ′A ′，所以CD ⊥AE ，又因为AE ⊥A ′D ，A ′D ∩CD ＝D ，A ′D ，CD ⊂平面SCD ，所以AE ⊥平面SCD ，于是∠ASE 即为SA 与平面SCD 所成的角．设SB ＝x ，在Rt △ABS 中，SA ＝1＋x 2，在Rt △DAA ′中，AE ＝x 1＋x 2 . 因为∠ASE ＝30°，所以1＋x 2＝2x 1＋x 2， 解得x ＝1，即SB 的长为1.2．(2018·浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE 中，CD ∥AE ，∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，CD ＝2EA ＝2，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，F 为BD 的中点．(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值．(1)证明 取BC 的中点G ，连接FG ，AG ，∵F 为BD 的中点，CD ＝2EA ，CD ∥AE ，∴FG ＝12CD ＝EA ，且FG ∥AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形，∴EF ∥AG ，∵EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .(2)解 ∵∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，且平面EACD ∩平面ABC ＝AC ，EA ⊂平面EACD ， ∴EA ⊥平面ABC ，由(1)知FG ∥AE ，∴FG ⊥平面ABC ，又∵AB ＝AC ，G 为BC 的中点，∴AG ⊥BC ，如图，以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0，－3，2)，E (1,0,1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BD →＝(0，－23，2)，BE →＝(1，－3，1)，设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧z －3y ＝0，x －3y ＋z ＝0， 令y ＝1，得n ＝(0,1，3)，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为|AB →·n ||AB →||n |＝34. 3．在三棱锥D —ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F .(1)求证：平面ABD ⊥平面DEF ；(2)若AD ⊥DC ，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值．(1)证明 由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB ⊥DE ，又AB ⊥DF ，且DE ∩DF ＝D ，所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF .(2)解 方法一 由DA ＝DB ＝DC ，知EA ＝EB ＝EC ，所以E 是△ABC 的外心．又AB ⊥BC ，所以E 为AC 的中点，如图所示．过E 作EH ⊥DF 于H ，连接BH ，则由(1)知EH ⊥平面DAB ，所以∠EBH 即为BE 与平面DAB 所成的角．由AC ＝4，∠BAC ＝60°，得AB ＝AE ＝BE ＝2，所以EF ＝3，又DE ＝2，所以DF ＝DE 2＋EF 2＝7，EH ＝237，所以sin ∠EBH ＝EH BE ＝217.方法二 如图建系，则A (0，－2，0)，D (0,0,2)，B (3，－1,0)，所以DA →＝(0，－2，－2)，DB →＝(3，－1，－2)．设平面DAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧ －2y －2z ＝0，3x －y －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫33，－1，1.设EB →与n 的夹角为θ，则cos θ＝EB →·n |EB →|·|n |＝2273＝217，所以BE 与平面DAB 所成角的正弦值为217. 4．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝1，BF ＝3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．(1)求证：CD ⊥BE ；(2)求线段BH 的长度；(3)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值．(1)证明 ∵BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ，又CD ⊥DE ，BH ∩DE ＝H ，BH ，DE ⊂平面DBE ，∴CD ⊥平面DBE ，∴CD ⊥BE .(2)解 方法一 设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧ BE 2＝BH 2＋EH 2，BF 2＝BH 2＋FH 2＝BH 2＋FG 2＋GH 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝h 2＋k 2，9＝22＋h 2＋(2－k )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝2，k ＝1， ∴线段BH 的长度为2.方法二 如图，过点E 作ER ∥DC ，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，以点E 为坐标原点，分别以ER ，ED ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设点B (0，y ，z )(y >0，z >0)，由于F (2,2,0)，BE ＝5，BF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝5，4＋(y －2)2＋z 2＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，于是B (0,1,2)， ∴线段BH 的长度为2.(3)解 方法一 延长BA 交EF 于点M ，∵AE ∶BF ＝MA ∶MB ＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13， ∴点A 到平面EFCD 的距离为23，而AF ＝13， 故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339. 方法二 由(2)方法二知FB →＝(－2，－1,2)， 故EA →＝13FB →＝⎝⎛⎭⎫－23，－13，23， F A →＝FE →＋EA →＝⎝⎛⎭⎫－83，－73，23，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则sin θ＝|F A →·n ||F A →||n |＝21339. 5.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点．(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成的角．方法一 (1)证明 因为AC ＝BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB .又EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA ⊥CM ，因为AB ∩EA ＝A ，AB ，EA ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥平面ABDE ，又因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥EM .(2)解 过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足为H ，连接CH 并延长交ED 于点F ，连接MF ，MD ，∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，所以MH ⊥ED ，又因为CM ⊥平面EDM ，ED ⊂平面EDM ，所以CM ⊥ED ，因为MH ∩CM ＝M ，MH ，CM ⊂平面CMF ，所以ED ⊥平面CMF ，因为MF ⊂平面CMF ，所以ED ⊥MF .设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6a ，所以EM 2＋MD 2＝ED 2，所以△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝90°，所以MF ＝EM ·MD DE＝2a . 在Rt △CMF 中，tan ∠FCM ＝MF MC＝1， 又因为∠FCM ∈(0°，90°)，所以∠FCM ＝45°，故CM 与平面CDE 所成的角是45°.方法二 如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系，设EA ＝a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,0，a )，D (0,2a,2a )，M (a ，a,0)．(1)证明 因为EM →＝(－a ，a ，－a )，CM →＝(a ，a,0)，所以EM →·CM →＝0，故EM ⊥CM .(2)解 设向量n ＝(1，y 0，z 0)为平面CDE 的一个法向量，则n ⊥CE →，n ⊥CD →，即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0.因为CE →＝(2a,0，a )，CD →＝(0,2a,2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋az 0＝0，2ay 0＋2az 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，z 0＝－2， 即n ＝(1,2，－2)，cos 〈n ，CM →〉＝CM →·n |CM →|·|n |＝22， 因为〈n ，CM →〉∈[0°，180°]，所以〈n ，CM →〉＝45°.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，所以θ＝45°，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45°.6.如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32， 得cos ∠BDF ＝217. 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. (三)数 列1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n 2. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2).2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3，S 52，S 4成等差数列， 可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，①由a 5＝3a 2＋2a 1－2，②得4a 1－d －2＝0，由①②，解得a 1＝1，d ＝2，因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)令c n ＝a n b n＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12T n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝ 3－2n ＋32n ， ∴T n ＝6－2n ＋32n －1(n ∈N *)． 3．已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k 4， ∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )，∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d )＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于任意n ∈N *均成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝4n 2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1， 得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋1＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋1＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋1＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋n ＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知数列{a n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋1en x +－1，证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ；(2)x n x n ＋1>x n －2x n ＋1；(3)⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1. 证明 (1)用数学归纳法证明x n >0，当n ＝1时，x 1＝1>0，假设x k >0，k ∈N *，k ≥1，成立，当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则x k ＝x k ＋1＋1e k x +－1≤0，矛盾，故x k ＋1>0，因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1>x n ＋1＋e 0－1＝x n ＋1，综上，x n >x n ＋1>0.(2)x n ＋1x n ＋2x n ＋1－x n ＝x n ＋1(x n ＋1＋1en x +－1)＋2x n ＋1－x n ＋1－1e n x +＋1＝x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1， 设f (x )＝x 2＋e x (x －1)＋1(x ≥0)，则f ′(x )＝2x ＋e x ·x ≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1＝f (x n ＋1)>f (0)＝0，故x n x n ＋1>x n －2x n ＋1.(3)由(2)得1x n ＋1＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n ＋1，所以当n >1时， 1x n ＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n －1＋1<…<2n －1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1＝2n ， 当n ＝1时，1x n ＋1＝2n ，所以1x n ≤2n ，即x n ≥12n ， 又由于x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1≥x n ＋1＋(x n ＋1＋1)－1＝2x n ＋1，x n ＋1≤12x n ，所以易知x n ≤12n －1， 综上，⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1.5．(2018·浙江省台州中学模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)求{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的x >0，a n ≥11＋x －1(1＋x )2·⎝⎛⎭⎫23n －x ，n ＝1,2，…； (3)证明：a 1＋a 2＋…＋a n >n 2n ＋1. (1)解 ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1， ∴1a n －1＝23·13n 1＝23，∴a n ＝3n3n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 由(1)知a n ＝3n3n ＋2>0， 11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n －x ＝11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n ＋1－1－x ＝11＋x －1(1＋x )2⎣⎡⎦⎤1a n －(1＋x ) ＝－1a n ·1(1＋x )2＋21＋x ＝－1a n ⎝⎛⎭⎫11＋x －a n 2＋a n ≤a n ， ∴原不等式成立．(3)证明 由(2)知，对任意的x >0，有a 1＋a 2＋…a n ≥11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋…＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＝n 1＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋23n －nx ， ∴取x ＝1n ⎝⎛⎭⎫23＋23＋…＋23＝1n ⎝⎛⎭⎫1－13， 则a 1＋a 2…＋a n ≥n1＋1n ⎝⎛⎭⎫1－13n ＝n 2n ＋1－13n >n 2n ＋1， ∴原不等式成立．6．已知在数列{a n }中，满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋12，记S n 为a n 的前n 项和． (1)证明：a n ＋1>a n ；(2)证明：a n ＝cos π3·2n －1； (3)证明：S n >n －27＋π254. 证明 (1)由题意知{a n }的各项均为正数，因为2a 2n ＋1－2a 2n ＝a n ＋1－2a 2n ＝(1－a n )(1＋2a n)． 所以，要证a n ＋1>a n ，只需要证明a n <1即可．下面用数学归纳法证明a n <1.①当n ＝1时，a 1＝12<1成立， ②假设当n ＝k 时，a k <1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12<1＋12＝1. 综上所述，a n <1成立，所以a n ＋1>a n .(2)用数学归纳法证明a n ＝cos π3·2n －1. ①当n ＝1时，a 1＝12＝cos π3成立， ②假设当n ＝k 时，a k ＝cos π3·2k －1. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＝cos π3·2k －1＋12＝cos π3·2k ， 综上所述，a n ＝cosπ3·2n －1. (3)由题意及(2)知， 1－a n －12＝1－a n －1＋12＝1－a 2n ＝1－cos 2π3·2n 1＝sin 2π3·2n －1<⎝⎛⎭⎫π3·2n －12(n ≥2)， 得a n －1>1－2π29·4n －1(n ≥2)， 故当n ＝1时，S 1＝12>1－27＋π254； 当n ≥2时，S n >∑n i ＝2 ⎝⎛⎭⎫1－2π29·4i ＋12 ＝n －12－2π29×43×116⎝⎛⎭⎫1－14n －1 >n －27＋π254. 综上所述，S n >n －27＋π254. (四)解析几何1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程． (1)证明 由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎫pk 2，pk 22＋p 2， FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．∵k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，∴0<k 1k 2<1，故FM →·FN →<p 2(1＋1)＝2p 2.(2)解 由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0， 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0， ∴直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.∴点M 到直线l 的距离为d ＝p |2k 21＋k 1＋1|5. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由已知得7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求抛物线E 的方程为x 2＝16y .2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝⎛⎭⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63，t 2＝23. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2π3，2π. 3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝⎛⎭⎫－12，1. (1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分；(2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2， 得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ， y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ， ∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )，∴线段AB 被直线y ＝－x 平分．(2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋4m 2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d ＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则S ＝t |1－2t 2|，又∵0<t ≤12，∴S ＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12， 令f (t )＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2， 则f (t )在⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增，在⎝⎛⎦⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a,0)，B (a,0)，k 1＝b a ，k 2＝－b a， k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3，由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA →＋OB →＝tOQ→(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解 (1)方法一 因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点N 的坐标代入，并整理得y 2＝4x .故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .方法二 因为平面上动点P 到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N (1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)． Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4(k 2＋1)k 2，x 1·x 2＝4， 因为OA →＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4(k 2＋1)k 2t ，y ＝y 1＋y 2t ＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)t ＝k (x 1＋x 2)－4k t ＝4tk， 又点Q 在x ＋y －1＝0上，所以4(k 2＋1)k 2t ＋4tk－1＝0. 所以t ＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1k ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋3≥3.故实数t 的最小值为3.6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0.则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2， 由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0， 即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)．(2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，∠BQF ＝∠DQF .所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2. 由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3， 令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172， 由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3＋172上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1. (五)函数与导数1．(2018·浙江省台州中学模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，曲线y ＝f (x )过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴．(1)用a 分别表示b 和c ；(2)当bc 取得最小值时，求函数g (x )＝－f (x )e －x 的单调区间．解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＝c ，2a ·(－1)＋b ＝0，则b ＝2a ，c ＝2a ＋3. (2)由(1)得bc ＝2a (2a ＋3)＝4⎝⎛⎭⎫a ＋342－94， 故当a ＝－34时，bc 取得最小值－94， 此时有b ＝－32，c ＝32， 从而f (x )＝－34x 2－32x ＋32，f ′(x )＝－32x －32， g (x )＝－f (x )e －x ＝⎝⎛⎭⎫34x 2＋32x －32e －x ，所以g ′(x )＝－34(x 2－4)e －x ， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，－2)上为减函数；当x ∈(－2,2)时，g ′(x )>0，故g (x )在(－2,2)上为增函数；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(2，＋∞)上为减函数．由此可见，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2,2)．2．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知函数f (x )＝e kx (k －x )(k ≠0)．(1)当k ＝2时，求y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)对任意x ∈R ，f (x )≤1k恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝2时，f (x )＝e 2x (2－x )．∵f ′(x )＝2e 2x (2－x )－e 2x ＝e 2x (3－2x )，∴f ′(1)＝e 2，又∵f (1)＝e 2，∴所求的切线方程为y －e 2＝e 2(x －1)．即y ＝e 2x .(2)方法一 ∵e kx (k －x )≤1k， ∴当x ＝k 时，0≤1k，即k >0， ∴对任意x ∈R ，k (k －x )≤e－kx 恒成立， 设g (x )＝e －kx ＋kx －k 2，g ′(x )＝－k e －kx ＋k ＝k (1－e －kx )，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (0)＝1－k 2≥0，又k >0，∴0<k ≤1.方法二 对任意x ∈R ，f (x )≤1k 恒成立⇔f (x )max ≤1k，x ∈R . ∵f ′(x )＝k e kx (k －x )－e kx ＝e kx (k 2－kx －1)，当k <0，x ≥k －1k 时，f ′(x )≥0；x <k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，k －1k 上是减函数，在⎣⎡⎭⎫k －1k ，＋∞上是增函数． 又当x →－∞时，f (x )→＋∞，而1k<0， ∴与f (x )≤1k恒成立矛盾，∴k <0不满足条件； 当k >0，x ≤k －1k 时，f ′(x )≥0；x >k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，k －1k 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫k －1k ，＋∞上是减函数． ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫k －1k ＝21e k －·1k ≤1k，∴k 2－1≤0，即－1≤k ≤1，又k >0，∴0<k ≤1，综上所述，实数k 的取值范围是(0,1]．3．设函数f (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ，g (x )＝e x －e x .(1)当b ＝0时，函数f (x )有两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，且函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a 的取值范围．解 (1)当b ＝0时，f (x )＝x ln x －ax 2－x ，f ′(x )＝ln x －2ax ，∴f (x )＝x ln x －ax 2－x 有2个极值点就是方程ln x －2ax ＝0有2个不同的解，即y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． ∵m ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．∴m (x )有极大值1e， 又∵x ∈(0,1]时，m (x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，0<m (x )<1e. 当a ∈⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有0个； 当a ∈(－∞，0]或a ＝12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有1个； 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12e . (2)函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，∴f ′(1)＝0且f (1)≠0，∵f ′(x )＝ln x －2ax ＋b ，∴b ＝2a 且a ≠1.h (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ＋e x －e x 在x ∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x >1时，h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )>0恒成立，即ln x ＋e x －2ax ＋2a －e>0恒成立，令t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e ，∴t ′(x )＝1x＋e x －2a ，设φ(x )＝1x ＋e x －2a ，φ′(x )＝e x －1x 2， ∵x >1，∴e x >e ，1x 2<1， ∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，即t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴t ′(x )>t ′(1)＝1＋e －2a ，当a ≤1＋e 2且a ≠1时，t ′(x )≥0， ∴t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e 在(1，＋∞)上单调递增，∴t (x )>t (1)＝0成立，当a >1＋e 2时， ∵t ′(1)＝1＋e －2a <0，t ′(ln 2a )＝1ln 2a＋2a －2a >0， ∴存在x 0∈(1，ln 2a )，满足t ′(x 0)＝0.∵t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，x 0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，∴t (x 0)<t (1)＝0，t (x )>0不恒成立．∴实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝⎛⎦⎤1，1＋e 2. 4．已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2>4.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)证明 由f (x )＝0得a ＝1－x e x ， 设g (x )＝1－x e x ，则g ′(x )＝x －2e x . 由g ′(x )<0，得x <2；由g ′(x )>0，得x >2.故g (x )min ＝g (2)＝－1e 2<0. 当x >1时，g (x )<0，当x <1时，g (x )>0，不妨设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，x 1＋x 2>4等价于x 2>4－x 1，∵4－x 1>2且g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴要证x 1＋x 2>4，只需证g (x 2)>g (4－x 1)，∵g (x 1)＝g (x 2)＝a ，∴只需证g (x 1)>g (4－x 1)，即1－x 11e x >x 1－314e x −， 即证124e x −(x 1－3)＋x 1－1<0；设h (x )＝e 2x －4(x －3)＋x －1，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝e 2x －4(2x －5)＋1，令m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝4e 2x －4(x －2)，∵x ∈(1,2)，∴m ′(x )<0，∴m (x )在(1,2)上单调递减，即h ′(x )在(1,2)上单调递减，∴h ′(x )>h ′(2)＝0，∴h (x )在(1,2)上单调递增，∴h (x )<h (2)＝0，∴124e x −()x 1－3＋x 1－1<0，从而x 1＋x 2>4得证．5．已知函数f (x )＝a ＋ln x x，g (x )＝mx . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e . (1)解 f (x )＝a ＋ln x x的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －a x 2. 由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln x x 2， 令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln x x 3， 由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e. (3)证明 (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ， 等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2e x －1x e x ＋1. 令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln x x 2， 令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x， ∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1， 令h (x )＝2e x －1x e x ＋1， 则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2， ∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ，x >1. 6．已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0.(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值． 解 (1)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2(a >0)＝⎩⎨⎧ x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a .则f ′(x )＝⎩⎨⎧ 3x 2＋a ，x ≥3a ，3x 2－a ，x <3a . 当a 3≥3a，即a ≥3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫3a ，＋∞； 当a 3<3a，即0<a <3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，a 3， 单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞. (2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于当x ∈[0,1]时，f (x )min ＋f (x )max ＝0，由(1)得当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，3a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤3a ，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫3a ＝27a 3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，解得a ＝3； 当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，a 3上单调递减， 在⎝⎛⎦⎤a 3，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－2a 3a 3， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1，则1－2a 3a 3＋1＝0，得a ＝3(舍去)； 当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ，则1－2a 3a 3＋2－a ＝0， 即3－a ＝2a 3a 3，其中3－a ≥2，而2a 3a 3<2，所以无解，舍去． 综上所述，a ＝3.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练4 理
[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练2文
8＋6标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( )A ．－4－7iB ．－2－iC ．1＋iD ．14＋5i 答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．(0,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}，因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3.3．将函数f (x )＝2sin 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的(2x ＋π4)横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝对称，则φ的最小值为( )12π4A. B. C. D.π8π43π8π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin (2x ＋π4)，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y ＝2sin (2x －2φ＋π4)12，所得图象关于直线x ＝对称，即sin ＝±1，则2φ－＝k π＋(4x －2φ＋π4)π4(5π4－2φ)5π4，φ＝＋，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为，故选C.π2k π27π83π84．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A ．3B ．0C ．15D ．8答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8；当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束，所以y 的最大值为15.5.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A 解析 ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos∠ABO ＝，12即∠ABO ＝60°.故选A.6．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为x －2y －＝0，圆C 的方程为x 2＋y 2－4ax －2y ＋53a 2＋1＝0(a >0)，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为( )A ．π或(201－88)πB ．π5C ．(201＋88)πD ．π或(201＋88)π55答案 B解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a ,1)，半径为a .因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋＝2，|2a －2－5|(－2)2＋12当a ≥时，解得a ＝11－4，2＋525由于11－4<，故舍去，52＋52当0<a <时，解得a ＝1，符合题意，2＋52所以a ＝1，S 圆＝πa 2＝π.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数g (x )＝f (x －5)．数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 9)＝0，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0答案 A解析 由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知g (x )＝f (x －5)关于(5,0)对称，且在R 上是单调函数，又g (a 1)＋g (a 9)＝0，所以a 1＋a 9＝10，即a 5＝5，根据等差数列的性质得，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.8．若x ＝是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的极值点，则函数f (x )的最小值为( )2A ．(2＋2)eB ．02C ．(2－2)D ．－e2答案 C解析 f (x )＝(x 2－2ax )e x ，∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ，由已知得，f ′()＝0，2∴2＋2－2a －2a ＝0，解得a ＝1.22∴f (x )＝(x 2－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 2－2)e x ，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝0，得x ＝－或x ＝，22当x ∈(－，)时，f ′(x )<0，22∴函数f (x )在(－，)上是减函数，22当x ∈或x ∈时，f ′(x )>0，(－∞，－2)(2，＋∞)∴函数f (x )在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数．22又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0，当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0，∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈时，函数f (x )单调递减，(0，2)当x ∈时，函数f (x )单调递增，(2，2)∴f (x )min ＝f ＝(2)(2－22)9．若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离x 2a 2y 2b 2心率为________．答案 5解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2，所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝.510．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 2＋π解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成，则V ＝1×1×2＋×π×12×2＝2＋π.1211．已知变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则·的最小值为π2HB → HC → ________．答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)，设点H (x ,0)，则x ∈[0,8]，∴·＝(8－x ,0)·(－x ,6)HB → HC →＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，·的最小值为－16.HB → HC →13．已知α∈，β∈，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则[π4，π3][π2，π]的最大值为________．sin 2αsin (β－α)答案 2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β，所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α，即sin(β－α)＝sin α，则＝＝＝2cos α.sin 2αsin (β－α)sin 2αsin α2sin αcos αsin α因为α∈，所以2cos α∈，[π4，π3][1，2]所以的最大值为.sin 2αsin (β－α)214．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝CD ＝，BD ＝，沿BD 把△ABD 23翻折起来，形成三棱锥A －BCD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案 π776解析 因为AB ⊥BD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A －BCD 可放在长方体中，它们外接球相同，设外接球半径为R ，则R ＝＝，(2)2＋(2)2＋(3)2272V 球＝π3＝π.43(72)776。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练1 理
[70分] 8＋6标准练11．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 C解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)． 2．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立． 3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏 答案 C解析 设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.4．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案 C解析 如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝x －5y 改写为1z ＝y －0x －5， 所以1z可看作点(x ，y )和(5,0)连线的斜率，记为k ，则－23≤k ≤43，所以z ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.5．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析 依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.6．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m 等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m2，设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝54m ，即6＋m 2＝54m ，解得m ＝8.7．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．A 33(A 44)3B ．A 44(A 33)4C.A 1212A 33 D.A 1212A 44答案 B解析 12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1,2,3,4小组的3个人安排坐在一起，各有A 33种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有A 44种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有(A 33)4A 44种不同的坐法． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且2a ＋b ＝52(a >0，b >0)，则此三棱锥外接球表面积的最小值为( )A.174πB.214π C ．4π D ．5π 答案 B解析 由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1，且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2，a ，b ，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径为22＋a 2＋b 22＝4＋a 2＋b22，所以三棱锥外接球的表面积为4π⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋a 2＋b 222＝π()4＋a 2＋b 2＝5π(a －1)2＋21π4，当且仅当a ＝1，b ＝12时，三棱锥外接球的表面积取得最小值214π.9．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ·z ＋z |的值为________． 答案 3 2解析 z ·z ＋z ＝()1－2i ()1＋2i ＋1＋2i ＝4＋2i ， |z ·z ＋z |＝3 2.10．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________． 答案 0或52解析 因为向量a ∥b ， 所以(2m －1)(2－m )＝－2， 所以m ＝0或m ＝52.11．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________． 答案 19解析 从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有C 210＝45(个)基本事件，其中取出的两条边或对角线所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为545＝19. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为________． 答案2解析 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a12＋12＝1，即22a ＝1， 所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.13．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析 因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，① 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， 所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 14．设a n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S 63的值为________． 答案 714解析 由已知得，当n 为偶数时，a n ＝2n a ，当n 为奇数时，a n ＝1＋n2.因为S 12n －＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 21n －， 所以S 121n ＋－＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 121n ＋－＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 121n ＋－)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 122n ＋－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋32＋1＋52＋…＋1＋2n ＋1－12＋(a 1＋a 2＋a 3＋...＋a 21n －) ＝(1＋2＋3＋ (2))＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 21n －) ＝(1＋2n)2n2＋S 21n －＝12(2n ＋4n)＋S 21n －， 即S 121n ＋－＝12(2n ＋4n)＋S 21n －，所以S 21n －＝12(4n －1＋2n －1)＋12(4n －2＋2n －2)＋…＋12(41＋21)＋S 121－＝2n －1＋23·4n －1－23， 所以S 63＝S 621－＝25＋23·45－23＝714.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练(70分)8+6标准练3 理
[70分] 8＋6标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.4．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD＝13×12×1－112＝14.所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为1 12∶14＝1∶3.5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得5>n≥4，所以输入n的值为4.6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC所成角的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt△DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.7．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.8．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3＝________.答案 5解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.10．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．11．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是________．答案 －11解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.12．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________． 答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化 文
8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b 答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线， ∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ， ∴AO →＝12a ＋14b .2．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( )A.49B.89C.269D.263 答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65 B ．176 C ．183 D ．184 答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论： ①HD →·BF →＝0；②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－ 2 OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2. 其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 正八边形ABCDEFGH 中，HD ⊥BF ， ∴HD →·BF →＝0，故①正确；OA →·OD →＝1×1×cos 3π4＝－22，故②正确；OB →＋OH →＝ 2 OA →＝－ 2 OE →，故③正确； |AH →－FH →|＝|AF →|＝|OF →－OA →|，则|AF →|2＝1＋1－2×1×1×cos 3π4＝2＋2，∴|AF →|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝()－x ，2－y ，PO →＝(－x ，－y )，故PA →·PB →＋PA →·PC →＝PA →·()PB →＋PC →＝2PA →·PO →＝2()x 2＋y 2－2y ＝2[]x 2＋()y －12－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．所以PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为－2.6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.32B.34C ．1－32D ．1－34答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k ，3k (k >0)， 则大正方形的边长为2k ，小正方形的边长为(3－1)k ， 所以大正方形的面积为4k 2，小正方形的面积为(3－1)2k 2， 故所求概率为(3－1)2k 24k 2＝1－32. 7．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A ．乙甲丙丁 B ．甲丁乙丙 C ．丙甲丁乙 D ．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：对于选项A ，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B ，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C ，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D ，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8．(2018·河北省衡水中学模拟)已知||OA →＝||OB →＝2，点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1，则||OA →－tOB →(t ∈R )的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 ∵||OA →＝||OB →＝2， ∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∵点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1， ∴当C 是AB 的中点时||OC →最小，此时||OC →＝1，∴此时OB →与OC →的夹角为60°， ∴OA →，OB →的夹角为120°. 又||OA →－tOB→2＝OA→2＋t 2OB →2－2tOA →·OB →＝4＋4t 2－2t ·2·2·cos 120° ＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋3≥3， 当且仅当t ＝－12时等号成立．∴||OA →－tOB→2的最小值为3， ∴||OA →－tOB→的最小值为 3. 9．已知向量a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，则a 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案131010解析 由a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8， 可知|a |＝22＋42＝25， (a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝64， 则a ·b ＝－7，所以a 在a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·ba 2＋b 2＋2a ·b＝20－720＋4＋2×(－7)＝131010.10．(2018·烟台模拟)如果||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，则||a －2b 的值是________． 答案 2 6解析 由||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4， 得||a －2b ＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b＝4＋36－4×4＝2 6.11．(2018·石家庄模拟)已知向量a 与b 的夹角是π3，|a |＝1，|b |＝12，则向量a －2b 与a的夹角为________． 答案π3解析 a ·b ＝||a ||b cos π3＝14，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝12，|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1.设向量a －2b 与a 的夹角为θ，cos θ＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝12，又因为θ∈[0，π]， 所以θ＝π3.12．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m 的值为________．答案 4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，得y ＝25－74x ，故x 必为4的倍数，当x ＝4t 时，y ＝25－7t ，由y ＝25－7t >0得，t 的最大值为3， 故判断框应填入的是t <4？， 即m ＝4.13．若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，若(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角等于π4，则实数t 的值为________． 答案 95解析 由a 与b 的夹角等于π4可得 cos π4＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2|a |2，故a ·b ＝|a |2. 由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得 3a 2－t a ·b ＋6a ·b －2t b 2＝0， 即3|a |2＋(6－t )|a |2－4t |a |2＝0， 又a 为非零向量，所以|a |2≠0，则有3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95.14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC 面积的最大值为________．答案 1解析 如图所示，由AB →＋AC →＝AD →知，四边形ABDC 为平行四边形，又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， △ABC 的面积S ＝12AB ·AC ≤12·AB 2＋AC 22＝14AD 2，∴当AD 是圆的直径时，△ABC 的面积最大． ∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值14×4＝1.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则z 1z 2等于( ) A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故z 1z 2＝2＋i i＝1－2i. 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x>1}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0} C ．{x |x <1} D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x>1}＝{x |x >0}， ∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝112×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2 答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ， 由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h . 由题意知V ＝112×(2πr )2×h .所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝a ·b |a ||b |＝－510＝－12， 所以向量a 与b 的夹角为2π3.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. 5B. 3 C ．2 2 D. 6 答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1， 由此可计算BD ＝22为最长棱长．7．已知函数f (x )＝e x＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1eB.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－e 3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3e ，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e 答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ， 可得f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值， ∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值， 而f ′(x )＝e x＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增， ∴e x＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝e －1－2＋3a ＋2<0，f ′(0)＝1＋3a ＋2>0，解得－1<a <－13e，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13e . 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 2 C. 3 D.52答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点， 设渐近线与PF 2的交点为M ， ∴OM ∥F 1P ， ∵∠F 1PF 2为直角， ∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a2＝b ， ∴|PF 2|＝2b . 在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)， 即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ， 则双曲线的离心率e ＝c a＝2.9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13，则cos 2α＝________. 答案 35解析 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13＝tan α－11＋tan α， 解得tan α＝12，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，将正切值代入得cos 2α＝35. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则S 2 0172 017＝________.答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017) ＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1) ＝(1＋2×2 016＋1)×1 0092＝2 017×1 009，∴S 2 0172 017＝1 009. 11．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立； 第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立； 第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立， 故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π， 得x B ＝－φω，x A ＝π－φω，x C ＝2π－φω.由OA ＋OC ＝2OB ，得3π－2φω＝2φω，解得φ＝3π4.13．函数y ＝x 2＋x ＋1x 与y ＝3sin πx2＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则∑ni ＝1(x i ＋y i )＝________.答案 4解析 因为函数y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝3sin πx2＋1的对称中心均为(0,1)．画出y ＝f (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1，y ＝g (x )＝3sinπx2＋1的图象，由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故∑4i ＝1(x i ＋y i )＝4. 14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________. 答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 又因为f (3－x )＝f (x )， 所以f (3－x )＝－f (－x )， 所以f (3＋x )＝－f (x )， 即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数． 由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1， 可得a n ≠0，a n ＋1a n ＝n ＋1n， 则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1 ＝nn －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ， 即a n ＝n ，n ∈N *， 所以a 36＝36，a 37＝37. 又因为f (－1)＝3，f (0)＝0， 所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1) ＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。
2019高考数学(京、津)专用(文)优编增分练：8+6分项练1+Word版含解析
2019高考数学（京、津）专用（文）优编增分练8＋6分项练1 集合与常用逻辑用语1．(2018·烟台适应性考试)已知全集U ＝Z ，A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |x 2＝3x }，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{0,3}D ．{3}答案 B解析 由题意得B ＝{x |x 2＝3x }＝{0,3}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}．2．(2018·南昌模拟)已知a ，b 为实数，则“ab >b 2”是“a >b >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a >b >0，得ab >b 2成立，反之：如a ＝－2，b ＝－1，满足ab >b 2，则a >b >0不成立，所以“ab >b 2”是“a >b >0”的必要不充分条件，故选B.3．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知集合A ＝{} |y y ＝x 2－1，B ＝{x |y ＝ln(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )等于( )A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 C解析 A ＝[0，＋∞)，B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，故A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 4．下列命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R ，e x >0B ．∃x 0∈R,02x>x 20 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分不必要条件答案 C解析 对于A ，根据指数函数y ＝e x 的性质可知，e x >0总成立，故A 正确；对于B ，取x 0＝1，则21>12，故B 正确；对于C ，若a ＝b ＝0，则a b无意义，故C 错误，为假命题； 对于D ，根据不等式的性质可得当a >1，b >1时，必有ab >1，但反之不成立，故D 正确．5．(2018·漳州质检)满足{2 018}⊆A {2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由题意，得A ＝{2 018}或A ＝{2 018,2 019}或A ＝{2 018，2 020}．故选C.6．(2018·山西省榆社中学模拟)设集合A ＝{x |x 2－6x －7<0}，B ＝{x |x ≥a }，现有下面四个命题： p 1：∃a ∈R ，A ∩B ＝∅；p 2：若a ＝0，则A ∪B ＝(－7，＋∞)；p 3：若∁R B ＝(－∞，2)，则a ∈A ；p 4：若a ≤－1，则A ⊆B .其中所有的真命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 2，p 4答案 B解析 由题意可得A ＝()－1，7，则当a ≥7时，A ∩B ＝∅，所以命题p 1正确；当a ＝0时，B ＝[0，＋∞)，则A ∪B ＝(－1，＋∞)，所以命题p 2错误；若∁R B ＝()－∞，2，则a ＝2∈A ，所以命题p 3正确；当a ≤－1时，A ⊆B 成立，所以命题p 4正确．7．(2018·衡水金卷调研卷)已知a >0，命题p ：函数f (x )＝lg ()ax 2＋2x ＋3的值域为R ，命题q ：函数g (x )＝x ＋a x在区间(1，＋∞)内单调递增．若(綈p )∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是( )。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练3 复数与程序框图 文
8＋6分项练3 复数与程序框图1．(2018·湛江模拟)已知i 是虚数单位，复数z 满足z －2i ＝1＋z i ，则|z |等于( ) A ．2 B.102 C.52 D.22答案 B解析 由题意可得，z －z i ＝1＋2i ，则z ＝1＋2i 1－i ＝－1＋3i2，所以|z |＝(－1)2＋324＝102. 2．(2018·潍坊模拟)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足z ＝z ，则z ∈R ；p 2：若复数z 1，z 2满足||z 1＝||z 2，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2； p 3：若复数z 1＝z 2，则z 1·z 2∈R ；p 4：若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R ，其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 2，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4答案 A解析 由z ＝z ，可知复数的虚部为0，所以有z ∈R ，从而得p 1是真命题；由复数的模的几何意义，可知p 2是假命题；由z 1＝z 2，可知z 1，z 2互为共轭复数，所以p 3是真命题；复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以p 4是假命题．3．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知i 为虚数单位，若复数z 满足51＋2i ＝z －i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－2i D ．1＋2i答案 A解析 依题意得z ＝51＋2i ＋i ＝1－2i ＋i ＝1－i ，故z ＝1＋i.4．(2018·三明质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的是n ＝0，S ＝0，输出的结果是7，则判断框“”中应填入( )A ．S >56？B ．S >67？C ．S >78？D ．S >89？答案 C解析 由题意可得，若输出结果为n ，则该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)的值，裂项求和可得，S ＝1－1n ＋2＝n ＋1n ＋2， 输出结果为n ＝7，则最后求得的S ＝n ＋1n ＋2＝89， 结合选项可知判断框“”中应填入S >78？.5．(2018·深圳模拟)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是( ) A ．z 1·z 2是实数 B.z 1z 2是纯虚数 C.||z 41＝2||z 22D ．z 21＋z 22＝4i答案 D解析 z 1·z 2＝(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝2，是实数，故A 正确，z 1z 2＝1＋i 1－i ＝1＋2i ＋i 22＝i ，是纯虚数，故B 正确， |z 41|＝|(1＋i)4|＝|[(1＋i)2]2|＝|(2i)2|＝4， 2|z 22|＝2|(1－i)2|＝2|－2i|＝4，故C 正确，z 21＋z 22＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i 2＝0，所以D 不正确．6．(2018·上饶模拟)在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B.(]3，7 C ．(7，＋∞) D.(]7，19答案 B解析 模拟程序的运行，可得 当i ＝1时，3x －2≤55，解得x ≤19； 当i ＝2时，3(3x －2)－2≤55，解得x ≤7；当i ＝3时，3(9x －8)－2>55，解得x >3.满足判断框内的条件，退出循环，输出i 的值为3. 可得3<x ≤7，则输入x 的取值范围是(3,7]．7．(2018·钦州质检)输入正整数n (n ≥2)和数据a 1，a 2，…，a n ，如果执行如图所示的程序框图，输出的s 是数据a 1，a 2，…，a n 的平均数，则框图的处理框★中应填写的是( )A ．s ＝i ×s ＋a iiB ．s ＝(i －1)×s ＋a iiC ．s ＝(i －1)×s ＋a ii －1D ．s ＝i ×s ＋a ii －1答案 B解析 本程序的作用是求a 1，a 2，…，a n 的平均数，由于第一次执行循环时的循环变量s 初值为0，计数变量i 为1，步长为1， 利用循环结构进行累加的方法，得执行框s ＝(i －1)×s ＋a ii.8．(2018·河北省衡水中学模拟)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x ＝0，则一开始输入的x 的值为( )A.34B.1516C.78D.3132 答案 B解析 第一次输入x ＝x ，i ＝1，满足条件，继续运行； 第二次输入x ＝2x －1，i ＝2，满足条件，继续运行；第三次输入x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3，满足条件，继续运行； 第四次输入x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4，满足条件，继续运行； 第五次输入x ＝2(8x －7)－1＝16x －15，i ＝5>4，不满足条件，停止运行． 输出16x －15＝0，解得x ＝1516，故选B.9．(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－ii 在复平面上对应的点位于第________象限． 答案 三解析 由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2＝1＋i－1＝－1－i ， 所以复数－1－i 对应的点(－1，－1)在第三象限．10．(2018·武汉调研)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将i 2e π表示的复数记为z ，则z ·(1＋2i)的值为________． 答案 －2＋i解析 由题意得z ＝i 2e π＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z (1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i.11．若复数z 满足i·z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________；|z |＝________. 答案 313解析 ∵i·z ＝－3＋2i ，∴z ＝－3＋2i i ＝()－3＋2i i i 2＝－3i －2－1＝2＋3i ， ∴复数z 的虚部为3，|z |＝22＋32＝13. 12．(2018·泉州质检)在复平面内复数z ＝a i1＋i对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 在复平面内复数z ＝a i 1＋i ＝a i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12a ＋12a i ， 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a 位于第三象限， ∴12a <0，解得a <0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．13．(2018·大连模拟)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．答案 －12解析 运行程序如下：1≤2 018，s ＝－3，n ＝2；2≤2 018，s ＝－12，n ＝3；3≤2 018，s＝13，n ＝4；4≤2 018，s ＝2，n ＝5，所以s 的周期为4， 因为2 018除以4的余数为2， 所以输出s ＝－12.14．(2018·南平质检)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 1 009解析 执行程序框图：S ＝0＋1·sin π2＝0＋1，i ＝3,3≤2 018； S ＝0＋1＋3·sin3π2＝0＋1－3，i ＝5,5≤2 018； S ＝0＋1－3＋5·sin5π2＝0＋1－3＋5，i ＝7,7≤2 018； ……S ＝0＋1－3＋…＋2 017·sin2 017π2＝0＋1－3＋…＋2 017，i ＝2 019,2 019>2 018. 输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2 015＋2 017＝()0＋1＋()－3＋5＋()－7＋9＋…＋()－2 015＋2 017＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1 009.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练4文
8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则等于( )z 1z 2A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i答案 C解析 由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故＝＝1－2i.z 1z 22＋i i 2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |x <0}C ．{x |x <1}D ．∅答案 A解析 N ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )112A ．3 B ．3.1 C ．3.14 D ．3.2答案 A解析 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h .由题意知V ＝×(2πr )2×h .112所以πr 2h ＝×(2πr )2×h ，112解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A. B. C. D.π6π4π32π3答案 D解析 由题意可知，cos θ＝＝＝－，a ·b |a ||b |－51012所以向量a 与b 的夹角为.2π35．设x ，y 满足约束条件Error!若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 A解析 根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. B. C ．2 D.5326答案 C解析 如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，由此可计算BD ＝2为最长棱长．27．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A. B.(－1，－1e )(－1，－e 3)C. D.(－3e ，－1)(－1，－13e )答案 D解析 由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ，可得f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值，而f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增，∴e x ＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得Error!解得－1<a <－，13e ∴实数a 的取值范围是.(－1，－13e )8.如图，已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，x 2a 2y 2b 2|OF 1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. C. D.2352答案 A解析 ∵O 是F 1F 2的中点，设渐近线与PF 2的交点为M ，∴OM ∥F 1P ，∵∠F 1PF 2为直角，∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，b a 则F 2到渐近线的距离为＝b ，bcb 2＋a 2∴|PF 2|＝2b .在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)，即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝＝2.ca 9．若tan＝－，则cos 2α＝________.(α－π4)13答案 35解析 已知tan ＝－＝，(α－π4)13tan α－11＋tan α解得tan α＝，12cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝＝，将正切值代入得cos 2α＝.cos2α－sin2αcos2α＋sin2α1－tan2α1＋tan2α3510．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则＝________.S 2 0172 017答案 1 009解析 S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1)＝＝2 017×1 009，(1＋2×2 016＋1)×1 0092∴＝1 009.S 2 0172 01711．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案 48解析 第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立；第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立；第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立，故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案 3π4解析 不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π，得x B ＝－，x A ＝，x C ＝.φωπ－φω2π－φω由OA ＋OC ＝2OB ，得＝，3π－2φω2φω解得φ＝.3π413．函数y ＝与y ＝3sin＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，x 2＋x ＋1x πx 2(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则 (x i ＋y i )＝________.∑n i ＝1答案 4解析 因为函数y ＝＝x ＋＋1，y ＝3sin ＋1的对称中心均为(0,1)．x 2＋x ＋1x 1x πx 2画出y ＝f (x )＝＝x ＋＋1，x 2＋x ＋1x 1x y ＝g (x )＝3sin ＋1的图象，πx2由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故 (x i ＋y i )＝4.∑4 i ＝114．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.答案 －3解析 因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3－x )＝－f (－x )，所以f (3＋x )＝－f (x )，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ≠0，＝，an ＋1an n ＋1n 则a n ＝···…··a 1an an －1an －1an －2an －2an －3a 2a 1＝×××…××1＝n ，n n －1n －1n －2n －2n －321即a n ＝n ，n ∈N *，所以a 36＝36，a 37＝37.又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1)＝f(1)＝－f(－1)＝－3.。
(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练4 平面向量与数学文化 文
8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b 答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线， ∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ， ∴AO →＝12a ＋14b .2．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269 D.263 答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A ．65B ．176C ．183D ．184 答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996. 由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论：①HD →·BF →＝0；②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－ 2 OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2. 其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 正八边形ABCDEFGH 中，HD ⊥BF ， ∴HD →·BF →＝0，故①正确； OA →·OD →＝1×1×cos3π4＝－22，故②正确； OB →＋OH →＝ 2 OA →＝－ 2 OE →，故③正确；|AH →－FH →|＝|AF →|＝|OF →－OA →|，则|AF →|2＝1＋1－2×1×1×cos 3π4＝2＋2，∴|AF →|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝()－x ，2－y ，PO →＝(－x ，－y )，故PA →·PB →＋PA →·PC →＝PA →·()PB →＋PC →＝2PA →·PO →＝2()x 2＋y 2－2y ＝2[]x 2＋()y －12－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．所以PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为－2.6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.32B.34C ．1－32D ．1－34答案 C解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k ，3k (k >0)， 则大正方形的边长为2k ，小正方形的边长为(3－1)k ， 所以大正方形的面积为4k 2，小正方形的面积为(3－1)2k 2，7．(2018·南平质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书，被称为“算经十书”．某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣．一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同)．甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( ) A ．乙甲丙丁 B ．甲丁乙丙 C ．丙甲丁乙 D ．甲丙乙丁答案 D解析 由题意可列表格如下：对于选项A ，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对；对于选项B ，丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对；对于选项C ，乙说的对，但乙不是最少的，不符合；对于选项D ，甲说的对，也正好是最少的，符合，选D.8．(2018·河北省衡水中学模拟)已知||OA →＝||OB →＝2，点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1，则||OA →－tOB →(t ∈R )的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 ∵||OA →＝||OB →＝2， ∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∵点C 在线段AB 上，且||OC →的最小值为1， ∴当C 是AB 的中点时||OC →最小，此时||OC →＝1，∴此时OB →与OC →的夹角为60°， ∴OA →，OB →的夹角为120°. 又||OA →－tOB→2＝OA→2＋t 2OB →2－2tOA →·OB →＝4＋4t 2－2t ·2·2·cos 120° ＝4t 2＋4t ＋4...＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋3≥3， 当且仅当t ＝－12时等号成立．∴||OA →－tOB→2的最小值为3， ∴||OA →－tOB→的最小值为 3. 9．已知向量a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8，则a 在a ＋b 方向上的投影为________． 答案131010解析 由a ＝(2,4)，|b |＝2，|a －2b |＝8， 可知|a |＝22＋42＝25， (a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝64， 则a ·b ＝－7，所以a 在a ＋b 方向上的投影为a ·(a ＋b )|a ＋b |＝a 2＋a ·ba 2＋b 2＋2a ·b＝20－720＋4＋2×(－7)＝131010.10．(2018·烟台模拟)如果||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4，则||a －2b 的值是________． 答案 2 6解析 由||a ＝2，||b ＝3，a ·b ＝4， 得||a －2b ＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4a ·b＝4＋36－4×4＝2 6.11．(2018·石家庄模拟)已知向量a 与b 的夹角是π3，|a |＝1，|b |＝12，则向量a －2b 与a 的夹角为________．答案π3解析 a ·b ＝||a ||b cos π3＝14，a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝12，|a －2b |＝(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1.设向量a －2b 与a 的夹角为θ，cos θ＝a ·(a －2b )|a ||a －2b |＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.12．(2018·宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x ，y ，z ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100的解．其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m 的值为________．答案 4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＋z 3＝100，x ＋y ＋z ＝100，得y ＝25－74x ，故x 必为4的倍数，当x ＝4t 时，y ＝25－7t ，由y ＝25－7t >0得，t 的最大值为3， 故判断框应填入的是t <4？， 即m ＝4.13．若非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，若(a ＋2b )⊥(3a －t b )，a 与b 的夹角等于π4，则实数t 的值为________．答案 95解析 由a 与b 的夹角等于π4可得cos π4＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2|a |2，故a ·b ＝|a |2. 由(a ＋2b )⊥(3a －t b )可得3a 2－t a ·b ＋6a ·b －2t b 2＝0， 即3|a |2＋(6－t )|a |2－4t |a |2＝0， 又a 为非零向量，所以|a |2≠0，则有3＋6－t －4t ＝0，解得t ＝95.14．(2018·咸阳模拟)已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB →＋AC →＝AD →，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 1解析 如图所示，由AB →＋AC →＝AD →知，四边形ABDC 为平行四边形，又A ，B ，C ，D 四点共圆，∴四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， △ABC 的面积S ＝12AB ·AC ≤12·AB 2＋AC 22＝14AD 2，∴当AD 是圆的直径时，△ABC 的面积最大． ∴当AB ＝AC 时，△ABC 的面积取得最大值14×4＝1.。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：8+6标准练2文
8＋6标准练21．复数z 1＝3＋2i ，z 1＋z 2＝1＋i ，则复数z 1·z 2等于( )A ．－4－7iB ．－2－iC ．1＋iD ．14＋5i 答案 A解析 根据题意可得，z 2＝1＋i －3－2i ＝－2－i ，所以z 1·z 2＝(3＋2i)·(－2－i)＝－4－7i.2．集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |log 3x <1}，若A ∪B ＝{x |x <3}，则a 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．(0,3]C ．(－∞，3]D ．(－∞，3)答案 B解析 根据题意可得B ＝{x |log 3x <1}＝{x |0<x <3}，因为A ∪B ＝{x |x <3}，所以0<a ≤3.3．将函数f (x )＝2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将图象上每一点的(2x ＋π4)横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝对称，则φ的最小值为( )12π4A. B. C. D.π8π43π8π2答案 C解析 函数f (x )＝2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝2sin (2x ＋π4)，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y ＝2sin(2x －2φ＋π4)12，所得图象关于直线x ＝对称，即sin ＝±1，则(4x －2φ＋π4)π4(5π4－2φ)2φ－＝k π＋，φ＝＋，k ∈Z ，由φ>0，取k ＝－1，得φ的最小值为，故5π4π2k π27π83π8选C.4．如图所示的程序框图，输出y 的最大值是( )A ．3B ．0C ．15D ．8答案 C解析 当x ＝－3时，y ＝3；当x ＝－2时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝8；当x ＝3时，y ＝15，x ＝4，结束，所以y 的最大值为15.5.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt△AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos∠ABO ＝，即∠ABO ＝60°.故选A.126．在平面直角坐标系中，已知直线l 的方程为x －2y －＝0，圆C 的方程为5x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0(a >0)，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为( )A ．π或(201－88)πB ．π5C ．(201＋88)πD ．π或(201＋88)π55答案 B 解析 因为x 2＋y 2－4ax －2y ＋3a 2＋1＝0等价于(x －2a )2＋(y －1)2－a 2＝0，所以(x －2a )2＋(y －1)2＝a 2，圆C 的圆心坐标为(2a ,1)，半径为a .因为点P 为圆C 上的动点，所以点P 到直线l 的最大距离为a ＋＝2，|2a －2－5|(－2)2＋12当a ≥时，解得a ＝11－4，2＋525由于11－4<，故舍去，52＋52当0<a <时，解得a ＝1，符合题意，2＋52所以a ＝1，S 圆＝πa 2＝π.7．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数g (x )＝f (x －5)．数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g (a 1)＋g (a 9)＝0，则a 1＋a 2＋…＋a 9等于( )A ．45B ．15C ．10D ．0答案 A解析 由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知g (x )＝f (x －5)关于(5,0)对称，且在R 上是单调函数，又g (a 1)＋g (a 9)＝0，所以a 1＋a 9＝10，即a 5＝5，根据等差数列的性质得，a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝45.8．若x ＝是函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 的极值点，则函数f (x )的最小值为( )2A ．(2＋2)eB ．02C ．(2－2)D ．－e 2答案 C 解析 f (x )＝(x 2－2ax )e x ，∴f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ，由已知得，f ′()＝0，2∴2＋2－2a －2a ＝0，解得a ＝1.22∴f (x )＝(x 2－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 2－2)e x ，∴令f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝0，得x ＝－或x ＝，22当x ∈(－，)时，f ′(x )<0，22∴函数f (x )在(－，)上是减函数，22当x ∈或x ∈时，f ′(x )>0，(－∞，－2)(2，＋∞)∴函数f (x )在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数．22又当x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，x 2－2x >0，f (x )>0，当x ∈(0,2)时，x 2－2x <0，f (x )<0，∴f (x )min 在x ∈(0,2)上，又当x ∈时，函数f (x )单调递减，(0，2)当x ∈时，函数f (x )单调递增，(2，2)∴f (x )min ＝f ＝2e (2)(2－22)9．若双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的x 2a 2y 2b 2离心率为________．答案 5解析 由题意可知b ＝2a ，即b 2＝4a 2，所以c 2－a 2＝4a 2，解得e ＝.510．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 2＋π解析 根据三视图可得该几何体由一个长方体和半个圆柱组合而成，则V ＝1×1×2＋×π×12×2＝2＋π.1211．已知变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝－2x －y 的最小值为________．答案 －4解析 根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，直线z ＝－2x －y 过点A (1,2)时，z 取得最小值－4.12．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝，H 是边AB 上的动点，AB ＝8，BC ＝10，则·的最小值π2HB → HC → 为________．答案 －16解析 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)，设点H (x ,0)，则x ∈[0,8]，∴·＝(8－x ,0)·(－x ,6)HB → HC → ＝－x (8－x )＝x 2－8x ，∴当x ＝4时，·的最小值为－16.HB → HC → 13．已知α∈，β∈，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则[π4，π3][π2，π]的最大值为________．sin 2αsin (β－α)答案 2解析 因为sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，所以sin αcos β＋cos αsin β－sin α＝2sin αcos β，所以cos αsin β－sin αcos β＝sin α，即sin(β－α)＝sin α，则＝＝＝2cos α.sin 2αsin (β－α)sin 2αsin α2sin αcos αsin α因为α∈，所以2cos α∈，[π4，π3][1，2]所以的最大值为.sin 2αsin (β－α)214．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝CD ＝，BD ＝，沿BD 把△ABD 23翻折起来，形成三棱锥A －BCD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为________．答案 π776解析 因为AB ⊥BD ，且平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A －BCD 可放在长方体中，它们外接球相同，设外接球半径为R ，则R ＝＝，(2)2＋(2)2＋(3)2272V 球＝π3＝π.43(72)776。
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8＋6分项练3 复数与程序框图
1．(2018·湛江模拟)已知i 是虚数单位，复数z 满足z －2i ＝1＋z i ，则|z |等于( ) A ．2 B.102 C.52 D.22
答案 B
解析 由题意可得，z －z i ＝1＋2i ，则z ＝1＋2i 1－i ＝－1＋3i
2，
所以|z |＝
(－1)2
＋32
4＝10
2
. 2．(2018·潍坊模拟)设有下面四个命题：
p 1：若复数z 满足z ＝z ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 1，z 2满足||z 1＝||z 2，则z 1＝z 2或z 1＝－z 2； p 3：若复数z 1＝z 2，则z 1·z 2∈R ；
p 4：若复数z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，则z 1∈R ，z 2∈R ，
其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 2，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4
答案 A
解析 由z ＝z ，可知复数的虚部为0，所以有z ∈R ，从而得p 1是真命题；由复数的模的几何意义，可知p 2是假命题；由z 1＝z 2，可知z 1，z 2互为共轭复数，所以p 3是真命题；复数
z 1，z 2满足z 1＋z 2∈R ，只能说明两个复数的虚部互为相反数，所以p 4是假命题．
3．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知i 为虚数单位，若复数z 满足5
1＋2i ＝z －i ，
则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－2i D ．1＋2i
答案 A
解析 依题意得z ＝5
1＋2i ＋i ＝1－2i ＋i ＝1－i ，
故z ＝1＋i.
4．(2018·三明质检)执行如图所示的程序框图，如果输入的是n ＝0，S ＝0，输出的结果是7，
则判断框“”中应填入( )
A ．S >5
6？
B ．S >67？
C ．S >7
8？
D ．S >89
？
答案 C
解析 由题意可得，若输出结果为n ，则该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3
＋…＋1
(n ＋1)(n ＋2)
的值，
裂项求和可得，S ＝1－
1n ＋2＝n ＋1n ＋2
， 输出结果为n ＝7，则最后求得的S ＝
n ＋1n ＋2＝8
9
， 结合选项可知判断框“
”中应填入S >7
8
？.
5．(2018·深圳模拟)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，则下列结论错误的是( ) A ．z 1·z 2是实数 B.z 1z 2
是纯虚数 C.||z 4
1＝2||z 2
2
D ．z 2
1＋z 2
2＝4i
答案 D
解析 z 1·z 2＝(1＋i)(1－i)＝1－i 2
＝2，是实数，故A 正确，
z 1z 2＝1＋i 1－i ＝1＋2i ＋i 22
＝i ，是纯虚数，故B 正确， |z 4
1|＝|(1＋i)4
|＝|[(1＋i)2]2
|＝|(2i)2
|＝4， 2|z 2
2|＝2|(1－i)2
|＝2|－2i|＝4，故C 正确，
z 21＋z 22＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2＋2i 2＝0，所以D 不正确．
6．(2018·上饶模拟)在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入x 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞) B.(]3，7 C ．(7，＋∞) D.(]7，19
答案 B
解析 模拟程序的运行，可得 当i ＝1时，3x －2≤55，解得x ≤19； 当i ＝2时，3(3x －2)－2≤55，解得x ≤7；
当i ＝3时，3(9x －8)－2>55，解得x >3.满足判断框内的条件，退出循环，输出i 的值为3. 可得3<x ≤7，则输入x 的取值范围是(3,7]．
7．(2018·钦州质检)输入正整数n (n ≥2)和数据a 1，a 2，…，a n ，如果执行如图所示的程序框图，输出的s 是数据a 1，a 2，…，a n 的平均数，则框图的处理框★中应填写的是( )
A ．s ＝
i ×s ＋a i
i
B ．s ＝(i －1)×s ＋a i
i
C ．s ＝(i －1)×s ＋a i
i －1
D ．s ＝
i ×s ＋a i
i －1
答案 B
解析 本程序的作用是求a 1，a 2，…，a n 的平均数，
由于第一次执行循环时的循环变量s 初值为0，计数变量i 为1，步长为1， 利用循环结构进行累加的方法，得执行框s ＝(i －1)×s ＋a i
i
.
8．(2018·河北省衡水中学模拟)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x ＝0，则一开始输入的x 的值为( )
A.34
B.1516
C.78
D.3132 答案 B
解析 第一次输入x ＝x ，i ＝1，满足条件，继续运行； 第二次输入x ＝2x －1，i ＝2，满足条件，继续运行；
第三次输入x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3，满足条件，继续运行； 第四次输入x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4，满足条件，继续运行； 第五次输入x ＝2(8x －7)－1＝16x －15，i ＝5>4，不满足条件，停止运行． 输出16x －15＝0，解得x ＝15
16
，故选B.
9．(2018·天津河东区模拟)i 是虚数单位，复数1－i
i 在复平面上对应的点位于第________象
限． 答案 三
解析 由题意得1－i i ＝(1－i )i i 2
＝1＋i
－1＝－1－i ， 所以复数－1－i 对应的点(－1，－1)在第三象限．
10．(2018·武汉调研)欧拉公式e i x
＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发
明的，它将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，若将i 2
e π表示的复数记为z ，则z ·(1＋2i)的值为________． 答案 －2＋i
解析 由题意得z ＝i 2
e π
＝cos π2＋isin π
2＝i ，
所以z (1＋2i)＝i(1＋2i)＝－2＋i.
11．若复数z 满足i·z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________；|z |＝________. 答案 3
13
解析 ∵i·z ＝－3＋2i ，
∴z ＝－3＋2i i ＝()－3＋2i i i 2
＝－3i －2－1＝2＋3i ， ∴复数z 的虚部为3，|z |＝22
＋32
＝13. 12．(2018·泉州质检)在复平面内复数z ＝a i
1＋i
对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范
围是________． 答案 (－∞，0)
解析 在复平面内复数z ＝a i 1＋i ＝a i (1－i )
(1＋i )(1－i )
＝12a ＋1
2
a i ， 对应的点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，12a 位于第三象限， ∴1
2
a <0，解得a <0. 则实数a 的取值范围是(－∞，0)．
13．(2018·大连模拟)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为________．
答案 －1
2
解析 运行程序如下：1≤2 018，s ＝－3，n ＝2；2≤2 018，s ＝－1
2，n ＝3；3≤2 018，s
＝1
3，n ＝4；4≤2 018，s ＝2，n ＝5，所以s 的周期为4， 因为2 018除以4的余数为2， 所以输出s ＝－1
2
.
14．(2018·南平质检)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．
答案 1 009
解析 执行程序框图：
S ＝0＋1·sin π2
＝0＋1，i ＝3,3≤2 018； S ＝0＋1＋3·sin
3π
2
＝0＋1－3，i ＝5,5≤2 018； S ＝0＋1－3＋5·sin
5π
2
＝0＋1－3＋5，i ＝7,7≤2 018； ……
S ＝0＋1－3＋…＋2 017·sin
2 017π
2
＝0＋1－3＋…＋2 017，i ＝2 019,2 019>2 018. 输出S ＝0＋1－3＋5－7…－2 015＋2 017＝()0＋1＋()－3＋5＋()－7＋9＋…＋
()－2 015＋2 017＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1 009.。