2016年黑龙江省大庆市高三理科二模数学试卷

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2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(六)

2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷（理科）（六）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知M={y|y=x2}，N={x|+y2=1}，则M∩N=（）A.{（-1，1），（1，1）}B.{1}C.[0，]D.[0，1]【答案】C【解析】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中+y2=1，得到-≤x≤，即N=[-，]，则M∩N=[0，]．故选：C．求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A.-4B.4C.-10D.10【答案】A【解析】解：∵===a+i，∴=a，=-1，解得：b=-7，a=3．∴a+b=-7+3=-4．故选：A．利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．3.在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）A.32B.0.2C.40D.0.25【答案】A【解析】解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S，所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方．图的纵坐标是频率组据4.设命题p：-6≤m≤6，命题函数q：f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵f（x）=x2+mx+9（m∈R）没有零点，∴△=m2-36＜0，解得：-6＜m＜6，∴q：-6＜m＜6，而命题p：-6≤m≤6，故p是q的必要不充分条件，故选：B．求出关于命题q的m的范围，根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，科学二次函数的性质，是一道基础题．5.设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14【答案】A【解析】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5=8+5b，∴4a-5b=3故选：A．构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为|b|；当q=180°时投影为-|b|．6.执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A.3B.5C.8D.13【答案】B【解析】解：模拟执行程序，可得A=1，B=1，k=3满足条件k≤5，C=2，A=1，B=2，k=4满足条件k≤5，C=3，A=2，B=3，k=5满足条件k≤5，C=5，A=3，B=5，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出C的值为5．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量C的值并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.在直角坐标系中，P点的坐标为，，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设 x OP=α，则，，；故选：A．设 x OP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q的横坐标．本题考查了三角函数的坐标法定义以及三角函数公式的运用；属于基础题．8.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A.πB.6πC.πD.π【答案】C【解析】解：由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2，圆锥的高为2，圆柱的高为1，∴几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=．故选C．由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥，下半部分为半圆柱组成的几何体，根据三视图的数据求半圆柱与半圆锥的体积，再相加．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．9.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A.1B.3C.6D.9【答案】D【解析】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2-2q-3=0，解得q=-1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．10.已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A. B.2（-1） C.2-1 D.2（+1）【答案】B【解析】解：直接通分相加得==1-=1-因为a，b都是负实数，所以，都为正实数那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值最小值为为2分母有最小值，即有最大值那么1-可得最小值最小值：2-2故选B．把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．11.经过双曲线=1（a＞b＞0）的右焦点为F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O是坐标原点，△OMN的面积是，则该双曲线的离心率是（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】解：双曲线=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan MON==，设FN⊥ON，则F到渐近线y=x的距离为d==b，即有|ON|==a，则△OMN的面积可以表示为•a•atanθ==，解得a=2b，则e====．故选C．求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan MON，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可以表示为•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查两直线的夹角公式和三角形的面积公式，结合着较大的运算量，属于中档题．12.已知f（x）=x（1+lnx），若k∈Z，且k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，则k的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解：f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=x-2lnx-4（x＞2），则h′（x）=1-=，所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增．因为h（8）=4-2ln8＜0，h（9）=5-2ln9＞0，所以方程h（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（8，9）．当2＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，所以函数g（x）=在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．又x0-2lnx0-4=0，所以2lnx0=x0-4，故1+lnx0=x0-1，所以[g（x）]min=g（x0）===x0∈（4，4.5）所以k＜[g（x）]min==x0∈（4，4.5）．故整数k的最大值是4．故选：B．f（x）=x（1+lnx），所以k（x-2）＜f（x）对任意x＞2恒成立，即k＜对任意x＞2恒成立，求出右边函数的最小值，即可求k的最大值．本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的最值，正确求导是关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设a=（3x2-2x）dx，则二项式（ax2-）6展开式中的第4项为______ ．【答案】-1280x3【解析】解：由于a=（3x2-2x）dx=（x3-x2）=4，则（4x2-）6的通项T r+1=（4x2）6-r（-）r，故（4x2-）6的展开式中的第4项为T3+1=（4x2）3（-）3=-1280x3，故答案为：-1280x3．先计算定积分，再写出二项式的通项，即可求得展开式中的第4项．本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题．14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B1C的中点，则三棱锥A-DED1外接球体积为______ ．【答案】【解析】解：三棱锥A-DED1外接球为四棱锥E-A1D1DA外接球，设球的半径为R，则R2=（）2+（1-R）2，∴R=，∴三棱锥A-DED1外接球体积为=．故答案为：．三棱锥A-DED1外接球为四棱锥E-A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A-DED1外接球体．本题考查三棱锥A-DED1外接球体，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．15.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcos C=3acos B-ccos B，•=2，则△ABC的面积为______ ．【答案】2【解析】解：∵bcos C=3acos B-ccos B，∴sin B cos C=3sin A cos B-sin C cos B，即sin B cos C+sin C cos B=3sin A cos B，即sin（B+C）=3sin A cos B，即sin A=3sin A cos B，则cos B=，sin B==，∵•=2，∴||•||cos B=2即ac=2，ac=6，则△ABC的面积为S=acsin B==2，故答案为：2．根据正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简求出cos B的值，结合向量数量积以及三角形的面积公式进行求解即可．本题主要考查三角形面积的计算，利用正弦定理以及向量数量积应用是解决本题的关键．16.已知P为椭圆+=1上一个动点，过P作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A﹑B，则•的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：如图，由题意设PA与PB的夹角为2θ，则|PA|=PB|=，∴•==．设cos2θ=t，则y=•==，∵P在椭圆的左顶点时，sinθ=，∴cos2θ=，此时•的最大值为∴•的取值范围是：[，]．故答案为：[，]．由题意设PA与PB的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案．本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.等比数列{a n}中，a n=54．前n项和前2n项和分别为S n=80，S2n=6560．（1）求首项a1和公比q；（2）若A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•，（n≥2），设c n=tan A n tan A n-1．求数列{c n}的前n项和T n．【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a n=54，S n=80，S2n=6560．∴=54，=80，=6560，可得q n=81，解得a1=2，q=3，n=4．（2）∵A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•=，（n≥2），∴A n==．∵tan（A n-A n-1）==tan=，∴c n=tan A n tan A n-1=（tan A n-tan A n-1）-1，∴数列{c n}的前n项和T n=[（tan A2-tan A1）+（tan A3-tan A2）+…+tan（A n-A n-1）]-n =（tan A n-tan A1）-n=-n．【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q≠1，由a n=54，S n=80，S2n=6560．可得：=54，=80，=6560，可得q n=81，解出即可得出．（2）由A1=，数列{A n}满足A n-A n-1=a1•=，（n≥2），可得A n=．由tan（A n-A n-1）==tan，可得c n=tan A n tan A n-1=（tan A n-tan A n-1）-1，利用“累加求和”即可得出．本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情．2015年中秋节期间，小鲁在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，1个红包有10元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．【答案】解（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得：…（4分）（2）由题意知X 可能取值为0，5，10，15，20．…（5分）分∴X 的分布列为：E （X ）=++=．…（12分）【解析】（1）设“甲至少得1红包”为事件A ，由已知利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．（2）由题意知X 可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 分布列和E （X ）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的合理运用．19.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB ，E 、F 分别为PC、CD 的中点．（Ⅰ）试证：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）设PA=k •AB ，且二面角E-BD-C 的平面角大于45°，求k 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且 DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ．又PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．由此得AB⊥平面BEF．（6分）（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB的长为1，则=（-1，2，0），=（0，1）设平面CDB的法向量为，，，平面EDB的法向量为，，，则∴，取y=1，可得，，设二面角E-BD-C的大小为θ，则cosθ=|cos＜m1，m2＞|═化简得＞，则＞．（12分）【解析】（Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF 内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；（Ⅱ）以A为原点，以AB、AD、AP为OX、OY、OZ正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可．本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．【答案】解：（1）由题意可得，，即，∴，则a2=2b2，①把x=1代入，得y=，则，②联立①②得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），联立，得（1+2k2）y2+2ky-k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，③由|MA|=λ|MB|，得，∴（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），则-y1=λy2，④把④代入③消去y2得：，当λ∈[，2]时，∈[0，]．解得：．|AB|====，．∴弦长|AB|的取值范围为，．【解析】（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB的方程y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．21.设函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-bx，其中a，b是实数．已知曲线y=f（x）与x 轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：＞．【答案】解：（1）因为y=f（x）与x轴相切于坐标原点，故f'（0）=0，故b=1，（2）′，x∈[0，1]，．①当时，由于x∈[0，1]，有，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0），因此f（x）在x∈[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）=0，而且仅有f（0）=0，符合；②当a≥0时，由于x∈[0，1]，有＜，于是f'（x）在x∈[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0不符；③当＜＜时，令，，当x∈[0，m]时，＜，于是f'（x）在x∈[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在x∈[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0，不符．综上可知，所求实数a的取值范围是∞，．（3）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式＜恒成立，等价变形＜，相当于（2）中，的情形，f（x）在，上单调递减，即f（x）≤f（0）=0，而且仅有f（0）=0；取，得：对于任意正整数n都有＜成立；令n=1000得证．【解析】（1）求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出b的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出导函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性，从而求出a的范围即可；（3）问题等价于＜，结合（2），取，得：对于任意正整数n都有＜成立；令n=1000得证．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.如图所示，已知圆O的半径长为4，两条弦AC，BD相交于点E，若，BE＞DE，E为AC的中点，．（1）求证：AC平分 BCD；（2）求 ADB的度数．【答案】解：（1）由E为AC的中点，，得．又 BAE=CAB，∴△ABE∽△ACB，∴ ABE=ACB，又 ACD=ABE，∴ ACD=ACB，故AC平分 BCD．（2）连接OA，由点A是弧BAD的中点，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，，连接OB，则，∴， AOB=60°．∴°．【解析】（1）由已知可证△ABE∽△ACB，即可得到 ABE=ACB，又 ACD=ABE，从而证明 ACD=ACB，得到结论．（2）连接OA，则OA⊥BD，设垂足为点F，则点F为弦BD的中点，连接OB，可求cos AOB=的值，进而可求 AOB，及 ADB的度数．本题主要考查了相似三角形的判定及性质，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．23.已知曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0．（1）分别写出曲线C1与曲线C2的普通方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），消去参数θ可得：曲线：．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，可得直角坐标方程：曲线C2：x-y+1=0．（2）联立，得7x2+8x-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，于是．故线段AB的长为．【解析】（1）曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系消去参数θ可得曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）直线方程与椭圆联立可得7x2+8x-8=0，利用一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.已知函数f（x）=|2x-1|．（1）求不等式f（x）＜2；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求的最小值．【答案】解：（1）由f（x）＜2知|2x-1|＜2，于是-2＜2x-1＜2，解得＜＜，故不等式f（x）＜2的解集为，．（2）由条件得g（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，当且仅当，时，其最小值a=2，即m+n=2．又，所以，故的最小值为，此时，．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法，求解即可．（2）求出m+n=2，利用1的代换，结合基本不等式求的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2016届黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．18．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π11．已知数列{c n}的前n项和为T n，若数列{c n}满足各项均为正项，并且以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n}为“抛物数列”．已知数列{b n}为“抛物数列”，则（）A．{b n}一定为等比数列B．{b n}一定为等差数列C．{b n}只从第二项起为等比数列D．{b n}只从第二项起为等差数列12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，∴A∩B={0}；故选：B．2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）．【解答】解：=，故选C3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得该四棱锥是底面为正方形，高为2的正四棱锥；所以该四棱锥的体积是×42×2=．故选：B．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P（2，0）到此渐近线的距离为，可求出倾斜角α的值，进而得到a，b的关系，再由双曲线的基本性质c2=a2+b2得到a与c 的关系，得到答案．【解答】解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α所以⇒a=b，因此，故选A．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由单调区间可知f（）=1．【解答】解：∵f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴f max（x）=f（）=1，且（，1）为f（x）在第一象限内的第一个最高点，∴sin=1，=，∴ω=2．故选B．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1【考点】二次函数的性质．【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，得a2﹣2a﹣3=0，解得：a=﹣1（舍）或a=3．再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．则a+b=3+0=3．故选：A．8．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由已知可知，ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣；根据一元二次方程根与系数的关系可求a，b，进一步解方程．【解答】解：由题意ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣，∴﹣+（﹣）=，﹣×（﹣）=﹣，解得a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a≥0为x2﹣5x+6≥0，其解集为x≤2或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤2或x≥3}，故选：B．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的表面积．【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC ⊥CD ，BA ⊥AD ；三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR 2=π=8π．故选：C ．11．已知数列{c n }的前n 项和为T n ，若数列{c n }满足各项均为正项，并且以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n }为“抛物数列”．已知数列{b n }为“抛物数列”，则（） A ．{b n }一定为等比数列 B ．{b n }一定为等差数列C ．{b n }只从第二项起为等比数列D ．{b n }只从第二项起为等差数列【考点】数列的函数特性．【分析】以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，可得T n =++．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1，化为：（c n +c n ﹣1）（c n ﹣c n ﹣1﹣1）=0，由于数列{c n }满足各项均为正项，可得c n ﹣c n ﹣1=1，即可得出．【解答】解：∵以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，∴aT n =+c n +b ，即T n =++．当n=1时，ac 1=+ac 1+b ，化为﹣c 1+=0，解得c 1=或c 1=．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1=++﹣，化为：（c n +c n ﹣1）（c n﹣c n ﹣1﹣1）=0，∵数列{c n }满足各项均为正项， ∴c n ﹣c n ﹣1=1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，首项为c 1．故选：B ．12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于【考点】导数的运算．【分析】构造g（x）=f（x）sinx，根据已知条件判断g（x）与g′（x）的关系，再构造h（x）=，判断h（x）的单调性，利用单调性得出结论．【解答】解：∵[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．令g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）﹣g（x）＞0．令h（x）=，则h′（x）=＞0．∴h（x）是增函数．∴h（ln）＜h（ln），即＜，化简得f（ln）sin（ln）＜0.6f（ln）sin（ln）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为x2+（y+1）2=1．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），根据垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出m，n的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆C的标准方程．【解答】解：圆A（x﹣1）2+y2=1的圆心A（1，0），半径等于1，设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），则有=﹣1，且=﹣，解得m=0，n=﹣1，故点C（0，﹣1）．由于对称圆C的半径和圆A（x﹣1）2+y2=1的半径相等，故圆C的方程为x2+（y+1）2=1，故答案为x2+（y+1）2=1．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ，再利用两角差的正切公式求得tan （α+β）的值．【解答】解：∵tanα=﹣，cosβ=，α∈（，π），β∈（0，），∴sinβ==，tanβ==2，∴tan（α+β）===1，故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是[﹣8，+∞）．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】由题意可得﹣a≤x+（x＞0）的最小值，运用基本不等式，可得右边函数的最小值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，即为﹣a≤x+（x＞0）的最小值，由x+≥2=8，当且仅当x=4取得最小值8，即有﹣a≤8，解得a≥﹣8．故答案为：[﹣8，+∞）．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为（2，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），利用=a+b，可得cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），即可得出结论．【解答】解：由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），∵=a+b，∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可得1=a2+b2+2abcos（α﹣β）＜（a+b）2，∴a+b＞1，∴a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），∴＞＞＞2，∴的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，利用三角函数恒等变换的应用进一步化简可得，结合范围0＜A＜π，即可得解．（2）由已知及余弦定理可得1=AC2+AB2﹣AC•AB，利用基本不等式解得AC•AB≤1，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，即，∴，∴，∵0＜A＜π，∴．（2）在△ABC中，BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，且BC=1，∴1=AC2+AB2﹣AC•AB，∵AC2+AB2≥2AC•AB，∴1≥2AC•AB﹣AC•AB，即AC•AB≤1，当且仅当AC=AB=1时，AC•AB取得最大值1，此时．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点，即可得出结论；（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解答】（1）证明：直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0令，解得x=y=2∴直线l恒过定点A（2，2），（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圆心C（3，4），半径为3∴CA的斜率为2，∴l的斜率为﹣∵直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率为∴=﹣∴t=﹣∵|CA|==∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2=4．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明．（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，∵M、N分别为棱AA1、CC1的中点，∴MN∥AC，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴MN⊥BD，∵BB1⊥AC，∴MN⊥BB1，∵BB1∩BD=B，∴MN⊥平面BB1D．（2）∵AA1⊥AB，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，则M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），易求得面MDN的一个法向量为，则面QMD的一个法向量为，则，所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值为．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），+2n﹣1=（a n+1），∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1∴a n+2n﹣1=，化为a n+1=3a n+2n，变形为：a n+1+2n+1=3，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为3，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1+．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及直线方程的运用，即可得到定值．【解答】解：（1）椭圆E：的焦点为（±，0），设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=，即有椭圆C的方程为；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），则，设点P（x1，y1），则P1（x1，﹣y1），设Q（x2，y2），则P1Q方程为，令y=0，，由得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4=0，则．则，故，所以mn=4．所以mn是定值，定值为4．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．【解答】解：（1）①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；②当b＞0时，减区间为，增区间为．（2）由题意得e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）显然a≤0时，e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=e x+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）为增函数，所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；当a＞1时，h′（0）=2﹣2a＜0，又，所以一定存在，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），所以h（x）在（0，x0）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，x∈（0，x0），不满足题意．综上，a取值范围为（﹣∞，1]．2016年8月1日。

黑龙江省大庆市高三数学上学期第二次质量检测试题理(二模)(扫描版)

黑龙江省大庆市2014届高三数学上学期第二次质量检测试题理（二模）（扫描版）大庆市高三年级第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2014.1 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）43；（14）⎧⎪-⎨⎪⎩；（15）32；（16）18.三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）21()2cos 2f x x x =--1cos 21222x x +=--12cos 212x x =-- sin(2)16x π=--. …………………………3分由222262k x k πππππ-≤-≤+，得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈. …………………………6分（II ）由()0f C =，得sin(2)16C π-=， ∵0C π<<， ∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，∴3C π=，……………8分 ∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得2b a =① 由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=②，…………………10分由①②解得1,2a b ==. ……………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）∵11a =，121()n n a S n N *+=+∈，∴121(,1)n n a S n N n *-=+∈>，∴112()2n n n n n a a S S a +--=-=，∴13(,1)n n a a n N n *+=∈>， ……………………2分又2121213,3a a a a =+==，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴1113n n n a a q --=⋅=. …………………………4分∵12315b b b ++=，∴25b =，又2d =，∴123b b d =-=. ………………………6分∴32(1)21n b n n =+-=+. …………………………7分（II ）由（I ）知221315373(21)3(21)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯①∴3n T = 231335373(21)3(21)3n n n n -⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯②∴①-②得23123123232323(21)3n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯23132(3333)(2n 1)3n n -=++++⋅⋅⋅+-+⨯ 13(13)32(21)313n n n --=+⨯-+⨯-, ……………………………10分 23nn =-⋅. ……………………………11分∴3n n T n =⋅. ……………………………12分（19）（本小题满分12分）解：取AD 的中点H ，连接EH 、CH .∵2EA AD DE ===，∴ADE ∆为正三角形，∴EH AD ⊥，EH =分在Rt HDC ∆中，3CD =，1DH =，∴HC ==，在EHC ∆中，EH =HC =EC =∴222EC EH HC =+，∴90EHC ∠=，EH HC ⊥. ………………2分又∵AD ⊂平面ABCD ，HC ⊂平面ABCD ，AD HC H =，∴EH ⊥平面ABCD ， ……………………………4分又∵因为EH ⊂平面EAD ，故平面EAD ⊥平面ABCD . ……………………………6分（II ）以H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()1,0,0A ， ()1,1,0B ， ()1,0,0D -，()1,3,0C -， (E∴()2,1,0BD =--，(1,BE =--，()2,2,0BC =-， …………………………8分设平面DEB 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111200x y x y --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令11z =，则11x y ==()3,m =-，设平面CBE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n BE n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220220x y x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =222y z ==，可取()3,3,2n =， ………………………………10分从而cos ,410m nm n m n ⋅<>===⋅ 故二面角D BE C --的余弦值为8. ……………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I ）当M 的坐标为)2,0(-时，设过M 的切线方程为2-=kx y ，……………………1分联立⎩⎨⎧-==282kx y y x ，整理得01682=+-kx x ①，令0164)8(2=⨯--=∆k ，解得1±=k ， ……………………………2分 ∴MB MA ⊥，将1±=k 代入方程①得4±=x ，∴)2,4(),2,4(-B A ，∴点M 到AB 的距离为4，∴过B A M ,,三点的圆的圆心为(0,2)F ，4r =，∴圆的标准方程为16)2(22=-+y x . ……………………5分又圆心)2,0(到直线2:-=y l 的距离4d r ==，因此，圆与直线2:-=y l 相切. ………6分（II ）设切点),(),,(2211y x B y x A ，直线l 上的点为),(00y x M ，过抛物线上点),(11y x A 的切线方程为)(11x x k y y -=-，∵x y 41='，∴1411x y k x x MA ='==，从而过抛物线上点),(11y x A 的切线方程为)(4111x x x y y -=-，又切线过点),(00y x M ，∴8421010x x x y -=，即08201021=+-y x x x ，同理可得过点),(22y x B 的切线方程为08202022=+-y x x x . ……………………8分 ∵41x k MA =，42x k MB =，且21,x x 是方程082002=+-y x x x 的两实根， ∴0218y x x =，∴244021y x x k k MB MA =⋅=⋅， ……………………10分当20-=y 时，即2m =时，对直线l 上任意点M 均有MB MA ⊥，当20-≠y 时，即2m ≠，MA 与MB 不垂直，综上，当2m =时，直线l 上存在无穷多个点M ，使MB MA ⊥，当2m ≠时，直线l 上不存在满足条件的点M . ………………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）方法1：)(x f 的定义域为),0(+∞，xax a x x f -=-='11)(，……………………1分 ①若0<a ，则0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上是增函数，∵0)1()(,0)1(<-=-=>-=a a a e a ae a e f a f ，∴0)()1(<⋅a e f f ，函数)(x f 在),0(+∞有唯一零点； ………………………………2分 ②若0=a ，x x f ln )(=有唯一零点1=x ； ………………………………3分 ③若0>a ，令0)(='x f ，得ax 1=，当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故在区间),0(+∞上，)(x f 的极大值（即最大值）为1ln )1(--=a a f . ………………5分又∵01ln )1(<-=-=a a f ，∴函数)(x f 的图象不可能全在x 轴上方，从而由题意可知0)1(<a f ，即01ln <--a ，解得ea 1> 故所求实数a 的取值范围为1(,)e +∞. …………………………………6分方法2：函数)(x f 无零点⇔方程ax x =ln ，即a xx =ln 在),0(+∞上无实数解. …………1分令x x x g ln )(=，则2ln 1)(x x x g -='， …………………………………2分由0)(='x g ，得e x =.在区间),0(e 上，0)(>'x g ，函数)(x g 单调递增；在区间),(+∞e 上，0)(<'x g ，函数)(x g 单调递减，故在区间),0(+∞上)(x g 的极大值（即最大值）为ee g 1)(=， ………………5分注意到)1,0(∈x 时，()(,0)g x ∈-∞；1x =时，(1)0g =；(1,)x ∈+∞时，]1,0()(e x g ∈，故方程a x x =ln 无实数解⇔ea 1>，即所求实数a 的取值范围为1(,)e +∞. ………………………………6分（II ）由题意知，)(x f 有相异零点21,x x ，设021>>x x ，∵0)(,0)(21==x f x f ，∴0ln ,0ln 2211=-=-ax x ax x ，∴)(ln ln 2121x x a x x +=+，)(ln ln 2121x x a x x -=-， ………………………………7分原不等式221e x x >等价于2ln ln 21>+x x 等价于2)(21>+x x a ，等价于2121212ln ln x x x x x x +>--等价于212121)(2ln x x x x x x +->，令t x x =21，则1>t ，于是212121)(2ln x x x x x x +->⇔1)1(2ln +->t t t . …………………………9分设)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t ϕ，于是0)1()1()1(41)(222>+-=+-='t t t t t t ϕ， ∴函数)(t ϕ在),1(+∞上单调递增， ………………………………11分 ∴0)1()(=>ϕϕt ，即不等式1)1(2ln +->t t t 成立，故所证不等式221e x x >成立. ………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解:（I ）连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形.∵90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，∴ABE ∆∽ADC ∆. ………………2分 ∴AB AE AD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，∴AC BC AD AE ⋅=⋅………………5分（II ）∵FC 是圆O 的切线，∴2FC FA FB =⋅, …………………………………6分又2,4AF CF ==，∴8,6BF AB BF AF ==-=， …………………………………7分 ∵ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，∴AFC ∆∽CFB ∆.………………………8分则AF AC FC BC =，即2634AF BC AF AB AC CF CF ⋅⋅⨯====. ……………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=6sin 16cos 21ππt y t x （t 为参数），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2112321（t 为参数）. ………………………………3分由)4cos(22πθρ-=得：θθρsin 2cos 2+=， ………………………………4分∴θρθρρsin 2cos 22+=，∴y x y x 2222+=+，故圆C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-y x . ………………………………6分（II ）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2112321代入2)1()1(22=-+-y x 得047232=--t t 则47,232121-==+t t t t ， ………………………………8分 ∴PB PA +2314)(2122121=-+=-=t t t t t t . ……………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）5,4,1()33,4,215,.2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ ……………………………3分当4x ≤-时，由()0f x >得50x -+>，解得4x ≤-，…………………………4分当142x -<<时，由()0f x >得33x -->，解得41x -<<-，………………5分当12x ≥时，由()0f x >得50x ->，解得5x >， …………………………6分综上，得()0f x >的解集为{}1,5x x x <->或. ……………………………7分（II ）∵()3421241228f x x x x x x ++=-++=-++ ()12(28)9x x ≥-++=. …………………………8分 ∴由题意可知19a -≤，解得810a -≤≤， ……………………………9分故所求a 的取值范围是{}810a a -≤≤.…………………………10分。

黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(理科)

2016年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M ∩N=（） A ．{0} B ．{2} C ．{﹣2，﹣1，1，2} D ．{﹣2，2} 2．复数﹣的实部与虚部的和为（） A ．﹣ B ．1C ．D ．3．已知命题：p “∃x 0∈R ，x 02+2ax 0+a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．[0，1] C ．（1，2） D ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s 1，s 2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲 8 1114 15 22乙 6 7 10 23 24 A ．s 1＞s 2 B ．s 1＜s 2C ．s 1=s 2D ．s 1，s 2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A ．81B ．C ．D ．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣ B．5 C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a ﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④9．已知正项等比数列{an }满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，] B．[﹣1，] C．[0，] D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l 于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f（0）=﹣1，则不等式f （x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

黑龙江省大庆市高三数学第二次教学质量检测(二模)试题理(扫描版)

黑龙江省大庆市2015届高三数学第二次教学质量检测（二模）试题理（扫描版）大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案13．e 14．120︒ 15．2 16．1三．解答题（本题共6大题，共70分）17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =.② ……………………2分联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分所以31n a n =-. ……………………6分（Ⅱ）因为2n an b =，所以……………………8分所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分由等比数列前n 项和公式得，……………………12分18.（本小题满分12分）为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,所以1分又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分以……………………4因为(0,C π∈， ……………………5分以 (6)（）……………已知 (9)，所以……………………10分①② 故()f A 的取值范围是……………………12分 19（本小题满分12分）（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，故OC ⊥平面ABEF .因为OF ⊂面ABEF，于是OC OF ⊥. ……………………2分又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分所以O E F ⊥. ……………………6分 2AB 2,0,0)，从而(CE =-(0,EF =-的法向量(,,)n x y z =00nCE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ (1,0,2)n=的一个法向量(1,2,0)m =，设,m n 的夹角为13m n m n ⋅=，…………………………11分由于二面角F CE B --为钝二面角，所以所求余弦值为 …………………………12分20（本小题满分12分）解：（I ，可得1p =，故抛物线方程为22y x =. …………………………4分（II ），所以222a a t +=，由于0t >，故有① …………………………6分由点(0,),(,0)B t C c 的坐标知，直线BC 的方程为又因为点A 在直线上，故有 …………………………8分解得2)+ …………………………10分所以直线CD 的斜率或………………12分21（I 整理得1) …………………………1分令'()0f x =得0x =，1x =，当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下表：x(1,0)- 0 (0,1) 1 (1,)+∞ '()f x+ 0 - 0 + ()f x极大值极小值…………………………3分计算得(0)0f =，所以函数()y f x =在0x =处取到极大值0，在1x =处取到极小值………………………4分（II （1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b . ………………………6分（2）当0a >时，令'()0f x =，有10x =，（i ）当时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意. ………………………7分，只需(1)0f ≥，解值范围是函数()f x 的围是（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ＝行．因为AB AC ＝，所以ABC ACB ＝行，所以ABC BAE ＝行，所以A E B ∥． ……………………… 3分因为BD AC ∥，所以四边形ACBE 为平行四边形． ……………………… 5分（Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EBBD =?，即26(5)EB EB =?，解得4BE =， ………………………7分根据（Ⅰ）有4,6AC BE BC AE ====，设CF x =，由BD AC ∥，解即…10分（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）曲线可化为 ………………………2分其轨迹为椭圆，焦点为12(1,0),(1,0)F F -. ………………………3分经过和2(1,0)F 的直线方程为,即………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2AF 的斜率为，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为角为30︒，所以l 的参数方程为（t 为参数）， ………………………7分代入椭圆C 的方程中，得………………………8分因为,M N 在点1F 的两侧，所以………………………10分（24）（本小题满分10分）（Ⅰ）因为，所，所以33m x m --≤≤-，……………3分由题意知3531m m --=-⎧⎨-=-⎩ ，所以2m =. ………………………5分（Ⅱ）因为()f x 图象总在()g x 图象上方，所以()()f x g x >恒成立，即恒成立， ………………………7分当且仅当(2)(3)0x x -+≤时等式成立，…9分所以m 的取值范围是(,5)-∞. ………………………10分。

2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥04．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．6 B．3 C．4 D．25．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．32 B．62 C．27 D．816．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣17．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？8．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥09．设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．10．已知P是△ABC所在平面内一点，4+5+3=，现将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．11．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 B．24 C．16 D．12．已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．14．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．18．为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．19．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，．（1）求证：OD⊥面ABC；（2）求点M到平面ABD的距离．20．己知椭圆方程C： +=1（a＞b＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a、b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（1）当a=1时，求f（x）的极大值点和极小值点；（2）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC另外的交点分别为D，E，且DF⊥AC于F．（Ⅰ）求证：DF是⊙O的切线；（Ⅱ）若CD=3，，求AB的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．2016年黑龙江省大庆实验中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．2．已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简z，求得的坐标得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，∴z的共轭复数对应的点的坐标是（﹣2，﹣1），在第三象限．故选：C．3．已知f（x）=3sinx﹣πx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0C．p是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）＞0D．p是真命题，￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0【考点】复合命题的真假；命题的否定．【分析】由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x可判断p的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知￢p．【解答】解：由三角函数线的性质可知，当x∈（0，）时，sinx＜x∴3sinx＜3x＜πx∴f（x）=3sinx﹣πx＜0即命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0为真命题根据全称命题的否定为特称命题可知￢p：∃x0∈（0，），f（x0）≥0故选D4．将奇函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．6 B．3 C．4 D．2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得y=Asinω（x+）为奇函数，故有sin（ω•）=0，由此求得ω的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）为奇函数，A≠0，ω＞0，﹣＜ϕ＜，可得f（0）=Asinϕ=0，∴ϕ=0，函数f（x）=Asinωx．把f（x）的图象向左平移个单位得到y=Asinω（x+）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得y=Asinω（x+）为奇函数，故有sin（ω•）=0，∴ω•=kπ，k∈z．结合ω＞0，以及所给的选项，可得ω=6，故选：A．5．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．32 B．62 C．27 D．81【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前n项和公式得答案．【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，又a1=2，则a2=2q，a4+2=2q3+2，a5=2q4，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴4q3+4=2q+2q4，∴2（q3+1）=q（q3+1），由q＞0，解得q=2，∴．故选：B．6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且当x∈[0，1]，f（x）=log2（x+1），则f（31）=（）A．0 B．1 C．2 D．﹣1【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为4的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1﹣x），∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），即f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（31）=f（32﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣log22=﹣1，故选：D．7．若如图框图所给的程序运行结果为S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，当k=5时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，第1次循环，S=11，K=9，满足条件，执行循环体，第2次循环，S=20，K=8，满足条件，执行循环体，第3次循环，S=28，K=7，满足条件，执行循环体，第4次循环，S=35，K=6，满足条件，执行循环体，第5次循环，S=41，K=5，此时S不满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞5．故选：C．8．设x，y满足约束条件，则下列不等式恒成立的是（）A．x≥3 B．y≥4 C．x+2y﹣8≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则C（2，3），B（2，5），则x≥3，y≥4不成立，作出直线x+2y﹣8=0，和2x﹣y+1=0，由图象可知2x﹣y+1≥0不成立，恒成立的是x+2y﹣8≥0，故选：C．9．设F1，F2为椭圆=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2⊥x轴，|PF2|=，|PF1|=，计算即可所求值．【解答】解：椭圆=1的a=3，b=，c==2，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x=2，可得y=±•=±，即有|PF2|=，|PF1|=6﹣=，则=．故选：C．10．已知P是△ABC所在平面内一点，4+5+3=，现将一粒红豆随机撒在△ABC 内，则红豆落在△PBC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据4+5+3=，计算△PBC的面积，代入几何概型概率公式，可得答案．【解答】解：令=4，=5，=3，则∵4+5+3=，∴++=，即P为△DEF的重心，此时△PDE，△PEF，△PDF的面积相等，则△PDE的面积是△PBC的20倍，△PEF的面积是△PAC的15倍，△PDF的面积是△PAB的12倍，故△ABC的面积是△PBC的4倍，故将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是，故选：A．11．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 B．24 C．16 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．【解答】解：由三视图可知该几何体为棱长为2正方体ABCD﹣A′B′C′D′切去几何体AEF﹣A′B′D′得到的．其中E，F分别是AB，AD的中点，如图，∴S=+2×2﹣+++2×2+2×2+×（+2）×=20．故选A．12．已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】可以根据函数f（x）满足f（x）=f（3x），求出x∈[3，9）上的解析式，在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，可转化成“f（x）﹣ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解”，最后转化成y=a与h（x）=的图象有三个交点，根据函数的单调性画出函数h（x）的图象，即可求出所求．【解答】解：设x∈[3，9），则∈[1，3）∵x ∈[1，3），f （x ）=lnx ，∴f （）=ln ，∵函数f （x ）满足f （x ）=f （3x ），∴f （）=f （x ）=ln ，∴f （x ）=，∵在区间[1，9）内，函数g （x ）=f （x ）﹣ax 有三个不同零点，∴f （x ）﹣ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a=有三个解，则y=a 与h （x ）=的图象有三个交点，当x ∈[1，3），h （x ）==，则h ′（x ）==0，解得x=e ，∴当x ∈[1，e ）时，h ′（x ）＞0，当x ∈（e ，3）时，h ′（x ）＜0即函数h （x ）==在[1，e ）上单调递增，在（e ，3）上单调递减，∴当x=e 处，函数h （x ）==在[1，3）上取最大值，当x ∈[3，9），h （x ）==，则h ′（x ）==0，解得x=3e ，∴当x ∈[3，3e ）时，h ′（x ）＞0，当x ∈（3e ，9）时，h ′（x ）＜0即函数h （x ）==在[3，3e ）上单调递增，在（3e ，9）上单调递减，∴当x=3e 处，函数h （x ）==在[3，9）上取最大值，根据函数的单调性，以及h （1）=0，h （e ）=，h （3）=0，h （3e ）=，h （9）=，画出函数的大值图象，根据图象可知y=a 与h （x ）在[1，3）上一个交点，在[3，3e ）上两个交点，∴在区间[1，9）内，函数g （x ）=f （x ）﹣ax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（，）．故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．已知sin α=+cos α，且α∈（0，），则的值为 ﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sin α和cos α的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sin α=+cos α，得到sin α﹣cos α=①，又sin 2α+cos 2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sin α=，cos α=，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α=﹣，sin （α﹣）=（sin α﹣cos α）=，则==﹣．故答案为：﹣14．在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=2，点D 为AC 中点，点E 满足，则= ﹣2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．15．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．16．若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式f（x）＞+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x＞3，设g（x）=e x f（x）﹣e x，导数法可判g（x）的单调性，可得不等式的解集．【解答】解：不等式f（x）＞+1可化为e x f（x）﹣e x＞3设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）﹣e x＞3，∴g（x）＞3，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴原不等式的解集为{x|x＞0}故答案为：{x|x＞0}三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b．c，且满足2bsin（C+）=a+c．（I）求角B的大小；（Ⅱ）若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinBsinC=cosBsinC+sinC，由于sinC≠0，可得sinB=cosB+1，两边平方，利用同角三角函数基本关系式可得2cos2B+cosB﹣1=0，解得cosB，即可求得B的值．（2）设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．【解答】解：（I）2bsin（C+）=a+c⇒2b（sinC+cosC）=a+c⇒bsinC+bcosC=a+c⇒sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC=sin（B+C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC⇒sinBsinC=cosBsinC+sinC，（sinC≠0）⇒sinB=cosB+1，⇒3sin2B=cos2B+1+2cosB，⇒2cos2B+cosB﹣1=0，⇒cosB=或﹣1（由于B∈（0，π），舍去），⇒B=（Ⅱ）设AB=c、BC=a，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，在△ABM中同理可得：AM2=（）2+c2﹣2•ccosB=+c2﹣ac，因为AM=AC，所以：a2+c2﹣ac=+c2﹣ac，化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2﹣2accosB，可得：AC2=a2+（）2﹣a•=a2，解得：AC=a，在△ABC中，由正弦定理得，解得：sin∠BAC===．18．为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析可得各组的频率，计算可得图中各组的纵坐标，即可得频率分布直方图；（Ⅱ）该单位员工月平均工资为各小矩形的面积与相应的底边中点的横坐标乘积之和；（Ⅲ）计算从6名女员工中随机抽取2名的抽法种数，再计算这2人月工资差不超过1000元的抽法种数，利用古典概型概率公式计算．【解答】解：（Ⅰ）如图（Ⅱ）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（百元）即该单位员工月平均工资估计为4300元．（Ⅲ）由上表可知：月工资在[25，35）组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[45，55）组的有四名女工，分别记作A ，B ，C ，D ．现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：（甲，乙），（甲，A ），（甲，B ），（甲，C ），（甲，D ），（乙，A ），（乙，B ），（乙，C ），（乙，D ），（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）共7组，∴所求概率为．19．如图，菱形ABCD 的边长为6，∠BAD=60°，AC ∩BD=O ．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B ﹣ACD ，点M 是棱BC 的中点，．（1）求证：OD ⊥面ABC ；（2）求点M 到平面ABD 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据题意给出的条件得出OD ⊥AC ．OD ⊥OM ，运用直线平面的垂直判定定理可证明．（2）V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，运用等积法求解距离问题．【解答】证明：（1）由题意，OM=OD=3，∵DM=3，∴∠DOM=90°，OD ⊥OM ，又∵菱形ABCD ， ∴OD ⊥AC ． ∵OM ∩AC=O ， ∴OD ⊥平面ABC（2）由（1）知OD=3为三棱锥D ﹣ABM 的高．△ABM 的面积为S △ABM =×sin120°==，又 AB=AD=6，BD=3所以S △ABD =×=，V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，•d=×3，d=．20．己知椭圆方程C ：+=1（a ＞b ＞0），经过点（1，），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆于M ，N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题设知a=，所以+=1，椭圆经过点P （1，），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程；（2）设AM 、AN 的方程，代入椭圆方程，求出M ，N 的坐标，进而可得MN 恒过定点（0，0）．【解答】解：（1）∵椭圆两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．∴a=b ，∴+=1，又∵椭圆经过点P （1，），代入可得b=1，∴a=，故所求椭圆方程为+y 2=1；（2）直线MN 过定点（0，0），证明：设过椭圆右顶点A （，0）的直线l 1的方程为y=k 1（x ﹣），代入椭圆方程，消去y ，得（1+2k 12）x 2﹣4k 12x +4k 12﹣2=0，则x M=，y M=k1x M﹣k1=﹣，则M（，﹣），由于l2的方程为y=k2（x﹣），且k1•k2=﹣，代入椭圆方程，则将上面的k1换成﹣，有N（﹣，），则有M，N两点关于原点对称，连接MN，必过原点（0，0）．故直线MN恒过定点（0，0）．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+bx（其中a、b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．（1）当a=1时，求f（x）的极大值点和极小值点；（2）若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过求解函数的导数，结合函数的极值点，求出b，然后通过函数的单调性求解极值点即可．（2）通过f′（x）=0求出x1=1，x2=，然后讨论当＜0时，f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），求出a．（ⅱ）当a＞0时，①当＜1时，利用f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增，求出a=．②当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增，求解a即可．③当x2=≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，求解a即可．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为f（x）=lnx+ax2+bx，所以f′（x）=+2ax+b．因为函数f（x）=lnx+ax2+bx在x=1处取得极值，f′（1）=1+2a+b=0．当a=1时，b=﹣3，f′（x）=，所以f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+∞），单调递减区间为（，1）﹣﹣﹣﹣所以f（x）的极大值点为，f（x）的极小值点为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）因为f′（x）==（x＞0），令f′（x）=0得，x1=1，x2=，因为f（x）在x=1处取得极值，所以x2=≠x1=1，（ⅰ）当＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），令f（1）=1，解得a=﹣2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（ⅱ）当a＞0时，x2=＞0，①当＜1时，f（x）在（0，）上单调递增，（，1）上单调递减，（1，e）上单调递增，所以最大值1可能在x=或x=e处取得，而f（）=ln+a（）2﹣（2a+1）•=ln﹣﹣1＜0，所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当1≤＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，）上单调递减，（，e）上单调递增，所以最大值1可能在x=1或x=e处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，所以f（e）=lne+ae2﹣（2a+1）e=1，解得a=，与1＜x2=＜e矛盾；③当x2=≥e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a﹣（2a+1）＜0，矛盾．综上所述，a=或a=﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣请考生在第22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在锐角三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O与边BC，AC另外的交点分别为D，E，且DF⊥AC于F．（Ⅰ）求证：DF是⊙O的切线；（Ⅱ）若CD=3，，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连结AD，OD．证明OD∥DF，通过OD是半径，说明DF是⊙O的切线．（Ⅱ）连DE，说明△DCF≌△DEF，以及切割线定理得：DF2=FE•FA，求解AB=AC．【解答】解：（Ⅰ）连结AD，OD．则AD⊥BC，又AB=AC，∴D为BC的中点，而O为AB中点，∴OD∥AC又DF⊥AC，∴OD∥DF，而OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（Ⅱ）连DE，则∠CED=∠B=∠C，则△DCF≌△DEF，∴CF=FE，设CF=FE=x，则DF2=9﹣x2，由切割线定理得：DF2=FE•FA，即，解得：（舍），∴AB=AC=5．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|•|PB|=7．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．【考点】基本不等式；函数的定义域及其求法．【分析】（I）利用绝对值不等式的性质即可得出．（II）利用柯西不等式的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．2016年8月20日。

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大庆市高三年级第二次教学质量检测试题理科数学2020.01注意事项 :1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 Ax | x 1 , B x | x 2 x 0 , 则下列结论正确的是A. A Bx | x 0B.A B R C. A B x | x 1D.A B2. 若复数 z 满足 (1i )z2i ,则 z z1 B.1 D. 4A.C. 2423. 给出如下四个命题：① 若 “p 且 q ”为假命题 ,则p, q均为假命题 .② 命题 “若 ab ,则 2a2b1”的否命题为 “若 ab ,则 2a2b1 ”.③ 命题 “x R, x 21”“x R, x 21 1”.1 的否定是④ 在ABC ABsin A sin B”的充要条件．中, “”是 “其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知 a2 ,向量 a 在向量 b 上的投影为 - √3,则 a 与 b 的夹角为A.B.C.2D.56336ln x 5. 函数 f (x)的图象可能是xA. B.C. D.6. 已知 m, n 是空间两条不同的直线，, 是空间两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若 , m ,则 m // .B. 若 m // , n m,则 n.C. 若 m, n // , m n,则.D. 若 m // , m, n,则 m // n .7. 已知各项均不为 0 的等差数列 a n22a 11 0 ，数列 b n 为等比数列，，满足 2a 3 a 7 且 b 7 a 7 ，则 b 1b13A. 16B. 8C.4D.28. 某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为 2 的正方形，三视图中的曲线均为1圆周，则该组合体的体积为正视图侧视图4A. 2B.48833C.24 6D.24 2俯视图9. 函数 f (x) sin( x)(0,) 的最小正周期为 π,若其图象向右平移个单位后得26到的函数为奇函数 ,则函数 f (x) 的图象A. 关于点 ( 7,0) 对称B. 关于点 ( ,0) 对称1212C. 关于直线 x对称 D. 关于直线 x7对称121210.已知数列 a n的通项公式为 a n (3a) n3, n7, n N，且 a n a n 1 ,n N .a n6 , n 7,n N则实数 a 的取值范围是A. (9,3) B. [9,3) C.(1,3) D. (2,3)441 x23 x11. 已知点O, F分别为抛物线C : y的顶点和焦点，直线 y 1 与抛物线交于A, B两点，44连接 AO, BO 并延长，分别交抛物线的准线于点P,Q ，则BP AQ251725D.19A. B. C.344312.设 A, B,C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，在ABC 中，BC6, BAC 60 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为A.123B.183 C. 243 D. 543第Ⅱ卷（非选择题共 90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .13. e 11dx.2x1[ 0, 3] 时， f (x)14.已知定义域为 R 的函数 f ( x)，满足 f ( x 3) f (x) ，且当x x ，则2f (2020).15.已知 O 是 ABC 的外心，C450，OC 2mOA nOB, (m, n R) ，则14的最m2n2小值为.16.已知双曲线 C : x2y21(a0,b0) 的右顶点为 A ,且以 A 为圆心，双曲线虚轴长为直a2b2径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B, C 两点，若BAC [, 2] ，则双曲线C的离心33率的取值范围是.三、解答题：共70 分 .解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的公差d0 ，其前n项和为S n，若S3 6 ，且 a1, a2 ,1a3成等比数列.（ 1）求数列a n的通项公式；（ 2）若b n a n 2 a n，求数列b n的前n项和 T n.18.（本小题满分 12 分）已知函数f(x 3 sin x cos x2(x)1, x R.)sin22（ 1）若,(0,), 且 f ()5, f (2) 3 10, 求sin() 的值；22125610（ 2）在ABC 中，角A, B, C的对边分别为a,b,c，满足 c3, f (C ) 1，求 a b 的取值范围 .19.（本小题满分 12 分）如图，已知在矩形ABCD 中， E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 折起到A1DE ( A1平面ABCD )的位置，M为线段A1C的中点 .（1）求证：BM //平面A1DE；（ 2）已知AB2AD 2 2 ，当平面 A1DE平面 ABCD 时，求直线 BM 与平面A1DC所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）平面内有两定点A(0, 1), B( 0,1) ，曲线C上任意一点 M ( x, y) 都满足直线AM与直线BM的斜率之积为1过点 F (1,0) 的直线l与曲线C交于 C, D 两点，并与y轴交于点P，直线AC ,2与BD交于点 Q.（1）求曲线C的轨迹方程；（2）当点P异于A, B两点时，求证 : OP OQ为定值 .21.（本小题满分 12 分）（ 1）已知f ( x)xe x , x R ，求函数 f ( x) 的单调区间和极值；（ 2）已知a0 ，不等式x a 1e x aln x0（其中e为自然对数的底数）对任意的实数x 1恒成立，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22. （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 过点(1,0)，倾斜角为60,在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为26. 2sin2（ 1）写出直线l的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程；（ 2）若直线l与曲线C相交于A, B两点，设点F (1,0)，求11FA 的值 .FB 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f ( x) x a2x1, a R.（ 1）当a 1时，求不等式 f (x) 3 的解集；（ 2）设关于x的不等式f ( x)2x1的解集为 M ，若[ 1,1]M ，求实数 a 的取值范2围 .。

黑龙江省大庆中学2016届高三上学期期末考试数学(理)试

大庆中学2015—2016学年上学期期末高三数学（理科）试题考试时间：120分钟分数：150分一、选择题（共12个小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．已知{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩则M N ⋂=( ) A ．{(1,1),(1,1)}- B ．{1} C． D ． [0,1]2．i 为虚数单位，则201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( ) A. i B. 1- C. i - D.13．等差数列{}n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为( ) A ．10B ．9C ．8D ．74．已知2)tan(-=-απ,则=+αα2cos 2cos 1( )A ．3-B ．52 C ．3 D ．25-5．若x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥+-0402201y x y x y x ,则y x 2+的最大值为( )A ．132B ．6C ．11D ．106．已知直线n m ,和平面α，则n m //的必要非充分条件是( ) A ．n m ,与α成等角 B ．αα⊥⊥n m , C ．αα⊂n m ,// D ．αα//,//n m7.下列四个判断：①若两班级的人数分别是,m n ，数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②命题p ：01,2>-∈∀x R x ，则命题p 的否定是01,2≤-∈∃x R x ;③p ：),(2R b a ab b a ∈≥+q ：不等式x x >的解集是(－∞，0), 则‘p ∧q ’为假命题;④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=.其中正确判断的个数有： ( )A ．3个B ．0个C ．2 个D ．1个 8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )C ．D ．﹣ 1A ．2B ．1C ．21D ．1-9．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．312+B ．328+C ．344+D ．1610．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上,2,1,32===AC AB SA ,OBAC 60=∠, ⊥SA 面ABC,则球O 的表面积为( ) A ．4π B ．12π C ．16πD ．64π11．过原点的直线l 与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右两支分别相交于A ，B两点，)0,3(-F 是此双曲线的左焦点，若4||||=+FB FA ，0=∙则此双曲线的方程是（）A ．1222=-y x B ．13422=-y x C ．1422=-y x D ．14822=-y x 12．设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=,其中0>x ,存在0x 使得54)(0≤x f 成立, 则实数a 的值是( )A ．51B ． 52C ．21 D ．1二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量)3,(),1,0(),1,3(k c b a =-==→→→,→→-b a 2与→c 共线，则k =__________．14. 已知⎰=62xdx a ,则axx )1-（的二项展开式中常数项为 . 15. 已知数列{}n a 中, 11=a ,231+=+n n a a ,则=n a ．16. 已知过定点)0,2(的直线l 与曲线22x y -=交于B A ,两点, O 为坐标原点,则AOB ∆面积最大时,直线的倾斜角是 .三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知ABC ∆是圆O (O 是坐标原点)的内接三角形,其中)23,21(),0,1(--B A ,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,(1)若点)22,22(-C ,求COB ∠cos ; (2)若点C 在优弧AB 上运动,求b a +的最大值.18．如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,平面⊥BC A 1侧面11ABB A ,且21==AB AA .(1)求证: BC AB ⊥;(2)若直线AC 与平面BC A 1所成的角为6π,求锐二面角B C A A --1的大小.19．前不久，省社科院发布了2015年度“全省城市居民幸福排行榜”，我市成为本年度最“幸福城”．随后，我校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C相交于两点B A , （1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足OB OA OM 2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21．已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0 的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=.（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、2倍后得到曲线2C .试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5，不等式选讲已知函数()|1||f x x x a =-+-（1）若a=1，解不等式()2f x ≥；（2）若1,,()|1|2a x R f x x >∀∈+-≥，求实数a 的取值范围。

(全优试卷)黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学(理)试题Word版含答案

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.( )A．1 D．-13.( )A．1 B．3 C．9 D．12 4.A5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．AB BC6.0,2,23A．2 B．7.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A8.( )A9.( )A．210.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：0.3A．① B．② C.③ D．④11.22个零点其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C.3 D．412.为( )A．1 B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的系数为（用数字作答）1415.则三棱外接球的体积为．16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(I)(II)200项和.18.为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:(I) 根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关;（II)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3.19. 如图，(Ⅰ)(Ⅱ)20. 四个顶点构成的四边形的面积是4.(Ⅰ)(Ⅱ)).证明: .21.(I) ;(II) .23.(本小题满分10 分) 选修4-5: 不等式选讲(I );(II ).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程(I );(Ⅱ).23.选修4-5：不等式选讲大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5:BDCCA 6-10: BDAAB 11、12：CD二、填空题三、解答题17.解：（Ⅰ)(Ⅱ)10项；50项；138项.20018.解：90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.0，1，2，3这319.(Ⅰ）证明：由题意可知，解：(Ⅱ)如图90°.20.解：21.解：（Ⅰ)....22.解：23.解：.。

黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测理科数学试题及答案

黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学试题理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D.2. 复数的实数为( )A. B. -2 C. 1 D. -13. 若满足，则的最大值为( )A. 1B. 3C. 9D. 124. 执行下面的程序框图，则输出的=( )A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. 6 C. D.6. 在中，,为的中点，则=( )A. 2B. -2C.D.7. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A. B. C. D.8. 函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是( )A. B. C. D.9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 210. 下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：④寿命超过的频率为0.3A. ①B. ②C. ③D. ④11. 已知函数，下列关于的四个命题；①函数在上是增函数②函数的最小值为0③如果时，则的最小值为2④函数有2个零点其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知函数，若方程有解，则的最小值为( )A. 1B. 2C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 二项式展开式中的系数为__________（用数字作答）14. 已知，若，则__________．15. 已知三棱锥平面，为等边三角形，,则三棱锥外接球的体积为__________．16. 已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.(I)求(II)求数列的前200项和.18. 为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:小时(I) 根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关;（II)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数的分布列和数学期望.参考公式：19. 如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面(Ⅰ)求证：;(Ⅱ)求二面角的大小.20. 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线的斜率为,直线的斜率分别为，且(其中为坐标原点).证明: 直线的斜率为定值.21. 已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围.黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学试题理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故选B.2. 复数的实数为( )A. B. -2 C. 1 D. -1【答案】D【解析】∵复数∴复数的实数为故选D.3. 若满足，则的最大值为( )A. 1B. 3C. 9D. 12【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域如图所示：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，此时，有最大值为.故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 执行下面的程序框图，则输出的=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得程序的作用是求和.故选C.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. 6 C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，如图所示：其中，平面，，.∴，，∴该几何体的表面积为故选A.6. 在中，,为的中点，则=( )A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】∵为的中点∴，∵∴故选B.7. 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵弦图中“弦实”为16，“朱实一”为∴大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为设“勾”为，“股”为，则，解得或.∵∴，即.∴∴小正方形的边长为∴随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为. 故选D.8. 函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】∵函数∴令，则.∴当时，，即函数的一个单调增区间为.故选A.9. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点∴∵∴∵∴，则.∴，即.∵∴故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．10. 下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )①寿命在300-400的频数是90；②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：④寿命超过的频率为0.3A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】若①正确，则对应的频率为，则对应的频率为，则②错误；电子元件的平均寿命为，则③正确；寿命超过的频率为，则④正确，故不符合题意；若②正确，则对应的频率为，则①错误；电子元件的平均寿命为，则③错误；寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.故选B.11. 已知函数，下列关于的四个命题；①函数在上是增函数②函数的最小值为0③如果时，则的最小值为2④函数有2个零点其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】∵函数∴∴令，得，即函数在上为增函数；令，得或，即函数在，上为减函数.∵函数在上恒成立∴当时，，且函数的零点个数只有一个.当时，，则要使时，则的最小值为2，故正确.综上，故①②③正确.故选C.12. 已知函数，若方程有解，则的最小值为( )A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】∵函数∴∵∴当时，，则函数在上减函数；当时，，则函数在上增函数.∴当时，∵方程有解∴的最小值为故选D.点睛：已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 二项式展开式中的系数为__________（用数字作答）【答案】60.【解析】二项式的展开式的通项公式为.令，则.∴展开式中的系数为故答案为.14. 已知，若，则__________．【答案】2.【解析】∵∴∴故答案为.15. 已知三棱锥平面，为等边三角形，,则三棱锥外接球的体积为__________．【答案】.【解析】根据已知中底面是边长为3的正三角形，平面，，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球.∵是边长为3的正三角形∴外接圆的半径为，球心到的外接圆圆心的距离为.∴球的半径为∴三棱锥外接球的体积为故答案为.点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解决的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.16. 已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则__________．【答案】.【解析】设，则，.∵抛物线的焦点，点，且∴，即.∵∴∴故答案为.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.(I)求(II)求数列的前200项和.【答案】（Ⅰ) ；；.(Ⅱ)524.【解析】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，由，，可得，从而可求出数列的通项公式，再根据，其中表示不超过的最大整数，即可分别求得；（Ⅱ）分别求出当时，当时，当时，当时，数列，，，的项数，即可求得数列的前200项和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为由已知，根据等差数列性质可知：∴.∵，所以∴∴，，.(Ⅱ)当时，，共2项；当时，，共10项；当时，，共50项；当时，，共138项.∴数列的前200项和为.18. 为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:小时(I) 根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关;（II)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数的分布列和数学期望.参考公式：【答案】（Ⅰ）没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.(Ⅱ) 的分布列为.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据列联表，计算出，即可作出判断；（Ⅱ）可取值0，1，2，3，分别求出，，，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）由列联表得：；由于，所以没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.(Ⅱ)可取值0，1，2，3,,，,所以的分布列为这3人中使用国产手机的人数的数学期望为.19. 如图，在矩形中，,,是的中点，将沿向上折起，使平面平面(Ⅰ)求证：;(Ⅱ)求二面角的大小.【答案】(Ⅰ）见解析；(Ⅱ) 90°.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意可得，的值，可推出，根据平面⊥平面且是交线，即可证明⊥平面，从而证明；(Ⅱ) 设中点为,中点为,连接，可推出，则⊥平面，即可以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式即可得结果.试题解析：（Ⅰ）证明：由题意可知，,.∴在中,,所以；∵平面⊥平面且是交线，平面∴⊥平面∵平面∴.(Ⅱ) 解：设中点为,中点为,连接.∴∴⊥平面∴，.∵∴以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图则，从而, ,.设为平面的法向量，则，可以取.设为平面的法向量，则可以取.因此，，有，即平面⊥平面.故二面角的大小为90°.点睛：本题主要考查线线垂直及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.20. 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线的斜率为,直线的斜率分别为，且(其中为坐标原点).证明: 直线的斜率为定值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线的斜率为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4，列出，结合，即可求得，的值，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，点的坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理可得，，从而表示出，再将化简，即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）由题意得，又，解得.所以椭圆的方程为（Ⅱ）设直线的方程为，点的坐标分别为，由，消去得，，则.∴，∵∴，即.又∴又结合图象可知，.∴直线的斜率为定值.21. 已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，令，由，可得有两个不同解，结合函数的定义域，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）当时，恒成立等价于当时，恒成立，令，求导得，设，利用导数研究函数的单调性，从而可确定，然后对分类讨论，即可求得的取值范围. ... ... ... ... ... ... ... ... ...试题解析：（Ⅰ）∵，函数定义域为：∴令，由可知，从而有两个不同解.令，则当时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立.令，求导得，设，则，∵∴∴，∴在上单调递增，即在上单调递增，∴①当时，，此时，在上单调递增，而.∴恒成立，满足题意.②当时，，而根据零点存在性定理可知，存在，使得.当时，单调递减；当时，，单调递增.∴有，∴恒成立矛盾∴实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.【答案】（Ⅰ）圆的极坐标方程为，的平面直角坐标方程为；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据，，即可得到的极坐标方程和的平面直角坐标方程；（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得，，即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，∵圆的普通方程为，∴把代入方程得，，∴的极坐标方程为，的平面直角坐标方程为；（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得；，.∴的面积为∴的面积为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时,不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式的解集；（Ⅱ）当时，，设，求出在上的最大值，即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，需解不等式.当时，上式化为，解得；当时，上式化为，无解；当时，①式化为，解得.∴的解集为或.（Ⅱ）当时，，则当，恒成立.设，则在上的最大值为.∴，即，得.∴实数的取值范围为.。

黑龙江省大庆市高三数学上学期第二次质量检测试题理(

黑龙江省大庆市2014届高三数学上学期第二次质量检测试题理（二模）（扫描版）大庆市高三年级第二次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2014.1 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）43；（14）1,2⎧⎪-⎨⎪⎩；（15）32；（16）18.三. 解答题（17）（本小题满分12分）解：（I ）21()sin 2cos 22f x x x =--1cos 21222x x +=--12cos 212x x =-- sin(2)16x π=--. …………………………3分由222262k x k πππππ-≤-≤+，得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈. …………………………6分（II ）由()0f C =，得sin(2)16C π-=，∵0C π<<， ∴112666C πππ-<-<，∴262C ππ-=，∴3C π=，……………8分∵sin 2sin B A =，由正弦定理，得2ba=①由余弦定理，得2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=②，…………………10分由①②解得1,2a b ==. ……………………………12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）∵11a =，121()n n a S n N *+=+∈，∴121(,1)n n a S n N n *-=+∈>，∴112()2n n n n n a a S S a +--=-=，∴13(,1)n n a a n N n *+=∈>， ……………………2分又2121213,3a a a a =+==，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，∴1113n n n a a q --=⋅=. …………………………4分∵12315b b b ++=，∴25b =，又2d =，∴123b b d =-=. ………………………6分 ∴32(1)21n b n n =+-=+. …………………………7分（II ）由（I ）知221315373(21)3(21)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯①∴3n T = 231335373(21)3(21)3n nn n -⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯② ∴①-②得23123123232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯23132(3333)(2n 1)3n n -=++++⋅⋅⋅+-+⨯13(13)32(21)313n n n --=+⨯-+⨯-, ……………………………10分 23nn =-⋅. ……………………………11分∴3nn T n =⋅. ……………………………12分（19）（本小题满分12分）解：取AD 的中点H ，连接EH 、CH .∵2EA AD DE ===，∴ADE ∆为正三角形，∴EH AD ⊥，3EH =分在Rt HDC ∆中，3CD =，1DH =，∴22223110HC CD DH =+=+= 在EHC ∆中，3EH =10HC =，13EC =∴222EC EH HC =+，∴90EHC ∠=o，EH HC ⊥. ………………2分又∵AD ⊂平面ABCD ，HC ⊂平面ABCD ，AD HC H =I ，∴EH ⊥平面ABCD ， ……………………………4分又∵因为EH ⊂平面EAD ，故平面EAD ⊥平面ABCD . ……………………………6分（II ）以H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()1,0,0A ， ()1,1,0B ，()1,0,0D -，()1,3,0C -，(E∴()2,1,0BD =--u u u r，(1,BE =--u u u r ，()2,2,0BC =-u u u r， …………………………8分设平面DEB 的法向量为()111,,m x y z =u r ，则00m BD m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即11111200x y x y --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令11z =，则11x y ==()m =u r，设平面CBE 的法向量为()222,,n x y z =r ，则00n BE n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即222220220x y x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =222y z ==，可取)n =r， ………………………………10分从而cos ,m n m n m n ⋅<>===⋅u r ru r r u r r ，故二面角D BE C --……………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I ）当M 的坐标为)2,0(-时，设过M 的切线方程为2-=kx y ，……………………1分联立⎩⎨⎧-==282kx y y x ，整理得01682=+-kx x ①，令0164)8(2=⨯--=∆k ，解得1±=k ， ……………………………2分 ∴MB MA ⊥，将1±=k 代入方程①得4±=x ，∴)2,4(),2,4(-B A ，∴点M 到AB 的距离为4， ∴过B A M ,,三点的圆的圆心为(0,2)F ，4r =，∴圆的标准方程为16)2(22=-+y x . ……………………5分又圆心)2,0(到直线2:-=y l 的距离4d r ==，因此，圆与直线2:-=y l 相切. ………6分（II ）设切点),(),,(2211y x B y x A ，直线l 上的点为),(00y x M ，过抛物线上点),(11y x A 的切线方程为)(11x x k y y -=-， ∵x y 41='，∴1411x y k x x MA ='==，从而过抛物线上点),(11y x A 的切线方程为)(4111x x x y y -=-，又切线过点),(00y x M ，∴8421010x x x y -=，即08201021=+-y x x x ，同理可得过点),(22y x B 的切线方程为08202022=+-y x x x . ……………………8分∵41x k MA =，42x k MB =，且21,x x 是方程082002=+-y x x x 的两实根， ∴0218y x x =，∴244021yx x k k MB MA =⋅=⋅， ……………………10分当20-=y 时，即2m =时，对直线l 上任意点M 均有MB MA ⊥，当20-≠y 时，即2m ≠，MA 与MB 不垂直，综上，当2m =时，直线l 上存在无穷多个点M ，使MB MA ⊥，当2m ≠时，直线l 上不存在满足条件的点M . ………………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）方法1：)(x f 的定义域为),0(+∞，xaxa x x f -=-='11)(，……………………1分 ①若0<a ，则0)(>'x f ，)(x f 在区间),0(+∞上是增函数， ∵0)1()(,0)1(<-=-=>-=aaae a ae a ef a f ，∴0)()1(<⋅ae f f ，函数)(x f 在),0(+∞有唯一零点； ………………………………2分 ②若0=a ，x x f ln )(=有唯一零点1=x ； ………………………………3分 ③若0>a ，令0)(='x f ，得ax 1=，当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故在区间),0(+∞上，)(x f 的极大值（即最大值）为1ln )1(--=a af . ………………5分又∵01ln )1(<-=-=a a f ，∴函数)(x f 的图象不可能全在x 轴上方，从而由题意可知0)1(<a f ，即01ln <--a ，解得ea 1>故所求实数a 的取值范围为1(,)e+∞. …………………………………6分方法2：函数)(x f 无零点⇔方程ax x =ln ，即a xx=ln 在),0(+∞上无实数解. …………1分令x x x g ln )(=，则2ln 1)(x xx g -='， …………………………………2分由0)(='x g ，得e x =.在区间),0(e 上，0)(>'x g ，函数)(x g 单调递增；在区间),(+∞e 上，0)(<'x g ，函数)(x g 单调递减，故在区间),0(+∞上)(x g 的极大值（即最大值）为ee g 1)(=， ………………5分注意到)1,0(∈x 时，()(,0)g x ∈-∞；1x =时，(1)0g =；(1,)x ∈+∞时，]1,0()(ex g ∈，故方程a x x =ln 无实数解⇔ea 1>，即所求实数a 的取值范围为1(,)e+∞. ………………………………6分（II ）由题意知，)(x f 有相异零点21,x x ，设021>>x x ， ∵0)(,0)(21==x f x f ，∴0ln ,0ln 2211=-=-ax x ax x ，∴)(ln ln 2121x x a x x +=+，)(ln ln 2121x x a x x -=-， ………………………………7分原不等式221e x x >等价于2ln ln 21>+x x 等价于2)(21>+x x a ，等价于2121212ln ln x x x x x x +>--等价于212121)(2ln x x x x x x +->，令t x x =21，则1>t ，于是212121)(2ln x x x x x x +->⇔1)1(2ln +->t t t . …………………………9分设)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t ϕ，于是0)1()1()1(41)(222>+-=+-='t t t t t t ϕ， ∴函数)(t ϕ在),1(+∞上单调递增， ………………………………11分 ∴0)1()(=>ϕϕt ，即不等式1)1(2ln +->t t t 成立，故所证不等式221e x x >成立. ………………………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解:（I ）连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形.∵90ABE ADC ∠=∠=0，AEB ACB ∠=∠，∴ABE ∆∽ADC ∆. ………………2分∴AB AEAD AC=，即AB AC AD AE ⋅=⋅. 又AB BC =，∴AC BC AD AE ⋅=⋅………………5分（II ）∵FC 是圆O 的切线，∴2FC FA FB =⋅, …………………………………6分又2,4AF CF ==，∴8,6BF AB BF AF ==-=， …………………………………7分 ∵ACF FBC ∠=∠，又CFB AFC ∠=∠，∴AFC ∆∽CFB ∆.………………………8分则AF AC FC BC =，即2634AF BC AF AB AC CF CF ⋅⋅⨯====. ……………………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=6sin16cos 21ππt y t x （t 为参数），即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 2112321（t 为参数）. ………………………………3分由)4cos(22πθρ-=得：θθρsin 2cos 2+=， ………………………………4分∴θρθρρsin 2cos 22+=，∴y x y x 2222+=+，故圆C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-y x . ………………………………6分（II ）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 2112321代入2)1()1(22=-+-y x 得047232=--t t 则47,232121-==+t t t t ， ………………………………8分 ∴PB PA +2314)(2122121=-+=-=t t t t t t . ……………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）5,4,1()33,4,215,.2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ ……………………………3分11 当4x ≤-时，由()0f x >得50x -+>，解得4x ≤-，…………………………4分当142x -<<时，由()0f x >得33x -->，解得41x -<<-，………………5分当12x ≥时，由()0f x >得50x ->，解得5x >， …………………………6分综上，得()0f x >的解集为{}1,5x x x <->或. ……………………………7分（II ）∵()3421241228f x x x x x x ++=-++=-++()12(28)9x x ≥-++=. …………………………8分 ∴由题意可知19a -≤，解得810a -≤≤， ……………………………9分故所求a 的取值范围是{}810a a -≤≤. …………………………10分。

黑龙江省大庆市高三数学第一次模拟考试试题理(扫描版

黑龙江省大庆市2016届高三数学第一次模拟考试试题理（扫描版）大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2016.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）34π；（14）15；（15）2；（16）115-. 三. 解答题（17）（本小题满分12分）解: （I ）设数列{}n a 的公比为q ，由23264a a a =得225111()4a q a q a q =⋅，∴214q =. ……………………………….2分由已知0q >，∴12q =，由1221a a +=得112a =. …………………………….4分故数列{}n a 的通项公式为12n n a =. (6)分（II ）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+(1)(12)2n n n +=-++⋅⋅⋅+=-，……..9分∴12112()(1)1n b n n n n =-=--++， ∴121111111122[(1)()()]22311n n nS b b b n n n =++⋅⋅⋅+=--+-+⋅⋅⋅+-=-++. ……12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）∵0m n ⋅=u r r，∴sin 220sin()aC c b A B ⋅+-=+， …………………2分∴2sin cos 20sin aC C c b C⋅+-=，即2cos 20a C c b +-=，…………………3分由余弦定理得：2222202a b c a c b ab+-⋅+-=， …………………………………4分整理得222+b c a bc -=，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴=3A π. ……………6分（II ）∵1cos 2A =，∴3sin 2A =， …………………………………7分由正弦定理得：23sin sin sin 3b c a B C A ====， …………………………8分 ABC ∆的周长23231sin )1sin()]32sin()16l a b c B C B B B ππ=++=++=+++=++…………………………………10分 ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<,∴1sin()126B π<+≤, …………………11分因此23l <≤，故ABC ∆周长的取值范围为(2,3]. …………………12分（19）（本小题满分12分）解：（I ）由四边形ABCD 是菱形，AC BC =，可得ABC ∆为正三角形.，∴AE BC ⊥. 又∵BC ∥AD ，∴AE AD ⊥ ……………………………………1分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ， ∵PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =I ，∴AE ⊥平面PAD ，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD . …………………4分（II ）设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接,AH EH ，由（I ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角. …………5分在Rt EHA ∆中，3AE =∴当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA∠最大，此时6tan EHA ∠=. …………………6分∴2AH =2AD =，∴45ADH ο∠=，∴2PA =. ………………8分由（I ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又,E F 分别是,BC PC 的中点，∴(0,0,0)A ，3,1,0)B -，3,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，3,0,0)E ，31(,1)22F . ………………9分 ∴(3,0,0)AE =u u u r ，31,1)2AF =u u u r . 设平面AEF 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则0,0,m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ∴111130,310,2x x y z =++= ………10分取11z =-，则(0,2,1)m =-u r为平面AEF 的一个法向量. 又PA ⊥平面ABC ，∴(0,0,1)n =r为平面ABE 的一个法向量.∴5cos ,51m n m n m n⋅===⨯u r ru r r u r r ，故所求二面角的余弦值为55-………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得112()()()21x x a x a f x x x a x a-+-+'=--=++， ……………1分 ∵(0)0f '=，∴10aa-=，∴1a =. 因此2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-， ………………………2分于是32()12(1)(1)2()(1)11x x x x x f x x x x -+-+-+'==>-++，由()0f x '>得10x -<<；由()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. …………………4分（II ）令253()()()ln(1),(0,2)22g x f x x b x x x b x =--+=+-+-∈，则21345()2122(1)x x g x x x x +-'=-+=-++，令()0g x '=，得1x =或54x =-（舍），当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时()0g x '<，即()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. ………………………7分方程5()2f x x b =-+在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数()g x 在(0,2)上有两个不同的零点.∴(0)0,(1)0,(2)0g g g <⎧⎪>⎨⎪<⎩即0,1ln 20,2ln 310b b b -<⎧⎪⎪+->⎨⎪--<⎪⎩亦即0,1ln 2,2ln 3 1.b b b >⎧⎪⎪<+⎨⎪>-⎪⎩∴1ln 31ln 22b -<<+，故所求实数b 的取值范围为1ln 31ln 22b b ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩⎭. (9)分（III ）由（I ）可得，当0x ≥时2ln(1)x x x +≤+（当且仅当0x =时等号成立），设1x n =，则2111ln(1)n n n +<+，即211ln n n n n ++< ① ………………………10分 ∴222222334411ln ,ln ,ln ,,ln 112233n n n n ++>>>⋅⋅⋅>，将上面n 个式子相加得： 222223412341ln ln ln ln ln(1)123123n n n n n +++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+=+, 故22222341ln(1)123n n n++++⋅⋅⋅+>+. ………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）由2:2G x py =得22x y p =，∴x y p'=. ………………………1分设221212(,),(,)22x x A x B x p p ，则直线PA 的方程为2111()2x x y x x p p-=-，① 直线PB 的方程为2222()2x x y x x p p-=- ②， ………………………3分由①、②解得1212,22x x x x x y p +==，∴P 点坐标为1212(,)22x x x x p+. ……………………4分设点(0,)Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+. ………………………5分由22,x py y kx t⎧=⎨=+⎩得2220x pkx pt --=，则12122,2x x pk x x pt +==-，∴(,)P pk t -，∴线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分. ………………………7分在①中，令0y =，解得12x x =，∴1(,0)2x C ；同理得2(,0)2x D ，∴线段CD 的中点坐标为12(,0)4x x +，即(,0)2pk . ………………………8分又∵直线PQ 的方程为2t y x t pk =-+，∴线段CD 的中点(,0)2pk 在直线PQ 上，即线段CD 被线段PQ 平分，因此四边形PCQD 是平行四边形. ………………………9分（II ）由（I ）得四边形PCQD 是平行四边形，要使四边形PCQD 是矩形，必须使得PQ CD =2222121()(2)()(2)8222x x pk t pk pt +-=-=+，解得2p t =. ∴当点Q 为(0,)2p （即抛物线G 的焦点）时，四边形PCQD 为矩形. ……………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：（I ）连接BE ，∵BC 为⊙O 的切线，∴∠90ABC O=, CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠. ……………………3分在CDE ∆和CEB ∆中，,CBE CED C C ∠=∠∠=∠，∴CDE ∆∽CEB ∆， ∴CE CD CB CE=，∴2CE CD CB =⋅. ……………………6分（II ）依题意5OC =51CE OC OE =-=,…8分由（I ）得2CE CD CB =⋅，∴21)2CD =，∴3CD =. ……………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21消去参数t 得普通方程为0323=-+-y x . ………………………3分由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(3x y +=. (6)分（II ）曲线C是圆心为，半径r =.圆心到直线l的距离1d ==， …………………8分所以AB ==…………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I ）3,2,1()31,2,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩ ……………………………3分当2x ≤-时，由()0f x >得30x -+>，解得2x ≤-， …………………………4分当122x -<<时，由()0f x >得310x -->，解得123x -<<-，………………5分当12x ≥时，由()0f x >得30x ->，解得3x >， …………………………6分综上，得()0f x >的解集为1,33x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………7分（II ）∵()3221221224f x x x x x x ++=-++=-++()12(24)5x x ≥-++=. …………………………8分 ∴由题意可知15a -≤，解得46a -≤≤， ……………………………9分故所求a 的取值范围是{}46a a -≤≤. …………………………10分。

黑龙江省大庆市高三数学第一次模拟考试试卷理(含解析

黑龙江省大庆市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，∴a≥2，故选：D．【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A． B．10C．4D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【解答】解：x+i=，∴x=﹣i=﹣1﹣3i，∴|x|=，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【解答】解：选项A，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项B，y=﹣x3，是奇函数，不合题意；选项C，y=﹣ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=﹣lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项D，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件．A．OB．1C．2D．3【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，正确．故不正确的是②．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选 C．【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．7．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[﹣1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x﹣，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．故选：A．【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2016呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2B． C． D．V=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．9．（5分）（2016漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w＞0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，]，则x0=（）A． B． C． D．【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题．10．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC． D．2π【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，点A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若|OA|=|OM|，则直线AB的斜率为（）A．﹣2B． C．2D．4【分析】因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，则CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．【解答】解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，由题意CM⊥AB，因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根据题意，OA=OM=2，所以， =，所以sin∠OCM=，tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角），而∠OCM与∠OAM互补，所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，当x＞1或x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（1）为极小值，f（﹣）为极大值．∵f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．即a+＜0或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若||=1，||=，，且，则向量与的夹角为．【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出．【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵，且，∴=（+）=+=||2+||||cosθ=0，即1+cosθ=0，即cosθ=﹣，∵0≤θ≤π∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．14．已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15 ．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1+a2017=10=2a1009，∵数列{a n}是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15．故答案为：15．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为 2 ．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（2，6），由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，即8=2ab+6，∴ab=1，∴a+b≥2=2，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为2．故答案为：2．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB上，则的最小值为﹣．【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．【解答】解∵椭圆=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程为x﹣2y+2=0，设P（m，n），则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2016大庆一模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a=4a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）可知{b n}为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得b n，利用裂项法，可求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a=4a2a6得a=4，∴q2=，由已知a n＞0，∴q=，由a1+2a2=1，得2a1=1，∴a1=，∴数列{a n}的通项公式为a n=．（2）b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=﹣（1+2+…+n）=﹣∴==﹣2（），∴数列{}的前n项和=﹣2[（1﹣）+（）+…+（）]=﹣．【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．（12分）（2016大庆一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， =（，18．c﹣2b），=（sin2C，1），且满足=0．（1）求∠A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．【分析】（ I）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c﹣2b=0，由余弦定理整理得b2+c2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（ II）由正弦定理及恒等变换的应用可得△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=2sin （B+）+1，结合范围0＜B＜，可求＜sin（B+）≤1，即可得解周长的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（ I）∵=0，∴ sin2C+c﹣2b=，…（2分）∴，即2acosC+c﹣2b=0，…（3分）由余弦定理得：2a+c﹣2b=0，…（4分）整理得b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．…（6分）（ II）∵cosA=，∴sinA=，…（7分）由正弦定理得： ==，…（8分）△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+ [sinB+sin（B+）]=2sin（B+）+1，…（10分）∵0＜B＜，∴＜B＜，∴＜sin（B+）≤1，…（11分）因此2＜l≤3，故△ABC周长的取值范围为（2，3]．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016大庆一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，AC=BC，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角F﹣AE﹣B 的余弦值．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）由四边形ABCD是菱形，AC=BC，可得△ABC为正三角形．∴AE⊥BC．又∵BC∥AD，∴AE⊥AD …（1分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．…（4分）（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（I）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…（5分）在Rt△EHA中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA=．…（6分）∴AH=，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．…（8分）由（I）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又E，F分别是BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．…（9分）∴=（，0，0），=（，，1）．．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴…（10分）取z=﹣1，则=（0，2，﹣1），为平面AEF的一个法向量．又PA⊥平面ABC，∴ =（0，0，1）为平面ABE的一个法向量．∴cos＜，＞===，故所求二面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016大庆一模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于n∈N+，证明：．【分析】（1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴ =0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．∴，即亦即，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，故所求实数b的取值范围为{b丨ln3﹣1＜b＜ln2+}．…（9分）证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜①…（10分）∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得：+++…+＞ln+ln+ln+…+ln=ln（n+1），故：．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．21．（12分）（2016大庆一模）从抛物线G：x2=2py（p为常数且p＞0）外一点P引抛物线G的两条切线PA和PB（切点为A、B），分别与x轴相交于点C、D，若AB与y轴相交于点Q．（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；（2）四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（I）设A，B的坐标，求出切线PA，PB的方程，解出P点坐标，设Q坐标和直线AB方程，联立方程组得出P，Q点的坐标关系证明CD平分PQ，求出C，D坐标，得出CD的中点，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出结论；（II）若四边形PCQD能否为矩形，则|PQ|=|CD|，列方程解出p，t的关系得出Q坐标．【解答】解：（I）由x2=2py得y=，∴y′=．设A（x1，），B（x2，），则直线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），①直线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），②由①、②解得x=，y=，∴P点坐标为（，）．设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t．由得x2﹣2pkx﹣2pt=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pt，∴P（pk，﹣t），∴线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分．在①中，令y=0，解得x=，∴C（，0）；同理得D（，0），∴线段CD的中点坐标为（，0），即（，0）．又∵直线PQ的方程为y=﹣x+t，∴线段CD的中点（，0）在直线PQ上，即线段CD 被线段PQ平分，∴四边形PCQD是平行四边形．（II）若四边形PCQD是矩形，则|PQ|=|CD|，即==，解得t=．∴当点Q为（0，）（即抛物线G的焦点）时，四边形PCQD为矩形．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2016大庆一模）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O 于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CDCB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．【分析】（1）要证CE2=CDCB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE 即可得出CD的长．【解答】（1）证明：连接BE．∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90° …（2分）∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO …（4分）∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，∴，∴CE2=CDCB …（6分）（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=﹣1 …（8分）由（1）CE2=CDCB得：（﹣1）2=2CD，∴CD=3﹣…（10分）【点评】本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016大庆一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=，即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0．由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3．（II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=．∴曲线C的圆心到直线l的距离d==．∴|AB|=2=2=2．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016大庆一模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式：f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．【分析】（1）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（2）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（1）f（x）=，当x≤﹣2时，由f（x）＞0得﹣x+3＞0，解得x≤﹣2，当﹣2＜x＜时，由f（x）＞0得﹣3x﹣1＞0，解得﹣2＜x＜﹣，当x≥时，由f（x）＞0得x﹣3＞0，解得x＞3，综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣或x＞3}；（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x﹣1|+2|x+2|=|1﹣2x|+|2x+4|≥|（1﹣2x）+（2x+4）|=5，∴由题意可知|a﹣1|≤5，解得﹣4≤a≤6，故所求a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．【点评】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．。

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2016年黑龙江省大庆市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 复数的实部与虚部的和为A. B. C. D.3. 已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是A. B.C. D.4. 某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了名学生校本课程的学分，统计如下表，，分别表示甲，乙两班抽取的名学生学分的标准差，则甲乙A. B.C. D. ，大小不能确定5. 一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是A. B. C. D.6. 已知是双曲线：的一条渐近线，是上的一点，，是的两个焦点，若，则到轴的距离为A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，则输出的A. B. C. D.8. 对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为“准奇函数”．给定下列函数：①；②；③；④．其中为“准奇函数”的有A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④9. 已知正项等比数列满足：，若存在两项，，使得，则的最小值为A. B. C. D.10. 在中，已知，若，且，则的取值范围为A. B. C. D.11. 抛物线的焦点为，准线为．为抛物线上一点，且在第一象限，交于点，线段与抛物线交于点，若的斜率为，则A. B. C. D.12. 若定义在上的函数满足，，则不等式（其中是自然对数的底数）的解集为A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 的展开式中，常数项为．（用数字作答）14. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．15. 已知函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为．16. 已知函数，数列中，，则数列的前项之和．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列；（1）求角的值；（2）设函数，且图象上相邻两最高点的距离为，求的取值范围．18. 某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，六组，其频率分布直方图如图所示．已知之间的参加者有人．（1）求的值并补全频率分布直方图；（2）已知岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取人作为活动的组织者，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和数学期望．19. 如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点，在上，且．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；（3）是否存在过定点的直线交椭圆交于不同的两点，，使（其中为坐标原点）?若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．21. 已知函数．（1）曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）当时，若函数的极值点，恰好是函数的零点，求的最小值．22. 如图，已知是的外接圆，，是边上的高，是的直径．（1）求证：；（2）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长．23. 在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数，圆的方程是，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线与圆的极坐标方程；（2）设直线与圆的两个交点为，，求，两点的极坐标（，），以及的面积．24. 设函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值．答案第一部分1. D 【解析】由中不等式解得：或，即或，因为，所以．2. D3. A 【解析】因为若命题，，命题是假命题，则是真命题，说明恒成立，所以，解得．4. B 【解析】根据表中数据，计算甲班的平均数为，乙班的平均数为；甲班的方差为乙班的方差为所以，标准差为．5. C【解析】设球的半径为，则，解得．因为球与正三棱柱的三个侧面相切，所以球的大圆为棱柱底面正三角形的内切圆，所以棱柱的底面边长为．因为球与正三棱柱的两个底面相切，所以棱柱的高为．所以三棱柱的体积．6. C 【解析】双曲线：的，，，即有，，设渐近线的方程为，且，化为，解得，则到轴的距离为．7. C 【解析】当时，满足执行循环的条件，故，，当时，满足执行循环的条件，故，，当时，满足执行循环的条件，故，，当时，满足执行循环的条件，故，，当时，满足执行循环的条件，故，，当时，满足执行循环的条件，故，，当时，不满足执行循环的条件，故输出的值为．8. D 【解析】对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有知，函数的图象关于对称．①函数的定义域为，函数为增函数，则函数不存在对称中心，所以①不是准奇函数．②若，则，因为，，所以无解，所以②不是准奇函数．③存在对称中心，所以③是准奇函数．④存在对称中心，则④为准奇函数．9. B 【解析】设正项等比数列的公比为，且，由得：，化简得，，解得或（舍去），因为，所以，则，解得，当且仅当，解得：，，因为取整数，所以均值不等式等号条件取不到，，验证可得，当，时，取最小值为．10. A【解析】因为，知，设，因为，所以，所以，所以，．11. B 【解析】过作的垂线，垂足为，那么，设得，所以，所以．因为，所以，而，所以．所以，所以，所以，解得（舍）或，．12. A 【解析】由，得，得，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，，，所以原不等式等价于，所以，故不等式的解集为．第二部分13.【解析】因为，所以由得，从而得常数项．14.【解析】由三视图可知，该几何体为半圆柱，其底面半径为，高为；则其体积为：．15.【解析】当时，函数的导数为，所以在点处的切线斜率，所以切线方程为，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，如图阴影部分．可变形成，当直线过点时，截距最小，此时最大，故最大值为．16.【解析】因为，所以，，同理可得：，，．所以．所以数列的前项之和．第三部分17. （1）由以及正弦定理可知，，即．因为，，，，所以，所以，所以．因为，所以．（2）由已知可得：，所以，所以．因为，所以．因为，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围是．18. （1）年龄在之间的频率为，因为，所以，因为第二组的频率为：，所以第二组的矩形高为：，所以频率分布直方图如图所示．（2）由（）知，之间的人数为，又之间的人数为，因为岁年龄段人数与岁年龄段人数的比值为，所以采用分层抽样抽取人，其中岁中有人，岁中有人，由题意，随机变量的所有可能取值为，，，，，，所以的分布列为：．19. （1）由，，是的中点，得．因为底面，所以．在中，，所以．因此，又因为，所以，则，即．因为底面，所以，又，所以底面，则．又，所以平面．（2）在线段上存在点使二面角的大小为，此时．理由如下：假设满足条件的点存在，并设．过点作交于点，又由，，得平面．作交于点，连接，则．于是为二面角的平面角，即，由此可得．由，得，于是有，．在中，，即，解得．于是满足条件的点存在，且．20. （1）因为椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，所以解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）因为，，，设，则，因为，所以，解得，因为点在第一象限，所以，所以，所以点的横坐标的取值范围是．（3）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，，，三点共线，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，由，解得，，，因为，所以，因为解得，满足，解得或，所以直线的斜率的值为或．21. （1）因为，定义域为，所以，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，所以．（2）因为，所以，令，得，因为函数的极值点，，所以，，所以，因为，恰好是函数的零点，即由两个解分别为，，所以，，两式相减，所以，令，由，可得，则，设函数，而，则在单调递减，所以，所以的最小值为．22. （1）连接，因为是的高，是的外接圆的直径，所以，因为，所以．所以，所以，又，故．（2）因为是的切线，所以，又，，从而解得，，因为，，所以，所以，所以．23. （1）直线的参数方程是为参数，消去可得直角坐标方程：，即，可得极坐标方程：．圆的方程是，把，，代入可得极坐标方程：，即．（2）联立消去可得：，可得，由，，可得：或所以点，的极坐标分别为：，．所以，所以的面积．24. （1）当时，不等式，即，即，即或．求得或，故原不等式的解集为或．（2）因为，不等式，即或解可得，故无解；解可得，故原不等式的解集为．再根据已知原不等式的解集为，可得，所以．。