多元函数微分学教学的一些思考
谈微积分中的数学思想及其教学
谈微积分中的数学思想及其教学微积分,作为现代数学的重要分支,在科学技术、社会科学、经济学等领域有着广泛的应用。
微积分中的数学思想及其教学,不仅涉及到数学基础知识的学习,还关乎学生数学思维和解决实际问题能力的培养。
本文将详细探讨微积分中的数学思想及其教学,以帮助读者更好地理解和掌握这一重要数学工具。
微积分中涉及的抽象思想主要包括无穷、极限和连续等概念。
无穷是指一个数列或函数在无限趋近于某个点时的情况,极限则是指数列或函数在某一趋势下的最终状态,而连续则描述了函数在某一点处的平滑过渡。
这些抽象概念的理解对于后续微积分的学习至关重要。
微积分中的计算思想主要包括导数、积分和级数等。
导数反映了函数在某一点处的变化率,可以应用于求解曲线切线、物体运动加速度等实际问题;积分则是微分的逆运算,用于求解面积、体积、长度等实际问题;级数则是由无穷多个数相加而成,可以用来表示函数、解决实际问题。
微积分中的优化思想主要包括方程、建模和实验等。
方程是解决问题的一种重要工具,可以用来求解未知量,如运用微分方程可以解决物理、化学、生物等领域的问题;建模则是指运用数学模型来描述实际问题,通过求解模型来得到实际问题的解;实验则是指通过设计实验来验证数学模型的有效性和精度。
微积分的教学目标应当是培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
具体而言,教学目标应当包括以下几个方面:(1)掌握微积分的基本概念和理论体系,如极限、导数、积分等;(2)学会运用微积分的基本方法和技能,如微分法、积分法、级数法等;(3)能够运用微积分的知识解决实际问题,如物理、工程、经济等领域的问题;(4)培养学生的数学思维和推理能力,提高学生的数学素养。
微积分教学重点和难点主要包括以下几个方面:(1)抽象概念的理解:如无穷、极限、连续等概念较为抽象,学生往往难以理解和掌握;(2)计算方法的掌握:如导数、积分、级数等的计算方法较为复杂,需要学生多次练习才能掌握;(3)优化思想的运用:如方程、建模、实验等优化思想需要学生具备一定的数学基础和实际经验,才能够理解和运用。
偏微分方程:多元函数的深入分析
偏微分方程是数学中一类重要的方程,广泛应用于自然科学领域的建模和分析中。
在分析多元函数时,偏微分方程的研究变得尤为重要。
本文将通过对偏微分方程的深入分析,探讨多元函数的性质和应用。
首先,我们需要了解什么是多元函数。
多元函数是指有多个自变量的函数。
与一元函数相比,多元函数的研究更加复杂和深入。
偏微分方程则是用来研究这类函数的方程。
偏微分方程包含了多个变量的导数,其中的“偏”指的是对其中一个或多个自变量进行求导。
例如,常见的偏微分方程有热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。
这些方程能够描述出空间中的物理现象,如热传导、波动传播以及电场分布等。
多元函数的深入分析中,偏微分方程起到了至关重要的作用。
通过求解偏微分方程,我们可以得到多元函数的一些重要性质和行为特征。
例如,通过求解热传导方程,我们可以得到物体温度随时间和空间的变化规律;通过求解波动方程,我们可以得到波动的传播速度和振幅变化规律。
这些信息对于物理学、工程学以及其他学科的研究都至关重要。
此外,偏微分方程也可用于最优化问题的求解。
最优化问题的目标是寻找使某一目标函数取得最大或最小值的自变量取值。
通过建立目标函数和约束条件的偏微分方程模型,我们可以求解出最优解。
这种方法在经济学、管理学、运筹学等领域都有重要的应用。
总结来说,偏微分方程是研究多元函数的有效工具,它不仅可以描述多元函数的性质和行为特征,还可以被应用于解决最优化问题。
多元函数的深入分析对于我们理解自然现象和解决实际问题都具有重要的意义。
然而,偏微分方程的求解并不总是容易的。
许多偏微分方程没有解析解,只能通过数值方法或近似方法进行求解。
这使得偏微分方程的研究变得更加困难和复杂。
因此,在实际应用中,我们需要灵活运用数值计算和数值模拟的方法,以获取更精确的结果。
总之,偏微分方程是多元函数深入分析的关键工具,它能够揭示多元函数的性质和行为特征,并可用于解决最优化问题。
然而,偏微分方程的求解并不总是容易的,需要运用数值方法和近似方法。
关于多元微分学的几点注记
关于多元微分学的几点注记多元微分学是微积分的一个重要分支,它研究多元函数的微分和积分问题。
在实际应用中,多元微分学具有广泛的应用,涉及到物理、经济、工程等各个领域。
本文将就多元微分学的几个重要概念和定理进行简要的介绍和注记。
1. 多元函数的偏导数在多元微分学中,我们首先需要了解多元函数的偏导数的概念。
一个多元函数可以写成f(x1, x2, ..., xn),其中x1, x2, ..., xn分别表示自变量。
多元函数的偏导数就是指在函数f(x1, x2, ..., xn)中,对其中的一个自变量求导数时,将其他自变量视为常数来进行求导的过程。
对于函数f(x, y),我们可以分别求关于x和y的偏导数,表示为∂f/∂x 和∂f/∂y。
通过对多元函数的偏导数计算,我们可以得到函数在不同方向上的变化率,从而对函数的性质进行更深入的研究。
2. 梯度梯度是多元函数微分学中的一个重要概念,它是一个向量,表示了函数在每个方向上的变化率。
对于一个二元函数f(x, y),其梯度记为grad f(x, y)或者∇f(x, y),表示为一个向量(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
梯度的方向就是函数增长最快的方向,而梯度的模长则表示了增长的速率。
梯度在实际问题中具有重要的物理意义,比如在物理学中描述了力场的方向和大小,对于优化问题中也有着重要的应用。
3. 雅可比矩阵雅可比矩阵是多元函数微分学中的另一个重要概念。
对于一个由n个变量决定的m个函数的向量值函数,其雅可比矩阵是一个m×n的矩阵,表示了这些函数在各个变量上的偏导数。
雅可比矩阵在矢量微积分、微分几何中有广泛的应用,也是求解偏微分方程和积分方程的重要工具。
雅可比矩阵的性质和计算方法对于深入理解多元函数的微分学具有重要的意义。
在多元微分学中,我们也需要对多元函数进行积分运算。
对于二元函数f(x, y),其二重积分可以表示为∬f(x, y)dxdy,表示在xy平面上对函数f(x, y)所在的区域进行积分的运算。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支,研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结,并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中,我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成,用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系,由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线,通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性,多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限,我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则,我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在,并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似,即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ,使得当自变量的取值在这个常数范围内时,函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质,我们可以判断多元函数在某点处是否连续,并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具,在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数,我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率,它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵,我们可以得到多元函数的梯度,进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算,并可以表示函数值的一个线性近似。
《数学分析》第四章多元函数微分学
《数学分析》第四章多元函数微分学《数学分析》第四章多元函数微分学主要涉及多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。
多元函数微分学是微积分的一个重要分支,掌握了多元函数的微分学理论,将能够深入研究多元函数的性质、求解极值问题以及应用于物理、经济等领域。
第四章首先介绍了多元函数的导数。
多元函数的导数与一元函数类似,是函数在其中一点附近的变化率。
导数的定义也与一元函数的导数相似,但多元函数的导数是一个向量,称为梯度。
在多元函数中,梯度的方向是函数值增长最快的方向。
然后,第四章讨论了多元函数的偏导数。
偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数。
偏导数的计算方法与求一元函数导数的方法相似,只需将其他自变量视为常数。
多元函数的偏导数可以通过偏导数的存在性与连续性判断函数的可导性,并可应用于求函数在其中一点的切线方程、法向量等问题。
接着,第四章介绍了多元函数的全微分。
全微分是多元函数在其中一点附近的近似线性变化量,是多元函数的微分的推广。
全微分可以近似地表示函数在其中一点的微小变化。
全微分的计算方法与一元函数的微分类似,但需要考虑多个自变量的变化。
最后,第四章讨论了多元函数的极值。
多元函数的极值点与一元函数的极值点类似,是函数取得极大值或极小值的点。
通过求解多元函数的偏导数,可以得到函数的驻点。
通过求解偏导数的二阶导数,可以判断函数在驻点处的极值性,并应用于优化问题的求解。
在实际应用中,多元函数微分学可用于研究空间曲线的切线与法平面,解决最优化问题,研究约束条件下的极值问题等。
例如,在经济学中,多元函数微分学可用于分析生产函数的边际产出与边际成本,在物理学中,可用于研究位移、速度、加速度等物理量之间的关系。
总之,多元函数微分学是微积分领域中的一个重要分支,它深入研究了多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。
掌握了多元函数微分学理论,将能够深入研究多元函数的性质、解决最优化问题,并应用于实际问题中。
多元函数微分学中几个概念间的关系及反例
多元函数微分学中几个概念间的关系及反例多元函数微分学是数学中的一个重要分支,与传统的微积分相比,它更能够帮助我们更加深入地探索多元函数。
在多元函数微分学中,有一些概念是密不可分的,且它们之间存在着某种关系,本文将详细讨论它们之间的关系及反例。
首先,需要清楚的是,这些概念之间的关系主要分为两种,一种是相关性,一种是依赖性。
相关性就是说,这些概念之间是有某种直接联系的,而依赖性则表明某个概念受到另一概念的影响。
其次,具体到几个概念之间的关系及反例,我们首先需要来探讨关于偏导数的内容。
偏导数也成为分量导数,表示对多元函数在某一特定点的某一特定方向变化的率,它与梯度的概念是息息相关的,而梯度是指一个多元函数的极值点的方向和大小。
因此,可以清楚的看出,偏导数与梯度之间存在着相互依赖的关系。
另外,偏导数概念也可以与偏微分概念相结合,偏微分是指对多元函数中某一变量求导数,而忽略其他变量,这种概念与偏导数概念具有很强的相关性。
此外,又有一个与多元函数微分学密切相关的概念,即极限,它是指函数中某个变量接近某个值时,函数的某个特定的值的过程。
极限的关系也与多元函数的梯度有关,当两者同时存在时,极限可以用来判断梯度的大小,而且极限也具有很强的依赖性,需要依赖多元函数中的某些变量才能得到极限的值。
最后,可以说,以上几个概念之间的关系是十分密切的,它们之间都存在着紧密的联系,更重要的是,这些概念之间不仅存在着实质性的关系,还存在着紧密的依赖性。
此外,上述概念及关系之间也可能存在某些反例,如偏导数与梯度的关系可能在某些情况下是不成立的,这也是极限概念可以帮助我们阐明的。
总之,这篇文章详细介绍了多元函数微分学中几个概念之间的关系及反例,了解了这些概念之间的关系及特点,对于我们更好地理解多元函数微分学有重要意义。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结1. 引言多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支,研究的是多元函数的极限、连续性、可导性以及相关的定理和方法。
在实际问题中,经常会遇到多个变量同时变化的情况,因此掌握多元函数微积分学对于解决实际问题具有重要意义。
2. 多元函数的极限多元函数的极限是多元函数微积分学的基础概念之一。
与一元函数不同的是,多元函数的极限需要考虑所有自变量的变化情况。
通过利用数列的极限概念以及极限运算法则,可以定义多元函数的极限。
3. 多元函数的连续性对于多元函数而言,连续性是一个重要的性质。
一个多元函数在某点连续意味着在该点的邻域内函数值变化不大,保持相对稳定。
通过定义和判定多元函数在某点连续的方法,可以分析多元函数在不同区域的连续性和不连续点的性质。
4. 多元函数的偏导数和全微分与一元函数一样,多元函数也存在导数的概念。
对于多元函数而言,导数被称为偏导数。
多元函数的偏导数可以用来刻画函数在某一方向上的变化速率。
全微分是多元函数的一个重要概念,它可以表示多元函数的微小增量与自变量的变化之间的关系。
5. 多元函数的极值与最值多元函数的极值和最值也是多元函数微积分学的重要研究内容。
通过求解多元函数的偏导数,并进行一定的约束条件,可以确定函数的极值和最值。
求解多元函数的极值和最值可以帮助我们找到函数的最优解,解决实际问题。
6. 多元函数的二重积分多元函数的二重积分是多元函数微积分学的另一个重要内容。
与一元函数的定积分类似,二重积分可以用来计算曲面下体积、质量等物理量。
通过将二重积分问题转化为累次积分问题,可以简化计算过程。
7. 多元函数的多重积分多元函数的多重积分扩展了二重积分的概念,可以用来计算多维空间中的体积、质量等物理量。
多重积分可以通过反复积分的方式进行计算,也可以使用适应性分割等方法简化计算过程。
8. 多元函数的曲线积分和曲面积分与一元函数的曲线积分和曲面积分类似,多元函数也存在曲线积分和曲面积分的概念。
多元函数微分学导论
多元函数微分学导论多元函数微分学是微积分学中的一个重要分支,研究的对象是多元函数的微分、导数和微分方程等问题。
在实际问题中,往往需要研究多个变量之间的关系,而多元函数微分学正是为了解决这类问题而产生的。
本文将介绍多元函数微分学的基本概念、性质和应用,帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、多元函数的定义与性质在多元函数微分学中,我们首先需要了解多元函数的定义。
多元函数是指自变量不止一个的函数,通常表示为$z=f(x,y)$,其中$x$和$y$是自变量,$z$是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
对于多元函数,我们可以讨论其连续性、可微性和偏导数等性质。
多元函数在某点处连续,意味着函数在该点附近的取值变化不会很大;可微性则表示函数在该点处存在切平面,可以用线性逼近函数的变化;偏导数是多元函数对某一个自变量的导数,可以帮助我们研究函数在某个方向上的变化率。
二、多元函数的微分与导数在多元函数微分学中,微分和导数是两个重要的概念。
多元函数的微分是指函数在某一点附近的线性逼近,可以用微分形式表示为$dz=\frac{\partial z}{\partial x} d x+\frac{\partialz}{\partial y} d y$,其中$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$分别是函数$f(x,y)$对$x$和$y$的偏导数。
而多元函数的导数则是函数在某一点处的变化率,可以用梯度表示为$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$,表示函数在该点处沿着变化最快的方向。
梯度的方向即为函数在该点处的最大增加方向,梯度的模长即为函数在该点处的最大增加率。
三、多元函数的微分方程与应用多元函数微分学在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结多元函数微分学是微积分的一个重要分支,主要研究多元函数的导数和微分。
在实际中,我们经常遇到的函数都是多元函数,如物体的速度、加速度、市场需求曲线等都是多元函数。
因此,研究多元函数微分学对于理解和解决实际问题具有重要意义。
多元函数微分学的基本概念包括偏导数、全微分、总微分和梯度。
偏导数是多元函数对于其中其中一个自变量的导数,表示了函数在该自变量上的变化率。
全微分是多元函数在其中一点上的局部线性逼近,可以准确描述函数在该点附近的变化情况。
总微分是将全微分与自变量的改变量相乘得到的函数值的改变量,表示了函数在其中一点上的整体变化情况。
梯度是偏导数向量,由多个偏导数组成,表示了函数在每个自变量上的变化速率和变化方向,是多元函数微分学中非常重要的概念。
多元函数微分学的重要应用之一是最优化问题的求解。
在实际问题中,我们经常需要求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
通过求解函数的偏导数,并将其等于零得到的一组方程,可以找到函数的驻点。
然后通过二阶偏导数的判定准则判断驻点的性质,从而确定函数的最大值或最小值。
多元函数微分学还涉及到复合函数的求导,链式法则是求解复合函数导数的重要工具。
链式法则告诉我们,复合函数的导数等于外函数对于内函数的导数乘以内函数对于自变量的导数。
通过链式法则,我们可以将复杂的多元函数求导问题转化为简单的一元函数求导问题。
在高维空间中,我们常常需要研究函数在其中一个曲面上的变化情况,这就引出了偏导数的几何意义。
偏导数实际上是函数在其中一变量方向上的变化速率,可以表示曲面在该方向上的斜率。
通过偏导数的几何意义,我们可以得到曲面在各个方向上的切线方程和法线方程,从而更加深入地理解函数在高维空间中的行为。
最后,多元函数微分学还与微分方程的研究相关。
微分方程是描述自然现象中变量之间关系的数学模型,而多元函数微分学是求解微分方程的重要工具之一、通过将微分方程转化为多元函数的问题,并利用多元函数微分学的知识求解,可以得到微分方程的解析解。
多元复合函数求导法则的教学思考
多元复合函数求导法则的教学思考
多元函数求导法则是数学中非常重要的一项知识,在高等数学、微积分等数学课程中更是扮演着重要的角色。
随着现代数学计算机软件的发展与应用,多元函数求导法则的运用越来越重要,因此,在数学的学习中,教师应给予多元函数求导法则应有重视。
多元函数求导法则的学习不仅涉及到函数的求导,也涉及到函数求导过程中可能出现的各种情况,如函数中多个变量的求导,函数调和幂次的求导,复合函数的求导等。
根据学生精力和情况,教师可以设计多种多样的教学形式,以帮助学生更好地掌握多元函数求导法则。
首先,教师可以结合案例法,以实例来讲解多元函数求导法则的应用。
以让学生把握求导的原理和方法,通过解决实际问题,让学生感受到求导法则的重要性。
其次,可以结合讨论法,让学生结合给出的实例,互相讨论和思考,形成一致的结论,由此提高学生的掌握能力。
此外,教师还可以利用练习法,给学生出不同的复合函数求导的题目,让学生自己动手解题。
学生通过解题来进行深入的理解,在解题过程中可以逐步加深自己的掌握能力,最终形成解决问题的能力。
最后,教师还可以利用其他形式来引导学生学习多元函数求导法则,如发布作业,进行讲解,撰写和讨论文章,教学比赛等。
通过周密的设计和安排,让学生在多元函数求导法则的学习过程中,在轻松、愉快的氛围中完成学习任务,让学生在有趣的学习过程中掌握多元函数求导法则的知识。
综上所述,多元函数求导法则在数学书学科中有着重要的地位,教师应当把多元函数求导法则的教学放在重要位置上,尽可能合理地安排教学活动,让学生更好地掌握多元函数求导法则的知识,学习这一数学知识点,让学生能够更好地应用到实践中。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在数学分析中,偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。
本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。
一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn),偏导数是指在其他变量固定的情况下,关于某一变量的导数。
设有函数f(x₁, x₂, ..., xn),其中x₁, x₂, ..., xn是变量,对于i = 1,2,...,n,f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。
偏导数的计算方法与一元函数类似,可以通过求极限的方式得到。
偏导数具有以下性质:1.线性性质:对于常数α, β和函数f, g,有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。
2.交换性质:对于任意的i, j,有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。
3.对称性质:对于任意的i, j,如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续,那么它们相等。
二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn),在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作:df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似,通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。
全微分具有以下性质:1.线性性质:对于常数α, β和函数f,有d(αf + βg) = αdf + βdg。
2.链式法则:对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn)),其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。
3.二阶全微分:如果函数f具有二阶连续偏导数,那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。
对多元函数微分学的认识
对多元函数微分学的认识多元函数微分学是微积分的一个重要分支,主要研究多元函数的微分、偏导数、全微分、偏导数的连续性、可微性以及它们之间的关系。
在一元函数微积分中,我们研究的是只涉及一个自变量的函数。
而在多元函数微分学中,我们考虑的是涉及多个自变量的函数。
一个多元函数可以写为f(x1, x2, ..., xn)的形式,其中x1, x2, ...,xn是自变量,而f是一个依赖于这些自变量的函数。
在多元函数微分学中,我们首先需要定义偏导数。
偏导数衡量了一个多元函数在某一点沿着某个特定的方向的变化率。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn),其关于第i个自变量xi的偏导数记作∂f/∂xi。
然后,我们可以推广一元函数的微分的概念到多元函数上,得到多元函数的全微分。
全微分表示了一个多元函数在某一点附近的线性近似。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn),其全微分可以表示为df = ∂f/∂x1dx1 + ∂f/∂x2dx2 + ... + ∂f/∂nxdxn。
多元函数的可微性与偏导数的连续性紧密相关。
如果多元函数在某一点可微,则其所有偏导数必须存在且连续。
可微性的定义还包括了全微分在该点附近的线性近似误差与自变量的增量之间的关系。
多元函数微分学的应用非常广泛,特别是在物理、经济、工程等领域中的数学模型建立和求解中扮演着重要的角色。
它不仅是微积分理论的重要组成部分,也是解决实际问题的数学工具之一。
通过多元函数微分学的研究,我们能够更深入地理解多变量函数的行为和性质,从而为问题的分析和求解提供有力的数学支持。
西安交通大学《高等数学(下)》期末考试拓展学习(一)8
西交《高等数学(下)》(一)第八章多元函数微分学及其应用一.学习多元函数微分学应该注意什么?答多元函数微分学是一元函数微分学的推广。
多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系,两者有很多类似之处,但特别应注意是,两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异。
从二元到二元以上的函数理论上以及研究方法上是类似的。
因此,我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究。
在学习本章时,一定要注意与一元函数相对照、类比,比较它们之间的异同,这样有助于学好多元函数微分学。
二.怎样领会和运用多元函数的依赖关系式?答二元函数的依赖关系式“ ”中的“ ”表示函数与自变量的对应关系。
熟练且灵活运用函数依赖关系式是学习多元函数的基本要求。
多元函数依赖关系式的运用与一元函数相仿,但要比一元函数依赖关系式的运用复杂些。
例如,设求的表达式。
由已知,所以,从而得。
三、何谓偏导数?怎样求偏导数?答多元函数的偏导数,就是只有一个自变量变化(其它自变量看成是常数)时,函数的变化率。
因此,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数。
一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元函数的偏导数完全适用。
偏导数的求法:1°当二元函数为分段函数时,求在分段点或分段线上的点()处的偏导数时,要根据偏导数的定义来求。
即2°求多元初等函数偏导数时,可将多元函数视为一元函数,即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量,利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数。
值得指出,多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同。
偏导数记号、是一个整体,不能分开。
不能看成与之商,记号与本身没有意义。
而一元函数的导数记号,可看成两个微分与之商。
四.与两者是怎样的关系?答表示在点处对x 的偏导数 . 表示对x 的偏导数在点处的值,两者关系是:求在点处的偏导数时,如果为的分段点,则应按问题 3 中1°所讲用偏导数定义来做,如果是求初等函数的,一般可先求出, 然后再求在点处的函数值。
多元函数及其微积分实验总结
多元函数及其微积分实验总结一、实验目的本次实验主要目的是通过对多元函数及其微积分的探究,深化学生对于多元函数及其微积分的理解,提高学生的实验操作能力和数据处理能力。
二、实验内容1. 多元函数的定义和性质:介绍多元函数的定义、定义域、值域等基本概念,并讲解多元函数的性质,如连续性、可微性等。
2. 偏导数与全微分:通过实验探究偏导数与全微分的概念及其计算方法,并了解偏导数与全微分在物理和工程学中的应用。
3. 隐函数与参数方程:通过实验了解隐函数和参数方程在多元函数中的应用,并学习求解隐函数和参数方程的方法。
4. 二重积分:介绍二重积分概念及其计算方法,并通过实验掌握二重积分在物理和工程学中的应用。
5. 三重积分:介绍三重积分概念及其计算方法,并通过实验掌握三重积分在物理和工程学中的应用。
三、实验步骤1. 实验前准备:准备好所需仪器设备,如计算器、笔记本电脑、多元函数微积分软件等。
2. 实验操作:按照实验指导书的要求进行实验操作,包括多元函数的定义和性质、偏导数与全微分、隐函数与参数方程、二重积分和三重积分等内容。
3. 数据处理:将实验数据进行整理和处理,计算出相应的结果,并进行数据分析。
4. 实验报告:根据实验数据及其处理结果撰写实验报告,包括实验目的、原理、步骤、数据处理及结果分析等内容。
四、实验结果通过本次多元函数及其微积分实验,学生深入了解了多元函数的定义和性质,掌握了偏导数与全微分的计算方法,并了解了隐函数和参数方程在多元函数中的应用。
同时,学生还掌握了二重积分和三重积分的概念及其计算方法,并在物理和工程学中应用这些知识。
通过对实验数据进行整理和处理,学生计算出相应结果并进行了数据分析。
最终撰写出详细且精确的实验报告。
五、总结本次多元函数及其微积分实验是一次非常有意义且有效果的教学活动。
通过对多元函数及其微积分知识点的探究,学生深入了解了多元函数的定义和性质,掌握了偏导数与全微分的计算方法,并了解了隐函数和参数方程在多元函数中的应用。
浅谈多元函数的连续及可微-转载1
浅析多元函数的连续及可微摘要:在学习多元函数以前,我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的,对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚.而多元函数是一元函数的推广,它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说,学习数学分析之后,我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时,函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在,另一个偏导数连续时,函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形,得到了当多元函数的某个偏导数连续,而其余偏导数存在时,函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论,主要研究二元函数的连续性,偏导存在性,可微性等概念以及它们之间因果关系.在了解本文之后,读者会对多元函数有更深刻的认识!关键词:可微; 偏导数; 连续目录1引言 (1)2多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... (1)2.1多元函数的连续性 (1)2.2 多元函数的偏导数 (3)2.3多元函数的可微性 (4)2.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 (7)2.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 (7)2.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 (8)2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 (10)3小结.................................... .. (11)参考文献 (12)致谢辞 (13)1 绪论在中学时,我们着重学习了一元函数,对于函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微,这三个概念的关系是很清楚的.比如说:可微一定连续,但连续不一定可微,连续一定有极限,但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为:可微⇒连续⇒极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆,我们也都曾经学习过.对于多元函数而言,主要是讲二元函数,它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系,也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性,是可以证明的.从二元函数的一些性质中,我们可以看到:若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微,则函数(,)f x y 在点0p (0x ,0y ) 连续,偏导存在;若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f (x,y )与'y f (x,y)在点0p (0x ,0y )连续,则函数(,)f x y 在0p (0x ,0y )可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续,有下列蕴涵关系:偏导连续⇒可微⇒(连续,偏导存在);它们反方向结论不成立.当然,其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道,多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有某些差异,而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时,需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性,进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1 多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说,即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ,又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ,(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续.甚至,即使在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y (或(,)y f x y ),而且(,)x f x y (或(,)y f x y )在点000(,)p x y 连续,也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数(,)f x y =21sin ,00,0x y y y ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=⎩关于具体验算步骤不难得出.不过,我们却有如下的定理.定理1 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义,若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续,(,)x f x y 在0()U p 内有界,则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.证明 任取00(,)x x y y ++ 0()U p ∈,则0000(,)(,)f x x y y f x y ++-00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- (1) 由于(,)x f x y 在0()U p 存在,故对于取定的0y y + ,0(,)f x y y + 作为x 的一元函数在以0x 和0x x + 为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的Lagrange 中值定理,存在(0,1)θ∈,使0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ = 00(,)x f x x y y x θ++将它代入(1)式得0000(,)(,)f x x y y f x y ++-000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=++++- (2) 由于00(,)x x y y θ++ 0()U p ∈,故00(,)x f x x y y θ++ 有界,因而当(,)(0,0)x y → 时,有00(,)0x f x x y y x θ++→又,据定理的条件知,0(,)f x y 在0y y =连续,故当(,)(0,0)x y → 时,又有0000(,)(,)0f x y y f x y +-→所以,由(2)知,有00000lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→++- =0这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义,(,)y f x y 在0()U p 内 有界,0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续,则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续. 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理 3[5] 设函数12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()U p 内有定义, 12(,,)i x n f x x x ⋅⋅⋅在0()U p 有界{}0111(1,2,),(,,,,)i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000111(,,,)i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续,则 12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在 点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅连续. 证明 任取00001122(,,,,,)i i n n x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 0()U p ∈,则 000000111(,,,,)(,,)i i n n i n f x x x x x x f x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =00011(,,,,)i i nn f x x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --++-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+000000001111111(,,,,,)(,,,)i i i i i n n i n f x x x x x x x x x f x x x --++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅由于1(,,,i x i n f x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅)在0(U p )内存在,故对于固定的{}0(1,2,,j j x x j n +∈⋅⋅⋅ \{}),i 0000111111(,,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 作为i x 的一元函数在以01x 和0i i x x +为端点的闭区间上可导,从而据一元微分学中的Lagrange 中值定理,存在(0,1)θ∈,使00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ -00000111111(,,,,,)i i i i i nn f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=00000111111(,,,,,)i x i i i i i i nn i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 由于00000111111(,,,,,)i i i i i i n n x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 0()U p ∈故00000111111(,,,,,)i x i i i i i i n n f x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 有界因而,当111(,,,,,,)(0,,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时,00000111111(,,,,,)0i x i i i i i i n n i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+→ .又,据定理的条件知,0111(,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的1n -元函数在点0111(,,,,)oi i nx x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续,故当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时,有00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i nf x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 所以,由(3)知,当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时,有00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i n f x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 这说明111(,,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅在点000000111(,,,,,)i i i np x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续. 证毕.2.2多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有:////0000(,)(,)xyyx f x y f x y =此式成立的条件为:偏导数//xy f 和//yx f 在00(,)x y 都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ,/y f 及//yx f 存在,且//yx f 在0p 对y 连续,则偏导数//xy f 在0p 存在,且 ////0000(,)(,)xyyx f x y f x y = 证明 不妨设000(,)p x y 的邻域为 :{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x在0x 有增量x 00(0,(,))x x x U x δ≠+∈ ,y在0y 有增量y 00(0,(,))y y y U y δ≠+∈ ,则要证极限////0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y→+-= (1)存在且值为//00(,)xyf x y . 因为/x f 在0()U p 存在,所以/0000000(,)(,)(,)limx x f x x y y f x y y f x y y x→++-++=及 /0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+-=都存在,将其代入(1)式右端得//00(,)xy f x y 00lim limy x →→= [][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x++-+-+- (2)作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+-因为/y f 在0()U p 存在,所以///(,)(,)(,)yy y x y f x x y f x y ϕ=+- 在0()U p 存在,故对函数0(,)x y ϕ,在以0y 和0y y + 为端点的区间上应用Lagrange 中值定理,得/000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+-=+ (01)θ<<而由(,)x y ϕ的构造可知,上式即[]0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ []0000(,)(,)f x x y f x y -+-//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=++-+⎣⎦ y (01)θ<<将其代入(2)式右端得//0000//0000(,)(,)(,)lim lim y y xy y x f x x y y f x y y y f x y y xθθ→→⎡⎤++-+⎣⎦=//000000(,)(,)lim limy y y x f x x y y f x y y xθθ→→++-+= (0)y ≠又因为//yx f 在0()U p 存在,所以//00000(,)(,)limy y x f x x y y f x y y xθθ→++-+ //00(,)yx f x y y θ=+//////0000000(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ→=+= (//yx f 在0p 对y 连续)定理得证.2.3 多元函数的可微性考察函数的可微性时,如果知道偏导数连续,则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足,或不易判断.熟知函数在点0p 可微的必要条件是各个偏导数在0p 处存在.如果函数(,)z f x y =在0p 处的全增量可表示为:z=A x+B y+()ορ则常数A 与B 一定为A=x f (0p ) B=y f (0P ) 且函数在0P 处可微.于是验证函数可微性的一个方法是检验极限:0limρ→00()()x y Z f p f p yρ-- 是否等于零,然而这先要求偏导数A=0()x f p 和B=0()y f p .有无可能不求偏导数,而设法判断可微性?例1 考虑函数Z=()()22221()sin ,0,00,,0,0x y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩在(0,0)处的可微性.由 Z =22221()()sin()()x y x y ⎡⎤+⎣⎦+ 知22221limlim ()()sin0()()Zx y x y ρρρ→→=+=+ 能否判定此函数在(0,0)可微?事实上,上式极限等价于()Z o ρ= 或写成00()Z x y o ρ=++ 由全微分定义即知此函数在(0,0)可微,(0,0)(0,0)0x y f f ==且(0,0)dz =0这个例子启示我们有可能通过考察极限0limZρρ→ 判断某些函数的可微性.我们可以证明如下的定理定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p 的某个邻域内有定义,且极限0lim Zρρ→ 存在,记为α(1) 若0α≠,则函数()z f p =在0p 处不可微;(2) 若α=0,则函数在0p 处可微且00dz p =,其中221()()n x x ρ=+⋅⋅⋅+ . 我们以二元函数为例证明.证明(1)反证.设函数(,)z f x y =在000(,)p x y =处可微,则()Z A x B y o ρ=++由0lim0zραρ→=≠ 及上式可得220A B +≠ 考察等式()A xB yZo ρρρρ+=-两边的极限.令cos ,sin ,02x y ρθρθθπ==≤< ,则 左=0limlim(cos sin )A x B yA B ρρθθρ→→+=+ 极限不存在 (220A B +≠)右=0lim0Zραρ→=≠ 矛盾.故函数(,)z f x y =在0p 处不可微.(2)若0lim0Zρρ→= 即()Z o ρ= 则有 00()Z x y o ρ=++故z=f(x,y)在0p 处可微.且00dz p = 这时有0000(,)(,)0x y f x y f x y == 需要说明的是,0limZρρ→ 不存在时,函数()z f p =在0p 点的可微性不确定.我们熟知如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续,则它一定在该点可微.那么是不是非得满足这一条件才可微呢?以下我们介绍一个较弱条件小关于多元函数可微的定理.定理6[3] 若n+1元函数1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 的偏导数对n+1个变量连续,关于1,n x x ⋅⋅⋅可微(即把1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅中的y 看成常数后可微),则n+1元函数1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.证明 因为1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅关于1,n x x ⋅⋅⋅可微,所以1//111(,,)(,,)n x n x n n f a a b x f a a b x ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1111(,...,)(,...,)()n n n f a x a x b f a a b ορ++-+ (1) 其中2211()()n x x ρ=+⋅⋅⋅ 有因为1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 有连续的偏导数,有Lagrange 中值定理,在b 与b+y 之间存在ζ满足/11(,,)y n n f a x a x y ζ+⋅⋅⋅+=1111(,,)(,,)n n n n f a x a x b y f a x a x b +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+由连续性有//1110lim (,)(,,)y n n y n f a x a x f a a b ρζ→+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅其中2221()()()n x x y ρ=+⋅⋅⋅++ ,所以//111(,,)(,,)()y n y n n f a a b y f a x a x y o ζρ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=1111(,,)(,,)()n n n n f a x a x b y f a x a x b o ρ+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ (2)(1)+(2)得1///1111(,,)(,,)(,,)n x n x n n y n f a a b x f a a b x f a a b y ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1111(,,)(,,)()()n n n f a x a x b y f a a b o o ρρ+⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅++因为10ρρ≤≤,所以1()()o o ρρ=,即1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.推论 若n(n ≥2)元函数1(,,)n f x x ⋅⋅⋅的偏导数存在,且至多有一个偏导不连续,则1(,,)n f x x ⋅⋅⋅可微.证明 对n 作数学归纳.当n=2时,不妨设2/x f 连续,而由一元函数可导与可微的关系知12(,)f x x 关于1x 可微,由定理12(,)f x x 可微.设n=k 时结论成立,则当n=k+1时,不妨设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1k x +有连续偏导数,此时1//,k x x f f ⋅⋅⋅仍最多有一个不连续,由假设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1,k x x ⋅⋅⋅可微.所以11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅可微.2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也有些差异,这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数,我们着重讨论二元函数,在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后,在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系. 2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系(1) 函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续,但偏导不一定存在. 例 2证明函数(,)f x y 22x y =+在点(0,0)连续偏导数不存在. 证明:因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==, 故函数22(,)f x y x y =+在点(0,0)连续.由偏导数定义:2001,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f x f x x x →→>⎧+-===⎨-<⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.(2)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 偏导存在,但不一定连续.例 3 函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ,(0,0)y f 存在,但不连续证明 由偏导数定义:00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→+-=== 同理可求得(0,0)0y f =因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见,二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系(1) 可微与偏导存在定理7 (可微的必要条件)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)p x y 处可微,则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在,且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立,及二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 处的偏导即使存在,也不一定可微.例 4 证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在原点两个偏导存在,但不可微.证明 由偏导数定义:00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→+--=== 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微,则[]22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y x y f df f x y f f dx f dy x y⎡⎤-=++--+=⎣⎦+应是较22x y ρ=+ 的高阶无穷小量,为此考察极限220limlimf dfx y x y ρρρ→→-=+当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时,则(,)(0,0)2222(,)(0,0)limlim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时,对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.(2) 偏导连续与可微定理8 (可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)p x y 的某邻域内存在,且x f 与y f 在点000(,)p x y 处连续,则函数(,)f x y 在点000(,)p x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例5 证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在点(0,0)处可微,但(,)x f x y ,(,)y f x y 在(0,0)点却间断.证明 22(,),0x y x y ∀+≠,有222222121(,)2sin cos x x f x y x x y x y x y =-+++ 222222121(,)2sincos y y f x y y x y x y x y=-+++ (1)当y=x 时,极限22111lim (,)lim(2sincos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在,则(,)x f x y 在(0,0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0,0)点间断.(2)因200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x →→-=== 200(0,)(0,0)1(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→-===即函数(,)f x y 在点(0,0)可微. 2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系类似于一元函数的连续性与可微性间的关系,即二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 可微 则必然连续,反之不然.例6 证明函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续,但它在点(0,0)不可微.证明 (1)因为00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.(2)因为(0,0)(0,0)f f x y f x y =++-=(0,0)(0,0)0x y df f dx f dy =+=所以2222limlim lim x x y y x y x y f dfx yx yρρ→→→→→-==++当动点(,)x y 沿着线y x = 趋于(0,0)时,有221lim 02x y x y x y →→=≠+即0lim0f dfρρ→-≠ ,故(,)f x y 在原点(0,0)不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示:3 小结对于多元函数的连续性,偏导存在性,可微性等概念以及它们之间因果关系的研究,是多元微分学中的一个难点.本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导,可连续的定理之后,主要以二元函数为例,通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比,尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似,但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃,而从二元到三元以上的函数,则只有技巧上的差别,而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点,既看到它们的相同之处,又要注意不同之点.偏导连续可微连续 偏导存在参考文献:[1] 同济大学应用数学系,高等数学.(第五版,下册)[M] 北京:高等教育出版社,2002,6.[2] 刘波,李晓楠.关于多元函数可微性的一个注记[J]高等数学研究,2008.3:36—38.[3] 汪明瑾 . 一个关于多元函数可微的定理[J] 高等数学研究,2001.3:8.[4] 李晓芬 . 关于混合偏导求导次序无关的条件[J] 山西师大学报(自然科学版)1996.6:1—2.[5] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J] 韶关学院学报(自然科学版)2002.6:1-4.[6] 华东师范大学数学系.数学分析(三版)[M]北京:高等教育出版社,2004,5.[7] 张鸿,门艳红. 讨论二元函数连续性、偏导存在性、及可微性间关系[J] 哈尔滨师范大学自然科学学报,2006.1:32—34.[8] 周良金,王爱国.偏导数存在、函数连续及可微间的关系[J]高等函授学报(自然科学版),2005,10:34—40.[9] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(三版)[M]北京:高等教育出版社,2001,2.[10] 刘玉琏,等.数学分析讲义学习辅导书(二版)[M]北京:高等教育出版社,2004,7.谢辞经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文设计已经接近尾声,作为一个本科生的毕业论文,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有导师的督促指导,以及一起工作的同学们的支持,想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多,但在我做毕业设计的每个阶段,从选题到查阅资料,论文提纲的确定,中期论文的修改,后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作,在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意!在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!最后,我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢!。
多元函数微分学中的有关问题
多元函数微分学中的有关问题·多元函数中一些概念的关系 ·复合函数的求导·与一元的对比与多元处理的思路 ·多元函数的极值问题 ·几何应用问题 求函数ln(1)z x y =--的定义域并作定义域的草图。
解:定义域 {(,)|1}D x y x y =+<为什么是直线1x y +=的左下方部分?即为何D 中任一点(,)x y 都满足1x y +<?反证法。
若∃一点000(,)p x y ,使001x y +>,则在包含点(0,0)和0p 在内的某有界区域内二元函数1Z x y =+-连续,且(0,0)|0z <,0|0P z >,由有界闭区域上连续函数的性质(价值定理),必∃一点p D ∈,使0pz=,即1x y +=(矛盾)。
1.多元函数中一些概念的关系,以(,)z f x y =为例⇒连续可微⇒偏导数存在连续偏导数⇒可微 偏导存在⇒连续⇒任意方向 ⇒可微方向导数存在例如 222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处0,0x y f f ==,但00lim x y f →→不存在,当然不连续,更不可微。
沿任意方向{cos ,cos }l αβ=的方向导数(按非电类教材的定义):2(0,0)3000(0cos ,0cos )(0,0)cos cos cos cos lim lim lim ff f lρρρραρβραβαβρρρ+++→→→∂++-===∂当cos 0α=或cos 0β=,即 22or ππαβ==,即沿y 轴正、负方向,(or 沿x 轴正负方向的方向导数存在,沿其它方向方向导数不存在。
)2.多元复合函数微分法ex1 设(,)z f x y =在点(1,1)处可微,且(1,1)1,(1,1)2,(1,1)3x y f f f ==-=,()(,(,))x f x f x x ϕ=,求21d ()d x x xϕ=解:211d ()2()[()]d 21[23(23)]2(32)2x x y x y x x x f f f f x ϕϕ===++=⋅-+-+=-=ex2 设(,)f x y 有二阶连续偏导数,且2(,)(,),(,2),xx yy f x y f x y f x x x ==(,2)x f x x x =,试求(,2)(,2)xx xy f x x f x x 与解: 由 2(,2)f x x x = 得 22x y f f x +=, 再求偏导 (,2)2242xx xy yx yy f x x f f f +⋅++=即(条件) 5(,2)4(,2)2xx xy f x x f x x += (1) 又由(,2)x f x x x =,得(,2)2(,2)1xx xy f x x f x x += (2)联立(1),(2)解之,得 1(,2)0, 2xx xy f x x f ==ex3 设(,,,),(,,)0,(,)0,,,u f x y z t g x z t h z t f g h ===可微,且(,)0(,)g h t z ∂≠∂,求,u u x y∂∂∂∂。
微积分学习心得范文_微积分学习心得感悟5篇
微积分学习心得范文_微积分学习心得感悟5篇微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
那么你知道微积分的学习心得有哪些吗?下面是小编整理的微积分学习心得,欢迎大家阅读分享借鉴。
微积分学习心得1进入大学半年多的时间,《微积分》的学习使我受益匪浅。
微积分与中学里学的初等数学不同,因为初等数学的研究对象基本上是变得量,而微积分是一门以变量作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科。
我认为在《微积分》的学习中最基础的是“极限”。
极限是一种思想,正是由于这样一种思想的诞生,使人们解决了许多在生活中所不能解决的问题。
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限概念和极限方法产生的客观基础。
所以,没有极限这种思想,就不会有现在的微积分理论。
应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题,就产生了微分学;应用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小量无穷积累的问题,就产生了积分学。
另外,对连续、可导、可积概念的引出均是以极限为基础的。
因此,在《微积分》中最重要、最基础的莫过于极限的概念和极限的方法了。
在经济、商业、生命科学、物理学、社会科学等方面微积分的作用都是显著的。
这学期我刚接触《大学物理》,在学习过程中我就认为这门课完全就是运用微积分来解决实际问题。
例如求变速问题、变力做功、火箭升空、刚体转动、简谐振动等等全是在运用微积分解题。
我是化学化工学院的学生,我在学习化学的过程中,我也发现了微积分的运用,虽然运用没有物理学多,如波函数就是解偏微分方程、求反应的瞬时速度就是在求某一点的导数。
因此,我在《微积分》的学习中受益匪浅。
微积分学习心得2这个学期学习了微积分,了解了很多关于微积分的知识,在课堂上的学习和在课下的学习,让我更深层次的了解了他,运用了他。
关于多元微分学的几点注记
关于多元微分学的几点注记多元微分学是微积分的一个重要分支,它研究具有多个自变量的函数的微积分理论和方法。
下面是一些关于多元微分学的注记。
1. 多元函数的极限与连续性多元函数的极限定义比一元函数的要复杂,它要求函数在无论哪种方向逼近极限点时都收敛到同一个极限值。
而多元函数的连续性则可以用极限来刻画:如果一个函数在某点具有连续性,则在该点的极限存在,而且等于函数在该点的值。
2. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数描述了函数沿着一个变量方向的导数。
它的定义是将除了这个变量以外的所有变量都视为常数,对该变量求导。
偏导数在物理、经济等领域的应用非常广泛,比如速度、加速度、边际效应等都由偏导数来描述。
多元函数的全微分是指将函数对各个变量的偏导数分别乘上这些变量的微小变化量,然后相加得到的一个表达式。
全微分在微积分中扮演了一个重要的角色,它使得我们能够更加准确地描述函数在一个点的变化情况。
多元函数的梯度是一个向量,它的方向是函数值增加最快的方向,大小表示这个增加的速率。
梯度在优化、最大化、最小化等问题中扮演着非常重要的角色,它帮助我们找到函数的最大值、最小值以及优化的方向。
多元函数的积分在求解面积、体积、质量、电荷、能量等物理量时非常有用。
它的计算方法有很多种,比如累次积分、换元积分、极坐标积分等。
多元积分还可以应用于概率、统计、信号处理等领域。
总之,多元微分学在数学以及许多应用学科中都有着重要的地位。
熟练掌握多元微积分的基本理论和方法,可以帮助我们更深刻地理解自然界的现象,提高我们的解决问题的能力。
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在( o I O ) 处 沿 = 方向的 方向 导 数 存在 ,
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多 元函数微 分学教学硇一些思 考
浙 江树人 大 学基础部 苏久亮
[ 摘 要] 本文就多元函数 可微 、 偏 导数存在 、 偏 导数连 续、 方向导数 等概 念之 间的关 系分组进行 了比较 、 讨论 。 [ 关键词 ] 可微 偏导数 偏导数连续 方向导数 本 文就 多元 函数微分学这块教学 内容 中学生容易混淆 的一些 概念 分组进行 比较 、 讨论 :
- 厂 ) 在 ( z 。 , Y o ) 处 的 偏 导 数 ( z o )
的偏导数 L( z o ) 、 f y ( x Y 。 ) 都存在时, 该 函数在 ( 。 o ) 处不一定可
微。
:
l i m— J ( x, y o ) - J( x o , y o )
—
。
L( z o , Y 。 ) 、 ( 如, Y 。 ) 都存在时 , z = f ( x , ) 在( 。 , y o ) 处沿任一方 向( 除去
平行于 轴与 Y 轴 的方 向) 的方 向导数不一定存在 。
定理的证明可参见文献[ 1 ] 。 但 反 之不 一 定 成立 , 也 就 是说 : 当二元 函数 z = f ( x ) 在( X O , Y o ) 处可微时, 该 函数 的 偏 导数 L( x, ) 、
( x 2 +y 2
O 肘
( O , o ) : l i m 。
=
1。
v
1 0 ,
) 一 ( o , o 时
z2 s
当 方 向 z 不 是 平 行 于 z 轴 、 轴 的 方 向 时 , 方 向 导 数 ’ j ’ 二
l i m f ( x, y ) - f( O , 0 )
四、 方向导数与可微的关系
定理 3 如 果 二元 函数 z = f ( x ) 在 ( z 0 o ) 处可微 , 则 该 函 数在
( z o I L y n ) 处沿任一方 向的方 向导数一定存在 。
_ ( O , o ) z s x— ( 0 , O ) A y
。
( o , o ) — ( o , O ) A y _ / ’ ( , ) = √ l
沿 着 直线 - ) , =z趋 于 ‘ o ’ 0 寸’
l ,
f J △ △ v l :
限1 i m : 二 : ) :l i m 不存在
o
T _ + 0
错误说法 : 方向导数是偏 导数 概念的推广。
根 据 定 义 , z , ) 在 ( 。 , 。 ) 处 沿 方 向 的 方 向 导 数 } 、
l i m— f ( x , y o ) - f ( x o , y o )
—
-
( xo , y o )
2 2 o
,
一
c O S —
√2
不存在 , 从而偏 导数 L( x , ) 在( o , o ) 处不连续。
、
可微 与偏导数存在 的关 系
三、 方向导数与偏导数的关系
定 理 1如 果二 元 函数 z = f( x, Y ) 在 ( z 。 ) 处可微 , 则该 函数 在 ( 3 2 。 I Y) y I J 处的偏导数 ( 0 o ) 、 ( 0 , Y o ) 一定存在 。 定理 的证 明可参 见文献【 1 1 。 但 反之不一 定成立 , 也就是说 : 当二元 函数 = | 厂 ( , Y ) 在( o , y o ) 处
u 2 2
当点 ‘ ’
注: 如果偏 导数 ( 0 0 ) 存在 , 则z = f ( x ) 在( 3 2 o , Y 0 ) 处沿 i ’ 方
≠o, 由定义 , z = 厂( z, ) 在( o , o ) 处不可微 。 二、 可微与偏导数连续的关系
向 的 方 向 导 数 1 ~ 一 定 存 在 , 此 时 两 者 相 等 。
:
f A o , o ) = 她
) = 蛳
’
. ’
= _ = 她 n 南
z s i n
; = √ z 。 +
! i m— = 一 不存在。
j 二 √ - z 。 + 。
= l i a r
s n 1
: 一 l i a r y s i n , 1 = o 一
Y。
另外需注意: 当二 元 函数 z = f ( x ) 在 ( 3 2 o , Y 。 ) 处 的 偏 导 数 ) 、 ( x , 3 I ) 在
定 理 2 如 果 二 元 函数 z = f ( x ) 的 偏 导 数
( 2 2 。 。 ) 处连续 , 则该 函数在 ( - z o ) 处可微 。
两者是单 侧极限与极限的关系 , 并不是同一个
0
Z — Z “
例1考虑f ( x , 3 , ) =√ { I
. .
概念 。
:
i m ’ . 1 i m— f ( x, 0 ) - f( O, 0 ) o .1
—
一
0
例3 = √ =
1 . m— f ( x , 0 ) - f ( O , 0 )