数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题

1．阅读理解：

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．

（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；

（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；

（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．

解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，

故答案为：55°；

（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：

∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，

∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，

∴∠AFD＝135°，

∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，

∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，

∴∠AFD＝∠DBE，

∵AD⊥DE，

∴∠ADE＝90°，

∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，

∴∠FAD＝∠BDE，

在△ADF和△DEB中，，

∴△ADF≌△DEB（ASA），

∴AD＝DE，

∵∠ADE＝90°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝AD＝2；

（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，

∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，

∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，

∴△ABK是等边三角形，

∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，

∴KM＝AK•sin60°＝2，

∵AE＝3，AM＝AB＝2，

∴ME＝3﹣2＝1，

∴EK＝＝＝，

∴EF＝＝＝．

2．问题再现：

如图1：△ABC 中，AF 为BC 边上的中线，则S △ABF ＝S △ACP ＝S △ABC 由这个结论解答下列问题： 问题解决：

问题1：如图2，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，则S △BOC ＝S 四边形

ADOE

．

分析：△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，则S △BCD ＝S △ABC ，BE 为AC 边上的中线，则S △ABE ＝S △ABC ∴S △BCD ＝S △ABE

∴S △BCD ﹣S △BOD ＝S △ABE ﹣S △BOD

又∵S △BOC ＝S △BCD ﹣S △BOD ，S 四边形ADOE ＝S △ABE ﹣S △BOD 即S △BOC ＝S 四边形ADOE

问题2：如图3，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，AF 为BC 边上的中线．

（1）S △BOD ＝S △COE 吗？请说明理由．

（2）请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系：S △BOD ＝ S △ABC ．

问题拓广：

（1）如图4，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝

S 四边形ABCD ．

（2）如图5，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝

S 四边形ABCD ．

（3）如图6，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点， 若S △AME ＝1、S △BNG ＝1.5、S △CQF ＝2、S △DPH ＝2.5，则S 阴＝ 7 ．

解：问题2：S △BOD ＝S △COE 成立，

理由：∵△ABC 中，CD 为AB 边上的中线， ∴S △BCD ＝S △ABC ， ∵BE 为AC 边上的中线， ∴S △CBE ＝S △ABC ∴S △BCD ＝S △CBE

∵S △BCD ＝S △BOD +S △BOC ，S △CBE ＝S △COE +S △BOC ∴S △BOD ＝S △COE

（2）由（1）有S △BOD ＝S △COE ， 同（1）方法得，S △BOD ＝S △AOD ，

S △COE ＝S △AOE ， S △BOF ＝S △COF ，

∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ， ∵点O 是三角形三条中线的交点， ∴OA ＝2OF ，

∴S △AOC ＝2S △COF ＝S △AOE +S △COE ＝2S △COE ， ∴S △COF ＝S △COE ，

∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ＝S △BOF ＝S △COF ， ∴S △BOD ＝S △ABC

，

故答案为

问题拓广：

（1）如图4：

连接BD，由问题再现：

S

△BDE ＝S

△ABD

，

S

△BDF ＝S

△BCD

，

∴S

阴影＝S

四边形ABCD

，

故答案为，

（2）如图5：

连接BD，由问题解决：

S

△BMD ＝S

△ABD

，S

△BDN

＝S

△BCD

，

∴S

阴影＝S

四边形ABCD

，

故答案为；

（3）如图6，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，

∵S

△AME ＝1、S

△BNG

＝1.5、S

△CQF

＝2、S

△DPH

＝2.5，

由（1）得出：

a+1+2.5＝a+3.5＝S

△ACD

①，

c+1.5+2＝c+3.5＝S

△ACB

②，