三角函数综合应用

学 大 教 育 个 性 化 教 学 学 案综合知识复习归纳一、 角的概念与推广：任意角的概念；角限角、终边相同的角； 二、 弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度；弧长公式：r lα= 扇形面积：S=α22121r r l =⋅三角函数线：如右图，有向线段AT 与MP OM 分别叫做α 的的正切线、正弦线、余弦线。

三、 同角三角函数关系：即：平方关系、商数关系、倒数关系。

四、 诱导公式：()ααπf nf '±=⎪⎭⎫⎝⎛±2 记忆：单变双不变，符号看象限。

单双：即看πn 中的n 是2π的单倍还是双倍，单倍后面三角函数名变，双不变则三角函数名不变；符号看象限：即把α看成锐角，加上2πn 终边落在第几象限则是第几象限角的符号。

五、 有关三角函数单调区间的确定、最小正周期、奇偶性、对称性以及比较三角函数值的大小问题,一般先化简成单角三角函数式。

然后再求解。

六、 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：姓 名 年 级 性 别课 题教 学 目 的教 学 重 难 点教 学 过 程(内容可附后)y xM PTAO1、 常数代换法：如：αααααα2222tan sec cot tan cos sin 1-=⋅=+=2、 配角方法：ββαα-+=)( ()βαβαα-++=)(2 22βαβαβ--+=3、 降次与升次：22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 22αα+=以及这些公式的变式应用。

4、()θααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中ab=θtan ）的应用，注意θ的符号与象限。

5、 常见三角不等式：（1）若x x x x t a n s in .2,0<<⎪⎭⎫ ⎝⎛∈则π （2）、若2cos sin 1.2,0≤+<⎪⎭⎫⎝⎛∈x x x 则π （3）1cos sin ≥+x x6、 常用的三角形面积公式：（1）、c b a ch bh ah S212121===（2）、B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== （3）()22221OB OA OB OA S ⋅-⋅=七、 三角函图象和性质：正弦函数图象的变换：()()αωαωω+=−−−→−+=−−−→−=−−−→−=x A y x y x y x y sin sin sin sin 振幅变换平移变换横伸缩变换三角函数的图象和性质定义域 RR值 域RR周期性奇偶性 对称性 奇函数，图象关于坐标原点对称 偶函数，图象关于 轴对称奇函数，图象关于坐标 原点对称 奇函数，图象关于 原点对称 单调性 在区间在区间上单调递增；在区间在区间上单调递减。

上单调递增； 在区间上单调递减。

在区间上单调递减。

上单调递增。

考点分析：考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。

样题1、已知函数f(x)=)x cos x (sin log 21-（1）求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性。

样题2、化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.样题3、（1）已知cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。

样题4 求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2的最大值考点二: 三角与其他知识的结合,三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度会控制在中等偏易的程度；样题5、已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

考点三: 关于三角函数的图象, 立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性 样题6、 如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b .(1)求这段时间的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.样题7（05年福建）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==样题8、（05年全国卷Ⅰ17）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

（本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分.）考点四：三角函数与其它知识交汇设计试题，是突出能力、试题出新的标志，近年来多出现于三角函数与向量等知识交汇。

样题9（05年江西）已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.样题10、（05年山东卷）已知向量528),2,(),cos ,sin 2()sin ,(cos =+ππ∈θθθ-=θθ=n m n m 且和， 求)82cos(π+θ的值.课后练习1.集合M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z}，N ＝{x |x ＝cosn π2，n ∈N}，则M ∩N 等于 ( )A.{－1,0,1}B.{0,1}C.{0}D.∅2.已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于A.17B.7C.－17D.－7 3.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A.1B.2C.3＋1D.3＋24.函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)在[－π2，π2]上对称轴的条数为A.1B.2C.3 D .05.要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象 ( )A.向左平移π3个单位B.向右平移π3个单位C.向左平移π6个单位D.向右平移π6个单位6.使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为( )A.－π3B.－π6C.5π6D.2π37.给定函数①y ＝x cos(3π2＋x )，②y ＝1＋sin 2(π＋x )，③y ＝cos(cos(π2＋x ))中，偶函数的个数是 ( )A.3B.2C.1D.08.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为 A.1 B.2 C. 2 D. 39.有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是A.3B.4C.5D.610.设集合M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，x ∈R}，给出从M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A.πB.π3C.π2D.π411.函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )12.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( )A.f (x )的图象过点(0，12)B.f (x )的图象在[5π12，2π3]上递减C.f (x )的最大值为AD.f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为14.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如下图所示，则f (7π12)＝ .15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan Atan B的值为16.下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z}；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数.其中真命题的序号是 .17.(本小题满分12分)已知AC ＝(cos x 2＋sin x 2，－sin x 2)，BC ＝(cos x 2－sin x 2，2cos x2).(1)设f (x )＝AC ·BC，求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)设有不相等的两个实数x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π2，π2，且f (x 1)＝f (x 2)＝1，求x 1＋x 2的值.18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，tan A ＝12，cos B＝31010.(1)求角C ；(2)若△ABC 的最短边长是5，求最长边的长.19.(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin A ＝55，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a 、b 、c 的值.20.(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：x π6 π35π6 4π3 11π6 7π317π6y-1131-113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围；。