小学数学竞赛不定方程成品

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小学6年级奥数之不定方程编辑版

5, b = 24, b = 13, b = 出生年份是1972年 1994 - 1972 = 22. 答：这个学生1994年22岁。
{
x =7, y =8;
{
x = 14, y = 5;
;
{
x = 21, y = 2.
因为7+8 < 14 + 5 < 21 + 2; 所以， 38毫米长的7段， 90毫米长的8段。
解：设这个学生出生年份是19ab年,由题意得 1991-19ab=1+9+a+b, 11a + 2b = 81, 1-a b = 40 - 5a + { 2 a = 1, a = 3, a = 5, a = 7
2500 x + 350 y = 11700, 50 x + 7 y = 234, 234 - 50 x 3- x = 33 - 7 x + , 7 7 x = 3, 解得 y = 12. y=
{
.
答：邮局买了3辆助动车和12辆自行车。
随堂练习1
随堂练习1
解： 38毫米长的x段， 90毫米长的y段，由题意得 39x + 91 y =1001, 3 x + 7 y = 77, 3x y = 11 , 7 解得

例1
求下列方程的整数解（x>0，y>0).
(1) 5x+10y = 14;
(2) 11x+3y = 89.
解：（1）因为(5,10) = 5, 5Ɨ14,所以原方程无整数解。[注] 不定方程ax+by=c中，如果（a,b)Ɨc, 那么这个方程无整数解。（2)(11,3）=1,1|89，原方程整理得

五年级数学竞赛(不定方程组)

五年级数学竞赛
不定方程（组）
学校姓名
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一个方程中，有2个或2个以上的未知数，这样的方程就是不定方程。

由几个方程组成的方程组中未知数的个数比方程的个数多，这样的方程组就叫做不定方程组。

基础仿练
例l 求χ＋2y＝10的整数解。

仿练1 求4χ＋y＝17的整数解。

拓展1－1 求4χ＋5y＝48的非0整数解。

拓练1－1 求6χ＋5y＝100的整数解。

例2 求方程χ＋2y＋4z＝10的整数解。

仿练2 求方程2χ＋y＋5z＝12的整数解。

拓展2－1求3χ＋4y＋5z＝20的所有非零整数解。

拓练2－1求方程6x＋5y＋3z＝30的所有非零整数解。

例3求方程组的非零整数解。

仿练3求的整数解。

仿练评点
一般地，不定方程(组)的解是无限的，但如果是整数解，有时就是有限的；我们主要研究的是不定方程(组)的整数解。

例2与例3中出现在解不定方程(组)时，有的步骤没有解或解不成立，这要引起大家重视。

综合题选
1．求3χ＋5y＝21的整数解。

2．方程4χ＋6y＝100有多少组整数解，有什么规律?
3．求2χ＋4y＋5z＝26的整数解。

4．求方程组的非零整数解。

高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲不定方程

「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有人，乙小队有人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于与的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有人和人．则两队植树棵数分别为棵和棵．由分析得：．将 0、1、2、……代入方程验证是否是自然数，可以求出方程的值最小的一组自然数解，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是，，，……），每次“ 值增加13且同时值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有人．

小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题

小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题1.小学五年级不定方程奥数练习题篇一1、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船X大船y列方程：3x+5y=48x,y都是正整数解得：x=1,y=9x=6,y=6X=I1y=32、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需大、小盒子个多少个？答案：设大的X个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：X只能取奇数χ=1y=8.5舍去x=3,y=5满足x=5,y=1.5舍去2.小学五年级不定方程奥数练习题篇二一天，小强在家里做数学作业时，遇到了一题难题，这道题目是：有一次,小红问小军的生日，小军说：“把我的月份数乘以18,日期数乘以12的和只要等于108就行了。

试用最单的方法算出小军的生日是几月几日？解：设小军的生日月份为X,月份的日期y18x+12y=108在解决问题的时候，小强的心里想：在方程式里，怎么会出现一个式子里就有两个未知数呢？突然间小强明白了这道题的方法：原来这是一道不定方程。

小强问妈妈：什么是不定方程呢？妈妈说：在一个等式里未知数个数多于方程个数的方程叫做不定方程。

例如：刚才你思考的题目中所列出的方程，就是属于不定方程。

小强听了妈妈的讲解方法，终于解出了那道不定方程，他的解法是：将18x+12y=108,变形后得：y=（108T8x）÷12,即y=9T。

5x,因为x,y均为整数，且IWXWI2,1≤y≤31,根据该方程，2WxW4,当x=2时，y=6；当x=4时,y=3o3.小学五年级流水行船问题奥数练习题篇三1、船在静水中的速度为每小时15千米，水流的速度为每小时2千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了13小时，从乙港返回甲港需要多少小时？分析：船速+水速=顺水速度，可知顺水速度为17千米/时。

顺水行驶时间为13小时，可以求出甲乙两港的路程。

2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法

2018小学奥数专题一：不定方程的经典题型以及解题方法不定方程的概念：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9中，如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

不定方程的解法：解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

不定方程的经典例题：例题一：一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。

如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？解题方法：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。

设大盒子有x个，小盒子有y个，则12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）， y＝（99－12y）÷5经检验，符合条件的解有（X=12，Y=15）和（X=7，Y=3），所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。

例题二：买三种水果30千克，共用去80元。

其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。

问三种水果各买了多少千克？解题方法：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x －y）千克。

根据题意得：4x+3y+2×（30－x－y）＝82x=10-y/2由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。

小学数学竞赛二不定方程

二不定方程所谓不定方程就是未知数的个数多于方程的个数，这时方程的解往往不确定.例1 已知三个自然数的乘积是6，求这三个自然数.分析这道题的答案不是唯一的，我们可以画出树形图来得出所有解答.解设这三个自然数分别为a、b、c，并且不妨设a≤b≤c，不难知道a＝1，由此画出下图所以这三个自然数分别为：1，1，6或1，2，3.例2 已知a，b，c表示数字，并且满足等式：83a-7b-16c＝0，求a、b、c分别是多少？分析将等式改写为：83a＝7b+16c，由于7×9+16×9＝207也就是说等式右侧最大只能是207，所以等式左边的83a也不超过207，所以a只有两种可能：1和2.由此入手试验就可求出答案.解先设a＝2，这时就有7b+16c＝166，由于b是数字，所以c不能小于7，也就是说c只有7、8、9三种可能，依次代入试验发现b都无整数解.这就排除了a＝2的情况.对a＝1的情况，做同样的讨论.这时有：7b+16c＝83，不难发现c不超过5，不小于2，也就是c只有2，3，4，5四种可能，依次代入试验可求出当c＝3时，b＝5.所以a、b、c三数依次为1、5、3.说明有许多不定方程在一定条件下，答案是唯一的.例3 设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程100x+y＝2xy，求x 与y分别是多少？分析先将原方程变形如下：约数进行试验.50的两位奇约数只有25，所以就有2x-1＝25解得 x＝13分析初看本题不是解不定方程的问题，但可采用与上题类似的方法解决.由于x与y是不同的质数，所以x与x+y一定互质，这就说明x+y一定是198的约数，列举出198的所有约数：198，99，66，33，22，18，11，9，6，3，2，1.由已知条件，x+y还应满足下列条件：（1）x+y不是一位数；（2）x+y是偶数；（3）x+y是两个不同质数之和.由以上条件不难发现应有x+y＝66，由此可得四组解（不计x与y的顺序）：。

(完整版)小学奥数-不定方程(教师版)

不定方程如$知识梳理］在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。

有三个未知数，就需要有三个方程。

当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图,不定方程也称为丢番图方程。

不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。

而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。

不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。

不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。

这种情况也不排除它的取值不止一种。

不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。

解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

特色讲解］【例1】★求方程5x 2y 27的正整数解。

【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数x 1x 3 x 5 , ,y 11 y 6 y 1【小试牛刀】求方程 4x + 10y = 34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2|34，两边约去2后，得2x + 5y = 17, 5y 的个位是0 或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17, 5y 的个位只能是5, y 为奇数即可；2x 的个位为2,所以 x 的取值为1、6、11、16……x= 1 时，17-2x = 15, y = 3, x= 6 时，17-2x = 5 , y = 1 , x= 11 时，17 — 2x = 17 — 22,无解所以方程有两组整数解为：dx 1 x y 3，y【例2】★ 设A , B 都是正整数，并且满足 A11［解析］3A 11B 17 33333A+11B=17,因为 A 、B 为正整数，所以 A=2, B=1, A+B=3【例3】★ ★（北大附中入学考试真题） 14个大、中、小号钢珠共重 100克，大号钢珠每个重 12克，中号每个重 8克，小号每个重 5克。

小学六年级奥数第40讲不定方程(含答案分析)

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。

如5x－3y ＝9就是不定方程。

这种方程的解是不确定的。

如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。

如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。

因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。

解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。

先将原方程变形，y＝23－3x4。

可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。

2、求4x+5y＝37的自然数解。

3、求5x－3y＝16的最小自然数解。

【例题2】求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。

解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。

5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。

因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。

x＝2，y＝2时，z也无正整数解。

x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。

小学奥数-不定方程(教师版)

小学奥数-不定方程(教师版)不定方程是解决列方程组应用问题时的一种方法。

当未知数的个数多于方程的个数时，就会出现不定方程。

不定方程也称为丢番图方程，以纪念古希腊数学家丢番图。

在数学研究中，不定方程有着举足轻重的地位。

因此，在小学阶段打下扎实的基础非常重要。

不定方程出现的原因是联立方程的条件不足，因此一般情况下会有无数多个解。

但是，我们需要注意到它的预定义条件，如未知项是自然数，数码不仅是自然数，而且是一位数等等。

题干中也可能给出限制条件，这样就使得不定方程的解得以确定。

然而，这种情况下的解不止一种。

不定方程的解有时比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。

如果考虑到题中的限制范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解。

解答这类方程必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。

例如，求解方程5x+2y=27的正整数解。

因为2y为偶数，27为奇数，所以5x为奇数，即x为奇数。

因此，x可以取1、3、5等奇数，对应的y分别为11、6、1.再例如，求解方程4x+10y=34的正整数解。

因为4与10的最大公约数为2，而2可以整除34，因此两边约去2后，得到2x+5y=17.5y的个位数只能是0或5，而2x的个位数是2，因此x的取值为1、6、11等。

代入方程可得到两组整数解：x=1时，y=3；x=6时，y=1.最后，以一个实际问题为例，假设有14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。

问：大、中、小号钢珠各多少个？这是一个不定方程问题。

设大、中、小号钢珠的个数分别为a、b、c，则可以列出方程12a+8b+5c=100.解方程可得a=2，b=1，c=6，因此大号钢珠有2个，中号有1个，小号有6个。

y≤15)又因为小花狗和波斯猫每次见面都要各自叫两声，所以总共叫声数为4x+3y。

又知总共见面次数为x+y，所以4x+3y=2(x+y)，化简得2x=3y，因此x和y必须同时是3的倍数。

小学奥数不定方程知识点+例题+练习 (分类全面)

巩固、全年级104人到公园划船，大船每只载12人，小船每只载5人，大小船每客票价相等，但无论坐满与否都要照满载算价，试计算，大小船各租几只才能既使每人都能乘船又使费用最省？
例7、某地收取电费的标准是：若每月用电不超过50千瓦时，则每千瓦时收0.5元；若超过50千瓦时，则超出部分按每千瓦时0.8元收费。某月甲用户比乙用户多交3.3元电费，这个月甲、乙各用了多少千瓦时电？
巩固、求方程的整数解。
巩固、求不定方程的最小整数解
例2、一个珠宝商将珍珠放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装ห้องสมุดไป่ตู้个，恰好装完。如果珍珠数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
巩固、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
巩固、小华和小强各用64元买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5元一枝和7元一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
教学过程
不定方程知识要点和基本方法
1、当方程（组）中未知数的个数多于方程的个数时，称这个方程（组）为不定方程（组）
2、一个不定方程总有无穷多组解，但更多的情况是讨论一个不定方程的整数解或正整数解，此时，它可能仍有无穷多组解，也可能只有有限组解，甚至可能无解
例1、求方程的整数解
巩固、求方程的整数解。
2、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？
3、设A和B都是自然数，且满足 + = ，求A+B的值。
4、甲、乙二人植树，甲每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？
巩固、某地收取水费的标准是：若每月用电不超过50吨，则每吨收0.5元；若超过50吨，则超出部分按每千瓦时0.45元收费。某月小明家比小刚家多交3.3元水费，这个月小明家、小刚家各用了多少吨水？

六上竞赛拓展：不定方程

六年级上学期竞赛拓展：不定方程（马到成功）姓名电话得分一、【知识要点】学会求二元一次不定方程与多元一次不定方程组的整数解，通常利用整除性、大小估计等方法进行分析；注意对多个未知数进行恰当的消元，化简方程。

二、【例题精讲】例1：求不定方程16256435=+y x 的所有自然数解。

求不定方程123x+57y=531的全部正整数解。

例2：我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱。

要要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？（不一定三种鸡全买。

）例3：有一个数，除以67余5；除以97余4。

求这数最小是多少？例4：有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元。

现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？例5：用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？例6：在以下等式中，不同字母代表不同的数字。

7×ABCXYZ=6×XYZABC其中A与X均不为0，试求六位数ABCXYZ之值。

例7：书人图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍。

这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位。

请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？例8：要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和90毫米的两种规格的小铜管（每种规格至少有一段），每锯一次都要损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？例9：现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）例10：一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干箱，共1355斤。

小学数学奥赛2-2-3 不定方程与不定方程组.学生版

不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【巩固】解不定方程：2940+=（其中x,y均为正整数）x y模块二、利用余数性质解不定方程【例 3】求不定方程7111288+=的正整数解有多少组？x y【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【巩固】解方程7489+=，（其中x、y均为正整数）x y模块三、解不定方程组【例 5】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【例 6】解不定方程1531003100x y zx y z⎧++=⎪⎨⎪++=⎩(其中x、y、z均为正整数)一、现代文阅读1．现代文阅读阅读下面文章，完成小题。

小学数学竞赛第十一讲不定方程(一)

第十一讲不定方程（一）先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。

他对小王说，我左、右两个手心里各写一个整数，它们的和是10，你能猜出我左、右手心各写的是什么整数吗？我允许你猜三次呢！小王满有信心地说：能行。

于是小王连猜了三次。

第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对。

第二次猜：左手心写的是5，右手心写的也是5，老师又说不对。

第三次猜：左手心写的是8，右手心写的是2，老师还是说不对。

同学们请想一想，如果换一位同学去猜猜一定能猜出吗？细心的同学可能已经想到，两个整数的和为10，这样的整数有好多对，除了小王猜过的（9，1）（5，5）（8，2）之外，还有（7，3）（6，4）（10，0）以及左、右手互换后的（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（0，10）等共有11对，满足条件，不要说请三次，就是猜了十次，还有一组没猜到，老师可以说在左、右手心里写的恰好是没猜到的那一组。

如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10由于未知数的个数多于一个，而且是要求这个方程的整数解，这种方程称为不定方程。

让我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？由于总长度为158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。

这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种办法称为穷举法。

当可取的情况很多时，这种办法当然不能令人满意，但当情况较少时，还是可行的。

如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可列出方程17x+8y=158 （1）本题要求这个方程的正整数解。

我们用下面的方法来求这个方程的整数解。

先将方程变形为：8y=158-17x （2）8y=152+6-16x-x （3）由于152和16x均为8的倍数，因此6-x也应是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代x从（2）中可算出y=7。

不定方程超难竞赛题

不定方程超难竞赛题不定方程在数学竞赛中一直是一个备受考生关注的难题，它擅长考察学生的数学综合素养，能够帮助考生锻炼逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

下面是一道典型的不定方程竞赛题：题目：求满足以下各组约束条件的所有自然数x,y,z的值:1) xyz=64;2) x+y+z=32;3) x<y<z。

解析：首先，根据给定的xyz=64，可以列出如下的因子分解式：64=2^6于是，x,y,z中至少一个数必须含因子2，否则就无法满足xyz=64的条件。

其次，由于x<y<z，因此可以考虑设z=x+a,y=x+b，其中a,b均为正整数。

这样，不定方程转化为：x(x+a)(x+b)=64x+a+x+b+x=32化简可得：x^3+(a+b)x^2+abx-64=02x+a+b=32此时，我们可以利用以下两个条件来求解：1) 小于等于6的所有正整数的所有因子;2) 小于等于32的所有正整数的组合总数。

从而，我们可以通过搜索的方法找到所有满足条件的x,y,z的组合。

具体过程可分为以下几步：1) 枚举a和b的取值范围;2) 根据二次方程的解析式求出对应的x的值，判断x是否为正整数，并满足x<x+a<x+b;3) 判断是否满足x+y+z=32的条件，如果是，则输出满足条件的x,y,z 的值。

最后，还需注意以下两点：1) 由于不定方程具有对称性，我们只需枚举其中一个未知数的值，即可得出所有满足条件的x,y,z的组合;2) 这里的搜索过程中采用了剪枝的方法，即当搜索到的x值过大时，即可停止搜索，从而提高搜索效率。

综上所述，不定方程超难竞赛题确实具有一定的难度，但只要掌握一定的数学知识和解题技巧，就能成功解决这类问题。

数学奥赛辅导第四讲不定方程

数学奥赛辅导第四讲不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程。

不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程（1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理。

定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数。

有整数解的充分必要条件是c b a |),(。

定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,。

（t 为整数)。

（2)沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（1,2,3,n =）给出。

①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解。

②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ，（3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。

容易看出y x ,一奇一偶,无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。

定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数。

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竞赛培训班数学练习学校：班级：姓名：
一、求下列二元一次不定方程的正整数解。

⑴5x+3y=22 ⑵5x+14y=52
二、应用题
1．一只箱中装有若干只蟋蟀与蜘蛛，他们共有46只脚。

问蟋蟀与蜘蛛各有多少只？
2．小强问小明：“你家养了几只兔和鸡？”小明说：“我养的兔比鸡多，鸡兔一共24条腿。

你猜猜我养了几只兔和鸡？
3．大、小盒子共装99个球，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，那么大小盒子各有多少个？
4．有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26个，其中蓝皮球的个数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少个？5．甲、乙、丙三个同学共栽树55棵，甲的棵数是乙
的2倍，丙栽的最少，他只栽了十几棵。

三个人各栽了多少棵？
6．买每支2角5分的A种铅笔和每支1角5分的B 种铅笔各若干支，每种铅笔都要买3支或3支以上，共花了2.25元。

问两种铅笔各买了几支？7．一个两位数，各位数字之和的6倍比原数大3，求这个两位数
8．小王发现自己今年（1994）的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和。

小王今年多少岁？
9．有两个自然数，他们的和是128400，最大公约数是8025。

这两个自然数各是多少？（写出全部的解）
10．把一些苹果分给若干儿童，每人3个，则剩余8个，每人5个，则最后一人将分不足。

已知儿童是偶数个，问苹果共有多少个？
11．小明在邮局寄了三封信：平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，他一共用了一元二角二分钱。

那么小明寄的三封信的总和最少是多少封？
12．我国古代有一名数学家叫张丘建，从小很爱动脑筋。

有一天宰相要考考他，让他用100文钱，买回100只鸡，当时的价格是：公鸡每只5文钱，母鸡每只3文钱，小鸡一文钱买三只。

聪明的张丘建当时算出了三种鸡都买的三种答案，请你找出这些答案来。