【创新设计】2016届数学一轮复习课件(文科)苏教版 江苏专用 第十章 统计概率 10-4
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率第三节概率第二课时古典概型课件理
有限性 等可能性
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
[小题体验] 1．从 3 男 3 女共 6 名同学中任选 2 名，则 2 名都是女同学的
概率为________． 解析：用 A，B，C 表示 3 名男同学，用 a，b，c 表示 3 名 女同学，则从 6 名同学中选出 2 名的所有选法为 AB，AC， Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac， bc，共 15 种，2 名都是女同学的选法为 ab，bc，ac，共 3 种，故所求的概率为135＝15. 答案：15
内的随机点，
y>0
求函数 y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解(2)：由(1(1)∵)知函当数且仅f(x当)＝2ba≤x2a－且4bax>＋0 时1 的，函图数象f的(x)对＝称ax轴2－为4bxx＋＝12ab在，
区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成
要当的区且使域仅f(为x当)＝aaa>，x02b－且24abbaab≤x＋ >>＋00b，1－1，在8即≤区02，间b≤[1a，. ＋构∞成)所上求为事增件函的数区，域为 若三角a＝形部1，分则． b＝－1； 若若由aaab＝＝＋a223b－ ，，，8则则＝0bb，＝＝－－得11,,交11；.点坐标为136，83， ∴∴∴所事所求件求事包事件含件的基的概本概率事率为件为P＝1的551212＝个××13数88.××是388＝1＋13. 2＋2＝5，
2．高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，三好学生占 16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选 一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的是三好学生的概率为________． 解析：根据题意知男生共有 40 人，其中是男生且为三好学 生的人数共有 5 人，故选出的是男生且为三好学生的概率 P＝450＝18. 答案：18
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率第二节统计初步第一课时随机抽样课件理
[即时应用] 1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样
调查．抽到的班级一共有 52 名学生，现将该班学生随机编 号，用系统抽样的方法抽到一个容量为 4 的样本．已知 7 号，33 号，46 号同学在样本中，那么样本中另一位同学的 编号应是________号． 解析：由系统抽样的原理知，抽样的间隔为 52÷4＝13，故 抽取的样本的编号分别为 7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即 7 号，20 号，33 号，46 号． 答案：20
解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按 编号依次分成 50 组，每一组各有 12 名学生，第 k(k∈N*) 组抽中的号码是 3＋12(k－1)．令 3＋12(k－1)≤300，得 k≤1043，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是 25；令 300<3＋12(k －1)≤495，得1043<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是 42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为 50－25－17＝8. 答案：25,17,8
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放 回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当 Nn 不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入 样的个体编号成等差数列．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即 样本容量n 总体个数N.
∴容 ∴P量 需(A为 在)＝[6111的950＝,样1235本0.)分，数段内抽取 2 人，分别记为 m，n；
角度二：与概率相结合问题 2．(2016·无锡调研)最新高考改革方案已在上海和浙江实施，
某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看 法，对某市部分学校 500 名师生进行调查，统计结果如下：
2016届高考数学大一轮总复习(苏教版)课件—第十章 计数原理 10.3
n
基础知识·自主学习
[知识拓展] 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
知识梳理
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零； 字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
3 1 n 的展开式 例1 已知在 x－ 3 2 x
中，第6项为常数项.
思维点拨 解析
通项公式为 1r r 3 － x 3＝ Tr＋1＝Cnx
r n- r
2
n- 2 r 1 r 3 . － Cr x n 2
因为第6项为常数项，
n－2×5 所以 r＝5 时， ＝0 ， 3 即 n＝10.
数学 苏（理）
第十章
计数原理
§10.3 二项式定理
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
基础知识·自主学习
1.二项式定理
知识梳理
二项式定理 二项展开式 的通项公式 二项式系数
0 n 1 n－1 r n－r r C a ＋ C a b ＋ „ ＋ C b＋ n na (a＋b) ＝ n
n 2 当 n 为偶数时，第 ＋1 项的二项式系数最大，最大值为Cn ；当 n 为奇数时， 2 n 1 n 1 n＋1 n＋3 第 项和 项的二项式系数最大，最大值为 Cn 2 和 Cn 2 . 2 2
n 1 2 n 2 (3)各二项式系数和：C0 ＋ C ＋ C ＋ „ ＋ C ＝ ， n n n n
中，第6项为常数项. (3)求展开式中所有的有理项.
三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第十章算法统计与概率第二节统计初步第二课时用样本估计总体课件理
(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示，s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2] .
②方差：标准差的平方 s2 s2＝ n1[(x1－ x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－ x )2]，其中 xi(i＝
1,2,3，…，n)是样本数据，n 是样本容量，－x 是样__本__平__均__数__．
[题组练透] 1．如图所示的茎叶图记录了甲、
乙两组各五名学生在一次英语 听力测试中的成绩(单位：分)， 已知甲组数据的中位数为 17， 乙组数据的平均数为 17.4，则 x，y 的值分别为________．
解析：甲的中位数为 17, 故 y＝7， 乙的平均数为3×10＋20＋95＋6＋6＋x＋9＝17.4， 解得 x＝7. 答案：7,7
角度二：样本的数字特征与茎叶图交汇 2．(2016·常州模拟)南京市各级各类中小学每年都要进行学生体
质健康测试，测试总成绩满分为 100 分，规定测试成绩在 [85,100] 之 间 为 体 质 优 秀 ； 在 [75,85) 之 间 为 体 质 良 好 ； 在 [60,75)之间为体质合格；在[0,60)之间为体质不合格．现从 某校高三年级的 300 名学生中随机抽取 30 名学生的体质健 康测试成绩，其茎叶图如图所示：
[即时应用] (2015·湖北高考)某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区 间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示． (1)直方图中的 a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人 数为________．
答案：乙
1．易把直方图与条形图混淆 两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频 数或频率，直方图是连续随机变量，连续随机变量在某一 点上是没有频率的． 频率
数学一轮(文科) 苏教版 江苏专用 配套多媒体实用课件
(建议用时：70分钟)1. 如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点． 求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .2．(2015·南京、盐城一模)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ； (2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1. 又因为F 为AC 的中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1. 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE .又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC . (2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3．(2015·常州监测)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1B ，AC 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC ；(2)求证：平面AEF ⊥平面AA 1B 1B ；(3)若A 1A ＝2AB ＝2BC ＝2a ，求三棱锥F －ABC 的体积． (1)证明 连接A 1C .∵直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AA 1C 1C 是矩形， ∴点F 在A 1C 上，且为A 1C 的中点．在△A 1BC 中，∵E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点， ∴EF ∥BC .又∵BC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . (2)证明 ∵直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，B 1B ⊥平面ABC ， ∴B 1B ⊥BC .∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，B 1B ⊥EF . ∵B 1B ∩AB ＝B ，∴EF ⊥平面ABB 1A 1. ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面ABB 1A 1. (3)解 V F －ABC ＝12VA 1－ABC ＝12×13×S △ABC ×AA 1 ＝12×13×12a 2×2a ＝a 36.4. (2014·北京海淀区模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点．(1)求证：AB ⊥平面AA 1C 1C ；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：EF⊥A1C.(1)证明∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1C1C.(2)解∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中E是BC的中点，∴D是线段AC的中点．(3)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1，由(1)可得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.5. (2014·江西卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.(1)求证：A1C⊥CC1；(2)若AB＝2，AC＝3，BC＝7，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值．(1)证明由AA1⊥BC知BB1⊥BC，又BB1⊥A1B，且BC⊂平面BCA1，A1B⊂平面BCA 1，BC ∩A 1B ＝B ，故BB 1⊥平面BCA 1，由A 1C ⊂平面BCA 1可得BB 1⊥A 1C ， 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.(2)解 法一 设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2. 同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－ x 2.在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C ＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)，sin ∠BA 1C ＝12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)，所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－672＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.法二 如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由于AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°， 所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，得AD ＝2217. 设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中， A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因为x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－672＋367，故当x＝67＝427，即AA1＝427时，体积V取到最大值377.6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD＝PD＝2EA＝2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．(1)求证：FG∥平面PDE；(2)求证：平面FGH⊥平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．(1)证明因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE，又FG⊄平面PDE，PE⊂平面PDE，所以FG∥平面PDE.(2)证明因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB.又CB⊥AB，AB∩AE＝A，所以CB⊥平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FH∥BC.则FH⊥平面ABE.而FH⊂平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，因为AE＝1，AB＝2，所以BE＝ 5. 在直角梯形EADP中，因为AE＝1，AD＝PD＝2，所以PE＝5，所以PE＝BE.又F为PB的中点，所以EF⊥PB.要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM.因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又CB⊥CD，PD∩CD＝D，所以CB⊥平面PCD，而PC⊂平面PCD，所以CB⊥PC.若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得PMPB＝PFPC.由已知可求得PB＝23，PF＝3，PC＝22，所以PM＝32 2.。
【2016版】苏教版 大一轮复习讲义 数学(文科)精品课件：第10章统计 10.2
(4)列 频率分布表 .
(5)画 频率分布直方图 .
基础知识·自主学习
2.频率分布折线图和总体密度曲线
知识梳理
(1)频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上
端的 中点 ，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着 样本容量 的增加，作图时 所分的 组数 增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接近 于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
例1 某校从参加高一年级期中考试的学生 中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为 整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90, 100]后得到如图所示的频率分布直方图， 观察图形的信息，回答下列问题： (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表， 据此估计本次考试中的平均分.
数学 苏（文）
第十章
统 计
§10.2 用样本估计总体
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
基础知识·自主学习
1.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值 与 最小值 的差). (2)决定 组距 与 组数 . (3)将数据 分组 .
知识梳理
√
)
(2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结
× ) √
)
(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图 后，原有的具体数据信息就被抹掉了.(
基础知识·自主学习
知识梳理
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大
的顺序写，相同的数据可以只记一次.( 数.( 等的.(
题型分类·深度剖析
思维点拨 图中各小长方形的面积和等于1.
数学一轮(文科) 苏教版 江苏专用 配套多媒体实用课件
第4讲直线、平面垂直的判定与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2015·南通、扬州、泰州、宿迁调研)设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的________条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一个)．解析因为m是平面α内的任意一条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成立；反过来，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．答案充要2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，给出下列说法：①过a一定存在平面β，使得β∥α；②过a一定存在平面β，使得β⊥α；③在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥b；④在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b.其中说法正确的是________(填序号)．解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故①错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，②正确；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故③错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故④错误．答案②3．(2014·盐城模拟)已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条．解析如图所示，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN ⊥平面ABCD.答案 14．(2015·青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列条件中能得出a⊥b的是______(填序号)．①a⊥α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α∥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊂α，b∥β，α⊥β.解析①中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；②中，两直线平行，故不正确；③中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；④中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．答案③5. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF ＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③6. (2015·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，给出下列结论：①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BDC；③平面ABC ⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE.其中结论正确的序号是________．解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC ⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.所以③正确．答案③7．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________ cm3.解析连接AC交BD于O，在长方体中，∵AB＝AD＝3，∴BD＝3 2且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO 为四棱锥A －BB 1D 1D 的高且AO ＝12BD ＝322.∵S 矩形BB 1D 1D ＝BD ×BB 1＝32×2＝62，∴VA －BB 1D 1D ＝13S 矩形BB 1D 1D ·AO＝13×62×322＝6(cm 3)．答案 6二、解答题9.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AC ＝2BC ，D 是棱AA 1的中点，CD ⊥B 1D .(1)证明：CD ⊥B 1C 1；(2)平面CDB 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1，又AA 1＝2A 1C 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，B 1D ∩C 1D ＝D ，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1.(2)解 由(1)知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，C 1C ∩CD ＝C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积，则V 1＝VB 1－CDA 1C 1＝13×S 梯形CDA 1C 1×B 1C 1＝13×32B 1C 31＝12B 1C 31. V 总＝VABC －A 1B 1C 1＝12AC ×BC ×CC 1＝B 1C 31，V 2＝V 总－V 1＝12B 1C 31＝V 1，故V 1V 2＝1∶1. 10．(2014·镇江模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(1)P A ⊥底面ABCD ；(2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .证明 (1)因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且P A 垂直于这两个平面的交线AD ，所以P A ⊥底面ABCD .(2)因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，所以AB ∥DE ，且AB ＝DE .所以四边形ABED 为平行四边形．所以BE ∥AD .又因为BE ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BE ∥平面P AD .(3)因为AB ⊥AD ，而且ABED 为平行四边形，所以BE ⊥CD ，AD ⊥CD .由(1)知P A ⊥底面ABCD .所以P A ⊥CD .又因为P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD .从而CD ⊥PD .又E ，F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF .故CD ⊥EF ，由EF ，BE ⊂平面BEF ，且EF ∩BE ＝E .所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.能力提升题组(建议用时：25分钟)1．(2015·南京模拟)已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m∥α，m⊂β，则α∥β.其中所有真命题的序号是________．解析若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，①是假命题；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，②是真命题；若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n⊂α或n，α相交(非垂直)，③是假命题；若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，④是假命题，故其中所有真命题的序号是②.答案②2．(2014·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.给出下列结论：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直于平面CB1D1；③AH 延长线经过点C1；④直线AH和BB1所成角为45°.其中错误的结论序号是________．解析对于①，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题①是真命题；对于②，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题②是真命题；对于③，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题③是真命题；对于④，由③知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即＝2，因此命题④是假命题．∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝21答案④3．(2014·苏、锡、常、镇模拟)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，∴BC∥平面P AD，∴直线BC∥平面P AE也不成立，③错；在Rt△P AD中，P A＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，∴④正确．答案①④4. (2015·南京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DA＝DC＝2AB，O为AC与BD的交点，AB⊥平面P AD，△P AD是正三角形．(1)若点E 为棱P A 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE 的值；(2)求证：平面PBC ⊥平面PDC .(1)解 因为OE ∥平面PBC ，OE ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，所以OE ∥PC ，所以AO ∶OC ＝AE ∶EP .因为DC ∥AB ，DC ＝2AB ，所以AO ∶OC ＝AB ∶DC ＝1∶2.所以AE PE ＝12. (2)证明 取PC 的中点F ，连接FB ，FD .因为△P AD 是正三角形，DA ＝DC ，所以DP ＝DC . 因为F 为PC 的中点，所以DF ⊥PC .因为AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，AB ⊥PD . 因为DC ∥AB ，所以DC ⊥DP ，DC ⊥DA .设AB ＝a ，在等腰直角三角形PCD 中，DF ＝PF ＝2a . 在Rt △P AB 中，PB ＝5a .在直角梯形ABCD 中，BD ＝BC ＝5a .因为BC ＝PB ＝5a ，点F 为PC 的中点，所以PC ⊥FB . 在Rt △PFB 中，FB ＝3a .在△FDB 中，由DF ＝2a ，FB ＝3a ，BD ＝5a ， 可知DF 2＋FB 2＝BD 2，所以FB ⊥DF .由DF ⊥PC ，DF ⊥FB ，PC ∩FB ＝F ，PC ，FB ⊂平面PBC ， 所以DF ⊥平面PBC .又DF ⊂平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PDC .。
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第10章统计、统计案例及概率 第3讲
C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 解析 只有K2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否
优秀与改革有关系，而既使K2≥6.635也只是对“该电视栏
目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的 结论，与是否有99%的人等无关．故只有D正确． 答案 D
答案 A
5．(人教A选修1－2P13例1改编)在一项打鼾与患心脏病的调查 中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根
据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是
________的(填“有关”或“无关”)． 答案 有关
考点一 相关关系的判断 【例 1】 (1)在一组样本数据(x1， y1)， (x2， y2)， „， (xn， yn)(n≥2， x1， x2， „， xn 不全相等)的散点图中， 若所有样本点(xi， yi)(i 1 ＝1，2，„，n)都在直线 y＝ x＋1 上，则这组样本数据的 2 样本相关系数为 A．－1 1 C. 2 B.0 D.1 ( )
(2) 对变量 x ， y 有观测数据 (xi ， yi)(i ＝ 1,2 ， … ， 10) ，得散点图
(1) ；对变量 u，v有观测数据 (ui ， vi)(i ＝ 1,2， … ， 10) ，得散点 图(2)．由这两个散点图可以判断 ( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
精彩 PPT 展示
^ ^ ^ (1)通过回归方程 y＝bx＋a可以估计和观测变量的取值和变 化趋势． (√ )
2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第10章统计、统计案例及概率 第5讲
5．(人教A必修3P130练习3改编)3本不同的语文书，2本不同的 数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概
率为________．
解析 设 3 本语文书为 A，B，C,2 本数学书为 a，b，则从
中取出 2 本共有：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B， C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种情 况，取出的恰好都是数学书的有：(a，b)，共 1 种情况，故 1 所求的概率为1母a，b，c，d，e中任取两个不同字母， 则取到字母a的概率为________．
解析 从 a，b，c，d，e 中任取两个不同字母的所有基本
事件为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd ，ce，de，共 4 2 10 个，其中取到字母 a 的有 4 个，故所求概率为10＝5. 2 答案 5
2．(2014· 江西卷)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等 于 1 A.18 1 C. 6 1 B.9 1 D. 12 ( )
解析
掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
第5讲 古典概型
最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些
随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
知识梳理 1．基本事件的特点 互斥 的． (1)任何两个基本事件是_____
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型 (1) 定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模
【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 第十章 (珍藏版)]
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解 (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为 {A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}， {B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}， {X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共 15 种．(6 分)
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解 由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿 的所有可能结果为： (甲 A，乙 A)，(甲 A，乙 B)，(甲 A，乙 C)，(甲 A，乙 D)， (甲 B，乙 A)，(甲 B，乙 B)，(甲 B，乙 C)，(甲 B，乙 D)， (甲 C，乙 A)，(甲 C，乙 B)，(甲 C，乙 C)，(甲 C，乙 D)， (甲 D，乙 A)，(甲 D，乙 B)，(甲 D，乙 C)，(甲 D，乙 D)， 共 16 种．(2)设“院校 A，B 至少有一所被选择”为事件 F， 12 3 故概率 P(F)＝ ＝ . 则事件 F 包含 12 个基本事件， 16 4
解 (2)选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的 所有可能结果为 {A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共 6 种． 6 2 因此，事件 M 发生的概率 P(M)＝ ＝ .(13 分) 15 5
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热点突破 热点一 以实际背景为载体考查古典概型
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ห้องสมุดไป่ตู้ 热点突破 热点一 以实际背景为载体考查古典概型
【训练 1】(2014· 滨州一模)甲、乙两名考生在填报志愿时都 选中了 A，B，C，D 四所需要面试的院校，这四所院校的面试 安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做 志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求： (1)甲、乙选择同一所院校的概率； (2)院校 A，B 至少有一所被选择的概率．
2016届 数学一轮 苏教版 江苏专用 课件 第十章 统计概率 -5
＝180°－ 2 45°＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以 AM 小
于 AC 的概率 P＝∠∠AACCMB的的度度数数＝6970.5°°＝34.
答案 (1)12 (2)34
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
规律方法 (1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点， 点落在线段 l 上的概率为 P＝Ll的的长长度度. (2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的 大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同 的度量手段．
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十七页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻
分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都
不需要等待码头空出”，则 0≤x≤24,
0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头
空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上，
即 y－x≥1 或 x－y≥2.故所求事件构成集合 A＝{(x，y)|y－x≥1
基础诊断
考点突破 课堂总结 第十一页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
【训练 1】 (2015·信阳二模)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能
地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径 2倍的概率是
________． 解析 作等腰直角△AOC 和△AMC，
B 为圆上任一点，则当点 B 在
上运动时，弦长 AB＞ 2R，
解析 如图可设 与 的长度等于 1，则由几何概型可知其
整体事件是其周长 3，则其概率是23.
答案
2 3
基础诊断
考点突破 课堂总结 第七页，编辑于星期五：十八点 三十四分。
2016届《创新设计》数学江苏专用(文科)一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲第8讲函数与方程
第二章 函数、基本初等函数第8讲 函数与方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________． 解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点． 答案 12．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞)．答案 (0，＋∞)3．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点c ＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析 令f (x )＝x 3－2x －5，f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (2.5)＝5.625＞0，由于f (2)f (2.5)＜0，故下一个有根的区间是[2,2.5]． 答案 [2,2.5]4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 36．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．解析 函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案 27．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案 (0,1) 二、解答题9．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎨⎧f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 答案 0或－142．(2014·南通模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4.答案 (4，＋∞)3．(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象，可见f (0)＝12，当x ＝1时，f (1)＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在x ∈[－3,4]上有10个零点，即函数y ＝f (x )和图象与直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点，由于函数f (x )的周期为3，因此直线y ＝a 与函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)应该有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：↗↘↗又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点.。
高考数学一轮复习 第十章 统计算法初步(回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养)课件 文 苏教版
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频率分布(fēnbù)直方图反映了样本的频率分布(fēnbù)
(1)在频率分布直方图中纵坐标表示频组率距，
频率 频率＝组距×组距.
(2)频率分布(fēnbù)表中频率的和为1，故频率分布 (fēnbù)直方图中各长方形的面积和为1.
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[归纳(guīnà) 知识整合]
1．简单随机抽样
(1)抽取方式(fān不gsh放ì)回：抽取
；
(2)每个个体被抽(c到hō的u概qǔ率) 相等 ；
(3)常用方法： 抽签法 和 随机数法．
[探究] 1.简单随机抽样有什么特点？
提示：(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；(2)样本是
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第
2个个体编号
，再加k得到第3个个体编号
，依次进
行下去，直到获取l＋整k个样本．
l＋2k
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[探究] 2.系统抽样有什么特点？ 提示：适用于元素个数很多且均衡(jūnhéng)的总体；各个个 体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简 单随机抽样．
答案(dáàn)： 0.4
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5．(2013·大同模拟)将容量为n的样本中的数据分为6组，绘 制频率分布(fēnbù)直方图，若第一组至第六组的数据的频率之 比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和为27，则n＝ ________.
解析：由已知，得2＋3＋2＋4＋3＋6＋4 4＋1·n＝27， 即290·n＝27，解得 n＝60. 答案(dáàn)：60
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创新设计2017版高考数学(江苏专用文科)一轮复习练习：第十章 统计、概率 第6讲 含答案
学必求其心得，业必贵于专精
ξ 10 30 50
P 错误! 错误! 错误!
40 所以 E（ξ）＝10×81＋30×错误!＋50×错误!＝错误!。
学必求其心得，业必贵于专精
P(X＝1）＝错误!＝错误!， P(X＝2)＝错误!＝错误!＝错误!， P（X＝3）＝错误!＝错误!＝错误!。 X 的概率分布为
X1 2 3 P 错误! 错误! 错误! 所以 X 的数学期望 E（X）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝错误!.
能力提升题组 （建议用时：25 分钟） 11。从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机 摸取一球，有放回地摸取 5 次，设摸得白球数为 X,已知 E(X）＝3， 则 V(X）＝________。 解析 由题意,X~B错误!， 又 E（X)＝错误!＝3，∴m＝2, 则 X～B错误!，故 V（X)＝5×错误!×错误!＝错误!. 答案 错误! 12。一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b， 不得分的概率为 c(a、b、c∈（0,1）），已知他投篮一次得分的均值 为 2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为________。
学必求其心得，业必贵于专精
二、解答题 9。（2016·常州调研）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准
是每小时 2 元（不足一小时的部分按一小时计算)。甲、乙两人各 租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为错误!，错误!， 一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为错误!，错误!，两人租车 时间都不会超过三小时。 （1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的概率分布 与数学期望 E(ξ)。 解 (1)甲、乙两人所付车费用相同即为 2，4，6 元. 由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为 1－错误!－错误!＝错误!， 1－错误!－错误!＝错误!。 都付 2 元的概率为 P1＝错误!×错误!＝错误!, 都付 4 元的概率为 P2＝错误!×错误!＝错误!, 都付 6 元的概率为 P3＝错误!×错误!＝错误!, 故所付费用相同的概率为 P＝P1＋P2＋P3＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!。 （2）依题意知，ξ的可能取值为 4,6，8，10，12. P（ξ＝4）＝错误!×错误!＝错误!，
苏教版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布二项式定理教学案
１．二项式定理（１）二项式定理：（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—r b r＋…＋C错误!b n （n∈N*）；（２）通项公式：T r＋１＝C错误!a n—r b r，它表示第r＋１项；（３）二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!，C错误!，…，C错误!.２．二项式系数的性质（１）0≤r≤n时，C错误!与C错误!的关系是C错误!＝C错误!.（２）二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第错误!＋１项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第错误!项和错误!项的二项式系数最大，最大值为.３．各二项式系数和（１）（a＋b）n展开式的各二项式系数和：C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.（２）偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）C错误!a n—r b r是（a＋b）n的展开式中的第r项．（）（２）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（）（３）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（）（４）通项T r＋１＝C错误!a n—r b r中的a和b不能互换．（）[答案]（１）×（２）×（３）√（４）√二、教材改编１．（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为（）Ａ．6 Ｂ．—6 Ｃ．２４Ｄ．—２４A[（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为C错误!＝6．故选Ａ．]２．二项式错误!错误!的展开式中x３y２的系数是（）Ａ．５Ｂ．—２0Ｃ．２0 Ｄ．—５A[二项式错误!错误!的通项为T r＋１＝C错误!错误!错误!（—２y）r.根据题意，得错误!解得r＝２．所以x３y２的系数是C错误!错误!错误!×（—２）２＝５．故选Ａ．]３．错误!的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．２0１9 Ｄ．２0１9×２0２0A[原式＝错误!＝错误!＝１．故选Ａ．]４．若（x—１）４＝a0＋a１x＋a２x２＋a３x３＋a４x４，则a0＋a２＋a４的值为．8 [令x＝１，则a0＋a１＋a２＋a３＋a４＝0，令x＝—１，则a0—a１＋a２—a３＋a４＝１6，两式相加得a0＋a２＋a４＝8．]考点１二项式展开式的通项公式的应用形如（a＋b）n的展开式问题求二项展开式中的项的３种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围（r＝0,１,２，…，n）．（１）第m项：此时r＋１＝m，直接代入通项；（２）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；（３）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．（１）（２0１8·全国卷Ⅲ）错误!错误!的展开式中x４的系数为（）Ａ．１0 Ｂ．２0 Ｃ．４0 Ｄ．80（２）若错误!错误!的展开式中x５的系数是—80，则实数a＝ .（３）（２0１9·浙江高考）在二项式（错误!＋x）9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是．（１）C（２）—２（３）１6错误!５[（１）T r＋１＝C错误!（x２）５—r错误!错误!＝C错误!２r x１0—３r，由１0—３r＝４，得r＝２，所以x４的系数为C错误!×２２＝４0．（２）错误!错误!的展开式的通项T r＋１＝C错误!（ax２）５—r·x—错误!＝C错误!a５—r·x１0—错误! r，令１0—错误!r＝５，得r＝２，所以C错误!a３＝—80，解得a＝—２．（３）由题意，（错误!＋x）9的通项为T r＋１＝C错误!（错误!）9—r x r（r＝0,１,２…9），当r＝0时，可得常数项为T１＝C错误!（错误!）9＝１6错误!；若展开式的系数为有理数，则r＝１,３,５,7,9，有T２, T４, T6, T8, T１0共５个项．]已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋１项，由特定项得出k值，最后求出其参数．[教师备选例题]１—90C错误!＋90２C错误!—90３C错误!＋…＋（—１）k90k C错误!＋…＋90１0C错误!除以88的余数是（）Ａ．—１Ｂ．１Ｃ．—87 Ｄ．87B[１—90C错误!＋90２C错误!—90３C错误!＋…＋（—１）k90k C错误!＋…＋90１0C错误!＝（１—90）１0＝89１0＝（88＋１）１0＝88１0＋C错误!889＋…＋C错误!88＋１，∵前１0项均能被88整除，∴余数是１．]１．在（x２—４）５的展开式中，含x6的项为．１60x6[因为（x２—４）５的展开式的第k＋１项为T k＋１＝C错误!（x２）５—k（—４）k＝（—４）k C错误!x１0—２k，令１0—２k＝6，得k＝２，所以含x6的项为T３＝（—４）２·C错误!x6＝１60x6.]２．若错误!错误!的展开式中常数项为错误!，则实数a的值为（）Ａ．±２Ｂ．错误!Ｃ．—２Ｄ．±错误!形如（a＋b）n（c＋d）m的展开式问题求解形如（a＋b）n（c＋d）m的展开式问题的思路（１）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如（a＋b）２（c＋d）m＝（a２＋２ab ＋b２）（c＋d）m，然后展开分别求解．（２）观察（a＋b）（c＋d）是否可以合并，如（１＋x）５（１—x）7＝[（１＋x）（１—x）]５（１—x）２＝（１—x２）５（１—x）２.（３）分别得到（a＋b）n，（c＋d）m的通项公式，综合考虑．（１）（２0１7·全国卷Ⅰ）错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为（）A．１５Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．３５（２）（１—错误!）6（１＋错误!）４的展开式中x的系数是（）Ａ．—４Ｂ．—３Ｃ．３Ｄ．４（１）C（２）B[（１）因为（１＋x）6的通项为C错误!x r，所以错误!（１＋x）6展开式中含x２的项为１·C错误!x２和错误!·C错误!x４.因为C错误!＋C错误!＝２C错误!＝２×错误!＝３0，所以错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为３0．故选Ｃ．（２）（１—错误!）6（１＋错误!）４＝[（１—错误!）（１＋错误!）]４（１—错误!）２＝（１—x）４（１—２错误!＋x）．于是（１—错误!）6（１＋错误!）４的展开式中x的系数为C错误!·１＋C错误!·（—１）１·１＝—３．]求几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．１．（x２＋２）错误!错误!的展开式的常数项是（）Ａ．—３Ｂ．—２Ｃ．２Ｄ．３D[能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x２项，第二个因式取错误!项得x２×错误!×C错误!（—１）４＝５；第一个因式取２，第二个因式取（—１）５得２×（—１）５×C错误!＝—２，故展开式的常数项是５＋（—２）＝３，故选Ｄ．]２．若（x２—a）错误!错误!的展开式中x6的系数为３0，则a等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．２D[由题意得错误!错误!的展开式的通项公式是T k＋１＝C错误!·x１0—k·错误!错误!＝C错误!x１0—２k，错误!错误!的展开式中含x４（当k＝３时），x6（当k＝２时）项的系数分别为C错误!，C错误!，因此由题意得C错误!—a C错误!＝１２0—４５a＝３0，由此解得a＝２，故选Ｄ．]形如（a＋b＋c）n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法（１）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．（２）两次利用二项式定理的通项公式求解．（３）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．（１）将错误!错误!展开后，常数项是．（２）错误!错误!的展开式中，x３y３的系数是．（用数字作答）（３）设（x２—３x＋２）５＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a１0x１0，则a１等于．（１）—１60 （２）—１２0 （３）—２４0 [（１）错误!错误!＝错误!错误!展开式的通项是C错误!（错误!）6—k·错误!错误!＝（—２）k·C错误!x３—k.令３—k＝0，得k＝３．所以常数项是C错误!（—２）３＝—１60．（２）错误!错误!表示6个因式x２—错误!＋y的乘积，在这6个因式中，有３个因式选y，其余的３个因式中有２个选x２，剩下一个选—错误!，即可得到x３y３的系数．即x３y３的系数是C错误!C错误!×（—２）＝２0×３×（—２）＝—１２0．（３）（x２—３x＋２）５＝（x—１）５（x—２）５，其展开式中x的系数a１＝C错误!（—１）４×（—２）５＋（—１）５C错误!（—２）４＝—２４0．]二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．１．（２0１５·全国卷Ⅰ）（x２＋x＋y）５的展开式中，x５y２项的系数为（）Ａ．１0 Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．（x２＋x＋y）５＝[（x２＋x）＋y]５，含y２的项为T３＝C错误!（x２＋x）３·y２.其中（x２＋x）３中含x５的项为C错误!x４·x＝C错误!x５.所以x５y２项的系数为C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．法二：利用组合知识求解．（x２＋x＋y）５为５个x２＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x２，一个取x即可，所以x５y２的系数为C错误!C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．]２．错误!错误!的展开式中含xy的项的系数为（）Ａ．３0 Ｂ．60Ｃ．90 Ｄ．１２0B[展开式中含xy的项来自C错误!（—y）１错误!错误!，错误!错误!展开式通项为T r＋１＝（—１）r C错误!x５—错误!r，令５—错误!r＝１⇒r＝３，错误!展开式中x的系数为（—１）３C错误!，错误!所以错误!错误!的展开式中含xy的项的系数为C错误!（—１）C错误!（—１）３＝60，故选Ｂ．]考点２二项式系数的和与各项的系数和问题赋值法在求各项系数和中的应用（１）对形如（ax＋b）n，（ax２＋bx＋c）m（a，b，c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．（２）若f（x）＝a0＋a１x＋a２x２＋…＋a n x n，则f（x）展开式中各项系数之和为f（１），奇数项系数之和为a0＋a２＋a４＋…＝错误!，偶数项系数之和为a１＋a３＋a５＋…＝错误!.（１）在错误!错误!的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为３２∶１，则x２的系数为（）Ａ．５0 Ｂ．70Ｃ．90 Ｄ．１２0（２）（２0１9·汕头质检）若（x＋２＋m）9＝a0＋a１（x＋１）＋a２（x＋１）２＋…＋a9（x＋１）9，且（a0＋a２＋…＋a8）２—（a１＋a３＋…＋a9）２＝３9，则实数m的值为．（１）C（２）—３或１[（１）令x＝１，则错误!n＝４n，所以错误!n的展开式中，各项系数和为４n，又二项式系数和为２n，所以错误!＝２n＝３２，解得n＝５．二项展开式的通项T r＋１＝C错误! x５—r错误!r＝C错误!３r x５—错误!r，令５—错误!r＝２，得r＝２，所以x２的系数为C错误!３２＝90，故选Ｃ．（２）令x＝0，则（２＋m）9＝a0＋a１＋a２＋…＋a9，令x＝—２，则m9＝a0—a１＋a２—a３＋…—a9，又（a0＋a２＋…＋a8）２—（a１＋a３＋…＋a9）２＝（a0＋a１＋a２＋…＋a9）（a0—a１＋a２—a３＋…＋a8—a9）＝３9，∴（２＋m）9·m9＝３9，∴m（２＋m）＝３，∴m＝—３或m＝１．]（１）利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值（包括符号）．（２）在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．１．在二项式（１—２x）n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为１２8，则展开式的中间项的系数为（）A．—960 Ｂ．960Ｃ．１１２0 Ｄ．１680C[因为偶数项的二项式系数之和为２n—１＝１２8，所以n—１＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第５项，因为（１—２x）8的展开式的通项T r＋１＝C错误!（—２x）r＝C错误!（—２）r x r，所以T５＝C错误!（—２）４x４，其系数为C错误!（—２）４＝１１２0．]２．在（１—x）（１＋x）４的展开式中，含x２项的系数是b.若（２—bx）7＝a0＋a１x＋…＋a7x7，则a１＋a２＋…＋a7＝ .—１２8 [在（１—x）（１＋x）４的展开式中，含x２项的系数是b，则b＝C错误!—C错误!＝２．在（２—２x）7＝a0＋a１x＋…＋a7x7中，令x＝0得a0＝２7，令x＝１，得a0＋a１＋a２＋…＋a7＝0．∴a１＋a２＋…＋a7＝0—２7＝—１２8．]３．（a＋x）（１＋x）４的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为３２，则a＝ .３[设（a＋x）（１＋x）４＝a0＋a１x＋a２x２＋a３x３＋a４x４＋a５x５，令x＝１，得１6（a＋１）＝a0＋a１＋a２＋a３＋a４＋a５，１令x＝—１，得0＝a0—a１＋a２—a３＋a４—a５.２１—２，得１6（a＋１）＝２（a１＋a３＋a５），即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a１＋a３＋a５＝8（a＋１），所以8（a＋１）＝３２，解得a＝３．]考点３二项式系数的性质二项式系数的最值问题求二项式系数的最大值，则依据（a＋b）n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．１．二项式错误!错误!的展开式中只有第１１项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A．３Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7D[根据错误!错误!的展开式中只有第１１项的二项式系数最大，得n＝２0，∴错误!错误!的展开式的通项为T r＋１＝C错误!·（错误!x）２0—r·错误!错误!＝（错误!）２0—r·C错误!·x２0—错误!，要使x的指数是整数，需r是３的倍数，∴r＝0,３,6,9,１２,１５,１8，∴x的指数是整数的项共有7项．]２．（２0１9·南昌模拟）设m为正整数，错误!２m展开式的二项式系数的最大值为a，错误!２m＋１展开式的二项式系数的最大值为b，若１５a＝8b，则m＝ .7 [错误!２m展开式中二项式系数的最大值为a＝C错误!，错误!２m＋１展开式中二项式系数的最大值为b＝C错误!，因为１５a＝8b，所以１５C错误!＝8C错误!，即１５错误!＝8错误!，解得m＝7．]３．已知（１＋３x）n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于１２１，则展开式中二项式系数最大的项为．C错误!（３x）7和C错误!（３x）8[由已知得C错误!＋C错误!＋C错误!＝１２１，则错误!n·（n—１）＋n＋１＝１２１，即n２＋n—２４0＝0，解得n＝１５（舍去负值），所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C错误!（３x）7和T9＝C错误!（３x）8.]二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C错误!，C错误!，…，C 错误!，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．项的系数的最值问题二项展开式系数最大项的求法如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A１，A２，…，A n＋１，且第k项系数最大，应用错误!从而解出k来，即得．已知（错误!＋x２）２n的展开式的二项式系数和比（３x—１）n的展开式的二项式系数和大99２，则在错误!错误!的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为．—8 06４—１５３60x４[由题意知，２２n—２n＝99２，即（２n—３２）（２n＋３１）＝0，故２n＝３２，解得n＝５．由二项式系数的性质知，错误!错误!的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C错误!（２x）５错误!错误!＝—8 06４．设第k＋１项的系数的绝对值最大，则T k＋１＝C错误!·（２x）１0—k·错误!错误!＝（—１）k C错误!·２１0—k·x１0—２k，令错误!得错误!即错误!解得错误!≤k≤错误!.∵k∈Z，∴k＝３．故系数的绝对值最大的项是第４项，T４＝—C错误!·２7·x４＝—１５３60x４.]展开式中项的系数一般不同于二项式系数，求解时务必分清．[教师备选例题]已知（x错误!＋３x２）n的展开式中第３项与第４项的二项式系数相等．（１）求展开式中二项式系数最大的项；（２）求展开式中系数最大的项．[解]（１）易知n＝５，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T３＝C错误!（x错误!）３·（３x２）２＝90x6，T４＝C错误!（x错误!）２·（３x２）３＝２70x错误!.（２）设展开式中第r＋１项的系数最大．T r＋１＝C错误!（x错误!）５—r·（３x２）r＝C错误!·３r·x错误!，故有错误!即错误!解得错误!≤r≤错误!.因为r∈N，所以r＝４，即展开式中第５项的系数最大．T５＝C错误!·x错误!·（３x２）４＝４0５x错误!.若错误!错误!的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为（）A．２１0 Ｂ．１0Ｃ．４6２Ｄ．２５２A[∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9,１0,１１．设常数项为T r＋１＝C错误!x３（n—r）x—２r＝C错误!x３n—５r，则３n—５r＝0，其中n＝9,１0,１１，r∈N，∴n＝１0，r＝6，故不含x的项为T7＝C错误!＝２１0．]。
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6 3 3 所以 P(A)＝10＝5，即取出的两个球颜色不同的概率为5.
基础诊断
考点突破
课堂总结
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取 一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，
(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)， (b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)， (b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)， (b3，b3)，共25个．
基础诊断 考点突破 课堂总结
[易错防范]
古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计 算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等 可能的.
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考点突破
课堂总结
基础诊断
考点突破
课堂总结
5．(2014·江苏卷)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所 取2个数的乘积为6的概率是________．
解析 从 1,2,3,6 这 4 个数中任取 2 个数共有{1,2}， {1,3}， {1,6}， {2,3}，{2,6}，{3,6}6 种取法，其中乘积为 6 的有{1,6}和{2,3} 2 1 两种取法，因此所求概率为 P＝6＝3. 1 答案 3
基础诊断 考点突破 课堂总结
考点二 较复杂古典概型的概率
【例2】 (2014·四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有 数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放 回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记 为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
基础诊断
考点突破
课堂总结
设事件B＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B中的基本事
件有： (a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)， (a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)， (b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，共16个．
2 答案 5
基础诊断
考点突破
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4．(2014·新课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从 红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜
色运动服的概率为________．
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考点突破
课堂总结
解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的 运动服中选择 1 种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红， 蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝， 蓝)，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红， 3 1 红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 3 种．故所求概率为 P＝9＝3. 1 答案 3
基础诊断
考点突破
课堂总结
解析
(1) 依题意，将题中的两张卡片排在一起组成两位数有
20,30 ,12 ,13,21,31，共 6 种情况，其中奇数有 13,21,31，共 3 种情 3 1 况，因此所求的概率等于6＝2. (2)设 3 名男同学分别为 a1，a2，a3,3 名女同学分别为 b1，b2，b3， 则从 6 名同学中任选 2 名的结果有 a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1b3， a2a3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2, b1b3，b2b3，共 15 3 1 种，其中都是女同学的有 3 种，所以概率 P＝15＝5. 1 1 答案 (1)2 (2)5
考点突破
课堂总结
解析
(1)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，有{1,2}，{1,3}，{1,4}，
{2,3}，{2,4}，{3,4}共有 6 种取法．构成“取出的 2 个数之差的 绝对值为 2”这个事件的基本事件的个数为 2.所以，所求概率 P 2 1 ＝6＝3. (2)记“两人都中奖”为事件 A，设中一、二等奖及不中奖分别记 为 1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)， (0,2)，共 6 种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，2 种，所以 P(A) 2 1 ＝6＝3.
1 1 答案 (1)3 (2)3
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规律方法 列举法列出所有基本事件的个数 n 和所求事件包含的 m 基本事件的个数 m，利用公式 P＝ n 可求.
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课堂总结
【训练1】 (1)(2015·扬州检测)有两张卡片，一张的正反面分别
写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将卡片 排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率 是________． (2)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均 等)，这2名都是女同学的概率等于________．
基础诊断
考点突破
课堂总结
规律方法 列举基本事件、随机事件，从中找出基本事件的总
数、随机事件所含有的基本事件的个数是解决古典概型的基本 方法．列举基本事件时要分清两个问题：(1)是否有顺序，有序 的和无序的是有区别的；(2)是否允许重复，即放回的还是不放 回的，放回的取元素是允许重复的，不放回的取元素是不允许 重复的．
则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．
3 1 所以 P(A)＝27＝9. 1 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为9.
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(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B， 则事件 B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种． 3 8 所以 P(B)＝1－P( B )＝1－27＝9. 8 因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为9.
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解
(1)2个红球记为a1，a2,3个白球记为b1，b2，b3，从袋中随机
取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有： (a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)， (a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个． 设事件A＝“取出的两个球颜色不同”，A中的基本事件有： (a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)， 共6个．
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考点一 简单古典概型的概率 【例1】 (1)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的
绝对值为2的概率是________．
(2)(2014· 浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无 奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是 ________．
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(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个
反面”，这三个结果是等可能事件．
(3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的 cardA 基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率为 . cardI (√ )
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2．(2014·江西卷改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
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共 36 种，其中点数和为 5 的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种， 4 1 故所求概率为36＝9.
16 16 所以 P(B)＝25，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为25.
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[思想方法] 利用古典概型公式求随机事件的概率时，关键是求试验的基本
事件总数n及事件A所包含的基本事件个数m.
如果基本事件的个数比较少，可用列举法将基本事件一一列 出，如果基本事件个数比较大，全部列举有一定困难时，可根 据基本事件的规律性只列举一部分，然后根据规律性求出基本 事件个数，另外，确定基本事件的方法还有列表法、树状图 法．
①试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 .
②每个基本事件出现的可能性 相等 ．
A包含的基本事件的个数 (2)概率公式：P(A)＝ . 基本事件的总数
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诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古
典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”． (×) ( ×)
率等于________．
解析 掷两颗骰子，点数有以下情况： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
第4讲
古典概型
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级要求；2.计算一
些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，B级要求．
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1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是 互斥 的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 (1) 定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模 型，简称古典概型．
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