2020年百校联盟名师密卷 文科数学 试题卷及参考答案
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(附答案详解)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4x 2−3x ≤0}，B ={x|y =√2x −1}，则A ∩B =( )A. [0,34]B. ⌀C. [0,12]D. [12,34]2. 设复数z =4−2i7−3i ，则复数z 的虚部为( )A. −1729B. 1729C. −129D. 1293. 为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4. 若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√133，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√22x C. y =±23xD. y =±32x5. 执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n <2019，则输出A 的值为( )A. 12 B. 2 C. −1 D. −26. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=769，若a2=83，则数列{a n}的公比为()A. 12B. 13C. 23D. 348.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 104+8√5+√2πB. 104+4√5+(√2−2)πC. 104+8√5+(√2−2)πD. 104+8√5+(2√2−2)π9.设函数f(x)=e|x|−5cosx−x2，则函数f(x)的图象大致为()A. B.C. D.10.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|=()A. 178B. 98C. 1716D. 331611.记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6=18，S11=121.若3a2，a14，S m成等比数列，则a m=()A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知a=sin45,b=43sin34,c=43cos34，则a，b，c的大小关系为()A. a<b<cB. b<c<aC. a<c<bD. b<a<c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n⃗=(1,λ)，若m⃗⃗⃗ ⊥(2m⃗⃗⃗ +n⃗ )，则实数λ的值为______．14.已知首项为1的数列{a n}满足a n+1=5a n−9，则数列{a n}的通项公式为a n=______．15.已知函数f(x)=6√3sinxcosx−6sin2x+3，则函数f(x)在[π2,π]上的取值范围为______．16.已知函数f(x)=x3−6x2+11x−3，若直线l与曲线y=f(x)交于M，N，P三点，且|MN|=|NP|，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=π4，AB=2，BC=√172，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB=−2√2．(Ⅰ)求AM的长度；(Ⅱ)求△BCM的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BC⊥PD，AB=2BC=2CD=2．(1)在线段AB上作出一点E，使得BC//平面PDE，并说明理由；(2)若PA=AD，∠PDA=60°，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计费．(1)是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；(2)根据表(2)中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；(3)若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知△PF 1F 2中，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|.(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)若点M ，N 在曲线E 上，且M ，N ，F 1三点共线，求△F 2MN 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=x 2lnx −12x 2．(1)求曲线y =f(x)在(e,f(e))处的切线方程；(2)已知函数g(x)=f(x)+ax(1−lnx)存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M ，N ，若M =g(1)，N =ℎ(a)，求ℎ(a)的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =3+3sinθ(θ为参数)，点M 是曲线C 上的任意一点，将点M 绕原点O 逆时针旋转90°得到点N.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求点N 的轨迹C′的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线y =−√33x(y >0)与曲线C ，C′分别交于点A ，B ，点D(−6,0)，求△ABD的面积．23.已知函数f(x)=|x−1|+|3x+5|．(Ⅰ)求不等式f(x)>8的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：依题意，A={x|4x2−3x≤0}={x|0≤x≤34}，B={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，故A∩B=[12,34 ]．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=4−2i7−3i =(4−2i)(7+3i)(7−3i)(7+3i)=34−2i58=1729−129i，∴复数z的虚部为−129．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√133，可得c2a2=139，即a2+b2a2=139，解得ba =23，双曲线C的渐近线方程为：y=±23x．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得n=1，A=12满足条件n<2019，执行循环体，A=−1，n=2满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=3满足条件n<2019，执行循环体，A=12，n=4…观察规律可知A的取值周期为3，且2018=672×3+2，可得n=2018时，满足条件n<2019，执行循环体，A=2，n=2019此时，不满足条件n<2019，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】B【解析】解：进行分割如图所示，故V=2(V A−A1MNE +V AMN−DPQ+V D−PQFD1)+V BCGH−ADFE=2×(13×15×6×65×2+12×65×15×8)+(8+20)×652×40=52000立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=769，a2=83，∴83q+83+83q=769，解得：q=23，或32(舍去)．则数列{a n}的公比为23．故选：C．设单调递减的等比数列{a n}的公比为q≠1，由S3=769，a2=83，可得：83q+83+83q=769，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：S=2×12×4×2+2×4+4×4×4+4×4−12×π×22+4×12×2×2+12×π×2×2√2=104+8√5+(√2−2)π．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，f(−x)=e|−x|−5cos(−x)−(−x)2=e|x|−5cosx−x2=f(x)，则函数f(x)为偶函数，可排除选项C；当x→+∞时，f(x)→+∞，可排除选项D；又f(π2)=eπ2−5cosπ2−(π2)2=eπ2−(π2)2>0，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得p=2，所以抛物线的方程为：y2=4x所以可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得E(−1,y2)，可得k EF=y2−1−1=4，所以y2=−8，将y2=−8代入抛物线中，64=4x2，x2=16，及B(16,−8)，所以k BF=16−1−8=−158，所以直线AB的方程为：y=−158(x−1)，与抛物线联立可得225x2−706x+225=0，所以x1x2=1，所以x1=116，所以|AF|=x1+1=1716，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得|AF|的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，由a4+a6=18，可得2a1+8d=18，即a1+4d=9，由S11=121，可得11a1+55d=121，即a1+5d=11，解得a1=1，d=2，则a n=1+2(n−1)=2n−1，S n=12n(2n−1+1)=n2，若3a2，a14，S m成等比数列，则a142=3a2S m，即为272=9m2，可得m=9，则a m=a9=17．故选：C．等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由于0<34<π4，根据三角函数的值cos34>sin34，则c=43cos34>b=43sin34，由于π2>45>34>0，所以sin 45>sin 34，根据近似值的运算，整理得b =43sin 34>a =sin 45． 故c >b >a ． 故选：A ．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.【答案】−12【解析】解：根据题意，向量m⃗⃗⃗ =(2,5),n ⃗ =(1,λ)，则2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)， 若m⃗⃗⃗ ⊥(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )，则m ⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，则λ=−12； 故答案为：−12．根据题意，由向量的坐标公式可得2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ =(5,10+λ)，由向量垂直与数量积的关系可得m⃗⃗⃗ ⋅(2m ⃗⃗⃗ +n ⃗ )=10+50+5λ=60+5λ=0，解可得λ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.【答案】−5n 4+94【解析】解：∵a n+1=5a n −9， ∴a n+1−94=5(a n −94)，又a 1−94=−54，∴数列{a n −94}是首项为−54，公比为5的等比数列， ∴a n −94=(−54)×5n−1=−5n 4，∴a n =−5n 4+94，故答案为：−5n 4+94．由a n+1=5a n −9可得a n+1−94=5(a n −94)，所以构造出等比数列{a n −94}，再利用等比数列的通项公式即可求出a n ．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.【答案】[−6,3]【解析】解：f(x)=3√3sin2x −6×1−cos2x2+3=3√3sin2x +3cos2x=6(√32sin2x +12cos2x)=6sin(2x +π6)，当π2≤x ≤π时，π≤2x ≤2π，7π6≤2x +π6≤13π6，则当2x +π6=13π6时，函数f(x)取得最大值，最大值为6sin13π6=6sin π6=6×12=3，当2x +π6=3π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为6sin 3π2=−6，即f(x)的取值范围是[−6,3]， 故答案为：[−6,3]．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.【答案】(2,3)【解析】解：函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，若直线l 与曲线y =f(x)交于M ，N ，P 三点，且|MN|=|NP|，所以N 是MP 的中点， 因为函数f(x)=x 3−6x 2+11x −3，可得f′(x)=3x 2−12x +11，f″(x)=6x −12，令f″(x)=6x −12=0，解得x =2， 此时f(2)=3，所以函数的对称中心的坐标(2,3)． 所以N(2,3)， 故答案为：(2,3)．利用已知条件说明N 是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.【答案】解：(Ⅰ)∵tan∠AMB =−2√2；∴sin∠AMB =2√23，cos∠AMB =−13；由正弦定理，BMsin∠A =ABsin∠AMB，即BM√22=22√23，解得BM=32；由余弦定理，cos∠AMB=AM2+BM2−AB22AM⋅BM ，即−13=AM2+94−42×AM×32，解得AM=√2−12；(Ⅱ)∵cos∠CMB=cos(π−∠AMB)=−cos∠AMB=13，∴sin∠CMB=2√23，在△BCM中，由余弦定理，有BC2=BM2+CM2−2BM⋅CM⋅cos∠CMB∴CM=2，∴S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB=12×32×2×2√23=√2．【解析】(Ⅰ)先求出∠AMB的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM的长；(Ⅱ)利用正弦定理求出sin∠CMB的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式S△BCM=12BM⋅CM⋅sin∠CMB求出△BCM的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.【答案】解：(1)取AB的中点E，连接PE，DE，∵AB=2CD=2，∴DC=BE，又∠ABC=∠BCD=90°，∴DC//BE，则四边形DCBE为平行四边形，可得BC//DE．∵DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，则BC//平面PDE；(2)∵BC⊥PD，BC⊥CD，且PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，在平面PCD内过P作PF⊥CD，可得PF⊥平面ABCD，在Rt△PFA与Rt△PFD中，∵PA=PD，∴AF=√PA2−PF2=√PD2−PF2=DF，又由题意，∠FDA=45°，∴AF⊥FD，由已知求得AD=√2．∴AF=DF=PF=1．连接BD，则V P−ABD=13×12×2×1=13，又求得S△PAD=√32，设B到平面PAD的距离为ℎ，则由V P−ABD =V B−PAD ，得13=13×√32ℎ，即ℎ=2√33．【解析】(1)取AB 的中点E ，连接PE ，DE ，可证四边形DCBE 为平行四边形，得BC//DE ，由直线与平面平行的判定可得BC//平面PDE ；(2)由已知证明BC ⊥平面PCD ，可得平面PCD ⊥平面ABCD ，在平面PCD 内过P 作PF ⊥CD ，得PF ⊥平面ABCD ，求解三角形求得AF =DF =PF =1，再由等体积法求点B 到平面PAD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.【答案】解：(1)补充完整的2×2列联表如下所示，∴K 2=2000×(800×600−200×400)21000×1000×1200×800≈333.33>10.828，故有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关． (2)表2中的数据整理如下， ∴所求的平均使用时间为25×0.3+35×0.4+45×0.2+55×0.1=36(分钟)． (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟， 当30≤t ≤45时，y =0.12t +20；当45<t ≤60时，y =0.12×45+0.20×(45−t)+20=0.2t +16.4． 故y ={0.12t +20,30≤t ≤450.2t +16.4,45<t ≤60，当30≤t ≤45时，23.6≤y ≤25.4；当45<t ≤60时，25.4<t ≤28.4， 令0.2t +16.4=27，解得t =53， 综上所述：当30≤t <53时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算； 当53<t ≤60时，使用滴滴打车上班更加合算； 当t =53时，两种方案情况相同．【解析】(1)先根据现有数据补充完整2×2列联表，再利用K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；(2)根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可； (3)设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y 元，上班所用的时间为t 分钟，写出y 关于t 的分段函数，并求出每段中对应的y 的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后0.2t +16.4=27，解得t =53，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设Q(x,y)，y ≠0，∵|PF 1|=4，点Q 在线段PF 1上，且|PQ|=|QF 2|，∴|PF 1|=4=|QF 1|+|QF 2|>|F 1F 2|=2 ∴点Q 为焦点在x 轴上，长轴长2a =4，焦距2c =2的椭圆上的点，且b 2=4−1=3，∴点Q 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1(y ≠0)；(Ⅱ)设直线MN 的方程为x =ky +1，联立{x =ky +1x 24+y 23=1可得(3k 2+4)y 2+6ky −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则 y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4． ∵|MN|=√1+k 2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12(k 2+1)3k 2+4，点F 2到直线MN 的距离d =2√1+k 2，∴S △MNF 2=12|MN|⋅d =12√k 2+13k 2+4，令√k 2+1=t ≥1，则S △MNF 2=12t3t 2+1=123(t+13t)在[1,+∞)上单调递减，故当t =1也即k =0时，△F 2MN 面积的最大值为3．【解析】(Ⅰ)先设点Q 的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；(Ⅱ)先设出直线MN 的方程与椭圆方程联立求得y 1+y 2=−6k3k 2+4，y 1y 2=−93k 2+4，进而求得|MN|与点F 2到直线MN 的距离d ，找出△F 2MN 面积的表达式，最后解决其最值问题． 本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.【答案】解：(1)依题意，函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2xlnx +x −x =2xlnx ，故f′(e)=2e ，而f(e)=e 2−12e 2=12e 2，故所求切线方程为y −12e 2=2e(x −e)，即y =2ex −32e 2； (2)依题意，g(x)=x 2lnx −12x 2+ax(1−lnx)， 故g′(x)=(2x −a)lnx ，显然a >0，令g′(x)=0，解得x =a2或x =1， 因为极大值M =g(1)，故a >2， 此时，函数N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，所以ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)，令ℎ′(a)=−12a(ln a2−1)=0，得a =2e ， 当a 变化时，ℎ′(a)，ℎ(a)，变化情况如下表：所以函数ℎ(a)的最大值为ℎ(2e)=e 22．【解析】(1)根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解； (2)根据导函数讨论单调性求出极大值N =ℎ(a)=g(a2)=−a 24ln a 2+38a 2，讨论ℎ(a)的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)依题意，曲线C的普通方程为x2+(y−3)2=9，即x2+y2−6y=0，整理可得：ρ2=6ρsinα，故曲线C的极坐标方程为ρ=6sinα，设N(ρ,φ)，则M(ρ,φ−π2)，则有ρ=6sin(φ−π2)=−6cosφ，故点N的轨迹C′的极坐标方程为ρ=−6cosφ．(Ⅱ)曲线y=−√33x(y>0)的极坐标方程为θ=5π6(ρ>0)，D到曲线θ=5π6的距离为d=6sinπ6=3，曲线θ=5π6与曲线C交点A(3,5π6)，曲线θ=5π6与曲线C′交点B(3√3,5π6)，∴|AB|=3√3−3，故△ABD的面积S=12×|AB|×d=9√3−92．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(Ⅰ)依题意，|x−1|+|3x+5|>8，当x<−53时，原式化为1−x−3x−5>8，解得x<−3，故x<−3，当−53≤x≤1时，原式化为1−x+3x+5>8，解得x>1，故无解，当x>1时，原式化为x−1+3x+5>8，解得x>1，故x>1，综上所述，不等式f(x)>8的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞)．(Ⅱ)依题意，|x−1|+|3x+5|+m≤2x2+|3x+5|，则|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ， 即{2x 2+x −(m +1)≥02x 2−x +(1−m)≥0， 则只需{1+8(m +1)≤01−8(1−m)≤0，解得m ≤−98，∴实数m 的取值范围是(−∞,−98]．【解析】(Ⅰ)依题意，|x −1|+|3x +5|>8，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)依题意可得|x −1|≤2x 2−m ，即−2x 2+m ≤x −1≤2x 2−m ，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
湖北省百校大联盟2020届高三数学考试(文科)试题及答案
高三数学考试（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合121{|}M x x =-<-≤，{}24|N x x =<<，则M N ⋃=A ．(]2,3B ．()2,3C ．[)1,4D ．()1,42．命题“00,()x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为A ．0,()x ∀∈+∞，212x x +> B ．0,()x ∀∈+∞，212x x +≤ C ．0),(x ∀∈-∞，212x x +≤ D ．0],(x ∀∈-∞，212x x +>3．函数()ln f x x =+的定义域为A ．[)1,-+∞B ．[)(1,00,)-+∞UC ．(],1-∞-D ．()(1,00,)-+∞U4．已知25abm ==，现有下面四个命题：1:p 若a b =，则1m =； 2:p 若10m =，则111a b +=； 3:p 若a b =，则10m =；4:p 若10m =，则1112a b +=． 其中的真命题是A ．1p ，4p B ．1p ，2p C ．2p ，3p D ．3p ，4p 5．若函数3()f x ax x =-在[]1,3上单调递增，则a 的取值范围为A ．(3],-∞B ．(7],2-∞C ．[3,)+∞D ．[27,)+∞6．将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的一条对称轴方程为 A ．380x π=B ．380x π=-C ．320x π=D ．320x π=-7．下列不等式正确的是A ．3sin130sin 40log 4︒>︒>B ．tan226ln0.4tan48︒<<︒C ．cos(20)sin65lg11-︒<︒<D ．5tan 410sin80log 2︒>︒≥8．函数2||2cos ()x x x f x e-=在[,]ππ-上的图像大致为A ．B ．C ．D ．9．已知cos270.891︒≈cos18)︒+︒的近似值为A ．1.77B ．1.78C ．1.79D ．1.8110．设函数1()ln 1x f x x x +=--，则“()0f a =”是“1()0f a=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()f x 的图象关于点()3,0对称，当12x ≤≤时，()()32log 43f x x x =++，则1609()2f =A ．4-B ．4C ．5-D ．512．已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()1f x x f x '+>+对[]0,2x ∈恒成立，且()01f =-，则下列不等式一定成立的是A ．2(1)2(2)e e ef e f --<<-+ B ．22(2)(1)e f ef e e -+<<-- C ．21(1)2(2)e f e f --<<-+D ．22(2)(1)1e f f e -+<<--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．设函数,0()1()042,lg x x f x x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()10f f -=__________．14．函数24cos y x x =+在(,)22ππ-上的极__________（填“大”或“小”）值点为__________．（本题第一空2分，第二空3分）15．张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子，开心果，腰果，核桃，价格依次为120元/千克，80元/千克、70元/千克，40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付()2x x ∈Z 元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%．①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x =__________；②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．（本题第一空2分，第二空3分） 16．函数()f x =值域为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数2()2xx f x aa a -+=（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A ．（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的最小值． 18．（12分）已知函数()316f x x x =+-． （1）证明：()f x 有3个零点． （2）求()f x 在[]1,2-上的值域 19．（12分）已知函数()3sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求ω，ϕ； （2）若9()25f α=，5(,)36ππα∈，求sin α． 20．（12分）已知函数()sin x f x e x =+．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）证明：()cos f x x >对,()0x ∈+∞恒成立． 21．（12分）．将函数s ()4co (in s )6x g x x π=⋅+的图象向左平移(0)2πϕϕ<≤个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，tan 2α>，求)(f α的取值范围； （2）若()f x 在7(,)6ππ是单调函数，求ϕ的取值范围． 22．（12分）已知函22l 1()2n 2(0)f x ax x a x a =-+≠．（1）讨论()f x 的单调性； （2）当13a =时，设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明：121212()()11f x f x x x x x -<+-． 高三数学考试参考答案（文科）1．C 【解析】本题考查集合的并集，考查运算求解能力． ∵[)1,3M =，()2,4N =，∴[)1,4M N ⋃=．2．A 【解析】本题考查特称命题的否定，考查推理论证能力．命题“00,()x ∃∈+∞，20012x x +≤”的否定为“0,()x ∀∈+∞，212x x +>”．3．B 【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力．∵330||0x x -⎧-≥⎨>⎩，∴[1,0)(0,)x ∈-⋃+∞． 4．B 【解析】本题考查指数与对数的运算，考查运算求解能力． 若a b =，则2()15a=则0a =，1m =，故1p 是真命题．若10m =，则11lg2lg51a b+=+=，故2p 是真命题． 5．D 【解析】本题考查导数的应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力． 依题意可得，2()30f x a x '-≥=， 即23a x ≥对[]1,3x ∈恒成立，则27a ≥．6．C 【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性，考查运算求解能力． 将曲线2sin(4)5y x π=+上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线2sin(2)5y x π=+，令2()52x k k πππ+=+∈Z ，得3()202k x k ππ+∈=Z ． 7．D 【解析】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力． ∵3sin 401log 4︒<<，ln0.40tan226<<︒，()cos 20cos20sin70sin65-︒=︒=︒>︒，∴排除A 、B 、C ．51tan 410tan501sin80log 22︒=︒>>︒>>，故选D ． 8．A 【解析】本题考查函数图象的识别，考查推理论证能力． 易知()f x 为偶函数，排除C ．因为()02f π<，22322()1f e e ππππ++=->->-， 所以排除B 、D ，故选A ．9．B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．cos72cos18sin18cos1845)︒+︒=︒+︒=︒+︒63=︒=︒，)cos72cos1820.891 1.782︒+︒≈⨯=，cos18)︒+︒的近似值为1.78．10．C 【解析】本题考查充要条件，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．若()0f a =，则1ln 01a a a +-=-， 111111()ln ()()01111ln ln a a a f f a a a a a a a a+++=-=--=--=-=---反之亦成立．故“()0f a =”是“1()0f a=”的充要条件．11．C 【解析】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力．因为()f x 的图象关于点()3,0对称， 所以()()60f x f x -=＋．又()()2f x f x =-，所以()()260f x f x -+-=， 所以()()4f x f x =-+，则()()8f x f x =+，所以160999()(1008)()222f f f =+⨯=． 因为99()(6)022f f +-=，393()()(3log 9)522f f =-=-+=-，所以1609()52f =-． 12．A 【解析】本题考查导数的应用，考查函数构造法的应用与推理论证能力．设函数()()xx f x g x e+=，则 []21()[()]1()()()r r xxf x e x f x e f x x f xg x e e '+-+'+--'==因为()()1f x x f x '+>+对[]0,2x ∈恒成立， 所以()0g x '>对[]0,2x ∈恒成立， 所以()g x 在[]0,2上单调递增， 则()()()012g g g <<，即21(1)2(2)1f f e e++-<<， 即2(1)2(2)e e ef e f --<<-+．13．16 【解析】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力．2((10))(2)416f f f -=-==．14．大；6π【解析】本题考查导数的应用，考查运算求解能力． ∵24sin y x '=-，∴当(,)26x ππ∈-时，0y '>； 当(,)62x ππ∈时，0y '<． 故24cos y x x =+在(,)22ππ-上的极大值点为6π．15．10；18.5【解析】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养． 顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付12070180x +-=元，则10x =． 设顾客一次购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的七折． 当150M ≥时，.8.(007)M x M -≥， 即8M x ≥对150M ≥恒成立， 则8150x ≤，18.75x ≤，又2x ∈Z ， 所以x 的最大值为18.5． 16．()2,2-【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的值域，考查推理论证能力．2sin(4)3()2sin(2)62cos(2)6x f x x x πππ+==-+-+，cos 206x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭ 且当且仅当cos(2)06x π+=，|sin(2)|16x π+=， ∴()f x 的值域为()2,2-． 17．解：（1）因为2()2xx f x aa a -+=（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，所以2(1)6f a a =+=． 因为0a >且1a ≠，所以2a =，所以()f x 的解析式为()424xxf x =-+（或2()224xx f x =-+）．（2）2115()(2)24xf x =-+， 当122x=，即1x =-时，()f x 取得最小值154． 18．（1）证明：2()63f x x '=-，令()0f x '=，得x =令()0f x '>，得x <<令()0f x '<，得x <x >所以()f x 在x =处取得极小值，极小值为(1f =-，在x =处取得极大值，极大值为1f =+因为10-<，()30f ->，10+>，()30f <， 所以()f x 有3个零点．（2）解：由（1）知，()f x 在[-上单调递增，在上单调递减，所以max ()1f x f ==+因为()()1425f f -=-<=，所以()min 4f x =-，故()f x 在[]1,2-上的值域为[4,1-+．19．解：（1）由图可知353()41234T πππ=--=， 故T π=，则22Tπω==． 又()f x 的图象过点5(,3)12π，则5()312f π=， 得5sin()16πϕ+=． 而||2πϕ<，所以3πϕ=-．（2）由（1）知，()3sin(2)3f x x π=-，则9()3sin()235f απα=-=，则3sin()35πα-=． 因为5(,)36ππα∈，所以(0,)32ππα-∈， 所以4cos()35πα-=所以sin sin ()sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα⎡⎤=-+=-+-⎢⎥⎣⎦134255=⨯+=． 20．（1）解：()cos x f x e x '=+，所以()02f '=，又()01f =，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =+． （2）证明：当,()0x ∈+∞时，1xe >，1cos 1x -≤≤，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)∞＋上单调递增， 从而()()01f x f >=．又1cos 1x -≤≤，所以()cos f x x >对,()0x ∈+∞恒成立．21．解：（1）1()4sin cos sin 22g x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q2(1cos2)x x =--2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭．又()f x 为偶函数，则2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，02πϕ<≤Q ，6πϕ∴=，∴()2sin(2)12cos212f x x x π=+-=-2222222(cos sin )2(1tan )11cos sin 1tan x x xx x x --=-=-++∵tan 2α>，224411()331tan 125f αα=-<-=-+∴+，又24()331tan f αα=->-+， ()f α∴的取值范围为11(3,)5--． （2）∵7(,)6x ππ∈， 22(22,22)662x πππϕπϕπϕ∴++∈++++ ∵02πϕ<≤，72(,666]πππϕ∴+∈，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦∵()f x 在7(,)6ππ上是单调函数， ∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 22．（1）解：2222()1,(0,)a ax x a f x ax x x x-+'=∈+=+∞-． 设22()2(0)p x ax x a x =-+>，318a ∆=-， 当12a ≥时，0∆≤，()0p x ≥， 则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当102a <<时，0∆>， ()p x的零点为1x =2x = 且120x x <<，令()0f x '>，得10x x <<或2x x >，所以()f x在，)+∞单调递增， 令()0f x '<，得12x x x <<，所以()f x在上单调递减． 当0a <时，0∆>，()p x的零点为12a-， ()f x在1(0,2a上单调递增，在)+∞上单调递减． （2）证明：不妨假设120x x <<，则1213x x a+==． （法一）要证121212()()11f x f x x x x x -<+- 只需证121212121221()()()()x x x x x x f x f x x x x x -+->=-， 只需证()()1121221122ln 239x x x x x x ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦ ()1121222112ln 29x x x x x x x x =--+>- 即1121222121ln ()92x x x x x x x x -+>-． 设12(01)x t t x =<<， 设函数ln 21()9g t t t t =-+，22219()t t g t t -+'=-， 因为44081'∆=-<，所以2210,(0<)9t t g t '-+>， 所以()g t 在()0,1上单调递减，则()()10g t g >=．又121()02x x -<，则121()0()2g t x x >>-， 则1121222121ln ()92x x x x x x x x -+>-， 从而121212()()11f x f x x x x x -<+-． （法二）要121212()()11f x f x x x x x -<+-， 只需证22121212()()x x f x f x x x -->， 因为12223x x a ==，所以只需证22112233()()22f x x f x x ->-． 因为123x x +=，1223x x =， 所以1x ，2x 是函数22()33h x x x =-+的零点， 因为2()09h >，3()02h <，所以122392x x <<<． 设223422()()()2399ln g x f x x x x x x =-=--+>， 则28298()109393x x x g x x x -'=--=-<， 所以()g x 在2(,)9+∞上单调递减，则()()12g x g x >， 即22112233()()22f x x f x x ->-， 故121212()()11f x f x x x x x -<+-得证．。
2020届百校联盟(全国卷)高三第一次调研考试数学(文)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第一次调研考试（文科）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，，则等于（）A．B．C．D．3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（）A．25B．7C．5D．4．函数的单调增区间为（）A．，B．，C．，D．，5．在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（）A．成绩在分的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000人C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D．考生竞赛成绩的中位数为75分6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．7．已知是抛物线的焦点，过焦点的直线交抛物线的准线于点，点在抛物线上且，则直线的斜率为（）A．±l B．C．D．8．已知是定义在上的奇函数，满足，且，则（）A．0B．C．D．9．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A．B．C．D．11．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为（）A．B．C．D．12．已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年名师密卷文科数学专项卷答案
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2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ⋅ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {−1,0，1}B. {−2,−1,1}C. {−2,0，1}D. {−2,−1,0，1} 2. 设z −是复数z 的共轭复数，若z −⋅i =1+i ，则z ⋅z −=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ⋅e x −1e x +1 D. y =xln(√x 2+1−x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x −cos (2x −π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增； ③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A. −2B. −34 C. −54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2−ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1]B. [−12,1]C. (−12,1]D. (−12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x −3y −6≤02x −2y +1≥0x +2y −1≥0，则z =|x −y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax−1(x >0)，若a =√1−x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [−√2−1,−1)B. (−2√2,−1)C. [−2√2,−1)D. (−√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3−5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={−1,0，1}，B ={0,−2}， ∴A ∪B ={−2,−1,0，1}． 故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z −⋅i =1+i ， ∴z −=1+i i=(1+i)(−i)−i 2=1−i ，则z ⋅z −=|z|2=(√2)2=2． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ⋅z −=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数； 对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于C ，y =x ⋅e x −1e x +1，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)⋅e −x −1e −x +1=x ⋅e x −1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1−x)，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数； 故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2， ∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13， ∴S 3=9(1−133)1−13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P−ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x−cos(2x−π3)=cos2x+1−12cos2x−√32sin2x=12cos2x−√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ−π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ−2π3,kπ−π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ−2π3,kπ−π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[−1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2−π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点， 则CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12[−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14×22−34×2×3×12=−54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟， 由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数， ∴y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立， ∴{−−a 2≤12(12)2−12a +a ≥0，解得−12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)；平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x −y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论． 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ， 所以平面PAB ⊥平面ABC ， 又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点， △PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102， 故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB −MNC ，则直三棱柱PAB −MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1−x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)， 则y =sinα+cosαsin αcos α−1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2−12,∴1y =t 2−32t =t2−32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[−2√2,−1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α−1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt−3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围． 本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动， 若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为553， 故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论． 本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2解析：解：由f(x)=x 3−5x +a ，得f′(x)=3x 2−5， ∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 02−5=−2，∴x 0=1或x 0=−1，∴y 0=a −4或y 0=a +4， 即切点坐标为(1,a −4)或(−1,a +4)， 代入直线中，得a +b =2或a +b =−2， ∵a ，b 为正实数，∴a +b =2． 故答案为：2． 先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=−2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2−y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2<tan45°=1，即b2a2c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2−a2<2ac，即c2−2ac−a2<0，则e2−2e−1<0，解得：1−√2<e<1+√2又e>1，∴1<e<1+√2故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc⇒a2+c2−b2=c2+bc；∴a2+c2−b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB⇒sinB=sin(A−B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π3．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒PA ⊥PC ； 所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图： ∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4， 设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO −PO =√1+(2√3)2−1=√13−1． 设∠OCP =α，则∠COP =π−2α， ∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ⋅PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π−2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913． ∴当BP 取得最小值时(√13−1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4−6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87． 分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P−BCE=V B−PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x−2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2⋅QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)<g(x)，得e x −ax 2−x −1>0，设ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，则ℎ′(x)=e x −2ax −1，令H(x)=e x −2ax −1，则H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴H(x)=ℎ′(x)>ℎ′(0)=0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立． 当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ， x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数， x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数， ∴ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，设t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，则t′(a)=−2ln2a <0， ∴t(a)在(12,+∞)上为减函数， ∴t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0∴∃x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数， 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， 又ℎ(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立， 综上所述，a ∈(−∞,12]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数ℎ(x)=e x −ax 2−x −1(x >0)，求出ℎ′(x)，令H(x)=ℎ′(x)=e x −2ax −1，再求H′(x)=e x −2a ，当a ≤12时，易证得ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，ℎ(x)>ℎ(0)=0成立，即f(x)<g(x)成立；当a >12时，由H′(x)=e x −2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即ℎ′(x)的单调性，于是ℎ′(x)≥ℎ′(ln2a)≥2a −1−2aln2a ，再令t(a)=2a −1−2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(12)=0，即ℎ′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x −1|−4≥0， 当x <−2时，−x −2−x +1−4≥0，解得x ≤−52； 当−2≤x ≤1时，x +2−x +1−4≥0，解得x ∈⌀； 当x >1时，x +2+x −1−4≥0，解得x ≥32， ∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤−52或x ≥32}； (2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x −1|−a ≥0对任意的x ∈R 恒成立， ∴a ≤|x +2|+|x −1|，又|x +2|+|x −1|≥|x +2−x +1|=3， ∴a ≤3，∴s =3， ∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]⋅(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23， 当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号， ∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x −1|−4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x −1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a −b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．。
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年百校联盟TOP20高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x∈N∗|(x−6)(x+1)≤0}，集合A={1,2，4}，则∁U A=()A. {3,5}B. {3,5，6}C. {0,3，5}D. {0,3，5，6}2.计算：(2+i)2=()A. 3B. 3+2iC. 3+4iD. 5+4i3.下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是()A. f(x)=|x|B. f(x)=√x−1+√1−xC. f(x)=2x−2−xD. f(x)=tanx4.已知直线l经过双曲线x212−y24=1的右焦点F，且与双曲线过第一、三象限的渐近线垂直，则直线l的方程是()A. y=−√3x+4√3B. y=−√3x−4√3C. y=−√33x+4√33D. y=−√33x−4√35.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 86.在区间[0,5]上随机地取一个数x，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为()A. 25B. 15C. 12D. 147.已知∠AOB如图所示，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B(35,−45)，点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos(5π6−α)=()A. −45B. −35C. 35 D. 458. 执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为( )．A. 0B. 1C. 2D. 119. 设tan(α−β)=1,tan(β+π4)=2,则tanα等于( )A. 1B. 2C. 3D. 510. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0，则z =x +y 的最小值是( )A. −13B. −15C. −1D. 711. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 2，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线MF 2与椭圆C 的一个交点，且|OA|=|OF 2|=2|OM|，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. 25C. √55D. √5312. 若函数f(x)=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( )A. eB. 2C. √2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(4,−1+y)，且a ⃗ //b ⃗ ，则y =______．14. 某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查．甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是______．15. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2√2，则该球的体积为______ ．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB−3ccosC=0，则cosC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，a3=7，且a2+a6=18.若b n=．√a+√a(1)求数列{a n}通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是AB的中点．(1)证明：BC1//平面MCA1；(2)若AB=A1M=2MC=2，BC=√2，求点C1到平面MCA1的距离．19.为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表表2：女生上网时间与频数分布表(1)从这200名学生中任抽1人，求上网时间在[50,60)间的概率．(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l：y=x+m与抛物线C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点且满足|OM|=2√5(O为坐标原点)，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=ln x+a(x2−1)。
2020届百校联盟(全国卷)高三第二次调研考试数学(文)试题
2020届百校联盟（全国卷）高三第二次调研考试数学(文)试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1．若110b a <<，则下列不等式错误．．的是（ ） A.11a b a>- B.a b < C.||||a b > D.22a b >2．若复数()()122z i i =-+的模是（ ）A. 25B. 5前三个答案都不对 3． 用反证法证明命题“N b a ∈,，ab 可被5整除，则b a ,中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为A ．b a ,都能被5整除B ．b a ,都不能被5整除C ．b a ,至多有一个不能被5整除D ．b a ,至多有一个能被5整除4．“1cos 22α=”是“6πα=”的（ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件P QMNABCD5． 已知m,n 是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，， 则D. 若，，则6．有n 位学生的某班都参加了某次高三复习检测，第i 个学生的某科成绩记为ix （i=1,2,3，……，n ），定义i p =（不超过成绩i x 的该科该班人数）÷n 为第i 个学生的该科成绩的百分位。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
百校联盟2020届高三4月(全国Ⅰ卷)(文科)数学 含解析
百校联盟2020届高三4月（全国Ⅰ卷）（文科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤1}，B ＝{x|x·ln(x ＋3)＝0}，则A ∪B ＝A.{－1，0，1}B.{－2，－1，1}C.{－2，0，1}D.{－2，－1，0，1}2.设z 是复数z 的共轭复数，若z ·i ＝1＋i ，则z·z ＝ 2 B.2 C.1 D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝xsinxB.y ＝xlnxC.11x x e y x e -=⋅+ D.21)ln(y x x x =+ 4.数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2＋a 3＝4，a 3＋3a 4＝2，则S 3＝ A.283 B.12 C.383D.13 5.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.43 B.2 C.83 D.1036.已知函数f(x)＝2cos 2x －cos(2x －3π)，则下列结论正确的个数是 ①函数f(x)的最小正周期为π； ②函数f(x)在区间[0，3π]上单调递增； ③函数f(x)在[0，2π]上的最大值为2； ④函数f(x)的图象关于直线x ＝3π对称。
A.1 B.2 C.3 D.47.如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝3π，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB ⋅u u u r u u u r ＝ A.－2 B.－34 C.－54 D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话。
小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是 A.13 B.12 C.25 D.349.已知函数()()122log f x x ax a =-+在(12，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是 A.(－∞，1] B.[－12，1] C.(－12，1] D.(－12，＋∞) 10.若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --≤-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则z ＝|x －y ＋1|的最大值为A.2B.2411C.2811D.3 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD ＝1，PD ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)＝1x a ax +-(x>0)，若a 21x -，则f(x)的取值范围是 A.[2－1，－1) B.(－2，－1) C.[－2，－1) D.(2，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|1}A x Z x =∈…，{|(3)0}B x x ln x =+=g ，则(A B =U ) A ．{1-，0，1}B ．{2-，1-，1}C ．{2-，0，1}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）设z 是复数z 的共轭复数，若1z i i =+g ，则(z z =g ) A ．2B ．2C ．1D ．03．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．sin y x x =B ．y xlnx =C ．11x x e y x e -=+gD ．2(1)y xln x x =+-4．（5分）数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，0n a >，234a a +=，3432a a +=，则3(S =)A ．283B ．12C ．383D ．135．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．43B ．2C ．83D ．1036．（5分）已知函数2()2cos cos(2)3f x x x π=--，则下列结论正确的个数是( )①函数()f x 的最小正周期为π； ②函数()f x 在区间[0，]3π上单调递增；③函数()f x 在[0，]2π上的最大值为2； ④函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN AB =u u u r u u u rg( )A ．2-B ．34-C ．54-D．548．（5分）改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．25D ．349．（5分）已知函数212()log ()f x x ax a =-+在1(2，)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．1[2-，1]C ．1(2-，1]D ．1(2-，)+∞10．（5分）若x ，y 满足约束条件43602210210x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩„……，则|1|z x y =-+的最大值为( )A ．2B ．2411C ．2811D ．311．（5分）如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为()A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π12．（5分）已知函数()(0)1x a f x x ax +=>-，若0a =>，则()f x 的取值范围是( ) A．[1-，1)-B．(-，1)- C．[-1)- D．(，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为 ．14．（5分）已知函数3()5f x x x a =-+，直线20x y b ++=与函数()f x 的图象相切，a ，b 为正实数，则a b +的值为 ．15．（5分）已知实数x ，y 满足20y x >…，则92y xx x y++的最小值为 ． 16．（5分）1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点．过2F 作直线l x ⊥轴，交双曲线C 于M 、N 两点，若1MF N ∠为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，22a b bc =+，且sin tan cos 1C B C +=．（1）求角A ；（2）2b =，P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足0AP CP =u u u r u u u rg，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时APC ∆的面积S ．18．（12分）双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A 、B 两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量80>销售量80„总计 A 电商平台 B 电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．2()P K k …0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．（12分）如图①，平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3ABC ∠=，E 为CD 中点．将ADE ∆沿AE 折起，使平面ADE ⊥平面ABCE ，得到如图②所示的四棱锥P ABCE -． （1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20．（12分）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数1()f x ax x=+，()1x e g x x =-．（1）讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）若对任意的(0,)x ∈+∞，()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]。
百校联盟20届高考名师保温猜题卷文科数学试卷答案
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