高中数学人教b版必修5学案：1.1.2 余弦定理(一)(数理化网 为您收集整理) (2)
高中数学第一章解直角三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修5
高中数学第一章解直角三角形1.1.2余弦定理学案新人教B版必修51.掌握余弦定理及其推论.(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)[基础·初探]教材整理1 余弦定理阅读教材P6中间1.1.2余弦定理～P7第15行，完成下列问题.1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bc cos_A，b2＝a2＋c2－2ac cos_B，c2＝a2＋b2－2ab cos_C.2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.(1)已知三边，求三角.(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1.以下说法正确的有________.(填序号)①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.【解析】①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④2.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________.【解析】 根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.【答案】 219教材整理2 余弦定理的变形阅读教材P 7例1上面倒数第三自然段～P 8，完成下列问题. 1.余弦定理的变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2.利用余弦定理的变形判定角：在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角.1.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则∠B ＝________.【解析】 cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，∠B ＝60°.【答案】 60°2.在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则∠A ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又∵0°＜∠A ＜180°， ∴∠A ＝120°. 【答案】 120°[小组合作型]已知两边及一角解三角形在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，角B ＝30°，求角A ，角C 和边a . 【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角C ，然后再求其他的边和角.也可以由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由正弦定理求角A ，角C .【自主解答】 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，∠A ＝30°， ∴∠C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴∠A ＝90°，∴∠C ＝60°.法二：由b <c ，∠B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解.由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴∠C ＝60°或120°，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°， 由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋332＝6，当∠C ＝120°时，∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3.已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边也可以两次应用正弦定理求出第三边).[再练一题]1.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，∠C ＝60°，求边c . 【解】 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，∴c ＝19.已知三边解三角形在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？ (2)求sin C 能否应用余弦定理？ 【自主解答】 ∵a >c >b ， ∴∠A 为最大角， 由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴∠A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理a sin A ＝csin C，得：sin C ＝c sin A a＝5×327＝5314， ∴最大角∠A 为120°，sin C ＝5314.1.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.2.已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.[再练一题]2.在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2＝ab ，求角C . 【解】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2－c 2＋b 2＝2ab cos C . ∴ab ＝2ab cos C .∴cos C ＝12，∴∠C ＝60°.[探究共研型]正、余弦定理的综合应用22222B＋sin 2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？【提示】 设△ABC 的外接圆半径为R .由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .反之将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R 代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确.探究2 在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝π2成立吗？反之若∠C ＝π2，则c 2＝a 2＋b2成立吗？为什么？【提示】 因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，即cos C ＝0，所以∠C ＝π2，反之若C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC的形状.【精彩点拨】【自主解答】 法一：∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， 即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A .∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A .∴2∠B ＝2∠A 或2∠B ＋2∠A ＝π， 即∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.故△ABC 是等腰三角形或直角三角形.1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.[再练一题]3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长.【解】 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，(其中R 为△ABC 外接圆半径)所以cos A －2cos C cos B ＝2c －a b ＝2sin C －sin A sin B，所以sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin B cos C ＋2sin C cos B ， 所以sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).又∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 所以sin Csin A＝2.(2)由(1)知sin C sin A ＝2，由正弦定理得c a ＝sin Csin A ＝2，即c ＝2a .又因为△ABC 的周长为5， 所以b ＝5－3a .由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即(5－3a )2＝a 2＋(2a )2－4a 2×14，解得a ＝1，a ＝5(舍去)，所以b ＝5－3×1＝2.1.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A.60°B.90°C.120°D.150°【解析】 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.【答案】 C2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12【解析】 由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋432－1322×7×43＝32，所以∠C ＝π6，故选B. 【答案】 B3. 在△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________.【解析】 法一：∵a ＝2b cos C ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a.∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，即b 2＝c 2，b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形.法二：∵a ＝2b cos C ，∴sin A ＝2sin B cos C ， 而sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴cos B sin C ＝sin B cos C ， 即sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又－180°<∠B －∠C <180°， ∴∠B －∠C ＝0，即∠B ＝∠C . ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 等腰三角形4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝∠C,2b ＝3a ，则cos A ＝________.【解析】 由∠B ＝∠C,2b ＝3a ， 可得b ＝c ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.【答案】 135.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长.【解】 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去).∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1.2 余弦定理(一)
设 BC 边上的高为 AD，则
AD＝csin B＝ 19sin 23.4°≈1.73. 1
所以△ABC 的面积为2×3×1.73≈2.6. 跟踪训练 3 三角形为钝角三角形 当堂训练 1．B 2.B 3.D 4.C
可用余弦定理解三角形．
思考 2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可
用余弦定理解三角形．
题型探究
类型一
例 1 解
→B
→A
如图，设 C ＝a，C ＝b，
→B A ＝c，
→B →B →A 由 A ＝C －C ，知 c＝a－b，
则|c|2＝c·c
＝(a－b)·(a－b)
同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
类型二
命题角度 1
例 2 解 由余弦定理，
得 c2＝a2＋b2－2abcos 120°，
因此 c＝ ＝ 61.
1 52＋42－2 × 5 × 4 × －
2
跟踪训练 2 A＝30°
命题角度 2
例 3 解 如图，由余弦定理，得
思考 2 在 c2＝a2＋b2－2abcos C 中，abcos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明 思考 1 的猜想吗？
梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是 确定平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长． 另外，也可通过构造直角三角形，应用勾股定理或建立坐标系利用两点间的距离公式证明余 弦定理． 知识点二 余弦定理的呈现形式 1．a2＝________________，b2＝__________________， c2＝________________.
高中数学1.1.2余弦定理教案新人教B版必修5
1.1.2 余弦定理整体设计教学分析对余弦定理的探究，教材是从直角三角形入手，通过向量知识给予证明的．一是进一步加深学生对向量工具性的认识，二是感受向量法证明余弦定理的奇妙之处，感受向量法在解决问题中的威力．课后仍鼓励学生探究余弦定理的其他证明方法，推出余弦定理后，可让学生用自己的语言叙述出来，并让学生结合余弦函数的性质明确：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．由上可知，余弦定理是勾股定理的推广．还要启发引导学生注意余弦定理的几种变形式，并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解、化简的目的．应用余弦定理及其另一种形式，并结合正弦定理，可以解决以下问题：(1)已知两边和它们的夹角解三角形；(2)已知三角形的三边解三角形．在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题．在已知三边和一个角的情况下，求另一个角既可以应用余弦定理的另一种形式，也可以用正弦定理．用余弦定理的另一种形式，可以(根据角的余弦值)直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小．根据教材特点，本内容安排2课时．一节重在余弦定理的推导及简单应用，一节重在解三角形中两个定理的综合应用．三维目标1．通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形．2．通过对三角形边角关系的探索，提高数学语言的表达能力，并进一步理解三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，加深对数学具有广泛应用的认识；同时通过正弦定理、余弦定理数学表达式的变换，认识数学中的对称美、简洁美、统一美．3．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握．重点难点教学重点：掌握余弦定理；理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形．教学难点：余弦定理的证明及其基本应用以及结合正弦定理解三角形．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．思路 2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？推进新课新知探究提出问题1 通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？2 能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？3 余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？4 余弦定理的另一种表达形式是什么？5 余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？6 正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如下图，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b、c、∠A来表示a.教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC 中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得a2＝CD2＋BD2.∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c²AD＋AD2，∴a2＝b2－AD2＋c2－2c²AD＋AD2＝b2＋c2－2c²AD.又∵在Rt△ADC中，AD＝b²cosA，∴a2＝b2＋c2－2bccosA.类似地可以证明b2＝c2＋a2－2cacosB.c2＝a2＋b2－2abcosC.另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论．这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a²b＝|a||b|cosθ，其中θ为a，b的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如下图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么c ＝a －b ，|c |2＝c ²c ＝(a －b )²(a －b )＝a ²a ＋b ²b －2a ²b＝a 2＋b 2－2abcosC.所以c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB.这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如下图，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a,0)，点A 的坐标为(bcosC ，bsinC)，根据两点间距离公式AB ＝ bcosC－a 2＋ bsinC－0 2，∴c 2＝b 2cos 2C －2abcosC ＋a 2＋b 2sin 2C ，整理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2＝b 2＋c 2－2bccosAb 2＝c 2＋a 2－2accosB c 2＝a 2＋b 2－2abcosC余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cosA ＝b 2＋c 2－a 22bccosB ＝c 2＋a 2－b 22cacosC ＝a 2＋b 2－c 22ab教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC 中，C ＝90°，则cosC ＝0，这时余弦定理变为c 2＝a 2＋b 2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广；勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解； ②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧．讨论结果：(1)、(2)、(3)、(6)见活动．(4)余弦定理的另一种表达形式是：cosA ＝b 2＋c 2－a 22bccosB ＝c 2＋a 2－b 22cacosC ＝a 2＋b 2－c 22ab(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角． 应用示例例1如图，在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C＝120°，求c.活动：本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生独立完成．解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos120°，因此c ＝52＋42－2³5³4³ －12 ＝61. 例2如图，在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，c ＝19，求此三角形各个角的大小及其面积．(精确到0.1)活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出最大边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角．教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理．实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的内涵．解：由余弦定理，得cos∠BCA＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－ 19 22³3³2＝9＋4－1912＝－12， 因此∠BCA＝120°，再由正弦定理，得sinA ＝asin∠BCA c ＝3³3219＝33219≈0.596 0， 因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意，舍去)．因此∠B＝180°－∠A－∠BCA≈23.4°.设BC 边上的高为AD ，则AD ＝csinB ＝19sin23.4°≈1.73.所以△ABC 的面积≈12³3³1.73≈2.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．变式训练在△ABC 中，已知a ＝14，b ＝20，c ＝12，求A 、B 和C.(精确到1°) 解：∵cosA＝b 2＋c 2－a 22bc ＝202＋122－1422³20³12＝0.725 0， ∴A≈44°. ∵cosC＝a 2＋b 2－c 22ab ＝142＋202－1222³14³20＝113140≈0.807 1， ∴C≈36°.∴B＝180°－(A ＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.例3如图，△ABC 的顶点为A(6,5)，B(－2,8)和C(4,1)，求∠A.(精确到0.1°)活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决，教师给予适当的指导．解：根据两点间距离公式，得AB ＝[6－ －2 ]2＋ 5－8 2＝73，BC ＝ －2－4 2＋ 8－1 2＝85，AC ＝ 6－4 2＋ 5－1 2＝2 5.在△ABC 中，由余弦定理，得cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB²AC ＝2365≈0.104 7， 因此∠A≈84.0°.点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值．变式训练用向量的数量积运算重做本例．解：如例3题图，AB →＝(－8,3)，AC →＝(－2，－4)，∴|AB →|＝73，|AC →|＝20.∴cosA＝AB →²AC →|AB →||AC →|＝－8³ －2 ＋3³ －4 73³20＝2365≈0.104 7. 因此∠A≈84.0°.例4在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC . 活动：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ，再结合三角形内角和定理求出角C ，再利用正弦定理求出边c ，而三角形面积由公式S △ABC ＝12acsinB 可以求出．若用余弦定理求c ，可利用余弦定理b 2＝c 2＋a 2－2cacosB 建立关于c 的方程，亦能达到求c 的目的．解法一：由正弦定理，得8sinA ＝7sin60°， ∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°.∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°.由7sin60°＝c sinC，得c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sinB ＝63或S △ABC ＝12ac 2sinB ＝10 3. 解法二：由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ，∴72＝c 2＋82－2³8³ccos60°.整理，得c 2－8c ＋15＝0，解之，得c 1＝3，c 2＝5.∴S △ABC ＝12ac 1sinB ＝63或S △ABC ＝12ac 2sinB ＝10 3. 点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c.已知c ＝2，C ＝60°.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－2abcos60°＝c 2，即a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233. 知能训练1．在△ABC 中，已知C ＝120°，两边a 与b 是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则c 的值为…( )A. 3 B ．7 C ．3 D.72．已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1,2x ＋1(x ＞1)，求三角形的最大角． 答案：1．D 解析：由题意，知a ＋b ＝3，ab ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2＋ab＝(a ＋b)2－ab＝7， ∴c＝7.2．解：比较得知，x 2＋x ＋1为三角形的最大边，设其对角为A.由余弦定理，得cosA ＝ x 2－1 2＋ 2x＋1 2－ x 2＋x ＋1 22 x 2－1 2x＋1＝－12. ∵0＜A ＜180°，∴A＝120°，即三角形的最大角为120°. 课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题．2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理．作业课本习题1—1A 组4、5、6；习题1—1B 组1～5.设计感想本教案的设计充分体现了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果．这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸．“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳——猜想——证明——应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程合情合理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥．纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到位，体现新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处．环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积极主动地获取知识，使学生的探究欲望及精神状态始终处于最佳状态．在整个教案设计中学生的思维活动量大，这是贯穿整个教案始终的一条主线，也应是实际课堂教学中的一条主线．备课资料一、与解三角形有关的几个问题 1．向量方法证明三角形中的射影定理如图，在△ABC 中，设三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.∵AC →＋CB →＝AB →，∴AC →²(AC →＋CB →)＝AC →²AB →. ∴AC →²AC →＋AC →²CB →＝AC →²AB →.∴|AC →|2＋|AC →||CB →|cos(180°－C)＝|AB →||AC →|cosA. ∴|AC →|－|CB →|cosC ＝|AB →|cosA. ∴b－acosC ＝ccosA ， 即b ＝ccosA ＋acosC.同理，得a ＝bcosC ＋ccosB ，c ＝bcosA ＋acosB. 上述三式称为三角形中的射影定理． 2．解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型： (1)已知两角及其中一个角的对边，如A 、B 、a ，解△ABC. 解：①根据A ＋B ＋C ＝π，求出角C ； ②根据a sinA ＝b sinB 及a sinA ＝csinC，求b 、c. 如果已知的是两角和它们的夹边，如A 、B 、c ，那么先求出第三角C ，然后按照②来求解．求解过程中尽可能应用已知元素．(2)已知两边和它们的夹角，如a 、b 、C ，解△ABC. 解：①根据c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，求出边c ； ②根据cosA ＝b 2＋c 2－a22bc ，求出角A ；③由B ＝180°－A －C ，求出角B.求出第三边c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求较小边所对的角(它一定是锐角)，当然也可以用余弦定理求解．(3)已知两边及其中一条边所对的角，如a 、b 、A ，解△A BC. 解：①a sinA ＝b sinB，经过讨论求出B ； ②求出B 后，由A ＋B ＋C ＝180°，求出角C ； ③再根据a sinA ＝csinC ，求出边c.(4)已知三边a 、b 、c ，解△ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A ＋B ＋C ＝180°，求出第三个角．另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角．(5)已知三角，解△ABC.解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一． 3．“可解三角形”与“需解三角形”解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题，往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．所谓“可解三角形”，是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角，从而使“需解三角形”可解．在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况．“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．二、备用习题1．△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cosA ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15 C ．2 D ．3 2．已知一个三角形的三边为a 、b 和a 2＋b 2＋ab ，则这个三角形的最大角是( ) A ．75° B．90° C．120° D ．150° 3．已知锐角三角形的两边长为2和3，那么第三边长x 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1，5)C ．(5，5)D ．(5，13)4．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定5．(1)在△A BC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝__________.(2)在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bccosA ＋cacosB ＋abcosC 的值为__________．6．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，并且sinC ＝2sinBcosA ，试判断△ABC 的形状．7．在△ABC 中，设三角形面积为S ，若S ＝a 2－(b －c)2，求tan A 2的值．参考答案：1．A 解析：由b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c)(b －2c)＝0，得b ＝2c ；① 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，即6＝b 2＋c 2－74bc.②解①②，得b ＝4，c ＝2. 由cosA ＝78，得sinA ＝158，∴S △ABC ＝12bcsinA ＝12³4³2³158＝152.2．C 解析：设最大角为θ，由余弦定理，得a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2abcos θ，∴cos θ＝－12.∴θ＝120°.3．D 解析：若x 为最大边，由余弦定理，知4＋9－x 22³2³3＞0，即x 2＜13，∴0＜x ＜13.若x 为最小边，则由余弦定理知4＋x 2－9＞0，即x 2＞5， ∴x＞ 5.综上，知x 的取值范围是5＜x ＜13.4．A 解析：设直角三角形的三边为a ，b ，c ，其中c 为斜边，增加长度为x. 则c ＋x 为新三角形的最长边．设其所对的角为θ，由余弦定理知， cos θ＝ a＋x 2＋ b＋x 2－ c＋x 22 a＋x b＋x ＝2 a＋b －c x＋x22 a＋x b＋x ＞0.∴θ为锐角，即新三角形为锐角三角形．5．(1)30° (2)612 解析：(1)∵a＝3，b ＝3，C ＝30°，由余弦定理，有c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝3＋9－2³3³3³32＝3， ∴a＝c ，则A ＝C ＝30°.(2)∵bccos A ＋cacosB ＋abcosC ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.6．解：由正弦定理，得sinC sinB ＝c b，由sinC ＝2sinBcosA ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c2b ，又根据余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a22bc ，故c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2. 于是，得b 2＝a 2，故b ＝a. 又因为(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，故(a ＋b)2－c 2＝3ab.由a ＝b ，得4b 2－c 2＝3b 2， 所以b 2＝c 2，即b ＝c.故a ＝b ＝c. 因此△ABC 为正三角形．7．解：S ＝a 2－(b －c)2，又S ＝12bcsinA ，∴12bcsinA ＝a 2－(b －c)2， 有14sinA ＝－ b 2＋c 2－a 22bc＋1，即14²2sin A 2²cos A2＝1－cosA. ∴12²sin A 2²cos A 2＝2sin 2A 2. ∵sin A 2≠0，故12cos A 2＝2sin A 2，∴tan A 2＝14.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回顾正弦定理、余弦定理的内容及表达式，回顾上两节课所解决的解三角形问题，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并结合三角、向量、几何等知识我们会探究出什么样的解题规律呢？由此展开新课．思路 2.(问题导入)我们在应用正弦定理解三角形时，已知三角形的两边及其一边的对角往往得出不同情形的解，有时有一解，有时有两解，有时又无解，这究竟是怎么回事呢？本节课我们从一般情形入手，结合图形对这一问题进行进一步的探究，由此展开新课．推进新课新知探究 提出问题1 回忆正弦定理、余弦定理及其另一种形式的表达式，并用文字语言叙述其内容.能写出定理的哪些变式？2 正、余弦定理各适合解决哪类解三角形问题？3 解三角形常用的有关三角形的定理、性质还有哪些？4 为什么有时解三角形会出现矛盾，即无解呢？比如：,①已知在△ABC 中，a ＝22 cm ，b ＝25 cm ，A ＝135°，解三角形；,②已知三条边分别是3 cm ，4 cm ，7 cm ，解三角形.活动：结合课件、幻灯片等，教师可把学生分成几组互相提问正弦定理、余弦定理的内容是什么？各式中有几个量？有什么作用？用方程的思想写出所有的变形(包括文字叙述)，让学生回答正、余弦定理各适合解决的解三角形类型问题、三角形内角和定理、三角形面积定理等．可让学生填写下表中的相关内容：对于正弦定理，教师引导学生写出其变式：a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化．对于余弦定理，教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片)：∠A＞90° a 2＞b 2＋c 2；∠A＝90° a 2＝b 2＋c 2；∠A＜90° a 2＜b 2＋c 2.以上内容的复习回顾如不加以整理，学生将有杂乱无章、无规碰撞之感，觉得好像更难以把握了，要的就是这个效果，在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候，教师适时地打出幻灯片(1张)，立即收到耳目一新，主线立现、心中明朗的感觉，幻灯片除以上2张外，还有：a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ；a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ；cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c22ab.出示幻灯片后，必要时教师可根据学生的实际情况略作点评．与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况．如问题(4)中的①会出现如下解法： 根据正弦定理，sinB ＝bsinA a ＝25si n133°22≈0.831 1.∵0°＜B ＜180°，∴B≈56.21°或B≈123.79°.于是C ＝180°－(A ＋B)≈180°－(133°＋56.21°)＝－9.21°或C ＝180°－(A ＋B)≈180°－(133°＋123.79°)＝－76.79°.到这里我们发现解三角形竟然解出负角来，显然是错误的．问题出在哪里呢？在检验以上计算无误的前提下，教师引导学生分析已知条件．由a ＝22 cm ，b ＝25 cm ，这里a ＜b ，而A ＝133°是一个钝角，根据三角形的性质应用A ＜B ，即B 也应该是一个钝角，但在一个三角形中是不可能有两个钝角的．这说明满足已知条件的三角形是不存在的．同样②中满足条件的三角形也是不存在的，因为根据我们所学过的三角形知识，任何三角形的两边之和都大于第三边．而三边在条件3 cm ，4 cm ，7 cm 中两边和等于或小于第三边，在此情况下当然也无法解出三角形．讨论结果： (1)、(3)、(4)略．(2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． ③已知三边，求三个角．④已知两边和夹角，求第三边和其他两角．应用示例例1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，b ＝acosC 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件b ＝acosC ，这是本例中的关键条件．很显然，如果利用正弦定理实现边角转化，则有2RsinB ＝2R sinA²cosC.若利用余弦定理实现边角转化，则有b ＝a²a 2＋b 2－c22ab ，两种转化策略都是我们常用的．引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换．内角和定理A ＋B ＋C ＝180°非常重要，常变的角有A 2＋B 2＝π2－C2，2A ＋2B ＋2C ＝2π，sinA ＝sin(B ＋C)，cosA ＝－cos(B ＋C)，sin A 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝sin B ＋C2等，三个内角的大小范围都不能超出(0°，180°)．解：(1)方法一：∵b＝acosC ，∴由正弦定理，得sinB ＝sinA²cosC.又∵sinB＝sin(A ＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA²cosC， 即cosA²sinC＝0.又∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，即A ＝π2.∴△ABC 是A ＝90°的直角三角形． 方法二：∵b＝acosC ，∴由余弦定理，得b ＝a²a 2＋b 2－c22ab ，2b 2＝a 2＋b 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2.由勾股定理逆定理，知△ABC 是A ＝90°的直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12，由(1)知斜边a ＝12. 又∵△ABC 最小角的正弦值为13，∴Rt△ABC 的最短直角边长为12³13＝4.另一条直角边长为122－42＝82， ∴S △ABC ＝12³4³82＝16 2.点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向．因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用．变式训练在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cosA ＝45.(1)求sin2B ＋C2＋cos2A 的值； (2)若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a. 解：(1)sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝1－cos B ＋C2＋cos2A ＝1＋cosA 2＋2cos 2A －1＝5950. (2)∵cosA＝45，∴sinA＝35.由S △ABC ＝12bcsinA 得3＝12³2c³35，解得c ＝5.。
数学1.1.2《余弦定理》教案(新人教B版必修5)
1.1.2余弦定理教案教学目标：1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程； 2．使学生能初步运用它解斜三角形。
教学重点：余弦定理的证明， 余弦定理的应用。
教学过程 一、复习引入：1． 复习正弦定理及其证明 2． 复习正弦定理的应用二、讲解新课：1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=推导过程：如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵+=∴)()(BC AB BC AB AC AC +•+=•222BC BC AB AB +•+=22)180cos(||||2B +-•+=ο 22cos 2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=方法2：以顶点A 为原点，射线AC 为x 轴正半轴建立直角坐标系AB。
由两点的距离公式有：两边平方，得 同理可证另两式2、正弦定理、余弦定理与射影定理：O 为ΔABC 的外接圆圆心，皆得 sin ∠BAC ＝sin （90o－∠OBC ）＝cos ∠OBC 。
（A1）在ΔOBC 中，利用射影定理： BC ＝BO cos ∠OBC ＋CO cos ∠OCB ＝2Rcos ∠OBC （A2）在ΔOBC 中，利用余弦定理：BC 2＝BO 2＋CO 2－2BO CO cos ∠BOC ＝4R 2cos 2∠OBC∵ ∠OBC 必为锐角 ∴ BC ＝2Rcos ∠OBC由上可知：在ΔABC 中，A a sin ＝BAC BC ∠sin ＝OBCOBC R ∠∠cos cos 2＝2R 同理：B b sin ＝2R ；Ccsin ＝2R 故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。
1.1.2余弦定理 教案(人教B版必修五)
1.1.2余弦定理 教案（人教B 版必修五）【教学目标】一、知识与技能：通过对正弦定理和余弦定理的进一步学习，掌握定理的内容及其推导方法；并能运用正弦定理、余弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。
二、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,引导学生通过观察，推导，比较，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、向量等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点】正弦定理和余弦定理的综合应用。
【教学过程】一、复习引入：1、复习正弦定理及其证明2、复习余弦定理及其证明二、例题详解：例1、在ABC △中，已知b=3,c=B 30o =,求a.例2、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数.例3、已知三角形ABC 中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，且c a b C B +-=2cos cos . （1）求角B 的大小；（2）设,13=b 4=+c a ，求a 的值.例4、在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，,求 （1）BC 的长度。
（2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
三、课堂小结：知识上：1、正弦定理和余弦定理的内容、推导和变式；2、正弦定理和余弦定理的综合应用；方法上：1、方程的思想；2、分类讨论、化归的思想；能力上：应用正余弦定理解三角形四、课堂练习：∆三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（）1. 已知a,b,c是ABCA. 60oB. 90oC. 120oD.150o∆的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）2．已知ABCA.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C. D.4. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1505. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D＜x＜56．在平面四边形OAPB中，∠AOB=120°，AO⊥AP，OB⊥BP，且OA=3，OB=5，求OP的长。
高一数学(人教版)必修5导学案设计：1.1.2余弦定理
§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=，045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=，030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。
人教B版高中数学必修五导学案-数学必修五学案：余弦定理(1)
第三课时 余弦定理（1）一、学习目标：1．理解用向量的数量积证明余弦定理的方法；2．熟记余弦定理及其变形公式；3.会利用余弦定理及其变形公式求解简单斜三角形边角问题。
二、学习重难点：重点：余弦定理证明及应用.难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.三、自主预习：1.余弦定理：三角形任何一边的_______等于其他两边__________的和减去这两边与它们的__________的余弦的积的______________.即a 2=_______________________,b 2＝______________________________,c 2＝________________________________.2.余弦定理的推论：cos A ＝___________________, cos B ＝___________________, cos C ＝_____________.2222222223.-0,_______;(2)-,____;(2),____;ABC a b c C c a b ab C c a b C ∆+===+==+=在中：（1）若则若则若则四、自主探究：用向量的数量积证明余弦定理五、能力技能交流：活动一、已知三角形的两边及夹角解三角形：例1：在△ＡBC 中，已知b=3,c=1,A=60°，求a 。
【总结】21,-52060.ABC a b x x C c ∆+==︒变式训练、在中，边的长是方程的两根，，求变活动二、已知三角形三边求求角23,4,.ABC a b c ABC ∆===∆例、已知在的三边长为求的最大内角【总结】::ABC a b c ∆=变式训练2、在中，已知求三角形各角的度数.活动三、利用余弦定理判断三角形的形状【总结】变式训练3：以2、3、x 为三条边，构成一个锐角三角形，求x 的范围。
人教B版高中数学必修五全套学案精品
【高二数学学案】 第一章 解三角形§1.1.1 正弦定理（第一课时）一、学习目标：能运用正弦定理解决两类解三角形的问题；能利用正弦定理判断三角形的形状。
二、自学课本：3——5页思考：1、正弦定理的内容是什么？了解正弦定理推导过程。
2、正弦定理可做怎样的变形？ （边化角）： （角化边）：3、三角形中你可以想到那些结论？4、正弦定理可以解决哪些题型？三、课前小练 (A)（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a <b B 、a ≥b C 、a >b D 、a ，b 的大小无法确定 (A)（2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54(A)（3）已知在ABC ∆中，A=45°，2,6==BC AB ，则=∠C 四、典型例题（A ）例1、根据下列条件，解ABC ∆：（1）已知30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ；（3）∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，求A 、b 、c 。
（A ）例2、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。
五、作业（A ）1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin =(A ）2．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 (A)3、在ABC ∆中，120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35B 、53C 、73D 、75 (A)4、在ABC ∆中，已知60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、332(B)5、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ）A 、45°或135°B 、135°C 、45°D 、以上答案都不对(A)6、已知ABC ∆中，45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、310(A)7、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、直角或等腰三角形 (A)8、设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． (A)9、在ABC ∆中，若60,32,2=∠==B b a ，则c= ，=∠C 。
高中数学必修5新教学案：1.1.2余弦定理(第1课时)
必修5 1.1.2 余弦定理（学案）（第1课时）【知识要点】1.三角形的边角关系；2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系. 2.余弦定理；3.余弦定理与勾股定理之间的关系. 3.余弦定理与勾股定理之间的关系. 【学习要求】1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理；2.会运用余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 5 页～第6 页）1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定?2. 如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边 .3. 教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.4. 讨论余弦定理和勾股定理之间的了解.5. 应用余弦定理解三角形(阅读例3). 【基础练习】1．在ABC ∆中,已知下列条件,解三角形(角度精确到0.10,边长精确到0.1cm):（1）a =2.7cm, b =3.6cm, C =82.20;（2）b =12.9cm, c =15.4cm, A =42.30. 【典型例题】例1 在ABC ∆中, a =2, b =4, C =1200,求c 边的长.例2 在ABC ∆中,已知b =5, c =53，A =300求a 、B 、C 及面积S .变式: 在ABC ∆中，已知a =8，c =4（31+），面积s =24+83，解此三角形.1. 在ABC ∆中，若C 为钝角,下列结论成立的是( ).(A) a 2+b 2> c 2 (B) a 2+b 2<c 2(C) a 2+b 2= c 2(D)-cos C <02. 在ABC ∆中, a =1, b =1, C =1200,求c.3. 在ABC ∆中, a =3, b =4, c =37,求最大角.4. 在ABC ∆中, B C =a ,A C =b ,且a ,b 是方程x 2-23x+2=0的两根,2cos(A +B )=1.(1)求角C 的度数; (2)求A B 的长.1.已知a ,b , c 是ABC ∆中∠A , ∠B ,∠C 的对边, S 是ABC ∆的面积,若a =4,b =5,S =53,求c 的长度.必修5 1.1.2 余弦定理（教案）【教学目标】1．通过对三角形边角关系的探索, 能证明余弦定理, 了解可以从向量、解析法和三角法等多种途径证明余弦定理.2．了解余弦定理与勾股定理之间的了解. 3. 能够应用余弦定理解三角形.【重点】: 通过对三角形边角关系的探索, 证明余弦定理, 并能应用它解三角形.【难点】: 余弦定理的证明.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 5页～第6页）1．如果已知一个三角形的两边及其所夹的角,那么这个三角形的大小、形状是否完全确定? (完全确定)2. 如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边 (a 2=b 2+c 2-2b c cos A , b 2=a 2+c 2-2a c cos B , c 2=a 2+b 2-2a b cos C ．)3. 教材中给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在解决三角形度量问题中的作用.另外思考用坐标法和三角法如何证明余弦定理.证法１（向量法）：见教材. 证法２（解析法）：如图,以A 点为原点，以ABC ∆的边A B ,所在直线为x 轴，以过A 与A B 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin )A C b A b A ，(,0)B c ，由连点间的距离公式得：222(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-，即222222cos 2cos sin a b A bc A c b A=-++所以 2222cos a b c bc A =+-,同理可证=+-2222cos b a c ac B , 2222cos c a b ab C =+-YC b aA (O) cB X证法３（三角法）：提示：先分锐角，钝角两种情况。
高中数学人教B版必修5 1.1 教学设计 《1.1.2余弦定理》(人教B)
《1.1.2余弦定理》
本节课讲述了余弦定理的内容，要求学生能解决一些简单的三角形度量问题并能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
【知识与能力目标】
1、使同学们在正弦定理的基础上认识余弦定理；
2、能应用余弦定理解三角形；
3、培养同学们分析归纳的能力、分析问题解决问题的能力。
【过程与方法目标】
引领学生主动回忆有关正弦定理的基础知识，并通过猜测、验证等活动，尝试推理余弦定理
证明的全过程，体验讨论、类比和练习的思想和方法。
【教学重点】
理解并掌握正弦定理的内容和运用。
【教学难点】
余弦定理解三角形。
直尺、三角板、圆规等。
（一）复习背景，引入内容
师出示课件第2页，回顾之前讲过的正弦定理的内容,带领学生进行一个简短的复习。
并通
过这一内容引出余弦定理的边角关系的思考。
在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比
相等。
例题引入，体现余弦定理的内容。
（二）余弦定理
1、余弦定理
打开课件第6页，展示余弦定理的内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2、余弦定理的应用
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
3、例题讲解
（1）打开课件第8页，出示第一道例题并讲解。
高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》
余弦定理教学设计 一、教学内容分析人民教育出版社B 版《普通高中课程标准实验教科书·必修5》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。
通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。
二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础。
总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征时，能够激发学生热爱数学的情感；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。
三、教学目标认知目标：在复习已经学习的正弦定理和创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：通过学生之间、师生之间的交流探究，调动学生的主动性和积极性，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。
四、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。
难点：1向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2余弦定理在解三角形时的应用思路探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。
学生在初中已经具备了勾股定理的知识，即Rt ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。
在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？学生最容易想到的思路：构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。
高中数学备课精选 1.1.2《余弦定理》学案1 新人教B版必修5
高中数学备课精选 1.1.2《余弦定理》学案1 新人教B 版必修5【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；【自主探究】 阅读课本6页到8页，完成下列问题：1、在ABC ∆中，已知b AC c AB ==,和角A ，求另一边BC ？能用正弦定理求吗？是否可以利用初中学过的勾股定理来证明？2、余弦定理 ：（求边）（1） （2） （3）3、余弦定理是否可以利用向量的方法来证明？请大家试试看。
4、余弦定理的变形：（求角）（1） （2） （3）【典例探究】阅读课本P7 例1、例2、例3例1、1、ABC ∆中a=1，b=1，C=120o ，求c例2、ABC ∆中a=3，b=4，c=37，求最大角思考：ABC ∆中a:b:c=1:3:2,求A 、B 、C★ 总结提升利用余弦定理可以解决哪些解三角形的问题？【巩固练习】【课堂检测】1.在ABC ∆中，一定成立的等式是：（ ）A ．B ．C ．D ． 2. 如果在ABC ∆中，3=a ，7=b ，2=c ，那么B 等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．32π3.在△ABC 中，9=a ，10=b ，12=c ，这个三角形是__________三角形。
【选做题】1.钝角三角形的三边长为,1,2a a a ++，其最大角不超过120o ，则a 的取值范围是（ ）A ．0<a<3B ．332a ≤<C ．2<a ≤3D ．512a ≤< 【小试高考】 1、（2010天津理数）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223ab bc -=，sin 23sin C B =，则A=2、（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。
（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。
【布置作业】【反思总结】。
人教B版高中数学必修五备课精选教案余弦定理
1.1.2余弦定理（一）教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cosc a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
人教B版高中数学必修五第一章余弦定理(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.1.2 余弦定理(一) 课时目标 1.熟记余弦定理及其推论.2.能够初步运用余弦定理解斜三角形．1．余弦定理三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的____的余弦的积的______．即a 2＝______________，b 2＝__________________，c 2＝_______.2．余弦定理的推论cos A ＝______________________；cos B ＝______________________；cos C ＝______.3．在△ABC 中：(1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝______；(2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝______；(3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝______.一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( )A. 3 B ．3C. 5 D ．52．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6C.π4D.π123．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.235．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°二、填空题7．在△ABC 中，若a 2－b 2－c 2＝bc ，则A ＝________.8．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.9．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．能力提升 13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．14．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．1．1.2 余弦定理(一)答案知识梳理1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．(1)90° (2)60° (3)135°作业设计1．A2．B [∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋32－1322×7×43＝32. ∴C ＝π6.] 3．C [b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.]4．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.] 5．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋b 2＝c 2， 符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．]6．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .]7．120°8．30°解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝c sin C 得，sin A ＝12. ∵a <c ，∴A <60°，A ＝30°.9．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.10．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3， ∴c ＝4.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， ∴x ＝7.所以所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22. ∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5学案 余弦定理(一)
1.1.2 余弦定理(一)1.理解余弦定理的证明.2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形．1. 以下问题可以使用正弦定理求解的是 ．(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． (2)已知两角和一边，求其他角和边．(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角． (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (1)(2)2．如图所示，在直角坐标系中，若A (0,0)，B (c,0)，C (b cos A ，b sin A )．利用两点间距离公式表示出|BC |，化简后会得出怎样的结论？解 a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A －0)2 ＝b 2(sin 2A ＋cos 2A )－2bc cos A ＋c 2 ＝b 2＋c 2－2bc cos A . 得出a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 2．余弦定理的变形 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.要点一 已知两边及一角解三角形例1 已知△ABC ，根据下列条件解三角形： (1)b ＝3，c ＝33，B ＝30°； (2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.解 (1)方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，由于b ＝3，∴A ＝B ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二 由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，由b <c ，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形． ∴a ＝b ＝3.(2)由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∴2＝3＋c 2－23·22c . 即c 2－6c ＋1＝0，解得c ＝6＋22或c ＝6－22， 当c ＝6＋22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝2＋(6＋22)2－32×2×6＋22＝12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°，C ＝15°. 故c ＝6＋22，A ＝60°，C ＝75°或c ＝6－22，A ＝120°，C ＝15°. 规律方法 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．跟踪演练1 在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c .解 5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.要点二 已知三边或三边关系解三角形例2 (1)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (2)已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角． 解 (1)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(22)2＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(23)2＋(6＋2)2－(22)22×23×(6＋2)＝22，∴B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝75°.(2)∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．由余弦定理， 得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即37＝9＋16－24cos C ， ∴cos C ＝－12，∵0°＜C ＜180°， ∴C ＝120°.∴△ABC 的最大内角为120°.规律方法 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪演练2 在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解 由余弦定理和条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，得 x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2·AC2·AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7.所以所求AC 边上的中线长为7. 要点三 三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知cos 2 A 2＝b ＋c2c ，判断△ABC 的形状．解 方法一 在△ABC 中，由已知cos 2A 2＝b ＋c 2c，得 1＋cos A 2＝b ＋c2c ， ∴cos A ＝b c.根据余弦定理，得b 2＋c 2－a 22bc ＝bc .∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是直角三角形．方法二 在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，由正弦定理，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 由cos 2 A 2＝b ＋c 2c 知，cos A ＝bc .∴cos A ＝sin Bsin C ，即sin B ＝sin C cos A .∵B ＝π－(A ＋C )， ∴sin(A ＋C )＝sin C cos A ， ∴sin A cos C ＝0.∵A ，C 都是△ABC 的内角， ∴A ≠0，A ≠π.∴cos C ＝0，∴C ＝π2.∴△ABC 是直角三角形．规律方法 (1)方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪演练3 在△ABC 中，若(a －c cos B )sin B ＝(b －c cos A )sin A ，判断△ABC 的形状． 解 方法一 由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a －c ·a 2＋c 2－b 22ac )b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc )a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．方法二 由正弦定理，原等式可化为(sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ，∴sin 2B ＝sin 2A ，∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．4 答案 B解析 设另一边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×(－35)＝52，∴x ＝213.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为C ，∵l ＝5c ，∴a ＝b ＝2c ， 由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4．在△ABC 中，已知A ＝60°，最大边长和最小边长恰好是方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长为 ． 答案 4解析 设最大边为x 1，最小边为x 2， 则x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11， ∴第三边长＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2(1＋cos A )＝4.5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状． 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)．c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．(2) 若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形．2．当所给的条件是边角混合关系时，判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．3．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、基础达标1．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ＝2.2．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.3．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．4．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 答案 D 解析由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得(a 2＋c 2－b 2)2ac ＝32cos B sin B ，即cos B ＝32·cos Bsin B，∴sin B ＝32，又B 为△ABC 的内角，所以B 为π3或2π3. 5．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则A ＝ . 答案 120°解析 a 2－c 2＝b 2＋bc ，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，cos A ＝－12，又0°<A <180°，则A ＝120°.6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为 ． 答案 120° 解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ， 则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，又0°<θ<180°，∴θ＝120°.7．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a >b >c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°， 即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×(－12)，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.8．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；解 (1)∵cos C ＝cos ＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10. 二、能力提升9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B 解析∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是直角三角形．10．如下图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( )A ．50 mB ．45 m C. 507 m D ．47 m 答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 ． 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 12．如图，已知圆内接四边形ABCD 的各边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解 连接AC .∵B ＋D ＝180°， ∴sin B ＝sin D ，cos D ＝－cos B . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC sin B ＋12AD ·DC sin D ＝14sin B . 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437.∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.三、探究与创新13．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(c 2＋a 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.。
人教版高中数学必修五学案4：1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理学习目标1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，2.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.学习过程一、利用正、余弦定理证明三角恒等式例1 在△ABC 中，求证：tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2.总结 证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．变式训练1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边．求证：cos B cos C ＝c －b cos A b －c cos A.二、利用正、余弦定理判断三角形形状例2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．总结 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来判断． 变式训练2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试确定△ABC 的形状．三、利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，3cos 5B = ,且21,AB BC ⨯=-u u u r u u u r (1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .总结 这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系．变式训练3 △ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. （1）求1tan A ＋1tan C的值； （2）设32BA BC ⨯=u u u r u u u r ，求a +c 的值.课堂小结根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．课堂检测1．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°3．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，并且A 为锐角，则△ABC 为______三角形．4．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________. 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求边BC 的长；(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．参考答案例1 证明：方法一左边＝sin Acos Asin Bcos B＝sin A cos Bsin B cos A＝ab·a2＋c2－b22acb2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b2b2＋c2－a2＝右边，所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2. 方法二 右边＝a 2＋c 2－b 22ac ·2ac b 2＋c 2－a 22bc ·2bc ＝a 2＋c 2－b 22ac ·a b 2＋c 2－a 22bc·b ＝cos B cos A ·sin A sin B ＝sin A cos A ·cos B sin B ＝tan A tan B＝左边， 所以tan A tan B ＝a 2＋c 2－b 2b 2＋c 2－a 2. 变式训练1 证明：方法一 左边＝a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)右边＝c －b ·b 2＋c 2－a 22bc b －c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b (a 2＋c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2) ∴等式成立．方法二 右边＝2R sin C －2R sin B ·cos A 2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin(A ＋B )－sin B cos A sin(A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C＝左边. ∴等式成立．例2 解：方法一 根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .∴△ABC 是正三角形．方法二 根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．变式训练2：解：由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ， 即a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3. 又sin A ＝2sin B cos C ．∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a， ∴b 2＝c 2，b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．例3 解：（1）∵21,AB BC ⨯=-u u u r u u u r ∴21,BA BC ⨯=u u u r u u u r∴BA BC ⨯u u u r u u u r =|BA u u u r |·|BC uuu r |·cos B =ac cos B =21. ∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝b sin B .∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22. ∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角．∴C ＝45°.变式训练3 解：（1）由cos B ＝34，得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin(A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. （2）由32BA BC ⨯=u u u r u u u r 得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.课堂检测1．【答案】D【解析】∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0.∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .2．【答案】A【解析】cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－bc 2bc ＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°.3．【答案】直角【解析】∵lg a －lg c ＝lg sin A ＝－lg 2，∴a c ＝sin A ＝22，∵A 为锐角， ∴A ＝45°，∵sin C ＝c asin A ＝2×sin 45°＝1，∴C ＝90°. 4．【答案】－2 3【解析】S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3.5．解：(1)由cos C ＝255，得sin C ＝55. sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1. 由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2×1×32×22＝13.。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.2 余弦定理》
3 雷州八中高效课堂数学学科导学稿〔学生版〕主编人：李启业审稿人：曾明定稿日：学生班级: 组别: 姓名: 组内评价：教师评价：使用说明：请阅读必修4第25—28页，参考复习资料书，用10分钟完成知识存盘，有能力的同学可以自行完成合作探究中的内容。
课题：正弦定理和余弦定理〔文科高考一轮复习课〕【学习目标】1、能够正确掌握正弦定理、余弦定理；2、能利用正、余弦定理进行边角互化，解决三角形边长和角度等问题；〔重点〕3、能根据题意正确选用三角形面积公式解决三角形面积问题〔重点〕4、结合均值不等式解决面积、边长或周长的最值问题〔难点〕课时：2【知识存盘】1．正弦定理1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．2正弦定理的其他形式：①a＝2R in A，b＝____________，c＝____________；②in A＝错误!，in B＝，in C＝；2．余弦定理1余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝_______ ____ ___，b2＝______ __ __ ____，c2＝_____ _________ (2)余弦定理的推论：co A＝_____ ___ ______，co B＝____ __________，co C＝______________3．三角形中的常用公式S△＝＝＝＝＝．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．【自学检测】1【2021高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,,,那么b=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕2 〔D〕32【2021高考新课标2文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，假设，，a=1，那么b=____________3[2021高考新课标Ⅲ文数]在中，，边上的高等于,那么〔〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4【2021高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，,那么A=〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5【2021高考北京文数】在△ABC中，，，那么=_________【合作探究】题型一正、余弦定理的应用例1【2021高考天津文数】在中，内角所对应的边分别为，1求B；2假设，求inC的值变式1 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且错误!＝－错误!1求B的大小；2假设b＝错误!，a＋c＝4，求△ABC的面积．例2【2021·衡水中学】a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b co C＝2a－c，1求B；2假设△ABC的面积为错误!，求b的取值范围．变式2 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝b co C＋c in B 1求B；2假设b＝2，求△ABC面积的最大值．【当堂检测】1在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，那么“a≤b〞是“in A≤in B〞的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件2．设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 假设b co C＋c co B＝a in A, 那么△ABC的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，＝错误!，a＝1，b＝错误!，那么B＝________4【2021高考浙江文数】〔此题总分值14分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．bc=2a co B．〔Ⅰ〕证明：A=2B；〔Ⅱ〕假设co B=，求co C的值．。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 1.1.2 余弦定理》
教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：理解三角形面积的计算公式的推导，掌握平行四边形与三角形面积的计算公式及应用。
2、过程与方法：通过对三角形面积计算公式的推导，培养学生观察、类比、归纳等能力。
3、情感态度与价值观：通过对本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
1、教学重点：平行四边形与三角形面积的计算公式。
2、教学难点：三角形面积的计算公式的推导。
三、教学方法
遵循以学定教原那么，以启发式教学为主线，主要采用引导探究法，讲练结合法等教学方法，并采用多媒体辅助教学。
四、教学过程
1、导入
问题导入：点A1,1,B-2,3,C4,2,你有哪些方法求ΔABC的面积
2、新授
〔1〕通过课前思考题让学生总结出三角形面积的计算公式。
〔2〕通过教师引导让学生互相交流讨论，然后自己动手推导公式，并找学生在黑板上展示，让学生互评，最后教师点评。
3、训练
〔1〕教材练习题：
第11页练习1、2、3
〔2〕拓展练习题：
点A1,1,Bm,√m,C4,2,1<m<4,求ΔABC的面积的最大值。
4、总结
学生自主总结，这节课学到了什么，收获了什么，帮助学生稳固所学知识。
5、作业
为了满足不同层次学生的需要，作业设置为选做题和必做题两种。
五、板书设计
平行四边形与三角形面积的计算公式
一、三角形面积公式推导
公式一：………………………………
公式二：………………………………
公式三：………………………………
二、平行四边形面积………………
………………………………。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.2余弦定理(一)自主学习知识梳理1．余弦定理三角形中任何一边的________等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______的余弦的积的________．即a2＝___________________，b2＝__________________，c2＝________________.2．余弦定理的推论cos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝________________.3．在△ABC中：(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；(3)若c2＝a2＋b2＋2ab，则C＝________.自主探究试用向量的数量积证明余弦定理．对点讲练知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝37，求△ABC的最大内角．总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．知识点三利用余弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．变式训练3在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形． (2)已知三边求三角形的任意一角． 2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． (1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角． (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角． (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π122．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．43．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.234．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形5．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 二、填空题6．三角形三边长分别为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________． 7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________．8．在△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.三、解答题9．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．1．1.2 余弦定理(一)知识梳理1．平方 平方 夹角 两倍 b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2.b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab3．(1)90° (2)60° (3)135° 自主探究 证明如图所示，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，那么c＝a－b，|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2ab cos C.所以c2＝a2＋b2－2ab cos C.同理可以证明：a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B.对点讲练例1 解 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－2，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 变式训练1 解 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19.∴c ＝19.例2解 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－12，∵0°<C <180°，∴C ＝120°. 所以△ABC 的最大内角为120°. 变式训练2 解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知： x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，即x ＝7.所以，AC 边上的中线长为7.例3解 ∵a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．变式训练3 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，所以可令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k (k >0)．c 最大，cos C ＝(2k )2＋(3k )2－(4k )22×2k ×3k<0， 所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形．课时作业1．B [∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.] 2．C [b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.] 3．B [∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.] 4．B [∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ∴a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．]5．B [∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C .由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .]6．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12， 又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°. 7. 3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22， ∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 8．－2 3解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理： b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213， ∴tan C ＝－12＝－2 3.9．解 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， 且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10. (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×sin 2π3＝32. 10．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＋4c ＝b －4. ∴a >b >c ，∴A ＝120°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10.当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。