2018年高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构知识导航学案新人教A版
2017_2018学年高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构学案新人教A版必修2
1.1空间几何体的结构第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题[新知初探]1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥( )(3)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台( )答案：(1)√(2)×(3)×2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例] 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④棱柱的侧棱总与底面垂直．其中正确说法的序号是________．解析：①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③.答案：③[典例] (1)①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析] (1)本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案] (1)A (2)0[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解] 由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．(1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．[活学活用]下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )解析：选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C 棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3．下列图形中，是棱台的是( )解析：选C 由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5 6 98．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图所示是一个三棱台ABCA′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABCA′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′ABC，BA′B′C′，A′BCC′.(答案不唯一)层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都相交于一点解析：选C 只有正棱台才具有侧棱都相等的性质．5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形， 可得∠ABC ＝60°. 答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC 1A 1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A A 1BD ；④每个面都是等边三角形的四面体，如A CB 1D 1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A A 1DC ，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ，则每个面的三角形面积为多少？ 解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB 1F CC 1E 和棱柱ABFA 1DCED 1.第二课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征预习课本P5～7，思考并完成以下问题1．圆柱、圆锥、圆台、球[点睛] 球与球面是完全不同的两个概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．2．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．[点睛] 要描述简单几何体的结构特征，关键是仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的结构特征，对原组合体进行分割．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥( )(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱( )(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台( )(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．圆锥的母线有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条答案：D3.右图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．[典例] 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．[解析] (1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．[答案] (1)(2)[活学活用]给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④[典例] 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台、两个圆锥B ．两个圆台、一个圆柱C ．两个圆台、一个圆柱D ．一个圆柱、两个圆锥[解析] 图1是一个等腰梯形，CD 为较长的底边．以CD 边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2包括一个圆柱、两个圆锥．[答案] D1.如图所示的简单组合体的组成是( ) A ．棱柱、棱台 B ．棱柱、棱锥 C ．棱锥、棱台D ．棱柱、棱柱解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．2.如图，AB 为圆弧BC 所在圆的直径，∠BAC ＝45°.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征．解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．[典例，Q 两点，且PA ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解] 将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如图所示矩形． ∴A1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.如图，一只蚂蚁沿着长AB＝7，宽BC＝5，高CD＝5的长方体木箱表面的A点爬到D点，则它爬过的最短路程为________．解：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图有2种情形如图，在图1中AD＝AC2＋CD2＝122＋52＝13，在图2中AD＝AB2＋BD2＝72＋102＝149，∵149<13，∴蚂蚁爬过的最短路程为149.层级一学业水平达标1．如图所示的图形中有( )A．圆柱、圆锥、圆台和球B．圆柱、球和圆锥C．球、圆柱和圆台D．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.2．下列命题中正确的是( )A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：选C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.3．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台解析：选C 由球的定义知选C.4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4πB．8πC．2πD．π解析：选C 边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是底面半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1∶4，截去小圆锥的母线长为3 cm，则圆台的母线长为________ cm.解析：如图所示，设圆台的母线长为x cm，截得的圆台的上、下底半径分别为r cm,4r cm，根据三角形相似的性质，得33＋x＝r4r，解得x＝9.答案：98．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________．答案：圆柱9.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？解：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．层级二应试能力达标1．下列结论正确的是( )A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．故选D.2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．3．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4πD.π2或π4解析：选C 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r＝2π.所以选C.4.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．①⑤解析：选D 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，故选D.5．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________(填序号)．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球． 解析：可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥． 答案：①②③⑤6．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝4 3 cm.答案：4 37．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r .将圆台还原为圆锥，如图，则有∠ABO ＝30°.在Rt △BO ′A ′中，rBA ′＝sin 30°， ∴BA ′＝2r .在Rt △BOA 中，2rBA＝sin 30°，∴BA ＝4r .又BA －BA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.8．圆锥底面半径为1 cm ，高为 2 cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．解：圆锥的轴截面SEF 、正方体对角面ACC 1A 1如图．设正方体的棱长为x cm ，则AA 1＝x cm ，A 1C 1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ，则SO ＝ 2 cm ，OE ＝1 cm. ∵△EAA 1∽△ESO ， ∴AA 1SO ＝EA 1EO， 即x2＝1－22x1.∴x ＝22，即该内接正方体的棱长为22cm.。
高中数学第一章空间几何体复习教案新人教A版必修
第一章空间几何体复习小结【教学目标】1.知识与技能：(1). 类比记忆棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的定义，并理解空间几何体及组合体的结构特征；(2). 能正确画出空间图形的三视图并能识别三视图所表示的立体模型；(3). 在了解斜二测画法的基础上会用斜二测画法画出一些简单图形的直观图；(4). 掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法，并能通过一些计算方法求出组合体的表面积与体积。
2.过程与方法：通过学生自主学习和动手实践，进一步增强他们的空间观念，用三视图和直观图表示现实世界中的物体。
掌握柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积的求法；提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：体现运动变化的思想认识事物的辩证唯物主义观点，通过和谐、对称、规范的图形，给学生以美的享受，引发学生的学习兴趣。
【重点难点】1.教学重点：几何体的表面积与体积．2.教学难点：三视图和直观图【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】A.4B.4C.2D.8A.4812B .4824C.3612D.3624++++规律方法 由三视图还原几何体时(1) (2)A．(1＋22)a2 B．(2＋2)a2C．(3－22)a2 D．(4＋2)a2 A.6 B.9 C.12 D.18由三视图可知该几何体9,故选B.，从母线AB的中点点，求这条绳子长度的最小值．图2A . 2B ．2C ．4D .32精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
2018年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积知识导航学案新人教A版
1.3 空间几何体的表面积与体积知识梳理1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环.2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和.3.设直棱柱的底面周长为C,高为h 则S 直棱柱侧=Ch.4.设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′,则S 正棱锥侧=21Ch′. 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为C 、C′,斜高为h′,则S 正棱台侧=21(C+C′)h′. 6.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S 侧=2πrl,圆柱的表面积S=2πrl+2πr 2.7.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S 侧=πrl,圆锥的表面积S=πrl+πr 28.设圆台的上、下底面的半径分别为r 1、r 2,母线长为l,则圆台的侧面积S 侧=π(r 1+r 2)l,圆台31的表面积S=π(r 1+r 2)l+π(r 12+r 22). 9.设柱体的底面积为S,高为h,则V 柱体=Sh;设锥体的底面积为S,高为h,则V 锥体=31Sh;设台体的上、下底面的面积分别为S 上,S 下,高为h,则V 台体=31 (S 上+S 下+下上S S )h. 10.球的表面积和体积都是半径R 的函数,其中S 球面=4πR 2,V 球=34πR 3.知识导学要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系.表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系.几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同.疑难突破1.如何得到台体的体积公式？剖析:如图1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′、S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,则图1-3-1V 台体=V 大锥体-V 小锥体=31S(h+x)-31S′x=31［Sh+(S-S′)x］,而22)(x h x S S +='所以x h x S S +=',于是有x=S S h S '-'代入体积表达式得V 台体=31h ［S+(S-S′)S S S '-'］=31h ［S+S S '′+S′］. 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.于棱台,由于截面与截面相似,所以其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的高与原棱锥高的平方比.可以据此确定相关变量的值,对于圆台,可通过轴截面的一半去研究相关量.种化未知为已知、化生疏为熟悉的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体的体积只与两底面的面积和它的高有关.2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式、体积公式有何联系与区别,能否统一？剖析:棱台侧面积公式:c′=0时,棱锥可以看作上底周长为0的棱台.S 上=0时,棱锥可以看作上底面面积为0的棱台;S 下=S 上时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.图1-3-2柱体、锥体、台体的侧面积与体积是由柱体、锥体、台体之间的关系决定的,表面积公式思路是立体几何问题转化为平面问题.曲面转化成平面,这是解决立体几何的主要出发点.记忆口诀:要求柱锥台,先把侧面来展开.要解三棱锥,先把勾股关系推.。
[推荐学习]2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A
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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.自 主 预 习1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .即 时 自 测1.判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(√) (2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×)(3)柱体的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝Sh ，特别地，圆柱的底面半径为r ，高为h ；其体积V ＝πr 2h .(√)(4)已知圆锥SO 的底面半径r ＝2，高为4，则其体积为16π.(×) 提示 (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形. (4)V ＝13π×22×4＝163π.2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于( ) A.15B.15πC.24πD.30π解析 S 侧＝πrl ＝π×3×5＝15π. 答案 B3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C4.圆台OO ′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________. 解析 V ＝13π(12＋1×2＋22)×6＝14π.答案 14π类型一 空间几何体的表面积【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋（16－4）2＝13(cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2).规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.【训练1】 如图，已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S －ABC ，求它的表面积.解 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D . 因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a . 所以S △SBC ＝12BC ·SD＝12a ×32a ＝34a 2. 因此，四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2. 类型二 空间几何体的体积(互动探究)【例2】 如图，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比.[思路探究]探究点一 题中三棱台与三棱锥有什么关系？ 提示 题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的. 探究点二 求体积的常用方法有哪些？提示 求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法. 解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴V A 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，V C －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴V B －A 1B 1C ＝V 台－V A 1－ABC －V C －A 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.规律方法 求几何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 类型三 与三视图有关的表面积、体积问题【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.45，8B.45，83C.4(5＋1)，83D.8，8解析 由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2， ∴V ＝13×22×2＝83.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S 侧＝4×12×2×5＝4 5.答案 B规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，△ABC 为等腰三角形，且AC ＝23，AC 边上的高为1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.由侧视图可知：三棱锥的高h ＝1，∴V S －ABC ＝13S △ABC h ＝33.答案33[课堂小结]1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x ，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2.∴三条棱长分别为2、4、6. ∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5， ∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 答案 C3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________. 解析 设底面半径为r ，侧面积为4π2r 2，表面积为2πr 2＋4π2r 2，其比为1＋2π2π.答案1＋2π2π4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C －A 1DD 1求棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C －A 1DD 1的体积：V C －A 1DD 1＝13×12Sh ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.基 础 过 关1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( ) A.72B.42πC.67πD.72π解析 S 圆台表＝S 圆台侧＋S 上底＋S 下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 答案 C2.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D.1解析 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12×1×1×1＝16.答案 A3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是( )A.45，8B.45，83C.4(5＋1)，83D.8，8解析 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 答案 B4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.解析 S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2，S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.答案 2∶15.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m ，高为2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为2 m ，高为4 m 的圆柱.故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3(m 3). 答案20π36.如图是某几何体的三视图.(1)画出它的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积和体积. 解 (1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为3)， 所以所求表面积为S ＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π， 体积为V ＝π×12×2＋13×π×12×3＝2π＋33π.7.在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，以AB 所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.解 过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D .以△ABC 中边AB 所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB ＝5，底面半径DC ＝AC ·BCAB＝125，故S 表＝π·DC ·(BC ＋AC )＝845π。
高中数学 第一章 第一节 空间几何体的结构(1)教案 新人教A版必修2-新人教A版高中必修2数学教案
1.1空间几何体的结构〔第1课时〕设计者：田许龙教学内容空间几何体的结构教学目标知识与技能1.知识目标: 能根据几何结构特征对空间物体进行分类；掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征；2.能力目标：会表示有关几何体；能判断组合体是由哪些简单几何体构成的.过程与方法通过观察根据几何结构特征对空间物体进行分类，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想。
情感、态度与价值观通过对生活中事物联系课本知识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.教学重点几类空间几何体的结构特征教学难点几类空间几何体的分类及判断教学方法自主学习、小组讨论法、师生互动法。
教学准备导学、课件。
教学步骤教什么怎样教如何组织教学一、温故〔情境导入〕(5分钟)空间几何体的概念新课引入，〔出示《课件1》〕观察日常生活中一些常见的图形图片，提出问题：它们是什么图形？共性是什么？同学们，请看多媒体图片，你知道它们是什么图形吗？出示《课件1》在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着一定的空间，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.二、知新空间几 1、学生看书2分钟后，老师提问学生什么同学们，大家看完书并解决如下正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥称为正棱锥。
例题解答学生看导学案完成例题，难度大的小组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师参与小组讨论指导个别小组或学生并汇总结果并反馈。
之后，老师出示《课件4》的前两张规范解答例1、以下几何体是棱柱的有〔 D 〕A.5个B.4个C.3个D.2个[分析]判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.答案：D例2、以下命题中正确的选项是〔〕A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点前面我们学习了多面体的概念，以及几个特殊的多面体，接下来大家看导学案的例题并给出解答。
高中数学 第一章空间几何体的结构导学案1 新人教A版必修2推荐
1.1 空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征问题导学一、棱柱、棱锥、棱台的概念活动与探究1有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．以上命题中，正确命题的序号是__________．迁移与应用1．在棱柱中，( )A．只有两个面平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也平行2．下列说法正确的是( )A．三棱柱有三个侧面、三条侧棱和三个顶点B．四面体有四个面、六条棱和四个顶点C．六棱锥有七个顶点D．棱柱的各条侧棱可以不相等3．棱台不具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都平行 D．侧棱延长后都交于一点根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时可制作几何模型，通过演示进行准确判断．二、对多面体形状的认识活动与探究2如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是A1B1与A1C1的中点，试判断几何体ABC－A1EF 是什么几何体，并指出它的底面与侧面．迁移与应用如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1被平面BCEF所截得的两部分分别是怎样的几何体？几何体ABCD－A1FED1若是棱柱，指出它的底面和侧面．判断一个多面体是棱柱、棱锥还是棱台，需根据它们的定义及结构特征来判断．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；棱台的上、下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．三、简单几何体的表面展开与折叠问题活动与探究3(1)请画出如图所示的几何体的表面展开图．(2)根据下图所给的平面图形，画出立体图形．迁移与应用1．下图中能围成正方体的是__________．(填序号)2．在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，现沿DE，DF，EF把△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，B，C三点重合，则折成的几何体为______．(1)解答展开与折叠问题，要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图时，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则可把上述程序逆推．当堂检测1．下列几何体中，棱柱有( )A．5个 B．4个 C．3个D．2个2．有两个面平行的多面体不可能是( )A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．以上都错3．下面的多面体是棱台的是( )A．两底面是相似多边形的多面体B．侧面是梯形的多面体C．两底面平行的多面体D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体4．一个棱台至少有__________个面，面数最少的棱台有__________个顶点，有__________条棱．5．在下面四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是__________．(把你认为正确的序号都填上)课前预习导学【预习导引】1．(1)形状大小空间图形(2)平面多边形定直线封闭几何体多边形公共边棱与棱定直线预习交流1提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．2．每相邻两个四边形互相平行相邻侧面顶点三棱柱四棱柱五棱柱棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′有一个公共顶点多边形面有公共顶点的各个三角形面侧棱底面四面体棱锥S－ABCD棱台下底面、上底面棱台ABCD－A′B′C′D′预习交流2(1)提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．(2)提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．(3)提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 ④解析：由图甲知，命题①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，命题②错误；由棱台的定义知，命题③错误；由棱柱的特点知，命题④正确．迁移与应用 1．D 2．B 3．C活动与探究2 思路分析：利用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征判断． 解：∵E ，F 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，且A 1B 1＝AB ，A 1C 1＝AC ，B 1C 1＝BC ，∴A 1E AB ＝A 1F AC ＝EF BC＝12． ∴△A 1EF ∽△ABC 且AA 1，BE ，CF 延长后交于一点．又平面A 1B 1C 1平行于平面ABC ，∴几何体A 1EF －ABC 是三棱台．其中△ABC 是下底面，△A 1EF 是上底面，四边形ABEA 1，四边形BCFE ，四边形ACFA 1是侧面．迁移与应用 解：所截两部分分别是四棱柱和三棱柱．几何体ABCD －A 1FED 1是四棱柱，它的底面是四边形ABFA 1和四边形DCED 1，侧面为ABCD ，BCEF ，ADD 1A 1和A 1D 1EF ．活动与探究3 思路分析：由题意首先弄清几何体的侧面各是什么形状，然后再通过空间想象或动手实践进行展开或折叠．解：(1)展开图如图所示：②(2)将各平面图形折起后形成的空间图形如图所示：迁移与应用1．①②③2．三棱锥【当堂检测】1．D 2．B 3．D 4．五六九5．①②。
推荐2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体锥体台体的表面积与体积学案新人教A版必修2
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积目标定位 1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.自 主 预 习1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 2.旋转体的表面积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .即 时 自 测1.判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(√) (2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×)(3)柱体的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝Sh ，特别地，圆柱的底面半径为r ，高为h ；其体积V ＝πr 2h .(√)(4)已知圆锥SO 的底面半径r ＝2，高为4，则其体积为16π.(×) 提示 (2)圆锥的侧面展开图是一个扇形. (4)V ＝13π×22×4＝163π.2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于( ) A.15B.15πC.24πD.30π解析 S 侧＝πrl ＝π×3×5＝15π. 答案 B3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 答案 C4.圆台OO ′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________. 解析 V ＝13π(12＋1×2＋22)×6＝14π.答案 14π类型一 空间几何体的表面积【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋（16－4）2＝13(cm).∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm 2).规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直。
高中数学 第一章1.1空间几何体的结构导学案2 新人教A
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征问题导学一、旋转体的概念活动与探究1判断下列说法是否正确，并说明理由：(1)矩形绕一直线旋转所成的旋转体是圆柱；(2)直角三角形绕其一边所在的直线旋转所成的旋转体是圆锥；(3)直角梯形绕其一腰所在直线旋转所成的旋转体是圆台；(4)圆面绕其任意一条直径旋转都能形成球．迁移与应用1．一个等腰梯形绕着它的对称轴旋转一周所得各面围成的几何体是( )A．圆柱 B．圆台C．圆锥 D．以上都不对2．用一个平面截一个几何体，无论如何截，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球体圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．在旋转过程中，观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手制作平面图形的模型来分析旋转体的形状．二、组合体的结构特征活动与探究21．请描述如图所示的组合体的结构特征．2．图中的平面图形绕直线l旋转一周，说明形成的几何体的结构特征．迁移与应用1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( ) A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成2．说出下列几何体的结构特征．(1)对于组合体的结构特征，只需说明是由哪些简单几何体构成即可．(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．三、旋转体中的简单计算活动与探究3已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm．求圆台的母线长．迁移与应用1．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为__________．2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比是1∶4，母线长为10，求圆锥的母线长．旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．当堂检测1．如图所示的蒙古包可以看成是由__________构成的几何体．( )A．三棱锥、圆锥 B．三棱锥、圆柱C．圆锥、圆柱 D．圆锥、三棱柱2．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体3．下列几何体是旋转体的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④4．如图中的△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体是__________．5．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为______．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课前预习导学【预习导引】1．平面图形轴2．面垂直平行不垂直圆柱O′O面圆锥SO圆锥底面圆台O′O半圆面球心球O预习交流(1)提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．(2)提示：①圆锥的任意两条母线相交，交点为圆锥的顶点，过任意两条母线的截面是等腰三角形．②圆锥的轴截面是等腰三角形，轴截面中含有圆锥的底面直径及圆锥的母线．③是母线．(3)提示：①圆台还可以看作是以直角梯形的垂直于底的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．②圆台中，过任意两条母线的截面是等腰梯形，轴截面也是等腰梯形，其中含有上、下底面的直径及圆台的母线．③不一定．圆台的母线延长后交于截得圆台的圆锥的顶点．(4)提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积，而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量表面积，还可以度量体积．(5)提示：将台体的上底面扩大，使上、下底面全等，就是柱体，台体的上底面缩为一个点就是锥体．3．(1)简单几何体(2)①拼接②截去或挖去一部分课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：根据圆柱、圆锥、圆台、球的定义判断．解：(1)错．矩形绕其一边所在直线旋转形成的才是圆柱．(2)错．直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的是两个同底圆锥的组合体．(3)错．直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转形成圆台，若绕另一腰所在直线旋转形成的是组合体．(4)正确．符合球的定义．迁移与应用1．B 2．D活动与探究2 1．思路分析：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力．依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断．解：(1)是由一个圆锥和一个同底的圆台拼接而成的组合体；(2)是由一个圆台挖去一个同底的圆锥后剩下的部分得到的组合体；(3)是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接而成的组合体．2．思路分析：将平面图形分割为规则图形(矩形、直角三角形、直角梯形、半圆等)，再根据圆柱、圆锥、圆台、球的定义解答．解：过原图中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转一周后便得到一个组合体，该组合体是由圆柱、圆台和圆锥组合而成的．迁移与应用1．D2．解：图(1)是由一个三棱柱与一个同底的三棱锥组成的组合体；图(2)是由两个同底的圆台组成的组合体；图(3)是由一个圆柱与一个半球组成的组合体，其中半球的半径与圆柱的底面半径相同； 图(4)是由一个圆柱挖去一个三棱柱得到的组合体，其中三棱柱的底面在圆柱的底面上． 活动与探究3 思路分析：圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径，因而用轴截面解答．解：如图是几何体的轴截面，由题意知AO ＝2 cm ，A ′O ′＝1 cm ，SA ＝12 cm ．由A ′O ′AO ＝SA ′SA ，得SA ′＝A ′O ′AO ·SA ＝12×12＝6(cm)，∴AA ′＝SA －SA ′＝6(cm)．∴圆台的母线长为6 cm ．迁移与应用 1．Q22．解：如图是圆台的轴截面．由题意得SC SA ＝CD AB ＝14，即SA －10SA ＝14，∴SA ＝403．∴圆锥的母线长为403．【当堂检测】 1．C 2．B 3．B4．两个同底的圆锥组成的组合体 5．1。
高中数学 第一章 第一节 空间几何体的结构(1)配套导学案 新人教A版必修2
第一章第一节空间几何体的结构（1）设计教师：田许龙一、温故思考【自主学习·质疑思考】课堂预习：仔细阅读课本1-5页，结合课本知识，完成下述表格中的概念.在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着一定的空间，如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做.本节课我们主要从方面认识几种最基本的空间几何体，观察一件实物，说出它属于那种空间几何体，并分析它的结构特征，要注意它与的联系，注意观察组成几何体的每个面的特点，以及.一般的，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做.围成多面体的每个多边形叫做多边形的，相邻两个面的公共边叫做多面体的，棱与棱的交点叫做多面体的.连接相邻两个顶点的线段叫做棱，连接不相邻两个顶点的线段叫做 .常见的简单多面体有.二、新知探究【合作探究·展示能力】根据教材内容，完成下列图表：1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示:棱锥后面经常要用到的几个特殊的多面体平行六面体：对面相互平行的四棱柱称为平行六面体。
直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。
长方体：底面为矩形的直平行六面体称为长方体。
正方体：各棱长相等的长方体称为正方体。
直棱柱：棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱。
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。
四面体：三棱锥又叫做四面体。
正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥称为正棱锥。
▲认识多面体与概念辨析★（课本第8页习题1类似）例1、 下列几何体是棱柱的有（ ）图1A.5个B.4个C.3个D.2个 ★（课本第8页习题2类似）例2、下列命题中正确的是（ ）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点 【小结】1、判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这3个特征缺一不可；2、判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面都是三角形；③这些三角形面有一个公共顶点.这3个特征缺一不可. ▲简单几何体的展开图★（课本第8页习题3类似）例3、一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图5所示，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________.图5★例4、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1以最短路线走到P ，求P 点的位置，作图表示。
高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构知识导航学案新人教A版必修2
1.1 空间几何体的结构知识梳理1.一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.2.一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.它是以底面多边形的边数为标准进行划分的.空间最简单的几何体是三棱锥. 3以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱,旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.4.圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转所形成的面所围成的几何体.棱台和圆台可分别看作是由棱锥和圆锥被平行于底面的平面所截而得到的.棱台和圆台统称为台体.5.以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.6.正方体的集合记为A,长方体的集合记为B,直棱柱的集合记为C,棱柱的集合记为D,则四个集合之间的关系是A B C D.知识导学要学好本节内容,可从直观感知已学过的正方体、长方体等空间几何体的整体结构入手,去抽象一般空间几何体的结构特征.本节是立体几何的基础课,掌握空间几何体的结构特征,将为我们学习空间点、线、面的位置关系奠定坚实的基础.除了按照教材介绍的方法认识圆柱、圆锥外,还可以类比棱柱、棱锥来认识圆柱、圆锥.当圆台的上底逐渐变小,半径趋近于零时,圆台趋向于圆锥;当圆台上底逐渐变大,半径与下底半径相同时,圆台变为圆柱.同样的,棱台也有相同的变化规律.对于球体,除了从旋转体的角度认识球的结构特征外,还可通过类比圆的结构特征,给出球的结构特征及有关概念,如球心、半径、直径等.学习本节知识的基本方法是:直观感知、操作确认.通过感受大量空间实物及模型,掌握柱、锥、台、球的结构特征.疑难突破1.棱柱的特点.剖析:(1)棱柱的特点总结起来主要有:①两个互相平行的面是底面;②侧棱互相平行且相等;③侧面是平行四边形;④与底面平行的截面是与底面全等的多边形;⑤与侧棱平行的截面是平行四边形;⑥我们学习的棱柱中,底面都是凸多边形.如果棱柱的一个底面水平放置,则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离,叫做棱柱的高. 棱柱有两个本质特征:一是有两个面互相平行,二是其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行.(2)我们常用表示底面各顶点的字母表示棱柱,也可利用对角线表示棱柱.棱柱是多面体中最简单的一种,学习棱柱,应首先从观察我们身边常见的一些几何体入手,如三棱镜、长方体、螺杆的顶部等,通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.其次可通过变式训练,深化对棱柱结构特征的认识,如观察长方体,能作为棱柱底面的有几对？过长方体的底边截去长方体的一角,所得几何体是不是棱柱？有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？再次,可从运动变化的观点去认识其结构特征,即棱柱可看成一个多边形上各点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的空间部分.2.棱锥的特点.剖析:(1)棱锥有两个本质特征:一是有一个面是多边形;二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形,此处一定要注意有一个公共顶点.(2)如果棱锥的底面水平放置,则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离,叫做棱锥的高.(3)棱锥的特点总结起来主要有:①底面是多边形;②其余各面是有一个公共顶点的三角形;③侧面的公共边相交于顶点;④三棱锥的所有面都是三角形,所以,四个面都可以看作底.(4)棱锥也是多面体,三棱锥是最简单的空间几何体之一.学习棱锥可从观察一些常见的棱锥模型和图片出发,观察组成这些几何体的面,形成对棱锥的直观认识,概括出它们的共同本质特征,从而导出棱锥的概念.加深对棱锥概念的理解,可从制作棱锥模型入手去认识棱锥,还可通过利用截面分割棱柱入手去认识棱锥,还可通过变式训练去认识,如有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？3.柱、锥、台之间的关系怎样？剖析:依棱台概念可知,棱台是由棱锥用平行底面的平面截得的几何体,所以检测几何体是否为棱台,关键是延长侧棱看各延长线是否交于一点.将棱台各侧棱延长后交于一点,即产生棱锥.故棱台也可以看作是用平行于底面的平面去截棱锥而夹在平面与底面之间的部分几何体.将棱柱一底面缩小为一个点即得棱锥,将棱锥用平行底面的平面去截可得棱台.因此,常将棱台问题转化为棱锥问题来解决.棱台和圆台统称为台体,它们都是由平行于锥体的底面的平面而截得的.因此,有关台体的问题常常转化为锥体的问题来解决.由定义上可以知道,台体的分类方法与锥体的分类方法完全相同,因此,我们可以在认识锥体与台体的关系的基础上,通过自己的探究,获得对台体的结构特征的认识.。
高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征教案 新人教A
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1。
1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：(1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类.（2)会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。
2、过程与方法:（1)通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：（1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
(2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台的结构特征。
学习难点:柱、锥、台的结构特征的概括。
三、使用说明及学法指导：1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答,不会的先绕过，做好记号。
2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A、B类问题。
3、A类是自主探究，B类是合作交流。
四、知识链接:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B 问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C 问题4;探究一下各种四棱柱之间有何关系？C 问题5：质疑答辩,排难解惑1． 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2． 棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是 ( ）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱 A B CDA 1B 1C 1D 1E FA2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是 ( )A ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为 （ ）A ． 3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm ，2cm ，高是1cm,它的侧面积为 （ ）A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．323cm 2D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为 ( ）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 （ )A ．必须都是直角三角形B ．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：。
2018年高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积知识导航学案新人教A版
1.3 空间几何体的表面积与体积知识梳理1.圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆台的侧面展开图是扇环.2.几何体的表面积是指几何体表面的大小,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和.3.设直棱柱的底面周长为C,高为h 则S 直棱柱侧=Ch.4.设正棱锥的底面周长为C,斜高为h′,则S 正棱锥侧=21Ch′. 5.设正棱台的上、下底面的周长分别为C 、C′,斜高为h′,则S 正棱台侧=21(C+C′)h′. 6.设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的侧面积S 侧=2πrl,圆柱的表面积S=2πrl+2πr 2.7.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面积S 侧=πrl,圆锥的表面积S=πrl+πr2 8.设圆台的上、下底面的半径分别为r 1、r 2,母线长为l,则圆台的侧面积S 侧=π(r 1+r 2)l,圆台31的表面积S=π(r 1+r 2)l+π(r 12+r 22). 9.设柱体的底面积为S,高为h,则V 柱体=Sh;设锥体的底面积为S,高为h,则V 锥体=31Sh;设台体的上、下底面的面积分别为S 上,S 下,高为h,则V 台体=31 (S 上+S 下+下上S S )h. 10.球的表面积和体积都是半径R 的函数,其中S 球面=4πR 2,V 球=34πR 3. 知识导学要学好本节内容,可从我们熟悉的长方体、正方体的展开图入手,分析展开图与表面积的关系.表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系.几何体占有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义,而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间.相同几何体的体积相等,但体积相同的几何体不一定相同.疑难突破1.如何得到台体的体积公式？剖析:如图1-3-1,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′、S,高是h,设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是h+x,则图1-3-1V 台体=V 大锥体-V 小锥体=31S(h+x)-31S′x=31［Sh+(S-S′)x］,而22)(x h x S S +=' 所以x h x S S +=',于是有x=S S h S '-'代入体积表达式得V 台体=31h ［S+(S-S′)S S S '-'］ =31h ［S+S S '′+S′］. 由于台体是由锥体截得的,所以,我们常常采用“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质,即台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.于棱台,由于截面与截面相似,所以其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的高与原棱锥高的平方比.可以据此确定相关变量的值,对于圆台,可通过轴截面的一半去研究相关量.种化未知为已知、化生疏为熟悉的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体的体积只与两底面的面积和它的高有关.2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式、体积公式有何联系与区别,能否统一？剖析:棱台侧面积公式:c′=0时,棱锥可以看作上底周长为0的棱台.S 上=0时,棱锥可以看作上底面面积为0的棱台;S 下=S 上时,棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台.图1-3-2柱体、锥体、台体的侧面积与体积是由柱体、锥体、台体之间的关系决定的,表面积公式思路是立体几何问题转化为平面问题.曲面转化成平面,这是解决立体几何的主要出发点. 记忆口诀:要求柱锥台,先把侧面来展开.要解三棱锥,先把勾股关系推.。
高中数学第一章空间几何体1.2空间几何体的三视图和直观图知识导航学案新人教A版必修0.doc
1.2 空间几何体的三视图和直观图知识梳理1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的图形称为正视图,自左向右投影所得的投影图称为侧视图,自上至下投影所得的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的集合结构,这种图称之为三视图.2.我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图,用此方法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的画法,它的步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.3.空间几何体的直观图和三视图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图,同时,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.4.从投影角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形.5.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点.知识导学要学好本节内容,首先应复习初中学过的简单空间图形的三视图,在此基础上能画出空间简单图形组合体的三视图,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.三视图画法的要点是:正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等.用斜二测画法画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法.疑难突破1.什么叫三视图？三视图是根据什么原理画出来的呢？剖析:三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.为了使空间图形的直观图更能直观、准确地反映空间图形的大小,往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影,然后把这些投影放在同一个平面内,并有机地结合起来表示物体的形状和大小.通常,总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面,如图1-2-1,一个投射面水平放置,叫水平投射面,投射到这个平面内的图形叫俯视图.一个投射面放置在正前方,叫直立投射面,投射到这个平面内的图形叫正视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投影的右面,投射到这个平面内的图形叫侧视图.图1-2-1是一个长方体的三视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样也是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.把这三个投影图放在一个平面内,如图1-2-2就是一个三视图.图1-2-1 图1-2-2(1)正视图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯视图要与正视图对正;侧视图要画在正视图的正右方,高度方向要与正视图平齐,俯视图与侧视图共同反映物体的宽度,宽度要相等.(2)三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样,侧视图安排在正视图的正右方,高度与正视图一样.(3)当物体形状复杂时,三视图还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面,或者分解成几部分分别画三视图.要掌握空间图形的三视图,首先要掌握平行投影与正投影这两个概念.①平行投影:已知图形F,直线l与平面α相交(如图1-2-3).过F上任意一点M作直线MM′平行于l,交平面α于点M′,则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′,则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投影面,l叫做投影线.②平行投影的性质:当图形中的直线或线段不平行于投影线时:a.直线或线段的平行投影仍是直线或线段;b.平行直线的平行投影是平行或重合的直线;c.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;d.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;e.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.图1-2-3③正投影:在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影(如图1-2-4).图1-2-4容易知道,正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质:a.垂直于投射面的直线或线段的正投影是点.b.垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.2.什么叫组合体？怎样画组合体的三视图？剖析:将基本几何体,通过拼、切、挖手段构成组合体.作组合体三视图时,首先掌握组合体的结构,弄清组合体是由哪些基本几何体组成的,是采用什么方式构成的.确定好表面的交线,外部可见轮廓线,内部不可见轮廓线,定好正视、俯视、侧视的方向.注意用好“长对正,高平齐,宽相等”的作图原则,便可完成三视图的绘画.要画好组合体的三视图,首先要掌握常见的柱、锥、台、球等常见几何体的三视图,再结合组合体三视图的画法与步骤画三视图.3.斜二测画法的一般步骤是什么?剖析:斜二测画法是一种最常用、直观性好的直观图的画法.它的步骤为:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于点O,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴,它们相交于点O′,并使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面.(3)已知图形中平行(或重合)于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行(或重合)于x′轴、y′轴或z′轴的线段.(4)已知图形中平行(或重合)于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行(或重合)于y轴的线段,长度为原来的一半.所谓直观图,就是把空间图形在平面内画得既富有立体感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系的图形.画直观图时,既可采用正多边形逼近的思想,也可采用将圆的直径n等分,并过各分点作y轴的平行线的作法;对于柱体,只需过水平放置的底面上的各顶点分别作z′轴的平行线,并使其等于柱体的棱长,这样可确定上底面的顶点;对于锥体,只需在z 轴上截取一线段使其等于锥体的高,便可确定锥体的顶点.。
高一数学第一章空间几何体教案新课标人教A版必修1
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
[推荐学习]2018版高中数学第一章空间几何体1.1空间几何体的结构第2课时学案新人教A版必修2
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1.1 空间几何体的结构第2课时圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征目标定位 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.能根据条件判断几何体的类型.2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征.自主预习1.旋转体(1)圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念(图1)③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.(2)圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念(图2)③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.②相关概念(图3)③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.2.简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.即时自测1.判断题(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(×)(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)提示(1)所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.(2)若绕斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.(3)根据圆台的定义知，正确.(4)旋转后形成的是球面.2.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是( )A.球B.圆台C.圆锥D.圆柱解析旋转过程中，与旋转轴垂直的线段形成垂直于旋转轴的圆面，与旋转轴平行的线段形成与旋转轴等距的曲面，所以其余三边旋转一周所围成的旋转体是圆柱.答案 D3.下列几何体是台体的是( )解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.答案 D4.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________.解析结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥.答案圆锥类型一旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.【训练1】下列叙述中正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.答案 A类型二简单组合体的结构特征【例2】如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示.(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.规律方法 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.2.必要时作模型培养动手能力.【训练2】如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.类型三有关几何体的计算问题(互动探究)【例3】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.[思路探究]探究点一 圆锥、圆台的轴截面是什么？提示 圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形. 探究点二 解决此问题的关键是什么？提示 解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.解 设圆台的母线长为l cm ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r ，4r . 过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm.∴SA ′SA ＝O ′A ′OA .∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.规律方法 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.【训练3】 一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： (1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解 如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm ，截得该圆台的圆锥的母线为x cm ，由条件可得圆台上底半径r ′＝2 cm ，下底半径r ＝5 cm.(1)由勾股定理得h ＝122－（5－2）2＝315(cm). (2)由三角形相似得：x －12x ＝25，解得x ＝20(cm). 答：(1)圆台的高为315 cm ，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. [课堂小结]1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.答案 D2.下面几何体的截面一定是圆面的是( )A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.答案 B3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.解析h＝20cos 30°＝10 3 (cm).答案10 34.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到截面的距离.解设截面圆半径为r cm，∵πr2＝25π，∴r＝5(cm).设球心到截面的距离为d cm，球的半径为R cm，则d＝R2－r2＝132－52＝12(cm).故球心到截面的距离为12 cm.基 础 过 关1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( ) A.圆柱B.圆锥C.圆台D.两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥. 答案 D2.过球面上任意两点A 、B 作大圆，可能的个数是( ) A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个D.以上均不正确解析 当过A ，B 的直线经过球心时，经过A ，B 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A ，B 作球的大圆有无数个；当直线AB 不经过球心O 时，经过A ，B ，O 的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆. 答案 B3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱解析 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱. 答案 B4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________. 解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2. 所以由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8，∴r 2＝8，∴h ＝2 2. 答案 2 25.圆台两底面的半径分别是 2 cm 和 5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是________cm 2.解析 如图所示，作出轴截面，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9 cm ，∴S 梯形ABCD ＝12×(4＋10)×9＝63(cm 2).答案 636.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下：7.用一个平行于圆锥底面的平面截一个圆锥得到一个圆台，这个圆台上、下底面半径的比为1∶3，截去的圆锥的母线长为3 cm ，求圆台的母线长.解 设圆台的母线长为y cm ，截得的圆台上、下底面半径分别为x cm ，3x cm ，如图所示，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x3x，解得y ＝6.故圆台的母线长为6 cm.能 力 提 升8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )解析 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B. 答案 B9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( ) A.4B.3C.2D.0.5解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r 1＝5，r 2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d 1＝R 2－r 21，d 2＝R 2－r 22， ∴d 1－d 2＝R 2－5－R 2－8＝1，∴R 2＝9，∴R ＝3. 答案 B10.长为8 cm ，宽为6 cm 的矩形绕其一边所在直线旋转而成的圆柱的底面面积为______cm 2，母线长为______cm.解析 若圆柱是矩形绕其宽所在直线旋转而成的，则其底面半径为8 cm ，底面面积为64π cm 2，其母线长为6 cm ；若圆柱是矩形绕其长所在直线旋转而成的，则其底面半径为6 cm ，底面面积为36π cm 2，其母线长为8 cm. 答案 64π或36π；6或811.已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.解 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和 2x .因为△VA 1C 1∽VMN ， 所以A 1C 1MN ＝VO 1VO ，即2x 2r ＝h －xh， 所以2hx ＝2rh －2rx ， 即x ＝2rh 2r ＋2h.故这个正方体的棱长为2rh2r ＋2h .生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 探 究 创 新12.如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值.解 将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4). f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4).(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ， ∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4).(3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，∴f (x )的最大值为f (4)＝32.。
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1.1 空间几何体的结构
知识梳理
1.一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
2.一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.它是以底面多边形的边数为标准进行划分的.空间最简单的几何体是三棱锥.
3以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱,旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 4.圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转所形成的面所围成的几何体.棱台和圆台可分别看作是由棱锥和圆锥被平行于底面的平面所截而得到的.棱台和圆台统称为台体.
5.以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径.
6.正方体的集合记为A,长方体的集合记为B,直棱柱的集合记为C,棱柱的集合记为D,则四个集合之间的关系是A B C D.
知识导学
要学好本节内容,可从直观感知已学过的正方体、长方体等空间几何体的整体结构入手,去抽象一般空间几何体的结构特征.本节是立体几何的基础课,掌握空间几何体的结构特征,将为我们学习空间点、线、面的位置关系奠定坚实的基础.
除了按照教材介绍的方法认识圆柱、圆锥外,还可以类比棱柱、棱锥来认识圆柱、圆锥.当圆台的上底逐渐变小,半径趋近于零时,圆台趋向于圆锥;当圆台上底逐渐变大,半径与下底半径相同时,圆台变为圆柱.同样的,棱台也有相同的变化规律.
对于球体,除了从旋转体的角度认识球的结构特征外,还可通过类比圆的结构特征,给出球的结构特征及有关概念,如球心、半径、直径等.
学习本节知识的基本方法是:直观感知、操作确认.通过感受大量空间实物及模型,掌握柱、锥、台、球的结构特征.
疑难突破
1.棱柱的特点.
剖析:(1)棱柱的特点总结起来主要有:①两个互相平行的面是底面;②侧棱互相平行且相等;③侧面是平行四边形;④与底面平行的截面是与底面全等的多边形;⑤与侧棱平行的截面是平行四边形;⑥我们学习的棱柱中,底面都是凸多边形.
如果棱柱的一个底面水平放置,则铅垂线与两底面的交点之间的线段或距离,叫做棱柱的高.
棱柱有两个本质特征:一是有两个面互相平行,二是其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行.
(2)我们常用表示底面各顶点的字母表示棱柱,也可利用对角线表示棱柱.
棱柱是多面体中最简单的一种,学习棱柱,应首先从观察我们身边常见的一些几何体入手,如三棱镜、长方体、螺杆的顶部等,通过概括共同特点得出棱柱的结构特征.
其次可通过变式训练,深化对棱柱结构特征的认识,如观察长方体,能作为棱柱底面的有几对？过长方体的底边截去长方体的一角,所得几何体是不是棱柱？有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？
再次,可从运动变化的观点去认识其结构特征,即棱柱可看成一个多边形上各点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的空间部分.
2.棱锥的特点.
剖析:(1)棱锥有两个本质特征:一是有一个面是多边形;二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形,此处一定要注意有一个公共顶点.
(2)如果棱锥的底面水平放置,则顶点与过顶点的铅垂线和底面的交点之间的线段或距离,叫做棱锥的高.
(3)棱锥的特点总结起来主要有:①底面是多边形;②其余各面是有一个公共顶点的三角形;③侧面的公共边相交于顶点;④三棱锥的所有面都是三角形,所以,四个面都可以看作底.
(4)棱锥也是多面体,三棱锥是最简单的空间几何体之一.学习棱锥可从观察一些常见的棱锥模型和图片出发,观察组成这些几何体的面,形成对棱锥的直观认识,概括出它们的共同本质特征,从而导出棱锥的概念.
加深对棱锥概念的理解,可从制作棱锥模型入手去认识棱锥,还可通过利用截面分割棱柱入手去认识棱锥,还可通过变式训练去认识,如有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？
3.柱、锥、台之间的关系怎样？
剖析:依棱台概念可知,棱台是由棱锥用平行底面的平面截得的几何体,所以检测几何体是否为棱台,关键是延长侧棱看各延长线是否交于一点.
将棱台各侧棱延长后交于一点,即产生棱锥.故棱台也可以看作是用平行于底面的平面去截棱锥而夹在平面与底面之间的部分几何体.
将棱柱一底面缩小为一个点即得棱锥,将棱锥用平行底面的平面去截可得棱台.因此,常将棱台问题转化为棱锥问题来解决.
棱台和圆台统称为台体,它们都是由平行于锥体的底面的平面而截得的.因此,有关台体的问题常常转化为锥体的问题来解决.由定义上可以知道,台体的分类方法与锥体的分类方法完全相同,因此,我们可以在认识锥体与台体的关系的基础上,通过自己的探究,获得对台体的结构特征的认识.。