高等数学 第八章 第三节 平面及其方程
高等数学教案：平面及其方程
本授课单元教学目标或要求：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本章中非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：平面方程的几种形式，平面的夹角重点：1.平面方程的求法2.两平面的夹角难点：平面的几种表示及其应用对学生的引导及重点难点的解决方法：首先通过提问过空间一点且与一条直线垂直的平面是否存在这一具体问题，引出空间平面的点法式方程.紧接着对点法式进行变形得出一般式方程，引导学生分析常见的几个特殊平面及其面面间的夹角.平面方程有四种类型：点法式方程，三点式方程，截距式方程和一般式方程，但我们常用的是点法式和一般式。
求点法式方程的关键点往往是法向量，法向量通常采用向量的代数运算求得。
例题：例1：求过三点（2，-1，4）、（-1，3，-2）和（0，2，3）的平面方程。
例2：设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。
例3：研究以下各组里两平面的位置关系：其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。
本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P325---P329注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)
高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）
双曲线的定义：
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设
P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，
=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
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高数第八章
高数第八章第八章第一节 向量及其线性运算重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影典型题目：例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。
解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2），|21M M |=2222)(-(1)(-1)++=2211=++;COS α=-21,COS β=21,COS γ=-22;α=π32,β=3π,γ=43π.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求.P OM OA OA rjOM方向上的投影在解：记∠MOA=θ，有COS θ=31||||=OM OA ，θθ于是OA rjOMP =|3aθ||=COS OA ．θ马云赵振第二节数量积向量积混合积1.两向量的数量积a·b=│a││b│cos θθ为两向量间的角度（1）a·a=│a│2（2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率结合律如下时才成立(Λa)·b=Λ（a·b）2.向量积a·b=│a││b│sin θ（1）b×a=-a×ba×b=0的充分必要条件是a平行于b（2）满足分配率 结合律如下时才成立（3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示i j ka×b=│a x a y a z│b x b y b z例题1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA=1∕2│c ×b │i j kc ×b=│2 2 2│=4i-6j+2k1 2 4S ABC =1∕2│4i-6j+2k │=2222)6(4+-+=142.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求3.（-2a ）·（3b ）4.a 、b 夹角的余弦解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18 二、cos<a,b>=a·b/│a │·│b │=3/221张浩康 赵奇第三节 曲面及其方程要点：1.几种常见二次曲面的标准方程： 球面 ()()()22022R z z y y x x =-+-+-椭球面 1222222=++cz b y a x单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x双叶双曲面 1222222=--c z b y a x椭圆抛物面z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面） z b y a x =-22222.空间曲面方程1）一般方程()0xF；yz,,=2）显式方程()y x F=；z,3）参数方程()v u x x,=()()平面上某区域y∈u,v=,y，其中uv为DDvu()v u z=z,3.设()平面上的曲线，则,C0:=z为yOzyf1）();0,22=z绕C轴旋转所得的曲面为fx+±zy2）().0y2,2=C轴旋转所得的曲面为f绕y+±zx旋转曲面由母线和旋转轴确定。
高等数学(下)知识点总结归纳
欢迎共阅高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面1）椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2）3）4）5）6）（二） 1、法向量：n2、3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =，),,(2222C B A n =，⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三） 空间直线及其方程 1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；⇔21//L L 212121p p n n m m ==4、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，2、 微分法1）复合函数求导：链式法则若(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===，则z z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂，z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ （二） 应用1）求函数),(y x f z =的极值解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0y x f f 求出所有驻点，对于每一个驻点),(00y x ，令),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，① 若AC ② 若AC ③ 若AC 2、 1）曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Γ:z y x 2） 曲面:∑（一） 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 计算： 1）直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ，21()()(,)d d d (,)d bx ax Df x y x y x f x y y φφ=⎰⎰⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ，21()()(,)d d d (,)d d y c y Df x y x y y f x y x ϕϕ=⎰⎰⎰⎰2） 极坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=βθαθρρθρθρ)()(),(21D ，21()()(,)d d (cos ,sin )d Df x y x y d f βρθαρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰（二） 三重积分1、 定义：∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk kk k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 计算： 1）⎰⎰⎰Ωx f ,(⎰⎰⎰Ωx f (2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x ρρ3）（三） 应用曲面z S :（一） 1、 2、设,(y x f 在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为),(ψ⎪⎩⎨=t y ，其中在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则（二） 对坐标的曲线积分 1、定义：设L 为xoy 面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(y x P ，),(y x Q 在L 上有界，定义∑⎰=→∆=nk kk k Lx P x y x P 1),(lim d ),(ηξλ，∑⎰=→∆=nk kk kLy Q y y x Q 1),(lim d ),(ηξλ.欢迎共阅向量形式：⎰⎰+=⋅LLy y x Q x y x P r F d ),(d ),(d2、计算：设),(,),(y x Q y x P 在有向光滑弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为):(),(),(βαψϕ→⎪⎩⎪⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则 3、两类曲线积分之间的关系：设平面有向曲线弧为⎪⎩⎪⎨⎧==)()( t y t x L ψϕ：，L 上点),(y x 处的切向量的方向角为：βα,，cos α=则LP ⎰（三） 1、则有⎰⎰D 2、G 则x Q ∂∂（四） 1、 设∑定义⎰⎰∑2、:z =∑，xy ，则（五） 对坐标的曲面积分 1、 定义：设∑为有向光滑曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 是定义在∑上的有界函数，定义1(,,)d d lim (,,)()ni i i i xy i R x y z x y R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰同理，1(,,)d d lim (,,)()ni i i i yz i P x y z y z P S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰；01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x R S λξηζ∑→==∆∑⎰⎰2、性质：1）21∑+∑=∑，则计算：——“一投二代三定号”),(:y x z z =∑，xy D y x ∈),(，),(y x z z =在xy D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续，则(,,)d d [,,(,)]d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰,∑为上侧取“+”，∑为下侧取“-”.3、 两类曲面积分之间的关系：其中γβα,,为有向曲面∑在点),,(z y x 处的法向量的方向角。
高等数学-第8章 - (平面及其方程)
n
M1
M3
n M1 M 2 M1 M 3
i j k 3 4 6 2 3 1 (14 , 9 , 1)
M2
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z 4
3 2
的平面方程为
4 3
6 0 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) ( k 1 , 2 , 3)
方程为
则所求平面
A( x 1) B( y 1) C ( z 1) 0
n M1 M 2
A 0 B 2C 0 , 即 A BC 0 , 故
n 的法向量
因此有 2C ( x 1) C ( y 1) C ( z 1) 0 (C 0)
轴。
方程
f x y , z 0,
2 2
表示 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴 旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 f y , x 2 z 2 0. 同理： xoz 坐标面上的已知曲线 f ( x , z ) 0 绕
约去C , 得
2( x 1) ( y 1) ( z 1) 0 2x y z 0
即
例5. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:平面法向量为 n ( A , B , C ) , 在平面上取一点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) ,则P0 到平面的距离为 n P1 P0 n PP d Prj n 1 0 P0 n
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
教学过程教学思路、主要环节、主要内容8.4 空间曲线及其方程一、空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。
设F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0是两个曲面的方程，它们的交线为C。
因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z=⎧⎨=⎩（1）反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同时在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。
因此，曲线C可以用方程组（1）来表示。
方程组（1）叫做空间曲线C的一般方程。
空间曲线的参数方程为()()()x x ty y tz z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩,其中t为参数.二、空间曲线在坐标上的投影设空间曲线C的一般方程为(,,)0(,,)0F x y zG x y z=⎧⎨=⎩由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 ，R( y , z )=0， T( x , z )=0(,)0H x yz=⎧⎨=⎩表示曲线C在xOy面上的投影,(,)0R y zx=⎧⎨=⎩表示曲线C在yOz面上的投影,(,)0T x zy=⎧⎨=⎩表示曲线C在xOz面上的投影。
加强交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）及空间区域在坐标面上的投影区域的计算。
教学过程教学思路、主要环节、主要内容8．5平面及其方程一、平面方程的几种形式1．一般形式：Ax+By+Cz+D=0，称为平面方程的一般式。
其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法向量 {A，B，C}，A2+B2+C2≠0。
2．点法式方程：我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}且A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
高等数学 平面及其方程
M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
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4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n
高数(下册)知识点汇总
高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++=ρ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρz z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ2、 向量积：b a c ρρρ⨯= 大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b azy x z y x b b b a a a k j i b a ρρρρρ=⨯ 运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+2） 椭球面：1222222=++cz b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x 4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x 5） 椭圆抛物面：z by a x =+2222 6） 双曲抛物面（马鞍面）：z by a x =-2222 7） 椭圆柱面：12222=+by a x 8） 双曲柱面：12222=-by a x 9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程 1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt yy mtx x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L p C n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高数同济六版课件D85平面方程
平面的截距式
截距式：Ax+By+C=0
性质：平面的截距式表示平面 上任意一点到原点的距离
特点：截距式可以表示任意平 面，包括平行平面和垂直平面
应用：截距式在解决立体几何 问题、解析几何问题等方面有 广泛应用
平面的斜率式
斜率式：平面方程的一种表示形式， 用于描述平面的斜率和截距
截距：平面与x轴或y轴的交点，表 示平面在坐标轴上的位置
● a. 选取已知点P(x0, y0, z0) ● b. 计算向量AP(x1, y1, z1)和向量BP(x2, y2, z2) ● c. 计算向量AP和向量BP的叉乘 ● d. 计算叉乘的结果与向量AP和向量BP的点积 ● e. 求解平面方程
● 应用：适用于求解已知点的平面方程
一般式求解
平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
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斜率：平面与x轴或y轴的夹角，表 示平面的倾斜程度
斜率式的应用：用于求解平面方程、 判断平面的性质和特点等
平面的点向式
点：平面上的任意一点
点向式：平面方程的一种表 示形式，由一个点和一个向 量组成
向量：平面的法向量，垂直 于平面
性质：点向式可以表示平面 上任意一点的位置和方向
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组， 得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 特殊情况： a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当 A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面
高等数学第八章第三节曲面及其方程课件.ppt
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0
《平面及其方程》课件
平面方程的求解
定义
求解平面方程是指通过已 知条件求出平面方程中的 常数 $A, B, C, D$。
方法
根据已知条件建立方程组 ，解方程组即可求出 $A, B, C, D$ 的值。
应用
用于确定平面的具体位置 和形状，以及求解与平面 相关的几何问题。
03
二次方程与平面
二次方程的几何意义
总结词
二次方程的几何意义是描述平面上的点集
平面几何的发展趋势和未来展望
随着计算机技术的发展，平面几何与计算机图形学、计算机视觉等领域 的交叉将更加紧密，有望在人工智能、虚拟现实等领域发挥重要作用。
随着数学理论的发展，平面几何与其他数学分支的交叉将更加深入，有 望在数学理论研究中发挥更大的作用。
随着教育改革的推进，平面几何的教学方法和手段将不断创新，更加注 重培养学生的实践能力和创新精神。
平面的性质
平面的基本性质包括
经过两点有且仅有一条直线，且该直线完全位于该平面上；所有 与给定直线平行的直线都位于该平面上。
平面的延伸性
平面是无限延伸的，没有边界。
平面的对称性
平面上的任意两点和关于平面对称的另外两点构成一个轴对称图形 。
平面的表示方法
01
02
03
代数表示法
通过方程来表示平面，通 常采用一般式、点式和参 数式来表示。
经济建模
在经济建模中，平面方程可以用于描述市场供需 关系、消费者行为等。
05
总结与展望
平面几何的重要性和意义
平面几何是数学的重要分支，对于培养学生的逻辑思维和空间想象力具有重要意义 。
平面几何在日常生活和工程领域中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造和测量 等。
平面几何对于后续学习其他数学课程，如解析几何、微积分等具有基础性作用。
《平面及其方程》课件
平面与平面的交线
平面方程：描 述平面位置的
方程
交线：两个平 面相交的线
交线方程：描 述交线位置的
方程
应用：在工程、 建筑等领域中， 用于计算交线
位置和长度
平面与平面的位置关系
平行：两个平面没有公共点 相交：两个平面有一个公共点 重合：两个平面的所有点都相同 垂直：两个平面的法向量垂直
平面方程的拓展
平面方程的建立
点在平面上的判定
平面方程：Ax+By+Cz+D=0
判定方法：将点坐标代入方程， 判断是否满足
添加标题
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点在平面上的条件：满足方程
添加标题
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特殊情况：当D=0时，平面方程 为Ax+By+Cz=0，此时点在平面 上的条件为：满足方程且D=0
平面方程的表示形式
点法式：Ax+By+Cz+D=0 向量式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 截距式：Ax+By+Cz+D=0 参数式：x=x0+t1, y=y0+t2, z=z0+t3 双参数式：x=x0+t1, y=y0+t2, z=z0+t3 极坐标式：r=r0+t1, θ=θ0+t2, z=z0+t3
平面方程的参数形式
平面方程的一般形式：Ax+By+Cz+D=0 参数形式：x=X(u,v), y=Y(u,v), z=Z(u,v) 参数方程的性质：参数方程可以表示任意平面 参数方程的应用：在计算机图形学、工程制图等领域有广泛应用
平面方程的极坐标形式
极坐标方程：r=f(θ) 极坐标方程的性质：r是θ的函数 极坐标方程的应用：解决与旋转相关的问题 极坐标方程与直角坐标方程的关系：r=f(θ)与x=f(y)的关系
《平面及其方程》PPT课件
则
M0M
n,
故
M0M
n＝0。
即有
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0。 (点法式)
2. 平面的一般方程
由平面的点法式方程A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0, 得 Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0。
n
—
M1M
2
—
M1M 3
点法式方程
M (x, y, z)
M3
向量共面
M2
M1
定理 1
设 R3 空间中不在同一直线上的三点
M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3(x3, y3, z3)
确定一个平面 , 则空间中点M (x, y, z) 位于平面 上
(2) 通过点 M1(4, 0, 2) 和 M2 (5, 11, 7) 且平行于x 轴; (3) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于a (0, 3, 1)。
解
(2) 平面 // x 轴,
即平面
//
i,
故 n i。
i
j
k
平面的法向量
规定: 1. 0 。 ( 为两平面间的夹角) 2. 若 1 // 2 , 则 0 或 。
夹角的计算公式
设两平面的方程为
1 : A1x B1 y C1z D1 0, n1 ( A1, B1, C1), 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 )。
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10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
两平面平行但不重合
(3) 2x y z 1 0 , 4x 2 y 2z 2 0
2 1 1 两平面平行
4 2 2 M(1 , 1 , 0) Π1 , M(1 , 1 , 0) Π2
两平面重合
第八章 第三节
15
例6 求过点 (1 , 1 , 1) ，垂直于平面x y z 7 和 3x 2 y 12z 5 0 的平面方程。 解 n1 (1 , 1 , 1) , n2 (3 , 2 , 12)
空间曲线 L 的一般方程
F(x , y , z) 0 G( x , y , z) 0
第八章 第三节
19
2. 平面方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0)
点法式 A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
截距式 三点式
x y z 1 (abc 0) a bc
cos
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1 60
第八章 第三节
14
(2) 2x y z 1 0 , 4x 2 y 2z 1 0
n1 (2 , 1 , 1) , n2 (4 , 2 , 2)
2 1 1 两平面平行
4 2 2 M(1 , 1 , 0) Π1 , M(1 , 1 , 0) Π2
所求平面方程为 6x y 6z 6
第八章 第三节
17
例8 设
是平面
解外一平点面，法求向P量0 到为平n 面 (的A 距, B离, Cd)
。 ，在平面上取一点
P1 ( x1
,
y1
,
z1 )
，则
P0
到平面的距离为
d Pr j n P1P0
P1P0 n n
n P0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C (z0 z1 )
例2 求过三点
的平面 的方程。
解: 取该平面 的法向量为
n
M1M2
M1M3
第八章 第三节
n
M1
Π
M3 M2
6
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1 , 2 , 3)
的平面方程为
x x1 x2 x1 x3 x1
空间曲线 C 可视为两曲面的交线，
xo y
其一般方程为方程组
F(x , y , z) 0 G( x , y , z) 0
S2 C S1
G(x , y , z) 0 F(x , y , z) 0
第八章 第三节
3
二、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于
z
n
一平面，这向量就叫做该
平面的法线向量。
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。
Байду номын сангаас
下面建立平面的点法式方程
第八章 第三节
4
已知法向量 n ( A , B , C) 以及 M0( x0 , y0 , z0 ) Π
任取一点 M ( x , y , z) Π
zΠ
n
M0
M0M n M0M n 0
M xo
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 (1)
解 设平面为 x y z 1
z
a bc
由所求平面与已知平面平行得
111 a b c 616
1 1 1 t 6a b 6c
x
o
y
a 1 ，b 1 , c 1
6t t 6t
V 1 , 1 1 abc 1 = 1 1 1 1 t 1
32
6 6t t 6t
6
a 1 , b 6 , c 1
n (4 , 1 , 2) 4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2 x 2 y 3z 0
第八章 第三节
10
例4 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P(a , 0 , 0) , Q(0 , b , 0) , R(0 , 0 , c) (abc 0) ，求此平面方程。
以上两式相减 ，得平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
显然方程(2)与此点法式方程等价，
因此方程(2)的图形是法向量为
n
(
A
,
B
,
C
)
的平面，此方程称为平面的一般方程。
第八章 第三节
8
特殊情形
• 当 D =0 时，A x +B y +C z =0 表示过原点的平面；
• 当 A =0 时，B y +C z +D = 0 的法向量
n (0 , B , C ) i
平面平行于 x 轴；
• A x+C z+D =0 表示平行于 y 轴的平面；
• A x+B y+D =0 表示平行于 z 轴的平面；
• C z + D =0 表示平行于 xoy 面 的平面；
• A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；
不在此平面上的点的坐标不满足此方程。
第八章 第三节
2
如果曲面 S 与方程 F( x , y , z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程；
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程，
则
F(
x
,
y
,
z
)
=
0
叫做曲面
S
的方程，
F
(x
z
,
y
,
z)
0
曲面 S 叫做方程 F( x , y , z ) = 0 的图形。 S
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
第八章 第三节
7
三、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) (2)
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 ，则
A x0 B y0 C z0 D 0
d
A2 B2 C 2
P1
Ax1 By1 Cz1 = D
d A x0 B y0 C z0 D (点到平面的距离公式) A2 B2 C 2
第八章 第三节
18
内容小结
1. 曲面方程与空间曲线方程的概念
空间曲面 S
三元方程 F ( x , y , z) 0 二元函数 z f (x , y)
解 设轨迹上的动点为M ( x , y , z) , AM BM
即
( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2
( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2 化简得 2 x 6 y 2z 7 0
说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面。
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程，
称该式为平面 的点法式方程。
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点 都不满足上方程， 上方程称为该平面的方程， 平面称为方程的图形。
第八章 第三节
5
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
例1 求过点 (1 , -2 , 0) ，且以 n (6 , 4 , 3) 为 法向量的平面方程。 解: 所求的平面方程为
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角。
设平面 Π1的法向量为
n1
( A1 , B1 , C1 )
平面 Π2
的法向量为
n2
(
A2
,
B2
,C2)
n1
n2
则两平面夹角 的余弦为
Π2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1 A2 B1B2 C1C 2
A12
B12