高等数学 第八章 第三节 平面及其方程

解 设平面为 Ax By Cz D 0
aA D 0
将三点坐标代入得 bB D 0
cC D 0
A D ,B D ,C D
a
b
c
P
代入方程得平面的截距式方程
R Q
x y z 1 a bc
a , b , c 分别表示平面在 x , y , z 轴上的截距。
第八章 第三节
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四、两平面的夹角
空间曲线 L 的一般方程
F(x , y , z) 0 G( x , y , z) 0
第八章 第三节
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2. 平面方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0)
点法式 A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
截距式 三点式
x y z 1 (abc 0) a bc
两平面平行但不重合
(3) 2x y z 1 0 , 4x 2 y 2z 2 0
2 1 1 两平面平行
4 2 2 M(1 , 1 , 0) Π1 , M(1 , 1 , 0) Π2
两平面重合
第八章 第三节
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例6 求过点 (1 , 1 , 1) ，垂直于平面x y z 7 和 3x 2 y 12z 5 0 的平面方程。 解 n1 (1 , 1 , 1) , n2 (3 , 2 , 12)
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
第八章 第三节
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三、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax By Cz D 0 ( A2 B 2 C 2 0) (2)
任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 ，则
A x0 B y0 C z0 D 0
所求平面方程为 6x y 6z 6
第八章 第三节
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例8 设
是平面
解外一平点面，法求向P量0 到为平n 面 (的A 距, B离, Cd)
。 ，在平面上取一点
P1 ( x1
,
y1
,
z1 )
，则
P0
到平面的距离为
d Pr j n P1P0
P1P0 n n
n P0
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C (z0 z1 )
例2 求过三点
的平面 的方程。
解: 取该平面 的法向量为
n
M1M2
M1M3
第八章 第三节
n
M1
Π
M3 M2
6
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x2 y1 z4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k ( xk , yk , zk ) (k 1 , 2 , 3)
的平面方程为
x x1 x2 x1 x3 x1
空间曲线 C 可视为两曲面的交线，
xo y
其一般方程为方程组
F(x , y , z) 0 G( x , y , z) 0
S2 C S1
G(x , y , z) 0 F(x , y , z) 0
第八章 第三节
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二、平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于
z
n
一平面，这向量就叫做该
平面的法线向量。
垂直:
A1 A2 B1B2 C1C 2 0
平行: n1 n2 0
夹角公式: cos
A1 B1 C1
A2 B2 C2 n1 n2 n1 n2
第八章 第三节
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4. 点到平面的距离
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
第八章 第五节
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(1) x 2 y z 1 0, y 3z 1 0
(2) 2x y z 1 0, 4x 2 y 2z 1 0
(3) 2x y z 1 0, 4x 2 y 2z 2 0
解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
第八章 第三节
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3. 平面与平面之间的关系
平面
Π 1 : A1 x B 1 y C 1z D 1 0 , n1 ( A1 , B1 , C1 )
平面
Π 2 : A2 x B 2 y C 2z D 2 0 , n2 ( A2 , B2 , C 2 )
取法向量 n n1 n2 (10 , 15 , 5) 所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
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例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
cos
wk.baidu.com
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1 60
第八章 第三节
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(2) 2x y z 1 0 , 4x 2 y 2z 1 0
n1 (2 , 1 , 1) , n2 (4 , 2 , 2)
2 1 1 两平面平行
4 2 2 M(1 , 1 , 0) Π1 , M(1 , 1 , 0) Π2
以上两式相减 ，得平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
显然方程(2)与此点法式方程等价，
因此方程(2)的图形是法向量为
n
(
A
,
B
,
C
)
的平面，此方程称为平面的一般方程。
第八章 第三节
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特殊情形
• 当 D =0 时，A x +B y +C z =0 表示过原点的平面；
解 设轨迹上的动点为M ( x , y , z) , AM BM
即
( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2
( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2 化简得 2 x 6 y 2z 7 0
说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面。
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程，
• 当 A =0 时，B y +C z +D = 0 的法向量
n (0 , B , C ) i
平面平行于 x 轴；
• A x+C z+D =0 表示平行于 y 轴的平面；
• A x+B y+D =0 表示平行于 z 轴的平面；
• C z + D =0 表示平行于 xoy 面 的平面；
• A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面；
称该式为平面 的点法式方程。
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点 都不满足上方程， 上方程称为该平面的方程， 平面称为方程的图形。
第八章 第三节
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A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0
例1 求过点 (1 , -2 , 0) ，且以 n (6 , 4 , 3) 为 法向量的平面方程。 解: 所求的平面方程为
d
A2 B2 C 2
P1
Ax1 By1 Cz1 = D
d A x0 B y0 C z0 D (点到平面的距离公式) A2 B2 C 2
第八章 第三节
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内容小结
1. 曲面方程与空间曲线方程的概念
空间曲面 S
三元方程 F ( x , y , z) 0 二元函数 z f (x , y)
n (4 , 1 , 2) 4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2 x 2 y 3z 0
第八章 第三节
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例4 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P(a , 0 , 0) , Q(0 , b , 0) , R(0 , 0 , c) (abc 0) ，求此平面方程。
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
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一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
不在此平面上的点的坐标不满足此方程。
第八章 第三节
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如果曲面 S 与方程 F( x , y , z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程；
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程，
则
F(
x
,
y
,
z
)
=
0
叫做曲面
S
的方程，
F
(x
z
,
y
,
z)
0
曲面 S 叫做方程 F( x , y , z ) = 0 的图形。 S
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量。
下面建立平面的点法式方程
第八章 第三节
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已知法向量 n ( A , B , C) 以及 M0( x0 , y0 , z0 ) Π
任取一点 M ( x , y , z) Π
zΠ
n
M0
M0M n M0M n 0
M xo
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0 (1)
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角。
设平面 Π1的法向量为
n1
( A1 , B1 , C1 )
平面 Π2
的法向量为
n2
(
A2
,
B2
,C2)
n1
n2
则两平面夹角 的余弦为
Π2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1 A2 B1B2 C1C 2
A12
B12
C
2 1
A22
B22
解 设平面为 x y z 1
z
a bc
由所求平面与已知平面平行得
111 a b c 616
1 1 1 t 6a b 6c
x
o
y
a 1 ，b 1 , c 1
6t t 6t
V 1 , 1 1 abc 1 = 1 1 1 1 t 1
32
6 6t t 6t
6
a 1 , b 6 , c 1
C
2 2
第八章 第三节
Π1
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特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
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例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
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例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0