河北省唐山市开滦第一中学高一数学下学期期末考试试题文
河北省唐山市开滦第一中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析
河北省唐山市开滦第一中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）A．0 B．3 C．4 D．﹣1参考答案：C【考点】函数的值．【分析】由函数性质先求出f（﹣1）=3，从而f[f（﹣1）]=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+2=3，f[f（﹣1）]=f（3）=3+1=4．故选：C．2. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A. 8B. 7C. 6D. 4参考答案：B【分析】先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．【详解】满足约束条件的平面区域如下图所示：作直线把直线向上平移可得过点时最小当，时，取最大值7，故答案为7．【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函数的最优解点的坐标是解答本题的关键．3. （5分）已知函数f（x）=，求f（0）的值（）A．﹣4 B．0 C． 4 D．2参考答案：B考点：函数的值；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．解答：函数f（x）=，f（0）=f（0+2）=f（2）=22﹣4=0．故选：B．点评：本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力．4. 若角α的始边是x轴正半轴，终边过点P（4，﹣3），则cosα的值是（）A．4 B．﹣3 C．D．﹣参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x=4，y=﹣3，可得r=5，由cosα=运算求得结果．【解答】解：由题意可得x=4，y=﹣3，∴r=5，∴cosα==，故选C．5. 函数的图象是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】幂函数的图象．【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2），（，），再判断函数的走向，结合图形，选出正确的答案．【解答】解：函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），（，），可排除C．故选B．6. 设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于A. B. C. D.参考答案：A7. 方程在[0，1]上有实数根，则m的最大值是（）A.0B.-2C.D. 1参考答案：A8. 已知f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，f（x）＝x2，若直线与的图像恰好有两个公共点，则a＝（）A．B． k,∈ZC．D．参考答案：C9. 在△ABC中，若，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形参考答案：A10. 三个数，，之间的大小关系是( )A．b<a<c B．a<c<b C．a<b<c D．b<c<a参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （8分）已知ABCD为平行四边形，A（﹣1，2），B （0，0），C（1，7），则D点坐标为．参考答案：（0，9）考点：平面向量的坐标运算；相等向量与相反向量．专题：常规题型；计算题．分析：设出D的坐标，利用ABCD为平行四边形得到两对边对应的向量相等，利用向量坐标的公式求出两个的坐标，利用相等向量的坐标关系，列出方程，求出D的坐标．解答：设D（x，y）则又，∴解得∴D（0，9）故答案为：（0，9）．点评：本题考查向量的坐标公式：终点的坐标减去始点的坐标；向量相等的坐标关系：对应的坐标相等．12. 在△ABC中，若_________。
河北省唐山市开滦一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
河北省唐山市开滦一中2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1. 在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ）A. tan tan A C <B. tan tan A C >C. sin sin <A CD.sin sin A C >【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用正弦定理证明正确选项 【详解】若543,,12123124A B C πππππ=====，由于02C A π<<<,则tan tan A C >，所以A 选项错误.若74,,1212312A B C ππππ====，则tan 0tan A C <<， 75sin sin sin sin sin 121212A C πππ==>=，所以BC 选项错误.在三角形ABC 中，大角对大边，由于A C >，所以a c >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >①，R 是三角形ABC 外接圆的半径.由①得sin sin A C >.所以D 选项正确. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题. 2. 不等式112x <的解集为（ ） A. (,2)-∞B. (2,)+∞C. (0,2)D.(,0)(2,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】移项通分后转为一元二次不等式即可求其解集. 【详解】112x <等价于202x x-<即()20x x ->， 故不等式的解为0x <或2x >，故解集为()(),02,-∞+∞，选D.【点睛】本题考查分式不等式的解，属于基础题.3. 若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于（ ） A. ()0,3- B. ()0,1C. ()1,2-D. ()2,3-【答案】A 【解析】 【分析】利用向量减法的坐标运算求得AB .【详解】依题意()()()1,11,20,3AB OB OA =-=--=-. 故选：A【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算，属于基础题.4. 已知{}n a 是等差数列，且1415a a +=，则23a a +的值是（ ） A. 20 B. 15C. 10D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】{}n a 是等差数列，且1423，231415a a a a ∴+==+.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 5. 下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但220a b +=；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温． 其中为随机事件的是（ ） A. ①②③ B. ①③④C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件概念逐一判断，即可选择.【详解】任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件； 从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件； 因为当实数a ，b 都不为0时220a b +≠，所以③为不可能事件；明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件； 故选C ．【点睛】本题考查随机事件概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 6. 不等式22120x ax a --<（其中0a >）的解集为（ ） A ()3,4a a - B. ()4,3a a -C. ()3,4-D. ()2,6a a【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解，再根据解的大小写出不等式解集. 【详解】22120(3)(4)034,(0)x ax a x a x a a x a a --<∴+-<∴-<<>故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 对于0,0a b >>，下列不等式中不正确的是（ ）A. 22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 222a b ab +C. 22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭11a b<+【解析】 【分析】举例可确定不正确的选项，其它选项可利用作差法证明成立.【详解】当9a b ==时，满足0,0a b >>，但9211229a b=>=+，即D 不正确； 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭222()024a ba b +---=≤∴22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即A 正确； 22222()0222a b a b a b ab ab +--+-=≤∴≤，即B 正确； 2222)042(a b a b a b ab ab --=≤∴++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确；故选：D【点睛】本题考查作差法判断不等式，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为（ ） A.710B.67C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法求得所有的可能，结合古典概型概率计算，计算出所求的概率.【详解】依题意从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊的可能事件有：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），（懒羊羊、暖羊羊），（懒羊羊、沸羊羊），（暖羊羊、沸羊羊），共10种.其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊羊），共7种.所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为710.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.9. 已知向量31,cos ,cos ,26a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若//a b ，则锐角α为（ ） A. 30 B. 60︒ C. 45︒ D. 75︒【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行坐标表示列方程，解得结果. 【详解】因为//a b ，所以22311cos cos 264αα=⨯∴= 因为α为锐角，所以1cos 602αα=∴= 故选：B【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 10. 已知ABC的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若1sin 4a A =，则sin sin sinbc aB C A+-+-等于（ ）A.14B. 4C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，代入即可得结果.【详解】由正弦定理,1sin 4a A =sin sin b cB C==，即sin 4,sin 4,sin 4A a B b C c ===，则sin sin sin b c aB C A +-+- 14444b c a b c a +-==+-， 故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，实现边角互化是解题的关键，属于基础题.11. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A.110B.15C.310D.25【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数25n =，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率. 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10m =个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==， 故选：D.【点睛】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题.12. 已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ） A. 1411n ⎛⎫-⎪+⎝⎭B. 11421n ⎛⎫-⎪+⎝⎭C. 111n -+ D.1121n -+ 【答案】C 【解析】 【分析】可观察出(1)1232112n n n n n a n n +++++===++，然后用裂项相消法即可求出{}n b 的前n 项和.【详解】因为数列{}n a 为:12，1233+，123444++，12345555+++，… 所以(1)1232112n n n n n a n n +++++===++， 所以1111114(1)1n n n b a a n n n n +=⋅==-++，所以{}n b 的前n 项和为11111111112233411n n n -+-+-++-=-++ 故选：C.【点睛】本题考查用裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】分层抽样的抽取比例为样本容量总体个数，抽取的女生人数为抽取比例⨯女生人数．【详解】由题意知：分层抽样的抽取比例为6136189=+，∴抽取的女生人数为11829⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的定义是关键，属于基础题．14. 在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________．【答案】45n - 【解析】 【分析】首先利用1n n n a S S -=-得出2n ≥时的通项公式，把1n =代入此通项公式检验也满足，从而得到数列的通项公式.【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n ≥时，()()12223213145n n n n n a S S n n n -=---+-=--=，1n =时，上式也成立，∴45n a n =-，故答案为：45n -.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，熟练掌握数列的递推式1n n n a S S -=-是解本题的关键，属于基础题．15. 为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[)25,30内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为________． （2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为________． 【答案】 (1). 0.04 (2). 680人 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，建立方程，即求得年龄分组[)25,30对应小长方形的高度； （2）先利用频率分布直方图求得[)25,40内的频率，进而求得年龄在[)25,40内的人数. 【详解】（1）设年龄年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为x ， 则(0.010.070.060.02)51x ++++⨯=，解得0.04x =， 即年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为0.04.（2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的频率为(0.040.070.06)50.85++⨯=， 所以这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为8000.85680⨯=人.故答案为：0.04，680人.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中频率、频数的计算，着重考查了识图能力，以及运算与求解能力.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为ABCABDBDCS SS=+,所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c=⨯⨯+⨯⨯∴+=因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=++≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16 故答案为：16【点睛】本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】（1）21n a n =-；（2）1(31)2n- 【解析】 【分析】（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可； （2）根据等比数列求和公式直接求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 公差为d ，正项等比数列{}n b 公比为q ， 因为1124351,10,a b a a b a ==+==， 所以211310,142,03d d q d d q q +++==+∴=>∴=因此111(1)221,133n n n n a n n b --=+-⨯=-=⨯=；（2）数列{}n b 的前n 项和131(31)132nn n S -==--【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分． 【答案】（1）75m =，73.3n =；（2）优秀率30%，平均分71分. 【解析】 【分析】（1）根据众数是最高小矩形中点的横坐标，中位数要平分直方图的面积可得,m n 的值； （2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的优秀率为右边两个小矩形面积之和，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和. 【详解】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为75m =（分） 前三个小矩形面积为0.01100.015100.015100.4⨯+⨯+⨯=， ∵中位数要平分直方图的面积， ∴0.50.47073.30.03n -=+=.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组，频率和()0.0250.005100.3+⨯=，所以，抽样学生成绩的合格率是30%， 利用组中值估算抽样学生的平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计这次考试的平均分是71分.【点睛】本题考查频率分步直方图，解题的关键是正确运用直方图，在直方图中理解小正方形的面积是这组数据的频率，众数是最高小矩形中点的横坐标，平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和，属于基础题. 19. 在ABC 中，120A =︒，37c a =． （1）求sin C 的值； （2）若7a =，求b 的长．【答案】（1）14；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求得sin C 的值； （2）根据余弦定理列方程解得b 的值. 【详解】（1）因为37c a =，所以由正弦定理得3333sin sin sin12077C A ===； （2）因为37c a =，7a =，所以3c = 由余弦定理得2222222cos 7323cos120a b c bc A b b =+-∴=+-⋅2340005b b b b ∴+-=>∴=【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.20. 如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？ 【答案】（1）1000(20)(8),(0)S x x x=++>；（2）休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【解析】 【分析】（1）先表示休闲区的宽，再表示矩形ABCD 长与宽，最后根据矩形面积公式得函数解析式，注意求函数定义域；（2）根据基本不等式求S 最小值，再根据等号取法确定休闲区1111D C B A 的长和宽. 【详解】（1）因为休闲区的长为x 米，休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为1000x 米；从而矩形ABCD 长与宽分别为20x +米1000,8x+米， 因此矩形ABCD 所占面积1000(20)(8),(0)S x x x=++>， （2）10002000020000(20)(8)116081160281960S x x x x x x=++=++≥+⋅= 当且仅当200008,50x x x ==时取等号，此时100020x= 因此要使公园所占面积最小，休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为50米，20米.【点睛】本题考查函数应用、求函数解析式、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 21.已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =--.（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）见解析（2）3 【解析】 【详解】⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a ba b R R=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形. ⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去） 所以11sin 4sin 3223S ab C π==⨯⨯=22. 某市2021年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2021年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2021年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．112a =211.5a = 3a =____…12b =2b =______3b =_____…（2）从2021年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？【答案】（1）32311,3, 4.5a b b ===，0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）；132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）；（2）2026年【解析】 【分析】（1）利用列表法，结合等差、等比数列的通项公式，求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式. （2）根据（1）中表格数据得出结论. 【详解】（1）依题意列表如下：根据表格数据可知，112,0.5a d ==-，311a =， 令()110n a a n d =+-=，即()()1210.50.512.50n n +-⨯-=-+=，解得25n =. 所以0.512.5,1250,26n n n a n -+≤≤⎧=⎨≥⎩（n 为正整数）.由表格数据可知，132,2b q ==，233, 4.5b b ==， 所以132,1,2,324.5,4n n n b n -⎧⎛⎫⨯=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩（n 为正整数）.（2）由（1）表格可知2026年超过100万.【点睛】本小题主要考查等差、等比数列在实际生活中的应用，属于中档题.。
河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末数学试题含答案
唐山市2022~2023学年度高一年级第二学期期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数1z i =-，则复平面内z 表示的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数z 在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.【详解】1z i =- ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，因此，复平面内z 表示的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.2.已知()1,a m = ，()2,4b = ，若//a b，则m 为（）A.3-B.2- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.【详解】因为()1,a m = ，()2,4b = ，//a b，所以1420m ⨯-=，得2m =.故选：D3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）A.12B.13 C.14D.15【答案】B 【解析】【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.【详解】从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，其可能结果有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6个，其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有()1,4，()2,3共2个，则所求概率为2163P ==.故选：B.4.在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E 为棱AC 的中点，则异面直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（）A.10 B.10-C.5D.5-【答案】A 【解析】【分析】先利用线线平行确定异面直线1A E 与BC 所成角的角，再利用勾股定理求得11,A E A F ，从而利用余弦定理即可得解.【详解】记AB 的中点为F ，连接1,EF A F ，如图，因为E 为棱AC 的中点，F 为AB 的中点，所以//EF BC ，所以1A EF ∠为异面直线1A E 与BC 的所成角（或补角），因为在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，所以1A E ==，1A F =112EF BC ==，所以在1A EF中，2221111cos 210A E EF A F A EF A E EF +-∠==⋅，所以异面直线1A E 与BC所成角的余弦值为10.故选：A.5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（）A.62B.63C.64D.65【答案】C 【解析】【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.【详解】因为1040%4⨯=为整数，所以第40百分位数是6365642+=.故选：C6.，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）A.2B.C.2πD.【答案】A 【解析】【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.【详解】依题意，设圆锥的母线长为l，则2l ==，设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则(222221cos 2222θ+-==-⨯⨯，因为0πθ<<，所以2π3θ=，则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为2π,0,3αα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故截面的面积为122sin 22S α=⨯⨯⨯≤，当且仅当π2α=时，等号成立，故截面的面积的最大值为2.故选：A.7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（）A.“至少有1名女生”与“都是女生”B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”【答案】C 【解析】【分析】根据互斥事件的定义判断ABD 都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A 错；“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B 错；“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D 错；“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C 正确.故选：C.8.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知π3A =，2a =.若()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C-+--=，则ABC 的面积为（） A.B.233 C.233D.1或2【答案】B 【解析】【分析】根据正弦定理角化边可得a b =或222+=a b c ，分两种情况解三角形可得结果.【详解】由()()()2sin sin sin sin sin 0A B a A b B a b C -+--=及正弦定理得222()()()0a b a b a b c -+--=，得a b =或222+=a b c ，若a b =，因为π3A =，2a =，所以2b c ==，1π1sin 222322ABC S bc ==⨯⨯⨯=!，若222+=a b c ，则三角形ABC 为直角三角形，π2C =，因为π3A =，2a =，所以π6B =，3b =，1122233ABC S ab ==⨯⨯=!.综上所述：ABC 或3.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x ，方差为2s ，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x ，方差为2s '，则下列判断正确的是（）A.x x '= B.x x '< C.22s s =' D.22s s '>【答案】AD 【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.【详解】对于AB ，()1356991076x =⨯+++++=，()13569910777x '=⨯++++++=，所以x x '=，A 正确，B 错误；对于CD ，()()()()()()2222222119375767979710763s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()()2222222213837576797971077777s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦'所以22s s '>，C 错误，D 正确.故选：AD10.在ABC 中，下列结论正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B >B.若sin sin A B >，则A B >C.若A B >，则sin 2sin 2A B >D.若C 为钝角，则sin cos A B<【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C ，举反例排除即可；对于D ，利用正弦函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，由大角对大边知，若A B >，则a b >，所以由正弦定理得sin sin A B >，故A 正确；对于B ，若sin sin A B >，则由正弦定理得a b >，所以由大边对大角A B >，故B 正确；对于C ，取120A =︒，30B =︒，则sin 2sin 2400A =︒<，sin 2sin 600B =︒>，所以sin 2sin 2A B >不成立，故C 错误；对于D ，若C 为钝角，则πππ,0,0222A B A B +<<<<<，所以ππ022A B <<-<，因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.若1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，则（）A.12z z =B.22120z z +>C.()2120z z +> D.22120z z ⋅>【答案】ACD 【解析】【分析】解方程可得21i 2x ±==±，不妨令121i,1i =+=-z z ，分别计算各选项即可判断.【详解】因为2220x x +=-，所以()224124∆=--⨯⨯=-，根据求根公式可得21i 2x ==±，又1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个虚根，不妨令121i,1i =+=-z z .对于A ，12z z =，A 正确；对于B ，()()2222121i 1i 2i 2i 0z z +=++-=-=，B 错误；对于C ，()2122024z z =+>=，C 正确；对于D ，()()()2222121i 1i 2i 2i 40z z ⋅=+⋅-=⋅-=>，D 正确.故选：ACD12.如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，延长边CD 至点E ，使得DE CD =.动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP AB AE λμ=+，则（）A.满足1λμ+=的点P 有且只有一个B.满足2λμ+=的点P 有两个C.λμ+存在最小值D.λμ+不存在最大值【答案】BC 【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，然后利用点P 的四种位置进行分类讨论即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为1，(,)P x y，则311(0,0),(1,0),,,,,,222222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11,0,,22AB AE ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，(),AP x y =，由AP AB AE λμ=+ ，得()()11,1,0,,2222x y λμλμμ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以122x y λμμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x λμ+=+，①当点P 在AB 上时，01x ≤≤，且0y =，所以[]0,1x x λμ+=+=∈；②当点P 在BC （不含点B ）上时，则BP mBC =，所以()11,,22x y m ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简1)y x =-，所以3(1)43x x x x λμ+=+=+-=-，因为312x <≤，所以1433x <-≤，即(]1,3λμ+∈；③当点P 在CD （不含点C ）上时，1322x ≤<，且2y =，所以13332222x +≤+<+，即23x ≤<，所以[)2,3λμ+∈；④当点P 在AD （不含点A 、D ）上时，则AP nAD = ，所以()13,,22x y n ⎛= ⎝⎭，化简y =，所以34x x x x λμ+==+=，因为102x <<，所以042x <<，所以()0,2λμ+∈；对于A ，由①知，当1λμ+=时，1x =，此时点P 与点B 重合；由④可知当1λμ+=时，14x =，34y =，此时点P 在AD 的中点处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以A 错误，对于B ，由②知，当2λμ+=时，54x =，4y =，此时点P 在BC 的中点；由③知，当2λμ+=时，12x =，2y =，此时点P 在点D 处；其它均不可能，所以这样的点P 有两个，所以B 正确，对于CD ，由①②③④可得：当0x y ==，即点P 为点A 时，λμ+取到最小值0；当3,22x y ==，即点P 为点C 时，λμ+取到最大值3，所以C 正确，D 错误，故选：BC.【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数12i z =-+，213i z =-，则12z z -=_________.【答案】5【解析】【分析】先根据复数减法法则计算12z z -，再根据复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】∵12i z =-+，213i z =-，∴()()12513i 2i 34i z z -=-+-=--+==．故答案为：5．14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为__________.【答案】0.8##45【解析】【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.【详解】因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为(10.6)(10.5)0.2-⨯-=，故两人至少有一人通过的概率为10.20.8-=.故答案为：0.815.若ABC 的面积为S ，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()224tan 5S A b c =+-，则=a __________.【答案】【解析】【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于a 的方程，解之即可得解.【详解】因为()224tan 5SA b c =+-，所以()221sin 4sin 52cos A bc A b c A⨯=+-，因为0πA <<，且π2A ≠，所以sin 0A >，则()22125cos bc b c A=+-，即222cos 5bc A b c =+-，所以22222252b c a bc b c bc+-⨯=+-，则222225b c a b c +-=+-，即25a =，所以a =（负值舍去）..16.在正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '，设侧棱延长线交于点P ，几何体P A B C D E F ''''''-的外接球半径为1R ，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球半径为2R ，则此正六棱台的体积为___________，12R R =__________.【答案】①.2②.35##0.6【解析】【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于2R 的方程组，从而求得2R ；再利用平行线分线段成比例求得1PO ，从而确定了几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，进而求得1R ，由此得解.【详解】依题意，正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-中，4AB =，3A B ''=，A A '则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为216342S =⨯⨯=，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为21644S =⨯=其高为1h ==，所以该正六棱台的体积为1371322V ⎛ =⨯+⨯= ⎝⎭.设上底面中心为1O ，下底面中心为O '，连接111O O A O AO ''，，，则1O O '垂直于上下底面，如图，连接11,O A O A '，则113,4O A O A '==，由题意可得11O O h '==，作1A G AO '⊥垂足为G ，则11,1A G AG ==，连接1,A D O D '，则1A D ==，故22211250640A A A D AD +-=+-<，则1AA D ∠为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面1AA D 上，故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在1O O '的延长线上，因为外接球半径为2R ，故22222222111,R O A O O R A O OO ''=+=+，即22222216,9(+1R O O R O O ''=+=+），解得223,25O O R '==，则25R =，连接1PO ，如图，易得1,,P O O '三点共线，且11//AO AO '，所以11134PO AO PO AO ==''，则1133PO O O '==，易知1111111111113AO B O C O D O E O FO ======，所以1O 是几何体P A B C D E F ''''''-的外接球的球心，则13R =，所以1235R R =.故答案为：2；35.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台ABCDEF A B C D E F ''''''-的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得2R .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知平面向量a 与b 的夹角为60 ，且1a = ，2b = .（1）求2a b - ；（2）若a b + 与2a kb - 垂直，求k 的值.【答案】（1）2（2）45【解析】【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果；（2）根据()(2)0a b a kb +⋅-= 可求出结果.【小问1详解】2a b -===2=.【小问2详解】因为a b + 与2a kb - 垂直，所以()(2)0a b a kb +⋅-=，所以222||||(2)0a k b k a b -+-⋅= ，所以124(2)1202k k -+-⨯⨯⨯=，得45k =.18.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是：()()22kg m BMI =体重单位:身高单位:，成年人的BMI 数值标准是：BMI <18.5为偏瘦；18.5≤BMI <24为正常；24≤BMI <28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[)12,16，[)16,20，[)20,24，[)24,28，[]28,32，得到相应的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；（2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数.【答案】（1）a =0.08，众数为22；中位数为23.3（2）504【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求得0.08a =，从而可求得该公司员工BMI 的样本数据的众数为22；设设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，求解即可；（2）根据题意可求得该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，进而可求解.【小问1详解】根据频率分布直方图可知组距为4，所以4(0.010.040.090.03)1a ⨯++++=，解得0.08a =.该公司员工BMI 的样本数据的众数为22.设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，则40.0140.04(20)0.090.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得23.3x ≈.故该公司员工BMI 的样本数据的中位数约为23.3.【小问2详解】因为成年人的BMI 数值18.524BMI ≤<为正常，所以该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04(2018.5)0.09(2420)0.42⨯-+⨯-=，所以该公司员工BMI 数值正常的人数为12000.42504⨯=.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求角C 的大小；（2）若3c =，AB 边上的中线1CD =，求ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）32+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得1cos 2C =-，从而可求解；（2）根据余弦定理可得229a b ab =++，再根据中线向量公式可得224a b ab =+-，从而求得22513,22ab a b =+=，进而求得周长.【小问1详解】由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，即2sin cos sin()0C C A B ++=，即2sin cos sin 0C C C +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =-.因为0πC <<,所以2π3C =.【小问2详解】已知3,1c CD ==，在ABC 中，由余弦定理得：229a b ab =++①，由CD 为ABC 的中线，得2CD CB CA =+ ，两边平方得224a b ab =+-②，联立①②得22513,22ab a b =+=，所以ABC 的周长为332a b c ++==.20.如图，在四棱锥B ACED -中，AD CE ∥，AD ⊥平面ABC ，2AD =，1CE =，ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，连接,FM CM ，证明//EF CM ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取BC 中点N ，连接,AN EN ，可得AEN ∠即为AE 与平面BCE 所成的角，求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,FM CM ，F 为棱BD 的中点，1//,2MF AD MF AD ∴=，又1//,2AD CE CE AD = ，//MF CE ∴且=MF CE ，∴四边形MCEF 是平行四边形，//EF CM ∴，又CM ⊂ 平面,ABC EF ⊂/平面ABC ，//EF ∴平面ABC ；【小问2详解】取BC 中点N ，连接,AN EN ，ABC是边长为2的等边三角形，AN BC ∴⊥，且AN =，AD ⊥ 平面,//ABC AD CE ，CE ∴⊥平面ABC ，又AN ⊂ 平面,ABC CE AN ∴⊥，又AN BC ⊥ ，且,CE BC C AN ⋂=∴⊥平面BCE ，AEN ∴∠即为AE 与平面BCE 所成的角，在Rt EAC △中，2,1,AC CE AE ==∴=，在Rt AEN △中，则sin5AN AEN AE ∠===，所以AE 与平面BCE 所成角的正弦值为5.21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛?【答案】（1）0.6（2）甲更容易晋级复赛【解析】【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.利用列举法，根据古典概型概率公式即可求解；（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.【小问1详解】对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，设乙能答对的4个问题的编号为a b c d ,,,.第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，可用()12,x x 表示选题结果，其中1x ，2x 为所选题目的编号，样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e b c b d b e c d Ω=,(,),(,)}c e d e 共10个样本点.设“乙在第一轮得20分”事件为E ，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)}E a b a c a d b c b d c d =共6个样本点.则乙在第一轮得20分的概率为60.610P ==.【小问2详解】甲晋级复赛分两种情况:①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()220.610.40.3024⨯-=，②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()2210.60.60.2304. -⨯=所以甲晋级的概率10.30240.23040.5328P =+=.乙晋级复赛分两种情况:①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：()20.610.60.384⨯-=，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：()210.60.40.064.-⨯=所以乙晋级复赛的概率为20.3840.0640.448P =+=.因为12P P >，所以甲更容易晋级复赛.22.如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，22CD AB AD ===，M 是CD 的中点，BD 与AM 交于O 点，将ADM △沿AM 向上折起，得到图2的四棱锥D ABCM '-.（1）证明：BC ⊥平面D OB '；（2）若1D B '=，求二面角D M C B '--的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）利用平面几何的知识证得AM BD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得解；（2）在图2中证得D H '⊥平面ABCM ，从而证得MC ⊥平面D HQ '，进而得到D QH '∠为二面角D M C B '--的平面角，由此求得所需线段的长即可得解.【小问1详解】在题干图1中连接BM ，如图，由已知得//,2,AB CD CD AB M =是CD 的中点，//,,AB CM AB CM ∴=∴四边形ABCM 是平行四边形，//BC AM ∴，同理，四边形ABMD 是平行四边形，又AB AD =，且AD AB ⊥，∴四边形ABMD 是正方形，AM BD ∴⊥，所以在题干图2中，,AM OD AM OB '⊥⊥，又,,OD OB O OD OB ''=⊂ 平面D OB '，AM ∴⊥平面D OB '，又//BC AM ，BC ∴⊥平面D OB '.【小问2详解】因为在正方形ABMD 中，AB =，1D O OB '∴==，又1,D B D OB ''=∴ 是等边三角形，在题干图2中，过D ¢作D H OB '⊥于点H ，则H 为OB 中点，过H 作HQ MC ⊥交CM 延长线于点Q ，连接D Q '，如图，BC ⊥ 平面,D OB D H ''⊂平面D OB '，BC D H '∴⊥，又,,,D H OB BC OB B BC OB '⊥=⊂ 平面ABCM ，D H ∴'⊥平面ABCM ，又MC ⊂平面ABCM ，D H MC '∴⊥，又,,,HQ MC D H HQ H D H HQ ''⊥=⊂ 平面D HQ '，MC ∴⊥平面D HQ '，又D Q '⊂平面D HQ '，MC D Q '∴⊥，D QH '∴∠为二面角D M C B '--的平面角，在等边D OB ' 中，1D B '=，则2D H '=，又点H 为OB 的中点，HQ MC ⊥，易得//HQ BM ，又BM AD ==，可得344HQ BM ==，在Rt D HQ ' 中，tan23D H D QH HQ ''∠==，所以二面角D M C B '--的正切值为63.【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用二面角的定义，结合线面垂直的判定定理在图2中作出二面角D M C B '--的平面角，从而得解.。
【精准解析】河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
其中喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的为：（喜羊羊、美羊羊），（喜羊羊、懒羊羊），（喜羊
羊、暖羊羊），（喜羊羊、沸羊羊），（美羊羊、懒羊羊），（美羊羊、暖羊羊），（美羊羊、沸羊 羊），共 7 种.
7
所以喜羊羊和美羊羊至少有一只被选中的概率为 .
10
-4-
故选：A
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
【详解】当 a b 9 时，满足 a 0, b 0 ，但 ab 9 2 1 1 ，即 D 不正确； 2 2a2
b2 2
(a b)2 4
0
a
2
b
2
a2
b2 2
，即 A 正确；
ab a2 b2 (a b)2 0ab a2 b2 ，即 B 正确；
2R sin A 2R sin B ①， R 是三角形 ABC 外接圆的半径.
由①得 sin A sin C .所以 D 选项正确.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查正弦定理，属于基础题.
2.
不等式 1
1 的解集为（
）
x2
A. (, 2)
B. (2, )
C. (0, 2)
D.
4. 已知an 是等差数列，且 a1 a4 15 ，则 a2 a3 的值是（ ）
A. 20
B. 15
C. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质直接求解.
【详解】an 是等差数列，且1+ 4 = 2 + 3 ，
a2 a3 a1 a4 15 .
故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 5. 下列事件： ①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形； ②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
河北省唐山市开滦一中2019 - 2020学年度第二学期高一年级期末试卷数学
唐山市开滦一中2019-2020年度第二学期高一年级期末试卷数学试卷 第Ⅰ卷 命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．在ABC 中，A B C >>，且2C π≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．tan tan A C <B ．tan tan AC > C ．sin sin A C <D ．sin sin A C >2．不等式112x <的解集是（ ） A ．(2),-∞ B ．()0,2 C ．(),0,)2(-∞⋃+∞ D ．(2,)+∞3．若(1,2)OA =，(1,1)OB =-则AB 等于（ ）A ．()0,3-B ．()0,1C ．()1,2-D ．()2,3-4．已知{}n a 是等差数列，且1415a a +=，则23a a +的值是（ ）A ．20B ．15C ．10D ．55．下列事件：①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ，b 都不为0，但220a b +=；④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．其中为随机事件的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④6．不等式22120x ax a --<（其中0a >）的解集为（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7．对于0,0a b >>，下列不等式中不正确的是（ ）A ．22222a b a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．222a b ab +C ．22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．112a b <+ 8．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好至少有一只被选中的概率为（ ）A ．710B ．67C ．35D ．459．已知向量31,cos ,cos ,26a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若//a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．75︒10．已知ABC 的内角,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若1sin 4a A =，则sin sin sin b c a B C A +-+-等于（ ）A ．14B ．4C ．13D ．3 11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．2512．已知数列{}n a ：112,233+，123444++，12345555+++，…，又1114n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前n 项的和n S 为（ ）A ．1411n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B ．11421n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭C ．111n -+D ．1121n -+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题44分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为6的样本，则抽取的女生人数为________．14．在数列{}n a 中，223n S n n =-，则通项公式n a =________． 15．（第一空2分，第二空3分）为组织好“市九运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄调查统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[)25,30内的数据不慎丢失，依据此图可得：（1）年龄分组[)25,30对应小长方形的高度为________．（2）这800名志愿者中年龄在[)25,40内的人数为________．16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠︒∠＝的平分线交AC 于点D ，且1BD ＝，则9a c +的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题10分）已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足1124351,10,a b a a b a ==+==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．（本题12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）；（2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分．19．（本题12分）在ABC 中，120A ︒＝，37c a =． （1）求sin C 的值； （2）若7a ＝，求b 的长． 20．（本题12分）如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111A B C D 和环公园人行道组成，已知休闲区1111A B C D 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111A B C D 的长和宽应分别为多少米？21．（本题12分）已知ABC 的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m b c =，(sin ,sin )n C B =，(2,2)p c b =--..（1）若//m n ，求证：ABC 为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2a ＝，角3A π=，求ABC 的面积．22．（本题12分）某市2020年发放汽车牌照14万张，其中燃油型汽车牌照12万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制汽车总量，从2020年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2020年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式．（2）从2020年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过100万张？。
河北省唐山市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题及答案
人（男女生人数大致相等），以频率估计概率回答下列问题：
（1）估计全区高三学生中网上学习时间不超过 40分钟的人数； （2）在调查的 80名高三学生且学习时间不超过 40分钟的学生中，男女生按分层抽样的方 法抽取 6人.若从这 6人中随机抽取 2人进行电话访谈，求至少抽到 1名男生的概率.
20.已 知 数 列 （1）求 的值和
13.(-∞,-1] 14.1 2
15.30° 16.①②③
三．解答题 17.【答案】
解：(1)由正弦定理及 c=bcosA+ 33bsinA，得 sinC=sinBcosA+ 33sinBsinA，
由 C=π-(A+B)，得 sin(A+B)=sinBcosA+ 33sinBsinA，
∴ cosBsinA= 33sinBsinA，
A网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线条画出的图形为某几 何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为( )
A.3π B.12π C.18π D.27π
6.已知等差数列 中，
，则此数列前 项和等于
（
）
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC+sinB),b+c=4,则△ABC
，任选 2
人有： ， ， ，
，，，，，，，，，
， ， ，共 15种. 没有男生的有 ，共 1种.
所以至少有一名男生的概率 20.【答案】
21．【答案】
（1）过点 E作 EH⊥BC，连接 HD，EH= 3，
因为平面 ABCD⊥平面 BCE，EH⊂平面 BCE，平面 ABCD∩平面 BCE＝BC，
2022-2023学年河北省唐山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝1﹣i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a →=(1，m)，b →=(2，4)，若a →∥b →，则m 为（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．23．某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．154．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E 为棱AC 的中点，则异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．√510B ．−√510C ．√55D ．−√555．为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．若圆锥的底面半径为√3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ） A ．2B ．√3C ．2πD ．2√3π7．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D ．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A =π3，a ＝2．若（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√3或2√33C ．2√33D ．1或2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x ，方差为s 2，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x′，方差为s ′2，则下列判断正确的是（ ） A ．x =x′B ．x ＜x′C ．s 2＝s ′2D ．s 2＞s ′210．在△ABC 中，下列结论正确的是（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B B ．若sin A ＞sin B ，则A ＞B C ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BD ．若C 为钝角，则sin A ＜cos B11．若z 1，z 2是关于x 的方程x 2﹣2x +2＝0的两个虚根，则（ ） A ．z 1=z 2 B ．z 12+z 22＞0 C ．(z 1+z 2)2＞0D ．z 12⋅z 22＞012．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，延长边CD 至点E ，使得DE ＝CD ．动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP →=λAB →+μAE →，则（ ）A ．满足λ+μ＝1的点P 有且只有一个B ．满足λ+μ＝2的点P 有两个C ．λ+μ存在最小值D ．λ+μ不存在最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若复数z 1＝﹣2+i ，z 2＝1﹣3i ，则|z 1﹣z 2|＝ ．14．甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为 ．15．若△ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且4S ＝tan A （b 2+c 2﹣5），则a ＝ ． 16．在正六棱台ABCDEF ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，AB ＝4，A ′B ′＝3，A ′A =√2，设侧棱延长线交于点P ，几何体P ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球半径为R 1，正六棱台ABCDEF ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球半径为R 2，则此正六棱台的体积为 ，R 1R 2= ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知平面向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=1，|b →|=2． （1）求|2a →−b →|；（2）若a →+b →与2a →−kb →垂直，求k 的值．18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度．其计算公式是：BMI =体重(单位：kg)身高2(单位：m 2)，成年人的BMI 数值标准是：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图． （1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）； （2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c cos C +a cos B +b cos A ＝0． （1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，AB 边上的中线CD ＝1，求△ABC 的周长．20．（12分）如图，在四棱锥B ﹣ACED 中，AD ∥CE ，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，CE ＝1，△ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值．21．（12分）某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． （1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？22．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD＝2√2，M是CD的中点，BD与AM交于O点，将△ADM沿AM向上折起，得到图2的四棱锥D'﹣ABCM．（1）证明：BC⊥平面D′OB；（2）若D'B＝1，求二面角D'﹣MC﹣B的正切值．2022-2023学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝1﹣i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：复数z ＝1﹣i ，则z （1，﹣1）对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．已知a →=(1，m)，b →=(2，4)，若a →∥b →，则m 为（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．0D ．2解：因为a →=(1，m)，b →=(2，4)，a →∥b →，所以1×4﹣2m ＝0，得m ＝2． 故选：D ．3．某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1，2，3，4的四种添加剂可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15解：根据题意，从芳香度为1，2，3，4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂， 其可能结果有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个， 其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有（1，4），（2，3）共2个， 则所求概率为P =26=13． 故选：B ．4．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，E 为棱AC 的中点，则异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为（ ） A ．√510B ．−√510C ．√55D ．−√55解：记AB 的中点为F ，连接EF ，A 1F ，如图，因为E 为棱AC 的中点，F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ， 所以∠A 1EF 为异面直线A 1E 与BC 的所成角（或补角）， 因为在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2， 所以A 1E =√A 1A 2+AE 2=√5，A 1F =√5，EF =12BC ＝1，所以在△A 1EF 中，cos ∠A 1EF =A 1E 2+EF 2−A 1F 22A 1E⋅EF =5+1−52×√5×1=√510， 所以异面直线A 1E 与BC 所成角的余弦值为√510． 故选：A ．5．为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm ）：60，61，62，63，65，65，66，67，69，70，则第40百分位数是（ ） A ．62B ．63C ．64D ．65 解：因为10×40%＝4为整数，所以第40百分位数是63+652=64．故选：C ．6．若圆锥的底面半径为√3，高为1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ） A ．2B ．√3C ．2πD ．2√3π解：依题意，设圆锥的母线长为l ，∵圆锥的底面半径为√3，高为1，∴l =√3+1=2，设圆锥的轴截面的两母线夹角为θ，则cosθ=22+22−(2√3)22×2×2=−12， ∵0＜θ＜π，∴θ=2π3， 则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为α，α∈(0，2π3]，故截面的面积为S =12×2×2×sinα≤2，当且仅当α=π2时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故选：A ．7．从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（ ） A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至少有1名男生”C ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D ．“至少有1名女生”与“至多有1名男生”解：“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A 错； “至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B 错； “至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D 错； “恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C 正确． 故选：C ．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A =π3，a ＝2．若（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√3或2√33C ．2√33D ．1或2解：因为（sin A ﹣sin B ）（a sin A +b sin B ）﹣（a ﹣b ）sin 2C ＝0， 所以利用正弦定理得（a ﹣b ）（a 2+b 2）﹣（a ﹣b ）c 2＝0， 得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2， 若a ＝b ，因为A =π3，a ＝2， 所以b ＝c ＝2， 可得S △ABC =12bcsin π3=12×2×2×√32=√3， 若a 2+b 2＝c 2，则三角形ABC 为直角三角形，C =π2， 因为A =π3，a ＝2， 所以B =π6，b =2√33，可得S △ABC =12ab =12×2×2√33=2√33．综上所述：△ABC 的面积√3或2√33．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知一组数据3，5，6，9，9，10的平均数为x，方差为s2，在这组数据中加入一个数据7后得到一组新数据，其平均数为x′，方差为s′2，则下列判断正确的是（）A．x=x′B．x＜x′C．s2＝s′2D．s2＞s′2解：对于AB，x=16×(3+5+6+9+9+10)=7，所以x=x′，A正确，B错误；对于CD，s2=16×[(3−7)2+(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=193，s′2=17×[(3−7)2+(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(7−7)2]=387，所以s2＞s′2，C错误，D正确．故选：AD．10．在△ABC中，下列结论正确的是（）A．若A＞B，则sin A＞sin B B．若sin A＞sin B，则A＞BC．若A＞B，则sin2A＞sin2B D．若C为钝角，则sin A＜cos B 解：对于A，由大角对大边知，若A＞B，则a＞b，所以由正弦定理得sin A＞sin B，故A正确；对于B，若sin A＞sin B，则由正弦定理得a＞b，所以由大边对大角A＞B，故B正确；对于C，取A＝120°，B＝30°，则sin2A＝sin240°＜0，sin2B＝sin60°＞0，所以sin2A＞sin2B不成立，故C错误；对于D，若C为钝角，则A+B＜π2，0＜A＜π2，0＜B＜π2，所以0＜A＜π2−B＜π2，因为y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sinA＜sin(π2−B)=cosB，故D正确．故选：ABD．11．若z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个虚根，则（）A．z1=z2B．z12+z22＞0C．(z1+z2)2＞0D．z12⋅z22＞0解：因为x2﹣2x+2＝0，所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4，根据求根公式可得x=2±√−42=1±i，又z1，z2是关于x的方程x2﹣2x+2＝0的两个虚根，不妨令z1＝1+i，z2＝1﹣i．对于A，z1=z2，A正确；对于B ，z 12+z 22=(1+i)2+(1−i)2=2i −2i =0，B 错误；对于C ，(z 1+z 2)2=22=4＞0，C 正确；对于D ，z 12⋅z 22=(1+i)2⋅(1−i)2=2i ⋅(−2i)=4＞0，D 正确．故选：ACD ．12．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，延长边CD 至点E ，使得DE ＝CD ．动点P 从点A 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP →=λAB →+μAE →，则（ ）A ．满足λ+μ＝1的点P 有且只有一个B ．满足λ+μ＝2的点P 有两个C ．λ+μ存在最小值D ．λ+μ不存在最大值解：建立直角坐标系，如右图所示：设菱形ABCD 的边长为2，则A （0，0），B （2，0），C （3，√3），D （1，√3），E （﹣1，√3）， 设P （x ，y ），则由AP →=λAB →+μAE →可得：（x ，y ）＝λ（2，0）+μ（﹣1，√3）， 即{x =2λ−μy =√3μ，整理得：λ+μ=x+√3y 2， 当P 在AB 上时，有{0≤x ≤2y =0，故λ+μ∈[0，1]，当P 在BC 上时，有{2≤x ≤30≤y ≤√3，故λ+μ∈[1，3]，当P 在CD 上时，有{1≤x ≤3y =√3，故λ+μ∈[2，3]，当P 在AD 上时，有{0≤x ≤10≤y ≤√3，故λ+μ∈[0，2]，由此可知：当λ+μ＝1时，点P可位于B点或AD中点处，故A错误；当λ+μ＝2时，点P可位于BC中点或点D处，故B正确；综上可知0≤λ+μ≤3，故λ+μ有最小值0，最大值3，故C正确，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数z1＝﹣2+i，z2＝1﹣3i，则|z1﹣z2|＝5．解：∵z1＝﹣2+i，z2＝1﹣3i，∴|z1−z2|=|(−2+i)−(1−3i)|=|−3+4i|=√9+16=5．故答案为：5．14．甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6，乙通过的概率为0.5，则至少一人通过考试的概率为0.8．解：因为两人考试相互独立，所以两人都未通过的概率为（1﹣0.6）×（1﹣0.5）＝0.2，故两人至少有一人通过的概率为1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．15．若△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4S＝tan A（b2+c2﹣5），则a＝√5．解：因为4S＝tan A（b2+c2﹣5），所以4×12bcsinA=sinAcosA(b2+c2−5)，因为0＜A＜π，且A≠π2，所以sin A＞0，则2bc=1cosA(b2+c2−5)，即2bc cos A＝b2+c2﹣5，所以2bc×b2+c2−a22bc=b2+c2−5，则b2+c2﹣a2＝b2+c2﹣5，即a2＝5，所以a=√5（负值舍去）．故答案为：√5．16．在正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′中，AB＝4，A′B′＝3，A′A=√2，设侧棱延长线交于点P，几何体P﹣A′B′C′D′E′F′的外接球半径为R1，正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′的外接球半径为R2，则此正六棱台的体积为37√32，R1R2=35．解：依题意，正六棱台ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′中，AB＝4，A′B′＝3，A′A=√2则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为S1=6×√34×32=27√32，其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为S1=6×√34×42=24√3，其高为ℎ=√(√2)2−(4−3)2=1，所以该正六棱台的体积为V =13×(27√32+√27√32×24√3+24√3)×1=37√32． 设上底面中心为O 1，下底面中心为O ′，连接O 1O ′，A 1O 1，AO ′，则O 1O ′垂直于上下底面，如图，连接O 1A 1，O ′A ，则O 1A 1＝3，O ′A ＝4，由题意可得O 1O ′＝h ＝1，作A 1G ⊥AO ′垂足为G ，则A 1G ＝1，AG ＝1，连接A 1D ，O ′D ，则A 1D =√1+(8−1)2=5√2，故A 1A 2+A 1D 2−AD 2=2+50−64＜0，则∠AA 1D 为钝角，又由于正六棱台外接球球心位于平面AA 1D 上，故设正六棱台外接球球心为O ，则O 在O 1O ′的延长线上，因为外接球半径为R 2，故R 22=O′A 2+O′O 2，R 22=A 1O 12+OO 12，即R 22=16+O′O 2，R 22=9+(O′O +1)2，解得O ′O =3，R 22=25，则R 2＝5，连接PO 1，如图，易得P ，O 1，O ′三点共线，且A 1O 1∥AO ′，所以PO 1PO′=A 1O 1AO′=34，则PO 1＝3O 1O ′＝3， 易知A 1O 1＝B 1O 1＝C 1O 1＝D 1O 1＝E 1O 1＝F 1O 1＝3，所以O 1是几何体P ﹣A ′B ′C ′D ′E ′F ′的外接球的球心，则R 1＝3，所以R 1R 2=35． 故答案为：37√32；35． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知平面向量a →与b →的夹角为60°，且|a →|=1，|b →|=2．（1）求|2a →−b →|；（2）若a →+b →与2a →−kb →垂直，求k 的值．解：（1）|2a →−b →|=√(2a →−b →)2=√4|a →|2+|b →|2−4a →⋅b →=√4|a →|2+|b →|2−4|a →|⋅|b →|⋅cos60° =√4+4−4×1×2×12=2． （2）因为a →+b →与2a →−kb →垂直，所以(a →+b →)⋅(2a →−kb →)=0，所以2|a →|2−k|b →|2+(2−k)a →⋅b →=0，所以2−4k +(2−k)×1×2×12=0，解得k =45． 18．（12分）近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度．其计算公式是：BMI =体重(单位：kg)身高2(单位：m 2)，成年人的BMI 数值标准是：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖．某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其BMI 值分成以下五组：[12，16），[16，20），[20，24），[24，28），[28，32]，得到相应的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计该公司员工BMI 的样本数据的众数与中位数（精确到0.1）；（2）该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMI 数值正常的人数．解：（1）因为4（0.01+0.04+0.09+a +0.03）＝1，解得a ＝0.08，易知面积最大的矩形条所在区间为[20，24），所以该公司员工BMI 的样本数据的众数为22，因为区间[12，20）内的频率为4（0.01+0.04）＝0.2＜0.5，区间[12，24）内的频率为4（0.01+0.04+0.09）＝0.56＞0.5，所以该公司员工BMI 的样本数据的中位数在区间[20，24）内，不妨设该公司员工BMI 的样本数据的中位数为x ，此时0.2+（x ﹣20）×0.09＝0.5，解得x ≈23.3，则该公司员工BMI 的样本数据的中位数约为23.3；（2）因为成年人的BMI 数值18.5≤BMI ＜24为正常，所以该公司员工BMI 数值正常的概率为0.04×（20﹣18.5）+0.09×（24﹣20）＝0.42，若该公司共有1200名员工，则该公司员工BMI 数值正常的人数为1200×0.42＝504．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c cos C +a cos B +b cos A ＝0．（1）求角C 的大小；（2）若c ＝3，AB 边上的中线CD ＝1，求△ABC 的周长．解：（1）由正弦定理得：2sin C cos C +sin A cos B +sin B cos A ＝0，即2sin C cos C +sin （A +B ）＝0，即2sin C cos C +sin C ＝0．因为sin C ≠0，所以cosC =−12．因为 0＜C ＜π，所以C =2π3；（2）已知c ＝3，CD ＝1，在△ABC 中，由余弦定理得：9＝a 2+b 2+ab ①，由CD 为△ABC 的中线，得2CD →=CB →+CA →，两边平方得4＝a 2+b 2﹣ab ②，联立①②得ab =52，a 2+b 2=132，所以△ABC 的周长为a +b +c =√a 2+b 2+2ab +3=√462+3．20．（12分）如图，在四棱锥B ﹣ACED 中，AD ∥CE ，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，CE ＝1，△ABC 是边长为2的等边三角形，F 为棱BD 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ；（2）求AE 与平面BCE 所成角的正弦值．解：（1）证明：取AB 中点M ，连接FM ，CM ，∵F 为棱BD 的中点，∴MF ∥AD ，MF =12AD ，又∵AD ∥CE ，CE =12AD ，∴MF ∥CE 且MF ＝CE ，∴四边形MCEF 是平行四边形，∴EF ∥CM ，又∵CM ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ；（2）取BC 中点N ，连接AN ，EN ，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴AN ⊥BC ，且AN =√3，∵AD ⊥平面ABC ，AD ∥CE ，∴CE ⊥平面ABC ，又∵AN ⊂平面ABC ，∴CE ⊥AN ，又∵AN ⊥BC ，且CE ∩BC ＝C ，∴AN ⊥平面BCE ，∴∠AEN 即为AE 与平面BCE 所成的角，在Rt △EAC 中，AC ＝2，CE ＝1，∴AE =√5，在Rt △AEN 中，则sin ∠AEN =AN AE =√35=√155， 所以AE 与平面BCE 所成角的正弦值为√155．21．（12分）某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B 类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6，在A 类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B 类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4，甲、乙回答任一问题正确与否互不影响．（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？解：（1）对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设乙能答对的4个问题的编号为a，b，c，d，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用（x1，x2）表示选题结果，其中x1，x2为所选题目的编号，样本空间为：Ω＝{（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）}，共10个样本点，设“乙在第一轮得20分”事件为E，则E＝{（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）}，共6个样本点，则乙在第一轮得20分的概率为P=610=0.6；（2）甲晋级复赛分两种情况：①甲第一轮得（20分）且第二轮至少得（20分）的概率为：0.62×（1﹣0.42）＝0.3024，②甲第一轮得0分且第二轮得4（0分）的概率为：（1﹣0.62）×0.62＝0.2304，所以甲晋级的概率P1＝0.3024+0.2304＝0.5328，乙晋级复赛分两种情况：①乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：0.6×（1﹣0.62）＝0.384，②乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：（1﹣0.6）×0.42＝0.064，所以乙晋级复赛的概率为P2＝0.384+0.064＝0.448，因为P1＞P2，所以甲更容易晋级复赛．22．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝2AD＝2√2，M是CD的中点，BD与AM交于O点，将△ADM沿AM向上折起，得到图2的四棱锥D'﹣ABCM．（1）证明：BC⊥平面D′OB；（2）若D'B＝1，求二面角D'﹣MC﹣B的正切值．解：（1）证明：在图1中连接BM，如图，由已知得AB∥CD，CD＝2AB，M是CD的中点，∴AB∥CM，AB＝CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴BC∥AM，同理，四边形ABMD是平行四边形，又AB＝AD，且AD⊥AB，∴四边形ABMD是正方形，∴AM⊥BD，∴在题干图2中，AM⊥OD′，AM⊥OB，∵OD′∩OB＝O，∴AM⊥平面D′OB，又BC∥AM，∴BC⊥平面D′OB．（2）∵在正方形ABMD中，AB=√2，∴D′O＝OB＝1，∵D′B＝1，∴△D′OB是等边三角形，在题干图2中，过D′作D′H⊥OB于点H，则H为OB中点，过H作HQ⊥mC交CM延长线于点Q，连接D′Q，如图，∵BC⊥平面D′OB，D′H⊂平面D′OB，∴BC⊥D′H，∵D′H⊥OB，BC∩OB＝B，∴D′H⊥平面ABCM，又MC⊂平面ABCM，∴D′H⊥MC，∵HQ⊥MC，D′H∩HO＝H，∴MC⊥平面D′HQ，∴MC⊥D′Q，∴∠D′QH为二面角D′﹣MC﹣B的平面角，在等边△D′OB中，D′B＝1，则D′H=√32，∵点H为OB的中点，HQ⊥MC，由题意得HQ∥BM，∵BM＝AD=√2，∴HQ=34BM=3√24，在Rt △D ′HQ 中，tan ∠D ′QH =D′H HQ =√32432=√63， 二面角D ′﹣MC ﹣B 的正切值为√63．。
2022-2023学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年河北省唐山市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数1iiz -+=-，则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其共轭复数；【详解】解：()21i ii i 1i 1i z -+-+===----，所以1i z =-+.故选：B2．化简PA PB AB -+所得的结果是（）A ．2ABB ．2BAC ．0D ．PA【答案】C【分析】根据向量加，减法运算，即可化简.【详解】0PA PB AB PA AB PB P P B B -++=-=-=.故选：C3．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（）A ．17B ．111C ．536D ．112【答案】C【分析】先求出总的基本事件，列举出点数之和是6的基本事件，再由古典概率求解即可.【详解】抛掷两个质地均匀的骰子，总的基本事件有6636⨯=个，其中点数之和是6的有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1共5个，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为536.故选：C.4．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A ．32B ．34C ．64D ．62【答案】C【详解】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为1263=224⨯⨯，所以直观图的面积是1662=244⨯⨯，选C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.5．已知一组数据5,2,,5,8,9x ，且58x <<．若该组数据的众数是中位数的56倍，则该组数据的平均数为（）A ．6B ．6.5C ．7D ．7.5【答案】A【分析】由已知可得该组数据的众数是5，以及中位数是6，利用众数是中位数的56倍列方程解出x ，进而可计算出该组数据的平均数．【详解】58x << ，∴这组数据为2,5,5,,8,9x ，则该组数据的众数是5，又该组数据的众数是中位数的56倍，则中位数是6，即562x +=，解得7x =，则该组数据的平均数为25578966+++++=，故选：A ．6．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则向量2a b - 在向量b上的投影向量为（）A ．bB ．2b- C ．12b- D ．b- 【答案】B【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积的运算律求出()2a b b -⋅ ，最后根据投影向量的定义计算可得.【详解】解：因为a ，b是两个互相垂直的单位向量，所以0a b ⋅=，且1a b ==r r ，所以()222222a b b a b b a b b -⋅=⋅-=⋅-=- ，所以向量2a b -r r在向量b 上的投影向量为()22a b b b b b b-⋅⋅=- .故选：B7．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为S ，且2a =，()2241S b c +=+，则ABC 外接圆的半径为（）A ．22B ．1C ．2D ．22【答案】C【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.【详解】依题意，()2241S b c +=+，即2214sin 12bc A b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，222sin 4bc A b c +=+，2222sin bc A a b c +=+，222sin cos 2b c a A A bc+-==，所以tan 1A =，则A 为锐角，所以π4A =，所以ABC 外接圆的半径为1212sin 2222a A ⨯=⨯=.故选：C8．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60︒，则EG 的长为（）A ．1B ．2C ．1或3D ．2或3【答案】C【分析】连接,HE HG ，可得60EHG ∠=︒或120︒，求解三角形即可求出.【详解】如图，连接,HE HG ，在ABD △中，因为,H E 为中点，所以//HE BD ，1HE =，在ACD 中，因为,H G 为中点，所以//HG AC ，1HG =，因为AC 与BD 所成的角为60︒，所以60EHG ∠=︒或120︒，当60EHG ∠=︒时，EHG 为等边三角形，所以1EG =，当120EHG ∠=︒，由余弦定理可得211121132EG ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即3EG =，所以EG 的长为1或3.故选：C.二、多选题9．下列选项中，错误的是（）A ．若存在实数λ使a b λ= 成立，则a 与b共线B ．若1212ae be e e +=+，则1a b ==C ．若()1MA xMB x MC =+-（M 、A 、B 、C 四点不同），则A 、B 、C 三点共线D ．若c b a b ⋅=⋅，则c a = 或0b = 【答案】BD【分析】由向量共线定理判断A ；根据向量的运算判断BCD.【详解】由向量共线定理可知A 正确；当120e e ==时，满足1212ae be e e +=+ ，此时,a b 可取任意实数，故B 错误；由()1MA xMB x MC =+- ，可得()MA MC x MB MC -=- ，即CA xCB =，所以A 、B 、C 三点共线，故C 正确；如下图所示，当c b ⊥ ，a b ⊥ 时，满足c b a b ⋅=⋅，但c 与a 不相等且b 不等于0 ，故D 错误；故选：BD10．在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-⋅，若4b c +=，则a 的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】由三角形三边关系，得到4a b c <+=，由()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，可得3A π=，再由余弦定理得到2a 的范围，从而得到答案.【详解】由三角形三边关系，得到4a b c <+=；因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得，()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以3A π=，且24,2b c b c bc ≤+⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以222222cos a b c bc A b c bc=+-=+-()()221344b c bc b c +-+==≥，所以2a ≥，当且仅当2b c ==时，等号成立，故24a ≤<.故选：BC.11．已知总体划分为三层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，得到各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l ，x ，2x s ；m ，y ，2y s ；n ，z ，2z s ．记总的样本平均数为ω，样本方差为2s ，则下列判断正确的是（）A ．1()3x y z ω=++B ．l m nx y zl m n l m n l m nω=++++++++C ．记第一层的每一个数据为i x （1,2,i =…l ），则有2222212()l x x x x l s x +++=+ D ．()][()][(){}22222221x y z s l s x m s y n s z l m n ωωω⎡⎤=+-++-++-⎣⎦++【答案】BCD【分析】根据均值、方差的定义求解判断．【详解】l x my nz l m nx y z l m n l m n l m n l m nω++==++++++++++，A 错，B 正确．222222121()()()1(2)ll xi i i x x x x x x s x xx x l l =-+-++-==-+∑222222222211111(2)22lll llxii ii ii i i i i i ls x xx x x l x x x x l x l x x l x ======-+=+-=+-=-∑∑∑∑∑，所以2222212()x l l s x x x x +=+++ ，C 正确；2222111()()()()l m ni i i i i i l m n s x y z ωωω===++=-+-+-∑∑∑222222111111222l lm mn ni i i i i i i i i i i i x x l y y m z z n ωωωωωω=======-++-++-+∑∑∑∑∑∑222222222222x y z ls l x l x l ms my my m ns nz nz n ωωωωωω=+-+++-+++-+()()()22222][][[]x y z l s x s y s m n z ωωω+-+-++-=+，所以()][()][(){}22222221x y z s l s x m s y n s z l m n ωωω⎡⎤=+-++-++-⎣⎦++D 正确．故选：BCD ．12．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心为O ，E 、F 分别为棱AB 、1CC 的中点，G 在棱BC 上，则（）A ．对于任意点G ，//OA 平面EFGB ．存在点G ，使得平面OAD ⊥平面EFGC ．直线EF 被球O 截得的弦长为10D ．过直线EF 的平面截球O 所得的截面圆面积的最小值为2π【答案】BC【分析】A 选项，举出反例；B 选项，取G 为BC 的中点时，证明OD ⊥平面EFG ，再结合面面垂直的判定定理可得出结论；C 选项，求出球心到EF 的距离，利用垂径定理求解；D 选项，结合C 选项中的求解得到球心O 到截面的距离22d OM ≤=，从而求出截面面积最小值.【详解】对于A 选项，当G 与B 重合时，A ∈平面EFB ，O ∉平面EFB ，此时直线OA 与平面EFG 相交，A 错误；对于B 选项，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，当G 为BC 的中点时，//EG AC ，则EG BD ⊥，1BB ⊥ 平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，则1EG BB ⊥，因为1BD BB B ⋂=，则EG ⊥平面11BB D D ，因为1B D ⊂平面11BB D D ，所以1EG B D ⊥，同理，1FG B D ⊥，因为EG FG G = ，所以1B D ⊥平面EFG ，即OD ⊥平面EFG ，OD ⊂ 平面ODA ，故平面OAD ⊥平面EFG ，B 正确；对于C 选项，取EF 的中点M ，3OA OB == ，E 为AB 的中点，则OE AB ⊥，222OE OA AE ∴=-=，同理可得2OF =，则OM EF ⊥.因为1CC ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，则CF CE ⊥，所以，22116222EM EF EC FC ==+=，则2222OM OE EM =-=，球O 的半径为3R =，所以直线EF 的被球O 截得的弦长为2222223102R OM ⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确；设截面圆半径为r ，球心O 到截面的距离为d ，则2223r d R +==.因为22d OM ≤=，则22532r d =-≥，所以截面圆面积252S r ππ=≥，D 错误，故选：BC.三、填空题13．已知复数z 满足()2022i 1i 3z -=+，则z =．【答案】2【分析】由复数的四则运算与模的概念求解，【详解】由题意得，()()()()202221i 21i i 321i,2i 11i 1i 1i 2z z ----+=====--∴=--+-+--．故答案为：214．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为23、34、45，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是．【答案】56【分析】分成两种情况，恰好两门科目A +，三门科目A +，根据独立事件的乘法公式计算.【详解】考生至少拿到两个A +的事件为A ，三门科目A +为事件B ，恰好两门科目A +为事件C ，由题意，A B C =+，且,B C 互斥.三门科目A +，23424()34560P B =⨯⨯=恰好两门科目A +，23423423426()11134534534560P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.根据互斥事件的加法公式，24265()()()60606P A P B P C =+=+=.故答案为：5615．“丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分，2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN ，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为16.5m ，在地面上点C 处（B C N ，，三点共线）测得建筑物顶部A ，纪念碑顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得纪念碑顶部M 的仰角为15°，则纪念碑的高度约为米．【答案】33【分析】由题意只需求出MN 的长，在AMC 中运用正弦定理求解即可.【详解】由题意，MNC 为等腰直角三角形，设MN x =，则CN x =，2M C x=，在Rt ABC △中，33sin 30ABAC ==，在AMC 中，105ACM ∠= ，45CAM ∠= ，则30CMA ∠= ，根据正弦定理，233sin 45sin 30x =，解得33x =，即为纪念碑高度.故答案为：3316．以棱长为26的正四面体中心点O 为球心，半径为3的球面与正四面体的表面相交部分总长度为.【答案】82π【分析】求出正四面体S ABC －内切球半径即为球心到面ABC 的距离，从而得到球被平面ABC 所截得的圆的半径，再求出ABC 的内切圆的半径，此圆恰好为球被平面ABC 所截得的圆，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，求四个内切圆的周长即可.【详解】将正四面体放入正方体中，则正方体的棱长为23，所以正四面体的体积为33211483323S ABC a V a a a -=-⨯⨯⨯==，表面积为234(26)2434S =⨯⨯=表，设正四面体的内切球半径为1r ，则11243833r ⨯⨯=，解得11r =.显然内切球心为O ，故O 到面ABC 的距离为11r =，球面与面ABC 相交部分为以22212r R r =-=的圆，设三角形ABC 的内切圆半径为3r ，圆心为,O D '为BC 的中点，则30,6O BD BD ∠'== ，故32r O D ='=，此时恰好23r r =，即球面与各表面相交部分恰为三角形的内切圆，故当3R =时，圆弧总长度为242π82πr ⨯=.故答案为：82π【点睛】方法点睛：有关平面（可以无限延展的）截球所得截面的计算时，第一步求出球心到截面的距离d ，第二步根据222R r d =+计算出截面圆的半径r ，第三步在截面（只是有限大小的平面图形）内通过计算判断所截图形是一个完整的圆还是圆的一部分，这时要根据平面几何中的数据进行计算.四、解答题17．已知：()()(),54,12,13A B C ，，λλ-三点,其中0λ<.（1）若,,A B C 三点在同一条直线上，求λ的值；（2）当AB BC ⊥时，求AC ．【答案】(1)163λ=-.(2)10AC =.【分析】（1）先求出AB BC，的坐标，再根据向量共线得到λ的值；(2)根据AB BC λ⊥得到的值，再求AC ．【详解】（1）依题有()()4,7,4,1AB BC λλ=-=--，,,A B C 共线，()()4740λλ∴-++=，163λ∴=-.（2）由AB BC ⊥得()()4470λλ-++=，3λ∴=±.又0λ<,3λ∴=-,()()2,86,8AC λ∴=-=,10AC ∴=.【点睛】（1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)如果a =()11,x y ,b =()22,x y ，则a ||b的充要条件是12210x y x y -=,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，1AC BC ==，12AA =，点D 为AC 的中点.(1)证明：1AB //平面1BC D ；(2)求直线1AB 与平面1BC D 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)22121【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，将问题转化为点A 到平面1BC D 的距离，再利用等体积法即可求得所求.【详解】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连接OD ，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是平行四边形，所以O 是1B C 的中点，又因为D 为AC 的中点，所以1//OD AB ，又因为OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，故1AB //平面1BC D ；（2）由（1）知1AB //平面1BC D ，所以直线1AB 与平面1BC D 的距离等价于点A 到平面1BC D 的距离，不妨设为h ，因为AC BC ⊥，1AC BC ==，所以1122ABC S AC BC =⋅= ，1122CD AC ==，则2215142BD BC CD =+=+=，又因为D 为AC 的中点，所以1124ABD ABC S S == ，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，故11,CC CD CC BC ⊥⊥，所以在1Rt CC D △中，112CC AA ==，2211117442C D CC CD =+=+=，在1Rt CC B △中，2211415BC CC BC =+=+=，所以在1BDC 中，22211115175144cos 2517517222BD C D BC BDC BD C D +-+-∠===⋅⨯⨯⨯，则211221sin 1cos 517BDC BDC ∠=-∠=⨯，故1111151722121sin 22224517BDC S BD C D BDC =⋅∠=⨯⨯⨯=⨯△，所以由11C ABD A BC D V V --=得111133ABD BC D S CC S h ⋅=⋅△△，即121244h ⨯=，解得22121h =，所以直线1AB 与平面1BC D 的距离为22121.19．航天员安全返回，中国航天再创辉煌！2023年6月4日，当地时间6时30分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好.这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功.飞行乘组在中国空间站组合体中度过了整整六个月的工作和生活，在太空见证了中国空间站正式建成的历史时刻.某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】(1)2人(2)平均数为71，中位数为2203(3)1112【分析】（1）由各个矩形面积和为1列方程求出a 的值，再利用分层抽样的定义求解即可；（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（3）利用独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由()0.0050.010.0150.0150.025101a +++++⨯=，得0.03a =，因为0.011020020⨯⨯=（人），0.0151020030⨯⨯=（人）．所以不高于50分的抽20522030⨯=+（人）；（2）平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为在[]4070，内共有80人，则中位数位于[]7080，内，则中位数为202207010603+⨯=（3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A ()()1111113412P A P A =-=-⨯=答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为1112．20．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件；4a =，222sin sin sin sin sin A B C B C +=+．（I ）求角A 的值；（Ⅱ）求2b c -的范围．【答案】（I ）3π；（Ⅱ）()4,8-.【分析】（I ）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理可得解；（Ⅱ）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数恒等变换公式化简28sin 6b c B π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求值域即可得解.【详解】（I ）由222sin sin sin sin sin A B C B C +=+，利用正弦定理可得222a bc b c +=+，即222bc b c a =+-故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又(0,)A π∈，3A π∴=（Ⅱ）4a = ，3A π=，利用正弦定理483sin sin sin 332a b c A B C ====故83sin 3b B =，8383sin sin()333c C B π==+8383163833122sin sin()sin cos +sin 3333322b c B B B B B π⎛⎫∴-=⨯-+=- ⎪ ⎪⎝⎭16343sin 4cos sin 43sin 4cos 8sin 336B B B B B B π⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭在ABC 中，3A π=，故203B π<<662B πππ∴-<-<，1sin 126B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，48sin 86B π⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭所以2b c -的范围是()4,8-【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，求最值可以将“边化角”利用三角函数思想求值域，考查学生的转化能力与运算能力，属于较难题.21．某中学的高二（1）班有男同学45名、女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到实验数据为68、70、71、72、74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69、70、70、72、74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．【答案】(1)115；3男1女(2)12(3)平均数均为71，第一个学生方差4，第二个学生方差3.2，因此第二个同学更稳定【分析】（1）根据随机抽样的定义可求得概率，再结合分层抽样的定义即可求解课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可；（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解.【详解】（1）某同学被抽到的概率为41451515=+，课外兴趣小组中男同学的人数为44534515⨯=+，课外兴趣小组中女同学的人数为41514515⨯=+.（2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有：12(,)a a ，13(,)a a ，1(,)a b ，21(,)a a ，23(,)a a ，2(,)a b ，31(,)a a ，32(,)a a ，3(,)a b ，1(,)b a ，2(,)b a ，3(,)b a 共12种，其中恰有一名女同学的有6种，所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==.（3）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++==2222221(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45s -+-+-+-+-==，2222222(6971)(7071)(7071)(7271)(7471) 3.25s -+-+-+-+-==因2212s s >，所以第二位同学的实验更稳定.22．如图，在梯形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝DC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点.将ADM △沿DM 翻折至PDM △，连接PC ，PB ．(1)证明：DM ⊥PC .(2)若二面角P －DM －C 的大小为60°，求PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3714【分析】（1）连接AC ，交DM 于点O ，连接PO ，根据线段长度关系可得四边形AMCD 为菱形，从而得到DM ⊥AC ，再根据等腰三角形证明DM ⊥PO 即可证明DM ⊥平面PCO ，从而得到DM ⊥PC .（2）以O 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再由（1）可得∠POC ＝60°，进而得到PB，再根据线面角的向量求法求解即可【详解】（1）证明：连接AC ，交DM 于点O ，连接PO .因为AB ＝4，AD ＝DC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点，所以AM ＝AD ＝CD .又四边形ABCD 为梯形，则四边形AMCD 为菱形，所以DM ⊥AC .又PD ＝PM ，O 是DM 的中点，所以DM ⊥PO .因为AC ⊂平面PCO ，PO ⊂平面PCO ，AC ∩PO ＝O ，所以DM ⊥平面PCO 又PC ⊂平面PCO ，所以DM ⊥PC.（2）以O 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为二面角P －DM －C 的大小为60°，由（1）DM ⊥平面PCO ，所以∠POC ＝60°，易得∠BAD ＝60°，则3333(2,3,0),0,,,2,,2222B P PB ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =，设PB 与平面ABCD 所成的角为α，则3372sin|cos,|147PB mα===u ruur，即PB与平面ABCD所成角的正弦值为3714。
河北省唐山市中学校高一数学文下学期期末试卷含解析
河北省唐山市中学校高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：A. 100B. 80C. 60D. 40参考答案：A【分析】根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．【详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知函数，则不等式的解集为()A. (－4,1)B. (－1,4)C. (1,4)D. (0,4)参考答案：B【分析】先判断函数的单调性，把转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.3. （5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：常规题型．分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．解答：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．点评：本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．4. 已知等差数列的前n项和为等于（）A．144 B．72 C．54D．36参考答案：B5. 已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A 在点M与点B之间。
河北省唐山市高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
河北省唐山市2016—2017学年高一数学下学期期末考试试题(扫描版)唐山市2016～2017学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：A卷：BBDCA ACDCB ACB卷：BCDB A ACDDB AC二、填空题:(13）0。
75 (14）8 (15)－6或3 （16）8三、解答题：(17)解：(Ⅰ）由正弦定理可得, 错误!＝错误!＝错误!，所以tan A＝错误!．因为A为三角形的内角，所以A＝错误!．…5分（Ⅱ）a＝2错误!，A＝错误!，B＝错误!，由正弦定理得，b＝错误!＝2错误!．…10分(18）解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件, 则从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个,共包含以下基本事件：(79，75），(79，83）,（79，84)，(79,91），(79，92)，(82，75)，（82，83），（82，84)，(82，91），（82,92)，（85，75）,（85，83),(85，84),(85,91)，(85，92)，（88，75）,(88,83），(88，84）,(88，91）,(88，92），(91,75),(91，83），（91，84），（91，91),(91，92），基本事件总数n＝25,…3分设“甲的成绩比乙的成绩高"为事件A，则事件A包含以下基本事件：(79，75)，（82，75)，(85,75)，(85，83)，(85，84），（88，75），（88，83），（88，84），（91，75)，(91,83)，（91,84），事件A包含的基本事件数m＝11,所以P(A）＝错误!＝错误!．…6分（Ⅱ)错误!甲＝错误!(79＋82＋85＋88＋91）＝85;错误!乙＝错误!（75＋83＋84＋91＋92）＝85…8分甲得分的方差s错误!＝错误![（79－85）2＋(82－85）2＋(85－85)2＋(88－85)2＋（91－85）2)]＝18；乙得分的方差s错误!＝错误!［（75－85）2＋(83－85）2＋（84－85)2＋（91－85)2＋(92－85)2）］＝38．…10分从计算结果看，x，－甲＝错误!乙,s错误!＜s错误!，所以甲、乙两位运动员平均水平相当，甲运动员比乙运动员发挥稳定．…12分(19）解：（Ⅰ)设等比数列｛a n｝的公比为q，∵a2＝6，a3＋a4＝72，∴6q＋6q2＝72,即q2＋q－12＝0,∴q＝3或q＝－4．又∵a n＞0,∴q＞0,∴q＝3，a1＝错误!＝2．…4分∴a n＝a1q n－1＝2×3n－1（n∈N＊）。
河北省唐山市开滦一中高一数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市开滦一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（）A．B．C．D．2．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名3．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．4．袋中有红色、黄色、绿色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）A．B．C．D．5．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在6．数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n﹣1 B．2n﹣1﹣1 C．2n+1 D．4n﹣17．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值X围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣8．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．对于函数f（x）=（0＜x＜π），下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．都有 D．既无最大也无最小10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．11．在△ABC中，如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2，则△ABC是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）=1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1 D．ab有最小值2（+1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横13．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么系数a的值为．14．△ABC中，﹣﹣=．15．数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n+1，则它的通项公式是．16．等比数列{a n}的公比为q，其前n项积为T n，并且满足条件，给出下列结论：①0＜q＜1；②a99a101﹣1＜0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是．三.解答题17．已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x﹣y+3=0，对角线的交点是（3，4），求其他两边所在直线的方程．18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．19．某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：第一批次第二批次第三批次女教师86 x y男教师94 66 z已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．（Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1：60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．20．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE．21．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．22．设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}的公比为f（t），作数列{b n}，使，求数列{b n}的通项b n；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1．附加题：（本题5分）．23．设a＞b＞0，则a2++的最小值是．2015-2016学年某某省某某市开滦一中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】根据已知中从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，由C62种结果，及列举出满足条件两个数都是偶数的基本事件个数，代入概率公式，即可得到答案．【解答】解：从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，共有C62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有（2，4），（2，6），（4，6）共3种情况不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率P==故选D．2．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名【考点】分层抽样方法．【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取120×=40名．故选C．3．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．4．袋中有红色、黄色、绿色球各1个，每次任取1个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意，先记“所取球的颜色全相同”为事件A，由分步计数原理计算可得有放回地抽取三次全部基本事件数目，事件A包含的基本事件数目，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：根据题意，记“所取球的颜色全相同”为事件A，将袋中的球有放回地抽取三次，每次有3种可能，则共有3×3×3=27种可能，即27个基本事件；事件A是所取球的颜色全相同包含3个基本事件，P（A）==；故选：B．5．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在【考点】基本不等式；直线的两点式方程．【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值．【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率k AB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3．∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）．故选B．6．数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n﹣1 B．2n﹣1﹣1 C．2n+1 D．4n﹣1【考点】等差数列的通项公式．【分析】a n是等比数列{a n﹣a n﹣1}的前n项和，利用等比数列的前n项公式可得a n．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1==2n﹣1故选A．7．设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值X围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【考点】直线的斜率．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k PB或 k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，求出直线l的斜率k的取值X围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥k PB或 k≤k PA，即 k≥=，或 k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值X围是k≥或k≤﹣4．故选A．8．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划的应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．9．对于函数f（x）=（0＜x＜π），下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．都有 D．既无最大也无最小【考点】三角函数的最值．【分析】根据题意结合复合函数求导数的公式可得f′（x）=，结合自变量x 的X围讨论函数的单调性，进而得到函数的最值，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：函数，所以f′（x）=．所以当时，f′（x）＜0，即此时函数减函数，当时，f′（x）＞0，即此时函数增函数，所以当x=时，函数f（x）有最小值为2，因为0＜x＜π，死函数没有最大值．故选B．10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．11．在△ABC中，如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2，则△ABC是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形【考点】正弦定理．【分析】分析：先通过合并同类项和辅角公式求得sin（A+）=sin（B+）=1，确定角A、B的值，从而确定三角形的形状．【解答】解：：∵sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinA（sinB+cosB）+cosA（sinB+cosB）=（sinB+cosB）（sinA+cosA）=sin（A+）sin（B+）=2sin（A+）sin（B+）=2，∴，∴A=B=，C=，∴△ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．12．设a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）=1，那么（）A．a+b有最小值2（+1）B．a+b有最大值C．ab有最大值+1 D．ab有最小值2（+1）【考点】基本不等式．【分析】由a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）=1，利用基本不等式可得1+a+b=ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得即可．【解答】解：∵a＞1，b＞1且ab﹣（a+b）=1，∴1+a+b=ab，化为（a+b）2﹣4（a+b）﹣4≥0，解得．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中横13．如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么系数a的值为﹣6 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3∴a=﹣6故答案为：﹣614．△ABC中，﹣﹣= 0 ．【考点】正弦定理．【分析】直接利用正弦定理，求出表达式的值即可．【解答】解：由正弦定理==，所以﹣﹣=0故答案为：015．数列{a n}的前n项和S n=3n2﹣2n+1，则它的通项公式是．【考点】等差数列的通项公式．【分析】先求出首项；再利用第n项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1求出数列{a n}的通项；再判断首项能否合并到n≥2中去．【解答】解：∵S n=3n2﹣2n+1∴当n=1时，a1=2当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n2﹣2n+1﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+1]=6n﹣5n=1时不能合到n≥2故答案为16．等比数列{a n}的公比为q，其前n项积为T n，并且满足条件，给出下列结论：①0＜q＜1；②a99a101﹣1＜0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198．其中正确的结论是①②④．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确；利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确；利用等比数列的性质判断出③错误；利用等比数列的性质判断出④正确【解答】解：①中（a99﹣1）（a100﹣1）＜0，a1＞1，a99a100＞1，⇒a99＞1，0＜a100＜1⇒q=∈（0，1），∴①正确．②中a99a101=a1002＜a100＜1⇒a99a101＜1，∴②正确．③中T100=T99•a100，0＜a100＜1⇒T100＜T99，∴③错误．④中T198=a1•a2…a198=（a1•a198）（a2•a197）…（a99•a100）=（a99•a100）99＞1，T199=a1•a2…a199=（a1•a199）（a2•a198）…（a99•a101）a100＜1，∴④正确．答案：①②④三.解答题17．已知平行四边形两边所在直线的方程为x+y+2=0和3x﹣y+3=0，对角线的交点是（3，4），求其他两边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立两直线求得交点坐标，由中点坐标公式求得另外两边所过定点，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：联立，得两直线交点为P（），设P（）关于（3，4）的对称点为Q（x，y），由中点坐标公式得：，解得：Q（），∴与x+y+2=0平行的一边所在直线方程为：y﹣，即x+y﹣16=0；与3x﹣y+3=0平行的一边所在直线方程为：y﹣，即3x﹣y﹣13=0．18．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．（1）求{a n}的通项公式．（2）若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出a n=2n﹣12．（2）由等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，求出q===﹣3，由此能求出{b n}的前n项和公式．【解答】解：（1）∵{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0，∴，解得a1=﹣10，d=2，∴a n=﹣10+（n﹣1）×2=2n﹣12．（2）∵等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3=﹣10﹣8﹣6=﹣24，∴q===﹣3，∴{b n}的前n项和公式：S n==2﹣2（﹣3）n．19．某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：第一批次第二批次第三批次女教师86 x y男教师94 66 z已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1．（Ⅰ）求x，y，z的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1：60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；简单随机抽样；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）人数=总数×频率，可得x，y，再由总和减去其它可得z；（Ⅱ）由三个批次的人数分别乘以比例，即可得被抽的人数；（Ⅲ）记第一批次选取的三个教师设为A1，A2，A3，第二批次的教师为B1，B2，第三批次的教师设为C，列举可得总的基本事件数，数出符合条件的基本事件数，由概率公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得x=360×0.15=54，y=360×0.1=36，z=360﹣86﹣54﹣36﹣94﹣66=24﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180，120，60，乘以可得3，2，1，所以被选取的人数分别为3，2，1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为A1，A2，A3，第二批次的教师为B1，B2，第三批次的教师设为C，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为Ω={A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C}共15个﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中“来自两个批次”的事件包括Ω1={A1B1，A1B2，A1C，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1C，B2C}共11个，﹣﹣﹣所以“来自两个批次”的概率．﹣﹣﹣﹣﹣20．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）根据图中各角和边的关系可得∠CBE的值，再由两角差的余弦公式可得答案．（2）根据正弦定理可直接得到答案．【解答】解：．（1）∵∠BCD=90°+60°=150°，CB=AC=CD∴∠CBE=15°，∴．（2）在△ABE中，AB=2，由正弦定理得，故．21．如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的X围确定三角形面积的最大值．【解答】解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°﹣θ，∴∠OCP=120°．在△POC中，由正弦定理得=，∴=，所以CP=sinθ．又=，∴OC=sin（60°﹣θ）．因此△POC的面积为S（θ）=CP•OCsin120°=•sinθ•sin（60°﹣θ）×=sinθsin（60°﹣θ）=sinθ（cosθ﹣sinθ）=（sinθcosθ﹣sin2θ）=（sin2θ+cos2θ﹣）= [cos（2θ﹣60°）﹣]，θ∈（0°，60°）．所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为．22．设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式：3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）设数列{a n}的公比为f（t），作数列{b n}，使，求数列{b n}的通项b n；（3）求和：b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）通过3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t与3tS n﹣1﹣（2t+3）S n﹣2=3t作差、整理得（n=2，3，…），进而可得结论；（2）通过（1）可知b n=f+b n﹣1，即数列{b n}是一个首项为1、公差为的等差数列，进而即得结论；（3）通过b n=可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和、公差均为的等差数列，并项取公因式，计算即得结论．【解答】（1）证明：∵a1=S1=1，S2=1+a2，∴a2=又3tS n﹣（2t+3）S n﹣1=3t ①∴3tS n﹣1﹣（2t+3）S n﹣2=3t ②①﹣②得：3ta n﹣（2t+3）a n﹣1=0，∴，（n=2，3，…）∴{a n}是一个首项为1、公比为的等比数列；（2）解：∵f（t）=，∴b n=f+b n﹣1．∴数列{b n}是一个首项为1、公差为的等差数列．∴b n=1+（n﹣1）=；（3）解：∵b n=，∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2n b2n+1=b2（b1﹣b3）+b4（b3﹣b5）+b6（b5﹣b7）+…+b2n（b2n﹣1+b2n+1）=﹣（b2+b4+…+b2n）=﹣=﹣（2n2+3n）．附加题：（本题5分）．23．设a＞b＞0，则a2++的最小值是 4 ．【考点】基本不等式．【分析】变形可得a2++=ab++a（a﹣b）+，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2++=a2﹣ab+ab++=ab++a（a﹣b）+≥2+2=4，当且仅当ab=且a（a﹣b）=即a=且b=时取等号．故答案为：4．。
河北唐山市高一下学期期末考试——数学(文)
唐山一中高一年级第二学期期末考试数学试卷（文）本试题分为第Ⅰ卷（1—2页，选择题）和第Ⅱ卷（3—8页，非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求。
1．设θ为第三象限角，则点M （sin θ，sec θ）在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．a ,b 为两个单位向量，则 （ ） A ．a =b B ．若a //b 则a =b C ．a ·b=1 D ．a 2=b 2 3．若a ,b ∈R ，两不等式a >b ，a 1>b1同时成立的充要条件是 （ ）A ．a >b >0B ．a >0>bC ．b 1<a1<0D ．a 1>b14．已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线， 设b a 则,,==等于（ ）A ．b a 3234+ B ．b a 3432+C ．b a 3232-D ．b a 3232+-5．用max{a 1，a 2，…，a n }表示数集{a 1，a 2，…，a n }中最大的数，则当a >0，b >0，且a ≠b时，}112,2,,2max{22ba b a ab b a +++等于（ ）A ．222b a +B ．abC ．2ba + D ．ba 112+6．若αβαβαβtan )tan()2sin(4sin 3m =++=与同时成立，则m 的值可以是（ ）A ．2B ．71-C ．－7D ．34 7．已知不等式)1(,2)(),5,2(022f qx px x f q px x 则的解集为++=<++等于 （ ）A ．19B ．3C ．17D ．58．将函数)42sin(2π+=x y 图象上所有的点横坐标变为原来的λ倍（纵坐标不变），再按a 平移得到函数x y cos 2=的图象，则λ与a 可以是（ ）A ．)0,4(,2πλ-==aB ．)0,8(,2πλ-==aC ．)0,8(,21πλ-==a D ．)0,4(,21πλ==a 9．ba b a b a 41,14,0,0+=+>>则最小值为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2010．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为3，若f (1)=1，tan α=2，则f (20sin αcos α)的值为 （ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 11．若∈<<=+απαααα则,20,tan cos sin（ ）A ．)6,0(π B ．)4,6(ππC ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 12．向量a =(1,1),b =(1,－1),c =(2cos α，2sin α)，α∈R ，实数m 、n 满足m a +n b =c ，则(m －3)2+n 2的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．16第Ⅱ卷（共10小题，共90分）注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
河北省唐山市滦县第一中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试题含解析
河北省唐山市滦县第一中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列命题：①第一象限的角是锐角．②正切函数在定义域内是增函数．③．正确的个数是（）A解答：解：①因为锐角的范围是0°＜θ＜90°．而第一象限角的范围是k360°＜θ＜k ＜360°+90°，∈z，所以①错误．②正切函数的单调增区间为，但在整个定义域上，正切函数不单调，所以②错误．③根据反三角函数的定义可知，函数y=arcsinx的定义域为（﹣1，1）．因为，所以③错误．故正确的个数是0个．故选A．A．{x|x≥3或x≤﹣1} B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}参考答案：C【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解答】解：不等式（x+3）（1﹣x）≥0化为（x+3）（x﹣1）≤0，∴﹣3≤x≤1．∴不等式的解集为{x|﹣3≤x≤1}．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．3. 设集合，则满足条件的集合的个数是（）A.1B.3C.2D.4参考答案：D4. 已知，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：B5. 已知角α是第二象限角，且，则cosα=（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=﹣，代值计算可得．【解答】解：∵角α是第二象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，故选：A6. 在中，若，，，则为（）．A．B．或C．D．或参考答案：B【考点】HP：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．【解答】解：由正弦定理可知，∴，∵，∴或．故选．7. 已知，则的值为（）A． B． C．0 D．1参考答案：D略8. .已知向量满足，，则( )A. (4,4)B. (2,4)C. (2,2)D. (3,2)参考答案：A【分析】利用向量坐标运算的加法法则求解即可.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查向量加法的坐标运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9. 已知向量，若∥，则=（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，1）参考答案：B【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先根据向量的平行求出x的值，再根据向量的加法运算求出答案．【解答】解：∵向量，∥，∴2×（﹣2）=x，解得x=﹣4，∴=（2，1）+（﹣4，﹣2）=（﹣2，﹣1），故选：B．【点评】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．10. 已知等比数列的公比为正数，且，，则A． B． C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知扇形AOB的周长是6cm，其圆心角是1弧度，该扇形的面积为_____.参考答案：略12. 已知函数，若，则实数的值等于_________参考答案：13. 函数是幂函数，且当时是减函数，则函数______________.参考答案：略14. cos240°的值等于．参考答案：﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】将240°表示成180°+60°，再由诱导公式化简，再由特殊角的三角函数值求值．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号，属于基础题．15. 在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，∴所求概率P==故答案为：16. 等边△ABC的边长为1，记=， =， =，则?﹣﹣?等于．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】由正三角形可知两两向量夹角都是120°，代入数量积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴中任意两向量的夹角都是120°．∴=1×1×cos120°=﹣．∴?﹣﹣?=﹣=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量夹角的判断，属于基础题．17. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的周长为7,面积为，，则c=__________．参考答案：3【详解】分析：由题可知，中已知，面积公式选用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.详解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案为3.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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开滦一中2015—2016学年度第二学期高一年级期末考试（数学文）试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1.从1,2,3,4,5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 452. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件、80件、60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．133. 若221xy+=，则x ＋y 的取值范围是( )A. [0,2]B. [－2,0]C. [－2，＋∞)D. (－∞，－2]4.在等差数列{}n a 中，已知4a ＝7，36a a +＝16，则公差d 为（ ） A ．-2 B ．2C ．4D ．-45.不等式2x ＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)6. 已知{n a }为等比数列，47a a +＝2，56a a ＝－8，则110a a +( )A. 7B. 5C. －5D. －77. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ) A. 1 B. 23 C. 1321 D. 6109878. 设(11,x y )，(22,x y )，…，(,n n x y )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是( )A. x 和y 正相关B. x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（第8题） （第7题） C. x 和y 的相关系数在－1到0之间D. 当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 9.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )A. 32B. 23 C. 43 D. 3410.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asinB ＝3b ，则角A 等于( )A. π12B. π6C. π4D. π311.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A. π4B. π－22C. π6D. 4－π412.已知等比数列{n a }中，各项都是正数，且1a ，312a ,22a 成等差数列，则91078a a a a ++＝( )A. 1＋ 2B. 1－ 2C. 3＋2 2D. 3－2 2二、填空题（每题5分，共20分）13. 某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为_______.14.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为______15．在等差数列{n a }中，n a >0，且12310......a a a a ++++＝30，则56a a 的最大值是______．16. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是_____开滦一中2015—2016学年度第二学期高一年级期中考试（数学文）试卷二．填空题：.每小题5分，共20分.将答案直接填在题中横线上。
13．____ ；14．____ ；15．_____ ； 16．_____．三．解答题本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明．演算步骤或证明过程。
） 17．（本小题满分10分）设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4s ＝8，8s＝20，求此等差数列的首项1a 和公差d18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，4cos 5B =（Ⅰ）若3b =，求sin A 的值； （Ⅱ）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，求b ，c 的值19．（本小题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80，101i i y =∑＝20，101i i i x y =∑＝184，1021i i x =∑＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，其中x ，y 为样本平均值．b ＝1221niii nii x ynx y xnx==--∑∑，a ＝y －b x ，.20. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin Asin C 的值．21. （本小题满分12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：(Ⅰ)求参加数学抽测的人数n 、抽测成绩的中位数及分数分别在[80,90)，[90,100]内的人数； (Ⅱ)若从分数在[80,100]内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在[90,100]内的概率．22．（本小题满分12分）已知正项数列{n a }，其前n 项和n S 满足2632n n n S a a =++，且1a ，2a ，6a 是等比数列{n b }的前三项．(1)求数列{n a }与{n b }的通项公式；(2)记n T ＝11a b ＋22a b ＋…＋n n a b ，n ∈N*，求n T1-12 BDDBD DCCCD DC 13 : 8 14 .91015. 9 16 .50 17: 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S 44＝2S 88＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋32d ＝2a 1＋72d ＝52，解得d ＝14，a 1＝138，18: （1）sin sin a b A B =得233sin 5A = sin A =25（2）13,5b c ==19: [解] (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1xi ＝8010＝8，y ＝1n ∑n i ＝1yi ＝2010＝2，又∑n i ＝1x2i－n x 2＝720－10×82＝80，∑ni ＝1xiyi －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝1nxiyi －n xy∑i ＝1nx2i －n x 2＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20: (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，(4分) 所以cos B ＝12.(2)法一：由已知b2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin2B ＝sin Asin C ， (9分) 所以sin Asin C ＝1－cos 2B ＝34.(12分) 法二：由已知b2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a2＋c2＋b22ac ＝a2＋c2－ac 2ac ＝12，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin Asin C ＝34. (12分)21: [解] (Ⅰ)分数在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在[90,100]内同样有2人．由2n ＝10×0.008，得n ＝25， 茎叶图可知抽测成线的中位数为73.∴分数在[80,90)之间的人数为25－(2＋7＋10＋2)＝4参加数学竞赛人数n ＝25，中位数为73，分数在[80,90)、[90,100]内的人数分别为4人、2人． (Ⅱ)设“在[80,100]内的学生中任选两人，恰好有一人分数在[90,100]内”为事件M ，将[80,90)内的4人编号为为a ，b ，c ，d ；[90,100]内的2人编号为A ，B在[80,100]内的任取两人的基本事件为：ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，bc ，bd ，bA ，bB ，cd ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB 共15个，其中，恰好有一人分数在[90,100]内的基本事件有aA ，aB ，bA ，bB ，cA ，cB ，dA ，dB ，共8个．故所求的概率得P(M)＝815答：恰好有一人分数在[90,100]内的概率为815.22[解] (1)∵6Sn ＝a2n ＋3an ＋2，①∴6a1＝a21＋3a1＋2，解得a1＝1或a1＝2. 又6Sn －1＝a2n －1＋3a n －1＋2(n≥2)，②由①－②，得6an ＝(a2n －a2n －1)＋3(an －an －1)， 即(an ＋an －1)(an －an －1－3)＝0. ∵an ＋an －1＞0，∴an －an －1＝3(n≥2)．当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2； 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ∴a1＝1.∴an ＝3n －2，bn ＝14n -.(2)错位相减 1(1)4nn T n =+-。