高三数学复习教案第六章《不等式》(新人教版必修5)1

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高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

人教课标版高中数学必修五《不等式_章节复习》教案(1)-新版

不等式章末复习一：知识脉络：1．不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．2．一元二次不等式的求解方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m ＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．3．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数，当B ＞0时，①Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的区域；②Ax ＋By ＋C ＜0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域．4．求目标函数最优解的两种方法(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．二：典型例题：例1(1)解不等式：21212x x -<+-≤；(2)解不等式()112a x x ->-(a ≠1)．解：(1)原不等式等价于22211212x x x x ⎧+->-⎪⎨+-≤⎪⎩ 即2220.....................230................①②x x x x ⎧+>⎪⎨+-≤⎪⎩ 由①得x (x ＋2)＞0，所以x ＜－2或x ＞0；由②得()()310x x +-≤，所以－3≤x ≤1.将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．求其交集得原不等式的解集为{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}．(2)原不等式可化为()1102a x x -->-，即()()2101a a x x a -⎛⎫-->* ⎪-⎝⎭， ①当a ＞1时，(*)式即为()2101a x x a -⎛⎫--> ⎪-⎝⎭，而22011a a a a ---=<--，所以221a a -<-，此时x ＞2或21a x a -<-. ②当a ＜1时，(*)式即为()2101a x x a -⎛⎫--< ⎪-⎝⎭，而2211a a a a --=--. 若0＜a ＜1，则221a a ->-，此时221a x a -<<-；若a ＝0，则()220x -<，此时无解；若a ＜0，则221a a -<-，此时221a x a -<<-. 综上所述，当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜a －2a －1或x ＞2；当0＜a ＜1时，不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭；当a ＝0时，不等式的解集为∅；当a ＜0时，不等式的解集为2|21a x x a -⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭. 例2.设不等式2220x ax a -+++≤的解集为M ，[]1,4M ⊆，求a 的取值范围解：分离自变量与参变量得()22221220x ax a x a x -+++=-+=≤，故错误！未找到引用源。

人教版高中数学《不等式》全部教案

第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。

过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称（例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二已知x 0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x )1(24++x x 22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三比较大小1．231-和10 解：∵23231+=-∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<10 2．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a bm a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小解：241y x -= 22y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin与sin2的大小(0<<2) 略解：2sin sin2=2sin (1cos )当(0,)时2sin (1cos )≥0 2sin ≥sin2当(,2)时2sin (1cos )<0 2sin <sin23．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时教材：不等式基本性质（续完）目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。

人教A版高中数学必修五复习教案第六章不等式新人教(6)

第六教时教材：不等式证明一（比较法）目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：一、复习：1．不等式的一个等价命题2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论二、作差法：（P13—14）1．求证：x 2 + 3 > 3x证：∵(x 2 + 3) - 3x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x∴x 2 + 3 > 3x2．已知a , b , m 都是正数，并且a ++证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a a 2b 3 + a 3b 2 证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3) = (a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2)∵a , b 都是正数，∴a + b , a 2 + ab + b 2 > 0又∵a ≠ b ，∴(a - b )2 > 0 ∴(a + b )(a - b )2(a 2 + ab + b 2) > 0 即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 24．甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则：21122,22t nSm S S n tm t =+=+ 可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+=∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2 从而：甲先到到达指定地点。

高中数学不等式复习教案新人教版必修5

能应用基本不等式解决问题。

理解二元一次不等式（组）与平C. D.+a在平面直角坐标系中，成的平面区域，其做法分两步：）时，不等式课堂小结精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

不等式复习教案新人教A版必修5

第三讲不等式一、核心要点1、不等式的性质(1)不等式的基本性质：(同向不等式可加不可减，可乘不可除) (尽量减少加和乘的次数)A、对称性：a . b：= b ：：：a ；B、传递性：a . b,b . c：= a . c；C、可加性：a .b：=a・c.b・c ；D 可乘性：a . b, c 0= ac . bc; a b,c：：：0：= ac ::: bc ；E、加法法则：a b,c a c b d；F、乘法法则：a • b . 0,c . d . 0 = ac . bd ;G 乘方法则：a b 0= a n b n( n N, n_ 2);H、开方法则：a b O= ：a ■n b (n N , n _ 2).(2)比较两数或两式的大小方法：(作差法步骤：作差一变形一一定号)A、作差法：对于任意a,b，① a -b 0：= a b :② a -b 二0= a =b :③ a -b ：：0= a ：：b ；a a aB、作商法：设a 0, b . 0 ,则① 1 ：= a • b •，② a = b :③• 1 a ：：： b .b b b备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧；备注2:对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：a3-b3二(a -b)(a2 ab b2)；平方和公式：a3b3 = (a b)(a2 - ab b2).2、不等式的解法；(1 )一元二次不等式ax bx c 0(a 0)及ax bx 0(a - 0)的解法：(a ：：：0 转化为a 0)A、若方程ax2bx 0的二0且两实根分别为％,x2(x^：x2)，则不等式ax2bx c 0的解集为｛x|x ：：捲或x - x2｝，不等式ax2bx c ::: 0的解集为｛x|x^：x x2｝；B、若方程ax2 bx ^0的厶-0且两相等实根分别为x^ x2，则不等式ax2 bx c 0的解集为｛x |x= x1｝，不等式ax2 bx c ：：：0的解集为「；C、若方程ax2bx ^0的: 0，则不等式ax2bx c 0的解集为R，不等式ax2bx 0的解集为「.(2)分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解(具体见模块) ；(3)高次不等式的解法：序轴标根法(过程见模块) ；(4)无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式(具体见模块) ；(5)绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法(具体见模块)3、基本不等式：如果a,b R，则——-ab (当且仅当a = b时取“=”)(一正二定三相等)21a b(1)特例：a 0, a ・一_2 ；2 ( a,b 同号)•ab a⑵变形：① a 2b 2_(a b)2弋 ab ^2『‘③ ab J a b)2；2 2 2（3）扩展：2兰Uab 乞 _ <Ja +b（a,^ R ）1 +12 \ 2 a b4、均值定理：已知x, R +2（1）如果x y =S （定值），则xy 乞（彳y）^—（当且仅当X = y 时取“=”）“和定积最大”2 4（2）如果xy =P （定值），贝U x • y _2「xy = 2... P （当且仅当x = y 时取“二”）“积定和最小” 5、判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法一“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点. 6、线性规划中常见代数式的几何意义：（1） . x 2y 2表示点（x,y ）与原点（0,0）之间的距离；（2） ... （x-a ）（y -b ）表示点（x, y ）与点（a,b ）之间的距离; （3） y表示点（x, y ）与原点（0,0）连线的斜率；x （4） yb 表示点（x,y ）与点（a,b ）连线的斜率.x-a二、考点突破考点一：不等式的基本性质: 题型一：不等式的性质：例1、如果a, b, c 满足c ::: b ::: a 且ac ：：： 0 ,那么下列选项中不一定成立的是（）练1：设0 ：：： b ：：： a ：：： 1，则下列不等式成立的是（）baA 、ab :: b ：： 1B log 1 b log 1 a ： 0C 2 : 2 :: 22 2练2：已知a,b,m R •，并且a ::b ，那么一定成立的是（）Aam a… am a^a —maA 、BCb m bb m b b-mb题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若a, b 0且a = b ，试比较a 3b 3与a 2b ' ab 2的大小. 解：由于(a3b 3) _(a 2b ab 2) = (a b)(a 2 —ab b 2) 一 ab(a b) = (a b)(a 2 一 2ab b 2) = (a b)(a 一 b)2又 a,b .0且 a b ，所以(a b)(a -b)20，所以 a 3 b 3 a 2b ab 2.（备注：调和 < 几何空算术空平方）A 、 ab acB c(b - a) 0C cb 2 :: ab2D 、ac(a-c)：：0D 、 a 2：： ab ：： 1练3：若x ::: y ::: 0,试比较(x2• y2)(x-y)与(x2 -y2)(x • y)的大小.答案：(x2 y2)(x -y) -(x2 -y2)(x y)二(x2 y2)(x - y) -(x- y)(x y)2二-2xy(x - y)由于x ：：： y ::: 0，所以x - y ::: 0且-2xy ：：： 0 ,故一2xy(x - y) . 0，所以(x2 y2)(x _ y) (x2 - y2)(x y).练习4：设a 0, b 0且a ^b，试比较a a b b与a b b a的大小.a b a&b b b b _a答案：一b a = (—) (_)(—)，因为a 0,b 0 且a = b .a b b a a若a b，0 ：：：b：：：1,b—a ：：：0 ,所以(b)b」1，故a a b b- a b b a；a a若a ::: b，b 1,b -a 0，所以(b)b-a1，故a a b b- a b b a.a a综上所述，a a b b a b b a.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、( 10 辽宁理)已知-1 ：：：x • y ::: 4 且2 ：：： x - y ：：： 3，则z = 2x -3y 的取值范围是(3,8)a ■b = 2 1 5解析：令z =2x -3y =a(x • y) • b(x- y)，得，解得a ,b =，a -b - -3 2 21 5即z = 2x -3y = (x y)八一(x - y).2 21 1 5 15由-1 ：： x y ::: 4,2 ：： x - y ：： 3，得- 2 (x y) ,5 (x - y) ，2 2 2 2所以3 ：：：2x -3y ：：：8，故z =2x-3y的取值范围是(3,8).练习1 :已知1 < a b < 2且2 ::: a -b ■ 4，求2a - 3b的取值范围x + y = 2解析：设2a +3b =x(a +b) + y(a -b) =(x + y)a +(x- y)b，所以丿，解得*、x-y = 3 ” 5 x =—215 5 1 15 1 1所以—_（a b） :：: 5, -2 ：：： - （a —b）：：： -1 .所以一一（a b） - （a —b）：：： 4 ,即:：:2a 3b ：：： 4 ,所以22 2 2 2 2 212a 3b的取值范围是（，4）.2练习2：设f (x) =ax2• bx，且1 _ f(_1) _2,2 _ f (1) _4，求f (-2)的取值范围."m + n =4于是得丿，得m=3, n=1.所以f (―2) =3f (—1)+ f(1).因为1< f(—1)兰2,2 兰f(1)兰4 , m - n = 2所以5 E3f (-1) f(1)叮0，故5< f (-2)乞10 .x 2x3练习3：（10江苏）设x,y为实数，满足3乞xy2乞8,4 9，则飞的最大值是. 27y y3 2设x4 =(xy2)m (X )n，y y 化简得3x m 2n 2m_n4二x y y「m + 2 n = 3 'm = -1』，得丿2m - n = -4 n = 25所以原不等式的解集为{x |x -1或x . 6}.2 2 2 1(2) 4x2—4x+1 兰 0，即(2x —1)2 兰 0 ,又方程(2x —1)2=0 的根为 x = ^.2 1 所以4x 2-4x • 1 _ 0的解集为{x | x }.2(3) 由-X 2• 7x 6，得 x 2-7x • 6 ：：： 0，而 x 2-7x • 6 = 0 的两个根是 x = 1 或 x = 6. 所以不等式x 2-7x 6 ：：： 0的解集为{x |1 ：：： x ：：： 6}. (4)原不等式可化为 x 2- 6x ：：：0，即(x-3)2：：： 0 ,所以不等式的解集为门. ［题后感悟］解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1) 通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2) 对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3) 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根. (4) 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5) 根据图象写出不等式的解集 . 练1:求下列不等式的解集： (1) -2x 23x 2 ：： 0 ； (2) -2x 2x -6 ：： 0 ；(3) 4x 2 4x 1 0 ；(4) x 225 乞 10x .3 23x4=(xy 2)4(x)2[2,27]，所以一4的最大值是27 .y yy考点二、一元二次不等式及其解法：题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（①（m 1）x 2「3x 1 ：：0 ； ③-x 25x 6 _0 ； A 、1B 2题型二：简单一元二次不等式的求解：例2、求下列一元二次不等式的解集：（1） x 2-5x 6 ；（3） - x 2 7x 6 ；x② 2 -x 2 ；④(x a)(x a 1) ：： 0.C 3(2) 4x 2- 4x 1 乞 0 ；2解：(1 )由 x 2-5x 6，得 x 2-5x -6 0.又方程 x 2-5x - 6 = 0 的两根是 x - -1 或 x = 6，练2：设集合A={x|(x-1)2：：：3x • 7}，则A Z中有 ______ 个元素.6练3：解下列不等式：(1)x22x -15 0 ； (2) x22x-1 ； ( 3) x2：：2x—2.(1 )当a 0时，x1 x2，不等式的解集为{x|-2a ：：： x ：：： a}.(2)当a = 0时，原不等式化为x2：：： 0，无解.(3)当a ::: 0时，x( ：：：x2，不等式的解集为｛x| a ：：：x ：：：-2a｝.综上所述，原不等式的解集为： a . 0时，｛x| _2a ：：：x ：：：a｝；a=0 时，：.：』；a ：：：0时，.练42 23 2(1)x -(a a )x a 0 ；(2) ax -2(a 1)x 4 0.答案：(1 )原不等式x2 _(a+a2)x+a3A O可化为(x — a)(x— a2) >0.①当a ：：：0时，a ：：：a2，所以原不等式的解集为｛x | x a或x - a2｝；②当a =0时，a = a2，所以原不等式的解集为｛x| x R,且x = 0｝；③当0：：：a：：：1时，a a2，所以原不等式的解集为｛x|x：：：a2或x a｝；④当a二1时，a=a2=1，所以原不等式的解集为｛x|x R,且x = 1｝；⑤当a >1时，，所以原不等式的解集为｛x|xca或x>a2｝.(2)I)当a = 0时，原不等式可化为-2x • 4 • 0 ,解得x ：：：2，所以原不等式的解集为｛x|x ：：：2｝；一2n)当a 0时，原不等式可化为(ax-2)(x-2) • 0 ,对应方程的两根为x1,x2=2.a2 2①当0 :：: a :：: 1时，2，所以原不等式的解集为｛x | x •或x ：：：2｝；a a2②当a =1时，2，所以原不等式的解集为｛x|x=2｝；a③当a A1时，2<2，所以原不等式的解集为｛x | x >2或xc 2｝.a a2 川)当a ：：：0时，原不等式可化为(-ax - 2)(x -2) ：：：0 ,对应方程的两根为人=2 , x2 = 2 ,a2又a < 0 ,所以原不等式的解集为｛x| x ：：：2｝.a练5：解不等式mx2-(m-2)x-2 0.2答案：mx -(m-2)x-2 0= (mx 2)(x -1) 0(1 )当m =0时，原不等式转化为2(x-1) 0，即x-1・0 ,得不等式的解集为｛x|x 1｝.2 2(2)当m・0时，将原不等式两边同时除以m可转化为(X，2 )(^1) 0，因为- 2：：：0：：：1，所以不等式的m m 、2解集为｛x | X…或x -1｝.m2(3)当m：：：0时，原不等式转化为(x )(x_1)：：：0, m①当m - -2时，解集为门;2 2②当—2：：：m：：：0时，一21，所以不等式的解集为｛x|1 ：：： x ：：： - 2｝；m m2 2③当m ：：：一2时，一2：::1，所以不等式的解集为｛x| - 2 :：: x :：: 1｝.m m考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：2例1、已知不等式ax (a -1)x a -1 ：：：0对于所有的实数x都成立，求实数a的取值范围解：若a = 0，则原不等式可化为-X 一1 ：：： 0，即x . 一1，不合题意，故a = 0 .令f (x)二ax2• (a -1)x a -1，因为原不等式对任意R都成立，所以二次函数 f (x)的图像在x轴的下方a c 0 1现(-1)<0，即|(a-1)(3a+1)>0，所以a<「，故(a的取值范围为练1：若关于x的不等式ax22x 2 ■ 0在R上恒成立，求实数a的取值范围答案：当a -0时，原不等式可化为2x +2 A0，其解集不为R，故a -0不满足题意，舍去；当a H0时，要使原不等式的解集为R，只需丿a>°2，解得a>丄.苫=2 —4x2ac0 21综上，所求实数a的取值范围为J；).练2：若关于x的不等式(a2 -1)x2 -(a-1)x-1 ：：：0在R上恒成立，求实数a的取值范围答案：(1 )当a2-1 =0，即a = 一1 时,①若a =1，则原不等式可化为-1 ：：：0，恒成立，1②若a = -1，则原不等式为2x -1 ：：： 0，即x —，不符合题目要求，舍去22(2 )当a -1 =0，即a -1时，原不等式的解集为3解得一■- a ::: 1厂3).a ：：：0 且厶=(a 一1)2R的条件是；2 -1^02 2=(a—1) 4(a 一［题后感悟］不等式恒成立问题方法总结：53综上所述，当… a ＜1时，原不等式的解为全体实数.5练3：若不等式(a-2)x2• 2(a -2)x-4 ：：： 0对x ・R 恒成立，求实数a 的取值范围答案：因为a =2时，原不等式为 —4＜：0，所以a = 2时成立.当a H 2时，由题意得＜ “°，即」苫＜0 2，解得—2 < a c2.4(a_2)2 _4(a_2)(a_4) <0综上两种情况可知 -2 ::: a 乞2.题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系:ax 2bx 0的解集为｛x | -1乞x 空2｝，求不等式 3 1 1c解：方法一：由 ax 2+bx +c 二0 的解集为｛x|—-Wx 兰2｝知 av0，又(一一斥 2=— c0，贝V c a 0 .3 3 a1 2,小b 5 b 5c 2 5 2 又…,2为方程ax ，bx ，c=0的两个根，所以…-，即 =…，又，所以b a, c a .3 a 3 a 3 a 3 332 2 5 2 2此时不等式变为 (- a)x •(- a)x a ：： 0，即 2ax 2 5ax -3a 0，又因为 a ：：： 0，所以 2x 2■ 5x -3 ：：： 0 .3 31所以所求不等式的解集为｛x | -3 ：：： x ：：：｝.21 b 1 c方法二：由已知得 a ：：： 0且(-)2 ,(- )2 知c 0.3 a 3 ab a设方程cx 2• bx • a = 0的两根分别为捲必，则捲• X2 ,捲冷：c c21所以不等式cx bx 0(c - 0)的解集为｛x | -3 ：：： x •: .2［题后感悟］方法总结： (1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知 a,b,c 之间的关系;1 1练4：已知不等式ax 2 bx 2 0的解集为｛x | x ｝，求2x 2bx 0的解集2 32 11 11 2答案：因为ax bx 2 0的解集为｛x| - ：:: x ：：：｝，所以-，是方程ax bx 0的两实根.例2、若不等式其中 —=c1 (J)21(-3)2 31223 2 3b 2a，解得丿 a所以 2x2bx a : 0 = 2x 2 -2x -12 ： 0= x 2 -x -6 ：： 0= (x -3)(x 2) ：： 0= -2 ：： x ：3.则不等式2x 2bx a ＜0的解集为｛x| 一2 ：：： x ：：： 3｝.由根与系数的关系得丄12 3 1 1x —题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，杀U 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速40km/h 的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了 •事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ,又知甲、乙两种车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/ h ）之间分别有如下关系2 2s 甲 =0.1x 0.01x , S z = 0.05x 0.005x .试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据.明甲车的车速超过 30km/h ，但根据题意刹车距离略超过 12m，由此估计甲车不会超过限速40km / h .对于乙车，有 0.05x+0.005x 2 >10，即 x 2+10x —2000 a 0.解得x 乞40或x £ -50（舍去）.这表明乙车的车速超过 40km/h ，超过规定限速 [题后感悟]（1）解不等式应用题，一般可按如下四步进行：① 阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ② 引进数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；③ 解不等式（或求函数最值）;[ ④ 回扣实际问题.考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法：题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式f(x) ；f(x) g(x) AO g(x) .g(x)式 0x —1例1、（12重庆理）不等式0的解集为（）2x+11 1 1 1A 、（-一,1]B [ ,1]C （-：：，） [1, ；）D （-：：， ] [1,；）222 2x —2练1:不等式1的解集是 .{x| x ：：： -2}x +2解析： -——>1= -— 一1 >0= ―— >0= x + 2 £ 0= x £ -2.x 2 x 2 x 2(1)仙 0= f(x) g(x) 0; g(x)(2) 3 ：： 0= f(x) g(xh ：：0 ;g(x)(3)f(x) g(x)EO g(x) =0(1)J f (x) a J g (x)二“g(x^0、f(x)>g(x)；(2) /f ^>g(x)二“f f(x) >0f (x) _ 0 或g(x)_02f(x) [g(x)]例3、解不等式.5-2x • x-1 •一心或n ：x —1 v0解I ：卜今，解n ： J[x <1X 仝2 x^1 ，即 XV1 或 1Exv2，所以 x c 2 ,-2 vx £2则原不等式的解集为{x|x £2}.解：移项 J 1 —x 兰卞3x —2，则*‘1-x^0 、3x_2》1_xX 」33 = , m ， x — 3 44x —2练4：不等式x 2+3x+2题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）X +1练2：不等式岂3的解集是解析:X 1亠x 1亠0= 5亠2X -1亠XXX X〔(2x-1)x" 门十 1」=x < 0或x>—-XH 02题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后 X 的系数为正）例 2、解不等式：（X 2）（x 1）（x _1）（x 一2）乞0解：设y =（x • 2）（x 1）（x _1）（x _2），则y = 0的根分别是_2,_1,1,2，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是 {x| -2乞x 乞-1,或1^x 乞2}.练3：（10全国n ）不等式x□ .0的解集为（ X -1A 、{x| x ：： -2或x 3}B 、{x | x ： -2 或 1 ：： x 3}C 、{x| -2 ::x :: 1 或x 3}D {x| -2 ： x :: 1 或1 ：： x 3}-0的解集是 (-2,-1) (2,：：){x | x ：： 0X解：原不等式等价于I ：练5：解不等式一1 -x -・3x-2岂0的解集.5-2x 一0 *x-130,3所以原不等式的解集为⑴/兀汀.练6：解不等式(1) ... 2x2 -3x 1 1 2x ； (2) .. 2x2—3x • 1 ：：： 1 • 2x.”2x2-3x +1 X0(2 )原不等式等价于<1+2x>0 u *2 22x2-3x +1 c(1 +2x)2x A1或X兰一21 1x>一一，即0 v x 兰一或x X 1,2 2x<--或X A 01所以原不等式的解集为{x|0cx兰一或x31}.2考点五：绝对值不等式的解法：(选修4—5)2 2(1)|x| ：：a(a 0)= x :: a a x a；(2)| x | a(a 0) = x2 a2 = x a或x ：-a ；(3)| x -m | ：： a(a 0) ：= -a ：： x 一m ：： a m 一a ：：： x ：： m a ；(4)| x — m | a(a 0)：= x — m a或x 一m ：： -a= x m a或x m 一a.2例1、(08四川文科)不等式|x -x|：：：2的解集为( )A、(-1,2) B (-1,1) C (-2,1) D (-2,2)解析：|x2-x|：2 二-2 ：X2-X：2二x2-X 2 0且x2-x-2 0：= x R且-1 ：x：2二x (-1,2).练1：（04全国）不等式1 <| x 1p： 3的解集为（）A、(0,2) B (-2,0) (2,4) C (-4,0) D (-4厂2) (0,2)解析：1 ：： | x 1| ：： 3 ：= 1 ：： x 1 ：： 3或一 3 ：： x 1 ：： — 1 ：= 0 ：： x 2或一 4 ：： x ：： —2.练2： (07广东)设函数f(x) =|2x -1| x 3，若f(x)乞5，则x 的取值范围是 . [-1,1]解析：f (x)乞5= 12x -1| x 3 乞5= 12x _1|乞 _x 2= x _2 乞 2x _1 岂 _x 21—1u —1兰X 兰1 X 兰1练3: (09山东)不等式|2x_1|_|x_2|：：：0的解集为 .(-1,1)解析：|2x-1| -|x —2|：：：0二 |2x_1|：：：|x_2|二 |2x —1|S ：|x —2|2二(2x — 1)2— (x— 2)2：： 0练4：若不等式|x_4| ・|x_3|.a 对一切实数x 恒成立，求实数 a 的取值范围解：不等式|x-4|・|x-3|.a 对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|x-4| • |x -3|表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意x R 恒成立，显然(|x-4| |x-3|)min =1，又(|x-4| |x-3|)min a ，故a ：：：1，所以实数a 的取值范围是(-：：,1).考点六：基本不等式和均值定理： (一正二定三相等)题型一：通过加减项配凑成基本不等式：1例1、已知X 1，求x的最小值以及取得最小值时x 的值.X -1 1 1 1解：由 x 1，得 x -10，则 x(x -1) --- ----------------- ：1 _ 2 (x -1) ：1 =3.x -1x-1(X-1)1当且仅当x-1 ： —— 时取“二”号.于是x=2或者x = 0 (舍去)X -1答：最小值是3，取得最小值时X 的值为2.51练1：已知x ，求函数y =4x-2的最大值.4 4x —5「x-2 兰 2x-1|2x —1 兰—5 1 1解：由x ；：—，得5 —4x 0，y = 4x — 2 (5 —4x ：- ) 3，44x—5 5 — 4x1工2 ；(5 —4x) ■—1—=2 (当且仅当5—4x= —由―5-4X时，即x = 1 时取“=”),(5-4x) 5-4x得y乞-2 • 3 = 1，所以函数的最大值为1.2 /ax x 1x 16 ；x 2*1练3:求y 2的最大值.x +4解：令t 「x2・1(t_1)，则y = 26t — —6—「一6= .3，当且仅当t=3，即x=_、3时取等号，故y 的 t 3 t . 3 2 3 t解：因为 x A 0, y >0，丄 + 9=1，所以 x + y = (x + y)Q +9)=1 + 弐 + 丫+ 9 兰 10 + 2；岂上=16，当且 xy x y y x \ y x仅当9x 二y，即x =4, y =12时，x y 的最小值为16.y x1 4练4：已知a“bX a+b=2，则y 蔦+ b4的最小值是1 44a b 4a b 解析：由 a 0,b0, a ^2，且 2y = (a • b)(—，—) = 1 亠亠亠4_5,2「一 —9 (当且仅当a b b a b a4a b149厂了，即“羽时取等)，则y=；u 的最小值为9.题型三：转化与方程消元求二次函数最值:练2:求函数(x ■ -1且a 0)的最小值t t 2 2 2ax x 1 a(t -1) t at -2at a ta “ 1、， ct = x 1 .0y at (1 - 2a) a(t ) 1 -tx y例3、若正数a,b满足a^a b 3 ,贝U：（1）ab的取值范围是_____ ; [9, •：：）（2） a b的取值范围是[6, •：：）解：（1 ）判别式法：令ab = t（t • 3）,则b =上,代入原式得t = a •上.3 ,整理得a a2 2a （3 —t）a t =0, . ：= （3 — t）—4t _0，得t _9或（舍）.（2）判别式法，令a • b =t（t . 0），则b =t —a，代入原式得a（t _a） =t - 3，整理得a2-at • t • 3 = 0，.■: =t2 -4（t 3）_0，解得t _6或者t _ -2 （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决练5：若x, y =0满足2x + y +6 = xy，贝U xy的最小值是18练6：若x, y . 0满足x • y • xy = 2，则x y的最小值是2、3 - 2练7：（10重庆）已知x, y 0满足x 2y 2xy =8，则x 2y的最小值是（）A、3B、4 考点七：简单线性规划问题：11 2题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题:例1、设变量x,y满足约束条件2x-y乞2« x - y 兰一1，求zx + y 31=2x 3y的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题：2x +1例2、设变量x, y满足例1中的约束条件，求z 的取值范围y+ 1题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量x,y满足例1中的约束条件，求z=x2，(y-2)2的最值，以及此时对应点的坐标题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量x,y满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量x,y满足例1中的约束条件，且目标函数z = ax y (其中a ：0 )仅在(3,4)处取得最大值，求a 的取值范围•题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题:2x-y <2例6、设变量x,y满足约束条件x_y_m，且目标函数2x 3y在(4,6)处取得最大值，求m ,x y _ 12x-y-3 0例7、已知x, y满足不等式组2x 3^6 ::: 0，求使x y取得最大值的整数 x, y .3x - 5y -15 ：： 0解：不等式组的解集为三直线h : 2x - y-3 = 0, |2：2x • 3y-6 = 0, |3：3x - 5y-15 = 0所围成的三角形内部(不含边界)，设h与I2，l i与I3，I2与I3的交点分别为A,B,C.15 3 75 12则的坐标分别为A( —, ), B(0,-3),C(—,—)，8 4 19 19作一组平行线I : x • y = t平行于l0 : x • y = 0，当l往10右上方移动时，t随之增大,当I过C点时最大为，但不是整数解，又由0 <x 知x可取191,2,3，当x =1时，代入原不等式组得y = -2，所以x，y = -1 ；当x=2◎x+y 兰3 x+2v 兰3练7：满足线性约束条件的目标函数 ^x y 的最大值是（）练习：线性规划问题综合练习p <2练1若x, y 满足约束条件< y <2 ，贝U z = x+2y 的取值范围是（）"沦2练2：满足|x| • |y |_2的点（x,y ）中整数（横纵坐标都是整数）有（A 、9个C 、13 个D 14个2x y -2 _02 2练3：已知x, y 满足约束条件x-2y ，4 一 0 ,则z 二x y 的最大值和最小值分别是（ 3x - y - 3 乞 0A 、13,1B 、13,2131D • 13,^5练4:不等式组2x y -6 一0* x + y -3兰0表示的平面区域的面积为A 、 4D 无穷大x y -5练5 :已知x, y 满足约束条件 x -y 乞0,使z 二x ，ay （a 0）取得最小值的最优解有无数个,x 乞3则的值为（）C -1练6：已知|2x - y • m|：：：3表示的平面区域包含点（0,0）和（-1,1），则m 的取值范围是（ A (-3,6)B (0,6)C (0,3)D (-3,3)p>0y-03A、1 B C 2 D 32J x 3y —3 _0练&若实数x,y满足不等式组2x-y -3岂0，且x y的最大值为9，则实数m=( )x-my 1 _ 0A、-2 B -1 C 1 D 22x y -2 _0y亠1练9：已知实数x,y满足x - 2y 4 - 0 ,试求z 的最大值和最小值.x+13x - y 1 _ 0所以z的几何意义是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率，因此y 1的最值就是点(x,y)与点M (-1,-1)x + 1连线的斜率的最值，结合图像可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即Z max = k MB = 3，此时x = 0, y = 2 ；1zx二1, y =0•min - k MC - ?，此时y Z x练10：设变量x, y满足约束条件x • 2y乞2，贝U z =x -3y的最小值为. -8x _ -2x-^02x+ v 兰2练11：若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是1^0x y _ a40 :: a -1 或a -3练12：已知平面区域 D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D上有无穷多个点(x, y)可使目标函数my取得最小值，则m二.1。

高三数学高考一轮复习系列教案第六章不等式大纲版

第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题一、选择题1．设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为（） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2．如果－1<a <b <0，则有（）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23．下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则（）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称为a ，b 的算术平均数；称为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值．例题讲练【例1】设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是（） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2．若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（）A ．8B ．42C ．2D ．43．设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则（）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7．设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8．要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是．9．若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15．某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．例题讲练【例1】已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题一、选择题1．已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2．设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么（） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3．设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4．设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5．已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7．若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是．8．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为．9．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】（1）已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2）已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a .【例3】若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题一、选择题1．设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2．已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3．若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是（） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4．已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．226．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7．设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为．8．实数y x yx-=，则x 的取值范围是． 9．若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ，且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a )0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝，|a －b |＝． ab ≤0，|a －b |＝，|a ＋b |＝． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．例题讲练【例1】解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题一、选择题1．如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是（） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是（）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7．不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝． 8．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是．9．若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单元测试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3．若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4．欲证7632-<-，只需证（）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则（） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是（）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是（） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。

高中数学必修五《不等式》复习教案

第六讲复习不等式一、本讲进度《不等式》复习二、本讲主要内容1、不等式的概念及性质；2、不等式的证明；3、不等式的解法；4、不等式的应用。

三、学习指导1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：（1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ；（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；（2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

特例：（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；（4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；（5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

掌握不等式的性质，应注意：（1）条件与结论间的对应关系，如是“⇒”符号还是“⇔”符号；（2）不等式性质的重点是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。

2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤2b a 22+；当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫⎝⎛+.在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：（1）不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、不等式的解法：解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。

不等式高中数学教案

不等式高中数学教案教学目标：1. 能够理解不等式的概念和性质。

2. 能够解决简单的一元不等式。

3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：重点：不等式的概念和性质，一元不等式的解法。

难点：应用不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包括不等式的定义、性质和解法。

2. 打印不等式练习题目，用于课堂练习。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线性方程的解法，了解不等式的概念。

2. 提出一个简单的不等式问题，让学生思考如何解决。

二、讲解不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍不等式的定义，即含有不等号的等式。

2. 讲解不等式的性质，包括可加性、可乘性和转化性等。

三、解决一元不等式（20分钟）1. 讲解一元不等式的解法，包括加减法解法、乘除法解法和开平方解法。

2. 给学生提供几个简单的一元不等式练习题目，让他们尝试解答。

四、应用不等式解决实际问题（15分钟）1. 引导学生思考如何应用不等式解决实际问题，例如长度、面积和体积等问题。

2. 给学生一个实际问题案例，让他们运用所学知识进行解答。

五、总结复习（5分钟）1. 通过回顾本节课的内容，强化学生对不等式的理解和运用能力。

2. 鼓励学生积极思考和练习不等式相关的题目，提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的概念和性质，能够解决简单的一元不等式，并能够应用不等式解决实际问题。

在接下来的教学中，需要继续强化学生对不等式知识的理解和应用能力，提高他们的数学思维和解决问题的能力。

人教A版高中数学必修五复习教案第六章不等式新人教(1)(5)

第十六教时（机动）教材：指数不等式与对数不等式目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。

过程：一、提出课题：指数不等式与对数不等式强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题因此必须注意它们的“底”及它们的定义域二、例一解不等式)1(332)21(22---<x x x 解：原不等式可化为：)1(332222----<x x x ∵底数2>1∴)1(3322--<--x x x 整理得：062<-+x x解之，不等式的解集为{x |-3<x <2}例二解不等式2931831>⋅+-+x x解：原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即：0)233)(93(>-⋅-x x 解之：93>x 或323<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 例三解不等式2)1(log 3≥--x x解：原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得：4<x ≤5∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}例四解关于x 的不等式： )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解：原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x （其实中间一个不等式可省）当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为221<<x ；当0<a <1时不等式的解集为42<<x例五解关于x 的不等式x x a a log 1log 5+>- 解：原不等式等价于Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+>-≥+0log 5)log 1(log 50log 12x x x x a a a a 或 Ⅱ：⎩⎨⎧≤+≥-01log 0log 5x x a a 解Ⅰ：1log 1<≤-x a 解Ⅱ：1log -≤x a ∴1log <x a 当a >1时有0<x <a 当0<a <1时有x >a∴原不等式的解集为{x |0<x <a , a >1}或{x |x >a , 0<a <1} 例六解不等式24log ax x x x a > 解：两边取以a 为底的对数：当0<a <1时原不等式化为：2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a 4log 21<<x a ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为：2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a∴ 21log 4log <>x x a a 或 ∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或三、小结：注意底（单调性）和定义域s四、作业：补充：解下列不等式1．)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且(当a >1时),4()1,(+∞⋃--∞∈x 当0<a <1时)4,1(-∈x )2．)102(log )43(log 31231+>--x x x(-2<x <1或4<x <7)3．x x -->4)21(32 (-1<x <3) 4．2222232≤+-x x )121(≤≤x 5．当10<<a ，求不等式：0)(log log >x a a (a <x <1) 6．10,1<<>b a ，求证：1)12(log >-x b a 7．)1,0(,011log ≠>>-+a a xx a (-1<x <0) 8．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x a a a (2log ,22a x a >>；2log ,212a x a <<<；φ∈=x a ,2)。

高考数学复习第52课时第六章不等式-不等式的应用名师精品教案新人教A版

第52课时：第六章不等式——不等式的应用课题：不等式的应用一．复习目标：1．不等式的运用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性，要熟悉这方面问题的类型和思考方法；2．应用题中有一类是寻找最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出极值．二．知识要点：1．利用均值不等式求最值：常用公式：222a b ab +≥，2112a b a b +≤≤≤+，你知道这些公式的使用条件吗？等号成立的条件呢？使用2a b +≥ 2．关于有关函数、不等式的实际应用问题：这些问题大致分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立目标函数求最大、最小值．三．课前预习：1．数列{}n a 的通项公式是290n n a n =+，数列{}n a 中最大的项是（） ()A 第9项 ()B 第10项 ()C 第8项和第9项 ()D 第9项和第10项2．已知,,x y z R +∈，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为（）()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 13．若实数,,,m n x y 满足2222,m n a x y b +=+=()a b ≠，则mx ny +的最大值是（）()A 2a b + ()B ()C ()D ab a b + 4．设,,a b c R ∈，2ab =且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值为．5．若lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是． 6．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是．四．例题分析：例1．（1）若,a b 是正实数，且3a b +=的最大值；（2）若a 是正实数，且222310a b +=，求的最大值及相应的实数,a b 的值．例2．商店经销某商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货量为Q 件，每次进货所需的费用为S 元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存存量平均为0.5Q ，问每批进货量Q 为多大时，整个费用最省？例3．已知0a >且1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令lg n n n b a a = *()n N ∈，问是否存在实数a ，对任意正整数n ，数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项？证明你的结论．五．课后作业：1．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =+-，则m 的取值范围是（） ()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4()D 3[,2]42．设0a b c >>>，x =，y =，z =，则222,,,,,x y y z z x x y z中最小的是（ C ） ()A xy ()B yz ()C 2x ()D 2z3．若设,x y R -∈，且224x y +=，4()10S x y x y =⋅-++，那么S 的最值情况为（ A ）()A有最大值2，最小值22(2 ()B 有最大值2，最小值0()C 有最大值10，最小值22(2 ()D 最值不存在4．已知,a b 是大于0的常数，则当x R +∈时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值为．51的直角三角形面积的最大值为．6．光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过它们的光线强度在原强度的31以下．(lg30.477)=7．k 为何实数时，方程220x kx k -+-=的两根都大于12．8．某种汽车，购买是费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费9千元，汽车的维修费第一年为2千元，第二年为4前元，第三年为6千元……，依等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时年平均费用最少）？9．设二次函数2()f x x bx c =++（,b c R ∈），已知不论,αβ为何实数，恒有(sin )0f α≥，且(2cos )0f β+≤，（1）求证：1b c +=-；（2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求,b c 的值．。

2013届高三数学复习教案第六章《不等式》(新人教版必修5)1

第三章不等式第一教时教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。

过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称（例略）1．“同向不等式与异向不等式”2．“绝对不等式与矛盾不等式”三、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三比较大小1．231-和10 解：∵23231+=-∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<10 2．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a 当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a ∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a。

人教A版高中数学必修五复习教案第六章不等式新人教(5)

第五教时教材：极值定理的应用目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。

过程：一、复习：基本不等式、极值定理二、例题：1．求函数)0(,322>+=x xx y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一： 3322243212311232=⋅⋅≥++=+=xx x x x x x x y ∴3min 43=y 解二：x x x x x y 623223222=⋅≥+=当x x 322=即2123=x 时 633min 3242123221262==⋅=y 答：以上两种解法均有错误。

解一错在取不到“=”，即不存在x 使得xx x 2122==；解二错在x 62不是定值（常数）正确的解法是：33322236232932323232323232==⋅⋅≥++=+=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322=即263=x 时3min 3623=y 2．若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x 0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x 1])1(1)1([21-≤--+---x x即1)2222(min 2-=-+-x x x 3．设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值解：∵0>x ∴)221(21222y x y x +⋅=+ 又2321)2()221(2222=++=++y x y x ∴423)2321(212=⋅≤+y x 即423)1(max 2=+y x 4．已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值解：y x +yxb x ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)( 2)(2b a yxb x ay b a +=⋅++≥ 当且仅当y xb x ay =即ba y x =时2min )()(b a y x +=+ 三、关于应用题1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）2．将一块边长为a 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？解：设剪去的小正方形的边长为x则其容积为)20(,)2(2a x x a x V <<-= )2()2(441x a x a x V -⋅-⋅⋅= 272]3)2()2(4[4133a x a x a x =-+-+≤当且仅当x a x 24-=即6a x =时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为6a 时，铁盒的容积为2723a 四、作业：P12 练习4 习题6.2 7补充：1．求下列函数的最值：1︒ )(,422+∈+=R x xx y (min=6) 2︒)20(,)2(2a x x a x y <<-= (272max 3a =) 2．1︒0>x 时求236x x y +=的最小值，x xy 362+=的最小值)429,9(3 2︒设]27,91[∈x ，求)3(log 27log 33x x y ⋅=的最大值(5) 3︒若10<<x , 求)1(24x x y -=的最大值)332,274(=x 4︒若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值)223(+ 3．若0>>b a ，求证：)(1b a b a -+的最小值为3 4．制作一个容积为316m π的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）)4,2(m h m R ==。

人教版高中数学必修5不等式全章教案集

高中数学必修5不等式全章教案集课题: §3.2一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

【教学难点】理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【教学过程】1.课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -< (1)2.讲授新课1）一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2）探究一元二次不等式250x x -<的解集怎样求不等式（1）的解集呢？探究：（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==二次函数有两个零点：120,5x x == 于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。

（2）观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即250x x ->；当0<x<5时，函数图象位于x 轴下方，此时，y<0,即250x x -<；所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

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第三章不等式
第一教时
教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质
ⅠⅡ。

过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称（例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a
2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小
解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a
07)82()152(22<-=-----=a a a a
∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a
例二已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小
解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x
22424112x x x x x =---++=
∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x
小结：步骤：作差—变形—判断—结论
例三比较大小1．231
-和10 解：∵23231
+=-
∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴
231-<10 2．a b 和m
a m
b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）
a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时
a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <m
a m
b ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+2
1 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥2
1log +t a 四、不等式的性质
1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数
0)(<--b a 0<-a b a b <
2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）
证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b
∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b
0>-c a ∴c a >
由对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <
五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3
补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与20
1的大小解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥20
1 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)
略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)
当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ
当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ
3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a
当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a
∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a。