2018年人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件
2018年中考数学总复习课件：矩形、菱形(共28张PPT)
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中考数学总复习 第五单元 四边形 第21课时 矩形、菱形、正方形数学课件
解: (2)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
BD 交于点 O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.
∴∠BOC=90°.
(2)求证:四边形 OBEC 是矩形.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠OBE=∠BOC=∠OCE=90°,
∴四边形 OBEC 是矩形.
图 21-8
第十六页，共三十一页。
∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB,∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN.
第十一页，共三十一页。
图21-6
高频考向探究
2.[2015·云南 22 题] 如图 21-6,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,M,N 分别是 AB,CD 的中点,P 是 AD 上的点,且
∠PNB=3∠CBN.
③若 AE=AF,则平行四边形 ABCD 是菱形;
图21-7
④若平行四边形 ABCD 是菱形,则 AE=AF,其中,结论正确的是
第十三页，共三十一页。
(只需填写正确结论的序号).
高频考向探究
[答案] ①③④
[解析] ①由等边三角形的性质得出∠EAF=60°,AE=AF,求出∠C=120°,由平行四边形的性质得出 AB∥CD,得出
1
1
2
2
④由菱形的性质得出 BC=CD,由面积相等得出 BC·AE= CD·AF,得出 AE=AF,④正确;即可得出结论.
[方法模型] 判定一个四边形是矩形或菱形时,一般先判定它是平行四边形.若要判定是矩形,则再通过找角或对角线
的关系进一步证明是矩形;若要判定是菱形,则进一步说明邻边相等或对角线互相垂直.
2
∴∠ABC+∠BAD=180°.
又∵∠ABC∶∠BAD=1∶2,
中考数学总复习 第21讲 矩形、菱形、正方形课件 新人教版精品
(1)求证：四边形 BECF 是菱形； (2)若四边形 BECF 为正方形，求∠ A 的度数．
•最新中小学课件 •13
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的 判定、正方形的性质等． 解：(1)证明：∵ BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D， ∴ BF＝ CF， BE＝ CE. 又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥ AC.
A． AB∥ DC C． AC⊥ BD
•最新中小学课件
B． AC＝ BD D． OA＝ OC
•26
3．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠ A＝ 120° ， 点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD， BD 上任意一点， 则 PK＋ QK 的最小值为 ( B )
A． 1
(2)若∠ ADC＝90° ， 求证： 四边形 MPND 是正方形．
(2)∵ PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴∠PMD＝∠ PND＝ 90° . 又∵∠ ADC＝ 90° ，∴四边形 MPND 是矩形． ∵∠ ADB＝∠ CDB， PM⊥ AD， PN⊥ CD， ∴ PM＝ PN. ∴四边形 MPND 是正方形．
•最新中小学课件 •10
(2)当△ ABC 满足 AB＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩 形．理由如下： ∵ AF∥ BC， AF＝ BD，∴四边形 AFBD 是平行四 边形． 又∵ AB＝ AC， BD＝ CD， ∴ AD⊥ BC.∴∠ ADB＝ 90° . ∴四边形 AFBD 是矩形．
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•11
方法总结 矩形是特殊的平行四边形， 证明矩形的常用方法就 是先证明四边形是平行四边形， 然后再证明有一个角是 直角或对角线相等 .
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•12
考点二
菱形的性质与判定
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第五章 四边形 第21讲 矩形、菱形、正方形课件
相等、互相垂直平分→正方形 矩形中―点―四边→形菱形 补充菱形中―点―四边→形矩形 正方形中―点―四边→形正方形
12/9/2021
• 7．下列说法中，错误的是（D ） • A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 • B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 • C．四个角都相等的四边形是矩形 • D．邻边相等的菱形是正方形
124/9/2021
2．（2018·江西 10 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，将矩形 ABCD 绕 点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE＝EF，则 AB 的长为__3___2___.
125/9/2021
命题点2 菱形的性质与判定（5年4考） 3．（2014·江西 13 题 3 分）如图，是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向 分别旋转 90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB＝2，则图中阴影部分 的面积为___1_2_－__4__3_________.
∠CGF＝90°－∠ECD． ∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD．∴∠DAF＝∠CGF. 又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA．∴EA＝例2 （2018·乌鲁木齐）如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，E 是 BC 的 中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD 于点 F. （1）求证：四边形 AECD 是菱形； 思路点拨
在△ABE 和△ADF 中，B∠EB＝＝D∠FD，， ∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB
＝AD，∴□ABCD 是菱形．
1229/9/2021
（2）解：如答图，连接 BD 交 AC 于 O. ∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC
2018年中考数学第21讲平行四边形、矩形、菱形知识梳理
2018年中考数学第21讲平行四边形、矩形、菱形知识梳理本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第21讲平行四边形、矩形、菱形、正方形1．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABcD的四边AB，Bc，cD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形c．可能是轴对称图形D．当Ac＝BD时它是矩形2．如图所示，已知四边形ABcD的对角线Ac，BD相交于点o，则下列能判断它是正方形的条件是A．Ao＝Bo＝co＝Do，Ac⊥BDB．Ac＝Bc＝cD＝DAc．Ao＝co，Bo＝Do，Ac⊥BDD．AB＝Bc，cD⊥DA3．如图，矩形ABcD的对角线Ac与BD交于点o，过点o作BD的垂线分别交AD，Bc于E，F两点．若Ac＝23，∠AEo＝120°，则Fc的长度为A．1B．2c.2D.34．如图，四边形ABcD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝5，∠EAF＝135°，则以下结论正确的是A．DE＝1B．tan∠AFo＝13c．AF＝102D．四边形AFcE的面积为945．如图，在矩形ABcD中，点E是边Bc的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是A.24B.14c.13D.226．如图，在矩形ABcD中，m为Bc边上一点，连接Am，过点D作ED⊥Am，垂足为E，若ED＝Dc＝1，AE＝2Em，则Bm的长为__255__．7．如图，在▱ABcD中，过对角线BD上一点P作EF∥Bc，GH∥AB，且cG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝__4__．8．如图，将▱ABcD沿EF对折，使点A落在点c 处，若∠A＝60°，AD＝4，AB＝8，则AE的长为__285__．9．如图所示，有一条小路穿过长方形的草地ABcD，若AB＝60m，Bc＝84m，AE＝100m，则这条小路的面积是__240__m2.0．如图，平行四边形ABcD中，对角线Ac，BD相交于点o，AB＝3，Bc＝5，则oA的取值范围为__1＜oA＜4__．1．已知：如图，矩形ABcD的两条对角线相交于点o，∠AoD＝120°，Ac＝10cm，则矩形的面积为__253__cm2__．2．如图，在四边形ABcD中，AB＝cD，BF＝DE，AE⊥BD，cF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ABE≌△cDF;若Ac与BD交于点o，求证：Ao＝co.证明：∵BF＝DE,∴BF－EF＝DE－EF,即BE＝DF.∵AE⊥BD，cF⊥BD,∴∠AEB＝∠cFD＝90°，∵AB＝cD,∴Rt△ABE≌Rt△cDF;连接Ac，交BD于点o.∵Rt△ABE≌Rt△cDF,∴∠ABE＝∠cDF,∴AB∥cD.∵AB＝cD，∴四边形ABcD是平行四边形，∴Ao＝co.3．直角梯形ABcD中，∠B＝90°，AD∥Bc，AD＝18cm，Bc＝21cm，点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点c以2cm/s的速度向点B运动．问：当运动时间t为何值时，四边形PQcD是平行四边形？当运动时间t为何值时，四边形ABQP是矩形？解：根据题意得：PA＝t，cQ＝2t，则PD＝AD－PA＝18－t.∵AD∥Bc,∴PD∥cQ,∴当PD＝cQ时，四边形PQcD为平行四边形，即18－t＝2t,解得：t＝6,即当t＝6时，四边形PQcD为平行四边形；如图，过P作Pm⊥Bc于m，当点Q与m重合时，四边形ABQP是矩形，此时AP＝Bm,即t＝21－2t,解得：t＝7，即当t＝7时，四边形ABQP是矩形．4．已知：如图，菱形花坛ABcD的周长是80m，∠ABc ＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路Ac和B D，相交于o点．求对角线Ac，BD的长；求花坛的面积．解：∵菱形花坛ABcD的周长是80m，∠ABc＝60°，∴AB＝Bc＝Dc＝AD＝20m，∠ABD＝30°，∴△ABc是等边三角形，∴Ac＝20m,∴Ao＝10m,∴Bo＝202－102＝103,则BD＝203m，Ac＝20m；S花坛＝12Ac×BD＝12×20×203＝XXm2.5．如图，已知点E，F分别是▱ABcD的边Bc，AD 上的中点，且∠BAc＝90°.求证：四边形AEcF是菱形；若∠B＝30°，Bc＝10，求菱形AEcF面积．解：∵四边形ABcD是平行四边形，∴AD＝Bc，∵E，F分别是AD，Bc的中点，∴AF＝Ec.在Rt△ABc中，∠BAc＝90°，点E是Bc边的中点，∴cF＝12Bc＝AF,同理，cF＝12AD＝AF,∴AE＝cE＝AF＝cF,∴四边形AEcF是菱形；连接EF交Ac于点o,在Rt△ABc中，∠BAc＝90°，∠B＝30°，Bc＝10,∴Ac＝12Bc＝5，AB＝3Ac＝53.∵四边形AEcF是菱形，∴Ac⊥EF，oA＝oc,∴oE是△ABc的中位线，∴oE＝12AB＝532，∴EF＝53，∴菱形AEcF的面积＝12Ac•EF＝12×5×53＝2532.6．如图，在△ABc中，AD是Bc边上的中线，E是AD的中点，过点A作Bc的平行线交BE的延长线于点F，连接cF.求证：AF＝Dc;若AB⊥Ac，试判断四边形ADcF的形状，并证明你的结论．证明：∵AF∥Bc,∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，AD是Bc边上的中线，∴AE＝DE，BD＝cD.在△AFE和△DBE中，∠AFE＝∠DBE，∠FEA＝∠BED，AE＝DE，∴△AFE≌△DBE,∴AF＝BD,∴AF＝Dc；四边形ADcF是菱形．∵AF∥Bc，AF＝Dc,∴四边形ADcF是平行四边形，∵Ac⊥AB，AD是斜边Bc的中线，∴AD＝12Bc＝Dc,∴平行四边形ADcF是菱形．7．如图，在△ABc中，点D，E分别是边Bc，Ac的中点，过点A作AF∥Bc交DE的延长线于F点，连接AD，cF.求证：四边形ADcF是平行四边形；当△ABc满足什么条件时，四边形ADcF是菱形？为什么？解：∵点D，E分别是边Bc，Ac的中点，∴DE∥AB.∵AF∥Bc,∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF＝BD，则AF＝Dc.∵AF∥Bc,∴四边形ADcF是平行四边形；当△ABc是直角三角形时，四边形ADcF是菱形．理由：∵点D是边Bc的中点，△ABc是直角三角形，∴AD＝12Bc＝Dc,∴平行四边形ADcF是菱形．8．已知：如图，在△ABc中，AB＝Ac，AD⊥Bc，垂足为点D，AN是△ABc外角∠cAm的平分线，cE⊥AN，垂足为点E,求证：四边形ADcE为矩形；当△ABc满足什么条件时，四边形ADcE是一个正方形？并给出证明．解：在△ABc中，AB＝Ac，AD⊥Bc,∴∠BAD＝∠DAc.∵AN是△ABc外角∠cAm的平分线，∴∠mAE＝∠cAE,∴∠DAE＝∠DAc＋∠cAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥Bc，cE⊥AN,∴∠ADc＝∠cEA＝90°.∴四边形ADcE为矩形；当△ABc满足∠BAc＝90°时，四边形ADcE是一个正方形．理由：∵AB＝Ac,∴∠AcB＝∠B＝45°.∵AD⊥Bc,∴∠cAD＝∠AcD＝45°，∴Dc＝AD.∵四边形ADcE为矩形；∴矩形ADcE是正方形．∴当∠BAc＝90°时，四边形ADcE是一个正方形．。
中考数学备考大一轮复习第21课时矩形、菱形与正方形
3.菱形的判定（满足下列条件之一的四边形是菱形） （1）有一组邻边相等的平行四边形. （2）对角线互相垂直的平行四边形. （3）四条边都相等的四边形.
归纳拓展
【归纳拓展】 菱形的说明方法（三种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的任一组邻边相等. ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边 形ABCD的对角线互相垂直. ③说明四边形ABCD的四条边相等.
归纳拓展
注意以下要点： (1)菱形的对角线互相垂直且平分； (2)菱形的邻边相等； (3)菱形的对角线分别平分两组内角.
强化训练
考点三:正方形的性质和判定
例3（武汉中考）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是
．
解：如图1， ∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形， ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE， ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∠AED=∠ADE=∠DAE=60°， ∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE， ∴∠AEB=∠CED=15°， 则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
考点聚焦
考点三 正方形的性质与判定
1.正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形.它是 最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形. 2.正方形的性质 （1）边：四条边都相等. （2）角：四个角都相等（都等于90°）. （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°. （4）对称性：轴对称图形（对称轴有4条）；中心对称图形.
归纳拓展
注意以下要点： 矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等; 矩形的四个内角都为90° .
专题23 矩形、菱形和正方形-中考数学总复习精品课件
核心考点精讲
(2)解：过 F 作 FH⊥AB 于 H，则四边形 AHFD 是矩形， ∴AH＝DF＝32，FH＝AD＝2，∴EH＝52－32＝1， ∴EF＝ FH2＋HE2＝ 22＋12＝ 5
核心考题突破
10．(2019·黑龙江)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， AB∶BC＝3∶2，过点 B 作 BE∥AC，过点 C 作 CE∥DB，BE，CE 交于点
核心考点精练
【对应训练2】(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长 度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连 接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长．
核心考点精讲
解：(1)由作法得 AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形 ABCD 为菱形 (2)∵四边形 ABCD 为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在 Rt△AOB 中，OB＝ 52－42＝3，∴BD＝2OB＝6
核心考点精讲
【思路引导】(1)由菱形的性质得出 AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD， 得出 AB∶BE＝AD∶DF，证出 EF∥BD 即可得出结论；(2)由平行线的性 质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出 tanG＝tan∠ADO＝OODA＝12，得出 OA＝12OD，由 BD＝4，得出 OD＝2，得出 OA＝1.
核心考点精讲
考点二：菱形的性质与判定
【例3】(2019·杭州)如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形 CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD 和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.
(1)求线段CE的长； (2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG. 【思路引导】(1)设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得 线段CE的长；(2)根据(1)中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出 HD和HG的长，即可证明结论成立．
第21讲矩形和菱形第一课时九年级中考数学一轮复习课件
重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.菱形的性质： 边： 对边平行且相等，四边都相等。 角： 对角相等。
对角线：互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 对称性：既是轴对称，又是中心对称。
周长：边长×4 面积:S=底×高=对角线乘积的一半
3分
(2)解：设 AG＝x，则 BG＝GD＝8－x.
在 Rt△ABG 中，∵AG2＋AB2＝BG2，
∴x2＋62＝(8－x)2.
7
解得 x＝74.∴tan∠ABG＝AAGB＝
4 6
＝274.
6分
(3)解：依题意，知 EF 是 AD 的垂直平分线， ∴HF＝12AB＝3，HD＝12AD＝4. 在 Rt△DEH 中，由(1)△ABG≌△C′DG 得∠EDH＝∠ABG，
(2)解：如图 2，连接 EF 交 AD 于 O，
∵菱形 AEDF 的周长为 12，
∴AE＝3.
设 EF＝x，AD＝y，则 x＋y＝7，
∴x2＋2xy＋y2＝49.
①
当堂训练（补充）
1.如图1，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD'=30°，则
∠AED'等于( B )
A．30° B．60° C．75°
∴tan∠EDH＝tan∠ABG＝274.
∵tan∠EDH＝HEHD，∴274＝E4H.∴EH＝67.
∴EF＝EH＋HF＝76＋3＝265.
9分
3．6 4．(1)证明：∵ABCD，ADEF是菱形， ∴AB＝AD＝AF. 又∠BAD＝∠FAD， 由等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BF. 4分 (2)解：∵BF＝BC，∴BF＝AB＝AF. ∴△ABF是等边三角形， ∴∠BAF＝60°.
2018年人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件
5
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点四
考点三正方形(高频)
正方形 的定义
正方形 的性质
正方形 的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形 (1)正方形的对边平行 (2)正方形的四条边相等 (3)正方形的四个角都是直角 (4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线 平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴 有四条,对称中心是对角线的交点 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
考点一
考点二
考点三
考点四
考点二菱形(高频)
菱形 定义
有一组邻边
相等的平行四边形是菱形
对称性 菱形的 性质 定理
菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线是 它的对称轴 菱形是中心对称图形,它的对称中心是两条对 角线的交点 (1)菱形的四条边相等 ; (2)菱形的两条对角线互相垂直 平分,并且每 条对角线平分一组对角
第21讲
矩形、菱形、正方形
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一矩形(高频)
矩形 定义
有一个角是直角
的平行四边形叫做矩形
矩形是一个轴对称图形,它有两条对称轴 对称性 矩形是中心对称图形,它的对称中心就是对角线 的交点 矩形的 (1)矩形的四个角都是直 角; 性质 定理 (2)矩形的对角线互相平分并且相等 在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边 的一 推论 半
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2 5 8
(完整word版)2018届中考数学一轮复习讲义第21讲菱形
2018届中考数学一轮复习讲义第21讲菱形【知识巩固】1。
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.性质:边菱形的对边互相平行菱形的四条边都相等角菱形的对角相等菱形的邻角互补对角线菱形的两条对角线互相平分且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角3。
判定：边有一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形4。
菱形是轴对称图形，两条对角线为它的对称轴。
【典例解析】典例一、菱形下列四边形中不一定为菱形的是（）A。
对角线相等的平行四边形 B.每条对角线平分一组对角的四边形C。
对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形答案:A【变式训练】如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了)，连EF．（1)求证:四边形ABEF为菱形；（2）AE,BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【解答】（1）证明:由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE,∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABEF为菱形;（2)解：∵四边形ABEF为菱形,∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO=4,∴AE=2AO=8．典例二、菱形的性质（2017广东）如图所示,已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证:AD⊥BF；（2)若BF=BC，求∠ADC的度数．【考点】L8:菱形的性质．【分析】（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF,那么D在线段BF的垂直平分线上,又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；(2)设AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°,再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】(1)证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．在△BAD与△FAD中，，∴△BAD≌△FAD,∴DB=DF,∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF,∴A在线段BF的垂直平分线上,∴AD是线段BF的垂直平分线,∴AD⊥BF；(2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G,则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD,∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．【变式训练】（ 2017湖南怀化）如图，在菱形ABCD中,∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P,A两点不重合）两点间的最短距离为10﹣10 cm．【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．【解答】解:连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形，①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时,PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点，则弧BD（除点B 外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时,AP最小，最小值为10﹣10；③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时,PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；故答案为：10﹣1．典例三、菱形判定(2017山东聊城）如图，△ABC中,DE∥BC，EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是（)A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【考点】L9：菱形的判定．【分析】当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB,∴BD=DE，∵DE∥BC,EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．【变式训练】（2017宁夏）在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处,当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．【解答】证明:∵AB∥DM,∴∠BAM=∠AMD，∵△ADC是由△ABC翻折得到，∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM,∴∠DAM=∠AMD，∴DA=DM=AB=BM，∴四边形ABMD是菱形．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．典例四、菱形的综合应用(2017湖北襄阳)如图，AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C，BD平分∠ABF,且交AE于点D,连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2)若∠ADB=30°,BD=6，求AD的长．【考点】LA：菱形的判定与性质．【分析】（1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论;（2）由菱形的性质得出AC⊥BD,OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF,∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理:AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6,∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．【变式训练】【能力检测】1. (2016·青海西宁·2分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD,BD的中点，若EF=2,则菱形ABCD的周长是16 ．【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点,∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4,∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4,∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．2.(2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0,0），B（2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1） B．（﹣1,﹣1） C．(,0） D．（0,﹣）【考点】坐标与图形变化—旋转；菱形的性质．【专题】规律型．【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标,根据旋转的性质,可得D点的坐标．【解答】解：菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2），得D点坐标为（1,1）．每秒旋转45°,则第60秒时，得45°×60=2700°,2700°÷360=7。