第六章_二元函数微积分
二元函数曲线积分
二元函数曲线积分一、引言二元函数曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍和探讨。
二、定义二元函数曲线积分是指在曲线上对二元函数进行积分的过程。
设曲线C为参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b，则二元函数f(x,y)在曲线C上的积分为：∫Cf(x,y)ds=∫ba[f(x(t),y(t))√(x'(t)²+y'(t)²)]dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)对t 的导数。
三、性质1. 二元函数曲线积分与路径有关，即积分值与曲线的具体形状有关。
2. 二元函数曲线积分具有可加性，即对于曲线C1和C2，有∫C1+C2f(x,y)ds=∫C1f(x,y)ds+∫C2f(x,y)ds。
3. 二元函数曲线积分与参数化无关，即对于同一条曲线，不同的参数化方式得到的积分值相同。
4. 二元函数曲线积分具有保号性，即当f(x,y)≥0时，∫Cf(x,y)ds≥0。
四、计算方法1. 直接计算法：将曲线C的参数方程代入积分式中，进行积分计算。
2. 参数消元法：将曲线C的参数方程表示为y=y(x)，然后将y'(x)代入积分式中，进行积分计算。
3. 极坐标法：将曲线C的参数方程表示为r=r(θ)，然后将r'(θ)代入积分式中，进行积分计算。
五、应用举例1. 计算曲线积分∫C(x²+y²)ds，其中曲线C为圆x²+y²=1。
解：将圆的参数方程x=cos(t)，y=sin(t)代入积分式中，得到：∫C(x²+y²)ds=∫0^2π[(cos²(t)+sin²(t))√(cos²(t)+sin²(t))]dt=2π2. 计算曲线积分∫Cxyds，其中曲线C为从点(0,0)到点(1,1)的直线段。
二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
第六章多元函数微积分复习概要
第六章多元函数微积分复习要点一、基本概念及相关定理1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于000(,)P x y 时的极限.记作0lim (,)x xy y f x y A →→=,或00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或lim (,)f x y A ρ→=,或(,)f x y A →,0ρ→.其中，ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意0(,)()P x y U P ∈，都有0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=（或0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处连续.3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义.（1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数定义为00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆，记作00x x y y zx ==∂∂，或00x x y y f x==∂∂，或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即x x y y zx==∂∂=00000(,)(,)lim x f x x y f x y x∆→+∆-∆.（2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作00x x y y zy ==∂∂，或00x x y y f y==∂∂，或00(,)y z x y '，或00(,)y f x y '，即x x y y zy==∂∂=00000(,)(,)lim y f x y y f x y y∆→+∆-∆.而称z x∂∂，或f x ∂∂，或(,)x z x y '，或(,)x f x y '及[z y ∂∂，或f y∂∂，或(,)y z x y '，或(,)y f x y ']为（关于x 或关于y ）偏导函数.高阶偏导数：22(,)xx z zf x y x x x∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)xx z x y ''， 2(,)xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)xy z x y ''， 2(,)yx z zf x y x y y x⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂∂⎝⎭或(,)yx z x y ''， 22(,)yyz zf x y y y y⎛⎫∂∂∂''== ⎪∂∂∂⎝⎭或(,)yy z x y ''. 同理可得，三阶、四阶、…，以及n 阶偏导数.4.全微分定义：设函数(,)z f x y =在点(,)P x y 的某一邻域()U P 内有定义，若函数在点(,)x y 的全增量(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆，仅于x、y有关，ρ=，则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点(,)x y 的全微分，记为dz ，即dz A x B y =∆+∆.可微的必要条件：若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，则（1）函数(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂、zy∂∂必存在；（2）全微分为z z dz x y z x y z dx dy x y∂∂+∂∂∂=∆+∆=∂∂∂. 推广：函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 的全微分为u u udu dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂.可微的充分条件：若函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂、z y∂∂在点(,)x y 处连续⇒(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分.5.复合函数微分法（5种情况，由简单到复杂排列）： （1）含有多个中间变量的一元函数(,,)z f u v w =，()u u x =，()v v x =，()w w x =，则dz z du z dv z dwdx u dx v dx w dx∂∂∂=++∂∂∂， 称此导数dzdx为全导数；（2）只有一个中间变量的二元复合函数 情形1：()z f u =，(,)u u x y =，则z dz ux du x∂∂=∂∂ ，z dz u y du y∂∂=∂∂. 情形2：(,,)z f x y u =，(,)u u x y =，则z f z u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ，z f z u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂. zx wv u xx zuyxzy yuxx其中，f x∂∂与z x∂∂是不同的，z x∂∂是把复合函数[,,(,)]z f x y u x y =中的y 看作不变量而对x 的偏导数；f x∂∂是把函数(,,)f x y u 中的y 及u 看作不变量而对x 的偏导数。
高等数学二元函数的基本概念
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ;
数集 z z f ( x, y ) ,(x, y) D 称为函数的值域.
目录 上页 下页 返回 结束
例如, 二元函数 z 1 x2 y2
定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
z
O x
1y
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
O
目录 上页 下页 返回 结束
三、二元函数的极限
定义2. 设二元函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0) 的某个去心
邻域内有定义.若存在常数 A ,对任意正数 , 总存在正
数 , 使得当 P U (P0, δ) 时, 都有
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
目录 上页 下页 返回 结束
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
目录 上页 下页 返回 结束
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
目录 上页 下页 返回 结束
例如，在平面上Leabharlann (x, y) x y 0
二元函数可微的充要条件公式
二元函数可微的充要条件公式在微积分学中，函数的可微性是一个重要的概念。
对于二元函数，其可微性的判定条件可以通过偏导数的存在与连续性来确定。
下面将详细介绍二元函数可微的充要条件公式。
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果函数在点(x0,y0)的偏导数存在且连续，那么函数在该点可微。
偏导数的存在性与连续性是二元函数可微的重要条件。
具体而言，对于函数f(x,y)，如果其在点(x0,y0)的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y存在且在该点连续，那么函数f(x,y)在点(x0,y0)可微。
这个结论可以用数学公式来表示：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x0+Δx, y0) - f(x0, y0)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x0, y0+Δy) - f(x0, y0)] / Δy其中，lim表示极限运算。
这两个公式分别描述了函数f(x,y)对x和y的变化率。
如果这两个变化率存在且连续，那么函数在该点可微。
需要注意的是，函数可微性是一个局部性质，也就是说，函数在某一点可微，并不意味着在其它点也可微。
因此，在判断函数的可微性时，需要对每个点进行判断。
通过上述的公式和条件，我们可以判断一个二元函数在某点是否可微。
如果函数在该点可微，那么我们可以对该函数进行一阶近似，用切平面来逼近函数。
切平面方程的斜率就是函数在该点的偏导数。
总结起来，二元函数可微的充要条件是：函数在某一点的偏导数存在且连续。
这个结论是微积分学中的重要定理，对于理解和应用二元函数的可微性有着重要的意义。
通过本文的介绍，我们详细解释了二元函数可微的充要条件公式，并给出了相应的数学定义和解释。
希望读者通过本文的阐述，对二元函数的可微性有更深入的理解和应用。
二元函数的全微分与偏微分
二元函数的全微分与偏微分在数学中，二元函数指的是由两个变量所组成的函数。
在微积分学中，我们常常需要通过求全微分和偏微分来研究它们的性质。
本文将详细介绍二元函数的全微分与偏微分的概念、公式、性质和应用。
一、全微分全微分指的是对二元函数在全部自变量变化下的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)进行全微分得到：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化，∂f/∂x和∂f/∂y是分别对应自变量的偏导数。
由此可见，全微分是对于在全部自变量变化下函数的总体变化的描述。
它是一个线性映射，可以看成是一个一阶线性微分方程。
二、偏微分偏微分指的是对二元函数在某一个自变量上的微小变化的描述。
用数学语言表述，就是对二元函数f(x,y)在x处进行偏微分得到：∂f/∂x = lim [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx其中Δx是自变量x的微小变化。
同样地，我们也可以对y进行偏微分，得到∂f/∂y = lim [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy通过对函数在不同自变量上的偏微分，可以衡量函数对于不同自变量的敏感程度。
我们将偏导数求出之后，就可以得到函数在某一个点上的切线斜率。
三、全微分与偏微分的关系可以证明，在全微分df存在的情况下，二元函数f的所有偏导数都存在，且偏导数等价于全微分中对应自变量的系数。
也就是说，对于全微分中的dx和dy，我们可以将它们当做对应自变量的微小变化，然后通过求偏微分来得到对应自变量的系数。
这样，我们就可以用全微分中的系数来计算相应自变量的偏微分。
而反过来，只有一个函数在全微分存在的条件下，它的偏导数才有意义。
换句话说，全微分是偏微分的前提条件。
因此，在使用全微分和偏微分的时候，我们应该注重它们之间的互动和联系。
四、全微分和偏微分的应用在实际问题中，我们经常需要对二元函数进行全微分和偏微分的计算和应用。
二元函数微积分——偏导数和全微分解读
z f , , z y , f ( x, y ) , f ( x, y ) y 2 y y
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先求后代（把其他 变量视为常数）
利用定义
逐次求导法
练 习
1、求二元函数 z x ye 的各二阶偏导数。
2 y
3 3 2
2、 求二元函数 z x y 3 xy 的各二阶偏导数。
定义： 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内 极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f ( x , y ) lim x 0 0 x 0 x
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
微积分——多元函数及二重积分知识点
微积分——多元函数及二重积分知识点
一、多元函数
多元函数是指变量、个数多于一个的函数。
常见的函数可以分为二元、三元函数。
1、二元函数
二元函数是指变量、个数为两个的函数，常见的二元函数有：二次函数、双曲线函数等。
（1）二次函数
二次函数是指用一元二次方程记录的函数，一般格式为：y=ax²+bx+c，其中a≠0，则二次函数是一个关于x的二次多项式函数，当a>0时，它
的图像呈现出U形；当a<0时，它的图像呈现出锥形。
（2）双曲线函数
双曲线的定义式有很多种，常见的有标准双曲线、变形双曲线等，它
们的共同特点是，双曲线的图像都是上下对称的，它们的定义式具有一定
的对称性。
2、三元函数
三元函数是指变量、个数为三的函数，一般格式为：z=f（x,y），它
们也有很多类型，比如极坐标函数、椭圆函数、正弦函数、余弦函数等。
（1）极坐标函数
指的是用极坐标表示的只有一个变量的函数，通常表示为r=f（θ），其中r代表半径，θ代表角度，则r随着θ的变化而变化，极坐标函数
的图像一般是一个圆或者椭圆。
（2）椭圆函数
椭圆函数是指以椭圆为图形的函数，一般表示为：
（x-x0）²/a²+(y-y0）²/b²=1，其中a是x轴的长半轴，b是y轴的
长半轴，x0、y0是椭圆圆心坐标。
二元函数微分
二元函数微分引言在微积分中，函数是一种非常重要的概念。
函数的微分是微积分中的基本运算之一，它描述了函数在某一点的局部变化率。
在这篇文章中，我们将重点讨论二元函数的微分，即具有两个自变量的函数。
二元函数的定义二元函数是一种接受两个变量作为输入，并产生一个输出的函数。
它可以用以下形式表示：f(x, y)其中，x和y分别是函数的自变量，f(x, y)表示函数的取值。
偏导数在计算二元函数的微分时，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数描述了函数在每个自变量上的变化率。
偏导数的定义偏导数表示当一个变量变化时，函数在该变量上的变化率。
对于二元函数f(x, y)，它的偏导数可以用以下符号表示：∂f/∂x 和∂f/∂y其中，∂表示偏导数的符号。
计算偏导数计算偏导数时，我们将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导。
例如计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导。
在计算过程中，需要注意一些求导的规则： - 对于多项式函数，我们可以直接按照求导公式进行计算。
- 对于幂函数，将指数乘到系数上，并将指数减1。
- 对于三角函数和指数函数，可以利用基本的求导公式进行计算。
全微分全微分是对二元函数的微分的扩展，它不仅考虑了自变量的变化，还考虑了函数本身的变化。
全微分的定义对于二元函数f(x, y)，全微分可以用以下符号表示：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，dx和dy是自变量x和y的微小变化量。
计算全微分为了计算全微分df，我们需要计算偏导数。
然后，将偏导数乘以自变量的微小变化量，并将结果相加。
全微分可以帮助我们理解函数在局部区域上的变化情况。
通过计算全微分，我们可以确定函数的局部最大值、最小值和驻点等重要信息。
性质和应用二元函数微分有一些重要的性质和应用，下面我们将介绍其中的一些。
偏导数对换对于二元函数f(x, y)，偏导数具有对换的性质，即：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x这一性质在计算偏导数时非常有用，可以大大简化计算过程。
二元函数的微积分学
二元函数的微积分学作为数学中的基本概念，函数在现代科学和技术中有着广泛的应用。
在微积分学中，函数的导数和积分是重要的研究对象。
而二元函数的微积分学，则是研究二元函数的一阶和二阶导数以及二重积分的理论和应用。
本文将重点介绍二元函数的微积分学的概念、性质和应用。
一、二元函数的概念及其图像二元函数是指自变量有两个的函数，通常用f(x,y)表示，其中x 和y是两个自变量，f是因变量。
二元函数的定义域是由所有可能的自变量组成的集合，通常用D表示。
对于每一个自变量的组合(x,y)，都有唯一的因变量值f(x,y)。
二元函数的图像是指在平面直角坐标系中，所有满足f(x,y)=k 的(x,y)点的集合。
这时，因变量f(x,y)被看作是平面上某一点的高度，而(x,y)是它的坐标。
例如，二元函数f(x,y)=x^2+y^2的图像是一个抛物面。
因为二元函数的自变量有两个，所以无法将其用一条曲线表示。
但是，可以将其投影在坐标轴上，得到两个函数f(x,y)和g(x,y)。
f(x,y)表示x轴为常数时，y轴上的数值，也就是二元函数的截面；g(x,y)表示y轴为常数时，x轴上的数值，也就是二元函数在y轴上的截面。
二、偏导数和全微分对于二元函数f(x,y)，可以定义其偏导数。
偏导数是指在一个自变量变化时，另一个自变量保持不变的情况下，函数的变化率。
例如，对于二元函数f(x,y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim [f(x+Δx,y) - f(x,y)]/Δx （y为常数）∂f/∂y = lim [f(x,y+Δy) - f(x,y)]/Δy （x为常数）其中，∂f/∂x表示f在x方向的变化率，∂f/∂y表示f在y方向的变化率。
偏导数的计算类似于一元函数的导数，只需要将其中一个自变量看做常数，进行求导即可。
全微分则是指函数f(x,y)在某个点(x,y)处的微分。
全微分可以表示为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，dx和dy分别是x和y的微小增量。
二元函数的偏导数与全微分
二元函数的偏导数与全微分二元函数是指有两个自变量的函数，例如 $z=f(x,y)$，其中$x$ 和 $y$ 是自变量，$z$ 是因变量。
在微积分中，二元函数的偏导数和全微分是比较重要的概念。
一、偏导数的定义偏导数是指在多元函数中，对某一个变量求导时，把其他变量当作常数来对函数进行求导。
对于二元函数 $z=f(x, y)$，它的偏导数可以用符号 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partialz}{\partial y}$ 表示。
其中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示当$y$ 固定时，$z$ 对 $x$ 的变化率；$\frac{\partial z}{\partial y}$ 表示当 $x$ 固定时，$z$ 对 $y$ 的变化率。
例如，二元函数 $z=x^2y$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和$\frac{\partial z}{\partial y}$，则有：$$\frac{\partial z}{\partial x}=2xy$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=x^2$$二、全微分的定义对于二元函数 $z=f(x,y)$，它的全微分可以表示为：$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partialy}dy$$全微分表示 $z$ 在 $(x, y)$ 处的微小变化量，可以理解为$z$ 的无限小增量。
全微分的概念在微积分中有着广泛的应用，如求方程组的解、最大值、最小值等。
例如，对于二元函数 $z=x^2y$，它的全微分可以表示为：$$dz=2xydx+x^2dy$$三、偏导数与全微分的关系对于二元函数$z=f(x,y)$，其偏导数与全微分有着密切的联系。
根据全微分的定义，可以推导出：$$\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\lim_{\Delta y \to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$将上述式子代入全微分，可以得到：$$dz=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Deltax}dx+\lim_{\Delta y \to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}dy$$当 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 趋近于 $0$ 时，可以认为二元函数$z=f(x,y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分。
《高等数学》 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题2
高等数学 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题主 题：第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 学习时间：2016年1月4日—1月10日内 容：这周我们将学习第七章多元函数的积分，第五节二重积分。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域或某段曲线上的多元函数的情形，便得到二重积分的概念。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解二重积分的概念、性质及几何意义。
2、掌握二重积分的计算方法—直角坐标和极坐标，会利用二重积分计算简单的平面图形的面积。
基本概念：二重积分的概念、性质及几何意义 知识点：二重积分的计算方法知识结构图一、二重积分的概念和性质定义：设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数。
将闭区域D 任意分成n 个小闭区域k σσσ∆∆∆,,,21 。
其中k σ∆表示第k 个小区域,也表示它的面积。
在每个k σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和k i i ni f σηξ∆=∑),(1。
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在,则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分,记作σd y x f D⎰⎰),(,即k i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10。
),(y x f 为被积函数，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积元素，y x ,为积分变量，D 为积分区域，积分和。
（请了解此概念）直角坐标系中的面积元素：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和i y ∆，则i i i y x ∆∆=∆σ，因此在直角坐标系中,有时也把面积元素σd 记作dxdy ，而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(。
六、2 二元函数的积分
令
max 1k n
( k )
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
相关知识
一、二重积分的定义
设 f (x, y) 在XOY平面区域 D上的有定义 ,将区域 D 任意分成 n Nhomakorabea个小区域
任取一点
(i 1,2,n) ，
作乘积 当λ→0时,
f (i ,i ) i 令 max( i )
解 设两个直圆柱方程为
Z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为
z R2 x2
oR
(x, y)
则所求体积为
D
:
00
y x
R
R2
x2
X
Y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
y x
2
b
(
x)
b
2 (x)
y)dxdy
dx
a
1( x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
X
D
先对x,后对y
D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
Y x 2(y)
d y
x 1(y)
则
d dy
2(y)
f (x, y) dx
c o
二元函数求微分
二元函数求微分在微积分中，我们经常会遇到求函数的导数的问题。
二元函数也不例外，只不过在这种情况下，我们需要对两个变量同时求导。
在本文中，我将介绍如何求解二元函数的偏导数和全微分。
首先，让我们来看一下二元函数的定义。
一个二元函数是这样一个函数，它接受两个参数，并返回一个值。
例如，函数f(某,y)=某^2+y^2就是一个二元函数，它接受两个参数某和y，并返回它们的平方和。
对于一个二元函数来说，我们可以通过对其中一个变量求导来得到一个偏导数。
偏导数表示当其他变量保持不变时，对某个变量的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算方法类似。
例如，对于函数f(某,y)=某^2+y^2，我们可以计算出偏导数：∂f/∂某=2某∂f/∂y=2y这里的∂表示偏导数。
接下来，我们来计算二元函数的全微分。
全微分表示函数在某个点(某,y)处的线性逼近。
通常用d表示全微分。
对于一个二元函数f(某,y)，它的全微分可以表示为：df = ∂f/∂某· d某 + ∂f/∂y · dy这里的 d某和 dy 表示变量某和 y 的微小变化量。
在实际应用中，二元函数的全微分可以用来描述函数在某个点附近的局部变化。
例如，如果我们想要知道一个函数在某个点的切线斜率，可以使用全微分来近似计算。
另外，偏导数和全微分还可以用来进行多元函数的最优化。
例如，我们可以使用偏导数来计算一个函数的最大值和最小值，或者使用全微分来优化一个函数的参数。
总而言之，二元函数的微分计算可以帮助我们理解函数在不同点的变化情况，并在实际应用中得到应用。
通过计算偏导数和全微分，我们可以求得函数在某个点的变化率和局部近似。
这对于优化问题和函数分析非常有用。
希望本文对你理解二元函数的微分有所帮助。
二元函数求极限的微分法与导数应用
二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。
本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。
一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。
对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。
以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。
具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。
（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。
（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。
具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。
（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。
（3）对变量u求极限lim f(u)。
（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。
三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。
以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。
而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。
2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系1. 引言1.1 介绍二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分中一个重要而复杂的问题。
在研究二元函数时，我们经常需要考虑其在某一点处的偏导数和全微分。
偏导数描述了函数在特定方向上的变化率，而全微分则描述了函数在整个空间上的变化。
二者之间的关系可以帮助我们更深入地理解函数的性质和行为。
在介绍这个问题之前，我们需要先了解什么是二元函数。
二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)。
它描述了一个平面上的点在空间中的映射关系，因此我们可以通过二元函数来分析和描述各种复杂的现象。
研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系具有重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解函数在不同方向上的变化规律，从而为优化算法和物理建模等领域提供重要参考。
通过研究这一关系，我们能够揭示函数的微小变化对整体性质的影响，为相邻点之间的函数值变化提供更准确的预测。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分领域一个复杂而有意义的问题，通过深入研究这一关系，我们可以加深对函数性质的理解，提高数学建模和实际问题求解的能力。
1.2 研究意义研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系具有重要的理论意义和实际应用意义。
在数学分析领域，理解二元函数的连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助我们深入理解多元函数的微分学理论，为进一步研究高维空间中的函数提供基础。
在工程领域，掌握二元函数连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助工程师更好地理解和分析复杂的物理现象和工程问题，优化设计方案，提高工程效率和质量。
对二元函数连续偏导数和全微分之间关系的研究也对人工智能领域的发展具有重要意义，促进机器学习算法的发展和应用。
深入研究二元函数连续偏导数和全微分之间的关系，对于推动数学理论的发展、提高工程实践的水平以及推动人工智能技术的发展都具有重要意义。
1.3 研究对象二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是数学分析中一个重要的研究对象。
二元函数微分学
二元函数微分学在微积分学中，除了对一元函数的微积分研究，我们也需要了解对于二元函数的微积分，这就是二元函数微分学。
其研究的重点是对于二元函数的导数的概念，以及对其进行求解的方法。
二元函数概念在开始对于二元函数的微积分进行研究之前，我们首先需要了解的是二元函数的概念。
在数学中，二元函数可以表示为$f(x,y)$，其中$x$和$y$都是自变量。
而因变量$f(x,y)$则表示为由$x$和$y$确定的一个实数值，也就是函数值。
对于一个二元函数$f(x,y)$，我们可以通过其中的函数图像来进行具体分析。
函数图像是在$x$和$y$平面上，将函数$f(x,y)$所对应的点$(x,y)$和它的函数值$f(x,y)$之间的关系所形成的图形，常常用于解决问题并进行计算。
二元函数导数概念在了解二元函数之后，我们需要进一步了解二元函数的导数概念。
对于一元函数$f(x)$，其导数表示为$f'(x)$，而对于一个二元函数$f(x,y)$，其导数则表示为$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$，分别表示对于$x$和$y$的偏导数。
二元函数的偏导数概念在微分学中，对于偏导数的概念对于二元函数的研究十分重要。
对于二元函数$f(x,y)$来说，其对于$x$的偏导数可以表示为：$$f_x(x,y)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$也可以表示为$\dfrac{\partial f}{\partial x}$。
对于$y$的偏导数同理。
偏导数的求解方法对于二元函数的偏导数，我们可以通过以下方法进行求解，以$f(x,y)=x^2y+2xy^2$为例：1. 对于$x$的偏导数，我们可以将$y$看作常数，将$x$看作变量，通过求解可得$f_x(x,y)=2xy+2y^2$。
2. 对于$y$的偏导数，我们可以将$x$看作常数，将$y$看作变量，通过求解可得$f_y(x,y)=x^2+4xy$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
引例:
• 圆柱体的体积
r
h
• 定量理想气体的压强
• 长方形的面积公式 S xy x, y x 0, y 0
微积分
定义：设在某个变化过程中有三个变量
x, y和z，D是平面上的一个非空点集.
如果当变量x, y在D内任取一组值时，变量z按照某 一确定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称 变量 z为变量x, y的二元函数，通常记为
x4
y2
xy 2
(2)
lim
(x, y)(0,0)
x2
y2
xy
(4) lim ( x, y)(0,0)
微积分
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点
A 的距离 APK ,(或总可以被包围在一个以原 点为中心、半径有限大的圆内的区域）则称D为有界域.
否则称为无界域.
微积分
二、二元函数的概念
二、二元函数的极限（又称二重极限）
定义:设函数 z f ( x, y)在点 p0(x0,y0)的某个去心邻域
内有定义，如果存在常数 A，使得当动点 p(x, y)沿任意 路径趋于点 P0(x0, y0) 时，函数 f ( x, y) 总无限趋于 A,则 称常数 A 为函数 f ( x, y) 当 (x, y) (x0 , y0 )时的极限.
为二元函数的图形.
（如下页图）
微积分
二元函数的图形通常是一张曲面.
微积分
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
此二元函数的极限一定不存在；
（4） lim , lim 表示的是累次极限，与二重极限 lim 不同.
xx0 , y y0 y y0 , xx0
（x, y )( x0, y0 )
微积分
例题讲解
求下列极限
(1) lim sin(xy)
( x, y )(1,0)
y
x2 y
(3)
lim
(x, y)(0,0)
z f x, y, x, y D
其中点集D称为该函数的定义域，x, y称为自变量，z称为因变量.
数集 z z f x, y, x, y D 称为该函数的值域.
微积分
二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
2) 聚点可以属于E ,也可以不属于E(因为聚点可以为
E 的边界点 )
例如,{( x, y) | 0 x2 y2 1} (0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x , y ) | x2 y2 1 } 边界上的点都是聚点也都属于集合．
微积分
(3) 开区域及闭区域
• 若点集E的点都是内点，则称E为开集；
微积分
第六章 二元函数微积分
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
微积分
第一节 二元函数的基本概念
一、平面点集 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性
微积分
一、平面点集
1、邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个定点， 是 某一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为
微积分
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
微积分
z
z 1 ( x2 y2 )图形
o
y
x
z
z 1)，
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
微积分
2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集E及一点P :
• 若存在点P的某邻域 U(P) E ,
则称P为E的内点；
• 若存在点P的某邻域 U(P)∩E = ,
记作:
lim f ( x, y) A
（ x,y)(x0 , y0 )
lim f (x, y) A
(x, y)(x0 , y0 )
ε 0, δ 0, 当0 PP0 δ时， 有 f (x, y) A ε
微积分
几点说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）罗必塔法则不可用；
（3）若 P P0 的方式不同，使得极限不相同，则
• E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ;
• 若点集E E , 则称E为闭集；
• 若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连，
则称D是连通的；
D
• 连通的开集称为开区域，简称区域 ； 。
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。
微积分
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
•P
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
E
微积分
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域（连
(x, y) 1 x2 y2 4 通的开集）
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
闭区域（开 区域连同它 的边界）
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o12 x
则称P为E的外点 ;
• 若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点 ,则称P为E的边界点 .
显然,E 的内点必属于E , E 的外点必不属于E ,E 的
边界点可能属于E, 也可能不属于E .
微积分
（2）聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 ,则
称点P是E 的聚点.
说明： 1) 内点一定是聚点；