第六章_二元函数微积分

此二元函数的极限一定不存在；
（4） lim , lim 表示的是累次极限，与二重极限 lim 不同.
xx0 , y y0 y y0 , xx0
（x, y )( x0, y0 )
微积分
例题讲解
求下列极限
(1) lim sin(xy)
( x, y )(1,0)
y
x2 y
(3)
lim
(x, y)(0来自百度文库0)
为二元函数的图形.
（如下页图）
微积分
二元函数的图形通常是一张曲面.
微积分
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
x4
y2
xy 2
(2)
lim
(x, y)(0,0)
x2
y2
xy
(4) lim ( x, y)(0,0)
2) 聚点可以属于E ,也可以不属于E(因为聚点可以为
E 的边界点 )
例如,{( x, y) | 0 x2 y2 1} (0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x , y ) | x2 y2 1 } 边界上的点都是聚点也都属于集合．
微积分
(3) 开区域及闭区域
• 若点集E的点都是内点，则称E为开集；
• E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ;
• 若点集E E , 则称E为闭集；
• 若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连，
则称D是连通的；
D
• 连通的开集称为开区域，简称区域 ； 。
• 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。
微积分
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点， 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
U(P0 , )，
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集E及一点P :
• 若存在点P的某邻域 U(P) E ,
则称P为E的内点；
• 若存在点P的某邻域 U(P)∩E = ,
引例:
• 圆柱体的体积
r
h
• 定量理想气体的压强
• 长方形的面积公式 S xy x, y x 0, y 0
微积分
定义：设在某个变化过程中有三个变量
x, y和z，D是平面上的一个非空点集.
如果当变量x, y在D内任取一组值时，变量z按照某 一确定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称 变量 z为变量x, y的二元函数，通常记为
z f x, y, x, y D
其中点集D称为该函数的定义域，x, y称为自变量，z称为因变量.
数集 z z f x, y, x, y D 称为该函数的值域.
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二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
•P
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
E
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例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域（连
(x, y) 1 x2 y2 4 通的开集）
(x, y) x y 0
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
闭区域（开 区域连同它 的边界）
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o12 x
则称P为E的外点 ;
• 若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点 ,则称P为E的边界点 .
显然,E 的内点必属于E , E 的外点必不属于E ,E 的
边界点可能属于E, 也可能不属于E .
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（2）聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 ,则
称点P是E 的聚点.
说明： 1) 内点一定是聚点；
记作:
lim f ( x, y) A
（ x,y)(x0 , y0 )
lim f (x, y) A
(x, y)(x0 , y0 )
ε 0, δ 0, 当0 PP0 δ时， 有 f (x, y) A ε
微积分
几点说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）罗必塔法则不可用；
（3）若 P P0 的方式不同，使得极限不相同，则
微积分
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
• 对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点
A 的距离 APK ,(或总可以被包围在一个以原 点为中心、半径有限大的圆内的区域）则称D为有界域.
否则称为无界域.
微积分
二、二元函数的概念
微积分
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
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z
z 1 ( x2 y2 )图形
o
y
x
z
z 1 x2 y2
y
x
微积分
微积分
第六章 二元函数微积分
一元函数微分学 推广
多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
微积分
第一节 二元函数的基本概念
一、平面点集 二、二元函数的概念 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性
微积分
一、平面点集
1、邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个定点， 是 某一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，称为点 P0的 邻域，记为
二、二元函数的极限（又称二重极限）
定义:设函数 z f ( x, y)在点 p0(x0,y0)的某个去心邻域
内有定义，如果存在常数 A，使得当动点 p(x, y)沿任意 路径趋于点 P0(x0, y0) 时，函数 f ( x, y) 总无限趋于 A,则 称常数 A 为函数 f ( x, y) 当 (x, y) (x0 , y0 )时的极限.