【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.2等差数列(一)导学案新人教A版必修5

§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝a ＋b
2
.
3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .
4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C
2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B
3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *
)，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D
4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a
b
等于( ) A.14 B.12 C.13 D.23 答案C
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，
∴a ＝x 2，b ＝32x .
∴a b ＝13
. 5．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 答案 B
解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.
6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2²a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )
A ．a n ＝2n －2 (n ∈N *
)
B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N *
)
C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N *
)
D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N *
) 答案 D
解析 由⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2²a 4＝12，a 2＋a 4＝8，
d <0，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝6，
a 4＝2，
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝8，
d ＝－2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)³(－2)，
得a n ＝－2n ＋10. 二、填空题
7．已知a ＝13＋2，b ＝1
3－2
，则a 、b 的等差中项是
________________________________________________________________________． 答案 3
8．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________．
答案 a n ＝1
4
n ＋1
解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝5
4.
∴这个等差数列的前三项依次为54，32，7
4
.
∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)³14＝n
4＋1.
9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1
d 2
的值为________． 答案 43
解析 n －m ＝3d 1，d 1＝1
3(n －m )．
又n －m ＝4d 2，d 2＝1
4
(n －m )．
∴d 1d 2＝1
3n －m
14n －m ＝43
. 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
答案 8
3
<d ≤3
解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a 9＝－24＋8d ≤0a 10＝－24＋9d >0
解得：83<d ≤3.
三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d a ＋d ＝40，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4a ＝26，a 2－d 2
＝40.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13
2
，d ＝3
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13
2，d ＝－3
2.所以这四个数为2,5,8,11
或11,8,5,2.
12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4
a n －1
(n ≥2)，令b n ＝
1
a n －2
. (1)求证：数列{b n }是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式．
(1)证明 ∵a n ＝4－4
a n －1
(n ≥2)，
∴a n ＋1＝4－4a n
(n ∈N *
)．
∴b n ＋1－b n ＝
1a n ＋1－2－1a n －2＝12－
4a n
－1
a n －2
＝
a n a n －
－
1a n －2＝a n －2a n －＝12
. ∴b n ＋1－b n ＝12
，n ∈N *
.
∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为1
2
.
(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝1
2
.
∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n
2
.
∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n . 能力提升
13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．不确定 答案 B
解析 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，
d ＝40n －1
为整数，且n ≥3. 则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *
时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n
，
n ∈N *
.
(1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n >1，n ∈N *
时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1
⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.
∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1.
∴a n ＝1b n ＝14n ＋1
，n ∈N *
.
∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，
∴n ＝11.
即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．
1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .。