例 一项工程,甲队单独做完要天,乙队单独做完要天
六年级奥数-19周期工程问题
周期工程问题1.理解复杂周期问题的工程步骤，能找出循环的顺序。
2.掌握周期工程问题的一般解题方法和步骤。
1.重点：基础的工程公式要牢记，工作总量=工作效率×工作时间，掌握设单位“1”的方法。
2.难点：理解完整周期的意义，能够对完成情况进行讨论和判断，拆分步骤并转化成简单工程问题进行求解。
类型一：一定顺序的周期工程问题对于有一定顺序的周期工程问题，一般情况是交替工作，一个周期内每一方工作的时间相同。
例题1一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。
若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？练习1.一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。
如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的，注意剩下的部分由谁来完成。
例2.一项工程，甲、乙合作2623天完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲单独做要多少天才能完成？练习1.一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。
如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？设总工程量为单位“1”，首先分别求出甲乙工作效率，确定顺序后，计算循环的次数。
例3.一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
已知甲、乙工作效率的比是5：3。
甲、乙每天各做多少个？练习1.一项工程，甲单独做6天可以完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。
六年级下册数学试题-工程问题(ABC级)(解析版)全国通用
知识框架一、基本概念（1） 工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2） 工作时间（3） 工作效率单位时间内所完成的工作量二、基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、常用工具和方法（1） 基本关系（2） 整体化归思想（3）对比分析的方法重难点（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用工程问题例题精讲一、根据基本关系解题2821【例 1】一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？2112【例 2】一项工程，甲队单独完成需40天。
若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单208独做天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？15二、运用整体化归思想解题【例 3】有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。
甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。
开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。
则丙帮甲小时，帮乙小时。
【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例 4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午112去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工3712地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有41多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、A B B A 14乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工A 202430A 程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲B B 队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？A【例 5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙3管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的54616水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢1出水池？三、运用对比分析方法解题【例 6】一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，201530那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那1236么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例 7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？61286【巩固】一件工作甲先做小时，乙接着做小时可以完成；甲先做小时，乙接着做小时也可以完成．如果甲做小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？3【例 8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能15完成？【例 9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例 10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例 11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需9.89.6要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例 12】一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，312512恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多12小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？13【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人12轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一1310.75起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例 13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。
工程问题经典练习题
工程问题练习题⒈有一批生产任务，甲独做要 天完成，乙独做要 天完成，丙独做要 天完成。
⑴如果甲乙丙合作，多少天可以完成任务？⑵甲乙合作 天，完成这批任务的几分之几？还剩几分之几？⑶如果甲乙丙合作，多少天可以完成任务的 ？⑷如果甲先做 天，余下任务由乙丙合作，还要几天？⑸如果甲乙合作 天后，余下任务由丙独做还要多少天？⑹在甲乙丙合作过程中，甲外出 天，完成任务时实际用了多少天？⒉甲乙丙三人共同完成一批任务，甲前 天每天完成 ，接着乙用 天时间完成任务的 ，最后丙生产了 个零件，正好完成任务。
这批零件多少个？⒊运一批建筑材料，甲车 天可以运，乙车 天只运了，现在甲乙两车共同运，几天可以运完这批建筑材料？⒋有一项工程，甲独做 天完成这项工程的，乙独做 天可以完成这项工程的 甲乙合做几天可以完成这项工程的？⒌一项工程，甲乙合做 天完成，如果甲先做 天，再由乙做 天即可完成。
如果甲独做，需要几天完成？⒍一个水池，有甲乙丙三个进水管，开甲乙两管 小时可以注满水池，开甲丙两管 小时可以注满水池，开乙丙两管 小时可以注满水池。
三管同开，几小时注满水池？⒎一项工程，甲独做 天完成，乙独做 天完成。
甲乙合做了几天后甲被调出，乙继续做，完成任务时一共用 天。
问甲被调出几天？⒏甲乙两工程队修公路，甲队独做要 天，乙队独做要 天。
两队合修几天后，乙队被调走，余下的工程由甲队在 天内完成，乙队实际修了几天？⒐有一项工程，甲独做 天完成，乙独做 天完成。
两人合做 天后，甲因故调走，由乙独做，还要几天才能完成任务？⒑有一项工程，甲独做 天完成，乙独做 天完成。
两人合做几天后，甲因故调走，由乙独做 天才能完成任务。
问甲乙合做了几天？⒒有一项工程，甲独做 小时完成，乙独做 小时完成，丙独做 小时完成。
甲乙丙三人合做几小时完成？⒓有一个水池有三根水管，甲管 小时可注满水池，乙管 小时可注满水池，丙管 小时可放完满池水，三管同开，几小时注满水池？⒔有一项工程，甲独做要 天完成，乙独做要少 天完成，丙独做要的天数比甲队多三队合做几天完成？⒕一件工作，甲乙合做 天完成，乙队独做 天完成。
【精品】六年级(上) 数学应用题及解析-类型七 工程问题人教新课标版(2014秋)
11.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成 现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
12．甲乙两队合挖一条水渠，已知乙队的工效是甲队的工效的 ，若甲队独挖20天可完成， 那么两队合挖多少天可以完工？
12.【解析】首先根据工作效率=工作量÷工作时间，分别求出甲、乙的工作效率各是多少；然后根据工作时间=工作量÷工作效率，用1除以甲乙的工作效率之和，求出两队合挖多少天可以完工即可．
【答案】解：1÷（ ）
=1
=12（天）
答：两队合挖12天可以完工．
13.【解析】把这项工程的量看作单位“1”，先依据工作总量=工作效率×工作时间，求出甲完成的工作量，再求出剩余的工作量，最后依据工作时间=工作总量÷工作效率即可解答．
13．一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成．现在甲先做6天后，剩下的由乙单独做完．乙做了多少天？
14．一个水池可容水84吨，有两个注水管注水，单开甲管8小时可将水池注满，单开乙管6小时可注满．现在同时打开两个水管，注满水池时，乙管注入水池多少吨水？
15．（2014•泸西县校级模拟）一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要15天完成，甲先做了5天后，剩下的甲乙合做几天可以完成？
【答案】1- ×（10+8）=1- = ÷8= 1÷ =20（天）
答：乙队单独做这项工程需要20天完成
5.【解析】先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几，再求三人合作需要多少天完成
【答案】1÷〔（ ＋ + ）÷2〕=5 （天）
五年级应用题工程问题1教师版
基本工程问题知识要点工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一、工程问题：定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。
工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量（1÷工作时间）三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、解题的思考方法：解答工程问题时一定要认真审题，弄明白是完成全部工程，还是该工程的部分（即它的几分之几）？有几个人或单位参加工作？他们完成这项工程各自需要多少时间？推得各自的工效是几分之一？他们是同时开始、同时结束工作的，还是有先有后的？具体要求什么等等。
因为工程问题的条件可用多种形式提出，有的不以“工程”命题，有的与其他类型的题目结合，这样，工程问题的题目就复杂起来。
但复杂是可以向简单转化的，通过一定的手段，使其变为若干个基本题，解题的基本思路与方法是不变的。
因此，只要抓住工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，细心分析，就能找到解题的途径、步骤和方法。
三、利用常用常用的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．简单工程（工作效率一定）1.一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的128，乙每天完成总量的121，两人合作每天能完成总量的111282112+=，所以两人合作的话，需要111212÷=天能够完成．2.一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的130，甲、乙合作每天完成总量的112，乙单独做每天能完成总量的111123020-=，所以乙单独做112020÷=天能完成．3.（第五届走美杯初赛）甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30分钟打了A材料的14，乙40分钟打了B材料的27。
人教版六年级数学上册第三单元工程问题 人教版(解析版)
六年级数学上册典型例题系列之第三单元工程问题（解析版）编者的话：本试题是在《分数除法应用题提高部分》基础上进行编辑总结的，题型主要包括工程问题基础类型题、求合作时间类型题、求单量单独完成时间类型题、工程问题中的请假问题和较复杂的工程问题，共计十三个考点，按编排顺序考点难度由浅及深，考试出现频率逐次降低。
值得注意的是，《工程问题》虽然是小学数学应用题中的一个独立类型，但是在实际教学中大多数教师都在六年级数学上册第三单元分数除法章节进行讲解和练习，因此，编者认为可配合《分数除法应用题提高部分》再行使用，亦可根据学生掌握情况而定，欢迎使用。
【知识点总览】1. 工程问题的意义与工作效率、工作时间、工作总量有关的问题被称为工程问题。
2.工程问题的特征通常把工作总量看作单位“1”，在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
3. 工程问题的解法解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
4.基本数量关系工作效率×工作时间=工作总量，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。
【考点一】工程问题基础题型。
【方法点拨】工程问题的基础题型是主要根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式：工作效率×工作时间=工作总量，工作效率=工作总量÷工作时间， 工作时间=工作总量÷工作效率。
【典型例题】一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 解析：直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。
1÷20=201 答：略。
【对应练习1】乙队完成一项工程的32需要12天，求乙队的工作效率。
人教版七年级上册数学期末一元一次方程应用题(工程问题)专题训练(含答案)
人教版七年级上册数学期末一元一次方程应用题（工程问题）专题训练1．一项工作，如果由甲单独做，需6小时完成；如果由乙单独做，需要5小时完成.如果让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需多长时间完成？2．一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？3．整理一批图书，由一个人做要10小时完成．现计划由一部分人先做1小时，然后增加2人与他们一起做2小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？4．某地为了打造风光带，将一段长为的河道整治任务分配给甲，乙两个工程队先后接力完成，共用时天，已知甲工程队每天整治，乙工程队每天整治．求：(1)甲，乙两个工程队分别整治了多长的河道？(2)甲、乙两工程队各整治河道的天数．5．甲、乙两队修一座桥，如果由甲队单独完成，需要15天；如果由乙队单独完成，需要30天．现在由甲队单独做了3天后，承办方接到通知，需要加快修桥进度，后续工程由甲、乙两队共同完成，则甲、乙两队后续需要合作多少天才能修完这座桥?6．甲乙两人承包铺地砖任务，若甲单独做需20小时完成，乙单独做需要12小时完成．甲乙二人合做6小时后，乙有事离开，剩下的由甲单独完成．问甲还要几个小时才可完成任务？12360m 2024m 16m7．将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时．(1)如果让甲、乙合作，需几小时完成这项工作任务的一半？(2)如果乙先做90分钟，然后甲、乙合作，还需多长时间才能完成这项工作？8．某工程队修一条隧道，计划每天修600米，20天完成，而实际每天多修25%，实际可以提前几天完成？（用比例解）9．一项工程，甲单独做需20天完成 ，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？10．修一条高速公路，甲队修了全长的60%，乙队修了全长的30%，甲队比乙队多修27千米，这条公路全长多少千米？11．甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？12．为了打赢蓝天保卫战，某市环保局对一段长的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成．已知甲工程队每天完成，乙工程队每天完成．(1)若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，则整治这段河道需要多少天？(2)若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时天，求甲、乙工程队分别整治了多长的河道．13．修一条公路，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要12天，甲先修4天后，为加快工程进度，乙加入，二人合作完成余下的任务，问还需多少天完成？（列方程解）2400m 30m 50m 6020．某信息管理中心，在距下班还剩4小时的时候，接到将一批工业最新动态信息输入管理储存网络的任务，甲单独做需6小时完成，乙单独做需4小时完成：（1）甲乙合作需要小时完成?（2）若甲先做30分钟，然后甲、乙合作，则甲、乙合作还需多少小时才能完成工作?（3）若甲先做30分钟，然后甲、乙合作1小时，这时又接到新的工作任务，必须调走一人，问剩下那人能否在下班之前完成这项工作?参考答案：。
工程问题应用题
工程问题应用题工程问题应用题1、一件工作，甲单独完成要用8天，、乙单独完成要用6天。
两人合作要用几天？2、一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做12天完成，丙队单独做16天完成。
（1）如果由甲、丙合作，多少天能够完成？（2）如果由乙、丙合作3天，能够完成这项工程的几分之几？（3）如果由甲、乙、丙合作，多少天能够完成？3、加工一批零件，甲独做6小时能够完成，乙独做9小时能够完成，甲、乙合作完成这批零件的3/4，需要多少小时？4、一辆汽车从甲地到乙地需要15小时，另一辆汽车从乙地到甲地需要12小时，两车同时从两地相向开出，经过几小时两车相遇？5、加工一批零件，甲独做6小时能够完成。
这批零件已经由乙完成了1/4，剩下的零件由甲做，还要几小时完成？6、一块地，甲拖拉机单独耕要15小时，乙拖拉机单独耕要10小时，如果乙拖拉机先耕2小时，剩下的由甲、乙拖拉机合耕，还要几小时？7、加工一批零件，甲独做要6小时，乙独做要8小时，如果先由甲做2小时，剩下的家、乙合作，还要多少小时完成？8、打一份稿件，单独打，甲打字员要5小时，乙要6小时，丙要10小时，三人合打需几小时？9、一批零件，甲独做要6小时完成，乙独做要9小时完成，甲、乙合作几小时可完成全部的5/6？10、修一条水渠，前10天修全长的2/7，照这样计算，余下的要几天修完？11、一件工程，甲独做10天完工，乙独做12天完工，丙独做15天完工，现由乙、丙先做2天，余下的由甲独做，还需多少天？12、修一条120千米的路，由甲队独修要3天，由乙队单独修要4天修完，现在两队合修多少天完成？13、一项修路工程，甲队20天可修完，乙队15天可修完。
先甲乙两队合干6天后还有30米没修完，这条路有多长？14、甲、乙两个修路队，甲队单独修5天完成1/5，甲、乙合修3天完成1/5，乙单独修需多少天？15、生产一批零件，师傅单独做要6小时，徒弟单独做要10小时，现在师徒合作，完成任务时，师傅比徒弟多生产了240个，这批零件共多少个？16、甲、乙两队合作12天可完成一项工程，如果甲工作3天，乙工作两天，可完成这项任务的1/5，求甲、乙单独做各需多少天？17、两列火车同时从相距630千米的两个城市相对开出。
六年奥数综合练习题十一答案(工程问题)
六年奥数综合练习题十一答案（工程问题）在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量=工作效率×时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.举一个简单例子.一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率=6（天）·两人合作需要6天.这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是30÷（3+ 2）= 6（天）数计算，就方便些.∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也需时间是因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是（18- 2 ×3）÷3= 4（天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6∶9= 2∶ 3.甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解：共做了6天后，原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？解：先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 56 （天）.答：乙还需要做56天.例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完工共用了11天.解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 ×8- 1×2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.4=3+1，其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）.因此乙休息天数是（20- 3 ×3）÷2= 5.5（天）.解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：这两项工作都完成最少需要12天.例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作，共完成3×0.8 + 2 ×0.9= 4.2（份）.因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙6小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作6小时，甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每有一点方便，但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解：设这件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？解一：设这项工作的工作量是1.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组2人和乙组7人每天能完成答：合作3天能完成这项工作.解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为：甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了4200个零件.解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.已知甲、乙工作效率之比是3∶2= 12∶8.综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400÷（12- 8）×7= 4200（个）.例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.三人共同搬完，需要60 ×2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6×8）÷4= 3（小时）.乙需丙帮助搬运（60- 5×8）÷4= 5（小时）.三、水管问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是27立方米.例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？答：开始时打开6根水管.例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.以后（20小时），池中的水已有此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.因此，答案是28小时，而不是30小时.例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 ×60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷（5×150- 8 ×90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 ×8 ×90，其中90分钟内流入水量是4 ×90，因此原来水池中存有水8 ×8 ×90-4 ×90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 ×13- 4）=54（分钟）.答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为1.A管每小时排出A管4小时排出因此，B，C两管齐开，每小时排水量是B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是答：B，C两管齐开要4 小时48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数24.17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.原有草+4星期新长的草=12×4.原有草+9星期新长的草=7×9.由此可得出，每星期新长的草是（7×9-12×4）÷（9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是这些草能让90×7.2÷18=36（头）牛吃18个星期.答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.从9点至9点9分进入观众是3×9，从9点至9点5分进入观众是5×5.因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.9点前来的观众是5×5-0.5×5=22.5.这些观众来到需要22.5÷0.5=45（分钟）.答：第一个观众到达时间是8点15分.从例20和例21中，我们也注意到，设置计算单位的重要性.选择适当的量作为计算单位，往往使问题变得简单且易于表达.本书中多次提到设单位问题，请同学们注意学习.。
例1一项项目工程,甲队单独做完要12天,乙队单独做完要10天
例1 一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个1160，就是两队合做完成这个工程的天数.【解法1】两队合做1天完成的工程？1 12＋110=1160两队合做多少天完成这项工程？1÷1160=5511（天）综合算式：1÷（112+110）=1÷1160=5511（天）.【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法2】假设这项工程总工作量为60.60÷（60÷12+60÷10）=60÷（5+6）=60÷11=5511（天）.【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.【解法3】10÷（1+10÷12）=10÷（1+）=10÷=（天）.【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。
那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.【解法4】12÷（1+12÷10）=12÷（1+）=12÷=（天）.答：两队合做天就可以完成.【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。
解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例2 一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。
工程问题
A.
）
B. 1）
3．拓展训练（只列式）
(1）有一批布，如果只做上衣可做20件，只做裤子 可做30条，请你算一算，这批布可以做几套这样的 西服？
（2）运输队要运3200袋大米，前2天运了全部的 照这样计算，运完这批大米还需多少天？
四、当堂反馈
长的
30
，两人合修多少天完成？
(2）一项水渠，由第一队修16天完成，由第二队修 理20天完成，两队同时修几天完成？
（3）甲乙两人打一份稿件，甲单打要4天完成，乙 单独打要6天完成，两人合作几天才能完成这份稿件 的5 ?
6
辨析训练
1 1 一条路，甲队独修 4 天完成，乙队独修 5 天
完成，两队合修几天完成？
工 程 问 题
一、旧知链接
1.一项工程,甲队单独修要4天完成，乙队单独修要8天完成。
1 （1）甲队单独修，每天完成全部工程的（ 4 ）；
1 8
（2）乙队单独修，每天完成全部工程的（
）；
3 8
（3）甲乙两队合修，每天完成全部工程的（
）；
2.（1）一段公路长30千米 。甲队单独修10天完成，乙队单 独修15天完成，两队合修几天完成？（列式计算） （2）如果把上题30千米换成60千米、150千米、600千米， 结果如何？ （3）观察以上几道算式，你发现什么现象？
二、新知探究
例1：一段公路,甲队单独修10天完成，乙 队单独修15天完成，两队合修几天完成？ （1）列式计算并说说你是怎样想的？ （2）原题30千米改编后是“1”，工作总量变 了，合作时间为什么还是不变？ （3）两种解法有什么相同点与不同点？
（4）哪种方法好？好在哪里？
六年级数学第三单元解决问题
六年级数学第三单元解决问题一、工程问题类。
1. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。
两队合作多少天可以完成这项工程？- 解析：把这项工程的工作量看作单位“1”。
根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，甲队的工作效率是1÷10=(1)/(10)，乙队的工作效率是1÷15=(1)/(15)。
两队合作的工作效率就是(1)/(10)+(1)/(15)=(3 + 2)/(30)=(1)/(6)。
再根据工作时间 = 工作总量÷工作效率，两队合作完成这项工程需要的时间是1÷(1)/(6)=6天。
2. 修一条路，甲工程队单独修要12天完成，乙工程队每天修(1)/(18)。
如果两队合修，多少天可以修完这条路？- 解析：甲工程队的工作效率是1÷12=(1)/(12)，两队合作的工作效率是(1)/(12)+(1)/(18)=(3+2)/(36)=(5)/(36)。
工作总量为单位“1”，所以两队合修完这条路需要的时间是1÷(5)/(36)=1×(36)/(5)=7.2天。
3. 一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成。
甲先单独做9小时，后因甲有其他任务调离，余下的任务由乙单独完成。
那么乙还要多少小时完成？- 解析：甲的工作效率是1÷15=(1)/(15)，甲先做9小时的工作量是(1)/(15)×9=(3)/(5)。
那么剩下的工作量是1-(3)/(5)=(2)/(5)。
乙的工作效率是1÷10=(1)/(10)，根据工作时间 = 工作总量÷工作效率，乙完成剩下工作需要的时间是(2)/(5)÷(1)/(10)=(2)/(5)×10 = 4小时。
二、分数除法基本应用类。
4. 一个数的(3)/(4)是18，这个数是多少？- 解析：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。
四年级计划实际应用题
四年级计划实际应用题一、工程问题类。
1. 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成。
两队合作多少天可以完成这项工程？- 解析：把这项工程的工作量看作单位“1”。
甲队每天的工作效率是1÷10=(1)/(10)，乙队每天的工作效率是1÷15=(1)/(15)。
两队合作每天的工作效率是(1)/(10)+(1)/(15)=(3 + 2)/(30)=(1)/(6)。
根据工作时间 = 工作量÷工作效率，可得两队合作完成这项工程需要1÷(1)/(6)=6天。
2. 修一条路，计划每天修80米，25天修完。
实际每天修100米，实际多少天修完？- 解析：首先根据计划的工作效率和工作时间求出这条路的总长度，即80×25 = 2000米。
实际每天修100米，那么实际修完需要的时间是2000÷100 = 20天。
3. 一项工程，计划12人15天完成。
如果增加3人，实际多少天可以完成？- 解析：先求出这项工程的工作量，每人每天的工作量看作1份，那么工作量为12×15 = 180份。
增加3人后人数变为12 + 3=15人，实际完成天数为180÷15 = 12天。
二、购物消费类。
4. 小明计划买5本笔记本，每本笔记本3元。
他带了20元，实际能买几本笔记本？- 解析：先算出按照计划买5本笔记本需要花费5×3 = 15元。
他带了20元，那么实际可以买20÷3 = 6本（取整数部分），还剩2元钱。
5. 一件衣服原价120元，打八折出售。
如果计划用100元买这件衣服，实际付款后还剩多少钱？- 解析：打八折后的衣服价格为120×0.8 = 96元。
计划用100元购买，实际付款后还剩100 - 96=4元。
6. 超市计划购进一批水果，每箱水果30元，打算购进20箱。
实际购买时每箱水果降价5元，实际用同样的钱可以多买几箱水果？- 解析：计划花费30×20 = 600元。
用“组合法”解工程问题—2022-2023学年六年级数学思维拓展(学生版)
2022-2023学年小学六年级思维拓展专题用“组合法”解工程问题知识精讲在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。
典例分析【典例01】一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的730，乙队单独完成全部工程需要几天？【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量730-115×3=130，从而求出甲队的工作效率。
所以1÷【115-730-115×3÷(5-3)】=20(天)答：乙队单独完成全部工程需要20天。
【典例02】一项工程，甲队独做12天可以完成。
甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的12。
现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。
做完后发现两段所用时间相等。
求两段一共用了几天？【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：12-112×3÷2=18；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。
（1）乙队每天完成这项工程的1 2-112×3÷2=18（2）两段时间一共是1÷18×2+112×2=6(天)答：两段时间一共是6天。
【典例03】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的1116没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。
共要移栽西红柿苗多少棵？【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。
六年级奥数举一反三专题 第22周 特殊工程问题
第二十二周 特殊工程问题专题简析：有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1：修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。
两队合作，每天工作6小时，几天可以完成?把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。
则1÷[15×8 +110×6]÷6=4（天） 或1÷[（15×8 +110×6）×6]=4（天） 答：4天可以完成。
练习1：1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。
现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时?2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。
现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成?3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。
现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。
问：后两天需要多少辆小板车?例2：有两个同样的仓库A 和B ，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
甲和丙在A 仓库，乙在B 仓库，同时开始搬运。
中途丙转向帮助乙搬运。
最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间?设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。
总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2” ① 三人同时搬运了2÷（110 +112 +115）=8（小时） ② 丙帮甲搬了（1-110 ×8）÷115=3（小时） ③ 丙帮乙搬了8-3=5（小时）答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
练习2：1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的110，徒弟每小时加工自己任务的115。
工程问题奥数题
工程问题、某工程甲单独干 天完成，乙单独干 天完成。
他们合干多少天可以完成工程的一半？、甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要 天完成，乙队单独挖要 天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 天内挖完。
乙队挖了多少天？、修一条公路，甲队单独修 天完工，乙队单独修 天完工。
两队合修 天后，乙队调走，剩下的路由甲队继续修完，甲队一共修了多少天？、一项工程，甲单独做 天完成，乙单独做 天完成，甲、乙合作了几天后乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了 天。
乙请假多少天？、有一项工程，甲队单独做 天可完成，乙队单独做 天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过 天才完成全部任务，甲队离开几天？、甲、乙两个工程队共同开挖一条水渠需用 天完成，现两队合挖 天后，甲队另有任务调走，剩下的有乙队单独做 天完成了全部任务。
如果两队单独开挖这条水渠，各需几天完成？、修一条公路，甲队单独修要 天完成，比乙队单独修少用 天。
如果两队合修，几天可以完成这条公路的 ／ ？、一件工作，甲、乙两队合做 天可以完成，共同做了 天后，甲离开了，由一继续做了 天才完成。
如果这件工作有甲、乙单独完成，各需要多少天、甲、乙两人共同做一件工作需 小时完成，在共同工作 小时后，甲因故离开，由乙单独又做了 小时完成了全部任务。
如果甲、乙单独做这件工作各需要多少小时？、生产一批零件，甲单独做 天完成，乙单独做 天完成。
甲先做了若干天后，剩下的甲、乙合做两天完成全部任务，甲先做了多少天 、一项工程，甲、乙两队合做 天完成全部的 ／ ，接着甲队单独做 天后，又由乙队单独做 天完成了全部任务。
如果两队独做，各需几天？工程问题、某工程甲单独干 天完成，乙单独干 天完成。
他们合干多少天可以完成工程的一半？、甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要 天完成，乙队单独挖要 天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在 天内挖完。
名校选拔题：工程问题
名校选拔题：工程问题知识清单:1、基本数量关系工作效率×工作时间=工作总量2、基本特点设工作总量为“1”，工作效率=1÷工作时间3、基本类型（1）休息请假型（2）分工合作型（3）工资分配型(4）交替周期型（5）功效变化型（6)最优配置型4、基本方法算术法比例法方程法典例解析模块一休息请假型例1:一项工程,甲单独做需要30天完成，乙单独做需要45天完成，丙单独做需要90天。
现在由甲乙丙三人合作完成此项工程，在完成这项工程的过程中，甲休息了2天，乙休息了3天,丙没有休息。
问:完成这项工程前后一共用了多少天？例2：一项工程,甲队单独做24天可以完成，甲队做6天后，乙队做4天恰好可以完成一半。
现在甲乙合作若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用的时间相等.完成这项工程共用了多少天？例3：单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲乙二人合作2天后,剩下的由乙继续做，那么刚好在规定时间完成.问：甲乙二人合作需要多少天完成？例4:一个水池子，甲乙两管同时开，5小时灌满,乙丙两管同时开，4小时灌满,如果乙管先开6小时,还需要甲丙两管同时开2小时才能灌满（此时乙管关闭）。
那么乙管单独灌满水池需要几小时?模块二分工合作型例1:搬运一个仓库的货物，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要12小时，丙单独完成需要15小时。
现在有同样的仓库A和B,甲在A仓库,乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始时帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完.问：丙帮甲乙各多少时间？例2：注满一个水池，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2,3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1, 3，4号阀门,则28分钟可以完成；若同时打开1,2，4号阀门，则30分钟可以完成.问：如果同时打开1，2,3,4号阀门，那么多少分钟可以完成？模块三工资分配型例1：甲乙丙三人合修一段围墙.甲乙合修6天修好围墙的1/3，乙丙合修2天修好余下围墙的1/4，剩下的三人又合修了5天才完成。
六年级数学“工程问题”分层练习题(教师用)
六年级数学“工程问题”分层练习题填空练习，复习概念：1.一项工程，甲队单独做需要8天完成，乙队单独做需要6天完成，甲队每天完成（）（），乙队每天比甲队多完成（）（），甲乙两队每天共完成（）（）。
上述问题应把（）看作整体“1”。
2.一项工程，甲乙两队合做要6小时完成，甲单独完成要10小时，乙每小时完成（）（），乙单独做要（）小时。
基础练习，揭示规律：3.一项工程，甲队单独做完需要10天，乙队单独做完需要15天，（1）甲乙两队合做需要多少天完成？（2）甲乙两队合做多少天完成全部工程的56？（3）甲队做2天后，剩下的由乙队单独做，还需要多少天？（4）甲乙两队合做3天后，剩下的由甲队单独完成，还需要多少天？（5）甲队做2天后，剩下的由甲乙两队合做，还需要多少天？4. 一项工程，甲队单独做完需要10天，乙队单独做完需要15天，甲乙两队合做若干天后，剩下的由甲队做了2天，完成全部工程，甲乙两队合做了多少天？5. 一项工程，甲队单独做完需要10天，乙队单独做完需要15天，甲乙两队合做若干天后，乙队因工作需要调离了2天后，又来和甲队合做，问甲乙合做了多少天？拓宽思路练习：6.客车和货车分别同时从相距600千米的甲乙两地相向而行，客车从甲地到乙地要8小时，货车从乙地到甲地要10小时，问客车和货车几小时后相遇？7. 客车和货车分别同时从甲乙两地相向而行，客车从甲地到乙地要8小时，货车从乙地到甲地要10小时，问客车和货车几小时后相遇？增加难度，提高练习：8.修一条公路，甲队单独修要8天完成，乙队单独修要12天完成，现两人同时修了几天后，甲队调走，余下的由乙队在3天内完成。
乙队一共修了几天？9.甲乙两车从两地同时相向而行，6小时相遇，甲行驶全程需要10小时，乙行驶全程要几小时？10.一项工程，甲队先做4天，完成了工程的1后，乙队参加5一起做，共做了6天才完成全部工程，乙队单独完成这项工程需要多少天？。
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例1?? ?一项工程，甲队单独做完要12天，乙队单独做完要10天，两队合做多少天就可以完成？【分析1】把这项工程看作整体“1”，甲每天完成工程的112，乙队每天完成工程的110，甲乙合做每天完成工程的1160，工程“1”里包含几个1160，就是两队合做完成这个工程的天数.【解法1】两队合做1天完成的工程？1 12＋110=1160两队合做多少天完成这项工程？1÷1160=5511（天）综合算式： 1÷（112+110）=1÷1160=5511（天）.【分析2】用最小公倍解法.因为12和10的最小公倍数是60，所以可假设这项工程为60.那么甲队工作效率为60÷12=5，乙队工作效率为60÷10=6，甲乙合做效率为5+6=11.用总工作量60除以甲乙效率和11，即得两队合做完成这个工程的天数.【解法2】假设这项工程总工作量为60.60÷（60÷12+60÷10）=60÷（5+6）=60÷11=5511（天）.【分析3】由题意可知，甲队每天的工作量，乙队天就可完成，即天.两队合做1天的工作量由乙队独做需要1+天，即天.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用10÷=（天）完成.【解法3】 10÷（1+10÷12）=10÷（1+）=10÷=（天）.【分析4】甲队12天的工作量，乙队10天即可完成，所以乙队1天的工作量，甲队要用天完时，即天。
那么甲乙两队合做1天的工作量，甲队要用1+=（天）.所以乙队10天完成的这项工程，两队合做要用12÷=（天）.【解法4】 12÷（1+12÷10）=12÷（1+）=12÷=（天）.答：两队合做天就可以完成.【评注】解法1是工程应用题的一般解法，易于理解.是较好的解法。
解法2是利用求公倍数法解工程应用题，这种解法其实是假设解法，读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工程量.例2? ?一列货车与一列客车同时从甲、乙两站相对开出，经过9小时相遇，相遇后两车都继续以原速前进。
已知货车又行了6小时到达乙站，问客车行完全程需要几小时？（湖南省长沙市东区）【分析1】把甲乙两站全程看作标准“1”.两车同行1小时行完全程的，货车1小时可行全程的，即.那么客车1小时可行全程的-=.全程“1”里包含着多少个，就是客车行全程需要多少小时.【解法1】 1÷（-）=1÷=（小时）.【分析2】货车行全程需9+6=15（小时），9和15的最小公倍数是45，所以两站全程可假设为45，那么两车同时行1小时可行45÷9=5，货车1小时可行45÷15=3，所以客车每小时可行5-3=2.甲乙两站全程45内包含多少个2，就是客车行全程需要多少小时.【解法2】假设甲乙两站全程为45.45÷[45÷9-45÷（9+6）]=45÷[45÷9-45÷15]=45÷[5-3]=（小时）.【分析3】两车9小时行完的路程，货车要用9+6=15（小时）行完.而客车9小时行完的路程，货车只需6小时行完.那么货车1小时行完的路程，客车需要9÷6=（小时）.所以货车15小时的行程，客车需要×15=（小时）.【解法3】 9÷6×（9+6）=9÷6×15=×15=（小时）.【分析4】两车同时行全程需9小时，货车行全程需要9+6=15（小时），那么客车行9小时恰好行完全程的×6=，所以客车每小时行全程的÷9=.由此可求客车行全程的时间.【解法4】 1÷（×6÷9）=1÷（÷9）=1÷=（小时）.【分析5】把客车行完全程需要的时间看作“1”.货车行全程需9+6=15（小时），而货车6小时的行程和客车9小时的行程恰好相同，由此可求出客车9小时行全程的×6=，即9小时的对应分率，由此可求客车行全程的时间.【解法5】 9÷（×6）=9÷（×6）=9÷=（小时）.答：客车行完全程需要小时.【评注】比较以上五种解法，解法1是工程应用题的一般解法，思路简明清晰，易于理解和掌握；解法5是运用分数除法应用题的解法，更有益于理解工程应用题，且运算简便，这两种解法是本题的较好解法.例3????一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲独做12天可以完成.现在甲乙合做若干天后，余下的由乙继续做3天才完成.乙一共做了多少天？（河南省南阳地区）【分析1】乙每天完成这件工作的，那么乙3天完成了这件工作的，再求出甲乙合做的工作量1-=，里包含多少个，就是甲乙合做了几天，即乙先做了几天.再加上余下3天即得乙共做多少天.【解法1】 [1-（）×3]÷+3=[1-×3]÷+3=[1-]÷+3=÷+3=10（天）。
【分析2】根据“甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量”这一等量关系列方程，先求乙先做了几天，再加上3天即得乙共做了多少天.【解法2】设甲乙合做了x天.+=1=1-x=77+3=10【分析3】假设总工作量为24，那么甲乙效率和是24÷8=3，甲的效率是24÷12=2，所以乙的效率是3-2=1，它3天完成了1×3=3.因此，甲乙合做（24-3）÷3=7（天），即乙先做了7天，再加上3天即得乙共做的天数.【解法3】假设工作总量为24.[24-（24÷8-24÷12）×3]÷（24÷8）+3=[24-（3-2）×3）÷3+3=[24-3]÷3+3=21÷3+3=10（天）.【分析4】假设甲乙合做了5天，那么比实际少完成1-×5-（-）×3=，甲乙继续合做还要用÷=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.【解法4】假设甲乙合做了5天.[1-×5-（-）×3]÷+5+3=[1-×5-×3]÷+5+3=÷+5+3=10（天）.答：乙一共做了10天.【评注】解法1和解法2是较好的解法.解法1是工程应用题的一般解法，虽思路较繁，但容易想到.? 例4?? ?如图是表示甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图.请计算：甲、乙两队合做4天后，剩下的工程由丙队做，丙队还要做几天才能完成任务？（广东省深圳市）【分析1】先求出甲、乙两队合做 4天完成了工程的几分之几，再求剩下的工程，再除以丙队每天的工作量，即得丙队还要做的天数.【解法1】甲、乙合做4天完成的工程？剩下的工程有多少？1-=丙队还要几天完成？（天）综合算式： [1-]÷=[1-÷4]÷=[1-]÷=（天）.【分析2】先求出甲、乙合做4天的工作量由丙队独做需要几天，再用丙独做全工程用的1 5天减去这个天数，即得丙队还要做的天数.【解法2】甲、乙合做4天完成多少？=甲、乙合做的工程由丙独做需几天？÷=11（天）剩下的工程丙队还要几天完成？15-11=4（天）综合算式： 15-÷=15-×4÷=15-÷=15-11=4（天）.【分析3】把丙队独做全工程需用天数看作“1”.先求出甲、乙合做后剩下的工程，即丙队还要做天数的对应分率，最后求出剩下工程丙队还需几天完.【解法3】甲、乙合做了工程的几分之几？还剩下全工程的几分之几？1-=丙队完成剩下的工程还需几天？15×=4（天）综合算式： 15×[1-]=15×[1-]=15×=4（天）.【分析4】根据“剩下工程=总工程-甲乙合做的工程”这一等量关系，列方程解.【解法4】设丙队还要x天完成.=1-=1-x=÷x=4答：丙队还要做4天才能完成任务.【评注】比较以上四种解法，解法1和解法3是较好的解法.解法1是解工程应用题的一般方法，容易理解.解法3是运用分数乘法应用题的解法，比解法1的思路更直接.另外，本题还可用最小公倍法和正比例来解，读者可试解一下.例5?????一项工程，甲、乙两队合做20天完成.已知甲、乙两队工作效率的比是4∶5.甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（福建省福州市）【分析1】甲乙两队的工作效率和是，又知甲乙工作效率的比是4∶5，由此运用按比例分配的方法，分别求出甲、乙两队的工作效率.再用总工作量“1”分别除以甲乙的独做效率，即得甲乙独做全工程的天数.【解法1】甲队每天完成多少工程？乙队每天完成多少工程？甲队独做全工程需几天？1÷=45（天）乙队独做全工程需几天？1÷=36（天）综合算式：甲队：1÷（）=1÷=45（天）乙队：1÷（）=1÷=36（天）.【分析2】因为“工作量÷工作效率=工作时间”，工作时间一定，所以工作量和工作效率成正比例.即甲乙两队工作量的比是4∶5，所以甲20天完成了全工程的，乙队20天完成了全工程的.由此可分别求出甲、乙独做全工程各需多少天.【解法2】甲队独做全工程需要多少天？20÷=20×=45（天）乙队独做全工程需要多少天？20÷=20×=36（天）【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4∶5.因为他们的工作效率一定，所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例.由此可分别列比例式，求出两队的独做时间.【解法3】设甲队独做需x天完.20∶4=x∶（4+5）4x=20×9x=20×9÷4x=45设乙队独做全工程需要y天.20∶5=y∶（4+5）5y=20×9y=20×9÷5y=36答：略.【评注】解法1是解工程应用题的一般方法，易于理解，但思路较曲折.解法2是运用分数除法应用题的方法来解的，思路简单明白，运算也较简便，是本题的较好解法.解法3虽与解法2的思路、方法都不同，但两者的数量关系是相同的.例6? ?修一段公路，甲队单独修需要16小时完工.甲乙两队合修4小时后，剩下的由乙队又用小时修完.这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工？（黑龙江省哈尔滨市南岗区）【分析1】乙队先后共修了4+=小时.先求乙队共修了这段路的几分之几，再求乙队的工作效率，最后看这段公路“1”里包含几个乙队的工作效率，即乙队独修需几小时.【解法1】乙队共修了全长的几分之几？1-×4=乙队先后共修了几小时？4+=（小时）乙队每小时修全长的几分之几？乙队独修全长需几小时？1÷=14（小时）综合算式： 1÷[（1-×4）÷（4+）]=1÷[（1-）÷]=1÷[]=1÷=14（小时）.【分析2】把乙队独修全长需要的时间看作“1”.由分析1可知，乙队先后共修了小时，修了全长的，根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时.【解法2】（4+）÷（1-×4）=÷=14（小时）.【分析3】根据“甲队修路+乙队修路=全路长”这一等量关系列方程解.【解法3】设乙队独修需x小时完.×4+×（4+）=1×=1-x=1÷x=14答：这段公路由乙队独修需14小时完工.【评注】比较以上三种解法，解法2的思路最简捷，运算最简便，是本题的最佳解法.例7? ?一项工程甲队单独做要15天才能完成，乙队单独做12天才能完成，如果甲队先做3天后，剩余的工作两队同时去做，还要多少天可以完成？（四川省成都市）【分析1】先求出甲队先完成了工程的几分之几，那么即可求出剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙队的工作效率和，即得甲、乙队合做还要多少天完.【解法1】甲队先做了多少？×3=剩余的工作有多少？1-=两队合做还要多少天完？÷（）=（天）综合算式：（1-×3）÷（）=（1-）÷=÷=（天）.【分析2】把两队合做全工程的时间看作“1”.先求出两队做全工程需要多少天，再求剩余的工程是全工程的几分之几，最后求出两队还要多少天完成.【解法2】甲乙合做全工程需要几天？1÷（）=（天）两队要合做全工程的几分之几？1-×3=两队还要多少天可以完成？×=（天）综合算式： 1÷（）×（1-×3）=1÷×=×=（天）.【分析3】根据“甲队先做的工作量+两队合做的工作量=工作总量”列方程解.【解法3】设两队还要x天完成.×3+（）x=1x=（1-）÷x=【分析4】剩余的工作由甲独做要用15-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么所需的时间和工作效率成反比例.由此列方程解.【解法4】设两队合做还要x天完.×（15-3）=（）x×12=xx=x=答：剩余的工作两队还要天可以完成.【评注】以上四种解法各有特点.解法1是一般解法，最容易想到，运算较简便，是较好的解法.解法2是分数应用题的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法，但等量关系不同.读者可灵活选用.例8? ?仓库有45吨化肥，甲汽车单独运10小时完成，乙汽车单独运15小时完成.用甲乙两辆汽车同时运，多少小时可以运完？（江苏省江都县）【分析1】先求两车每小时各运多少吨，再求两车每小时共运多少吨，最后用总吨数除以两车每小时运的，即得两车同运所需时间.【解法1】甲车每小时运多少吨？45÷10=（吨）乙车每小时运多少吨？45÷15=3（吨）两车每小时运多少吨？+3=（吨）两车同时运需几小时运完？45÷=6（小时）综合算式： 45+（45÷10+45÷15）=45÷（+3）=45÷=6（小时）。