函数表示习题课(2010年高一)

由已知得c=1. 由已知得c
③
1 式解得b=2,a ,c 由①、②、③式解得b=2,a= ,c=1, 2 1 2 +2x ∴f（x）= x +2x+1. 2
待定系数法
数形结合法
求函数解析式的常用方法有: 求函数解析式的常用方法有: (1)代入法， (1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析式； 代入法 代入f 中的x 即得到f 的解析式； (2)拼凑法， (2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形， 拼凑法 的解析式进行拼凑变形， 使它能用g 使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有 表示出来，再用x “g(x)”即可； 即可； (3)换元法，设t=g(x),解出x,代入f［g(x)］,得f(t)的解析式即可 (3)换元法， 换元法 ),解出x 代入f 解出 (4)待定系数法，若已知f (4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式, 待定系数法 的解析式的类型，设出它的一般形式, 根据特殊值，确定相关的系数即可； 根据特殊值，确定相关的系数即可； (5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. (5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式. 赋值法
C.②③ C.②③
D.② D.② ( D )
2.下列各组函数是同一函数的是 2.下列各组函数是同一函数的是
x 1, x > 1 | x| A. y = 与y = 1, B. y =| x 1 | 与y = x 1 x, x < 1 x3 + x C. y =| x | + | x 1 | 与y = 2 x 1, D. y = 2 与y = x x +1
注意:不可将 中的 中的“ 和 混为一谈， 注意 不可将f(x)中的“x”和f[g(x)]的“x”混为一谈，应搞 不可将 的 混为一谈 清它们“范围”之间的关系. 清它们“范围”之间的关系
题型二 求函数的解析式
1+ 5x 1 ）=x2+5x,则f(x)= 2 (x ≠ 0) . 5.已知 已知f +5x 5.已知f（ x x 1 1
9.(课本 25T2)画出写义域为 课本P 画出写义域为{x|-3≤x≤8,x≠5}, 课本 画出写义域为 值域为{y|-1≤y≤2,y≠0}的一个函数的图象 如果平面直角坐标系 的一个函数的图象,如果平面直角坐标系 值域为 的一个函数的图象 中点P(x,y)的坐标满足：-3≤x≤8, -1≤y≤2,那么其中哪些点不能 的坐标满足： 中点 的坐标满足 那么其中哪些点不能 在图象上？ 在图象上？
(
x ≤ 0, x > 0, ∵ f ( x) ≥ 1,∴ 1 或 x + 1 ≥ 1 ( x 1) 2 ≥ 1, 2 ∴ 4 ≤ x ≤ 0或0 < x ≤ 2, 即 4 ≤ x ≤ 2.
失误与防范
1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量,而后寻找等量关系， 1.建立实际问题的函数式，首先要选定变量,而后寻找等量关系， 建立实际问题的函数式 求函数解析式,但要根据实际问题确定定义域 定义域. 求函数解析式,但要根据实际问题确定定义域. 2.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象” 2.判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和 判断对应是否为映射 “且象惟一”.但要注意： 且象惟一” 但要注意： （1）A中不同元素可有相同的象，即允许多对一,但不允许一 中不同元素可有相同的象，即允许多对一, 对多; 对多; (2)B中元素可无原象, (2)B中元素可无原象,即B中元素可有剩余. 中元素可有剩余.
题型三
分段函数
x 2 + bx + c, x ≤ 0, 7.设函数 设函数f 4)=f(0),f 2)=7.设函数f(x)= 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 2, x > 0,
则关于x的方程f )=x解的个数为（ 则关于x的方程f(x)=x解的个数为（ C ） A.1 B.2 C.3 D.4
Y
2
-3
-2
O -1
1
5
8
X
10.(课本 课本P25T3)函数 函数f(x)=[x]的函数值表示不超过 的最大整数 例如 的函数值表示不超过x的最大整数 课本 函数 的函数值表示不超过 的最大整数,例如 [-3.5]=-4，[2.1]=2，当x∈(-2.5,3]时，写出函数 ， 的解析式， ， ∈ 时 写出函数f(x)的解析式，并作 的解析式 出函数的图象。 出函数的图象。
= t ,即x = (t ≠ 0), x t 12 1 1 + 5t ∴ f (t ) = ( ) + 5 = 2 (t ≠ 0), t t t 1 + 5x 故f ( x) = 2 ( x ≠ 0). x 解 :∵ x ≠ 0,∴ 令
6.（ 6.（1）已知 f ( x + 1) = x + 2 x , 求f ( x); 1 已知f(x)满足 满足2f(x)+ f ( )=3x,求f(x) （2）已知 满足 求 x 设二次函数f(x)满足 满足f(x-2)=f(-x-2)，且图象与 轴交点纵 （3）设二次函数 满足 ，且图象与y轴交点纵 坐标为1， 的解析式； 坐标为 ，被x轴截得的线段长为 2 2 ，求f(x)的解析式； 轴截得的线段长为 的解析式
3.设集合A={a,b,c},B={0,1}。试问： 3.设集合A={a,b,c},B={0,1}。试问：从A到B的映射共 设集合A={a,b,c},B={0,1} 有几个？并将它们分别表示出来。 有几个？并将它们分别表示出来。
4.求下列函数的定义域 求下列函数的定义域
1.若函数f(x)的定义域是[0,1],求f(2x+1)定义域.
∴x＞0时，显然x=2是方程f(x)=x的解;x≤0时，方程 显然x=2是方程f )=x的解; ≤0时 是方程 2.综上 综上， f（x）=x即为x2+4x+2=x，解得x=-1或x=-2.综上，方 即为x +4x+2=x 解得x 程f（x）=x解的个数为3. 解的个数为3. 答案
x=-2
Y y=x
题型一： 题型一：基础知识
1.设集合M={x|0≤x≤2}， ={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中， 1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中， 设集合 能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( 能表示集合M到集合N C)
A.①②③④ A.①②③④
B.①②③ B.①②③
2.若函数f(2x+1)的定义域是[-2,2],求f(x)定义域.
（1）求函数的定义域的一般准则： 求函数的定义域的一般准则： ①分式中，分母不为零； 分式中，分母不为零； ②偶次方根中，被开方数非负； 偶次方根中，被开方数非负； 要求x≠0； ③对于y=x0，要求x≠0； 对于y 实际问题 ④由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束. （2）复合函数定义域的求法 ）复合函数定义域的求法: ①已知函数f(x)的定义域 求f(g(x))的定义域时 , 求函数 的定义域D,求 已知函数 的定义域 的定义域时 g(x) ∈D 的x的取值范围 的取值范围. 的定义域,求 的定义域时,求 的定义域时 ②已知函数 y=f[ g (x) ] 的定义域 求f(x)的定义域时 求函 数g(x)的值域 的值域. 的值域
方程组法
Hale Waihona Puke 为二次函数， 解 （3）∵f（x）为二次函数， ≠0)， )=0的两根为 的两根为x ∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. )=ax bx+ 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0. 2)=f ），得 ①
b 2 4ac 又 | x1 x2 |= = 2 2 ,∴ b 2 4ac = 8a 2 . ② |a|
(1)方法一
换无法
设 x + 1 = t (t ≥ 1), 则 x = t 1.代入f ( x + 1) = x + 2 x , 得f (t ) = t 2 1(t ≥ 1),∴ f ( x) = x 2 1( x ≥ 1). (1)方法二
拼凑法
∵ f ( x + 1) = x + 2 x = ( x ) 2 + 2 x + 1 1 = ( x + 1) 2 1, 且 x + 1 ≥ 1, ∴ f ( x) = x 2 1( x ≥ 1).
2.函数的表示法 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有： 表示函数的常用方法有：解析法 、图象法 、列表法 . 3.映射的概念 3.映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f 使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中 都有唯 使对于集合A中的任意一个元素x 在集合B 确定的元素y与之对应，那么就称对应f 一 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为 一个映射 从集合A到集合B __________.一个映射 从集合A到集合B的__________.一个映射 4.由映射的定义可以看出， 概念的推广， 4.由映射的定义可以看出，映射是 函数概念的推广，函 由映射的定义可以看出 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A, B必须是非空数集.
1 x + 1, x ≤ 0, 8.已知 已知f )≥- 成立的x的取值范围是( 8.已知f(x)= 2 使f(x)≥-1成立的x的取值范围是(B ) ( x 1) 2 , x > 0,
A.[-4,2) A.[-
B.[-4,2] B.[-
C.(0,2]
D.(-4,2] D.(-
7解析
由f(-4)=f(0),得b=4,再由f(-2)=-2,得c=2, 4)=f(0),得 =4,再由f 2)=-2,得 再由