江苏省宿迁市2020学年高二数学上学期期末考试试题

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宿迁市2019~2020学年度第二学期期末测试高二数学(含答案)

21．（本小题满分 12 分）
某医疗机构，为了研究某种病毒在人群中的传播特征，需要检测血液是否为阳性．若现有
n(n N ) 份血液样本，每份样本被取到的可能性相同，检测方式有以下两种：
方式一：逐份检测，需检测 n 次；方式二：混合检测，将其中 k(k N，k ≥2) 份血液样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，说明这 k 份样本全为阴性，则只需检测1 次；若检测结果为阳性，则需要对这 k 份样本逐份检测，因此检测总次数为 k +1次．假设每份样本被检测为阳性或阴性是相互独立的，且每份样本为阳性的概率是 p(0 p 1) ．
（2）现取其中 k 份血液样本，若采用逐份检验方式，需要检测的总次数为1 ；采用混合检测方式，需要检测的总次数为2 ．若 E（1）=E（2），试解决以下问题： ①确定 p 关于 k 的函数关系； ②当 k 为何值时， p 取最大值并求出最大值．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) (x 1)ex ， g(x) ln x ，其中 e 是自然对数的底数．
C．抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 C21C928 C22C918 种
D．抽出的
3
件中至少有
1
件是不合格品的抽法有
C3 100
C938
种
10．已知函数 y f (x) 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ▲ ）
A． 1是函数 f (x) 的极小值点 B． 3 是函数 f (x) 的极小值点
数学试卷第 5 页（共 15 页）
（1）在某地区，通过随机检测发现该地区人群血液为阳性的概率约为 0.8% ．为了调查某单位该病毒感染情况，随机选取 50 人进行检测，有两个分组方案：方案一：将 50 人分成10 组，每组 5 人; 方案二：将 50 人分成 5 组，每组10 人．试分析哪种方案的检测总次数更少？(取 0.9925=0.961,0.99210 =0.923,0.99211=0.915)

江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)

高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ，即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（）得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序，可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错；若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错，故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确；故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==，则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ，令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ，令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ，两式相加得82028251222a a a+++=，得8202825622a a a +++= ，则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品，记事件B 表示乙车间生产的产品，记事件C 表示丙车间生产的产品，记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =．【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−，则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥，又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ，不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确；对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4；当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=，当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=，可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确；对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______．【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=，所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种，第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择；第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥，而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ，设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ，故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=，解得14N 3k =∉，不合题意；即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得，其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =；当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =；当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =；当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=；综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员．（1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差．【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==；（2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===，所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=，所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ；（2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明．【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点，所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ，所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解．【小问1详解】由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈，所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼，则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X  ===   ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ，故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥；（2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积；（3）若A 到平面BCFE cos θ的值．【答案】（1）证明见解析；（2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论；（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =；所以//AC DF ，又因为1AD FC ==，可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥，因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥，易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ，所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥；【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠，当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈；以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=，令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=；显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=；又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。

江苏省宿迁市高二数学上学期期末考试苏教版新课标

江苏省宿迁市09-10学年高二上学期期末考试.参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．2,30x R x x ∀∈++= ； 2．4-或3； 3． 4； 4．必要；5．4-； 6．1； 7．220y x =； 8．12；9．； 10．32π； 11．2211； 12．3； 13．(][),22,-∞-+∞； 14．π80．二、解答题: 本大题共6小题, 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分. 15．解: (Ⅰ) 在ABC ∆中, 因为75C =, 60=A , 所以45B =………………………2分又=BC 6a =，由正弦定理，得sin 60sin 45AC =． ……………………… 4分解得 2AC =，即2b =．……………………………………………………………6分（Ⅱ）11sin 7562sin 756sin 7522ABC S BC AC ∆=⋅⋅=⋅⋅=，……………10分因为62sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30+=+=+=，……12分所以342ABC S ∆+==…………………………………………………14分（注：其他解法，按步骤酌情给分）16．解: (Ⅰ)因为方程230x ax a +++=)(R a ∈有实数根,所以 24(3)0a a ∆=-+≥……………………………………………………………2分即 ,01242≥--a a解得 2{-≤x x 或}6≥x所以实数a 的取值范围是),6[]2,(∞+--∞ ．………………………………………6分（Ⅱ）因为2320x ax a b ++++<的解集为}43{<<x x ,所以方程0322=++++b a ax x 的两个实数根为3和4,………………………10分故⎩⎨⎧=⨯=++-=+-=.124332,7)43(b a a解得 ⎩⎨⎧=-=.8,7b a ……………………………………………………………………14分17．解:：(Ⅰ)由已知条件,得,54=a c (1) .4252=c a (2)…………………………2分 ),2()1(⨯得 ,5=a (3)将(3)代入(1), 得 ,4=c …………………………………………………………4分所以,31625452222=-=-=-=c a b 故所求椭圆方程为.192522=+y x ……………………………………………………6分（Ⅱ）212cos MF MF α⋅为定值，理由如下：…………………………………７分由椭圆定义可得 ,1021=+MF MF 两边平方,得 ,1002222121=+⋅+MF MF MF MF (4)……………8分在ABC ∆中, 由余弦定理,得 α2cos 2212221221MF MF MF MF F F ⋅-+=, 所以 ,2cos 2212212221αMF MF F F MF MF ⋅+=+ (5)……………10分将(5)代入(4), 得 221F F ,100)2cos 1(221=+⋅+αMF MF …………………12分因为,821=F F αα2cos 22cos 1=+,所以 ,36cos 22221=⋅⋅αMF MF 故.9cos 221=⋅αMF MF （定值）……………………………………………14分18．解(Ⅰ)：在Rt ABH ∆中，因为50AB =，所以50sin AH θ=，50tan BH θ=，又100BC =，所以50100tan HC θ=-，………………………………………………2分所以5050100sin tan 2550y θθ-=+……………………………………………………………6分 2cos 2sin sin θθθ=+- 2cos 2sin θθ-=+1(,tan =)22πϕθϕ≤≤………………………………………8分（注：不写定义域不扣分）(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2cos 2sin y θθ-=+，则22sin sin (2cos )cos 12cos sin sin y θθθθθθθ⋅--⋅-'==………………………………12分令0y '=，则3πθ=．当3πϕθ<<时，0y '<；当32ππθ<<时，0y '>．所以当3πθ=时，y 取得极小值，这个极小值就是y 的最小值．………………14分此时3BH =，min 2cos 322sin 3y ππ-=-= 答：当H 距离B时，y取得最小值，最小值为(2．……16分 19．解: (Ⅰ)当0a =，3b =-时，3()3f x x x =-，所以'2()33f x x =-，……………………………………………………………2分令 ,0)('=x f解得 11x =-，21x =…………………………………………………………4分列表：x -1(1,1)- 1 (1,3) 3 )('x f 0- 0 + )(x f 极大值2 极小值2-18 从上表可知，函数)(x f 在[1,3]-上的最大值为18．………………………………6分（Ⅱ）因为2()32f x x ax b '=++，由已知条件,得⎩⎨⎧==.10)1(,0)1('f f 即 ⎩⎨⎧=+++=++.101,0322b a a b a ………………………8分解得 ⎩⎨⎧-==;11,4b a ⎩⎨⎧=-=.3,3b a ………………………………………………………10分下面分别检验：①当,4=a 11-=b 时, ,16114)(23+-+=x x x x f ,1183)(2'-+=x x x f 令,0)('=x f 即 ,011832=-+x x 解得 ,3111-=x ,12=x 列表： x )311,(-∞- 311- )1,311(- 1),1(∞+ )('x f + 0 - 0+ )(x f极大值极小值10由上表可知，)(x f 在1=x 处取极小值10，符合题意。

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =，所以正整数n 为8．故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误；第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误；令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确；故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=，故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==，又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ，所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ，连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ．又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =；（2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得．【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤，又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =．这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解；（2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<．因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2，因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===，所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算；（2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=，乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==，所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。

江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省宿迁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．写出命题“,20x x R ∀∈>”的否定：______． 2．抛物线28x y =的准线方程是______．3．直线34100x y +-=和圆229x y +=的公共点个数为______． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为_________.5．已知长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，若在长方形ABCD 内随机取一点M ，则1OM ≤的概率为______．6．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S 为______．7．已知一组数据x ，8，7，9，7，若这组数据的平均数为8，则它们的方差为______． 8．以(3,4)为圆心且与圆221x y +=外切的圆的标准方程为______． 9．若函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程为112y x =+，则(2)(2)f f '+的值为______．10．已知双曲线C 与22153x y -=有公共渐近线，且一个焦点为(4,0)，则双曲线C 的标准方程为______．11．已知m R ∈，则“02m <<”是“方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的______ 条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个)． 12．函数1()sin 2f x x x =-在[,]22ππ-上的最大值是_______. 13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，下顶点为A ．若平行于AF 且在y 轴上截距为3的直线与圆22(3)1x y +-=相切，则该椭圆的离心率为______．14．已知关于x 的不等式12xa x>对任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．二、解答题15．已知命题p ：x R ∀∈，20x x m +-≥，命题q ：点(1,2)A -在圆22()()1x m y m -++=的内部.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围.16．某市电力公司为了制定节电方案，需要了解居民用电情况，通过随机抽样，电力公司获得了50户居民的月平均用电量，分为六组制出频率分布表和频率分布直方图（如图所示）.（1）求a ，b 的值；（2）为了解用电量较大的用户用电情况，在第5、6两组用分层抽样的方法选取5户. ①求第5、6两组各取多少户？②若再从这5户中随机选出2户进行入户了解用电情况，求这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率. 17．如图，已知圆M ：()2219x y -+=，点()2,1A -.（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围.18．某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm 的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是cm x 的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm 、cm x 的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．(1)求包装盒的容积(x)V 关于x 的函数表达式，并求函数的定义域； (2)当x 为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1A Q ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.20．已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）若函数()y f x =在1x =处的切线斜率为2，求a 的值；（2）求函数()y f x =的单调区间；（3）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，求证：()()126ln f x f x a +<-参考答案1．,20x x R ∃∈≤ 【解析】因为命题“p x ∀，”的否定为“p x ∃⌝，”，所以命题“,20xx R ∀∈>”的否定为,20x x R ∃∈≤2．2y =- 【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为2y =-,填2y =- 3．2 【解析】因为0010235r +-=<= ，所以直线与圆相交，即公共点个数为24．10 【解析】执行循环得=2,3;=5,5;=10,5;S i S i S i === 结束循环，输出=10S5．4π【解析】概率为几何概型，测度为面积，概率等于2112214ππ⋅=⨯ 6．34【解析】执行循环为1111111131122334223344S =++=-+-+-=⨯⨯⨯ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7．45【解析】因为平均数为8，所以9,x = 方差为222214[10111]55++++= 8．22(3)(4)16x y -+-= 【解析】121222514C C r r r r =+∴=+∴= ，即标准方程为()()223416x y -+-=9．52【解析】115(2)212,(2)(2)(2)222f f f f '=⨯+==∴+='10．221106x y -=【解析】设双曲线C ：2253x y t -=,则222534,21106x y t t t +==∴-=11．必要不充分【解析】因为方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，所以2202m m m >-><<因此“02m <<”是“方程22212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．12．62π-+【解析】()1sin 2f x x x =-，()1'cos ,0,22f x x x π⎡⎤∴=-∈⎢⎥⎣⎦，解得3x π=，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <；当,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，∴当3x π=时函数取极小值也就是最小值为62π-，故答案为62π-.13．2【解析】设:30)11,1,2b b l y kx k k e c c -=+-=<=∴=-==点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 14．(ln 2,)e -+∞ 【解析】12x a x >max ln 22ln ln 2()(1)ln a xx x a x x a x x--⇒>⇒>-⇒>> 令2ln 1ln 11,0,0()x x y y x e y y e e x x e y-=∴===∴<≤=∴≥' 因此max ln 2()ln 2,ln 2ln x e a e x-=->- 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 15．(1) 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ (2) ][1,12,4⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）p 为真命题，则20x x m +-≥恒成立，0≤即可.（2）p 或q 为假，则,p q 均为假，可先求,p q 均为真时m 的范围，再分别求其对应的补集，在取交集. 【详解】(1)因为对任意2R 0x x x m ∈+-≥，恒成立，则140m =+≤，解得14m ≤-.所以实数m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.(2)因为“p 或q ”为假命题，所以p 为假命题，q 为假命题．当q 为真命题时，()()22121m m -+-+<，解得12m <<，所以q 为假命题时1m ≤或2m ≥. 由(1)知，p 为假命题时14m >-，从而1412m m m ⎧>-⎪⎨⎪≤≥⎩或,解得114m -<≤或2m ≥.所以实数m 的取值范围为][1,12,4⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查给出命题的真假求参数方程问题，若命题为假命题时，一般可先将其当作真命题求出参数范围，再求补集.体现了正难则反的思想．16．（1）6,0.12a b ==；（2）①第5、6两组的频数分别为3和2；②710. 【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12b =⨯=，由样本容量是50，可得500.126a =⨯=；（2）根据第56、两组的频数比为3:2,由分层抽样原理可知第56、两组分别抽取3户与2户，用列举法求出这5户中随机选出2户的可能结果，共10种，其中2户中至少有一户月平均用电量在[]1000,1200范围内的结果，有7种，由古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）根据频率分布直方图，可知第5组的频率为0.00062000.12⨯=，即0.12b =，又样本容量是50，所以500.126a =⨯=．（2）①因为第5、6两组的频数比为3:2，所以在第5、6两组用分层抽样的方法选取的5户中，第5、6两组的频数分别为3和2．②记“从这5户中随机选出2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内”为事件A ，第5组的3户记为123,,a a a ，第6组的2户记为12,b b ，从这5户中随机选出2户的可能结果为：12131112232122313212,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ，共计10个，其中2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的结果为：11122122313212,,,,,,a b a b a b a b a b a b b b ，共计7个．所以()710P A =，答：这2户中至少有一户月平均用电量在[1000,1200]范围内的概率为710． 17．（1）2x =-或43110x y -+=；（2）⎡⎣.【解析】试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求F 点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值试题解析：（1）当过点A 直线的斜率不存在时，其方程为2x =-，满足条件．当切线的斜率存在时，设l ： ()12y k x -=+，即210kx y k -++=，圆心()1,0到切线l 的距离等于半径3，3=，解得43k =． ∴切线方程为()4123y x -=+，即43110x y -+= 故所求直线l 的方程为2x =-或43110x y -+=．（2）由题意可得， F 点的轨迹是以PM 为直径的圆，记为圆C ．则圆C 的方程为()()22212x y -++=．从而AC =所以线段AF 长度的最大值为，最小值为，所以线段AF 长度的取值范围为⎡⎣．18．（1）(x)V 3221201800x x x =-+，函数的定义域为(0,30)．（2）切去的正方形边长10cm x =时，包装盒的容积最大，最大容积是38000cm ．【解析】试题分析：（1）先用x 表示长宽高，再根据长方体体积公式列函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，最后根据单调性确定函数最值试题解析：（1）因为包装盒高h x =，底面矩形的长为602x -，宽为30x -，所以铁皮箱的体积()()()60230V x x x x =-⋅-⋅ 3221201800x x x =-+．函数的定义域为()0,30．（2）由（1）得，()()()26240180061030V x x x x x =-'-+=-，令()()()610300V x x x =-'-=，解得10x =．当()0,10x ∈时，()0V x '>，函数()V x 单调递增；当()10,30x ∈时，()0V x '<，函数()V x 单调递减．所以函数()V x 在10x =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值．又()()()()31060203010108000cmV =-⋅-⋅=．答：切去的正方形边长10x cm =时，包装盒的容积最大，最大容积是38000cm ．19．（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F，则另一个焦点为)2F , 由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=, 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． (2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t AQ y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+ 所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭ ()22443t x t =--+ 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20．（1）1；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得()12f '=，解得a 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得12124,x x x x a +==，再化简()()12f x f x +，进而化简所证不等式为ln ln 20a a a a --+>，最后利用导函数求函数()ln ln 2g x x x x x =--+单调性，进而确定最小值，证得结论试题解析：(1)因为()214ln 22f x x a x x =---，所以()4a f x x x=--'，则()132f a ='-=,所以a 的值为1．(2) ()244a x x a f x x x x-+=--=-'，函数()y f x =的定义域为()0,+∞， 1若1640a -≤,即4a ≥,则()0f x '≤,此时()f x 的单调减区间为()0,+∞; 2若1640a ->,即04a <<,则()0f x '=的两根为2± 此时()f x的单调减区间为(0,2,()2++∞,单调减区间为(2-．(3)由(2)知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点12,x x ,且12124,x x x x a +==．因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+--- ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+- ()2116ln 4244ln 2a a a a a a =----=+- 要证()()126ln f x f x a +<-,只需证ln ln 20a a a a --+>．构造函数()ln ln 2g x x x x x =--+，则()111ln 1ln g x x x x x +-='=--， ()g x '在()0,4上单调递增,又()()1110,2ln202g g ='-'=-,且()g x '在定义域上不间断,由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x , 且001ln x x =．则()g x 在()00,x 上递减, ()0,4x 上递增,所以()g x 的最小值为()0g x ．因为()00000000011ln ln 2123g x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, 当()01,2x ∈时, 00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,则()00g x >,所以()()00g x g x ≥>恒成立．所以ln ln 20a a a a --+>,所以()()126ln f x f x a +<-，得证．。

2020-2021学年江苏省宿迁市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 命题“∃x ≤0，x 2>2”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2≤2B. ∀x >0，x 2>2C. ∀x >0，x 2≤2D. ∃x ≤0，x 2≤22. 已知实数a ，b ，c ，其中a >b ，则下列不等式一定正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2>bc 2C. a 2>b 2D. a 3>b 33. 在空间直角坐标系O −xzy 中，已知点A(3,−1,0)，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,10,−6)，则线段AB 的中点坐标为( )A. (1,−6,3)B. (−1,6，−3)C. (5,4，−3)D. (2,5，−3)4. 2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知F 1、F 2分别是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为E 上的一点.若△F 1PF 2是以P 为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则E 的离心率为( )A. √3−1B. √3+1C. √3D. 26. 已知数列{a n }为等比数列，若a 2⋅a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则a 1⋅a 2⋅a 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n 的最大值为( )A. 5B. 512C. 1024D. 20487. 已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A(2,0)、B(6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0的解集为( )A. (−6,−2)B. (−∞,16)∪(12,+∞) C. (−12,−16)D. (−∞,−12)∪(−16,+∞)8. 已知过点A(a,0)的直线与抛物线y 2=2px(p >0)交于M 、N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−16成立，则a 的值为( ) A. −4 B. 2 C. 4D. 8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有( )A. √x 2+(y −2)2+√x 2+(y +2)2=4B. √(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4C. 2√(x −1)2+y 2=|4−x|D. √(x +2)2+y 2=2|2+x|10. 已知a >b >0，且a +b =1，则以下结论正确的有( )A. ab <14B. 1a +1b >4C. a 2+b 2≥12D. √a +√b <111. 在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题.然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少.下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列.例如第一项a 1=123，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项a 2=111213.再从左向右看a 2，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项a 3=411213，同样可得第四项a 4=14311213.按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{a n }，你会惊奇地发现，无论a 1=1、a 1=2、a 1=3，还是a 1=123，都有这样的结论：∃n 0∈N ∗，∀n ≥n 0(n ∈N ∗)，都有a n+2=a n .则a n 0的可能值为( )A. 23322114B. 32142321C. 32232114D. 2431221312. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =√2，CC 1=1，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是( )A. A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 三棱锥D −AB 1C 1的体积为√36C. AB 1⊥BC 且AB 1//平面A 1C 1DD. △ABC 内到直线AC.BB 1的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的右焦点与抛物线C ：y 2=4x 的焦点重合，椭圆E与抛物线C 的准线交于A 、B 两点.若AB =3，则椭圆E 的短轴长为______ ． 14. 已知函数f(x)=(12)x −m ，g(x)=log 2x.若对∀x 1∈[−1,3]，∃x 2∈[12,2]，使f(x 1)≥g(x 2)成立，则实数m 的取值范围为______ ．15.自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角α、β、γ(合称为“晶胞参数”)来表征.如图是某种晶体的晶胞，其中a=2，b=c=1，α=60°，β=90°，γ=120°，则该晶胞的对角线AC1的长为______ ．16.数列{a n}满足a1=1，且a n−a n+1=(2n+3)a n a n+1，则数列{a n}的前10项和为3______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|log5(ax+1)<1}(a>0)，B={x|2x2−3x−2<0}．(1)求集合A，B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的_____条件，求实数a的取值范围．请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上.(若多选，按第一个给分)，补全第(2)题，并根据所选条件解答该题．18.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=a n2+a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=3−a n，求数列{b n}的前n项和T n．2a n−219.设函数f(x)=x2−(m+1)x+m(m∈R)．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若当x∈[0,4]时，不等式f(x)+4>0恒成立，求m的取值范围．20.外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识.如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示.已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．(1)求最小直径圆面的面积；(2)双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线.过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线(如图3)，对于任意一条直母线l，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l与其中一条平行.广州电视塔(昵称“小蛮腰”，如图4)就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本(主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲).若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度(精≈0.655).确到0.01米，参考数据：√3721. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =3，AC =4，BC =5，PB 与CD 所成角为45°，点E 在PD 上且满足PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)． (1)当λ=23时，求直线PC 与平面EAC 所成角的正弦值； (2)若平面EAC 与平面PAC 所成的二面角为π3，求λ的值．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是√22，两条准线间的距离为4．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若T(t,0)是椭圆E 的长轴上(不包含端点)的动点，过T 作互相垂直的两条直线分别交椭圆E 于A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据含有一个量词的命题的否定，则命题“∃x ≤0，x 2>2”的否定是∀x ≤0，x 2≤2．故选：A ．利用含有一个量词的命题的否定方法进行求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：当a =3，b =−1，满足>b ，但1a <1b 不成立，故A 错误，当c =0时，ac 2>bc 2不成立，故B 错误，当a =1，b =−1，满足>b ，但a 2>b 2不成，故C 错误， ∵f(x)=x 3是增函数，∴当a >b 时，由a 3>b 3成立，故D 正确，故选：D ．根据不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示，求出点B 的坐标，再求出线段AB 的中点坐标．本题考查了空间向量的坐标表示与线段中点坐标公式，是基础题．【解答】解：空间直角坐标系O −xzy 中，点A(3,−1,0)，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−1,0)，又向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,10,−6)，且OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,9，−6)，即点B(7,9，−6)；所以线段AB 的中点坐标为(3+72,−1+92,0−62)，即(5,4，−3)．故选：C ．4.【答案】B【解析】解：“没有共产党就没有新中国”，故它的逆否命题为“有新中国就有有共产党”，故“有共产党”是“有新中国”的必要条件．故选：B ．利用逆否命题与原命题的关系，先写出“没有共产党就没有新中国”的逆否命题，结合充分条件与必要条件的定义，从而得到答案．本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了互为逆否命题的两个命题通同真假的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：不妨设点P 是双曲线的右支上的一点，则由双曲线的定义可得： |PF 1|−|PF 2|=2a ，又△F 1PF 2是以P 为直角顶点且有一个内角为30°的三角形，则∠PF 1F 2=30°，因为|F 1F 2|=2c ，所以|PF 1|=|F 1F 2|cos30°=√3c ，|PF 2|=|F 1F 2|sin30°=c ，所以√3c −c =2a ，则离心率为e =ca =√3−1=√3+1，故选：B ．不妨设点P 是双曲线的右支上的一点，则由双曲线的定义可得：|PF 1|−|PF 2|=2a ，然后在直角三角形中求出|PF 1|，|PF 2|，联立即可求解．本题考查了双曲线的定义与性质，考查了直角三角形的性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2⋅a 3=2a 1，所以a 2a 3=a 1q ⋅a 1q 2=2a 1，所以a 4=2，因为a 4与2a 7的等差中项为54，则有a 4+2a 7=2×54，即a 4+2a 4⋅q 3=2×54，解得q =12，所以a 1=a4q 3=16，故a n =16×(12)n−1=25−n ，则a 1=16，a 2=8，a 3=4，a 4=2，a 5=1，a 6=12<1，所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为16×8×4×2=1024．故选：C ．用a 1和q 表示出a 2⋅a 3=2a 1，从而求出a 4，再根据a 4与2a 7的等差中项为54，求出q 的值，进而求出数列的通项公式，得到数列各项的数值，分析求解即可．本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，主要考查了等比数列通项公式的应用、等差中项定义的应用，考查了学生的化简计算能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A(2,0)、B(6,0)两点，所以2和6是方程ax 2+2bx −c =0的两个实数根，由根与系数的关系知，{2+6=−2b a2×6=−c a ，b =−4a ，c =−12a ，所以不等式cx 2+2bx −a <0为−12ax 2−8ax −a <0；又a >0，所以不等式化为12x 2+8x +1>0，解得x <−12或x >−16，所求不等式的解集为(−∞,−12)∪(−16,+∞)．故选：D ．根据二次函数与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b 、c 与a 的关系，代入不等式cx 2+2bx −a <0中化简求解集即可．本题考查了二次函数与对应方程的关系，以及一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：设直线MN 的方程为：x =ty +a ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程{x =ty +ay 2=2px ，消去x 整理可得：y 2−2pty −2pa =0，所以y 1+y 2=2pt ，y 1y 2=−2pa ，则x 1x 2=y 12y 224p 2=a 2，因为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x 1x 2+y 1y 2=a 2−2pa =−16，即a 2−2pa +16=0，因为方程有且只有一个根，所以△=4p 2−64=0，解得p =4，则a =4，故选：C ．设出直线MN 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出向量的数量积，然后根据一元二次方程的性质即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算，考查了学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：选项A ：等式表示的是点P(x,y)到点A(0,2)，B(0,−2)的距离和为4=|AB|，根据椭圆的定义可知点P 的轨迹不是椭圆，A 错误，选项B ：等式表示的是点P(x,y)到点A(−1,0)，B(1,0)的距离的和为4>2，根据椭圆的定义可得点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，故B 正确，选项C ：等式化简为：x 24+y 23=1，故C 正确，选项D ：等式化简为：3x 2+12x −y 2+16=0，显然不是椭圆的方程，故D 错误，故选：BC ．选项AB ，根据椭圆的定义即可判断，选项CD ，化简等式与椭圆方程比较即可判断．本题考查了椭圆的方程以及定义，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：对于A ：1=a +b ≥2√ab ，故ab ≤14，当且仅当a =b 时“=”成立，显然a ≠b ，故ab <14，故A 正确；对于B ：1a +1b =(1a +1b )(a +b)=1+ba +ab +1≥2+2√ab ⋅ba=4，当且仅当a=b时“=”成立，而a≠b，故1a +1b>4，故B正确；对于C：a2+b2=(a+b)2−2ab≥1−2×14=12，当且仅当a=b时“=”成立，而a≠b，故C错误；对于D：(√a+√b)2=a+b+2√ab≤1+1=2，故√a+√b≤√2，当且仅当a=b时“=”成立，故√a+√b<√2，故D错误；故选：AB．根据基本不等式的性质对各个选项分别判断即可．本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：对于选项A，若a n=23322114，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则a n0+1=32232114，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则a n0+2=23322114=a n，符合题意，故选项A正确；对于选项B，若a n=32142321，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则a n0+1=23322114，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则a n0+2=32232114≠a n，不符合题意，故选项B错误；对于选项C，若a n=32232114，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则a n0+1=23322114，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则a n0+2=32232114=a n，符合题意，故选项C正确；对于选项D，若a n=24312213，从左向右看，有3个2，1个4，2个3，2个1，则a n0+1=32142321，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则a n0+2=23322114≠a n，不符合题意，故选项D错误；故选：AC．对各选项中a n0的可能取值进行验证，结合题意求出a n0+2，然后验证a n0+2和a n是否相等，由此可得出正确答案．本题考查了数列的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A ，因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 对；对于B ，三棱锥D −AB 1C 1的体积与三棱锥A −DB 1C 1的体积相等，体积为13⋅(12⋅√2⋅1)⋅(√2⋅sin60°)=√36，所以B 对；对于C ，△AB 1B 为等腰三解形，AB 1为腰，不能与底边B 1C 1垂直，BC//B 1C 1，所以AB 1⊥BC 不成立，所以C 错；对于D ，BB 1⊥平面ABC ，所以在△ABC 内到直线BB 1的距等于到点B 的距离，由抛物线定义知，在△ABC 内到直线AC ．点B 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分，所以D 对．故选：ABD ．A 用向量加减法定义判断；B 用等体积法求体积判断；C 用反证法判断；D 用抛物线定义判断．本题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面位置关系及棱锥体积，考查了抛物系定义及向量运算，属中档题．13.【答案】2√3【解析】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为：x =−1，则c =1，且抛物线的准线与x 轴的交点为椭圆的左焦点(−1,0)，所以|AB|为椭圆的通径，即|AB|=2 b 2a=3，又a 2=b 2+c 2=b 2+1，联立解得b =√3，所以椭圆的短轴长为2b =2√3，故答案为：2√3．求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，由此可得抛物线的准线与x 轴的交点即为椭圆的左焦点，则|AB|为椭圆的通径，联立方程即可求解．本题考查了椭圆的性质以及抛物线的方程，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】(−∞,98]【解析】解：对任意的x 1∈[−1,3]，存在x 2∈[12,2]，不等式f(x 1)≥g(x 2)成立，即当x 1∈[−1,2]，x 2∈[12,2]时，f(x 1)min ≥g(x 2)min ，函数f(x)=(12)x −m 在[−1,3]递减，故f(x)min =f(3)=18−m ， g(x)=log 2x 在[12,2]递增，故g(x)min =g(12)=−1，故18−m ≥−1，解得：m ≤98，故答案为：(−∞,98].问题转化为x 1∈[−1,2]，x 2∈[12,2]时，f(x 1)min ≥g(x 2)min ，根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立问题，转化思想，是中档题．15.【答案】√10【解析】解：如图所示，可得AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为a =2，b =c =1，α=60°，β=90°，γ=120°，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， α=∠A 1AB =60°，β=∠A 1AD =90°，∠BAD =180°−γ=60°，所以AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4+1+1+2×2×1×cos60°+2×2×1×cos60°+2×1×1×cos90° =10，所以|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10，则该晶胞的对角线AC 1的长为√10．故答案为：√10．利用空间向量基本定理将AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用已知的向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，然后利用模的计算以及数量积的定义进行求解，即可得到答案．本题考查了空间中距离的求解，主要考查了空间向量的应用，解题的关键是利用空间向量基本定理将AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用已知的向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，属于中档题．16.【答案】175264【解析】解：数列{a n }满足a 1=13，且a n −a n+1=(2n +3)a n a n+1，所以1an+1−1a n=2n +3，当n ≥2时，1a n−1an−1=2n +1，…，1a 2−1a 1=2×1+1，故1a n=n(3+2n+1)2=n(n +2)，所以a n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)，故S 10=12(1−13+12−14+13−15+⋯+110−112)=12(1+12−111−112)=175264．故答案为：175264．首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)集合A ={x|log 5(ax +1)<1}(a >0)，令log 5(ax +1)<log 55，所以0<ax +1<5，解得−1a <x <4a ，故可得集合A ={x|−1a <x <4a }，因为2x 2−3x −2<0，即(x −2)(2x +1)<0，解得−12<x <2，所以集合B ={x|−12<x <2}； (2)若选①：因为p 是q 的必要不充分条件，则B ⫋A ，故{−1a ≤−124a ≥2a >0(等号不能同时取到)，解得0<a <2；若选②：因为p 是q 的充分不必要条件，则A ⫋B ，故{−1a ≥−124a ≤2a >0(等号不能同时取到)，解得a >2；若选③：因为p 是q 的充要条件，则A =B ，故{−1a =−124a =2a >0，解得a =2．【解析】(1)利用对数不等式的解法求出集合A ，利用一元二次不等式的解法求出集合B ； (2)若选①：将p 是q 的必要不充分条件转化为B ⫋A ，利用真子集的定义列出不等式组，求解即可得到a 的取值范围；若选②：将p 是q 的充分不必要条件转化为A ⫋B ，利用真子集的定义列出不等式组，求解即可得到a 的取值范围；若选③：将p 是q 的充要条件转化为A =B ，利用集合相等的定义列出方程组，求解即可得到a 的值．本题考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，主要考查了充分条件与必要条件的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n =a n 2+a n −2①，当n =1时，整理得a 12−a 1−2=0，解得a 1=2(负值舍去)．当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1−2②，①−②得：a n −a n−1=1(常数)，所以数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；所以a n =2+n −1=n +1．(2)由(1)得：若b n =3−a n2a n −2=−n−22n−1，设c n =n−22n−1，所以S n=c1+c2+⋯+c n=−120+021+⋯+n−22n−1①，1 2S n=−121+022+⋯+n−22n②，①−②得：12S n=(1+12+122+12n−1)−n−22n−32，整理得：S n=1−22n−1−n−22n−1=1−n2n−1，所以T n=−S n=n2n−1−1．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用乘公比错位相减法求出数列的前n项和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)△=(m+1)2−4m=(m−1)2≥0，①当m=1时，△=0，方程f(x)=x2−2x+1=0的解为x=1，∵f(x)的图象开口向上，∴f(x)<0的解为⌀．②当m≠1时，△>0，方程f(x)=0的解为x1=m，x2=1．∴当m<1时，f(x)<0的解为m<x<1，当m>1时，f(x)<0的解为1<x<m．综上，当m<1时，f(x)<0的解为m<x<1；当m=1时，f(x)<0的解为⌀；当m>1时，f(x)<0的解为1<x<m．(2)若当x∈[0,4]时，不等式f(x)+4>0恒成立，当x∈[0,4]时，x2−(m+1)x+m+4>0恒成立，令g(x)=x2−(m+1)x+m+4，x∈[0,4]，对称轴是x=m+12，①当m+12≤0即m≤−1时，只需g(0)=m+4>0，解得：m>−4，故−4<m≤−1，②当m+12≥4即m≥7时，只需g(4)=16−4m−4+m+4>0，解得：m<163，③当0<m+12<4即−1<m<7时，g(x)min=4m+16−m2−2m−14>0，解得：−3<m<5，故−1<m<5，综上：m的取值范围是(−4,5)．【解析】(1)通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；(2)令g(x)=x2−(m+1)x+m+4，x∈[0,4]，对称轴是x=m+12，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次不等式的性质，是中档题．20.【答案】解：(1)由图2建系可设截面双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，它过点(20,10)及(40,−80)，∴{400a2−100b2=11600a2−6400b2=1，解得{a2=800021b2=2000，∴最小直径圆面的面积为800021π；(2)由(1)可知，渐近线的斜率k=ba =√212，由题意知，母线平行于渐近线且高为90，则沿x轴方向的长为90k =90√21=√3√7=60√217，∴主钢梁的长度为(60√217)=150√37≈150×0.655=98.25m．【解析】(1)由题中图2的建系可设截面双曲线的方程为x2a2−y2b2=1，得到双曲线上两点的坐标，代入双曲线方程求得a2，即可得到最小直径圆面的面积；(2)由(1)可得双曲线的渐近线的斜率，结合已知求得沿x轴方向的长，再由勾股定理求主钢梁的长度．本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查运算求解能力，正确理解题意是关键．21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD，∴∠ABP为异面直线PB与CD所成角，即∠ABP=45°，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA=3，∴AB=PA=3，∵AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0，3)，A(0,0，0)，C(0,4，0)，D(−3,4，0)， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4，−3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)， ∵PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴E(−2,83,1)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,83,1)，设平面EAC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{4y =0−2x +83y +z =0，令x =1，则y =0，z =2，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0，2)，设直线PC 与平面EAC 所成角为θ，则sinθ=|cos <PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|PC ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=|−65×√5|=6√525，故直线PC 与平面EAC 所成角的正弦值为6√525．(2)由(1)知P(0,0，3)，D(−3,4，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4，−3)， ∵PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴E(−3λ,4λ,3−3λ)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3λ,4λ,3−3λ)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{4y =0−3λx +4λy +(3−3λ)z =0，得m⃗⃗⃗ =(1,0，λ1−λ)， ∵AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AC ∩PA =A ，AC 、PA ⊂平面PAC ， ∴AB ⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)， ∵平面EAC 与平面PAC 所成的二面角为π3， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=√1+(1−λ)2×1=cos π3=12，化简得，2λ2−6λ+3=0，解得λ=3−√32或3+√32，∵0<λ<1，∴λ=3−√32．【解析】(1)易知∠ABP =45°，PA ⊥AB ，可得AB =3，再由勾股定理的逆定理可证AB ⊥AC ，故以A 为原点建立空间直角坐标系，求得平面EAC 的法向量m ⃗⃗⃗ ，设直线PC 与平面EAC 所成角为θ，由sinθ=|cos <PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|，得解； (2)用λ表示出点E 的坐标，再求得平面EAC 的法向量m ⃗⃗⃗ ，易知平面PAC 的一个法向量为n ⃗ =(1,0，0)，由|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=cos π3，可得关于λ的方程，解之即可．本题主要考查线面角和二面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意知{ ca =√222a 2c=4a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1，所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)当AC 斜率不存在或斜率为0时，此时AC ，BD 一个长度为2√2，一个长度为2√1−t 22，此时S四边形ABCD =2√2⋅2√1−t222=2√2−t 2≤2√2，当AC 的斜率存在且不为0时，设AC 直线方程为y =k(x −t)，不妨设k >0，联立{y =k(x −t)x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−4k 2tx +2k 2t 2−2=0，所以△=16k 4t 2−8k 2t 2+8−16k 4t 2+16k 2=8−8k 2t 2+16k 2，所以|AC|=√1+k 2√8−8k 2t 2+16k 21+2k 2=2√2√1+k 2√(2−t 2)k 2+12k 2+1，同理可得|BD|=2√2√1+1k 2√(2−t 2)1k 2+12k 2+1，所以S四边形ABCD =4√1+k 2√1+1k 2√[(2−t 2)k 2+1][(2−k 2)1k 2+1](2k 2+1)(2k 2+1)≤4√1+k 2⋅√k 2+1k⋅√(2k 2+1)(2k 2+1)(2k 2+1)(2k 2+1)=4(k 2+1)⋅√(2k 2+1)(k 2+2)(2k 2+1)(k 2+2)=2√(2k 2+1)(k 2+2)，令m =k 2+1，(m >1)，所以以S 四边形ABCD =√(2m−1)(m+1)=√2+1m −1m 2<2√2，综上，四边形ABCD 面积的最大值为2√2．【解析】(1)利用椭圆离心率是√22，两条准线间的距离为4.列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)分两种情况：当AC 斜率不存在或斜率为0时，当AC 的斜率存在且不为0时，讨论S 四边形ABCD 即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年江苏省宿迁市高二(上)期末数学试卷+详解

2020-2021学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“0x ∃，22x >”的否定是()A ．0x ∀，22x B ．0x ∀>，22x >C ．0x ∀>，22x D ．0x ∃，22x 2．（5分）已知实数a ，b ，c ，其中a b >，则下列不等式一定正确的是()A ．11a b<B ．22ac bc >C ．22a b >D ．33a b >3．（5分）在空间直角坐标系O xzy -中，已知点(3A ，1-，0)，向量(4,10,6)AB =-，则线段AB 的中点坐标为()A ．(1，6-，3)B ．(1-，6，3)-C ．(5，4，3)-D ．(2，5，3)-4．（5分）2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的()A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 为E 上的一点．若△12F PF 是以P 为直角顶点且有一个内角为30︒的三角形，则E 的离心率为()A 1-B 1+C D ．26．（5分）已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为()A ．5B ．512C ．1024D ．20487．（5分）已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于(2,0)A 、(6,0)B 两点，则不等式220cx bx a +-<的解集为()A ．(6,2)--B ．11(,)(,)62-∞+∞ C ．11(,)26--D ．11(,)(,)26-∞--+∞8．（5分）已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M 、N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为()A ．4-B ．2C ．4D ．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有()A 4=B 4=C ．|4|x =-D 2|2|x =+10．（5分）已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有()A ．14ab <B ．114a b+>C ．2212a b +D 1<11．（5分）在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项1123a =，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项2111213a =．再从左向右看2a ，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项3411213a =，同样可得第四项414311213a =．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{}n a ，你会惊奇地发现，无论11a =、12a =、13a =，还是1123a =，都有这样的结论：0*n N ∃∈，0(*)n n n N ∀∈，都有2n n a a +=．则0n a 的可能值为()A ．23322114B ．32142321C ．32232114D ．2431221312．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是()A ．111122A D AB AC AA =+- B ．三棱锥11D AB C -的体积为36C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11A C DD ．ABC ∆内到直线AC ．1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知中心在坐标原点的椭圆E 的右焦点与抛物线2:4C y x =的焦点重合，椭圆E 与抛物线C 的准线交于A 、B 两点．若3AB =，则椭圆E 的短轴长为．14．（5分）已知函数1()(2x f x m =-，2()log g x x =．若对1[1x ∀∈-，3]，21[,2]2x ∃∈，使12()()f x g x 成立，则实数m 的取值范围为．15．（5分）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a 、b 、c 及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，则该晶胞的对角线1AC 的长为．16．（5分）数列{}n a 满足113a =，且11(23)n n n n a a n a a ++-=+，则数列{}n a 的前10项和为．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合5{|log (1)1}(0)A x ax a =+<>，2{|2320}B x x x =--<．（1）求集合A ，B ；（2）已知:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的_____条件，求实数a 的取值范围．请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n nn S a a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）设函数2()(1)()f x x m x m m R =-++∈．（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当[0x ∈，4]时，不等式()40f x +>恒成立，求m 的取值范围．20．（12分）外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．（1）求最小直径圆面的面积；（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3)，对于任意一条直母线l ，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l 与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4)就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.010.655)≈．21．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，4AC =，5BC =，PB 与CD 所成角为45︒，点E 在PD 上且满足(01)PE PD λλ=<<．（1）当23λ=时，求直线PC 与平面EAC 所成角的正弦值；（2）若平面EAC 与平面PAC 所成的二面角为3π，求λ的值．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，两条准线间的距离为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若(,0)T t 是椭圆E 的长轴上（不包含端点）的动点，过T 作互相垂直的两条直线分别交椭圆E 于A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的面积的最大值．2020-2021学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“0x ∃，22x >”的否定是()A ．0x ∀，22x B ．0x ∀>，22x >C ．0x ∀>，22x D ．0x ∃，22x 【解答】解：根据含有一个量词的命题的否定，则命题“0x ∃，22x >”的否定是0x ∀，22x ．故选：A ．2．（5分）已知实数a ，b ，c ，其中a b >，则下列不等式一定正确的是()A ．11a b<B ．22ac bc >C ．22a b >D ．33a b >【解答】解：当3a =，1b =-，满足b >，但11a b<不成立，故A 错误，当0c =时，22ac bc >不成立，故B 错误，当1a =，1b =-，满足b >，但22a b >不成，故C 错误，3()f x x = 是增函数，∴当a b >时，由33a b >成立，故D 正确，故选：D ．3．（5分）在空间直角坐标系O xzy -中，已知点(3A ，1-，0)，向量(4,10,6)AB =-，则线段AB 的中点坐标为()A ．(1，6-，3)B ．(1-，6，3)-C ．(5，4，3)-D ．(2，5，3)-【解答】解：空间直角坐标系O xzy -中，点(3A ，1-，0)，所以(3OA =，1-，0)，又向量(4,10,6)AB =- ，且OB OA AB -=，所以(7OB OA AB =+=，9，6)-，即点(7B ，9，6)-；所以线段AB 的中点坐标为37(2+，192-+，062-，即(5，4，3)-．故选：C ．4．（5分）2021年是中国共产党建党100周年．某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌．仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的()A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“没有共产党就没有新中国”，故它的逆否命题为“有新中国就有共产党”，故“有共产党”是“有新中国”的必要条件．故选：B ．5．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 为E 上的一点．若△12F PF 是以P 为直角顶点且有一个内角为30︒的三角形，则E 的离心率为()A 1-B 1+C D ．2【解答】解：不妨设点P 是双曲线的右支上的一点，则由双曲线的定义可得：12||||2PF PF a -=，又△12F PF 是以P 为直角顶点且有一个内角为30︒的三角形，则1230PF F ∠=︒，因为12||2F F c =，所以112||||cos30PF F F =︒=，212||||sin 30PF F F c =︒=，2c a -=，则离心率为1c e a ===，故选：B ．6．（5分）已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为()A ．5B ．512C ．1024D ．2048【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为2312a a a ⋅=，所以2231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，因为4a 与72a 的等差中项为54，则有475224a a +=⨯，即3445224a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以41316a a q ==，故15116()22n n n a --=⨯=，则116a =，28a =，34a =，42a =，51a =，6112a =<，所以数列的前4项或前5项的积最大，且最大值为168421024⨯⨯⨯=．故选：C ．7．（5分）已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于(2,0)A 、(6,0)B 两点，则不等式220cx bx a +-<的解集为()A ．(6,2)--B ．11(,)(,)62-∞+∞ C ．11(,)26--D ．11(,)(,)26-∞--+∞ 【解答】解：函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于(2,0)A 、(6,0)B 两点，所以2和6是方程220ax bx c +-=的两个实数根，由根与系数的关系知，22626b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，4b a =-，12c a =-，所以不等式220cx bx a +-<为21280ax ax a ---<；又0a >，所以不等式化为212810x x ++>，解得12x <-或16x >-，所求不等式的解集为(-∞，11)(26--⋃，)+∞．故选：D ．8．（5分）已知过点(,0)A a 的直线与抛物线22(0)y px p =>交于M 、N 两点，若有且仅有一个实数a ，使得16OM ON ⋅=-成立，则a 的值为()A ．4-B ．2C ．4D ．8【解答】解：设直线MN 的方程为：x ty a =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程22x ty ay px=+⎧⎨=⎩，消去x 整理可得：2220y pty pa --=，所以122y y pt +=，122y y pa =-，则222121224y y x x a p==，因为21212216OM ON x x y y a pa ⋅=+=-=-，即22160a pa -+=，因为方程有且只有一个根，所以△24640p =-=，解得4p =，则4a =，故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有()A 4=B 4=C ．|4|x =-D 2|2|x =+【解答】解：选项A ：等式表示的是点(,)P x y 到点(0,2)A ，(0,2)B -的距离和为4||AB =，根据椭圆的定义可知点P 的轨迹不是椭圆，A 错误，选项B ：等式表示的是点(,)P x y 到点(1,0)A -，(1,0)B 的距离的和为42>，根据椭圆的定义可得点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，故B 正确，选项C ：等式化简为：22143x y +=，故C 正确，选项D ：等式化简为：22312160x x y +-+=，显然不是椭圆的方程，故D 错误，故选：BC ．10．（5分）已知0a b >>，且1a b +=，则以下结论正确的有()A ．14ab <B ．114a b+>C ．2212a b +D 1<【解答】解：对于:1A a b =+，故14ab，当且仅当a b =时“=”成立，显然a b ≠，故14ab <，故A 正确；对于1111:()()1124b a B a b a b a b a b +=++=++++=，当且仅当a b =时“=”成立，而a b ≠，故114a b+>，故B 正确；对于22211:()21242C a b a b ab +=+--⨯=，当且仅当a b =时“=”成立，而a b ≠，故C 错误；对于2:112D a b +=+++=，当且仅当a b =时“=<，故D 错误；故选：AB ．11．（5分）在数学领域内，“数列”无疑是一个非常重要的话题．然而，中学生所学到的数列内容非常有限，除了等差、等比数列之外，其它数列涉及很少．下面向大家介绍一种有趣的数列，叫语言数列．例如第一项1123a =，对于一个对数列一窍不通的人，你怎样介绍它呢？你可以这样说，从左向右看，这里含有一个1，一个2和一个3，你再把它用数字表示出来，就得到了第二项2111213a =．再从左向右看2a ，它里面又是含有四个1，一个2和一个3，再把它用数字表示出来，就得到了第三项3411213a =，同样可得第四项414311213a =．按此规则重复下去，可以得到一个无穷数列{}n a ，你会惊奇地发现，无论11a =、12a =、13a =，还是1123a =，都有这样的结论：0*n N ∃∈，0(*)n n n N ∀∈，都有2n n a a +=．则0n a 的可能值为()A ．23322114B ．32142321C ．32232114D ．24312213【解答】解：对于选项A ，若023322114n a =，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则0132232114n a +=，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则00223322114n n a a +==，符合题意，故选项A 正确；对于选项B ，若032142321n a =，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则0123322114n a +=，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则00232232114n n a a +=≠，不符合题意，故选项B 错误；对于选项C ，若032232114n a =，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则0123322114n a +=，从左向右看，有3个2，2个3，2个1，1个4，则00232232114n n a a +==，符合题意，故选项C 正确；对于选项D ，若024312213n a =，从左向右看，有3个2，1个4，2个3，2个1，则0132142321n a +=，从左向右看，有2个3，3个2，2个1，1个4，则00223322114n n a a +=≠，不符合题意，故选项D 错误；故选：AC ．12．（5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是()A ．111122A D AB AC AA =+- B ．三棱锥11D AB C -的体积为36C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11A C DD ．ABC ∆内到直线AC ．1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分【解答】解：对于A ，因为1()2AD AB AC =+ ，11A D AD AA =- 所以111122A D AB AC AA =+-，所以A 对；对于B ，三棱锥11D AB C -的体积与三棱锥11A DB C -的体积相等，体积为113(1)sin 60)326⋅⋅︒=，所以B 对；对于C ，△1AB B 为等腰三解形，1AB 为腰，不能与底边11B C 垂直，11//BC B C ，所以1AB BC ⊥不成立，所以C 错；对于D ，1BB ⊥平面ABC ，所以在ABC ∆内到直线1BB 的距等于到点B 的距离，由抛物线定义知，在ABC ∆内到直线AC ．点B 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分，所以D 对．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知中心在坐标原点的椭圆E 的右焦点与抛物线2:4C y x =的焦点重合，椭圆E与抛物线C 的准线交于A 、B 两点．若3AB =，则椭圆E 的短轴长为【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为：1x =-，则1c =，且抛物线的准线与x 轴的交点为椭圆的左焦点(1,0)-，所以||AB 为椭圆的通径，即22||3b AB a==，又22221a b c b =+=+，联立解得b =，所以椭圆的短轴长为2b =，故答案为：．14．（5分）已知函数1()(2x f x m =-，2()log g x x =．若对1[1x ∀∈-，3]，21[,2]2x ∃∈，使12()()f x g x 成立，则实数m 的取值范围为(-∞，9]8．【解答】解：对任意的1[1x ∈-，3]，存在21[2x ∈，2]，不等式12()()f x g x 成立，即当1[1x ∈-，2]，21[2x ∈，2]时，12()()min min f x g x ，函数1()()2x f x m =-在[1-，3]递减，故()min f x f =（3）18m =-，2()log g x x =在1[2，2]递增，故1()()12min g x g ==-，故118m --，解得：98m ，故答案为：(-∞，9]8．15．（5分）自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a 、b 、c 及棱间交角α、β、γ（合称为“晶胞参数”)来表征．如图是某种晶体的晶胞，其中2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，则该晶胞的对角线1AC【解答】解：如图所示，可得1111AC AC CC AB AD CC AB AD AA =+=++=++ ，因为2a =，1b c ==，60α=︒，90β=︒，120γ=︒，所以1||2,||||1AB AA AD ===，160A AB α=∠=︒，190A AD β=∠=︒，18060BAD γ∠=︒-=︒，所以2211()AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 411221cos 60221cos 60211cos90=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒10=，所以1||AC =，则该晶胞的对角线1AC ．．16．（5分）数列{}n a 满足113a =，且11(23)n n n n a a n a a ++-=+，则数列{}n a 的前10项和为175264．【解答】解：数列{}n a 满足113a =，且11(23)n n n n a a n a a ++-=+，所以11123n nn a a +-=+，当2n 时，11121n n n a a --=+，⋯，2111211a a -=⨯+，故1(321)(2)2n n n n n a ++==+，所以1111()(2)22n a n n n n ==-++，故10111111111111175(1(12324351012221112264S =-+-+-+⋯+-=+--=．故答案为：175264．四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，第18～22题每题满分70分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合5{|log (1)1}(0)A x ax a =+<>，2{|2320}B x x x =--<．（1）求集合A ，B ；（2）已知:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的_____条件，求实数a 的取值范围．请在①必要不充分、②充分不必要、③充要，这三个条件中选择一个填在横线上．（若多选，按第一个给分），补全第（2）题，并根据所选条件解答该题．【解答】解：（1）集合5{|log (1)1}(0)A x ax a =+<>，令55log (1)log 5ax +<，所以015ax <+<，解得14x a a -<<，故可得集合14{|}A x x a a=-<<，因为22320x x --<，即(2)(21)0x x -+<，解得122x -<<，所以集合1{|2}2B x x =-<<；（2）若选①：因为p 是q 的必要不充分条件，则B A Ü，故112420a a a ⎧--⎪⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎩（等号不能同时取到），解得02a <<；若选②：因为p 是q 的充分不必要条件，则A B Ü，故112420a a a ⎧--⎪⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎩（等号不能同时取到），解得2a >；若选③：因为p 是q 的充要条件，则A B =，故112420a a a ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2a =．18．（12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n nn S a a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若232n nn a a b --=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足222n nn S a a =+-①，当1n =时，整理得21120a a --=，解得12a =（负值舍去）．当2n 时，211122n n n S a a ---=+-②，①-②得：11n n a a --=（常数），所以数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列；所以211n a n n =+-=+．（2）由（1）得：若213222n n n a n a n b ----==-，设122n n n c --=，所以12011102222n n n n S c c c ---=++⋯+=++⋯+①，1211022222n n n S --=++⋯+②，①-②得：21111123(1)222222n n n n S --=+++--，整理得：1112211222n n n n n nS ----=--=-，所以112n n n n T S -=-=-．19．（12分）设函数2()(1)()f x x m x m m R =-++∈．（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当[0x ∈，4]时，不等式()40f x +>恒成立，求m 的取值范围．【解答】解：（1）△22(1)4(1)0m m m =+-=-，①当1m =时，△0=，方程2()210f x x x =-+=的解为1x =，()f x 的图象开口向上，()0f x ∴<的解为∅．②当1m ≠时，△0>，方程()0f x =的解为1x m =，21x =．∴当1m <时，()0f x <的解为1m x <<，当1m >时，()0f x <的解为1x m <<．综上，当1m <时，()0f x <的解为1m x <<；当1m =时，()0f x <的解为∅；当1m >时，()0f x <的解为1x m <<．（2）若当[0x ∈，4]时，不等式()40f x +>恒成立，当[0x ∈，4]时，2(1)40x m x m -+++>恒成立，令2()(1)4g x x m x m =-+++，[0x ∈，4]，对称轴是12m x +=，①当102m +即1m -时，只需(0)40g m =+>，解得：4m >-，故41m -<-，②当142m +即7m 时，只需g （4）164440m m =--++>，解得：163m <，③当1042m +<<即17m -<<时，241621()04m m m g x min +---=>，解得：35m -<<，故15m -<<，综上：m 的取值范围是(4,5)-．20．（12分）外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及到物理学、建筑学等学科知识．如图1是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图2所示．已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．（1）求最小直径圆面的面积；（2）双曲面也是直纹曲面，即可以看成是由一条直线绕另一条直线旋转而成，该直线叫做双曲面的直母线．过双曲面上的任意一点有且只有两条相交的直母线（如图3)，对于任意一条直母线l ，均存在一个轴截面和它平行，此轴截面截双曲面所得的双曲线有两条渐近线，且直母线l 与其中一条平行．广州电视塔（昵称“小蛮腰”，如图4)就是根据这一理论设计的，极大地方便了建造、节约了成本（主钢梁在直母线上，钢筋不需要弯曲）．若图1中的冷却塔也采用直母线主钢梁，求主钢梁的长度（精确到0.010.655)≈．【解答】解：（1）由图2建系可设截面双曲线的方程为22221x y a b-=，它过点(20,10)及(40,80)-，∴22224001001160064001a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得228000212000a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴最小直径圆面的面积为800021π；（2）由（1）可知，渐近线的斜率b k a ==由题意知，母线平行于渐近线且高为90，则沿x轴方向的长为9090k ===∴1500.65598.25m =≈⨯=．21．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，3PA =，4AC =，5BC =，PB 与CD 所成角为45︒，点E 在PD 上且满足(01)PE PD λλ=<<．（1）当23λ=时，求直线PC 与平面EAC 所成角的正弦值；（2）若平面EAC 与平面PAC 所成的二面角为3π，求λ的值．【解答】解：（1）四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，ABP ∴∠为异面直线PB 与CD 所成角，即45ABP ∠=︒，PA ⊥ 底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥，又3PA =，3AB PA ∴==，4AC = ，5BC =，222AB AC BC ∴+=，即AB AC ⊥，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0P ，0，3)，(0A ，0，0)，(0C ，4，0)，(3D -，4，0)，∴(0PC = ，4，3)-，(3PD =- ，4，3)-，(0AC =，4，0)， 23PE PD = ，(2E ∴-，83，1)，∴(2AE =- ，83，1)，设平面EAC 的法向量为(m x = ，y ，)z ，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即408203y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1x =，则0y =，2z =，∴(1m =，0，2)，设直线PC 与平面EAC 所成角为θ，则sin |cos PC θ=<，||||||||PC m m PC m ⋅>===⋅，故直线PC 与平面EAC 所成角的正弦值为6525．（2）由（1）知(0P ，0，3)，(3D -，4，0)，(3PD =-，4，3)-， PE PD λ=，(3E λ∴-，4λ，33)λ-，(3AE λ=- ，4λ，33)λ-，由00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4034(33)0y x y z λλλ=⎧⎨-++-=⎩，得(1m = ，0，)1λλ-，AB AC ⊥ ，AB PA ⊥，AC PA A = ，AC 、PA ⊂平面PAC ，AB ∴⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为(1n =，0，0)，平面EAC 与平面PAC 所成的二面角为3π，|cos m ∴<，1|||||cos||||32m n n m n π⋅>====⋅ ，化简得，22630λλ-+=，解得λ=，01λ<< ，332λ∴=．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是22，两条准线间的距离为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若(,0)T t 是椭圆E 的长轴上（不包含端点）的动点，过T 作互相垂直的两条直线分别交椭圆E 于A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知222224c a ac a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）当AC 斜率不存在或斜率为0时，此时AC ，BD一个长度为一个长度为，此时ABCDS ==四边形，当AC 的斜率存在且不为0时，设AC 直线方程为()y k x t =-，不妨设0k >，联立22()12y k x t x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22222(12)4220k x k tx k t +-+-=，所以△4222422222168816168816k t k t k t k k t k =-+-+=-+，所以||AC =同理可得||BD =，所以ABCD S =⎝⎭四边形页）22224(1)2(21)(1)kkk+⋅++令21m k=+，(1)m>，所以以ABCDS==<四边形，综上，四边形ABCD面积的最大值为第21页（共21。

{高中试卷}宿迁市度第一学期期末考高二数学卷[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：宿迁市20XX~20XX 学年度第一学期期末考试高二数学（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您将自己的座位号填写在答题卡上规定的地方，准考证号的条形码粘贴在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．参考公式：])()()([1,)(122221221x x x x x x n S x x x n x n n -++-+-=+++=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1. 写出命题“2,1x x N ”的否定：▲.2. 某中学生一周内每日睡眠时间分别是6，6，7，x ，7，8，9(单位：小时)，若该组数据的平均数为7，则该组数据的方差为▲.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)M 到抛物线22(0)=>y px p 准线的距离为4，则p 的值为▲. 4. 运行如图所示的伪代码，其结果为▲.5. 如图，圆O 和其内接正三角形ABC ，若在圆面上任意取一点形ABC 外的概率为▲.6. 如图是某算法流程图，则程序运行后输出S 的值为 ▲ ．7. 一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球，其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球. 若从中1次随机摸出2只球，则2只球颜色相同的概率为▲. 8. 若曲线3=+y x ax 在=1x 处切线的斜率为2，则实数a 的值为▲.9. 已知双曲线2222:=1(>0,>0)x y C a b a b 的一个焦点坐标为(2,0)，且它的一条渐近线与直线（第5S ←1For I From 1 To 5 step 2 S ←S +2I End For Print S（第4l ：0x +=垂直，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .10. 若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为▲. 11. 若直线yx t 与方程211x y 所表示的曲线恰有两个不同的交点，则实数t 的取值范围为▲.12. 已知椭圆2222+=1(>>0)x y a b a b的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .若点F 到直线AB，则该椭圆的离心率为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:()4,C x y t 圆222:(2)14C x y .若圆1C上存在点P ，过点P 作圆2C 的切线，切点为Q ，且PO ，则实数t 的取值范围为 ▲ .14. 已知函数()e x f x ax (a 为常数，e 为自然对数的底数)，若对任意的[1,2]x ，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.命题p ：指数函数=(3)x y m a 是减函数；命题q ：m R ，使关于x 的方程2=0x x m 有实数解，其中,a m R .(1)当0a 时，若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当2a 时，若p 且q 为假命题，求m 的取值范围.16．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了(1)求表格中的a ，b ，c 的值；(2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？17．在平面直角坐标系xOy 中，已知∆ABC 的顶点坐标分别是(0,0)A ，(2,2)B ，(1,3)C ，记∆ABC 外接圆为圆M . (1)求圆M 的方程；(2)在圆M 上是否存在点P ，使得224PA PB -=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．18.如图，已知A 、B 两个城镇相距20公里，设M 是AB 中点，在AB 的中垂线上有一高铁站P ，PM 的距离为10公里.为方便居民出行，在线段PM 上任取一点O （点O 与P 、M 不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到O 处，再铺设快速路分别到A 、B 两处.因地质条件等各种因素，其中快速路PO 造价为1.5百万元/公里，快速路OA 造价为1百万元/公里，快速路OB 造价为2百万元/公里，设(rad)OAM θ∠=,总造价为y (单位：百万元).(1)求y 关于θ的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求总造价的最小值，并求出此时θ的值.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在椭圆M 0)上，且椭圆M .(1)求椭圆M 的标准方程；(2)记椭圆M 的左、右顶点分别为12A A 、,点C 是x 轴上任意一点(异于点12A A O ，，)，过点C 的直线l 与椭圆M 相交于,E F 两点.①若点C 的坐标为，直线EF 的斜率为1，求△AEF 的面积;②若点C 的坐标为(1,0)，连结12,A E A F 交于点G ，记直线12,,A E GC A F 的斜率分别为123,,k k k ，证明：132k kk 是定值.20.设函数()ln 1f x x a x =+-()a R ∈，()ln g x x x =-. (1)当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在[1,e]上的最小值(e 为自然对数的底数)；(3)是否存在实数a ，使得()()f x g x ≥对任意正实数x 均成立？若存在，求出所有满足条件的实数a 的值；若不存在，请说明理由.高二数学参考答案与评分标准1. *2, 1≤∀∈x x N2.873.24.195.331 6，417.4158.1- 9.2213y x 10.56 11.(21,2] 12.1313.⎡-⎣ 14.1[e,]e- 15.解（1）当0a =时，指数函数(3)x y m a =-+化为(3)x y m =-因为指数函数(3)x y m =-是减函数，所以031m <-< ..................4分即23m <<所以实数m 的取值范围为(2,3).......................................6分 (2)当2a =-时，指数函数(3)x y m a =-+化为(1)x y m =-若命题p 为真命题，则011m <-<，即01m <<所以p 为假命题时m 的取值范围是0m ≤或1m ≥......................8分命题q 为真命题时，即关于x 的方程20x x m -+=有实数解，所以140m ∆=-≥，解得14m ≤，所以命题q 为假命题时m 的取值范围为14m >........................10分因为p 且q 为假命题，所以p 为假命题或者q 为假命题................12分所以实数m 满足0m ≤或1m ≥或14m >，即0m ≤或14m > 所以实数m 的取值范围为(]1,0,4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭..........................14分16.解:(1)37a =，0.1b =，0.32c =....................................3分(2)10.05+30.1+50.37+70.32+90.16=5.88⨯⨯⨯⨯⨯...................9分 (3)()250.050.10.3713⨯++=.....................................13分答：(1)表格中的37a =，0.1b =，0.32c =；(2)估计用户的满意度评分的平均数为5.88；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为13 .................................................................14分17.解:(1)设ABC ∆外接圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将(0,0),(2,2),(1,A B C代入上述方程得：0228040F D E D ⎧=⎪++=⎨⎪-+=⎩ ............2分解得400D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.............................................4分则圆M 的方程为2240x y x +-= ..................................6分 (2)设点P 的坐标为),(y x ，因为422=+PB PA ，所以2222(2)(2)4,x y x y +----=化简得：30x y +-=...............................................8分即考察直线30x y +-=与圆C 的位置关系 ............................10分点M 到直线30x y +-=的距离为2d ==< ...............12分所以直线30x y +-=与圆M 相交，故满足条件的点P 有两个。

江苏省宿迁市人民中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析

江苏省宿迁市人民中学2020年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率P（A∪B）=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB），由此能求出结果．【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，∴P（A）=，P（B）=，P（AB）=，P（A∪B）=P（A）+P（B）﹣P（AB）==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．2. 在中，为中线上的一个动点，已知，则的最小值为参考答案：-8略3. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为( )A．12 B．16 C．+4 D ．4+4参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD 边长为2的正方形，底边长、高都为2的等腰三角形，即可求出该几何体的全面积．解答：解：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面四边形ABCD边长为2的正方形，侧面是底边长、高都为2的等腰三角形，∴几何体的全面积为2×2+4××2×2=12．故选：A．点评：本题考查几何体的全面积，考查学生的计算能力，确定几何体为四棱锥是关键．4. 下列说法中错误的是（）A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的参考答案：A5. 在中，若，则的大小为（）A. B. C. D.参考答案：B6. 正数x、y满足x+2y=1，则xy的最大值为（）A．B．C．1 D．参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】总经理于基本不等式求解表达式的最值即可．【解答】解：xy=x?2y≤=，当且仅当x=，时取等号．故选：A．7. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则A. B.C. D.参考答案：A8. 圆C：x2+y2﹣6x+8y+24=0关于直线 l：x﹣3y﹣5=0对称的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+2）2=1 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 C．（x﹣1）2+（y+2）2=1 D．（x+1）2+（y﹣2）2=1参考答案：B【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出已知圆的圆心关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果．【解答】解：C：x2+y2﹣6x+8y+24=0，圆心坐标为（3，﹣4），半径为1，则设（3，﹣4）关于直线x﹣3y﹣5=0对称的点为：（a，b）则，解得a=1，b=2，因为圆的半径为：1所以圆C：x2+y2﹣6x+8y+24=0关于直线x﹣3y﹣5=0对称的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，故选B．9. 已知向量=(2,4), = (1, 1),若向量，则实数的值是（）A．3 B．-1 C．-2 D．-3参考答案：D略10. 若，则“”是“”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B或，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两条直线和互相平行，则等于参考答案：1或-312. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．参考答案：线段CB 1【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】如图，先找到一个平面总是保持与BD 1垂直，即BD 1⊥面ACB 1，又点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP 与BD 1垂直，得到点P 的轨迹为面ACB 1与面BCC 1B 1的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是CB 1．【解答】解：如图，先找到一个平面总是保持与BD 1垂直，连接AC ，AB 1，B 1C ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，易得BD 1⊥CB 1，BD 1⊥AC；则BD 1⊥面ACB 1，又点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P 的轨迹为面ACB 1与面BCC 1B 1的交线段CB 1．故答案为线段CB 1．【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．13. 直线被圆截得的弦长等于▲.参考答案：14. 若数列{a n }的前n 项和为，则数列{a n }的通项公式是a n =______.参考答案：。

2020年江苏省宿迁市沂北中学高二数学理期末试题含解析

2020年江苏省宿迁市沂北中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC 中，，，，则a 的值为A. 3B. 23C.D. 2参考答案：C 【分析】先由题意得到，求出，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为在中，，，，所以，因此，由正弦定理可得，所以.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.2. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为必过（）A ．点B ．点C ．点D ．点参考答案： D 略3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．B.? C.D.参考答案：A 4. 直线,, 若l1∥l2，则a = ( )A ． 3B ．2C ．3或2D ．3或2参考答案：A 略5.中，，则（）(A) ( B)(C) （D ）参考答案：A6. 已知向量＝(1,2)，＝(x ，－4)，若∥，则( ) A ．4B ．－4C ．2D ．参考答案：D7. 设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2+b 2+c 2=1，x 2+y 2+z 2=4，ax+by+cz=2，则( )A ．B ．C ．D ．参考答案：C考点：柯西不等式．专题：计算题；推理和证明．分析：根据所给“积和结构”条件，利用柯西不等式求解，注意柯西不等式中等号成立的条件即可．解答：解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=4，ax+by+cz=2，∴（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2中等号成立，∴一定有：，∴=．故选：C点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．8. 设数列的通项公式为，则（）A．153 B．210 C．135D．120参考答案：A略9. 在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（）A．1 B．C．D．2参考答案：B考点：两角和与差的三角函数试题解析：因为所以即)又因为、都是的内角是直角是等腰直角三角形。

2020年江苏省宿迁市众兴中学高二数学理上学期期末试题含解析

2020年江苏省宿迁市众兴中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A.10B.11C.12D.15参考答案：B略2. 三次函数f（x）=mx3﹣x在（﹣∞，+∞）上是减函数，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＜1 C．m≤0D．m≤1参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】先求函数f（x）的导数，因为当函数为减函数时，导数小于0，所以若f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解的情况判断，来求m 的范围．【解答】解：对函数f（x）=mx3﹣x求导，得f′（x）=3mx2﹣1∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴f′（x）≤0在R上恒成立即3mx2﹣1≤0恒成立，∴，解得m≤0，又∵当m=0时，f（x）=﹣x不是三次函数，不满足题意，∴m＜0故选A3. 已知点是椭圆的两个焦点，点P是该椭圆上一个动点，那么的最小值为A．0 B．1 C．2 D．参考答案：C4. 已知函数，，若存在实数，满足，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：【知识点】函数的值域的应用，一元二次不等式的解法.【答案解析】C解析：解：因为函数的值域为（－1，+∞），若存在实数，满足，则，解得，所以选C.【思路点拨】利用函数的图象解题是常用的解题方法，本题若存在实数，满足，由两个函数的图象可知，g（b）应在函数的值域为（－1，+∞）的值域内.5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是（）①；②；③；④．A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④参考答案：B【考点】四种命题的真假关系；平面与平面垂直的性质．【分析】准确把握立体几何中定理公理的条件．【解答】解：①为假命题，因为由线面垂直的判定定理，要得m⊥α，需要m垂直α内的两条相交直线，只有m⊥n，不成立．排除A、D，②为面面垂直的判定定理，正确．故选B．④中，m∥n或m与n异面．故选B．6. 把89化为五进制数，则此数为 ( )A． 322(5) B． 323(5) C． 324(5) D． 325(5)参考答案：C7. 已知，则（）．A． B． C． D．参考答案：C8. 已知集合，，，则的取值范围是（A）(－∞,1]（B）(－∞,－2] （C）[1,+∞)（D）[－2,+∞)参考答案：C9. 用反证法证明命题“已知，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（）A. x，y都不能被7整除B. x，y都能被7整除C. x，y只有一个能被7整除D. 只有x不能被7整除参考答案：A【分析】本题考查反证法，至少有一个的反设词为一个都没有。

江苏省宿迁市八里岔中学2020年高二数学文上学期期末试题含解析

江苏省宿迁市八里岔中学2020年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到的图像，只需将函数的图像 ( )A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位参考答案：C2. 已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是A. B． C． D．参考答案：A3. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换公式是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式.【详解】旧的，新的，故，故选C.【点睛】本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.4. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种参考答案：A【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选 A5. 若三角线和相交于一点，则A、-2B、C、2D、参考答案：B6. 算法:S1 输入nS2 判断n是否是2，若n=2，则n满足条件，若n>2，则执行S3S3 依次从2到n一1检验能不能整除n，若不能整除n,满足上述条件的是 ( )A、质数B、奇数C、偶数D、约数参考答案：A7. 过点C（2，﹣1）且与直线x+y﹣3=0垂直的直线是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣y﹣1=0参考答案：C【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据已知，与直线x+y﹣3=0垂直的直线的斜率为1，从而可求出直线方程．【解答】解：设所求直线斜率为k，∵直线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，且所求直线与直线x+y﹣3=0垂直∴k=1．又∵直线过点C（2，﹣1），∴所求直线方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0．故选C．【点评】本题考查直线的点斜式方程以及两直线相互垂直的性质等知识，属于基础题．8. 函数（x>1）的最大值是A．－2 B．2 C．－3 D．3参考答案：A9. 用数学归纳法证明：时，从到时，等边左边应添加的式子是（）A．B．C. D．参考答案：B10. 已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①，②，③，则其正确命题的个数为（）A、0B、1C、2 D、3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知{a n}是等差数列，且a2+a5+a8+a11=48，则a6+a7= ．参考答案：24【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等差数列的性质得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a5+a8+a11=48，得（a2+a11）+（a5+a8）=48，即2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24．故答案为：24．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．12. 命题P：关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x R恒成立;命题Q：f(x)=－(1－3a－a2)x是减函数.若命题PVQ为真命题,则实数a的取值范围是________.参考答案：略13. 给出下列命题：①已知函数f (x)=(a为常数)，且f (lglog81000)=3，则f (lglg2)=-3；②若函数f (x)=lg(x2+ax-a)的值域是R，则a∈(-4, 0)；③关于x的方程有非负实数根，则实数a的取值范围是(1, 10)；④如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成几何体AEF—AB1C1和B1C1—EFCB两部分，其体积分别为V1，V2，则V1:V2=7:5。

江苏省宿迁市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷

江苏省宿迁市2020版数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·高密期末) 复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）设随机变量X～，则P(X=3)的值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·福建期中) 某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为则下列结论正确的是（）A . 与具有正的线性相关关系B . 若表示变量与之间的线性相关系数，则C . 当销售价格为10元时，销售量为100件D . 当销售价格为10元时，销售量为100件左右4. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X～N(85,9)，若已知，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为（）A . 0.85B . 0.65C . 0.35D . 0.155. （2分）函数的单调递减区间是（）A .B . (-∞,1)C .D .6. （2分） (2016高二下·日喀则期末) 抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（）A .B .C .D .7. （2分）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）函数的零点个数是（）A . 0B . lC . 2D . 49. （2分） (2018高二下·济宁期中) 直线与曲线围成的封闭图形的面积是（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）=﹣ x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（）A . 0B . ﹣C .D .11. （2分） A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最最北面的椅子，B、C二人必须坐标相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（）A . 24种B . 30种C . 48种D . 60种12. （2分） (2016高一上·台州期中) 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A . y=B . y=1﹣xC . y=x2﹣xD . y=1﹣x2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是________ ．14. （1分）(2017·枣庄模拟) 在的展开式中，x的系数为________．（用数字作答）15. （1分）已知函数f（x）= 在区间（0，a）内单调，则a的最大值为________．16. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知等比数列{an}的公比q＞1，其前n项和为Sn ．若S4＝2S2＋1，则S6的最小值为________．三、解答题 (共5题；共25分)17. （5分） (2017高二下·宜春期中) 已知复数z=bi（b∈R），是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．18. （5分）若（ + ）n的展开式中前三项系数成等差数列．求：（1）展开式中含x的一次幂的项；（2）展开式中所有x的有理项；（3）展开式中系数最大的项．19. （5分）(2017·桂林模拟) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2= ．p（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820. （5分）(2018·南京模拟) 设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证： .21. （5分）(2017·山西模拟) 某学校有甲、乙两个实验班，为了了解班级成绩，采用分层抽样的方法从甲、乙两个班学生中分别抽取8名和6名测试他们的数学成绩与英语成绩（单位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名学生的测试分数：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），当学生的数学、英语成绩满足m≥135，且n≥130时，该学生定为优秀学生．（1）已知甲班共有80名学生，用上述样本数据估计乙班优秀生的数量；（2）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取3名，求至少有两名优秀生的概率；（3）从乙班抽出的上述6名学生中随机抽取2名，其中优秀生数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共25分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、。