第一章 矢量分析-2008

本章内容1.1 矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4矢量场的通量与散度1.5矢量场的环流和旋度151.6无旋场与无散场1.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理矢量用坐标分量表示zG A zzz y y x x A e A e A e A G G G G ++=AγA A A x =co s αA x A yyαβOA A A y z ==co s co s βγx)cos cos cos (γβαz y x e e e A A GG G G ++=γβαcos cos cos z y x A e e e e GG G G ++=212.矢量的代数运算G G （）矢量的加减法两矢量的加减在几何上是以这两矢量为BA +G BG 邻边的平行四边形的对角线,如图所示。

矢量的加法A在直角坐标系中两矢量的加法和减法：)()()(z z z y y y x x x B A e B A e B A e B A ±+±+±=±GG G G G 矢量的加减符合交换律和结合律G G −AG B G G GG G BA BG −=G GG G G G A B B A+=+交换律矢量的减法结合律()()A B C A B C++++（2）标量乘矢量kAekAekAeA kGGGG++=（3）矢量的标积（点积）zzyyxxGBGθzzyyxxBABABAABBA++==⋅θcosKKG G G GA矢量与的夹角AGBGA B B A⋅=⋅——矢量的标积符合交换律G G G GA B⋅=0GG G GAB⋅==⋅=⋅=⋅xzzyyxeeeeeeKKKKKKA B⊥BA//A B1=⋅=⋅=⋅zzyyxxeeeeeeKKKKKK（5）矢量的混合运算G G G G G G G C B C A C B A ⋅+⋅=⋅+)(CB C A C B A G G G G G G G ×+×=×+——分配律——分配律)()()()(B A C A C B C B A G G G GG G G G G ×⋅=×⋅=×⋅——标量三重积C B A B C A C B A G G G G G G G G G )()()(⋅−⋅=××——矢量三重积121.2三种常用的正交曲线坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。

三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。

在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。

1z1. 直角坐标系坐标变量zy x ,,0z z =（平面）Pze G ye G 坐标单位矢量zy x e e e G G G ,,点P (x 0,y 0,z 0)y oyxe G z e y e x e r z y x G G G G ++=位置矢量G G G G =0y =（平面）x0x x =（平面）直角坐标系面元矢量线元矢量z e y e x e l z y x d d d d ++zy e l l e S x z x x d d d d d GG G ==zd zyx e S z z d d d GG =zx e S y y d d d GG =y GG G ==zx e l l e S y z x y y d d d d d GG G == d y d xzy e S x x d d d GG =yx e l l e S z y x z z d d d d d 体积元zy x V d d d d =xyo 直角坐标系的长度元、面积元、体积元2. 2.圆柱坐标系z,,φρ坐标变量ze e e G G G ,,φρ坐标单位矢量G ze e r z G G +=ρρ位置矢量G G G G =圆柱坐标系φρρφρρd d d d d z z e l l e S GG G ==ze e e l z d d d d ++φρρφρ线元矢量面元矢量ρφρφφd d d d d z z e l l e S GG G GG G ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S ==zV d d d d φρρ=体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元33. 球坐标系θr 坐标变量φ,,φθe e e r G G G ,,坐标单位矢量r e r r G G =位置矢量GG G G +球坐标系φθθd d sin d d d 2r e l l e S G G G ==φθθφθd sin d d d r e r e r e l r +=线元矢量面元矢量φθr r r φθφθθd d sin d d d r r e l l e S z r GG G ==GG G θφθφφd d d d d r r e l l e S r ==φθθd d d sin d 2r r V =体积元球坐标系中的线元、面元和体积元4. 坐标单位矢量之间的关系G xe G ye G z e G G cos sin 直角坐标yφG ye ρe G φe G ρe φe G e G φφ0φcos φsin −01与圆柱坐标系单位圆xe zρe G φe G z e G G i 0圆柱坐标oφx直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系re θe G e G θsin θcos θsin −θcos 001与球坐标系zze G re G φ直角坐标ze G G i xe G ye G θθρe GG 与球坐标系re θe G G φθcos sin θcos θsin −φθsin cos −φθsin sin φθsin cos φ−oθρ单位圆柱坐标系与求坐标系之间θe φe 0φcos sin 坐标单位矢量的关系1.31.3标量场的梯度标量场和矢量场确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。

如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。

如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。

如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。

G从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：、),,(z y x u ),,(z y x F G静态标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(t z y x u ),,,(t z y x F11.标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。

意义:u=c 2u=c 1 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。

标量场的等值线(面)u=cC z y x u =),,(等值面方程：梯度的性质：•标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。

•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。

•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）⎪⎧∇=∇=∇u C Cu C )(0梯度运算的基本公式：⎪⎪⎪⎨∇+∇=∇∇±∇=±∇u v v u uv v u v u )()(⎪⎪⎩∇′=∇uu f u f )()(例1 三维高度场的梯度例2 电位场的梯度高度场的梯度电位场的梯度•与过该点的等高线垂直；•与过该点的等位线垂直；•数值等于该点位移的最大变化率；•指向地势升高的方向。

•指向电位增加的方向。

•数值等于该点的最大方向导数；e d通量的物理意义矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果>ψ0<ψ0=ψ通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。

V S151.5矢量场的环流和旋度1.矢量场的环流与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。

存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。

但在场所定义的空间中闭合路径的积例如：流速场。

分不为零。

磁感应线要么穿过曲面磁感应线磁感应线要么同时穿入和穿出曲面MΔC S旋度的有关公式：G G ×=×0=×∇C G 矢量场的旋度Ff F f F f G G G ×∇+×∇=×∇)(Cf C f ∇∇)(G GG G 的散度恒为零GF G F ×∇±×∇=±×∇)(GF FG G F G GG G G G ×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇)(标量场的梯度0)(≡×∇⋅∇F G的旋度恒为零)(≡∇×∇unSC4. 散度和旋度的区别0,0F F ∇⋅=∇×=K K 00≠∇×=K K,0.F F ∇⋅0=∇×≠K K0≠∇×≠K K0,0F F ∇⋅0,0F F ∇⋅1.6 无旋场与无散场161. 矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。

（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）F ∇×=G F u=−∇G()0u ∇⋅−∇=0F ∇⋅=G 02=∇u （4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分()()()()()l C F r F r F r u r A r =+=−∇+∇×G G G G G G G GG 无旋场部分无散场部分•矢量拉普拉斯运算2F∇GGG G 概念：2222=G G G G )()(2F F F ×∇×∇−⋅∇∇=∇x x y y z zF e F e F e F ∇∇+∇+∇即22()i i F F ∇=∇G 直角坐标系中：(,,)i x y z =注意：对于非直角分量，22()i iF F ∇≠∇G如：22()F F φφ∇≠∇GSΦ,ΨV表示为)()()(r A r u r F G G GG G ×∇+−∇=G G′⋅′′⋅∇′S r F r F G GG G G d 11还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。

∫∫′−−′′−=S V r r V r r r u G G G G G)(π4d )(π4)(∫∫′−′×′−′′−′×∇′=S V r r S r F V r r r F r A G G G GG G G G G G G d )(π41d )(π41)(。