第四章-系统的频率特性分析
自动控制原理与系统控制系统的频率特性
如图4-6所示。
12
四、惯性环节 传递函数 ： G(s) C(s) 1
R(s) Ts 1
频率特性 ： G( j) C( j) 1
R( j) jT 1
对数频率特性 ： L() 20lg
1
20lg
(T)2 1
(T)2 1
Bode图 ： arctanT
▪对数幅频特性L(ω)是一条曲线,逐点描绘很烦琐,通常采用近似的 绘制方法,用两条渐进线近似表示.
（极坐标表示法）
U () jV ()
（直角坐标表示法）
（A指(数表)e示j法 (）)
图4-2
A() G(j) U 2 () V 2 ()
() G( j) arctan 1 V () U ()
6
例4-1 写出惯性环节的幅频特性、相频特性和频率特性。
解：惯性环节的传递函数为
G(s) 1 Ts 1
2
• 系统（或环节）输出量与输入量幅值之比为幅值频率特性， 简称幅频特性，它随角频率ω变化，常用M(ω)表示。
A()
A c
A r
• 输出量与输入量的相位差为相位频率特性，简称相频特性，它 也随角频率ω变化，常用φ(ω)表示，
c r
幅频特性和相频特性统称为频率特性，用G( jω)表示
3
频率特性就是线性系统(或环节)在正弦输入信号 作用下稳态时输出相量与输入相量之比。
G (j) G(j) G(j)
A() G(j)
() G(j)
幅频特性是输出量与输入量幅值之比M(ω),描述系统 对不同频率正弦输入信号在稳态时的放大（或衰减） 特性。
相频特性是输出稳态相对于正弦输入信号的相位差 φ(ω),描述系统稳态输出时对不同频率正弦输入信号 在相位上产生的相角迟后（或超前）的特性。
第四章频率特性
第四章控制系统的频域分析法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 165 频率特性法本章是通过对系统的频率特性研究分析自动控制系统，是一种经典方法。
问题：什么是频率特性，如何描述？如何利用频率特性分析控制系统？5.1 频率特性5.1.1频率特性的基本概念我们知道，系统（包括开环系统和闭环系统）对正弦输入信号的稳态反应是用以描述系统性能的一种广泛应用的工程方法。
频率特性描述了系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与输入信号之间的关系。
设系统的传递函数为又设其中：的振幅为常值：正弦函数的角频率有一般地A（s），B（s）为s的多项式;为的极点，包括实数和共扼复数对稳定的系统而言均具有负实部。
（设系统无重极点）其中，待定，是的共扼复数，为待定系数。
由拉氏反变换可得：则输出信号的稳态分量：（对于稳定的系统具有负实部）注：如果系统中含有k个重极点，则在中将会出现象（j=0，1，2，……，k-1）这样一些项，然而对于稳定的系统来说，由于具有负实部，所以各项都将随着趋于无穷大而趋于零。
因此具有重极点的稳定系统的稳态分量具有和上式相同的形式。
可按下式计算：（由留数公式）及其中为一复数，可表示为其中，模幅角同样可以证明，是的偶函数是的奇函数证明：设式中则有是的偶函数是的奇函数稳定的线性定常系统在正弦输入下的稳态响应为：可见：线性定常系统在正弦信作用下的稳态响应仍是与输入信号同频率的正弦信号。
其振幅是输入信号振幅R的倍，在相位上，正弦输出相对于输入的相移，同样是的函数，对确定的来说，振幅C及相移将是确定的。
综上：在正弦输入信号的作用下，线性定常系统的输出信号的稳态分量是和正弦输入信号同频率的正弦函数，其振幅C与输入正弦的振幅R 的比值C/R=是角频率的函数。
它描述系统对不同频率的输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性，定义这种振幅比依赖于频率的函数为系统的幅频特性。
相对于输入信号r(t)的相移也是的函数，是系统输出信号的稳态分量对正弦输入信号r(t)的相移为该系统的相频特性，它描述系统的稳态输出对不同频率的正弦输入信号在相位上产生相角滞后或相角超前的特性。
自动控制理论第四章
若用一个复数G（jω）来表示，则有 指数表示法: G（jω）=∣G（jω）∣· j∠G（jω）=A（ω）· j e e 幅角表示法: G（jω）=A(ω)∠ (ω) G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。 当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个 向量去表示 G （ jω）。向量的长度为 A(ω)，向量与 正实轴之间的夹角为 (ω)，并规定逆时针方向为正， 即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。 可由图4.3表示。
对输出求拉氏反变换可得
c(t ) ( K1e
p1t
K 2e
p2t
Kne
pn t
) (K c e
jt
K c e )
jt
系统的输出分为两部分，第一部分为指数瞬态分量， 对应特征根为单根时的响应；第二部分为稳态分量， 它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统 所有的特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋 于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳 态分量为：
r（t）
sint 线 性 定 Asin（ωt+）
Css（t） t
常系统
图4-2，线性系统及频率响应示意图
4.1.2频率特性
一、基本概念 对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出 的幅值比A与相位差 只与系统的结构、参数及输入正 弦信号的频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下， 幅值比 A与相位差 仅是ω的函数，可以分别表示为A （ω）与（ω）。 若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则 系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的 变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同 性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
系统的频率特性分析
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系 统
w0
w w
Im
w 0
w 0 Re
I型系 统
w0
w 0 型系统
w 基准点 ( 1 , L ( 1 ) 2l0 g K ) 第一转折频率之左
斜率 20 v dBdec
的特性及其延长线
⑷ 叠加作图
一阶 二阶
惯性环节 复合微分 振荡环节 复合微分
-20dB/dec +20dB/dec -40dB/dec -40dB/dec
⑸ 修正 根据误差曲线修正
① L(w) 最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec ⑹ 检查 ② 转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)
(1 w2 )1 1 ( 4 5 w2)jw (1 5 (1 w 2)j2 1 w ( 2 4 )w2)
G (j0) 90G (j)0270
渐近线： RG e(j[0) ] 15
与实轴交点：Im G (j[w) ]0 w1 20.707
15
10
RG (e j0 .[ 7) 0 ]7
(1 0 .5 )1 ( 4 0 .5 ) 3
对数幅频特性记为 对数相频特性记为
单位为分贝（dB) 单位为弧度（rad)
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
控制工程基础课程第四章习题答案
2007机械工程控制基础第四章习题答案第4章频率特性分析4.1什么是系统的频率特性？答：对于线性系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性，将输出的相位之差定义为系统的相频特性。
系统的幅频特性和相频特性简称为系统的频率特性。
4.4若系统输入为不同频率ω的正弦t A ωsin ，其稳态输出相应为)sin(ϕω+t B 。
求该系统的频率特性。
解：由系统频率特性的定义知：ϕωj e AB j G =)( 4.5已知系统的单位阶跃响应为)0(8.08.11)(94≥+-=--t e e t x t t o ，试求系统的幅频特性与相频特性。
解：由已知条件得：s s X i 1)(=，98.048.11)(+++-=s s s s X o得系统传函为：)9)(4(36)()()(++==s s s X s X s G i o 得系统频率特性：)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=，其中幅频特性为：22811636)()(ωωωω+⋅+==j G A相频特性为：9arctan4arctan)(ωωωϕ--=4.6由质量、弹簧、阻尼组成的机械系统如图（4.6）所示。
已知m=1kg ，k 为弹簧刚度，c 为阻尼系数。
若外力tN t f 2sin 2)(=，由实验得到系统稳态响应为)22sin(π-=t x oss 。
试确定k 和c 。
解：由系统结构知系统的动力学方程为： 当m=1时，得系统传函为：kcs s s G ++=21)(，得系统频率特性为： ωωωjc k j G +-=21)(。
图（题4.6）其中，幅频特性为2222)(1)(ωωωc k j G +-=，相频特性为2arctan)(ωωωϕ--=k c 由题意，当输入信号为t t f 2sin 2)(=时，2=ω，由其与稳态输出信号)22sin(π-=t x oss 对应关系知：2222)(121)(ωωωc k j G +-==，2arctan 2)(ωωπωϕ--=-=k c 解得4=k ，1=c 。
频率特性分析
弹簧阻尼系统对正弦输入的稳态响应
例：机械系统如下图所示，k为弹簧刚度系数，c为阻尼系数， 当输入正弦力信号 f(t)=Fsinωt时，求位移x(t)的稳态输出。
解 该系统的传递函数为：
f(t)=Fsinωt
输入信号的拉氏变换为：
k
位移输出的拉氏变换为：
c
取拉氏反变换，位移输出为
如果系统稳定，频率响应包含二部分：瞬态响应和稳态响 应。瞬态响应不是正弦波，趋于0；稳态响应部分，是与 输入信号频率相同的正弦波，但幅值、相位不同。 所以稳态位移输出为：
10
0
10
1
10
2
2.积分环节
1 G(j) j
L() 20lg
1 20lg j
() 90
各型乃氏图的低频段
对于0型系统，当ω→∞时，幅角为-90°(m-n)
乃氏图的高频段
通常，机电系统频率特性分母的阶次 大于分子的阶次，故当 时，乃氏图 曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分 母的阶次等于分子的阶次，当 时， 乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。 一般在系统频率特性分母上加极点， 使系统相角滞后；而在系统频率特性分子 上加零点，使系统相角超前。
当 当
ω=0
时， G(jω)= +∞∠−90°
ω = +∞时， G(jω)= 0∠−270°
其相角范围从-90º ~-270º ，因此必有与负实轴 的交点。
解方程G(j) 90º arctan() arctan(2) 180º
即
arctan(2) 90º arctan()
First-order components
4.一阶惯性环节
u ( )
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性
06.06.2019
信号与系统
例：图示反馈系统，求系统函数分析稳定性 Q(s)
稳定系统的充要条件： h()d＜
06.06.2019
信号与系统
2、根据系统函数零、极点分布判断稳定性
系统稳定的条件
H(s)全部极点在s左半开平面，稳定 H(s)的极点在右半开平面，或虚轴上有二阶以
上高阶极点，不稳定 H(s)虚轴上单极点，不稳定（边界稳定）
06.06.2019
根据幅频特性的不同，可划分成如下几种
06.06.2019
截止频率－－下降3dB的频率点
信号与系统
二、由极、零点分布分析频响特性
m
(s z j)
H (s) K
j 1 n
(s pi)
i 1
s沿 虚 轴 移s 动j
m
( j z j )
H ( j) K
j 1 n
信号与系统
1 1 R1C1 R2C2
06.06.2019
信号与系统
小结： (232页)
若函数有一对非常靠近jω轴的极点，则ω 在极点附近，幅频特性出现峰点，相频特性 迅速下降
若函数有一对非常靠近jω轴的零点，则ω 在零点附近，副频特性出现下陷，相频特性 迅速上升
若系统函数的零、极点远离jω轴，则对频 率响应特性曲线的影响较小，只是大小有所 增减。
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
机械工程控制基础(第4章_系统的频率特性分析)
对频率 的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相位 ) (
的函数曲线，此即相频特性曲线。
对频率
由上可知，一个系统可以用微分方程或传递函数来描述，也可以
用频率特性来描述。它们之间的相互关系如图4.1.2所示。将微分方程
的微分算子 中的s再换成 j，传递函数就变成了频率特性；反之亦然。
d 换成s后，由此方程就可获得传递函数；而将传递函数 dt
式中，
u ( ) 是频率特性的实部，称为实频特性 v( ) 是频率特性的虚部，称为虚频特性
武科大城市学院
机电学部
4.1.3 频率特性的求法
1. 根据系统的频率响应来求取
因为
K G s Ts 1 X i X i s 2 s 2
X i xo t L G s 2 s 2
G j 端点的轨迹即为频率特性的极坐标图, 或称为Nyquist 图, 如
实轴开始, 逆时针方向旋转为正, 顺时针方向旋转为负。当从0→∞时,
武科大城市学院
机电学部
图4.2.1所示。它不仅表示幅频特性和相频特性, 而且也表示实频特性和
虚频特性。图中的箭头方向为从小到大的方向。
正如4.1节所述, 系统的幅频特性和相频特
武科大城市学院
机电学部
2. 频率特性
线性系统在谐波输入作用下，其稳态输出与输入的幅值比是输入
信号的频率 的函数，称为系统的幅频特性，记为A( ) 它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值 的衰减或增大特性。显然
X o ( ) A( ) Xi
) 稳态输出信号与输入信号的相位差 ( （或称相移）也是 的函
1
所以
1 T 2 2 X K A o Xi 1 T 2 2
第四章 频率特性分析
B( s)
(s p )
i i 1
n
A s
2 2
为简单起见，设G(s)的极点均为相异的极点，则将 Xo(s)的表达式进行部分分式分解，得
X o ( s)
i 1
n
bi s pi
n
a1 s j
a2 s j
xo (t ) bi e
i 1
pi t
变乘除运算为加减运算
Bode图的横坐标ω采用对数分度，单位rad/s 线性分度：
0 1 2 3 4 5 6 7
对数分度：
小结
纵坐标：L( ) 20 lg G( j ) 对数幅频特性图
（单位：分贝（dB），线性分度）
横坐标：频率ω Bode图
（单位：rad/s），对数分度）
纵坐标：G ( j ) 对数相频特性图
一、频率特性的图示方法（重点）
1.频率特性的Nyquist图（也叫极坐标图、幅 相频率特性图）
Nyquist图
把频率特性G(j ω)看作ω的复变函数
jG ( j )
G( j ) G( j ) e
u ( ) jv( )
虚频特性
实频特性
2 2
G( j ) u ( ) v ( ) G ( j ) arctan
j
112 0.4 10
3 3
实频特性u(ω)
虚频特性v(ω)
ω
u(ω)
v(ω)
0
20
-2.24
-1.93
-∞
-4.89
30
40
-1.64
-1.36
-2.75
-1.7
第四章系统的频率特性分析
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第四章 系统的频率特性分析
61
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Bode图)
62
4.3 频率特性的特征量
如图4.31所示，在频域分析时要用到的一些有关频率的特征量 或频域性能指标有 A(0)、wm、wr（Mr）、wb。
1．零频幅值 A(0 ) 零频幅值A(0 )表示当频率ω 接近于零时，闭环系统稳态输出 的幅值与输入幅值之比。
解：根据回路电压定律有
系统的传递函数为：
系统的频率特性为 ：
系统的幅频特性为：
17
4.1 频率特性概述
系统的相频特性为：
根据系统频率特性的定义有 ，系统稳态输出为：
18
4.1 频率特性概述
例4.4 系统结构图如图所示。当系统的输入 时，测得 系统的输出 ，试确定该系统的参数nω,ξ。 解：系统的闭环传递函数为:
因为，如果不知道系统的传递函数或微分方程等数学模型就无法
用上面两种方法求取频率特性。在这样的情况下，只有通过实验 求得频率特性后才能求出传递函数。这正是频率特性的一个极为 重要的作用。
12
4.1 频率特性概述
三、 根据定义来求，此方法麻烦。
13
4.1 频率特性概述
四、
14
4.1 频率特性概述
五、
27
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
所以，微分环节频率特性的nyquist图是：
28
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
29
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
30
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
31
4.2 频率特性的图示方法(典型环节的Nyquist图)
系统的频率特性分析
例4.3 一典型质量－弹簧－阻尼系统如图所示，系统输入 力f(t)为矩形波。f(t)=f(t-2T)，试求系统的输出位移x(t)。 解：系统的传递函数为
X (s) 1 2 F ( s ) ms Bs k
幅频特性
C( )= j 1
2 ( - m 2 ) + B 2 2 k
相频特性
B G( ) - arctan j = = ( ) 2 k - m
K （ 如图所示系统，传递函数为G s）＝ Ts＋1，求系统的
解：令 s＝j 则系统的频率特性为
K G j）＝ （ jT＋1
系统的幅频特性为
K K G j） （ ＝ ＝ jT＋ 1 1＋T 2 2
系统的相频特性为：
＝G j）＝－arctanT （
系统的稳态响应为：
（t）＝ c AK 1＋T 2 2 sin t－arctanT） （
jt
* jt
t e
k s jt
xi xi jG j xi s j s j G j G j e B Gs s j s j 2j 2j
xi xi jG j B G j G j e 2j 2j
1
4 单位负反馈系统的开环传递函数为 Gs ss 2
若输入信号为
xi t 2 sin 2t
试求系统的稳态输出和稳态误差。
4 G B s 2 s 2s 4
G j
G j
4 4 2 j 2
4
4
2 2
F j） （ X1 j）＝ （ K j） （
由频率响应可知，当系统输入为正弦信号时，系统 （ 输出为同频率正弦信号。显然要使 X1 j） 0 ,则应使 K j） （ k2 2 k2－m2 ＝0 = 2 m2 即当选择吸振器参数满足上式时，可使质量 m1 的振 幅为零，施加于 m1 的干扰被 m2 和 k2 吸收了，这就 是振动控制中的吸振器。
第四章 频率特性分析1
− arctan T ω
结论：系统的频率响应只是时间响应的一个特例，提 供了系统本身特性的重要信息，且随着输入谐波幅值、 频率的不同，系统稳态响应的幅值和相位也不相同。
11
⑵ 频率特性 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入时， 其稳态输出随频率而变化(ω由0变到∞)的特性。 设系统的传递函数中比例系数K为1，则 G ( s) = 输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 系统的稳态响应为： xo (t ) =
R e 2 (ω ) + Im (ω ) = K 1 + T 2ω
2
A (ω ) = G ( jω ) =
2
ϕ (ω ) = ∠ G ( jω ) = tan − 1 Im (ω ) = − tan − 1 (T ω ) R e(ω )
可见，两种方法求解结果一致。
24
¾ 几点说明
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面 虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分 方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频 率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全 部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性 也全寓于其中。
线性定常系统对谐波输入的响应为：
xo (t ) = A(ω ) sin[ωt + ϕ (ω )]
系统方框图及其稳态响应的输入输出波形如图4.1.1所示：
图4.1.1系统及其稳态响应的输入输出波形
9
例1
设系统的传递函数为G ( s) =
K Ts + 1
输入信号为 xi (t ) = X i sin ωt 得
xo (t ) = XiK 1 + T 2ω 2 sin(ωt − arctan Tω )
控制工程基础第四章频率特性分析
ξ
=0.1
ξ
=0.1
-90
-180 10 -1 10 0 10 1
4.1.3
频率特性的物理意义
1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。 即 G ( jω ) = F [ w(t )] 。 2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示 系统的动态特性。 3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应。另外，系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时，比较容易。 4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便。
A(ω )e jϕ (ω )
4.1.2 频率特性的求法
1.用拉氏逆变换求取 用拉氏逆变换求取
xi (t ) = X i sin ω t
X i ( s ) = L[ xi (t )] = L[ X i sin ω t ] =
X o (s) = G (s) X iω s2 + ω 2 X iω −1 xo (t ) = L [G ( s ) 2 ] 2 s +ω
2.Bode图 2.Bode图：以ω的常用对数值为横坐标，分别以 20 lg A(ω ) 和 Bode 对数幅频特性图和对数相频特性 对数幅频特性图 ϕ (ω ) 为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图 对数相频特性 对数坐标图，又称为Bode图。 图，统称为频率特性的对数坐标图 对数坐标图
dB
A( ω ) =20 lg G( jω )
xo (t ) = X o (ω ) sin (ω t + ϕ (ω ))
第四章频域分析_4
→
→
β (ω )
A
∠GB ( jω ) = ∠ OA− ∠ QA = θ (ω ) − φ (ω ) = β (ω )
→
→
Gk ( jω)
控制工程基础
第四章 频域分析法
二、最小相位系统与非最小相位系统
1、最小相位传递函数 若系统传递函数G(s)的所有零点和极点均在 [s]平面的左半平面，则称G(s)为“最小相位传递 函数”。相应系统称为“最小相位系统”。 2、非最小相位传递函数 若G(s)有零点或极点在[s]平面的右半平面， 则称其为 “非最小相位系统”。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第四节 闭环系统频率特性
一、开闭环频率特性的几何关系
本节讨论如何由系统的开环频率特性，得到 系统的闭环频率特性的问题。 设有单位反馈控制系统，则闭环系统频率特 性传递函数为:
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
X i (s )
−
G(S)
X o (s )
控制工程基础
第四章 频域分析法
G K ( jω ) G B ( jω ) = 1 + G K ( jω )
∠GB ( jω ) = ∠GK ( jω ) − ∠[1 + GK ( jω )]
GB ( jω ) = AB (ω )
Q
O
∠GB ( jω ) = φB (ω )
−1
A
0
如图有：
控制工程基础
第四章 频域分析法
3、产生非最小相位的一些环节 (1)延时环节： e −τs = 1 − τs + 1 τ 2 s 2 − 1 τ 3 s 3 + L
第4章 频域特性分析
二、 频率特性及其求法
1.定义： 频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用 下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又 称正弦传递函数。频率特性是个复数，可分别用 幅值和相角来表示。 频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1) 根据已知系统的微分方程或传递函数，把 输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态 分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2) 根据传递函数来求取。 (3) 通过实验测得。
右边第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。 例系数A(ω)以及输入输出间的相位角φ(ω)， 两个 量都是频率 ω的函数，并与系统参数 k、c有关。 随时间 t ∞ ， 瞬态分量衰减为零，所以稳态位移 输出为 1k
x t 1 T
2 2
F sin t arctgT
AF sin T X sin T
XiK T K X i w t 有 x o (t ) sin( wt arctgTw) e T 2 2 T w 1 1 T 2 w2
稳态响应 瞬态响应
K X o ( w) A ( w ) Xi 频率特性： 1 T 2 w2 w arctgTw
幅频特性 相频特性
(2). 根据传递函数来求取。 G ( s )
s jw
G ( jw)
以jw代替s由传递函数得到的频率特性，对 线性定常系统普遍适用。
K 例：已知系统传函 G( s) 。求其频率特性。 Ts 1
K K (1 jTw) 解：由 G ( jw) G ( s ) s jw 1 jTw 1 T 2 w 2 K 虚部 G ( jw) , G jw arctg arctgTw 实部 1 T 2 w2
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G(s)H (s) G1(s)G2 (s) Gr (s) 系统幅相特性为：
G( jw)H ( jw) A1(w)e j1(w) A2 (w)e j2 (w) Ar (w)e jr (w)
A1(w) A2 (w)
A (w)e j[1 (w)2 (w) r ( w)] r
r
起点 K0
v 0 终点 0 90(n m)
90v v 0
3. 一般系统Nyquist形状
设系统的开环传递函数为
系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少 来对系统进行分类的方法
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环 节的相位之和。因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联 环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。
系统的Bode图
G(s)
K (τ1s 1)(τm s 1) sv (T1s 1)(Tnv s 1)
L(w ) 20 lg G
20lg K 20lg1 j1w 20lg1 j mw 20v lgw 20lg1 jT1w 20lg1 jTn-vw
(w) G arctan 1w arctan mw 90v arctan T1w arctan Tn-vw
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还 适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性 系统的分析。
总结：
1、频率特性的定义； 2、频率特性表示方法； 3、频率特性的求法。
复习：频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。 （一）解析表示：系统开环频率特性可用以下解析式表示
幅频-相频形式 ： 指数形式(极坐标) ： 三角函数形式： 实频-虚频形式： （二）图解形式 1. 极坐标图—奈奎斯特图 （Nyqusit） —幅相特性曲线 系统频率特性为幅频-相频形式
一、频率特性的极坐标图（Nyquist图）
2
Im
1
Re[G( jw)]
w
Imag Axis
0
-1 G( jw)
-2
w2
-3
w3 (w)
Re
Im[G( jw)]
-4
w1
w0
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
G
wT
arctan
180
arctanwT
-1
⑹ 振荡环节
G(s)
wn2 s2 2wns wn2
1
( s )2 2 wn
s
wn
1
G(
jw )
1
w2
w
2 n
1
j2
w wn
谐振频率wr 和谐振峰值Mr
G 1
[1
w2
w
2 n
]2
[2
w wn
]2
d G 0
4.1 频率特性概述
一 频率响应与频率特性概念
系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。
频率响应的典型例子
例1 RC 电路如图所示，ur(t)=Asinwt, 求uc(t)=?
G(s) Uc(s)
1
1 TCR
1T
Ur (s) CRs 1 Ts 1 s 1 T
Uc(s)
1T s1 T
AwT 1
A1
w
Tw
s
Uc(s) 1 w 2T2 s 1 T
1 w 2T2
1 w 2T2 s2 w 2
1 w 2T2
s2
w2 uc (Fra bibliotek)AwT 1 w 2T2
t
eT
A sinwT cos coswT sin
1 w 2T2
当w在0～变化时,相量G(jw)H (jw)的幅值和相角随w而变化,与此对应 的相量G(jw) H (jw)的端点在复平面 G(jw)H (jw)上的运动轨迹就称为幅相 频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或 Nyqusit图。
系统开环传函由多个典型环节相串联：
四、频率特性与传递函数的关系
频率特性就是将G(s) 中的s用jw取代可以得到
五、频率特性函数求取方法
六、频率特性的特点和作用
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验 的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或 系统来说，具有重要的实际意义。
（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形 对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。
特别注意横坐标的标注方法
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-50
Phase (deg)
-100 0
-45
-90
-135
-180
10-1
100
101
102
Frequency (rad/sec)
2. 典型环节的Bode图
2. 绘制系统Bode图
系统开环传函由多个典型环节相串联：
Laplace 变换 F (s) L[ f (t)] f (t)estdt
0
f (t) L1[F (s)] 1 j F (s)es tds
2π j j
复数域
Fourier变换
F ( jw) F[ f (t)] f (t)e jwtdt 0 频率域
K0 0 180
K
I jw(1 jwT1 )(1 jwT1 ) 90 0 270
K
II ( jw )2 (1 jwT1 )(1 jwT1 ) 180 0 360
K
III ( jw )3 (1 jwT1 )(1 jwT1 ) 270 0 450
Re[G( j0.707)]
15
10
(1 0.5)(1 4 0.5) 3
例 4-4
K G(s) sv (T1s 1)(T2s 1)
K sv(s 1
(T1T2 ) T1 )( s 1
T2 )
v
G( jw )
G( j0) G( j)
K
0
(1 jwT1 )(1 jwT1 )
图4-3 极坐标图
但它不能清楚地表明开环传递函 数中每个因子对系统的具体影响
1.典型环节的幅相频率特性 ( Nyquist )
用描点法绘制Nyquist的概略曲线的一般步骤： 1.由G(jw)求出其实频 Re[G(jw)]、虚频特性Im[G(jw)]和幅频特性
︱G(jw)︱、相频特性∠ G(jw)的表达式； 2.求出若干特征点，如起点、终点、与实轴的交点、与虚轴的交点
第四章 系统的频率特性分析
4.1 频率特性概述 4.2 频率特性的图示方法 4.3 频率特性的特征量 4.4 最小相位系统与非最小相位系统 4.5 利用MATLAB分析频率特性
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。 2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线 及对数频率特性曲线。 3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅 频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。 4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特 性曲线求开环传递函数的方法。
Bode Diagram 0
Phase (deg) Magnitude (dB)
-50
-100 0
-45
-90
-135
-180
10-1
100
101
102
Frequency (rad/sec)
坐标
横轴
按 lgw 刻度，dec “十倍频程” 按 w 标定，等距等比
纵轴 L(w ) 20lg G( jw ) dB “分贝”
15
(1 w 2 )(1 4w 2 )
5(1 j2w 2 ) j w(1 w 2 )(1 4w 2 )
G( j0) 90 G( j) 0 270
渐近线： Re[G( j0)] 15
与实轴交点：Im[G( jw)] 0 w 1 2 0.707
Aw s2 w2
C0 s1
T
C1s C2
s2 w2
Aw T AwT
C0
lim
s1 T
s2
w
2
1 w 2T2
建模 ur R i uc i Cuc
- AwT C1 1 w 2T2
Aw C2 1 w 2T2
ur CR uc uc Ur [ CR s 1] Uc
参看2阶系统正弦响应曲线
二、频率特性的定义
频率特性表达式为
三、频率特性的表示方法
幅频特性、相频特性、幅相特性
G( jw) G( jw) G( jw) A(w )e j (w ) u(w) jv(w)
w :0
A(w) ~ w 为系统的幅频特性。
(w) ~ w 为系统的相频特性。
极坐标图的形状与系统的型号有关，一 般情况如下（注意起始点）：
II型系统
w0
w w
Im
w 0
w 0
Re
I型系统
w0
w 0 型系统
注意终止点：
nm 2
Im nm 3