高三数学大一轮复习 不等式的概念与性质学案 理 新人教A版

第七章 不等式、推理与证明 学案33 不等式的概念与性质导学目标： 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．自主梳理 1．不等关系不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如3>0)，变量与________间的不等关系(如x>5)，函数与________之间的不等关系(如x 2＋1≥2x)等．2．不等式用________(如“<”“>”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“<”或“>”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．3．两个实数大小的比较(1)作差法：设a ，b∈R ，则a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．(2)作商法：依据：设a >0，b >0，则a >b ⇔__________，a <b ⇔a b<1.4．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔________；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒________； (3)加法性质：a >b ⇔________； 推论：a >b ，c >d ⇒________；(4)乘法性质：a >b ，c >0⇒________； 推论：a >b >0，c >d >0⇒________；(5)乘方性质：a >b >0⇒________________________； (6)开方性质：a >b >0⇒________________________； (7)倒数性质：a >b ，ab >0⇒________________. 自我检测1．(2011·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 32．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则( ) A ．a 2>b 2B.b a<1C ．lg(a －b )>0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 3．(2011·青岛模拟)设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( )A ．a b ＋b a≥2B ．ln(ab ＋1)>0C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bD ．a 3＋b 3≥2ab 24．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥25．(2010·安徽)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.探究点一 数与式的大小比较例1 (1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n的大小．变式迁移1 已知a >2，b >2，试比较a ＋b 与ab 的大小．探究点二 不等式性质的简单应用例2 下面的推理过程⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒ac >bc c >d ⇒bc >bd ⇒ac >bd ⇒a d >bc ，其中错误之处的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3变式迁移2 (2011·许昌月考)若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1aC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2探究点三 求字母或代数式范围问题例3 (1)已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及a b的取值范围．(2)设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1) ≤4，求f (－2)的取值范围．变式迁移3 (1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．(2)(2010·辽宁)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围为________．(答案用区间表示)1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．2．由M 1<f 1(a ，b )<N 1和M 2<f 2(a ，b )<N 2，求g (a ，b )的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g (a ，b )＝pf 1(a ，b )＋qf 2(a ，b )，用恒等关系求出待定系数p ，q ，于是一次相加，便可求到所需要的范围．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·开封调研)已知a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>02．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1 B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1a D.2a ＋b a ＋2b >a b3．(2011·金华模拟)已知a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．lg a >lg bB ．a 2>b 2C.1a <1bD ．2a >2b4．(2011·舟山七校联考)若a <b <0，则下列结论中正确的是( ) A.1a >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 B.1a －b >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 C ．不等式1a －b >1a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a 2均不能成立D ．不等式1|a |>1|b |和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a 2均不能成立5．已知三个不等式：ab >0，bc －ad >0，c a －d b>0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题4分，共12分)6．若x>y>1，且0<a<1，则①a x<a y；②log a x>log a y；③x－a>y－a；④log x a<log y a.其中不成立的个数是________．7．(2011·东莞月考)当a>0>b，c<d<0时，给出以下三个结论：①ad<bc；②a＋c2>b＋d2；③b－c>d－c.其中正确命题的序号是________．8．已知－π2≤α<β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是______________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·阳江月考)已知a＋b>0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b.10．(12分)比较a a b b与a b b a(a，b为不相等的正数)的大小．11．(14分)已知a>0，a2－2ab＋c2＝0，bc>a2.试比较a，b，c的大小．学案33 不等式的概念与性质自主梳理1．常量 常量 函数 2.不等号 3.(2)ab >1 4.(1)b<a (2)a>c (3)a ＋c>b ＋c a＋c>b ＋d (4)ac>bc ac>bd (5)a n>b n(n∈N 且n ≥2) (6)n a >nb (n ∈N 且n ≥2)(7)1a <1b自我检测1．A 2.D 3.D 4.D 5．①③⑤ 课堂活动区例1 解题导引 比较大小有两种基本方法：(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．解 (1)方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0. ∴－2xy (x －y )>0.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )． 方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0.∴0<x 2＋y 2x －y x 2－y 2x ＋y ＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1.∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．(2)∵a ，b ，c ∈{正实数}，∴a n ，b n ，c n>0. 而a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2.∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c2＝1.∴a n＋b n<c n.变式迁移1 解 方法一 (作差法) ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， ∵a >2，b >2，∴a －1>1，b －1>1. ∴(a －1)(b －1)－1>0. ∴ab －(a ＋b )>0. ∴ab >a ＋b .方法二 (作商法)∵a ＋b ab ＝1b ＋1a，且a >2，b >2，∴1a <12，1b <12.∴1b ＋1a <12＋12＝1. ∴a ＋b ab<1.又∵ab >4>0，∴a ＋b <ab .例2 D [由a >b ⇒ac >bc ，c >d ⇒bc >bd 都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出ac >bd 是正确的，由ac >bd ⇒a d >b c是对不等式ac >bd 两边同除cd ，由于不知cd 的正、负，故这一步也是错误的．]变式迁移2 B [∵a <b <0，∴ab >0.取倒数，则有1a >1b，选项A 正确．∵a <b <0，∴|a |>|b |和a 2>b 2两个不等式均成立，选项C 、D 正确．对于B ，1a －b －1a ＝ba a －b，又∵a <b <0，∴a －b <0.∴ba a －b<0，即1a －b <1a.∴选项B 不成立．] 例3 解题导引 第(2)题中，由于f (x )＝ax 2＋bx ，所以f (－2)、f (－1)和f (1)都是关于a ，b 的代数式，由于已知f (－1)、f (1)的范围，因此利用待定系数法表示出f (－2)，通过等式两边a 、b 系数相等求出待定系数，然后通过f (－1)、f (1)的范围求出f (－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，求的是z ＝4a －2b 的范围．解 (1)∵15<b <36，∴－36<－b <－15. ∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015. ∴13<a b<4. (2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b f ＝a ＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故5≤f (－2)≤10.方法二 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1. ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)，∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，∴f (－2)的取值范围是[5,10]．变式迁移3 (1)[－3π2，π] (2)(3,8)解析 (1)由－π2≤α≤π2⇒－π≤2α≤π，由0≤β≤π⇒－π2≤－β2≤0，两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.所以2α－β2的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π. (2)设2x －3y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，对应系数相等，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2λ－μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，μ＝52，从而2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )∈(3,8)．课后练习区1．A [由c <b <a ，且ac <0，知a >0，c <0，但b 的符号不确定，b 可能为0，故C 错误． 由b >c ⇒ab >ac ，b 可能为0，故A 正确． ⎭⎪⎬⎪⎫b <a ⇒b －a <0又c <0⇒c (b －a )>0，故B 错误．⎭⎪⎬⎪⎫a >c ⇒a －c >0又ac <0⇒ac (a －c )<0，故D 错误．]2．C [∵a >b >0，∴ab >0，∴1b >1a.∴a ＋1b >b ＋1a.故选C.]3．D [只有指数函数y ＝2x在R 上为增函数，所以D 正确．而A 、C 显然不是对于一切实数都成立的，B 的等价条件是|a |>|b |，显然也错误．]4．D [∵a <b <0，∴a －b <0.1a －b －1b ＝2b －a a －b b ，2b －a 的正负不确定，即1a －b >1b有可能成立；又∵a <b <0，∴|a |>|b |>0，则有1|a |<1|b |，即1|a |>1|b |不成立．]5．D [①由ab >0，bc －ad >0，即bc >ad ，得c a >d b，即c a －d b >0；②由ab >0，c a －d b >0，即c a >db，得bc >ad ，即bc －ad >0；③由bc －ad >0，c a －db>0，即bc －adab>0，得ab >0； 故可组成3个正确的命题．] 6．3解析 ∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y，log a x <log a y ， 故①成立，②不成立． ∵x a >y a >0，∴x －a <y －a，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y.即log x a >log y a ，∴④也不成立． 7．①②解析 ∵ad <0，bc >0，∴ad <bc ，故①正确；又∵c <d <0，∴c 2>d 2>0.由已知a >b ，同向不等式相加得a ＋c 2>b ＋d 2，故②正确； 对于结论③，d －c >0，b －c 的正、负不确定，故③不正确． 8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2，0 解析 ∵－π2≤α<π2，－π2<β≤π2，∴－π<α＋β<π，∴－π2<α＋β2<π2.∵－π2≤－β<π2，∴－π≤α－β<π，∴－π2≤α－β2<π2.又∵α－β<0，∴－π2≤α－β2<0.9．解 a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b2＋b －aa 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.(6分)∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b .(12分) 10．解 a a b ba b b a ＝a a －b b b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ，(4分)当a >b >0时，ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1；(8分) 当0<a <b 时，ab<1，a －b <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1.(11分) 综上所述，当a ，b 为不相等的正数时，总有a a b b >a b b a.(12分)11．解 ∵bc >a 2>0，∴b ，c 同号．(2分)又a 2＋c 2>0，a >0，∴b ＝a 2＋c 22a>0.∴c >0.(4分)由(a －c )2＝2ab －2ac ＝2a (b －c )≥0， ∴b －c ≥0.(6分)当b －c >0，即b >c 时，由⎭⎪⎬⎪⎫b ＝a 2＋c 22a bc >a 2⇒a 2＋c 22a ·c >a 2⇒(a －c )(2a 2＋ac ＋c 2)<0.∵a >0，b >0，c >0，∴2a 2＋ac ＋c 2>0.∴a －c <0，即a <c ，则a <c <b .(10分) 当b －c ＝0，即b ＝c 时，∵bc >a 2，∴b 2>a 2，即b ≠a .又∵a 2－2ab ＋c 2＝(a －b )2＝0⇒a ＝b 与a ≠b 矛盾， ∴b －c ≠0.综上，可知a <c <b .(14分)。