反常积分及含参变量的积分
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
多媒体教学课件
sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
含参量反常积分
01
工程问题建模
含参量反常积分在工程问题建模中具有 重要应用，如流体动力学、电磁学等领 域。
02
03
金融数据分析
含参量反常积分在金融数据分析中具 有广泛应用，如风险评估、投资组合 优化等领域。
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收敛性
当参数在某个范围内变化时，含参量 反常积分的值是有限的，则称该含参 量反常积分在该范围内收敛。
收敛性的判定方法
柯西准则
如果存在一个正数$alpha$，使得在积分区间上，被积函数的绝对值小于$alpha$，则 该含参量反常积分收敛。
狄利克雷判别法
如果被积函数在积分区间上单调有界，且参数的变化范围有限，则该含参量反常积分收 敛。
02
CATALOGUE
含参量反常积分
含参量反常积分的定义
含参量反常积分
在数学中，含参量反常积分（或含参量不定积分）是一种特殊的反常积分，其中积分上 限或下限是参数。
定义
设函数f(x, a)在区间[a, b]上连续，且对于每一个固定的a值，f(x, a)在[a, b]上可积。那 么含参量反常积分∫f(x, a)dx在[a, b]上的值是函数F(x, a)在[a, b]上的增量，其中F(x, a)
含参量反常积分
目 录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的收敛性 • 含参量反常积分的应用 • 含参量反常积分的展望
01
CATALOGUE
反常积分简介
反常积分的定义
反常积分是指定积分在某个区间上发 散或无界的积分，通常表示为∫f(x)dx ，其中f(x)是定义在某个区间上的函数 ，而这个区间可能是无穷区间或者不 连续的区间。
解决数学问题
含参变量的反常积分
充分性 若 0, N c, M A1 , A2 N ,
则令 A2 , 得
A2 A1
f ( x , y )dy .
c
M
f ( x , y )dy .
这就证明了 I ( x )
f ( x , y )dy 在 J 上一致收敛.
*例2 证明含参量的反常积分
( y)
1
g( A1 , y ) A g( A1 , y ) A
魏尔斯特拉斯(Weierstrass) M 判别法
设有函数 F(x), 使得
f ( x , y ) F ( x ) , a x , y .
若 F ( x )dx 收敛, 则
对A, A a ,
A
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx
a
A
f ( x , y )dx 2 M .
于是, A1 , A2 A, y , 由积分第二中值定理，
A
A2
1
f ( x , y ) g ( x , y )dx
或简单地说含参量积分(1)在 上一致收敛.
注1 由定义, I ( y ) 充要条件是
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛的
( A) sup
y
a
A
f ( x , y )dx 0 ( A ).
注2 由定义, I ( y )
f ( x , y )dx 在 上不一致收敛
若I ( y)
a
f ( x , y )dx 在 上一致收敛, 则
§2 含参量反常积分 一、含参量反常积分及其一致收敛的定义
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有
A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
c d
都收敛 , 则 I I ( x) 是 [a, b] 上的函数. 含参量无 界函数反常积分在[a, b] 上一致收敛的定义为: 若对 0, 总存在某正数 ( ) d c, 使得当 0 时 , 对一切 x [a, b], 都有
d
d
f ( x, y )dy
A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
反常积分与含参变量的积分
收敛，则
f ( x)dx 必收敛，并有
a
a
a f ( x)dx a | f ( x) | dx.
证
|
f
( x) | dx
收敛，则由Cauchy准则，
a
0,G a,u1 u2 G,有
u2 | f ( x) | dx u2 | f ( x) | dx .
u1
u1
又 u2 f ( x)dx u2 | f ( x) | dx .
dx收敛， xp
由比较判别法
1
cos x xp
dx收敛。
(2) 当0 p 1时，
u 1,
u
cos xdx sin u sin1 2,
1
1 xp
单调趋于0，(
x
)
由狄利克雷（Dirichlet)判别法， 1
coxspxdx收敛。
但： cos x xp
cos2 x x
1 cos 2x , x [1,), 2x 2x
而
eaxdx lim
0
u
u eaxdx
0
lim
u
1 a
e ax
|0u
1. a
eax sin bx dx 收敛. 反常积分收敛. 0
定理 （积分第二中值定理）
设函数f在[a,b]上可积，
（i）若函数g在[a,b]上减且，g( x) 0,则 [a,b],使
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx;
从而
u
|
f ( x) | dx
有上界,
|
f ( x) | dx
收敛.
a
a
例1
判断
1
含参变量反常积分
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
则称含参量反常积分
f ( x, y)dy
c
在[a, b]一致收敛于I( x),
或含参量积分在[a, b]一致收敛.
由于
I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关.如果存在一个与 x [a, b]
无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切 x [a, b]，都有
sin xy
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0 u
0, M c，使得当 A M时，就有|
sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时 ， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
二、含参量反常积分的性质
含参量反常积分
contents
目录
• 反常积分简介 • 含参量反常积分 • 含参量反常积分的计算 • 含参量反常积分在数学物理中的应用 • 总结与展望
01 反常积分简介
反常积分的定义
反常积分分为两种：无穷积分和瑕积 分。无穷积分是指积分区间为无穷的 积分，而瑕积分是指被积函数在积分 区间内存在无界点的积分。
含参量反常积分是反常积分的一种， 其中包含一个或多个参数，这些参数 在积分的计算过程中起到关键作用。
反常积分的性质
反常积分具有连续性、可微性和可积性等性质。连续性是指反常积分的结果是一个连续函数；可微性 是指反常积分的结果是可微的；可积性是指反常积分的结果是有限的。
含参量反常积分在参数变化时，其性质也会发生变化，如从瑕积分变为正常积分，或者从收敛变为发 散。
含参量反常积分在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、金融学等。通过含参量反常积分，可 以解决许多实际问题中的积分计算问题。
展望
理论发展
应用拓展
计算方法的改进
随着数学理论的不断发展和完善， 含参量反常积分理论也将得到进 一步深化和完善。未来，含参量 反常积分理论可能会在更广泛的 领域得到应用和发展。
变量替换法
利用变量替换技巧，将含参量反常积分转化为容易计算的形式，再 进行积分计算。
计算步骤
确定积分上下限
根据题目要求，确定反常积分的积分上下限。
确定被积函数
根据题目要求，确定反常积分的被积函数。
计算积分值
根据计算方法，计算出含参量反常积分的值。
计算实例
要点一
计算 $int_{0}^{1} frac{1}{x…
04 含参量反常积分在数学物 理中的应用
在数学物理中的重要性
高等数学随堂讲义含参量反常积分
(A) sup xJ
A f ( x, y)dy
0 ( A ).
注2 由定义, ( x)
f ( x, y)dy在 I 上不一致收敛
c
的充要条件是
使得
0 0, M c, A M及 x0 J ,
A
f ( x0 ,
y)dy
0
.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
含参量无界函数的反常积分
魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数 g(y), 使得
f ( x, y) g( y) , (x,y) I [c, ) .
若 g( y)dy 收敛, 则 f ( x, y)dy 在 I 上一致收敛.
c
c
证
由于
c
g(
y)dy
收敛,
N
c,A1 ,
A2
N,
因此
A2 g( y)dy . A1
是 x 的连续函数. 在上面不等式中令 x b , 得到当
A A M 时,
A
A f (b, y)dy .
而 是任给的, 因此 f ( x, y)dy 在 x b 处收敛, c
这与假设矛盾. 所以积分 f ( x, y)dy 在 [a, b) 上 c
不一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
1 1 x2
,
及反常积分
0
1
dx x2
收敛,
故由魏尔斯特拉斯M判
别法, 含参量反常积分(10)在 (, ) 上一致收敛.
§2 含参量反常积分 一致收敛性 一致收敛性的判别
性质
含参量无界函数的反常积分
例4 证明含参量反常积分
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
反常积分与含参变量的积分
116第十二章 反常积分与含参变量的积分一、 反常积分：内容提要：1、 反常积分收敛的定义：● 无穷积分： ():lim ()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰● 瑕积分： 0():lim ()b b a af x dx f x dx δδ+-→=⎰⎰b 为瑕点若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞⎰收敛，则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.若()af x dx +∞⎰收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛.2、 反常积分的敛散性判别：● 比较判别法：若0()()[,)f x c x x a ϕ≤≤∀∈+∞()a x dx ϕ+∞⎰收敛⇒()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰发散⇒()ax dx ϕ+∞⎰发散若0()()[,]f x c x x a b ϕ≤≤∀∈()bax dx ϕ⎰收敛⇒()ba f x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰发散⇒()bax dx ϕ⎰发散若()()()ax f x g x f x dx +∞→+∞⎰收敛()ag x dx +∞⇔⎰收敛● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足()().[,),0Aaaf x f x dx M A a dx x λλ+∞≤∀∈+∞⇒>⎰⎰收敛. ·若()f x 满足().[,)()(),0xbaaf x dx M x a b x b f x dx λλ≤∀∈⇒->⎰⎰收敛.● ·()f x 满足：().[,)Aaf x dx M A a x ≤∀∈+∞→+∞⎰时()g x 单调趋于0 ()()af xg x dx +∞⇒⎰收敛.117·()f x 满足：().[,)xaf x dx M x a b x b -≤∀∈→⎰时()g x 单调趋于0()()baf xg x dx ⇒⎰收敛.3、学习提示：注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法.4、 重要结果： 11:1p ap dx x p ∞>⎧⎨<⎩⎰收敛发散b a 11:(x-a)1dx λλλ≥⎧⎨<⎩⎰发散收敛典型例题：例1：讨论下列反常积分的敛散性： 1）1+∞⎰2）2π⎰ 3）21x m ()dx x m x 1∞-++⎰4）10⎰ 解：1）521()f x x=512p =>. 故1∞⎰收敛 2）此积分瑕点为0.0x +→时121x, 故2π⎰收敛. 3) 2222(1)()1()(1)x m m x x m f x x m x x m x -+-=-=+++-. 1m = 时 21()f x x , 所以积分收敛. 1m ≠ 时 1()f x x, 所以积分发散.4) 此积分瑕点为0. 0x +→ 时141()o x = ∴原积分收敛. 例 2. 讨论积分2sin x dx x∞⎰的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？118解:作变量代换 2x t =则x =20sin sin 2x t dx dt x t∞∞=⎰⎰此积分有两个瑕点：0,∞.0x →时sin 1tt10sin tdt t∴⎰绝对收敛. 又:1sin 2[1,)A tdt A ≤∀∈+∞⎰ 1t单调1lim 0t t →∞=由Dirichlet 判别法,10sin tdt t⎰收敛.2sin sin cos 212t t t t t t+≥= 再由Drichilet 判别法1cos 22tdt t∞⎰收敛.但112dt t ∞⎰发散，20sin t dt t ∞∴⎰发散. 从而原级数条件收敛.例3 讨论如下反常积分的收敛性:0ln(1)p x dx x ∞+⎰ 解:此积分有两个瑕点:0,+∞0x →时1ln(1)1p p x x x -+112p p ∴-<<即时 10ln(1)p x dx x +⎰收敛,2p ≥发散. 1p ≤ 时 1ln(1)ln(1)lim .p p px x x x dx x x ∞→∞++=∞∴⎰发散. 1p > 时121ln(1)1ln(1)p p px x o dx x x x +∞⎛⎫++=∴ ⎪⎝⎭⎰ 收敛. 综上所述:仅当 12p << 时原级数收敛.练习题:研究下列积分的敛散性1) 10ln dx x ⎰ 2) 2201x dx x x +∞++⎰ 3) 10ln p x xdx ⎰ 4) 0+∞⎰ 5) 2sin cos p q dx x xπ⎰ 6) 0p q dx x x ∞+⎰ 7) 1ln p q dxx x ∞⎰ 8) 0()()m n p x dx P x +∞⎰. ()()m n P x P x 分别为m 及 n 次互质的多项式.1199) 0sin 1p q x x dx x +∞+⎰10) 10n⎰二、 含参变量的积分:内容提要:1、 含参变量的有限积分：● 定义： ():(,)ba u f x u dx ϕ=⎰(,)f x u 在[,][,]R a b αβ=⨯上定义 .0[,]u αβ∀∈，0(,)f x u 在[,]a b 上可积．● 性质：1) 连续性: (,)f x u 在R 上连续()u ϕ⇒在[,]αβ上连续 . 2) 可微性: (,)f x u 与fu∂∂在R 上连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可导且: ()(,)(,)bb a a d d u f x u dx f x u dx du du uϕ∂==∂⎰⎰ 3) 可积性: (,)f x u 在R 连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可积且:()(,)(,)bb aau du du f x u dx dx f x u du βββαααϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 . 含参变量的无穷积分● 收敛与一致收敛 称0():(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰收敛若(,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上定义,0[,]u αβ∀∈0(,)af x u dx +∞⎰收敛.称():(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛.如果:000,0,[,]A A A u εαβ∀>∃>∀>∀∈有:(,).Af x u dx ε+∞<⎰● 一致收敛的无穷积分的性质:1) 连续性: (,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上连续 ()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛，则()u ϕ在[,]αβ上连续 .即：00lim (,)lim (,)aau u u u f x u dx f x u dx +∞+∞→→=⎰⎰.2）可微性：(,)f x u 与(,)u f x u '在D 上连续且(,)af x u dx +∞⎰在[,]αβ120收敛, (,)u af x u dx +∞'⎰在[,]αβ一致连续，则()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ可导,且()(,)u a d u f x u dx duϕ+∞'=⎰. 3） 可积性在：(,)f x u 在D 上连续 0()(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ一致收敛 .则()u ϕ在[,]αβ可积且0()(,)u du dx f x u du ββααϕ+∞=⎰⎰⎰.● 一致收敛的判别法：1) Cauchy 准则： (,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛⇔01200,A A A A u ε∀>∃∀>∀有21(,)A A f x u dx ε<⎰2）Weierstrass 判别法： (,)(,)().x y f x y g x ∀<且()ag x dx +∞⎰收敛(,)af x u dx +∞⇒⎰一致收敛 .3）Dirichlet 判别法: ,(,)AaA a u If x u dx M ∀>∀∈≤⎰.,(,)u I g x u ∀∈关于u 单调，且0(,)g x u x u I →∞∈且则(,)(,)af x ug x u dx +∞⎰在I 上一致收敛 .典型例题： 例1、研究122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性. 其中()f x 在[0,1] 上是正的连续函数： 解：0y ∀∈.00y ≠时，取0y δ<，则000[,]y y δδ∉-+.显然函数22()yf x x y+在00[0,1][,]y y δδ⨯-+上连续 .根据含参变量积分的连续性，()F y 在00[,]y y δδ-+上连续 .00y =时 0()0F y =.因()f x 在[0,1]是正的连续函数 .[0,1]:min ()0x m f x ∈=>(0,1)y ∈时 12201()4ym F y dx marctg m x y y π≥=>+⎰121(1,0)y ∈-时 1221()4ym F y dx marctg m x y y π≤=<-+⎰lim ()0y F y ±→∴≠ ()F y ∴在(,0)(0,)-∞∞上连续 .例2、求()F y '1） sin ()b y a yxy F y dx x++=⎰2） 22()y x yy F y e dx -=⎰解：1） sin ()sin ()()cos b y a y y b y y a y F y xydx b y a y++++'=-+++⎰ 1111sin ()sin ()y b y a a y y b y y a y ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2） 222222()()y x yxy x yyx y x yF y y ey ee dx y---==∂'''=--∂⎰253222y y y x y yyeex e dx ---=--⎰例3、设2sin()()sin xy xy F x dy y yπ=-⎰ 求 10()F x dx ⎰解：因函数sin()sin y xy y y-在[0,1][,2]ππ⨯上连续，由含参变量积分的积分性质：11200sin()()sin y xy F x dx dx dy y yππ=-⎰⎰⎰21sin()sin y xy dy dx y yππ=-⎰⎰21cos sin ydy y yππ-=-⎰2l n sin ln 2y yππ=-=例4、应用对参数的微分法计算积分：222220ln(sin cos )a x b x dx π+⎰解： 视b 为常数 . a 为参变量 .若00a b >>222220()ln(sin cos )I a a x b x dx π=+⎰1222222202sin ()sin cos a xI a dx a x b xπ'=+⎰若a b = 2202()sin 2I b xdx b b ππ'==⎰若a b ≠作变量代换 t tgx =2222202()(1)()b a t dtI a a t t +∞'=++⎰ 2222222a b a at arctg t arctg a a b a b b b +∞⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ a bπ=+()(0,)I a a a bπ'∴=∀∈+∞+积分得：()ln()(0,)I a a b c a π=++∈+∞ 令a b =，()ln(2)I b b c π=+而 22120()ln ln ln I b b dx b c πππ==∴=⎰ ()ln2a bI a π+∴= 若0a <或0b < 同理可得：||||()ln 2a b I a π+=例5、证明下列积分在指定区域一致收敛： 1） 00sin 0x e xdx ααα+∞-<≤<∞⎰2） 1cos xp xe dx xα+∞-⎰ 00p α≤<+∞> 解： 1） 0sin x x e x e αα--≤ 且 00x e dx α+∞-⎰收敛 故积分0sin x e xdx α+∞-⎰ 收敛 .2）由于1cos 2Axdx ≤⎰0α≥时 xp e xα-在1x ≥关于x 递减且10x p p e x x α-<<，故x →+∞ 时 x p e x α-一致趋于0 .由Dirichlet 判别法：1cos x p xe dx xα+∞-⎰在1230α≤<+∞一致收敛 . 练习题：1、求下列极限：1） 1220lim 1y yy dxx y+→++⎰2）10lim y -→⎰ 2、 求()F y ' 1） 0ln(1)()y xy F y dx x+=⎰2） 12()(,)(,)()yF y f x y x y dx f u v c =+-∈⎰3、 设()f x 是以2π为周期的连续函数，令1()()2x hx h F x f t dt h+-=⎰. 试求()F x 的Fourier 系数 . 4、 应用对参数的微分法求积分：20ln(12cos )a x a dx π-+⎰5、设()f x 连续、10()()()xn F x f t x t dt -=-⎰，求()()n F x .6、设2cos 0()cos(sin )xx F x e x d θθθ=⎰，求证：()2F x π≡.7、求下列积分的收敛域：1）201ax e dx x -+∞+⎰2） 20ln p dxx⎰ 8、研究下列积分在指定区间内的一致收敛性：1） 1x x e dx a b αα∞-≤≤⎰2） 0sin 0xx e dx xαα+∞-≤<∞⎰ 3）200x dx αα-≤<∞⎰4） 22(1)sin x e dx ααα+∞-+-∞<<+∞⎰9、 求函数20sin(1)()xF dx xαα+∞-=⎰的不连续点. 10、 设()f x 连续且()A f x A dx x +∞∀>⎰收敛 .试证：0()()(0)ln 00f ax f bx bdx f a b x a+∞-=>>⎰ 11、 利用第10题结果计算：0cos cos00 ax bxdx a bx+∞->>⎰12、利用对参量的微分法计算：2200 ax bxe edx a bx--+∞->>⎰124。
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
第十九章 含参量积分 2含参量反常积分一、一致收敛性及其判别法概念1：设函数f(x,y)定义在无界区域R={(x,y)|x ∈I, c ≤y<+∞}上，I 为一区间，若对每一个固定的x ∈I, 反常积分⎰+∞c dy y x f ),(都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数, 记φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(, x ∈I, 称⎰+∞c dy y x f ),(为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分.定义1： 若含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(与函数φ(x)对任给ε>0, 总存在某实数N>c, 使当M>N 时, 对一切x ∈I, 都有)(),(x dy y x f Mc Φ-⎰<ε, 即⎰+∞M dy y x f ),(<ε, 则称含参量反常积分在I 上一致收敛于φ(x), 简单地说含参量积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.定理19.7：(一致收敛的柯西准则)含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε, 总存在某一实数M>c, 使得当A 1, A 2>M 时，对一切x ∈I, 都有⎰21),(A A dy y x f <ε.定理19.8：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：+∞→A lim F(A)=0, 其中F(A)=⎰+∞∈AIx dy y x f ),(sup .例1：证明含参量反常积分⎰+∞0sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛(δ>0)，但在(0,+∞)上不一致收敛.解：令u=xy, 则⎰+∞A dy y xysin =⎰+∞Ax du uu sin (A>0). ∵⎰+∞Axdu uusin 收敛，∴∀ε>0, ∃M>0, 使当A ’>M 时，就有⎰∞+'A du u u sin <ε. 取A δ>M, 则当A>δM时，对一切x ≥δ>0，有xA>M, ∴⎰∞+Axdu uusin <ε, 即⎰∞+Ady y xysin <ε, ∴+∞→A lim F(A)=⎰∞++∞∈+∞→A x A dy y xy sin sup lim ),(δ=0, 由定理19.8知 ⎰+∞sin dy yxy在[δ,+∞)上一致收敛. 又 F(A)=⎰∞++∞∈Ax dy yxysin sup ),0(=⎰∞++∞∈Ax x du u u sin sup ),0(≥⎰∞+0sin du u u =2π. ∴⎰+∞0sin dy yxy在(0,+∞)上不一致收敛.注：若对任意[a,b]⊂I, 含参量反常积分在[a,b]上一致收敛，则称在I 上内闭一致收敛.定理19.9：含参量反常积分⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{A n }(其中A 1=c), 函数项级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.证：[必要性]若⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛, 则∀ε>0, ∃M>c, 使 当A ”>A ’>M 时，对一切x ∈I, 总有⎰'''A A dy y x f ),(<ε.又A n →+∞(n →∞), ∴对正数M, ∃正整数N, 只要当m>n>N 时，就有 A m >A n >M. ∴对一切x ∈I, 就有|u n (x)+…+u m (x)|=⎰⎰+++⋯+11),(),(n nm mA A A Ady y x f dy y x f =⎰+1),(m nA Ady y x f <ε.∴∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.[充分性]若∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛, 而⎰+∞c dy y x f ),(在I 上不一致收敛,则存在某正数ε0, 使对任何实数M>c, 存在相应的A ”>A ’>M 和x ’∈I, 使得⎰''''A A dy y x f ),(≥ε0; 现取M 1=max{1,c}, 则存在A 2>A 1>M 1, 及x 1∈I, 使得⎰21),(1A A dy y x f ≥ε0; 一般地, 取M n =max{n,A 2(n-1)} (n ≥2), 则有A 2n >A 2n-1>M n , 及x n ∈I, 使得⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0.由上述所得数列{A n }为递增数列, 且∞→n lim A n =+∞, 而对级数∑∞=1)(n nx u=∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f , 存在正数ε0, 对任何正整数N,只要n>N, 就有某个x n ∈I, 使得|u 2n (x n )|=⎰-nn A An dy y x f 212),(≥ε0,与级数∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛矛盾. ∴⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法：设函数g(y), 使得 |f(x,y)|≤g(y), (x,y)∈I ×[c,+∞). 若⎰+∞c dy y g )(收敛, 则⎰+∞cdy y x f ),(在I 上一致收敛.狄利克雷判别法：设(1)对一切实数N>c, 含参量正常积分⎰Nc dy y x f ),(对参量x 在I 上一致有界, 即存在正数M, 对一切N>c 及一切x ∈I, 都有⎰Nc dy y x f ),(≤M. (2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)关于y 是单调递减且当y →+∞时, 对参量x, g(x,y)一致收敛于0.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.阿贝尔判别法：设(1)⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛.(2)对每一个x ∈I, 函数g(x,y)为y 的单调函数, 且对参量x, g(x,y)在I 上一致有界.则含参量反常积分⎰+∞c dy y x g y x f ),(),(在I 上一致收敛.例2：证明含参量反常积分⎰+∞+021cos dx xxy在(-∞,+∞)上一致收敛. 证：∵对任何实数y, 有21cos x xy +≤211x +, 又反常积分⎰+∞+021xdx收敛. 由魏尔斯特拉斯M 判别法知, 含参量反常积分⎰+∞+021cos dx x xy在(-∞,+∞)上一致收敛.例3：证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛. 证：∵反常积分⎰+∞sin dx xx收敛, ∴对于参量y, 在[0,+∞)上一致收敛. 又函数g(x,y)=e -xy 对每个y ∈[0,+∞)单调, 且对任何0≤y<+∞, x ≥0, 都有|g(x,y)|=|e -xy |≤1. 由阿贝尔判别法知, 含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xxe xy 在[0,+∞)上一致收敛.例4：证明含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.证：若[a,b]⊂(0,+∞), 则对任意x ∈[a,b],⎰Naxydy sin =Nax xycos -≤a 2. 又'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21y y =()22211yy +-≤0, 即21y y +关于y 单调减, 且当y →+∞时, 21yy+→0(对x 一致), 由狄利克雷判别法知, 含参量积分⎰+∞+121sin dy y xyy 在[a,b]上一致收敛. 由[a,b]的任意性知, ⎰+∞+121sin dy yxyy 在(0,+∞)上内闭一致收敛.二、含参量反常积分的性质定理19.10：(连续性)设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若含参量反常积分φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上连续. 证：由定理19.9，对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)， 函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛.又由f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，∴每个u n (x)都在I 上连续. 由函数项级数的连续性定理知，函数φ(x)在I 上连续.推论：设f(x,y)在I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上连续.注：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换，即：⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim0=⎰+∞c dy y x f ),(0=⎰+∞→cx x dy y x f ),(lim 0.定理19.11：(可微性)设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.证：对任一递增且趋于+∞的数列{A n } (A 1=c)，令u n (x)=⎰+1),(n nA A dy y x f .由定理19.3推得u n ’(x)=⎰+1),(n nA A x dy y x f .由⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数∑∞='1)(n n x u =∑⎰∞=+11),(n A A x n ndy y x f 在I 上一致收敛.根据函数项级数的逐项求导定理，即得：φ’(x) =∑∞='1)(n nx u =∑⎰∞=+11),(n A Ax n ndy y x f =⎰+∞cx dy y x f ),(.或写作⎰+∞c dy y x f dxd ),(=⎰+∞c x dy y x f ),(.推论：设f(x,y)与f x (x,y)在区域I ×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在I 上收敛，⎰+∞c x dy y x f ),(在I 上内闭一致收敛，则φ(x)在I 上可微，且φ’(x) =⎰+∞c x dy y x f ),(.定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=⎰+∞c dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=∑⎰∞=+11),(n A An ndy y x f =∑∞=1)(n n x u 在I 上一致收敛，且各项u n (x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有⎰Φbadx x )(=∑⎰∞=1)(n ban dx x u =∑⎰⎰∞=+11),(n baA A n ndy y x f dx =∑⎰⎰∞=+1),(1n baA A dx y x f dy n n，即⎰⎰+∞cbady y x f dx ),( =⎰⎰+∞bacdx y x f dy ),(.定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若(1)⎰+∞a dx y x f ),(关于y 在[c,+∞)上内闭一致收敛，⎰+∞c dy y x f ),(关于x 在[a,+∞)上内闭一致收敛；(2)积分⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|与⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy |),(|中有一个收敛. 则⎰⎰+∞+∞cady y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞acdx y x f dy ),(.证：不妨设⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx |),(|收敛，则⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(收敛. 当d>c 时，记Jd =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(| =|⎰⎰+∞a dc dx y x f dy ),(-⎰⎰+∞dc a dy y x f dx ),(-⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|. 由条件(1)及定理19.12可推得：J d =|⎰⎰+∞+∞d a dy y x f dx ),(|≤|⎰⎰+∞d Aa dy y x f dx ),(|+⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|. 由条件(2)，∀ε>0, ∃G>a ，使当A>G 时，有⎰⎰+∞+∞d A dy y x f dx |),(|<2ε. 选定A 后，由⎰+∞c dy y x f ),(的一致收敛性知，∃M>a ，使得当d>M 时， 有|⎰+∞d dy y x f ),(|<)(2a A -ε. ∴J d <2ε+2ε=ε，即有+∞→d lim J d =0，∴⎰⎰+∞+∞c a dy y x f dx ),(=⎰⎰+∞+∞a c dx y x f dy ),(.例5：计算：J=⎰+∞--0sin sin dx xaxbx e px (p>0,b>a). 解：∵xax bx sin sin -=⎰ba xydy cos ，∴J=⎰⎰+∞-0cos b a pxxydy dx e =⎰⎰+∞-0cos ba px xydy e dx .由|e -px cosxy|≤e -px 及反常积分⎰+∞-0dx e px 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知，含参量反常积分⎰+∞-0cos xydx e px 在[a,b]上一致收敛.又e -px cosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=⎰⎰+∞-0cos xydx e dy px ba =⎰+bady y p p22=arctan p b - arctan p a .例6：计算：⎰+∞sin dx xax. 解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=⎰+∞-0sin dx xaxe px=arctan p a (p>0).由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p ≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p ≥0上连续，且F(0)=⎰+∞sin dx xax . 又F(0)=)(lim 0p F p +→=+→0lim p arctan p a =2πagn a. ∴⎰+∞0sin dx xax =2πagn a.例7：计算：φ(r)=⎰+∞-0.cos 2rxdx e x .解：∵|2x e -cosrx|≤2x e -对任一实数r 成立且反常积分⎰+∞-02dx e x 收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=⎰+∞-0cos 2rxdx e x 在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x =⎰+∞--0sin 2rxdx xe x ，∵|-x 2x e -sinrx|≤x 2x e -对一切x ≥0, r ∈(-∞,+∞)成立且⎰+∞-02dx e x 收敛， 根据魏尔斯特拉斯M 判别法知， 含参量反常积分⎰+∞-'0)cos (2dx rx er x 在(-∞,+∞)上一致收敛.由定理19.11得φ’(r)=⎰+∞--0sin 2rxdx xex =⎰-+∞→-Ax A rxdxxesin lim2=⎪⎭⎫⎝⎛-⎰--+∞→A x Ax A rxdx e r rx e 00cos 2sin 21lim 22=⎰--A x rxdx e r 0cos 22=2r -φ(r). ∴φ(r)=c 42r e -. 又φ(0)=⎰+∞-02dx e x =2π=c. ∴φ(r)=422πr e-.概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x 的某些值，y=d 为函数f(x,y)的瑕点，则称⎰dc dy y x f ),(为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x ∈[a,b]，⎰dc dy y x f ),(都收敛，则其积分值是x 在[a,b]上取值的函数.定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ<d-c, 使得当0<η<δ时, 对一切x ∈[a,b], 都有⎰-dd dy y x f η),(<ε, 则称含参量反常积分⎰dc dy y x f ),(在[a,b]上一致收敛.习题1、证明下列各题 (1)⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛；(2)⎰+∞-02dy eyx 在[a,b] (a>0)上一致收敛；(3)⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛； (4)⎰+∞-0dy xe xy (i)在[a,b] (a>0)上一致收敛，(ii)在[0,b]上不一致收敛； (5)⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛；(6)⎰1px dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； (7)⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.证：(1)∵22222)(y x x y +-≤22222)(y x x y ++≤21x ，且⎰+∞12x dx 收敛，∴⎰∞++-122222)(dx y x x y 在(-∞,+∞)上一致收敛. (2)∵当0<a ≤x ≤b 时，yx e2-=yx e21≤ya e21，且⎰+∞12ya edy 收敛，∴⎰+∞-02dy e y x 在[a,b] (a>0)上一致收敛.(3)对任何N>0，∵⎰-Nt atdt e 0sin ≤⎰-Nt dt e 0≤1，即⎰-Nt atdt e 0sin 一致有界. 又t1关于在(0,+∞)单调，且t1→0 (t →∞)，由狄利克雷判别法知，⎰+∞-0sin dt tate t在0<a<+∞上一致收敛. (4)(i)∵当0<a ≤x ≤b 时，|xe -xy|≤be -ay，且⎰+∞0ay -be 收敛， ∴⎰+∞-0dy xe xy 在[a,b] (a>0)上一致收敛. (ii)方法一：取ε0=21e<0, 则对任何M>0, 令A 1=M, A 2=2M, x 0=M 1, 有 ⎰-2100A A y x dy e x =MM yx e 20-=21e e ->21e=ε0，∴⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛. 方法二：∵⎰+∞-0dy xe xy =⎩⎨⎧≤<=bx x 0,10,0，且xe -xy 在[0,b]×(0,+∞)内连续，由连续性定理知⎰+∞-0dy xe xy 在 [0,b]上不一致收敛.(5)∵在[b1,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且⎰-10)ln (ln dy y b 收敛, ∴⎰10)ln(dy xy 在[b1,b](b>1)上一致收敛.(6)(i)∵当p ≤b<1, x ∈(0,1]时，p x 1≤b x 1，又⎰10b xdx 收敛，∴⎰1px dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛.(ii)当p=1时，⎰1xdx发散，∴对任何A<1，在[A,1]内不一致收敛，即 ⎰1p xdx在(-∞,1]内不一致收敛. (7)记⎰---1011)1(dx x xq p =⎰---21011)1(dx x xq p +⎰---12111)1(dx x x q p =I 1+I 2.对I 1在0≤x ≤21, 0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上， ∵|x p-1(1-x)q-1|≤1100)1(---q p x x且⎰---210110)1(dx x x q p 收敛，∴I 1在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛； 同理可证I 2在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛. ∴⎰---1011)1(dx x x q p 在0<p 0≤p<+∞, 0<q 0≤q<+∞上一致收敛.2、从等式⎰-ba xydy e =x e e by ay ---出发，计算积分⎰∞+---0dx xe e byay (b>a>0). 解：∵⎰-ba xy dy e=x e e by ay ---，∴⎰∞+---0dx xe e byay=⎰⎰-+∞b a xy dy e dx 0. 又 e -xy 在[0,+∞)×[a,b]内连续，由M 判别法知, ⎰+∞-0dx e xy 在[a,b]内一致收敛.∴⎰∞+---0dx x e e by ay =⎰⎰+∞-0dx e dy xyb a =⎰b a dy y 1=ln ab .3、证明函数F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续. (提示：利用⎰+∞-02dx e x =2π) 证：令x-y=u, 则F(y)=⎰+∞-yu du e2=⎰-02yu du e+⎰+∞-02du eu =⎰-02yu du e +2π. ∵关于y 的积分下限函数⎰-02y u du e 在(-∞,+∞)上连续， ∴F(y)=⎰+∞--0)(2dx e y x 在(-∞,+∞)上连续.4、求下列积分： (1)⎰∞+---022222dx x e e xb xa(提示：利用⎰+∞-02dx ex =2π)； (2)⎰+∞-0sin dt t xt e t；(3)⎰+∞--02cos 1dx x xye x . 解：(1)∵22222x e e xbxa---=⎰-ba x y dy ye 222，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222bax y dy ye dx ，由M 判别法知⎰+∞-0222dx ye x y 在[a,b]内一致收敛，∴⎰∞+---022222dx x e e xb xa=⎰⎰+∞-0222dx yedy x y ba=⎰⎰+∞-0)(222xy d edy x y ba =⎰bady π=(b-a)π.(2)利用例5结果：⎰+∞--0sin sin dt tatbt e pt=arctan p b - arctan p a . (p>0,b>a).当p=1, a=0, b=x 时，有⎰+∞-0sin dt txte t=arctanx. (3)∵2cos 1x xy e x --=⎰-y x dt x xt e 0sin ，∴⎰⎰-+∞yx dt x xt e dx 00sin . 由x xt e x x sin lim 0-→=t 知, x=0不是xxte x sin -的瑕点，又 含参量非正常积分⎰+∞-0sin dx xxte x 在t ∈[0,M]上一致收敛, ∴由(2)有2cos 1x xy e x--=⎰⎰+∞-00sin dx xxt e dt x y =⎰y tdt 0arctan =yarctany-21ln(1+y 2).5、回答下列问题： (1)对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 能否运用极限与积分运算顺序的交换求解？(2)对⎰⎰+∞--132)22(dx e xy y dy xy 能否运用积分顺序交换来求解？(3)对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？ 解：(1)∵F(x)=⎰+∞-022dy xye xy =⎩⎨⎧=>0,00,1x x , ∴F(x)lim 0+→x =1，但⎰+∞-→+022lim dy xye xy x =0，即交换运算后不相等，∴对极限⎰+∞-→+0022limdy xyexy x 不能运用极限与积分运算顺序的交换求解.注：⎰+∞-022dy xye xy =⎰+∞-0du xe xu 在[0,b]上不一致收敛，并不符合连续性定理的条件.(2)∵⎰⎰+∞--10032)22(dx exy y dy xy =⎰∞+-122dy xyexy =⎰10dy =0；⎰⎰-+∞-1032)22(dy exy y dx xy =⎰+∞-0122dx ey xy =⎰-1dx e x =1；∴对⎰⎰+∞--10032)22(dx e xy y dy xy 不能运用积分顺序交换来求解.注：⎰+∞--032)22(dx e xy y xy =0且⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=-2My 2My e -. 对ε0=1，不论M 多大，总有y 0=M1∈[0,1]，使得⎰+∞--M xy dx e xy y 2)22(3=2M e 1->1,∴⎰+∞--032)22(dx e xy y xy 在[0,1]不一致收敛，不符合可积性定理的条件. (3)∵F(x)=⎰+∞-032dy e x y x =x, x ∈(-∞,+∞)，∴F ’(x)≡1. 但y x e x x23-∂∂=(3x 2-2x 4y)y x e 2-, 而当x=0时，⎰+∞--0422)23(dy e y x x y x =0. ∴对F(x)=⎰+∞-032dy e x y x 不能运用积分与求导运算顺序交换来求解. 注：∵⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx =⎩⎨⎧=≠0,00,1x x ，∴⎰+∞--0422)23(dy ey x x yx 在[0,1]上不一致收敛,不符合可微性定理的条件.6、应用：⎰+∞-02dx e ax =212π-a (a>0)，证明： (1)⎰+∞-022dt e t at=234π-a ；(2)⎰+∞-022dt e t at n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n .证：(1)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛， ∴⎰+∞-02dt e da d at =⎰+∞-02dt e dad at =-⎰+∞-022dte t at . 又⎰+∞-02dt e da d at =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa da d =-234π-a . ∴⎰+∞-02dx e ax =234π-a . 方法二：⎰+∞-022dt et at =-⎰+∞-0221at tdea =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞-∞+-02221dt ete a at at=⎰+∞-0221dt e aat =234π-a .(2)方法一：∵⎰+∞-022dt e t at n 在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞+-02dt eda d at nn=⎰∞+-02dt e da d at nn =(-1)n ⎰+∞-022dt e t at n . 又⎰∞+-02dt e dad atnn =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212πa dad nn=(-1)n ⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn n a n . ∴⎰+∞-022dt e t atn =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn nan . 方法二：记I n =⎰+∞-022dt e t at n , n=0,1,2,…，(1)中已证I 1=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯2112)112(2πa=a 2)112(-⨯I 0. 可设I k =a k 2)12(-⨯I k-1，则 I k+1=⎰+∞-+0)1(22dt e t at k =-⎰+∞-+012221at k de t a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰+∞+-∞+-+0120122221k at at k dt e e t a=⎰+∞-+022212dt e t a k at k =ak 21)1(2-+I k=2)2()12](1)1(2[a k k --+I k-1=…= 1)2(!]!1)1(2[+-+k a k I 0=211)2(!]!1)1(2[2π-+-+a a k k .当n=k+1时，有I n =⎰+∞-022dt e t at n =21)2(!)!12(2π--a a k n =⎪⎭⎫⎝⎛+--212!)!12(2πn na n . 7、应用⎰+∞+022a x dx =a2π，求()⎰+∞++0122n a x dx.解：记A=a 2, ∵()⎰+∞++012n Axdx在任何[c,d]上(c>0)一致收敛，∴⎰∞++02A x dx dA d nn =⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛+021dx A x dA d n n=(-1)nn!()⎰+∞++012n A x dx . 又⎰∞++02A x dx dAd nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛A dA d n n 2π=(-1)n 212!)!12(2π---n n A n . ∴()⎰+∞++012n Axdx=212!!)!12(2π---n n A n n =12!)!2(!)!12(2π---n a n n .8、设f(x,y)为[a,b]×[c,+∞)上连续非负函数，I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(在[a,b]上连续，证明：I(x)在[a,b]上一致收敛.证：任取一个趋于的∞递增数列{A n } (其中A 1=c)，考察级数∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f =∑∞=1)(n n x u .∵f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上非负连续, ∴u n (x)在[a,b]上非负连续. 由狄尼定理知，∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛，从而∑⎰∞=+11),(n A A n ndy y x f 在[a,b]上一致收敛. 又I(x)=dy y x f ⎰+∞),(在[a,b]上连续.∴I(x)=dy y x f ⎰+∞0),(=∑⎰∞=∞→+11),(lim n A An n ndy y x f [a,b]上一致收敛.9、设在[a,+∞)×[c,d]内成立不等式|f(x,y)|≤F(x,y). 若dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，证明：dx y x f ⎰+∞),(在y ∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.证：∵dx y x F ⎰+∞0),(在y ∈[c,d] 上一致收敛，∴∀ε>0, ∃M>0，对任何A2>A1>M和一切y∈[c,d]，都有⎰21) , (A AdxyxF<ε.∵|f(x,y)|≤F(x,y)，∴⎰21) , (A Adxyxf≤⎰21),(AAdxyxf≤⎰21),(AAdxyxF<ε，∴dxyxf⎰+∞0),(在y∈[c,d] 上一致收敛且绝对收敛.。
含参变量反常积分
知 难
设 f (x, y)定义在无界区域 R(x, y) a x b,c y
而
若对每一个固定的
x [a,b], 反常积分
c f (x, y)dy
进
,
都收敛,则它的值是 x 在区间 [a,b] 上取值的函数,
记作: I(x)
f (x, y)dy,
x [a,b]
第十八章 含参变量的反常积分
知
本节研究形如
难
a f (x, y) dx
而 进
,
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
无
的含参变量广义积分(无穷限积分，无界
坚
函数的积分)的连续性、可微性与可积性。
不
摧
2020年2月12日星期三
1
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第十八章 含参变量的反常积分
一.含参量反常积分及一致收敛定义
的柯西c 准则，有
进
,
A
0,
A0 c,
A, A A0,
| F( y) dy | A
从而 x [a, b]
无 坚
A
A
A f (x, y)dy A F( y)dy
不 摧
所以 f (x, y) dy 关于 x [a, b] 一致收敛。 c
A f (x, y)dy 或
f (x, y)dy ,
A
A
无 坚
则称含参量反常积分 f (x, y)dy在 [a,b] c
不 摧
上一致收敛于I (x).
2020年2月12日星期三
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第十八章 含参变量的反常积分
含参变量反常积分
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
例4 证明
（1） eyx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛； 1
（2） e yx2 sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛. 1
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
简称为含参量反常积分.
2、 含参量反常积分一致敛收的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I (x)
若 0 , N 0 , M N , x [a ,b ]都 , M 有 f(x,y)dy,
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy在 [a,b] 上一致收敛于 I ( x) .
而积分 e 0 x dx 收敛， 0
所以 e xsinxdx 在 [0,) (00)内一致收敛 0
狄利克雷判别法;
若 (i)
N c,含参量反常积分 N f (x, y)dy c
对参x在 数[a,b]
上一致有界 ，
(i)ix[a,b]函 , g数 (x)关y于 是单调递 y 减 时 且 对参x,量 g(x,y)一致地收 0,则 敛含 于参量反常积分
y
而 ex2 dx 收敛，由 M 判别法， 1
eyx2 sin ydx 在 y [ ,) 一致收敛，
1
即 0 ， A0 1， A A0 ，有
| eyx2sinydx|， y （ 2）
A
上式对 y 0 显然成立，结合（1）（2）式，有
| eyx2 sinydx|
y[0,)
A
即 e yx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛.
二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
反常积分与含参变量的积分共8页文档
第十二章 反常积分与含参变量的积分§12.1 .无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力22mgR F r=所作的功2222211.bb R R mgR dr W dr mgR mgR r r R b ⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰⎰ 为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功22211lim lim .bR b b mgR W dr mgR mgR r R b →+∞→+∞⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭⎰ 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号()af x dx +∞⎰（或(),()bf x dx f x dx +∞-∞-∞⎰⎰）称为函数()f x 的无穷积分.设,,p R p a ∀∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限lim()Pap f x dx →+∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()af x dx +∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()af x dx +∞⎰（的值），即()lim()paap f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰.设,,q R q b ∀∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限lim ()bqq f x dx →-∞⎰存在（不存在），则称无穷积分()bf x dx -∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()b f x dx -∞⎰（的值），即()lim ()bbqq f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰.若c R ∃∈，两个无穷积分()cf x dx -∞⎰与 ()cf x dx +∞⎰都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛（发散），且()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰.显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数22()mgR F r r=的无穷积分，即2222lim .bR R b mgR mgR W dr dr mgR r r+∞→+∞'===⎰⎰ 例1 . 求下列无穷积分2,x x e dx xe dx +∞+∞--⎰⎰.解 ：0limlim ()lim (1)1ppxxxp p p p e dx e dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰222201111limlim ()lim ()2222ppx xx p p p p xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰例2.求下列无穷积分201dx dx x +∞+⎰；021dxdx x -∞+⎰；21dx dx x +∞-∞+⎰. 解： 22000lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++⎰⎰.00022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++⎰⎰. 02220111dx dx dx dx dx dx x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰＝22πππ+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则()lim()lim ()lim ()()()()()ppaaap p ap f x dx f x dx F x F p F a F F a F x +∞→+∞→+∞+∞→+∞===-=+∞-=⎰⎰其中符号()lim ().p F F p →+∞+∞=例3 .判别无穷积分adxdx xλ+∞⎰的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有11,1111,1aaa dx dx x x λλλλλλλ-+∞+∞-⎧>⎪==-⎨-⎪+∞<⎩⎰当1,λ=有ln a adx dx x x+∞+∞==+∞⎰于是，当1λ>时，无穷积分adxdx x λ+∞⎰收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dxx λ+∞⎰发散例4.判别无穷积分2(ln )dxx x λ+∞⎰的敛散性. 解：当1λ≠，有 22ln (ln )(ln )dx d x x x x λλ+∞+∞=⎰⎰121(1)(ln )x λλ+∞-=-11,1,(1)(ln 2), 1.λλλλ-⎧>⎪-=⎨⎪+∞<⎩当1λ=，有22ln ln ln dx d x x x x+∞+∞=⎰⎰2ln(ln ).x +∞==+∞二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分：(),(),(),baf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰其中 ()()()c cf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，()lim ()bbq q f x dx f x dx-∞→-∞=⎰⎰lim()()x ybqq f y d y =---→-∞=--⎰令lim()().qbbq f y dy f y dy -+∞--→-∞=-=-⎰⎰于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性即可.无穷积分adx x λ+∞⎰与广义调和级数11n n λ∞=∑，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.定理 1 .无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔对任意数列{},,n A n N +∀∈有[.),n A a ∈+∞而1,lim n n A a A →∞==+∞，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，且11()()k kA aA k f x dx f x dx +∞+∞==∑⎰⎰.证明：必要性 已知无穷积分收敛，即11111()lim ()lim ()()n k k kknA A A aaA A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞+∞→∞→∞=====∑∑⎰⎰⎰⎰.充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞==+∞时，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且.111()lim ()()n k kA A aaA n k f x dx f x dx f x dx ++∞+∞→∞===∑⎰⎰⎰三、无穷积分的性质假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ∀∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积分定义，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔当p →+∞时，函数()()()paF p f x dxa p =<⎰存在极限.定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有21()p p f x dx ε<⎰.推论1.若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0pp f x dx +∞→∞=⎰.证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε∀>∃>∀>∀>有()q pf x dx ε<⎰令q →+∞，即lim()q pq f x dx ε→∞≤⎰或()pf x dx ε+∞≤⎰推论2 若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分 ()af x dx +∞⎰也收敛.证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有 21(),p p f x dx ε<⎰从而，有2211()()p p p p f x dx f x dx ε≤<⎰⎰，即无穷积分()af x dx +∞⎰收敛.推论3.无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛⇔b a ∀>，无穷积分()bf x dx +∞⎰也收敛定理3.无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()acf x dx +∞⎰也收敛，其中c 是常数，且()()aacf x dx c f x dx +∞+∞=⎰⎰.定理4.若无穷积分()af x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰都收敛，则无穷积分[()()]af xg x dx +∞±⎰也收敛，且[()()]()()aaaf xg x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰.定理5 .若函数()f x 与()g x 在区间[,)a +∞存在连续导数，极限lim ()()x f x g x →∞存在，且无穷积分()()a f x g x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()'()af xg x dx +∞⎰也收敛，有()'()lim ()()()()()()aax f x g x dx f x g x f a g a f x g x dx +∞+∞→∞'=--⎰⎰.或()()()()()().a aaf x dg x f x g x g x df x +∞+∞+∞=-⎰⎰这是无穷积分的分部积分公式.定理 6 .若函数()f x 在在区间[,)a +∞连续，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且函数()x t ϕ=在[,)αβ严格增加，存在连续导数，而(),(0)a ϕαϕβ=-=+∞，则()af x dx +∞⎰＝[()]'()f t t dt βαϕϕ⎰.这是无穷积分的换元公式.例5 .求无穷积分0sin x K e xdx +∞-=⎰.解：根据定理5，有sin (cos )xx K e xdx e d x +∞+∞--==-⎰⎰00cos cos 1sin x x x e x e xdx e d x +∞+∞+∞---=--=-⎰⎰＝001(sin sin )1x x e x e xdx K +∞+∞---+=-⎰有21K =，或12K =，即 01sin 2x K e xdx +∞-==⎰. 例6. 求无穷积分2211sin dx x xπ+∞⎰.解： 设211,t dt dx x x==-，根据定理6，有 02222011sin sin sin dx tdt tdt x x πππ+∞=-=⎰⎰⎰ ＝20cos 1t π-=.另解：2221111sin sin dx d x x x x ππ+∞+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰21cos x π+∞=1=.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7 . 设[,),x a ∀∈+∞有 ()(),f x c x c ϕ≤是正常数. 1）若无穷积分()a x dx ϕ+∞⎰收敛，则无穷积分()af x dx +∞⎰也收敛；2）若无穷积分()af x dx +∞⎰发散，则无穷积分()ax dx ϕ+∞⎰也发散.推论 设[,),()0,0x a f x a ∀∈+∞≥>，且极限lim ()(0).x x f x dd λ→+∞=≤≤+∞. （3）1）若1,0,d λ>≤<+∞则无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛. 2）若1,0,d λ≤<≤+∞则无穷积分()af x dx +∞⎰发散.★说明：应用此推论判别某些无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数()f x ，从中找出合适的λ（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数λ确定无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性.例7.判别无穷积分2x e dx +∞-⎰的敛散性解：已知1,x ∀≥有20x x e e --<≤.由例1知，无穷积分1x e dx +∞-⎰收敛，根据定理7 ，无穷积分21x e dx +∞-⎰收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分2x e dx +∞-⎰也收敛.例8.判别无穷积分1+∞⎰.解：已知极限23lim lim1x x x→+∞==，其中21,3λ=<则无穷积分1+∞⎰. 例9.判别无穷积分1+∞⎰的敛散性 解：已知[1,),x ∀∈+∞有≤，又 32lim lim 1x x x→+∞==，其中312λ=>，则无穷积分1⎰收敛，根据定理2的推论2 ，无穷积分1+∞⎰也收敛. 例10 .判别无穷积分11x x e dx α+∞--⎰的敛散性（α是参数）。
反常积分与含参量积分
§12.1无穷积分
定义 1 设函数f (x)在区间[a,)上连续，取
ba，如果极限lim b b a
f
(x)dx存在，则称此极
限为函数f (x)在无穷区间[a,) 上的广义积
分，记作 a
f
(x)dx.
b
a
f
(x)dxlim ba
1q
当 q1时 广 义 积 分 发 散 .
例7
计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 1
dx x ln x
2
lim
dx
0 1 xlnx
lim2 0 1
d(lnx) lnx
l i0m ln(x)l1 2 n
l 0 i lm n 2 ) (lln n 1 ()l) n(
0 , x 0
四 、
x
f ( t )dt
1
4
x2
,0
x 2.
x 1 , 2 x
§12.3 无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设 f(x函 )在 数区[间 a,)上连续，
且f(x)0．若函F(数 x)
线 左边,曲线 y f (x)和 x 轴 所 围图形的 面积 .
二 、 1 、 p ； 2 、 ； 3 、n! ； 4 、 发 散 ；
p2 1
5、2 2 ； 3
6、 0； 7、(1)n n! .
三 、 当 k 1时 收 敛 于 1 (b a )1k ； 当 k 1 时 发 散 . 1 k
a
第十九章第二节含参量反常积分
+∞
上一致收敛. 在 [ a, b ] 上一致收敛. 又由于 f ( x , y ) 在 [a , b] × [c ,+∞ ) 上连续. 上连续 连续，故每个 un( x ) 都在 [ a, b ]上连续 根据函数项 连续， 级数的连续性定理，函数 I ( x )在[a , b ]上连续 . 级数的连续性定理，
A2
c
f ( x , y )dy 在 [a , b] 一致收敛
x ∈ [a , b]，都有 | ∫ f ( x , y )dy |< ε
A1
例1 证明含参量反常积分
∫
+∞
0
sin xy dy y
上一致收敛（ 在[δ， ∞）上一致收敛（其中 δ > 0), 但在 +
0+ 内不一致收敛。 （ ， ∞）内不一致收敛。
例2 证明含参量反常积分
证 因为， 因为，有
∫
+∞
0
在 ( ∞ , + ∞ ) 上一致收敛 .
cos xy 1 | |≤ 2 2 1+ x 1+ x
并且反常积分 所以
cos xy dx 2 1+ x
∞< y< +∞
收敛
∫
+∞
0
1 dx 2 1+ x
∫
+∞
0
cos xy dx 在 ( ∞ , + ∞ ) 上一致收敛 . 2 1+ x
则 I ( x )在[a , b ]上可微，且 上可微，
I ′( x ) = ∫
+∞ c
f x ( x , y )dy
注:
连续性定理说明， 在一致收敛的条件下， 极限运算
反常积分与含参量积分-PPT精品文档
设函数 f ( x ) 在区间( , ) 上连续 , 如 果 广义 积 分 f ( x )dx 和 0
0
f ( x )dx 都收 敛 ， 则
称上述两广义积分之和为函数 f ( x ) 在无穷区间
( , ) 上的广义积分，记作
0
f ( x )dx .
0
b
a
b
. lim arctan alim arctan b a b 2 2
例2 计算广义积分 2 解
1 1 sin dx . 2 x x
2
1 1 1 1 sin dx sin d 2 2 x x x x
a
b
( ,b] 上 限 为 函 数f (x)在 无 穷 区 间 的 广 义 积
分 ， 记 作 . f (x)dx
b
lim f(x ) dx f (x)dx a a
b
b
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
dx . 2 1 x
0 dx dx dx 1 x 2 1 x2 0 1 x2
b 1 1 lim dx lim dx 2 2 a a1 b 0 1 x x
0
lim arctan x lim arctan x 0 a
b
在区间 ( a , b ] 上的广义积分，记作 a f ( x ) dx .
lim f ( x ) dx a f (x)dx 0a
b
b
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
第五节含参变量的积分与反常积分
a
a
8
例4 证明积分
e yx sin xdx在y的区间[c, )上一致收敛 . 0
解 当 y [c, )时
e yx sin x e yx e cx
而 e cx dx 是收敛的， 0
所以
e yx sin xdx
0
在 y的区间 [c, )上一致收敛 .
9
含参变量的反常积分的性质
0
x
解
由
b
e
xydy
e ax
ebx ,
原式
dx
b e xydy
a
x
0
a
因为在0 x ,a y b上，有
e xy eax
(a 0)
且 eaxdx (a 0)收敛，所以 exydx一致收敛。
0
0
由定理5.6得
dx
b
e xydy
b
dy
e xydx
0
a
a0
b 1 e xy dy
F ( y) f ( x, y)dx a
在[c, d ]上有连续的导数，且求导与积分可交换次 序。
即
F ( y) d dy
b
f ( x, y)dx
a
b
a f y ( x, y)dx
例1 设F ( y) 1arctan xdx ( y 0)， 求F ( y)
0
y
解
F( y)
1
0 1
b1 dy
ln b
a y 0
ay
a
11
5 .3 反常重积分
1、无界区域的二重积分
定义5.2 设（ ）是一无界闭区域， f C (( )),
任作一有界闭区域序列 ( 1 ), ( 2 ), ,( n ) , 使 ( n ) ( )(n 1,2,)，
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第十二章 反常积分与含参变量的积分§12.1 .无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M ，地球的半径为R.若火箭距离地心为()b b R >，则将质量为m 的火箭，从地面发射到距离地心为b 处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力22mgR F r=所作的功为了使火箭脱离地球的引力范围，即b →+∞，火箭克服地球引力F 所作的功 定义 设函数()f x 在区间[,]a +∞（或(,],(,))b -∞-∞+∞有定义，符号()af x dx +∞⎰（或(),()bf x dx f x dx +∞-∞-∞⎰⎰）称为函数()f x 的无穷积分.设,,p R p a ∀∈>函数()f x 在［a,p ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()af x dx +∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()af x dx +∞⎰（的值），即()lim()paap f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰.设,,q R q b ∀∈<函数()f x 在［q,b ］可积，若极限 存在（不存在），则称无穷积分()bf x dx -∞⎰收敛（发散），其极限称为无穷积分()bf x dx -∞⎰（的值），即()lim ()bbqq f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰.若c R ∃∈，两个无穷积分()cf x dx -∞⎰与 ()cf x dx +∞⎰都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分()f x dx +∞-∞⎰收敛（发散），且 ()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰.显然，火箭脱离地球引力所作的功W '是函数22()mgR F r r=的无穷积分，即例1 . 求下列无穷积分2,x x e dx xe dx +∞+∞--⎰⎰.解 ：0limlim ()lim (1)1ppxx xp p p p e dx e dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞==-=-=⎰⎰例2.求下列无穷积分201dx dx x +∞+⎰；021dxdx x -∞+⎰；21dx dx x +∞-∞+⎰. 解： 22000lim lim arctan lim arctan 112p p p p p dx dx dx dx x p x x π+∞→+∞→+∞→+∞====++⎰⎰.00022lim lim arctan lim arctan 112q q q q q dx dx dx dx x p x x π-∞→-∞→-∞→-∞===-=++⎰⎰. 02220111dx dx dx dx dx dx x x x +∞+∞-∞-∞=++++⎰⎰⎰＝22πππ+=. 若函数()f x 在区间[,]a +∞存在原函数()F x ，则 其中符号()lim ().p F F p →+∞+∞=例3 .判别无穷积分adxdx xλ+∞⎰的敛散性(0)a > 解： 当1,λ≠有 当1,λ=有于是，当1λ>时，无穷积分adxdx x λ+∞⎰收敛，无穷积分的值是11a λλ--；当1λ≤时，无穷积分a dx dx xλ+∞⎰发散例4.判别无穷积分2(ln )dxx x λ+∞⎰的敛散性. 解：当1λ≠，有 当1λ=，有 二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分： 其中 ()()()ccf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性即可.无穷积分adx x λ+∞⎰与广义调和级数11n nλ∞=∑，对1λ>都收敛，对1λ≤都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在的联系.定理 1 .无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔对任意数列{},,n A n N +∀∈有[.),n A a ∈+∞而1,lim n n A a A →∞==+∞，级数收敛于同一个数，且11()()k kA aA k f x dx f x dx +∞+∞==∑⎰⎰.证明：必要性 已知无穷积分收敛，即11111()lim ()lim ()()n k k kknA A A aaA A n n k k f x dx f x dx f x dx f x dx +++∞+∞→∞→∞=====∑∑⎰⎰⎰⎰.充分性 已知对任意数列{}n A ，而1,lim n n A a A →∞==+∞时，级数11()k kA A k f x dx +∞=∑⎰收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且.111()lim ()()n k kA A aaA n k f x dx f x dx f x dx ++∞+∞→∞===∑⎰⎰⎰三、无穷积分的性质假设函数()f x 在区间[,)a +∞有定义，且,p R p a ∀∈>，函数()f x 在),[p a 可积.由无穷积分定义，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔当p →+∞时，函数()()()paF p f x dxa p =<⎰存在极限.定理2（柯西收敛准则） 无穷积分()af x dx +∞⎰收敛⇔120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有21()p p f x dx ε<⎰.推论1.若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则lim ()0pp f x dx +∞→∞=⎰.证明：根据定理2，0,,,,A a p A q A ε∀>∃>∀>∀>有 令q →+∞，即lim()q pq f x dx ε→∞≤⎰或()pf x dx ε+∞≤⎰推论2 若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分 ()af x dx +∞⎰也收敛.证明 ：根据定理2 120,,,,A a p A p A ε∀>∃>∀>∀>有 从而，有2211()()p p p p f x dx f x dx ε≤<⎰⎰，即无穷积分()af x dx +∞⎰收敛.推论3.无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛⇔b a ∀>，无穷积分()bf x dx +∞⎰也收敛定理3.无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()acf x dx +∞⎰也收敛，其中c 是常数，且()()aa cf x dx c f x dx +∞+∞=⎰⎰.定理4.若无穷积分()a f x dx +∞⎰与()ag x dx +∞⎰都收敛，则无穷积分[()()]af xg x dx +∞±⎰也收敛，且[()()]()()aaaf xg x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰.定理5 .若函数()f x 与()g x 在区间[,)a +∞存在连续导数，极限lim ()()x f x g x →∞存在，且无穷积分()()a f x g x dx +∞⎰收敛，则无穷积分()'()af xg x dx +∞⎰也收敛，有()'()lim ()()()()()()aax f x g x dx f x g x f a g a f x g x dx +∞+∞→∞'=--⎰⎰.或这是无穷积分的分部积分公式.定理 6 .若函数()f x 在在区间[,)a +∞连续，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，且函数()x t ϕ=在[,)αβ严格增加，存在连续导数，而(),(0)a ϕαϕβ=-=+∞，则()af x dx +∞⎰＝[()]'()f t t dt βαϕϕ⎰.这是无穷积分的换元公式.例5 .求无穷积分0sin x K e xdx +∞-=⎰.解：根据定理5，有＝001(sin sin )1x x e x e xdx K +∞+∞---+=-⎰有21K =，或12K =，即 01sin 2x K e xdx +∞-==⎰. 例6. 求无穷积分2211sin dx x xπ+∞⎰. 解： 设211,t dt dx x x==-，根据定理6，有 ＝20cos 1t π-=.另解：2221111sin sin dx d x x x x ππ+∞+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰21cos x π+∞=1=.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7 . 设[,),x a ∀∈+∞有 ()(),f x c x c ϕ≤是正常数. 1）若无穷积分()a x dx ϕ+∞⎰收敛，则无穷积分()af x dx +∞⎰也收敛；2）若无穷积分()af x dx +∞⎰发散，则无穷积分()ax dx ϕ+∞⎰也发散.推论 设[,),()0,0x a f x a ∀∈+∞≥>，且极限lim ()(0).x x f x dd λ→+∞=≤≤+∞. （3）1）若1,0,d λ>≤<+∞则无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛. 2）若1,0,d λ≤<≤+∞则无穷积分()af x dx +∞⎰发散.★说明：应用此推论判别某些无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数()f x ，从中找出合适的λ（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数λ确定无穷积分()af x dx +∞⎰的敛散性.例7.判别无穷积分2x e dx +∞-⎰的敛散性解：已知1,x ∀≥有20x x e e --<≤.由例1知，无穷积分1x e dx +∞-⎰收敛，根据定理7 ，无穷积分21x e dx +∞-⎰收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分2x e dx +∞-⎰也收敛.例8. 判别无穷积分1+∞⎰.解：已知极限23lim lim1x x x→+∞==，其中21,3λ=<则无穷积分1+∞⎰.例9.判别无穷积分1+∞⎰的敛散性 解：已知[1,),x ∀∈+∞有≤，又 32lim lim 1x x x→+∞==，其中312λ=>，则无穷积分1⎰收敛，根据定理2的推论2 ，无穷积分1+∞⎰也收敛. 例10 .判别无穷积分11x x e dx α+∞--⎰的敛散性（α是参数）。
解：已知,R α∀∈有极限121lim .lim 0xx x x x x xeeαα+--→+∞→+∞==， 其中21,0d λ=>=，则,a R ∀∈无穷积分11x x e dx α+∞--⎰都收敛.定义 若无穷积分()af x dx +∞⎰收敛，则称无穷积分()af x dx +∞⎰绝对收敛.定义 若无穷积分()a f x dx +∞⎰收敛，而()af x dx +∞⎰发散，则称无穷积分()af x dx +∞⎰条件收敛.定理8 .若函数()f x 在[,)a +∞连续(0),a >且函数()()x aF x f u du =⎰在[,)a +∞有界，即0,[,),C x a ∃>∀∈+∞有 ()()xaF x f u du C =≤⎰，则当0λ>时，无穷积分()af x dx x λ+∞⎰收敛. 例11 .证明 ：无穷积分0sin xdx x +∞⎰条件收敛 证明： 在0,x =被积函数sin x x 没有定义，已知0sin lim 1x x x →=，将函数sin xx在0作连续开拓， 当0,x =时，令sin x x =1，于是被积函数sin xx在区间[0,)+∞连续首先，证明无穷积分1sin xdx x+∞⎰收敛已知函数()sin f x x =在区间[1,)+∞连续，1,p ∀>有 根据定理8 ，无穷积分1sin xdx x +∞⎰收敛(10)λ=>，从而，无穷积分0sin x dx x +∞⎰也收敛其次，证明无穷积分1sin xdx x+∞⎰发散 已知21,sin sin x x x ∀≥≥有，从而，2sin sin 121cos 2222x x cox x xx x x x x -≥==-，有 111sin cos 222xdx x dx dx x x x+∞+∞+∞≥-⎰⎰⎰以上右端无穷积分1cos 22xdx x +∞⎰收敛，而无穷积分12dx x +∞⎰发散，根据定理7，无穷积分1sin x dx x +∞⎰发散，从而无穷积分0sin xdx x +∞⎰也发散，于是，无穷积分0sin x dx x +∞⎰条件收敛例12 .讨论无穷积分20sin x dx +∞⎰与20cos x dx +∞⎰的敛散性解：设2,x y dx ==有 2001sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰ 已知函数sin y 在[1,)+∞连续，1,p ∀>有 根据定理8，无穷积分1+∞⎰收敛1(0,2λ=>且条件收敛）即无穷积分20sin x dx +∞⎰收敛（条件收敛）同法可证20cos x dx +∞⎰也收敛（条件收敛）。