【复习必备】2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练 新人教A版选修2-1

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2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.1

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.1

02第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程课时过关·能力提升基础巩固1已知0≤α<2π,点P (cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y 2=3上,则α的值为( ) A. B.π35π3C. D.π3或5π3π3或π6(cos α-2)2+sin 2α=3,得cos α=.12∵0≤α<2π,∴α=.π3或5π32方程(x-2)2+(y+2)2=0表示的图形是( )A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点3已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (-,0),B (,0),则顶点C 的轨迹是( )33A.一条直线B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点4已知动点P 在曲线2x 2-y=0上,则点A (0,-1)与点P 连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x 2B.y=8x 2C.y=8x 2-1D.2y=8x 2-1AP 的中点为M (x ,y ),点P (x 1,y 1),由中点坐标公式,得{x =x 12,y =y 1-12⇒{x 1=2x ,y 1=2y +1.由于P (x 1,y 1)在曲线2x2-y=0上,代入化简,得2y=8x 2-1.5在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α+β,其中OC OA OB α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=6方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线是( ).由xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点.7若点A在方程x 2+(y+1)2=5表示的曲线上,则m= . (m 3,m )3或658已知两点M (-2,0),N (2,0),点P 满足=0,则点P 的轨迹方程为 .PM ·PNP 的坐标为(x ,y ),由=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y )=x 2-4+y 2=0,得x 2+y 2=4,PM ·PN 则点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=49已知点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,也在曲线g (x ,y )=0上,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )=0上,∴f (x 0,y 0)=0.同理g (x 0,y 0)=0,∴f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0(λ∈R ),即点P (x 0,y 0)在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R )上.10已知A ,B 两点的坐标分别为A (0,-4),B (0,4),直线MA 与MB 的斜率之积为-1,求点M 的轨迹方程.M 的坐标为(x ,y ).∵直线MA 与MB 的斜率之积为-1,∴直线MA ,MB 都存在斜率,∴x ≠0.由A (0,-4),B (0,4),得k MA =,k MB =.y +4x y -4x 又k MA ·k MB =-1,∴=-1,化简得x 2+y 2=16.y +4x ·y -4x 故点M 的轨迹方程为x 2+y 2=16(x ≠0).能力提升1如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0x|y |D.-1=0|x |y选项中应是函数y=|x|,y ≥0,C,D 项中y ≠0,故选B .2已知点A (1,0),直线l :y=2x-4,点R 是直线l 上的一点,若,则点P 的轨迹方程为( )RA =APA.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4,知R ,A ,P 三点共线,且A 为RP 的中点.设P (x ,y ),R (x 1,y 1),R A =AP 则由,得(1-x 1,-y 1)=(x-1,y ),RA =AP 则即x 1=2-x ,y 1=-y ,将其代入直线y=2x-4中,得y=2x.故选B.{1-x 1=x -1,-y 1=y ,3已知O 是平面上的一个定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足+λOP =OA ,λ∈(0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )(AB|AB |AC|AC |)A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心由与∠BAC 的平分线共线,AB |AB |AC |AC |又λ>0,设λ(P'为∠BAC 的平分线上的点),则,(AB|AB |AC|AC |)=AP OP=OA +AP =OP 故,即点P'与点P 重合.于是点P 在∠BAC 的平分线上,即点P 的轨迹过△ABC 的内心.OP =OP '4已知两定点A (-2,0),B (1,0),若动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围的面积等于( )A.9πB.8πC.4πD.πP (x ,y ),则=2,化简得x 2-4x+y 2=0.(x +2)2+y2(x -1)2+y 2即(x-2)2+y 2=4,点P 轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=π×22=4π.5已知由动点P 向圆O :x 2+y 2=1引两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,且∠APB=60°,则动点P 的轨迹方程为 . ,得OP=2,为定长,于是点P 的轨迹是以定点O 为圆心,以2为半径的圆.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4.2+y 2=46已知过点A (4,1)的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为 .C 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,圆心(a ,b )到直线x-y-1=0的距离d==r.①|a -b -1|2又圆C 过A (4,1),B (2,1),故(4-a )2+(1-b )2=r 2,②(2-a )2+(1-b )2=r 2.③由①②③,得a=3,b=0,r=.2因此,圆C 的方程为(x-3)2+y 2=2.x-3)2+y 2=27在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于,则动点P 的轨迹方程为 .132-3y 2=-2(x ≠±1)8一个动点到直线x=8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.(x ,y ),则动点到直线x=8的距离为|x-8|,到点A 的距离为.(x -2)2+y 2由已知,得|x-8|=2,(x -2)2+y 2化简得3x 2+4y 2=48.故动点的轨迹方程为3x 2+4y 2=48.★9如图所示,已知A (-3,0),B ,C 两点分别在y 轴和x 轴上运动,点P 为BC 延长线上一点,并且满足,试求动点P 的轨迹方程.AB ⊥BP ,BC =12CPP (x ,y ),B (0,y'),C (x',0),则=(x',-y'),=(x-x',y ).BC CP 由,得(x',-y')=(x-x',y ),BC =12CP 12即x'=,y'=-,x 3y 2故B ,C .(0,-y2)(x 3,0)又A (-3,0),∴.AB =(3,-y 2),BP =(x ,32y )由,得=0,AB ⊥BP AB ·BP故3x-y 2=0,得y 2=4x ,34即为动点P 的轨迹方程.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

2.3.2 双曲线的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6,0),则其标准方程为( )A.=1B.=1x 29‒y 29y 29‒x 29 C.=1D.=1y 218‒x 218x 218‒y 218等轴双曲线的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为=1(n>0),x 2n ‒y 2n ∴2n=36,∴n=18.故选D .2若中心在坐标原点,离心率为的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )53A.y=±x B.y=±x 5445C.y=±xD.y=±x 4334=1(a>0,b>0),得e=.y 2a2‒x 2b2c a =53设a=3k ,c=5k (k ∈R ,且k>0),则b 2=c 2-a 2=25k 2-9k 2=16k 2,则b=4k.故其渐近线方程为y=±x.343已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )x 2a2‒y 25A. B. C. D.314143243243a 2+5=32⇒a=2⇒e=,选项C 正确.c a =324若直线过点(,0)且与双曲线x 2-y 2=2仅有一个公共点,则这样的直线有( )2A.1条B.2条C.3条D.4条5设双曲线=1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( )x 2a 2‒y 29A.4 B.3C.2D.16点A (x 0,y 0)在双曲线=1的右支上,若点A 到右焦点的距离等于2x 0,则x 0= .x 24‒y 232(6,0),由题意,得解得x 0=2.{x 0≥2,(x 0-6)2+y 20=4x 20,x 204-y 2032=1,7设椭圆C 1的离心率为,焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点513的距离的差的绝对值等于8,则曲线C 2的标准方程为 .=1y 298直线2x-y-10=0与双曲线=1的交点坐标是 .x 220‒y25或(143,-23)9设F 1,F 2分别是双曲线=1的左、右焦点,若双曲线上存在点A ,使∠F 1AF 2=90°,且x 2a2‒y 2b 2|AF 1|=3|AF 2|,求双曲线的离心率.AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2.①因为|AF 1|=3|AF 2|,所以点A 在双曲线的右支上.则|AF 1|-|AF 2|=2a ,所以|AF 2|=a ,|AF 1|=3a ,代入到①式得(3a )2+a 2=4c 2,.c 2a 2=104所以e=.c a=10210求满足下列条件的双曲线方程:(1)以2x ±3y=0为渐近线,且经过点(1,2);(2)离心率为,虚半轴长为2;54(3)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y-x=0.3设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ(λ≠0),将点(1,2)代入方程可得λ=-32,则所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即=1.9y 232‒x 28(2)由题意,得b=2,e=.c a =54令c=5k ,a=4k (k ∈R ,且k>0),则由b 2=c 2-a 2=9k 2=4,得k 2=.49则a 2=16k 2=,故所求的双曲线方程为649=1或=1.9x 264‒y 249y 264‒x 24(3)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2,0),又双曲线的一条渐近线方程为y-x=0,3则另一条渐近线方程为y+x=0.3设所求的双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ>0),则a 2=,b 2=λ.λ3所以c 2=a 2+b 2==4,所以λ=3.4λ3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23能力提升1若双曲线mx 2+y 2=1的焦距是实轴长的倍,则m 的值为( )5A.- B.-4C.4D.1414mx 2+y 2=1是双曲线,∴m<0,且其标准方程为y 2-=1.x 21-m ∵焦距是实轴长的倍,∴虚轴长是实轴长的2倍.5∴-=4,即m=-.1m 142若双曲线=1的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=( )x 26‒y 23A. B.2C.3D.63y=±x ,圆心坐标为(3,0),由点到直线的距离公式和渐近线与圆相切,可22得圆心到渐近线的距离等于r ,即r=.|±32|2+4=326=33若0<k<a 2,则双曲线=1与=1有( )x 2a 2-k‒y 2b 2+k x 2a2‒y 2b 2A.相同的虚轴 B.相同的实轴C.相同的渐近线D.相同的焦点0<k<a 2,且a 2-k+b 2+k=a 2+b 2,∴有相同的焦点.★4设F 1,F 2分别是双曲线x 2-=1的左、右焦点.若P 在双曲线上,且=0,则||=y 29PF 1·PF 2PF 1+PF 2( )A.2B.C.2D.551010,知双曲线两个焦点的坐标分别为F 1(-,0),F 2(,0).1010设点P (x ,y ),则=(--x ,-y ),=(-x ,-y ).PF 110PF 210∵=0,∴x 2+y 2-10=0,即x 2+y 2=10.PF 1·PF 2∴||PF 1+PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2+2PF 1·PF 2==2.2(x 2+y 2)+20105已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点,且x 2a2‒y 2b 2PF 1⊥PF 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,则双曲线的离心率是 . PF 1⊥PF 2,所以由{|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,|PF 1|·|PF 2|=4ab ,||PF 1|-|PF 2||=2a ,得4c 2-4a 2=8ab ,所以b=2a ,c 2=5a 2,所以e=.5★6已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).若双曲线上存在一点P ,x 2a2‒y 2b 2使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1=ac|PF 1|=|PF 2|.ca 由双曲线的定义,知|PF 1|-|PF 2|=2a ,则|PF 2|-|PF 2|=2a ,即|PF 2|=.ca 2a 2c -a 由双曲线的几何性质,知|PF 2|>c-a ,则>c-a ,即c 2-2ac-a 2<0,2a 2c -a 故e 2-2e-1<0,解得-+1<e<+1.22又e ∈(1,+∞),故双曲线的离心率e ∈(1,+1).2(1,+1)27设双曲线=1的右顶点为A ,右焦点为F ,过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲x 29‒y 216线交于点B ,求△AFB 的面积.双曲线方程为=1,x 29‒y 216∴渐近线方程为y=±x.43∵A (3,0),F (5,0),不妨令直线BF 的方程为y=(x-5),43代入双曲线方程,得(x 2-10x+25)=1.x 29‒116×169解得x=,∴y=-,∴B .1753215(175,-3215)∴S △AFB =(5-3)×.123215=32158已知双曲线的中心在原点,焦点F 1,F 2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).210(1)求此双曲线的方程;(2)若点M (3,m )在此双曲线上,求证:=0.F 1M ·F 2Me=,所以a=b.c a=2设双曲线方程为x 2-y 2=n (n ≠0),因为点(4,-)在双曲线上,10所以n=42-(-)2=6.10所以双曲线方程为x 2-y 2=6.M (3,m )在双曲线上,所以m 2=3.又点F 1(-2,0),点F 2(2,0),33所以=-=-1.k MF 1·k MF 2=m 3+23·m 3-23m 23所以=0.F 1M ·F 2M ★9已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点是F (2,0),离心率e=2.x 2a2‒y 2b 2(1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求实数k 的取值范围.由已知,得c=2.又e=2,则a=1,b=.3故所求的双曲线方程为x 2-=1.y 23(2)设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)的坐标满足方程组{y =kx +m ,x 2-y 23=1,① ②将①式代入②式,整理,得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.此方程有两个不等实根,于是3-k 2≠0,且Δ=(-2km )2+4(3-k 2)(m 2+3)>0.整理,得m 2+3-k 2>0.③由根与系数的关系,可知线段MN 的中点坐标(x 0,y 0)满足x 0=,y 0=kx 0+m=.x 1+x 22=km 3-k23m3-k 2从而线段MN 的垂直平分线方程为y-=-.3m3-k21k(x -km 3-k 2)此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为.(4km 3-k2,0),(0,4m 3-k 2)由题设可得=4.12|4km3-k2|·|4m 3-k 2|整理,得m 2=(k ≠0).(3-k 2)22|k |将上式代入③式,得+3-k 2>0,(3-k 2)22|k |整理,得(k 2-3)(k 2-2|k|-3)>0(k ≠0).解得0<|k|<或|k|>3.3故k 的取值范围是(-∞,-3)∪(-,0)∪(0,)∪(3,+∞).33。

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

2.3.1 抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.会求简单的抛物线的方程.(重点)3.了解抛物线的实际应用.(难点)4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P56~P58“思考”部分,完成下列问题.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) (4)抛物线可看作双曲线的一支.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的准线方程和焦点坐标. (1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x -2y -4=0上; (3)焦点到准线的距离为52.【精彩点拨】 本题主要考查抛物线标准方程的求法,解题的关键是明确标准方程的类型和参数p 的值.【自主解答】 (1)∵点(-3,2)在第二象限, ∴设抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py (p >0). 将点(-3,2)代入方程,得2p =43或2p =92.∴当焦点在x 轴上时,所求抛物线方程是y 2=-43x ,其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0,准线方程为x =13; 当焦点在y 轴上时,所求抛物线方程为x 2=92y ,其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,98,准线方程为y =-98. (2)令x =0,由方程x -2y -4=0,得y =-2. ∴抛物线的焦点为F (0,-2). 设抛物线方程为x 2=-2py (p >0), 则由-p2=-2,得2p =8,∴所求抛物线方程为x 2=-8y .令y =0,由方程x -2y -4=0,得x =4. ∴抛物线的焦点为F (4,0). 设抛物线方程为y 2=2px (p >0), 则由p2=4,得2p =16,∴所求抛物线方程为y 2=16x .综上,所求抛物线方程为x 2=-8y 或y 2=16x . 其准线方程为y =2或x =-4, 焦点坐标为(0,-2)或(4,0).(3)由焦点到准线的距离为52,可知p =52.∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y .求抛物线方程,通常用待定系数法,若能确定抛物线的焦点位置,则可设出抛物线的标准方程,求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定,则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2=ax a,焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2=ay a[再练一题]1.根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)准线方程为y =-1;【导学号:97792027】(2)焦点在x 轴的正半轴上,焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y =-1知抛物线焦点在y 轴正半轴上,且p2=1,则p =2.故抛物线的标准方程为x 2=4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2=2px (p >0),则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,准线为x =-p2,则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪-p 2-p 2=p =3,因此所求的抛物线的标准方程是y 2=6x .B 高5 m ,且与OA 所在的直线相距4 m ,水流落在以O 为圆心,半径为9 m 的圆上,则管柱OA 的长是多少?【精彩点拨】 根据题意先建立坐标系,设出抛物线方程,把实际问题转化为数学问题.【自主解答】 如图所示,建立直角坐标系,设水流所形成的抛物线的方程为x 2=-2py (p >0),因为点C (5,-5)在抛物线上, 所以25=-2p ·(-5),因此2p =5, 所以抛物线的方程为x 2=-5y , 点A (-4,y 0)在抛物线上, 所以16=-5y 0, 即y 0=-165,所以OA 的长为5-165=1.8 (m).所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.[再练一题]2.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5 m 时,水面宽8 m ,一木船宽4 m ,高2 m ,载货的木船露在水面上的部分为0.75 m ,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?【解】 以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x 2=-2py (p >0), 由题意知A (4,-5)在抛物线上, 故16=-2p ×(-5)⇒p =85,则抛物线的方程是x 2=-165y (-4≤x ≤4),设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时,木船开始不能通航. 设B (2,y ′),∴22=-165y ′⇒y ′=-54.∴54+0.75=2. 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时,木船开始不能通航.[探究共研型]探究【提示】 抛物线标准方程中的p 的几何意义是焦点到准线的距离. 探究2 抛物线定义的功能是什么?【提示】 根据抛物线的定义,抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距,从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(1)若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则动点M 的轨迹方程是________.(2)如图2­3­1,已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ,点P 是抛物线上的动点,又有点A (3,2).求|PA |+|PF |的最小值,并求此时P 点坐标.图2­3­1【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点M 的轨迹,再写方程.(2)由定义知,抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ,求|PA |+|PF |的问题可转化为|PA |+d 的问题.【自主解答】(1)如图,设点M 的坐标为(x ,y ).由已知条件可知,点M 与点F 的距离等于它到直线x +4=0的距离.根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线,且p2=4,即p =8.因为焦点在x 轴的正半轴上,所以点M 的轨迹方程为y 2=16x . 【答案】 y 2=16x(2)如图,作PQ ⊥l 于Q ,由定义知,抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ,由图可知,求|PA |+|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |+d 的最小值的问题.将x =3代入抛物线方程y 2=2x ,得y =± 6. ∵6>2,∴A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l :x =-12的距离为d ,由定义知|PA |+|PF |=|PA |+d .由图可知,当PA ⊥l 时,|PA |+d 最小,最小值为72.即|PA |+|PF |的最小值为72,此时P 点纵坐标为2,代入y 2=2x ,得x =2.∴点P 坐标为(2,2).1.对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题,实际上也是抛物线问题.2.抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.[再练一题]3.(1)已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 【导学号:97792028】A.172 B.2 C. 5 D.92(2)抛物线y 2=2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则p =________. 【解析】 (1)如图,由抛物线定义知|PA |+|PQ |=|PA |+|PF |,则所求距离之和的最小值转化为求|PA |+|PF |的最小值,则当A 、P 、F 三点共线时,|PA |+|PF |取得最小值.又A (0,2),F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0, ∴(|PA |+|PF |)min =|AF |=⎝ ⎛⎭⎪⎫0-122+-2=172.故选A. (2)依题意,点Q 为坐标原点,所以p2=1,则p =2.【答案】 (1)A (2)21.抛物线y =2x 2的焦点坐标是( ) A.(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14,0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18 【解析】 抛物线的标准方程为x 2=12y ,所以p =14,故焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18.【答案】 D2.抛物线y 2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4D.8【解析】 抛物线焦点到准线的距离是p =4. 【答案】 C3.若双曲线x 2m -y 23=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则m =________.【解析】 双曲线x 2m -y 23=1的右焦点为(m +3,0),抛物线y 2=12x 的焦点F (3,0),∴m +3=3,∴m =6. 【答案】 64.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x +2=0相切,则这些圆必过一定点,这个定点的坐标是________.【解析】 抛物线y 2=8x 的准线方程是x +2=0,根据抛物线的定义,圆心到直线x +2=0的距离等于圆心到焦点的距离,所以这些圆必过抛物线的焦点,所以应填(2,0).【答案】 (2,0)5.已知抛物线的焦点在x 轴上,抛物线上的点M (-3,m )到焦点的距离等于5,求抛物线的标准方程和m 的值.【解】 设抛物线方程为y 2=-2px (p >0),则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2,0,准线方程为x =p2,根据抛物线的定义,点M 到焦点的距离等于5,也就是M 到准线的距离为5,则3+p2=5,∴p =4,因此,抛物线方程为y 2=-8x ,又点M (-3,m )在抛物线上,于是m 2=24, ∴m =±2 6.。

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段复习课学案新人教A版选修1_1

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段复习课学案新人教A版选修1_1

第二课 圆锥曲线与方程[核心速填]1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程+=1或x 2a 2y 2b 2+=1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2-=1或x 2a 2y 2b 2-=1(a >0,b >0y 2a 2x 2b 2)y 2=2px 或y 2=-2px或x 2=2py 或x 2=-2py (p >0)关系式a 2-b 2=c 2a 2+b 2=c 2图形封闭图形无限延展,但有渐近线y =±x 或ba y =±xa b 无限延展,没有渐近线变量范围|x |≤a ,|y |≤b 或|y |≤a ,|x |≤b|x |≥a 或|y |≥ax ≥0或x ≤0或y ≥0或y ≤0对称中心为原点无对称中心对称性两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e =,且0<e <1ca e =,且e >1ca e =12.双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时,最简单实用的办法是:把标准方程中的1换成0,即可得到两条渐近线的方程.如双曲线-=1(a >0,b >0)的渐近线方程为x 2a 2y 2b 2-=0(a >0,b >0),即y =±x ;双曲线-=1(a >0,b >0)的渐近线方程为x 2a 2y 2b 2b a y 2a 2x 2b 2-=0(a >0,b >0),即y =±x .y 2a 2x 2b 2a b(2)如果双曲线的渐近线为±=0时,它的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0).x a y b x 2a 2y 2b 23.抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论.(1)y 2=2px (p >0)中,|AB |=x 1+x 2+p .(2)y 2=-2px (p >0)中,|AB |=-x 1-x 2+p .(3)x 2=2py (p >0)中,|AB |=y 1+y 2+p .(4)x 2=-2py (p >0)中,|AB |=-y 1-y 2+p .[体系构建][题型探究]圆锥曲线的定义及应用 (1)已知动点M 的坐标满足方程5=|3x +4y -12|,则动点M 的轨迹是x 2+y 2( )A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________.22【导学号:97792110】[解] (1)把轨迹方程5=|3x +4y -12|写成=.x 2+y 2x 2+y 2|3x +4y -12|5∴动点M 到原点的距离与它到直线3x +4y -12=0的距离相等.∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x +4y -12=0为准线的抛物线.(2)设椭圆方程为+=1(a >b >0),因为AB 过F 1且A ,B 在椭圆上,如图所示,x 2a 2y 2b 2则△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =16,∴a =4.又离心率e ==,∴c =2,∴b 2=a 2-c 2=8,c a 222∴椭圆C 的方程为+=1.x 216y 28[答案] (1)C (2)+=1x 216y 28[规律方法] “回归定义”解题的三点应用应用一:在求轨迹方程时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的定义,写出所求的轨迹方程;应用二:涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决;应用三:在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.提醒:应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.[跟踪训练]1.点P 是抛物线y 2=8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |+|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标.[解] 抛物线y 2=8x 的准线方程是x =-2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x =-2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x =-2,垂足为D ,那么|PM |+|PF |=|PM |+|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |+|PF |的值最小,且最小值为|MD |=2-(-2)=4,所以|PM |+|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P 的坐标是.98(98,3)圆锥曲线的方程 (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于,则C 的方程12是( )A.+=1 B.+=1x 23y 24x 24y 23C.+=1D.+=1x 24y 22x 24y 23(2)已知抛物线y 2=8x 的准线过双曲线-=1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的x 2a 2y 2b 2离心率为2,则该双曲线的方程为________.[解析] (1)由题意得Error!,解得Error!,则b 2=a 2-c 2=3,故椭圆方程为+=1.x 24y 23(2)由题意得Error!,解得Error!,则b 2=c 2-a 2=3,因此双曲线方程为x 2-=1.y 23[答案] (1)D (2)x 2-=1y 23[规律方法] 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0).(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.[跟踪训练]2.(1)以x 轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A .y 2=8x B .y 2=-8xC .y 2=8x 或y 2=-8xD .x 2=8y 或x 2=-8y C [由题意知2p =8,故选C.](2)焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.+=1x 24y 23B.+y 2=1x 24C.+=1y 24x 23D .x 2+=1y 24A [依题意,得a =2,a +c =3,故c =1,b ==,故所求椭圆的标准方程22-123是+=1.]x 24y 23圆锥曲线的几何性质 如图2­1所示,F 1,F 2是椭圆C 1:+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,Bx 24分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )图2­1A. B.23C.D.3262[思路探究] 由椭圆可求出|AF 1|+|AF 2|,由矩形求出|AF 1|2+|AF 2|2,再求出|AF 2|-|AF 1|即可求出双曲线方程中的a ,进而求得双曲线的离心率.[解] 由椭圆可知|AF 1|+|AF 2|=4,|F 1F 2|=2.3因为四边形AF 1BF 2为矩形,所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2=12,所以2|AF 1||AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)2-(|AF 1|2+|AF 2|2)=16-12=4,所以(|AF 2|-|AF 1|)2=|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF 1|·|AF 2|=12-4=8,所以|AF 2|-|AF 1|=2,2因此对于双曲线有a =,c =,23所以C 2的离心率e ==.c a 62[答案] D[规律方法] 求解离心率的三种方法(1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2-b 2=c 2(a 2+b 2=c 2)以及e =,已知其中的任意两个参数,可以求其ca 他的参数,这是基本且常用的方法.(2)方程法:建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.[跟踪训练]3.已知椭圆+=1(a >b >0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,x 2a 2y 2b 2O 为原点,若△ABO 的面积是c 2,则这一椭圆的离心率是( )3【导学号:97792111】A. B.1232C. D.2233A [ab =c 2,即a 2(a 2-c 2)=12c 4,所以(a 2+3c 2)(a 2-4c 2)=0,所以123a 2=4c 2,a =2c ,故e ==.]c a 12直线与圆锥曲线的位置关系 已知椭圆+=1(a >b >0)经过点(0,),离心率为,左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2312F 1(-c,0),F 2(c,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =-x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两12点,且满足=,求直线l 的方程.|AB ||CD |534[思路探究] (1)利用定义解题.(2)利用勾股定理和弦长公式来解.[解] (1)由题设知Error!解得a =2,b =,c =1,3∴椭圆的方程为+=1.x 24y 23(2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心到直线l 的距离d =,2|m |5由d <1得|m |< .(*)52∴|CD |=2=2=.1-d 21-45m 2255-4m 2设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由Error!得x 2-mx +m 2-3=0,由根与系数的关系可得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3.∴|AB |==.1524-m 2由=,得=1,|AB ||CD |5344-m 25-4m 2解得m =±,满足(*).33∴直线l 的方程为y =-x +或y =-x -.12331233[规律方法] 直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于x 或y 的一元二次方程,则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:1 相交:Δ>0⇔直线与椭圆相交;Δ>0⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有Δ>0,如当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件;Δ>0⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有Δ>0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件.2 相切:Δ=0⇔直线与椭圆相切;Δ=0⇔直线与双曲线相切;Δ=0⇔直线与抛物线相切.3 相离:Δ<0⇔直线与椭圆相离;Δ<0⇔直线与双曲线相离;Δ<0⇔直线与抛物线相离.[跟踪训练]4.已知椭圆E :+=1(a >b >0),其焦点为F 1,F 2,离心率为,直线x 2a 2y 2b 222l :x +2y -2=0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程;(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2a ,求a 的取值范围.【导学号:97792112】[解] (1)由椭圆的离心率为,得a =c ,222由A (2,0),得a =2,∴c =,b =,22∴椭圆方程为+=1.x 24y 22(2)由e =,设椭圆方程为+=1,22x 2a 22y 2a 2联立Error!得6y 2-8y +4-a 2=0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|+|PF 2|=2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2-8y +4-a 2=0在y ∈[0,1]上有解.设f (y )=6y 2-8y +4-a 2,∴Error!即Error!∴≤a 2≤4,43故a 的取值范围是≤a ≤2.233。

2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练 新人教A版选修2-1

2018年秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练 新人教A版选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练(二) (建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.已知F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a 分别为3和5时,点P 的轨迹分别为 ( )A .双曲线和一条直线B .双曲线和一条射线C .双曲线的一支和一条射线D .双曲线的一支和一条直线C [依题意,得|F 1F 2|=10.当a =3时,|PF 1|-|PF 2|=2a =6<|F 1F 2|,可知点P 的轨迹为双曲线的右支;当a =5时,|PF 1|-|PF 2|=2a =10=|F 1F 2|,可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线.故选C .]2.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A .x 22+y 24=1B .x 2+y 26=1C .x 26+y 2=1D .x 28+y 25=1B [椭圆9x 2+4y 2=36可化为x 24+y 29=1,可知焦点在y 轴上,焦点坐标为(0,±5),故可设所求椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),则c = 5.又2b =2,即b =1,所以a 2=b 2+c 2=6,则所求椭圆的标准方程为x 2+y 26=1.]3.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率e =( )【导学号:46342122】A . 2B .2C . 3D .3A [由题意知-b a ×b a =-1,即b 2a 2=1,∴e 2=1+b 2a2=2,即e = 2.]4.直线y =13⎝ ⎛⎭⎪⎫x -72与双曲线x 29-y 2=1交点的个数是( )A .0B .1C .2D .3B [双曲线的渐近线方程为y =±13x ,则直线y =13⎝ ⎛⎭⎪⎫x -72与双曲线的一条渐近线平行,所以直线与双曲线只有一个交点.]5.若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2B .1C .0D .0或1 A [由题意,得4m 2+n2>2,所以m 2+n 2<4,则-2<m <2,-2<n <2,所以点P (m ,n )在椭圆x 29+y 24=1内,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1有2个交点.故选A .] 二、填空题6.已知抛物线的离心率为e ,焦点为(0,e ),则抛物线的标准方程为________.x 2=4y [由题意知e =1,则p2=1,从而2p =4.抛物线方程为x 2=4y .]7.椭圆的两个焦点为F 1,F 2,短轴的一个端点为A ,且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.32[由题意知|F 1A |=|F 2A |=a ,|F 1F 2|=2C .由余弦定理得4c 2=a 2+a 2-2a 2cos 120°. 即3a 2=4c 2,所以e 2=c 2a 2=34.所以e =32.] 8.点P (8,1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦,则这条弦所在直线的方程是________. 2x -y -15=0 [设弦的两个端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 21-4y 21=4 ①x 22-4y 22=4 ②②-①整理得y 2-y 1x 2-x 1=x 2+x 14(y 2+y 1),又x 1+x 2=16,y 1+y 2=2. 所以y 2-y 1x 2-x 1=2,即弦所在的直线的斜率为2. 故弦所在的直线方程为2x -y -15=0.] 三、解答题9.已知椭圆的一个顶点为A (0,-1),焦点在x 轴上,右焦点到直线x -y +22=0的距离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与直线y =kx +m (k ≠0)相交于不同的两点M ,N ,当|AM |=|AN |时,求m 的取值范围.【导学号:46342123】[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2=1(a >1), 则右焦点F (a 2-1,0), 由题设,知|a 2-1+22|2=3,解得a 2=3,故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)设点P 为弦MN 的中点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 23+y 2=1,得(3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2-1)=0, 由于直线与椭圆有两个交点,所以Δ>0,即m 2<3k 2+1, ① 所以x P =x M +x N2=-3mk3k 2+1,从而y P =kx P +m =m3k 2+1,所以k AP =y P +1x P =-m +3k 2+13mk,又|AM |=|AN |,所以AP ⊥MN ,则-m +3k 2+13mk =-1k,即2m =3k 2+1, ②把②代入①得2m >m 2,解得0<m <2, 由②得k 2=2m -13>0,解得m >12,故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2.10.已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C 的方程;(2)E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.[解] (1)由题意,c =1,设椭圆的方程为x 21+b 2+y 2b2=1.因为A 在椭圆上,所以11+b 2+94b 2=1,解得b 2=3或b 2=-34(舍去).所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:设直线AE 的方程为y =k (x -1)+32,代入x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4⎝ ⎛⎭⎪⎫32-k 2-12=0,设E (x E ,y E ),F (x F ,y F ),所以x E =4⎝ ⎛⎭⎪⎫32-k 2-123+4k 2,y E =kx E +32-k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代k ,可得x F =4⎝ ⎛⎭⎪⎫32+k 2-123+4k2,y F =-kx F +32+k .所以直线EF 的斜率k EF =y F -y E x F -x E =-k (x F +x E )+2k x F -x E =12.即直线EF 的斜率为定值,其值为12.[能力提升练]1.设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( )A .12B .1C .32D .2 D [由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y =k x(k >0)得k =1×2=2,故选D .]2.已知双曲线C 的两条渐近线为l 1,l 2,过右焦点F 作FB ∥l 1且交l 2于点B ,过点B 作BA ⊥l 2且交l 1于点A .若AF ⊥x 轴,则双曲线C 的离心率为( )A . 3B .233C .62D .2 2B [如图,延长AF 交l 2于A 1,则易得|OA |=|OA 1|.在△OAA 1中,F 为AA 1的中点,而BF ∥OA ,所以B 为OA 1的中点.又AB ⊥OA 1,于是△OAA 1中边OA 1上的高线与中线重合,从而△OAA 1为等边三角形,所以边OA 即直线l 1与x 轴的夹角为30°,所以e =1cos 30°=233.]3.与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2)的双曲线的标准方程为________.【导学号:46342124】x 212-y 28=1 [法一:设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).又点(32,2)在双曲线上,故(32)2a 2-4b2=1.又a 2+b 2=16+4=20,得a 2=12,b 2=8,则双曲线的标准方程为x 212-y 28=1. 法二:设双曲线的标准方程为x 216-k -y 24+k=1(-4<k <16,且k ≠0),将点(32,2)代入方程,得k =4,则双曲线的标准方程为x 212-y 28=1.]4.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=42,则△POF 的面积为________.2 3 [设点P (x 0,y 0),则点P 到准线x =-2的距离为x 0+2,由抛物线的定义,得x 0+2=42,所以x 0=32,则|y 0|=26,故△POF 的面积为12×2×26=2 3.]5.已知椭圆G :x 24+y 2=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点.(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值. [解] (1)由已知得a =2,b =1,所以c =a 2-b 2= 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(-3,0),(3,0), 离心率为e =c a =32.(2)由题意知|m |≥1.当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A ,B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32. 此时|AB |= 3.当m =-1时,同理可得|AB |= 3.当|m |>1时,设切线l 的方程为y =k (x -m ).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则 x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2-41+4k 2.又由l 与圆x 2+y 2=1相切,得|km |k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =(1+k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1+4k 2)2-4(4k 2m 2-4)1+4k 2=43|m |m 2+3. 由于当m =±1时,|AB |=3,所以|AB |=43|m |m 2+3,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为|AB |=43|m |m +3=43|m |+3|m |≤2, 当且仅当m =±3时,|AB |=2, 所以|AB |的最大值为2.。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1

2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1.抛物线y 2=-8x 的焦点坐标是( )A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)答案:B2.抛物线y=x 2的准线方程是( )A.2x+1=0B.4x+1=0C.2y+1=0D.4y+1=0解析:抛物线y=x 2的标准形式为x 2=y ,p y 轴正半轴上,故准线方程为y=4y+1=0.=12,且焦点在‒14,即答案:D3.已知抛物线的准线方程是x=-3,则抛物线的标准方程为( )A.x 2=-12yB.y 2=12xC.y 2=-12xD.x 2=12y解析:准线为x=-3,所以焦点在x 轴正半轴上,2p=12.故选B.且p 2=3,故答案:B4.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.12解析:由题意知P 到抛物线准线的距离为4-(-2)=6,由抛物线的定义知,点P 到抛物线焦点的距离也是6.答案:B5.已知在抛物线y 2=2px (p>0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p 的值为( )A.0.5B.1C.2D.4解析:由题意,得4p=2.+p 2=5.故答案:C6.若抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 . 解析:抛物线方程化为x 2y=M 到焦点的距离为1,=14y ,准线为‒116.因为点所以点M 到准线的距离也为1,所以点M 的纵坐标等于1‒116=1516.答案:15167.若点M 到点F (0,-2)的距离比它到直线l :y-3=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是 . 解析:由题意,点M 到点F (0,-2)的距离与它到直线l':y-2=0的距离相等,结合抛物线的定义可知,点M 的轨迹是以点F (0,-2)为焦点、y=2为准线的抛物线,即x 2=-8y.答案:x 2=-8y8.若双曲线x 2m ‒y 23=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则m = . 解析:抛物线的焦点为(3,0),m>0,故m=6.则m +3=3,且答案:69.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点M (-6,6);(2)焦点F 在直线l :3x-2y-6=0上.解:(1)∵点M (-6,6)在第二象限,∴过点M 的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为y 2=-2px (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=-2p ×(-6),∴p=3.∴抛物线的方程为y 2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上,设其方程为x 2=2py (p>0),将点M (-6,6)代入,可得36=2p ×6,∴p=3,∴抛物线的方程为x 2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y 2=-6x 或x 2=6y.(2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0),∴抛物线的焦点是F (2,0),∴p2=2,∴p=4,∴抛物线的标准方程是y2=8x.②∵直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),∴p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程是x2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.10.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以点F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D 两点.若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程.解:因为以点F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,又因为点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=2p,所以S△ABD=42=12|BD|×d=12×2p×2p,所以p=2.所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=22,圆F的方程为x2+(y-1)2=8.能力提升1.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=12yD.x2=-12y答案:C2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2‒y23=1的渐近线的距离是( )A .12B.32C.1D.3答案:B3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )A .34B.1C.54D.74答案:C4.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且与y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y2=±4xB.y2=±8xC.y2=4xD.y2=8x解析:抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F的坐标l的方程为y=y轴的交点为(a4,0),则直线2(x-a4),它与△OAF的面积a=±8.为A(0,-a2),所以为12|a4|·|a2|=4,解得所以抛物线的方程为y2=±8x,故选B.答案:B5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则点B到该抛物线准线的距离为 .解析:∵抛物线的焦点坐标为F(p2,0),线段FA的中,点B(p4,1)在抛物线上∴12=2p ×p4,∴p=2,∴x=B(24,1),抛物线的准线方程为‒22,∴点B到该抛物线准线的距离为|24-(-22)|=34 2.答案:342★6.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若点M到此抛物线的准线和x轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为 .解析:设M(x0,y0),则x0+p2=5,|y0|=4.又y20=2px0,∴x0=8p,∴8p+p2=5.∴p=2或p=8,则x0=4或x0=1.答案:1或47.已知抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物线的标准方程.解:因为抛物线的焦点F在x轴上,且点A(m,-3)在抛物线上,所以当m>0时,点A在第四象限,抛物线的方程可设为y2=2px(p>0),设点A到准线的距离为d,则d=|AF|=p 2+m ,所以{(-3)2=2pm ,p 2+m =5.解得{p =1,m =92或{p =9,m =12.所以抛物线的方程为y 2=2x 或y 2=18x.当m<0时,点A 在第三象限,抛物线方程可设为y 2=-2px (p>0),设点A 到准线的距离为d ,则d=|AF|=p 2‒m ,所以{(-3)2=-2pm ,p 2-m =5.解得{p =1,m =-92或{p =9,m =-12.所以抛物线的方程为y 2=-2x 或y 2=-18x.综上所述,抛物线的方程为y 2=-2x 或y 2=-18x 或y 2=2x 或y 2=18x.★8.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如图.航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100+y 225=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M (0,647为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D (8,0).观测点A (4,0),B (6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在x 轴上方时,观测点A ,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解:(1)设曲线方程为y=ax2+647,由题意可知,0=a ·64+647.∴a =‒17.∴曲线方程为y=‒17x 2+647.(2)设变轨点为C (x ,y ),根据题意可知{x 2100+y 225=1,y =-17x 2+647,①②解得y=4或y=,舍去).‒94(不合题意∴y=4.当y=4时,x=6或x=-6(不合题意,舍去).∴点C 的坐标为(6,4),|AC|=25,|BC|=4.答:当观测点A ,B 测得离航天器的距离分别,应向航天器发出变轨指令.为25,4时。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1

2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 22+y 24=1的短轴长为( ) A .2B.2C.22D.4答案:C2.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是( )A .x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C .x 24+y 22=1D.x 24+y 23=1答案:D3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(‒3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A .x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C .x 23+y 2=1D.x 2+y 23=1解析:∵一个焦点为(‒3,0),∴焦点在x 轴上,且c = 3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b ,∴a=2b.故选A.答案:A4.在一个椭圆中,以焦点F 1,F 2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e 等于( )A .12B.22C.32D.255解析:由已知b=c ,故a e =2c.所以=c a=22.答案:B5.椭圆x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0<k <9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率解析:在椭,a=5,b=3,c=4,且焦点在x 轴上.在椭,圆x 225+y 29=1中圆x 29-k +y 225-k =1中∵0<k<9,且25-k>9-k ,∴焦点在y 轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.答案:B6.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一个动点,且点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为‒12,则椭圆的离心( )A .3B.2C.12D.3解析:设P (x 0,y 0),P 在椭圆上,所则y 0x 0-a ·y 0x 0+a =‒12,化简得x 20a 2+2y 20a 2=1.又因为点a 2=2b 2,故e 以x 20a 2+y 20b 2=1,所以=2.答案:B7.若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为12,则m = . 解析:因为椭圆的焦点在x 轴上,所以0<m<2.所以a 2=2,b 2=m.所以c 2=a 2-b 2=2-m.因为椭圆的离心率为e =12,所以e 2m =14=c 2a 2=2-m 2,解得=32.答案:328.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为23,离心率为33,则该椭圆的方程为 . 解析:由题意知,a = 3.又e =33,∴c =1.∴b 2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.答案:x 23+y 22=1或y 23+x 22=19.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF =2FD ,则椭圆C 的离心率为 .解析:设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0).设D (x 0,y 0),∵BF =2FD ,∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0).∴x 0=32c ,y 0=‒b 2.代入椭圆方程得9c 24a 2+b 24b 2=1,∴c 2a2=13,∴e =c a =33.答案:3310.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.解:如图,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c ,∴|BF 1|=c ,|BF 2|=3c.根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a ,即c +3c =2a ,∴ca =3‒1.∴椭圆的离心率e =3‒1.能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)答案:A2.椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A ,与y 轴正半轴交于点B (0,2),BF ·42+4,则椭圆C 的方程为( )A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=1答案:C3.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等,则此椭圆的离心率为( )A .14B.55C .12D.5‒2解析:因为A ,B 为椭圆的左、右顶点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,所以|AF 1|=a-c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B|=a+c.又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,所以(a-c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2.所以离心率eB.=c a =5,故选答案:B4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为55,且过点P (‒5,4),则椭圆的方程为 . 解析:∵e =c a =5,∴c 2a 2=a 2-b 2a 2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a 2=1(a >0).∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a 2=45.∴椭圆方程为x 245+y 236=1.答案:x 245+y 236=1★5.已知椭△ABF 2的面积是5,A ,B 两点的坐标圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别是F 1,F 2,弦AB 过F 1,若是(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|y 1-y 2|= .解析:由题意可知,S △ABF 2=S △AF 1F 2+S △BF 1F 2=c|y 1‒y 2|(A ,B 在x 轴上、下两侧),又S △ABF 2=5,∴|y 1‒y 2|=5c =53.答案:536.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若△ABF 2是等边三角形,求该椭圆的离心率.分析不妨设椭圆的焦点在x 轴上,如图,由AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2是等边三角形,得出在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x ,利用勾股定理,求出|F 1F 2|=3x =2c.而|AF 1|+|AF 2|=2a ,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x 轴上,∵AB ⊥F 1F 2,且△ABF 2为等边三角形,∴在Rt △AF 1F 2中,∠AF 2F 1=30°.令|AF 1|=x ,则|AF 2|=2x.∴|F 1F 2|=|AF 2|2-|AF 1|2=3x =2c.由椭圆定义,可知|AF 1|+|AF 2|=2a.∴e =2c 2a=3x 3x =33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =32,已知点P (0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.解:设椭圆方程,a=2b ,|PM|2=x 2为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点由c a =32,得≤y ≤b ).+(y -32)2=‒3(y +12)2+4b 2+3(‒b 若0<by=-b 时|PM|2最大,b .<12,则当即(b +32)2=7,解得=7‒32>12,故矛盾若b ≥y=,4b 2+3=7,b 2=1,12,则当‒12时从而a 2=4.所求方程为x 24+y 2=1.。

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1

2018秋新版高中数学人教A版选修1-1习题:第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1

02第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是( )A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能解析:∵|MF1|+|MF2|=m,∴当m>|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.答案:D2.椭圆x216+y225=1的焦点坐标是( )A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)答案:D3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=5,则椭圆的标准方程是( )A .x236+y225=1B .y236+x225=1C .x236+y2=1D .x236+y225=1或y236+x225=1解析:因为题中给出的条件不能确定椭圆的焦点所在的坐标轴,所以椭圆的方程应有两种形式.答案:D4.已知椭圆x 225+y 29=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长( )A.2B.4C.8D .32答案:B 5.若方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) A.-9<m<25B.8<m<25C.16<m<25D.m>8解析:由题意,8<m<25.得{m +9>0,25-m >0,m +9>25-m ,解得答案:B6.已知椭圆的两焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是( )A .x 212+y 264=1B.x 216+y 212=1C .x 24+y 216=1D.x 24+y 212=1答案:B7.已知椭∠F 1PF 2= .圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= , 解析:由|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=‒12.故∠F 1PF 2=120°.答案:2 120°8.已知F 1,F 2是椭圆C △PF 1F 2的:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⊥PF 2.若面积为9,则b= .解析:依题意,有{|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|·|PF2|=18,|PF1|2+|PF2|2=4c2,解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.答案:39.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程;(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则由题意,a=3,c=2,得b2=5.故椭圆方程为x29+y25=1.(2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5),所以可设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).2a=32+(4+5)2+32+(4-5)2=410,所以a=210,c=5,b2=40‒25=15,故椭圆方程为y240+x215=1.10.一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解:两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题设条件,可知|MO1|=1+R,|MO2|=9-R,则|MO1|+|MO2|=10>|O1O2|=6.由椭圆的定义,知M在以O1,O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为x225+y216=1.能力提升1.椭圆mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( )A.(0,±m-n)B.(±m-n,0)C.(0,±n-m)D.(±n-m,0)解析:化为标准方程是x2-n+y2-m=1.∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y 轴上,且c =-m -(-n )=n -m .答案:C2.设P 是椭△PF 1F 2是( )圆x 216+y 212=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a=8.又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3.∵|F 1F 2|=2c=216-12=4,∴△PF 1F 2为直角三角形.答案:B3.设F 1,F 2是椭△PF 1F 2的面积等圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则于( )A.5B.4C.3D.1答案:B 4.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ·FP 的最大值为( )A.2 B.3 C.6 D.8解析:由题意得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),≤x 0≤2),则y 20=3(1-x 204)(‒2OP ·FP =x 0(x 0+1)+y 20=x 20+x 0+y 20=x 20+x 0+3(1-x 204)=14(x 0+2)2+2,当x 0=26.时,·取得最大值为答案:C5.设P为椭·|PF 2|的最大值是 .圆x 24+y 29=1上的任意一点,F 1,F 2分别为其上、下焦点,则|PF 1|解析:由已知a=3,|PF 1|+|PF 2|=2a=6,则|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时,式中取等号.故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.答案:9★6.已知椭圆x 24+y 2=1的两个焦点为F 1,F 2,过左焦点F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|PF 2| . 解析:由椭圆的方程可知F 1的坐标为(‒3,0),设P (P (,得|y|‒3,y ),把‒3,y )代入椭圆的方程中=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,故|PF 2|=4-|PF 1|=4‒12=72.答案:727.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (63,3)和B (223,1)的椭圆;(2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.分析(1)因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以可直接设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),代入A ,B 两点的坐标,列出方程组,求出m ,n 即可.(2)先求出公共焦点,再结合过点(-3,2)求解.解:(1)设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (63,3)和B (22,1),∴{m ·(63)2+n ·(3)2=1,m ·(223)2+n ·12=1,解得{m =1,n =19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 29=1.(2)∵已知椭a=3,b=2,且焦点在x 轴上,圆x 29+y 24=1中∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1.∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a 2+4a 2-5=1.∴a 2=15或a 2=3(舍去).∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.★8.已知椭圆方程∠F 1PF 2=α,为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),点P 是椭圆上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,且求△PF 1F 2的面积.解:设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m+n=2a.又|F 1F 2|=2c ,∠F 1PF 2=α,则4c 2=m 2+n 2-2mn cos α,∴4c 2=(m+n )2-2mn (1+cos α),∴2mn (1+cos α)=4a 2-4c 2=4b 2,∴mn =2b 21+cosα.α∴S △F 1PF 2=12mnsin =b 2sinα1+cosα=2b 2sin α2cos α22cos 2α2=b 2tan α2.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程椭圆强化练含解析新人教A版选修111104

高中数学第二章圆锥曲线与方程椭圆强化练含解析新人教A版选修111104

高中数学第二章圆锥曲线与方程椭圆强化练含解析新人教A 版选修111104椭圆(强化练)[学生用书P103(单独成册)]一、选择题1.若点A (a ,1)在椭圆x 24+y 22=1的内部,则a 的取值范围是 ( )A .-2<a < 2B .a <-2或a > 2C .-2<a <2D .-1<a <1解析:选A.由题意知a 24+12<1,解得-2<a < 2.2.若椭圆的焦距与短轴长相等,则此椭圆的离心率为( ) A.15 B .55 C.12D .22解析:选D.依题意,2c =2b , 所以b =c ,所以a 2=b 2+c 2=2c 2, 所以e 2=12,所以e =22. 3.焦点在x 轴上,短轴长为8,离心率为35的椭圆的标准方程是( )A.x 2100+y 236=1 B .x 2100+y 264=1 C.x 225+y 216=1 D .x 225+y 29=1解析:选C.由题意,知2b =8,得b =4,所以b 2=a 2-c 2=16.又e =c a =35,解得c =3,a =5.又焦点在x 轴上,故椭圆的标准方程为x 225+y 216=1.4.已知以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( )A .3 2B .2 6C .27D .4 2解析:选C.设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由⎩⎨⎧b 2x 2+a 2y 2-a 2b 2=0,x +3y +4=0得(a 2+3b 2)y 2+83b 2y +16b 2-a 2b 2=0,由Δ=0及c =2,可得a 2=7,所以2a =27.故选C.5.若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,0分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为( )A.1617B .41717C.45D .255解析:选D.依题意得c +b 2c -b 2=53,所以c =2b , 所以a =b 2+c 2=5b , 所以e =c a=2b5b=255.6.椭圆x 212+y 23=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是( )A .-34或34B .-32或32C .-22或22D .-34或34解析:选A.由题可得c =a 2-b 2=3,不妨令F 1(-3,0),因为PF 1的中点在y 轴上,所以设P (3,y 0),由点P 在椭圆x 212+y 23=1上,得y 0=±32,所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,-34或⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34.故选A.7.已知F 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点,点F 关于直线x +y =0的对称点A 在椭圆C 上,则椭圆C 的离心率为( )A.24 B .22C.33D .12解析:选B.设F (-c ,0),由题意知点A 的坐标为(0,c ),因为点A 在椭圆C 上,所以b =c ,所以a 2=b 2+c 2=2c 2,即a =2c ,所以椭圆C 的离心率为c a=c2c=22.故选B. 8.若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2B .1C .0D .0或1解析:选A.由题意,得4m 2+n2>2,所以m 2+n 2<4,所以点P (m ,n )是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点, 所以点P (m ,n )在椭圆x 29+y 24=1内,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1有2个交点.故选A.9.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△F 1PF 2的面积为 ( )A .5B .4C .3D .1解析:选B.由椭圆方程,得a =3,b =2.所以c =5,所以|PF 1|+|PF 2|=2a =6.又|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,所以|PF 1|=4,|PF 2|=2.又|F 1F 2|=25,22+42=(25)2,所以△F 1PF 2是直角三角形,所以△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×4×2=4.故选B.10.若O 和F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( )A .2B .3C .6D .8解析:选C.由题意得点F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则有x 204+y 203=1,可得y 2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 204(-2≤x 0≤2).因为FP →=(x 0+1,y 0),OP →=(x 0,y 0),所以OP →·FP →=x 0(x 0+1)+y 20=x 0(x 0+1)+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 204=x 24+x 0+3.此二次函数的图象的对称轴为直线x 0=-2.又-2≤x 0≤2,所以当x 0=2时,OP →·FP →取得最大值,最大值为224+2+3=6.二、填空题11.已知椭圆x 2m 2+y 29=1(m >0)的左焦点为F 1(-4,0),则它的离心率为____________.解析:由题意,得m 2=9+42=25,因为m >0,所以m =5,所以椭圆的离心率为45.答案:4512.已知椭圆的焦点在y 轴上,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为215,则此椭圆的标准方程为____________.解析:由题意,知2a =8,2c =215,所以a =4,c =15,所以b 2=a 2-c 2=16-15=1.又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的标准方程为y 216+x 2=1.答案:y 216+x 2=113.椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是____________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2+ny 2=1,y =1-x 消去y 得,(m +n )x 2-2nx +n -1=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1+x 2=2nm +n , 所以x 0=nm +n,代入y =1-x 得y 0=mm +n.由题意y 0x 0=22,所以m n =22.答案:2214.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,直线y =x被椭圆C 截得的线段长为4105,则椭圆C 的方程为________.解析:由题意知a 2-b 2a =32,可得a 2=4b 2.椭圆C 的方程可化简为x 2+4y 2=a 2. 将y =x 代入可得x =±5a5, 因此2×25a 5=4105,可得a =2.因此b =1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.答案:x 24+y 2=1三、解答题15.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2); (2)离心率为513,且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.解:(1)由焦距是4可得c =2,又焦点在y 轴上,则焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义,知2a =32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a =4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12. 所以椭圆的标准方程为y 216+x 212=1.(2)由题意,知2a =26,即a =13,又e =c a =513,所以c =5,所以b 2=a 2-c 2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2144=1.16.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E于A ,B 两点,|AF 1|=3|BF 1|.(1)若|AB |=4,△ABF 2的周长为16,求|AF 2|; (2)若cos ∠AF 2B =35,求椭圆E 的离心率.解:(1)由|AF 1|=3|F 1B |,|AB |=4, 得|AF 1|=3,|F 1B |=1. 因为△ABF 2的周长为16, 所以由椭圆定义可得4a =16, |AF 1|+|AF 2|=2a =8. 故|AF 2|=2a -|AF 1|=8-3=5.(2)设|F 1B |=k ,则k >0,且|AF 1|=3k ,|AB |=4k . 由椭圆定义可得|AF 2|=2a -3k , |BF 2|=2a -k .在△ABF 2中,由余弦定理可得|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ,即(4k )2=(2a -3k )2+(2a -k )2-65(2a -3k )·(2a -k ),化简可得(a +k )(a -3k )=0,而a +k >0,故a =3k .于是有|AF 2|=3k =|AF 1|,|BF 2|=5k . 因此|BF 2|2=|F 2A |2+|AB |2,可得F 1A ⊥F 2A , 故△AF 1F 2为等腰直角三角形. 从而c =22a , 所以椭圆E 的离心率e =c a =22. 17.已知椭圆C :x 23+y 2=1.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知定点E (-1,0),若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于A ,B 两点,则是否存在实数k ,使得以AB 为直径的圆过点E ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意,知a 2=3,b 2=1,则a =3,c =a 2-b 2=2, 所以椭圆C 的离心率为c a=23=63. (2)假设存在实数k 满足条件,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +2,x 23+y 2=1得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0, 所以Δ=(12k )2-36(1+3k 2)>0,即k >1或k <-1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-12k1+3k2,x 1·x 2=91+3k 2,①而y 1·y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4. 要使以AB 为直径的圆过点E (-1,0),只需AE ⊥BE , 即AE →·BE →=0,即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0, 所以(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0.② 将①代入②,解得k =76,满足题意.综上,存在k =76,使得以AB 为直径的圆过点E .18.如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD→=-1.(1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点,是否存在常数λ,使得OA →·OB →+λPA →·PB →为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ). 又点P 的坐标为(0,1),且PC →·PD →=-1,于是⎩⎪⎨⎪⎧1-b 2=-1,c a =22,a 2-b 2=c 2,解得a =2,b =2,所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +1,点A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立直线与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0恒成立. 由根与系数的关系可得,x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1. 从而,OA →·OB →+λPA →·PB →=x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=(-2λ-4)k 2+(-2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2, 所以当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3. 此时,OA →·OB →+λPA →·PB →=-3为定值. 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 即直线CD .此时,OA →·OB →+λPA →·PB →=OC →·OD →+PC →·PD →=-2-1=-3. 故存在常数λ=1,使得OA →·OB →+λPA →·PB →为定值-3.。

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.4.1

2018秋新版高中数学人教A版选修2-1习题:第二章圆锥曲线与方程 2.4.1
又������23=8x3,即[2 2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2.
★ 9 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验,设计方案如右图.航天器运行(按顺时针
������2 + ������2 方向)的轨迹方程为100 25=1,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以 y 轴为

m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=3 时,x=± 6,故水面宽为 2 6 m. 答案:2 6
7 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A,B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不
( ) 对称轴、M 0,674 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为 D(8,0).观测点 A(4,0),B(6,0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程. (2)试问:当航天器在 x 轴上方时,观测点 A,B 测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨 指令?
64
解:(1)设曲线方程为 y=ax2+ 7 (a<0),
( ) 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2
2
������
-
������ 2
,与
y2=2px
联立,从而有
4x2-5px+p2=0,
5������
故 x1+x2= 4 .
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即 p=4. 故抛物线的方程为 y2=8x. (2)由(1),得 p=4,代入 4x2-5px+p2=0,得 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4, 则 y1=-2 2,y2=4 2. 故 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设������������=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4λ,-2 2+4 2λ),

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测卷新人教A版选修2-1

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测卷新人教A版选修2-1

第二章 圆锥曲线与方程章末检测卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设P 是椭圆x 2169+y 2144=1上一点,F 1、F 2是椭圆的焦点,若|PF 1|等于4,则|PF 2|等于( )A.22B.21C.20D.13 答案 A解析 由椭圆的定义知,|PF 1|+|PF 2|=26, 又∵|PF 1|=4,∴|PF 2|=26-4=22.2.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22,0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62,0 D.(3,0) 答案 C解析 将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=12,∴c 2=a 2+b 2=32, ∴c =62, 故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62,0.3.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的虚轴长是实轴长的2倍,则该双曲线的一条渐近线方程为( )A.y =14xB.y =4xC.y =12x D.y =2x答案 D解析 根据题意,有b =2a ,则ba=2, 故其中一条渐近线方程为y =2x , 故选D.4.设F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点,若F 1,F 2,P (0,2b )是等边三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A.32 B.2 C.52 D.3 答案 B解析 由tan π6=c 2b =33,有3c 2=4b 2=4(c 2-a 2),则e =c a =2,故选B.5.双曲线x 213-y 23=1的渐近线与圆(x -4)2+y 2=r 2(r >0)相切,则r 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D. 3 答案 D解析 因为双曲线的渐近线为y =±313x ,即3x ±13y =0,已知圆的圆心为(4,0),利用直线与圆相切, 得到d =|43±0|3+13=3=r ,故r =3,故选D.6.若抛物线x 2=2py 的焦点与椭圆x 23+y 24=1的下焦点重合,则p 的值为( )A.4B.2C.-4D.-2 答案 D解析 椭圆x 23+y 24=1的下焦点为(0,-1),即为抛物线x 2=2py 的焦点,∴p2=-1,∴p =-2. 7.已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的左,右焦点,若MF 1→·MF 2→<0,则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-36,36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-223,223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,233 答案 A解析 由题意知a =2,b =1,c =3, ∴F 1(-3,0),F 2(3,0),∴MF 1→=(-3-x 0,-y 0),MF 2→=(3-x 0,-y 0). ∵MF 1→·MF 2→<0,∴(-3-x 0)(3-x 0)+y 20<0, 即x 20-3+y 20<0.∵点M (x 0,y 0)在双曲线上, ∴x 202-y 20=1,即x 20=2+2y 20, ∴2+2y 20-3+y 20<0,∴-33<y 0<33.故选A. 8.过双曲线x 2-y 22=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 答案 C解析 当直线l 交双曲线于左右两支时,因为2a =2,而|AB |=4,故可有2条,若直线l 交双曲线于同支,当直线l 垂直于x 轴时,|AB |=4,故只有1条,所以满足条件的直线有3条.9.已知双曲线x 2a -y 24=1的渐近线方程为y =±233x ,则此双曲线的离心率是( )A.72 B.133 C.53 D.213答案 D解析 ∵双曲线x 2a -y 24=1的渐近线方程为y =±2ax ,则2a =233,即4a =43,∴a =3,半焦距c =3+4=7,∴e =73=213,故选D. 10.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线x 2m 2-y 2n2=1(m >0,n >0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.12答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2=m 2+n 2,c 2=am ,2n 2=2m 2+c 2,解得c 2a 2=14,∴e =c a =12.11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP→的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 答案 C解析 由椭圆方程得F (-1,0),设P (x 0,y 0), 则OP →·FP →=(x 0,y 0)·(x 0+1,y 0)=x 20+x 0+y 20. ∵P 为椭圆上一点,∴x 204+y 203=1.∴OP →·FP →=x 20+x 0+3(1-x 204)=x 204+x 0+3=14(x 0+2)2+2.∵-2≤x 0≤2,∴OP →·FP →的最大值在x 0=2时取得,且最大值等于6.12.已知抛物线y 2=x ,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA →·OB →=2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值是( ) A.2 B.3 C.1728 D.10答案 B解析 如图,可设A (m 2,m ),B (n 2,n ),其中m >0,n <0,则OA →=(m 2,m ),OB →=(n 2,n ),OA →·OB →=m 2n 2+mn =2, 解得mn =1(舍)或mn =-2.∴l AB :(m 2-n 2)(y -n )=(m -n )·(x -n 2), 即(m +n )(y -n )=x -n 2, 令y =0, 解得x =-mn =2,∴C (2,0),点C 为直线AB 与x 轴的交点.S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×2×m +12×2×(-n )=m -n ,S △AOF =12×14×m =18m ,则S △AOB +S △AOF =m -n +18m =98m -n =98m +2m≥298m ·2m=3, 当且仅当98m =2m ,即m =43时等号成立.故△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值为3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,|AF |=2,则|BF |=____. 答案 2解析 设点A ,B 的横坐标分别是x 1,x 2,则依题意有焦点F (1,0),|AF |=x 1+1=2, ∴x 1=1,直线AF 的方程是x =1,故|BF |=|AF |=2. 14.过椭圆x 216+y 29=1的焦点F 的弦中最短弦长是________. 答案 92解析 由椭圆的几何性质可知,过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短,弦长为2b2a =184=92. 15.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为________________. 答案 3x 2-y 2=1解析 由题意可得e =ca=2,则c =2a ,设其一焦点为F (c ,0),渐近线方程为bx ±ay =0, 那么d =bc b 2+a 2=bcc=b =1, 而c 2=4a 2=a 2+b 2,解得a 2=13,那么所求的双曲线方程为3x 2-y 2=1.16.已知直线l :x -y -m =0经过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点,l 与C 交于A ,B 两点.若|AB |=6,则p 的值为________. 答案 32解析 因为直线l 过抛物线的焦点, 所以m =p2,由⎩⎪⎨⎪⎧x -y -p 2=0,y 2=2px得x 2-3px +p 24=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=3p , 故|AB |=x 1+x 2+p =4p =6, ∴p =32.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)中心在原点,焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且|F 1F 2|=213,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7,求这两条曲线的方程.解 设椭圆的方程为x 2a 21+y 2b 21=1,双曲线的方程为x 2a 22-y 2b 22=1,半焦距c =13,由已知得a 1-a 2=4,c a 1∶c a 2=3∶7, 解得a 1=7,a 2=3,所以b 21=36,b 22=4,所以两条曲线的方程分别为 x 249+y 236=1,x 29-y 24=1.18.(12分)已知直线y =x -4被抛物线y 2=2mx (m ≠0)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.解 设直线与抛物线的交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2mx ,y =x -4,得x 2-2(4+m )x +16=0,所以x 1+x 2=2(4+m ),x 1x 2=16,所以弦长为(1+k 2)(x 1-x 2)2=2[4(4+m )2-4×16]=22(m 2+8m ). 由22(m 2+8m )=62,解得m =1或m =-9. 经检验,m =1或m =-9均符合题意.所以所求抛物线的标准方程为y 2=2x 或y 2=-18x .19.(12分)已知椭圆C 的左,右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率是63,直线y =t 与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P .(1)求椭圆C 的方程;(2)若圆P 与x 轴相切,求圆心P 的坐标. 解 (1)因为c a =63,且c =2, 所以a =3,b =a 2-c 2=1, 所以椭圆C 的方程为x 23+y 2=1.(2)由题意知P (0,t )(-1<t <1).由⎩⎪⎨⎪⎧y =t ,x 23+y 2=1得x =±3(1-t 2),所以圆P 的半径为3(1-t 2).当圆P 与x 轴相切时,|t |=3(1-t 2),解得t =±32, 所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0,±32. 20.(12分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),离心率e =223,求椭圆的标准方程.解 (1)当焦点在x 轴上时,设其方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).∵离心率e =223,∴c a =223.又∵a 2=b 2+c 2,∴a =3b . 又∵椭圆经过点P (3,0), ∴9a 2+0b2=1,∴a 2=9,b 2=1.∴椭圆的标准方程为x 29+y 2=1.(2)当焦点在y 轴上时,设其方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).同理可得a =3b .又∵椭圆经过点P (3,0),∴0a 2+9b2=1,∴b 2=9,∴b =3,a =9. ∴椭圆的标准方程为y 281+x 29=1.21.(12分)从椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F 1,且它的长轴的一个端点A ,短轴的一个端点B 的连线AB 平行于OM . (1)求椭圆的离心率;(2)设Q 是椭圆上任一点,F 2是椭圆的右焦点,求∠F 1QF 2的取值范围. 解 (1)依题意知F 1点坐标为(-c ,0), 设M 点坐标为(-c ,y ).若A 点坐标为(-a ,0),则B 点坐标为(0,-b ),则直线AB 的斜率k =-b a .(A 点坐标为(a ,0),B 点坐标为(0,b )时,同样有k =-ba)则有y -c =-b a ,∴y =bc a.① 又∵点M 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上,∴c 2a 2+y 2b 2=1.②由①②得c 2a 2=12,∴c a =22,即椭圆的离心率为22. (2)设|QF 1|=m ,|QF 2|=n ,∠F 1QF 2=θ, 则m +n =2a ,|F 1F 2|=2c .在△F 1QF 2中,cos θ=m 2+n 2-4c 22mn =(m +n )2-2mn -2a 22mn =a 2mn -1≥a 2(m +n 2)2-1=0.当且仅当m =n 时,等号成立, ∴0≤cos θ≤1,∴θ∈[0,π2].即∠F 1QF 2的取值范围是[0,π2]. 22.(12分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率等于32,它的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线上. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,点P (2,3),Q (2,-3)在椭圆上,A ,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点,当A ,B 运动时,满足∠APQ =∠BPQ ,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由.解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =-2上, ∴b =2, 又c a =32,a 2=b 2+c 2, ∴a =4,c =23,∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1.(2)斜率为定值.理由如下:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∵∠APQ =∠BPQ ,∴直线PA ,PB 的斜率互为相反数, 可设直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为-k , 直线PA 的方程为y -3=k (x -2),联立⎩⎨⎧y -3=k (x -2),x 2+4y 2=16,消去y ,得(1+4k 2)x 2+8k (3-2k )x +4(3-2k )2-16=0, ∴x 1+2=8k (2k -3)1+4k2, 同理可得x 2+2=-8k (-2k -3)1+4k 2=8k (2k +3)1+4k 2, ∴x 1+x 2=16k 2-41+4k 2,x 1-x 2=-163k1+4k 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k (x 1+x 2)-4k x 1-x 2=36, 即直线AB 的斜率为定值36.。

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第二章 圆锥曲线与方程专题强化训练(二) (建议用时:45分钟)[基础达标练]一、选择题1.已知F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a 分别为3和5时,点P 的轨迹分别为 ( )A .双曲线和一条直线B .双曲线和一条射线C .双曲线的一支和一条射线D .双曲线的一支和一条直线C [依题意,得|F 1F 2|=10.当a =3时,|PF 1|-|PF 2|=2a =6<|F 1F 2|,可知点P 的轨迹为双曲线的右支;当a =5时,|PF 1|-|PF 2|=2a =10=|F 1F 2|,可知点P 的轨迹为以F 2为端点的一条射线.故选C .]2.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程为 ( ) A .x 22+y 24=1B .x 2+y 26=1C .x 26+y 2=1D .x 28+y 25=1B [椭圆9x 2+4y 2=36可化为x 24+y 29=1,可知焦点在y 轴上,焦点坐标为(0,±5),故可设所求椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),则c = 5.又2b =2,即b =1,所以a 2=b 2+c 2=6,则所求椭圆的标准方程为x 2+y 26=1.]3.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率e =( )【导学号:46342122】A . 2B .2C . 3D .3A [由题意知-b a ×b a =-1,即b 2a 2=1,∴e 2=1+b 2a2=2,即e = 2.]4.直线y =13⎝ ⎛⎭⎪⎫x -72与双曲线x 29-y 2=1交点的个数是( )A .0B .1C .2D .3B [双曲线的渐近线方程为y =±13x ,则直线y =13⎝ ⎛⎭⎪⎫x -72与双曲线的一条渐近线平行,所以直线与双曲线只有一个交点.]5.若直线mx +ny =4和圆O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点个数为( )A .2B .1C .0D .0或1 A [由题意,得4m 2+n2>2,所以m 2+n 2<4,则-2<m <2,-2<n <2,所以点P (m ,n )在椭圆x 29+y 24=1内,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1有2个交点.故选A .]二、填空题6.已知抛物线的离心率为e ,焦点为(0,e ),则抛物线的标准方程为________.x 2=4y [由题意知e =1,则p2=1,从而2p =4.抛物线方程为x 2=4y .]7.椭圆的两个焦点为F 1,F 2,短轴的一个端点为A ,且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.32[由题意知|F 1A |=|F 2A |=a ,|F 1F 2|=2C .由余弦定理得4c 2=a 2+a 2-2a 2cos 120°. 即3a 2=4c 2,所以e 2=c 2a 2=34.所以e =32.] 8.点P (8,1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦,则这条弦所在直线的方程是________. 2x -y -15=0 [设弦的两个端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 21-4y 21=4 ①x 22-4y 22=4 ②②-①整理得y 2-y 1x 2-x 1=x 2+x 14(y 2+y 1),又x 1+x 2=16,y 1+y 2=2. 所以y 2-y 1x 2-x 1=2,即弦所在的直线的斜率为2. 故弦所在的直线方程为2x -y -15=0.] 三、解答题9.已知椭圆的一个顶点为A (0,-1),焦点在x 轴上,右焦点到直线x -y +22=0的距离为3.(1)求椭圆的方程.(2)设椭圆与直线y =kx +m (k ≠0)相交于不同的两点M ,N ,当|AM |=|AN |时,求m 的取值范围.【导学号:46342123】[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2=1(a >1), 则右焦点F (a 2-1,0), 由题设,知|a 2-1+22|2=3,解得a 2=3,故所求椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)设点P 为弦MN 的中点,由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 23+y 2=1,得(3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2-1)=0, 由于直线与椭圆有两个交点,所以Δ>0,即m 2<3k 2+1, ① 所以x P =x M +x N2=-3mk3k 2+1,从而y P =kx P +m =m3k 2+1,所以k AP =y P +1x P =-m +3k 2+13mk,又|AM |=|AN |,所以AP ⊥MN ,则-m +3k 2+13mk =-1k,即2m =3k 2+1, ②把②代入①得2m >m 2,解得0<m <2, 由②得k 2=2m -13>0,解得m >12,故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2.10.已知椭圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,两个焦点为(-1,0),(1,0). (1)求椭圆C 的方程;(2)E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.[解] (1)由题意,c =1,设椭圆的方程为x 21+b 2+y 2b2=1.因为A 在椭圆上,所以11+b 2+94b 2=1,解得b 2=3或b 2=-34(舍去).所以椭圆的方程为x 24+y 23=1.(2)证明:设直线AE 的方程为y =k (x -1)+32,代入x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +4⎝ ⎛⎭⎪⎫32-k 2-12=0, 设E (x E ,y E ),F (x F ,y F ),所以x E =4⎝ ⎛⎭⎪⎫32-k 2-123+4k 2,y E =kx E +32-k . 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代k ,可得x F =4⎝ ⎛⎭⎪⎫32+k 2-123+4k2,y F =-kx F +32+k .所以直线EF 的斜率k EF =y F -y E x F -x E =-k (x F +x E )+2k x F -x E =12.即直线EF 的斜率为定值,其值为12.[能力提升练]1.设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =kx(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( ) A .12 B .1 C .32D .2 D [由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y =k x(k >0)得k =1×2=2,故选D .] 2.已知双曲线C 的两条渐近线为l 1,l 2,过右焦点F 作FB ∥l 1且交l 2于点B ,过点B 作BA ⊥l 2且交l 1于点A .若AF ⊥x 轴,则双曲线C 的离心率为( )A . 3B .233C .62D .2 2B [如图,延长AF 交l 2于A 1,则易得|OA |=|OA 1|.在△OAA 1中,F 为AA 1的中点,而BF ∥OA ,所以B 为OA 1的中点.又AB ⊥OA 1,于是△OAA 1中边OA 1上的高线与中线重合,从而△OAA 1为等边三角形,所以边OA 即直线l 1与x 轴的夹角为30°,所以e =1cos 30°=233.]3.与双曲线x 216-y 24=1有公共焦点,且过点(32,2)的双曲线的标准方程为________.【导学号:46342124】x 212-y 28=1 [法一:设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).又点(32,2)在双曲线上,故(32)2a 2-4b 2=1.又a 2+b 2=16+4=20,得a 2=12,b 2=8,则双曲线的标准方程为x 212-y 28=1. 法二:设双曲线的标准方程为x 216-k -y 24+k=1(-4<k <16,且k ≠0),将点(32,2)代入方程,得k =4,则双曲线的标准方程为x 212-y 28=1.]4.已知O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=42x 的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=42,则△POF 的面积为________.2 3 [设点P (x 0,y 0),则点P 到准线x =-2的距离为x 0+2,由抛物线的定义,得x 0+2=42,所以x 0=32,则|y 0|=26,故△POF 的面积为12×2×26=2 3.]5.已知椭圆G :x 24+y 2=1.过点(m,0)作圆x 2+y 2=1的切线l 交椭圆G 于A ,B 两点.(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB |表示为m 的函数,并求|AB |的最大值. [解] (1)由已知得a =2,b =1,所以c =a 2-b 2= 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(-3,0),(3,0), 离心率为e =c a =32.(2)由题意知|m |≥1.当m =1时,切线l 的方程为x =1,点A ,B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32. 此时|AB |= 3.当m =-1时,同理可得|AB |= 3.当|m |>1时,设切线l 的方程为y =k (x -m ).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-4=0.设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则 x 1+x 2=8k 2m 1+4k 2,x 1x 2=4k 2m 2-41+4k 2.又由l 与圆x 2+y 2=1相切,得|km |k 2+1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =(1+k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1+4k 2)2-4(4k 2m 2-4)1+4k 2=43|m |m 2+3. 由于当m =±1时,|AB |=3,所以|AB |=43|m |m 2+3,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞).因为|AB |=43|m |m 2+3=43|m |+3|m |≤2, 当且仅当m =±3时,|AB |=2, 所以|AB |的最大值为2.。

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