人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》章节复习---《因式分解》
+第十四章+《整式的乘法与因式分解》小结与复习+课件++2023-2024学年人教版八年级数学上册
五、因式分解
1.因式分解的定定义 把一个多项式化为几个__整__式____的__乘__积____的形式,像
这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做
把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法
(1)提公因式法
步骤： 1.提公因式； 2.套用公式；
的一个因式；
注：单项式乘单项式，积为_单__项__式___.
2.单项式乘多项式： (1)单项式分别_乘__以___多项式的每一项；
(2)将所得的积_相__加_____. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项 数与原多项式的项数__相__同____. 3.多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多 项式的每__一__项__，再把所得的积__相__加____.
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值; 解：n-3+2n+1=10,
n=4; （3） 3×27×9 = 32x-4,求x的值;
解：3×27×9 =3×33×32=32x-4,
2x-4=6;
x=5.
考点二 整式的运算
例2 计算：
(1)(-4x)·(2x2+3x-1)；
（2）
2 3
ab2
ab a b 得的幂_相__乘__. (
= n
)Hale Waihona Puke nn ____________
二、整式的乘法 1.单项式乘单项式：
(1)将_单__项__式__的__系__数__相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用_同__底__数__幂__的乘法，
作为积的一个因式； (3)单独出现的字母，连同它的_指__数___，作为积
人教版八年级上册数学课件：第14章整式的乘法与因式分解单元复习
数学
23.请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和 (只需表示，不必化简)； (2)由(1)，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
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数学
(3)如果图中的 a，b(a＞b)满足 a2＋b2＝53，ab＝14，求：
①a＋b 的值；②a2－b2 的值．
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数学
17.若 xm＝3，xn＝5，则 x2m＋n 的值为 45 .
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数学
9.【例 4】已知 a2＋a－4＝0，则代数式 a(a＋1)的值是( A )
A．4
B.8
C.12
D.16
小结：用整体思想解决问题，a2＋a＝4.
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数学
18.已知 a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是( D )
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数学
解：原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2 ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2＝－4xy＋3y2. (1)当 x＝1，y＝－3 时， 原式＝－4×1×(－3)＋3×(－3)2＝39. (2)当 4x－3y＝0 时，原式＝－y(4x－3y)＝0. 小结：(1)先化简后直接代入求值；(2)对多项式进行变形后运 用整体思想代入求值.
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数学
解：(1)两个阴影图形的面积和可表示为 a2＋b2，(a＋b)2－2ab. (2)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab (3)①∵a2＋b2＝53，ab＝14， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝53＋2×14＝81，∴a＋b＝±9. 又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9. ②∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝53－2×14＝25，∴a－b＝±5. 又∵a＞b＞0，∴a－b＝5， ∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝9×5＝45.
整式的乘法与因式分解单元复习人教版八年级数学上册
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（2）（a+1）（a+5）+4.
原式＝a2+6a+5+4 ＝（a+3）2．
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20. 求值：
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4. 计算： （1）
原式＝-3x3y3+2x2y4+
xy5．
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（2）（-2ab）（3a2-2ab-4b2）；
解：原式=x2+6x+9+x2-4-x2-2x-1 =x2+4x+4. 当x2+4x=0时， 原式=x2+4x+4=4．
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19. 分解因式：
（1）（x-2y）2+8xy；
原式＝x2-4xy+4y2+8xy ＝x2+4xy+4y2 ＝（x+2y）2．
（1）a3·a5= a8
；
（2）a5÷a3= a2
；
（3）（a3）5= a15
；
（4）（-4a5）3= -64a15 ；
（5）-5a2b·（-3ab2）=
15a3b3
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课教学课件复习(单项式与单项式、多项式相乘)
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米
的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方
形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
知识讲解
你能用不同的形式表示长方形
绿地的面积吗？
此时绿地面积：
方法1 =( + ) ( + )①
化为单项式乘单项式）
单项式与多项式的乘法法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例3
计算:
(1)
3a(5a b)
(2) - 7x y 2 x 3 y
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
a
2a 3b 0,
∴
∴
2b 3 0,
b
9
,
4
3
.
2
拓展练习
计算：
x2+5x+6
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
人教版八年级数学上册课件：14章 整式的乘法与因式分解--知识点复习 (共53张PPT)
A.(6a3+3a2)÷
1 2
a=12a2+6a
B.(6a3-4a2+2a)÷2a=3a2-2a
C.(9a7-3a3)÷(﹣
1 3
a3)=﹣27a4+9
C.( 14a2+a)÷(﹣12a)=﹣12 a-2
5.一个多项式与﹣2x2的积为﹣2x5+4x3﹣x2，则这个多项式
为
.
6.计算：⑴
(9x2y-6xy2)÷3xy;
2.已知M＝ a-1，N＝a2- a(a为任意实数)，则M，N的
大小关系为( A ) A. M＜N B. M=N C. M＞N D.不能确定
3.若x2+y2+ =2x+y，则y-x= .
3、am﹣n=am ÷ an(a≠0,m,n都
是正整数，并且m＞n).
10
知识点一：幂的运算性质
巩固练习
1.(易错题)若(1-x)1-3x＝1，则x的取值有（ C ）个.
A.0 B.1 C.2 D.3 4
2.若3x＝4，9y＝7，则3x-2y的值为 7 . 3.已知am＝3，an＝2，则a2m-n的值为 4.5 .
为( B ) A M<N
B M＞N
C M=N D.不能确定
10.计算：(1)(x+1)(x+4)； (2)(y-5)(y-6)； (3)(m-3)(m+4)
(x+p)(x+q)
18
知识点二：整式的运算
知识回顾
单项式的除法法则： 系数、同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母
19Βιβλιοθήκη 知识点二：整式的运算2
重点难点
重点:运用整式的乘法法则和除法法则进行运算;因式分 解. 难点:应用整式的乘法和因式分解决问题.
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章 整式的乘法与因式分解 章末复习(四) 整式的乘法与因式分解
17．已知a－b＝5，ab＝3，求代数式a3b－2a2b2＋ab3的值. 解：a3b－2a2b2＋ab3＝ab(a2－2ab＋b2)＝ab(a－b)2.当a－b＝5，ab＝3 时，原式＝3×52＝75 18．已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值． 解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12. 又x＋y＝3，∴x－y＝4.∴2x＝7. ∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
【核心素养】 19．【数形结合思想】数学活动课上，老师准备了若干个如图①所示 的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形， C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．
(1)观察图②，请你写出下列三个代数式：(a＋b)2，a2＋b2，ab之间的等 量关系_(_a_＋__b_)_2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_；
知识点二 整式的乘除运算 6．下列运算正确的是( D ) A．x·2x2y2＝2x2y2 B．(a－2)2＝a2－4
C．(－2a2)3÷(a2 )2＝－16a D．(2a2－a)2÷a2＝4a2－4a＋1
7．(河北中考)墨迹覆盖了等式“x3 x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖 的是( D ) A．＋ B．－ C．× D．÷
(2)若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的矩形，则需要A种纸片1张，B种：
①已知：a＋b＝5，a2＋b2＝11，求ab的值； ②已知(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20，求x－2 019的值．
解：(3)①∵a＋b＝5， ∴(a＋b)2＝25，即a2＋b2＋2ab＝25. 又∵a2＋b2＝11，∴ab＝7 ②设x－2 019＝a，则x－2 018＝a＋1，x－2 020＝a－1. ∵(x－2 018)2＋(x－2 020)2＝20， ∴(a＋1)2＋(a－1)2＝20， 整理得a2＝9，即(x－2 019)2＝9. ∴x－2 019＝±3
人教版初二数学上册：整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固(提高)知识讲解
整式的乘除与因式分解 全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx=，求6155m x -的值．【思路点拨】由于已知2mx 的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()m x，再代入计算．【答案与解析】 解：∵25mx=，∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例1】【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
人教版八年级数学上册作业课件 第十四章整式的乘法与因式分解 因式分解 公式法 用完全平方公式分解因式
第十四章 整式的乘法与因式分解
１４． ３ 因式分解
14.3.2 公式法 第2课时 用完全平方公式分解因式
完全平方公式
1．(3分)下列式子中是完全平方式的是( D) A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2 D．a2＋2a＋1 2．(3分)已知x2－12xy＋m是一个完全平方式，则m＝__3_6_；已知x2＋ kx＋4是一个完全平方式，则k＝__±__4_．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(a2－2a－1)·(a2－2a＋3)＋4进行因 式分解．
解：设a2－2a＝b， 原式＝(b－1)(b＋3)＋4 ＝b2＋2b－3＋4 ＝(b＋1)2 ＝(a2－2a＋1)2 ＝[(a－1)2]2 ＝(a－1)4
(4)(x2＋1)2－4x2. 解：原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x) ＝(x＋1)2(x－1)2
16．(10分)利用因式分解求值： (1)(x＋y)(x2＋3xy＋y2)－5xy(x＋y)，其中x＝6.6，y＝－3.4； 解：原式＝(x＋y)(x2＋3xy＋y2－5xy)＝(x＋y)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)(x－y)2， 当x＝6.6，y＝－3.4时，原式＝3.2×102＝320 (2)已知a(a＋1)－(a2＋2b)＝－1，求a2－4ab＋4b2－2a＋4b＋1的值． 解：原式＝(a－2b)2－2(a－2b)＋1＝(a－2b－1)2.∵a(a＋1)－(a2＋2b)＝a2＋a －a2－2b＝a－2b＝－1，∴原式＝(－1－1)2＝4
(4)(m＋n)2－6(m＋n)＋9. 解：原式＝(m＋n－3)2
先提公因式再用完全平方公式分解因式
7．(3分)(株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是( D) A．x2－1＝(x－1)2 B．a3－2a2＋a＝a2(a－2) C．－2y2＋4y＝－2y(y＋2) D．m2n－2mn＋n＝n(m－1)2 8．(3分)(扬州中考)分解因式：a3－2a2＋a＝__a_(a_－__1_)_2_．
第14章 整式的乘法与因式分解 人教版八年级上册 第十四章 章末复习
(3)xy2－x＝__x_(y_＋__1_)_(y_－__1_)__.
8．若x2＋kx－10＝(x－5)(x＋2)，则k的值为____－__3____．
9．已知m＋3n＝5，则2m＋6n＋2＝___1_2____．
第十四章 章末复习
10．计算： (1)(2a＋3b)(2a－b)； (2)(12x3＋6x2 )÷3x. 解：(1)原式＝4a2－2ab＋6ab－3b2
解：原式＝x2－4－x2＋x＝x－4.
第十四章 章末复习
3.计算： (1)x3y·3y2＝___3_x_3_y_3 ___； (2)2x(3x2－x)＝__6_x_3－__2_x_2__； (3)8a5b3÷(－4a2b)＝__－__2_a_3_b_2 __．
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第十四章 章末复习
4．计算： (1)2a2·ab2＋ab·(－a2b)； (2)(3x－4y)(x＋2y)； (3)(6m4－8m2n2)÷2m2.
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基础练习
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第十四章 章末复习
1．(2023吉林)下列各式运算结果为a5的是( B )
A．a2＋a3
B．a2·a3
C．(a2)3
D．a10÷a2
2．(2023赤峰)下列运算正确的是( A )
A．(a2b3)2＝a4b6
B．3ab－2ab＝1
C．(－a)3·a＝a4
D．(a＋b)2＝a2＋b2
解：(1)原式＝2a3b2－a3b2＝a3b2. (2)原式＝3x2＋6xy－4xy－8y2＝3x2＋2xy－8y2. (3)原式＝6m4÷2m2－8m2n2÷2m2＝3m2－4n2.
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第十四章 章末复习
乘法公式 1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
人教版数学八年级上册 第十四章 整式乘除与因式分解 知识点归纳
第十四章 整式乘除与因式分解知识点归纳:一、幂的运算:１、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如:532)()()(b a b a b a +=+•+2、幂的乘方法则：mn n m a a =)((n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4==3、积的乘方法则：n n n b a ab =)((n 是正整数)。
积的乘方,等于各因数乘方的积。
如：(523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=•••-４、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷5、零指数；10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。
二、单项式、多项式的乘法运算:6、单项式与单项式相乘，把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
如：=•-xy z y x 3232 。
7、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式）。
如:)(3)32(2y x y y x x +--=。
8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
9、平方差公式:22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.1.4整式的乘法(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.下列计算中，正确的是（ B ）
A.2a3·3a2=6a6
B.4x3·2x5=8x8
C.2x·2x5=4x5
D.5x3·4x4=9x7
2.下列运算正确的是（ D ）
A.x2·x3=x6
B.x2+x2=2x4
C.(-2x)2=-4x2
D.(-2x2)(-3x3)=6x5
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
第14章 整式的乘除与因式分解
八年级上册
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第1课时
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则， 并运用它们进行运算． 2.让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主 动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题 的能力.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.填空：
a4 26
(1)6 2
a9 28
9 x2 y4 4
1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需 要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是 多少千米吗？ 分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）； 怎样计算（3×105）×（5×102）? 地球与太阳的距离约是： （3×105）×（5×102）=(3 ×5)×(105×102) =15×10７=1.5×108（千米）
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多 项式的每一项，再将所得的积相加即可.
人教版初中八年级教学上册--整式的乘法以及因式分解单元总结复习计划以及归纳
（整式的乘法 同底数幂的乘积 a m a n a mn(m,n 为正整数）注意点：（1）一定清楚底数、指数、幂这三个基本观点的涵义。
2）前提一定是同底数，指数才能够相加3）底能够是一个详细的数或字母，也能够是一个单项式或多项式， 4）指数都是正整数（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即a manapamnpm n p 为正整数） ,,6）不要与整式加法相混杂。
7）这个公式是可逆的a mn a m a n(m,n 为正整数）34 aa________种类一：x·x=x·x=a a 3________；3xn 4·x·x=222522y2nyn1 ；m-n 2n+111m-14-n52种类二：(1)已知·xx,且·=y,求m n的值。
=2m n(2) 若2 ·8=2,则n=2(34 4种类三：(1)、(-)(-)-)(2)、-a·(-a)·(-a)3620112012(3)、(x-y)(y-x)(y-x)（4）、(-2)（-2）a b2c种类四：已知2=3,2=6,=12，尝试究a、b、c之间的关系；1（幂的乘方(a m)n a mn(m,n为正整数）注意点：（1）幂的底数a能够是详细的数也能够是多项式。
2）不要和同底数幂的乘法法例相混杂3）公式的可逆性：a mamnmn为正整数）；am nanm amnmn为正整数）)(())(,（4）公式的扩展:(am pamnpmnp为正整数）,,[(ab)m]n(a b)mn(m,n,为正整数）种类一：(a33(x m)3;(a2)3an;[ (23;[(23;a]=a+b种类二：【例1】若5x2,5y3,求52x3y【例2】若10n 4,10m5,求102n103m,的值；【例3】已知a 355,b 444,c 533，试比较a,b,c的大小;积的乘方ab n a n b n(n为正整数）注意点：（1）注意与前二个法例的差别：（2）积的乘方推行到3个以上因式的积的乘方a1a2a3a m n1na2n a3a m n(n为正整数）3）每个因式能够是单项式，多项式，或许其余代数式4）每个因式都要乘方，而后将所得的幂相乘5）公式的可逆性：a n b n ab n(n为正整数）幂的乘方,积的乘方的可逆性：a mn=(a m)n=(a n)m种类一：(ab)3 ________；(2a2b)3________；(5a3b2)2________mmn种类二：【例1】当ab= ，m=5,n=3, 求(ab) 的值。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课复习(单项式与单项式相乘)
(2) (- 4x) (2x2+3x-1)
解：原式=(- 4x) •2x2+(- 4x)•3x+(- 4x)•(-1) = - 8x3- 12x2+4x
(3) ab ( ab2 - 2ab)
解：原式= a2b3–2 a2b2 单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
(7)-5a3b2c·3a2b=-15a5b3c (8)a3b·(-4a3b)=-4a6b2 (9)(-4x2y)·(-xy)=4x3y2 (10)2a3b4(-3ab3c2)=-6a4b7c2 (11)-2a3·3a2=-6a5 (12)4x3y2·18x4y6=72x7y8
2.计算：(－a)2 ·a3 ·(－2b)3 －(－2ab)2 ·(－3a)3b
谢 谢 观 看！
4.若n为正整数，x3n=2,2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解：2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
5 已知1 (x2 y3 )m • (2xyn1)2 x4 • y9 , 4
情境引入 x
mx
1 8
x
x
3x 4
1 8
x
mx
第一幅的面积是 x(mx)
这是两个单项式相乘， 结果可以表达得更简
第二幅的面积是 (mx)( 3 x ) 单些吗？
4
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到
地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地
球与太阳的距离约是多少千米吗?
人教版八年级上《第14章整式的乘法与因式分解》
人教版八年级上《第14章整式的乘法与因式分解》一、整式的乘法在代数学中，我们经常会遇到整式的乘法运算。
整式是由字母和数字通过加、减、乘、幂运算连接而成的代数式。
整式的乘法运算是指两个整式相乘的操作。
整式的乘法运算遵循以下几个乘法法则：1.同底数幂相乘法则：对于同一个底数的两个幂相乘，可以将底数保持不变，指数相加。
例如，a^m * a^n =a^(m+n)。
2.非零常数乘幂法则：非零常数与任何非零幂相乘，仍然保持底数不变，指数相加。
例如，k * a^n = k * a^n。
3.乘法交换律：整式的乘法满足交换律，即a * b = b *a。
4.乘法结合律：整式的乘法满足结合律，即a * (b * c)= (a * b) * c。
通过上述乘法法则，我们可以简化整式的乘法运算，使计算变得更加简单明了。
二、整式的因式分解在代数学中，整式的因式分解是将一个整式分解成一系列整数乘积的运算。
因式分解在计算中具有重要作用，它可以帮助我们简化运算、求解方程等。
整式的因式分解有以下几种常见的方法：1.公因式提取法：当一个整式可以被一个公因式整除时，我们可以将公因式提取出来，然后将整式进行因式分解。
例如，对于整式3a + 6b，我们可以将公因式3提取出来得到3(a + 2b)。
2.差平方公式：对于形如a^2 - b2的整式，可以通过差平方公式进行因式分解。
差平方公式为：a2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
3.完全平方公式：对于形如a^2 + 2ab + b2的整式，可以通过完全平方公式进行因式分解。
完全平方公式为：a2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
4.求和差公式：对于形如a^3 + b3或a3 - b3的整式，可以通过求和差公式进行因式分解。
求和差公式为：a3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b2)，a3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。
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因式分解 复习练习题
一、知识点：
1、 因式分解：
（1） 把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（2） 多项式的乘法与多项式因式分解的区别
简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
（3）因式分解的方法：
①提公因式法； ②运用公式法。
2、因式分解的应用：
（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab ＋ac ＋ad 的各项ab 、ac 、ad 都含有相同的因式a ，a 称为多项式各项的公因式。
（3）用提公因式法时的注意点：
① 公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如： 4a 2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；
② 当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使
括号内的第一项的系数为正。
如：-2m 3+8m 2-12m= -2．
m(m 2-4m+6)； ③ 提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
（4）运用公式法的公式：
① 平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)
② 完全平方公式： a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2
（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．．
，注意公因式要提尽．．
，然后再应用公式，如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。
如：
-2x 5y+4x 3y 3-2xy 5=-2xy(x 4-2x 2y 2+y 4)=-2xy(x 2-y 2)(x 2+y 2)=-2xy(x+y)(x-y)(x 2+y 2
) 二、举例：
例1：分解因式：
（1）(a+b)2－2(a+b) （2）a(x －y)+b(y －x)+c(x －y)
（3）(x+2)2－9 （4）4(a+b)2－9(a －b)2
（5） 80a 2(a ＋b)－45b 2(a ＋b) （6）(x 2－2xy)2＋2y 2(x 2－2xy)＋y 4
（7）(m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 （8）x 4-81
（9） (x ＋y)2－4(x 2－y 2)＋4(x －y)2 （10）16a 4－8a 2＋1
（11）(x 2+4)2-16x 2 （12）1242
2---y y x
例2：计算：
（1）20042-4008×2005+20052 （2）9.92－9.9×0.2＋0.01
（3） 222001
20031001- （4）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101)
例3：观察下列算式回答问题：
32－1=8×1 52－1=24=8×3 72－1=48=8×6 92－1=80=8×10 ………
问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
例4：解答题：
（1）已知x 2－y 2=－1 ， x+y=
2
1，求x －y 的值。
（2）已知a ＋b=7，ab=6，求a 2b ＋ab 2的值。
（3）已知x ＋y=4，xy=2，求2x 3y ＋4x 2y 2＋2xy 3的值。
（4）已知：4m+n=90，2m －3n=10，求(m+2n)2－(3m －n)2的值。
（5）已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值。
（6）已知m 、n 为自然数，且m(m －n)－n (n －m)=7，求m 、n 的值。
（7）已知a 、b 、c 分别为三角形的三条边，求证：0bc 2c b a 222<---
（8）若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，试判断△ABC 的形状。
三、作业：
1、分解因式：
（1）－5a 2＋25a ；
（2）3a 2－9ab ；
（3）25x 2－16y 2；
（4）x 2＋4xy ＋4y 2.
（5）x 2y 2－1； （6）25x 2＋20xy ＋4y 2；
（7）x 3－25x ；
（8）4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3；
（9）3x 2＋6xy ＋3 y 2； （10）(x －y)2＋4xy ；
（11）(a+b)2＋2(a+b)＋1； （12）(x 2+y 2) 2－4x 2y 2
（13）4x 4－4x 3＋x 2； （14）ab ＋a ＋b ＋1；
（15）()()()2x —22—2—x 1—x ；（16）()2222
2b a 9—b ab a ++。
2、 试说明不论x 、y 取什么有理数，多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.
【参考答案】
举例：
例1.（1）()(2)a b a b ++-；（2）()()x y a b c --+；（3）(5)(1)x x +-；（4）(5)(5)a b a b ---；
（5）5()(43)(43)a b a b a b ++-；（6）4()x y -；（7）2(2)m n +-；
（8）2(9)(3)(3)x x x ++-；（9）2(3)x y -；（10）22(21)(21)a a +-；（11）4(2)x -；
（12）(21)(21)x y x y ++--。
例2.（1）1；（2）97；（3）18；（4）1120。
例3. 解：（1）n=1时，（2×1+1）2﹣1=8×1；
n=2时，（2×2+1）2﹣1=24=8×（1+2）；
n=3时，（2×3+1）2﹣1=48=8×（1+2+3）；
n=4时，（2×4+1）2﹣1=80=8×（1+2+3+4）；
…
n=n 时，（2n +1）2﹣1=8×（1+2+3+…+n ）．
即发现的规律为：（2n +1）2﹣1=8×（1+2+3+…+n ）；
（2）∵左边=（2n +1）2﹣1=4n 2+4n +1﹣1=4n 2+4n ，
右边=8×（1+2+3+…+n ）=8×=4n （n +1）=4n 2+4n ，
∴左边=右边，
即（2n +1）2﹣1=8×（1+2+3+…+n ）．
例4.（1）-2；（2）42；（3）64；（4）-900；（5）-1；（6）
（7）略；（8）等边三角形。
作业：
1.（1）5(5)a a --；（2）3(3)a a b -；（3）(54)(54)x y x y +-；（4）2(2)x y +；（5）
(1)(1)xy xy +-；（6）2(52)x y +；（7）(5)(5)x x x +-；（8）2(2)xy x y +；（9）23()x y +；
（10）2()x y +；（11）2(1)a b ++；（12）22()()x y x y +-；（13）22(21)x x -；（14）
(1)(1)a b ++；（15）(2)(3)x x ---；（16）222(4)()a ab b a b ++-。
2.原式22(1)(1)10x y =-+++>，故为正数。