4.4 对偶性原理
42对偶问题的基本性质
上页 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
下页 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
0 0 0 1/ 4 1/ 2
返回
化为最大问题
y4 y5 y1 y2
y3
对偶问题 剩余变量
对偶问题的变量
对偶问题用两阶段法求解的最终的单纯形表
对
偶
对偶问题的变量 对偶问题剩余变量
问
题
y1 y2 y3 y4
⑤
y1 , y2 0
将y1﹡ ，y2﹡ 代入，知②, ③, ④为严格不等式
对 偶
∴ x2 = x3 = x4 = 0
问
题 由y1﹡ ，y2﹡﹥0知原约束为等式
上页
x1+3x5 =4
下页
2x1+x5 =3
返回 ∴ x = (1, 0, 0, 0, 1)T Z=5
六解的对应性：
对 设原问题（1） 对偶问题（2）
对
偶
问 题
max Z x1 x2 x3
上页 下页
s.t.
x1
x1 x2
x3 4 2x3
3
返回
x1, x2 , x3 0
用对偶理论证明线性规划问题最优解不超过1
对
偶
问 题
max Z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
S
S
即：
A的第i行
上页 YˆX 0 Yˆ(b AXˆ ) 0 yˆ xˆ 0
S
i
si
下页 返回
yˆ i
0
xˆ si
0
A Xˆ i
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
对偶性原理
则称系统(A,B,C)和 ( A, B, C ) 互为对偶。
•
显然,若系统(A,B,C)是一个r维输入,m维输出的n阶系统,则 其对偶系统 ( A, B, C ) 是一个m维输入,r维输出的n阶系统。
对偶性原理(4/8)
下图是对偶系统和 的结构图。从图中可以看出, 两系统互为对偶意 味着输入端与输出 端互换; 信号传递方向的相 反; 信号引出点和相加 点的互换,对应矩阵 的转置,以及时间的 倒转。
对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简 化。
重点喔!
本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题--对偶 性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。
讨论的主要问题:
1. 基本概念: 对偶性的定义
2. 对偶系统的结构特征 3. 对偶性与能控性和能观性的关系 4. 对偶性的意义 要理解喔!
对偶性原理(2/8)
从前三节的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是 从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。 这种相似关系可以总结成下表 能控性 控制 能观性 估计
B ( sI - A ) -1 C τ [C ( sI - A) -1 B]τ Gτ ( s )
即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。
对偶性原理(6/8)—定理16
类似地，还可以得出如下结论： 互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系,有 如下定理:
定理4-16 设线性定常连续系统(A,B,C)和( A, B, C ) 是互为 对偶,则
系统的状态能控(能观)性等价于系统 的状态能观 (能控)性。
对偶性原理(7/8)—定理16
对偶式公式原理
对偶式公式原理
我在这次的科学课，我学到了许多新的知识，而对偶式公式则是其中之一。
所谓对偶式公式，就是一个式子有两个相等的因式。
如果我们将一道题转换成两道题，就可以利用对偶式公式，快速地将一道题转换成另一道题。
在我们的生活中，有许多事物都可以用对偶式公式来解决，比如：数学中的对偶式公式、化学中的对偶式公式……
例如：数学上有这样一个例题：在一个长为a，宽为b的长方形中，长为4a，宽为2b的正方形面积是多少？
这道题对于我们来说并不难，只要将正方形四个边分别乘以a×b×c×d，就可以求出这个长方形的面积。
而对于正方形面积来说就很简单了，因为它是正方形中的一部分。
而在物理中也有对偶式公式。
比如：在一个正方形中，长为4b宽为2d的长方形所占的面积是多少？
—— 1 —1 —。
对偶原理的应用
对偶原理的应用什么是对偶原理对偶原理是一种逻辑思维方式，用于解决问题和推理，它通过将命题中的变量和运算符进行交换，从而得到等价的对偶命题。
对偶原理可以被广泛应用于多个领域，包括数学、计算机科学和逻辑学等。
对偶原理在数学中的应用•代数方程求解：对偶原理可以用于求解代数方程，通过对方程中的变量和运算符进行交换，可以得到等价的对偶方程，进而简化问题的求解过程。
•集合运算：对偶原理可以被用于集合运算，通过对集合中的元素和运算进行对偶，可以得到等价的对偶集合，从而简化集合运算的推理和证明。
•几何推理：对偶原理在几何学中也具有广泛的应用。
例如，通过对几何定理进行对偶，可以得到具有等价推论的对偶定理，从而帮助解决几何问题。
对偶原理在计算机科学中的应用•逻辑电路设计：对偶原理在逻辑电路设计中起着重要的作用。
通过对逻辑电路中的输入和输出进行对偶，可以得到等价的对偶电路，从而帮助设计复杂的逻辑电路。
•编程语言设计：对偶原理也可以用于编程语言设计中。
通过对程序语句中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶程序语句，从而简化程序设计的过程。
•算法设计：对偶原理在算法设计中也有广泛的应用。
通过对算法中的输入和输出进行对偶，可以得到等价的对偶算法，从而帮助设计高效的算法。
对偶原理在逻辑学中的应用•命题逻辑：对偶原理在命题逻辑中起着重要的作用。
通过对命题中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶命题，从而帮助解决命题逻辑中的问题。
•谓词逻辑：对偶原理同样可以用于谓词逻辑。
通过对谓词中的变量和运算符进行对偶，可以得到等价的对偶谓词，从而简化谓词逻辑的推理和证明。
•形式化推理：对偶原理在形式化推理中也具有重要的应用。
通过对推理中的前提和结论进行对偶，可以得到等价的对偶推理，从而帮助进行有效的形式推理。
对偶原理的局限性虽然对偶原理在多个领域中有广泛的应用，但它也存在一些局限性。
•只适用于某些类型的问题：对偶原理只适用于某些类型的问题，对于其他类型的问题可能不适用或效果不明显。
布尔代数的基本运算与性质
布尔代数的基本运算与性质布尔代数是一种逻辑代数，用于对逻辑表达式进行运算和分析。
它是以数学符号和运算为基础，对逻辑关系进行描述和计算的一种工具。
在计算机科学和电子工程等领域，布尔代数被广泛应用于数位逻辑电路和逻辑编程等方面。
本文将介绍布尔代数的基本运算与性质。
一、布尔代数的基本运算1. 与运算（AND）与运算是布尔代数中最基本的运算之一，它采用逻辑与操作符“∧”表示。
与运算的规则是：只有在两个变量同时为真时，结果才为真；否则结果为假。
例如，变量A和变量B的与运算可以表示为 A ∧ B。
2. 或运算（OR）或运算是布尔代数中另一个基本运算，它采用逻辑或操作符“∨”表示。
或运算的规则是：只要两个变量中有一个为真，结果就为真；否则结果为假。
例如，变量A和变量B的或运算可以表示为 A ∨ B。
3. 非运算（NOT）非运算是布尔代数中最简单的运算，它采用逻辑非操作符“¬”表示。
非运算的规则是：翻转变量的取值，如果原来为真，则结果为假；如果原来为假，则结果为真。
例如，变量A的非运算可以表示为 ¬A。
二、布尔代数的性质1. 结合律布尔代数的运算满足结合律，即运算的结果与运算的先后顺序无关。
例如，对于与运算，A ∧ (B ∧ C) 的结果和 (A ∧ B) ∧ C 的结果相同。
2. 分配律布尔代数的运算满足分配律，即一个运算符在有两个不同的运算符作用时，结果相同。
对于与运算和或运算，有以下两个分配律：- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)3. 吸收律布尔代数的运算满足吸收律，即一个变量与该变量的运算结果相同。
例如，A ∨ (A ∧ B) 的结果和A的结果相同。
4. 对偶性原理布尔代数的运算满足对偶性原理，即一个布尔代数式子中的与运算（∧）与或运算（∨），变量的取反（¬）可以互换。
例如，对于布尔表达式 A ∧ B ∨ C，可以通过对偶性原理转换为 A ∨ B ∧ ¬C。
对偶原理
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
CX≤CX* 所以，X*为原问题（P）的最优解。 同理可证Y*是对偶问题（D）的最优解。
例Leabharlann min W 20 y1 20 y2
max Z x1 2x2 3x3 4x4
x1 2x2 2x3 3x4 20
C)X
*
0
根据这一定理，在一对对偶问题中，我们可以把其 中任何一个称为原问题，则另一个就是其对偶问题.
定理1（对称性定理）对偶问题的对偶是原问题.
证明：对于问题（D）
minW Yb
(D)
s.t.
YA C Y 0
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
xj 0( j 1, 2,3)
解：此问题的对偶问题为 max Z x1 2x2
min W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
s.t.
s.t.
y1 y2 2 y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
(
AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
s.t.
X
0
这就是原问题(P),证毕.
定理2（弱对偶定理） 设 X 和 Y 分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有
对偶原理的基本内容
对偶原理的基本内容
对偶原理是数学和逻辑学中的一种基本原理，指出在某些情况下，一个问题的解和另一个相关问题的解之间存在着对应关系。
简单来说，对偶原理认为两个问题可以互相转化，一个问题的解可以通过转化得到另一个问题的解。
对偶原理的基本内容如下：
1. 表示性对偶：对于任意给定的命题，如果将其语句中的"是"与"不是"交换，将"或"与"与"交换，将"存在"与"全称"交换，则得到的命题与原命题具有相同的真值。
这表明这两个命题互为对偶，即具有相同的含义。
2. 集合论中的对偶：在集合论中，对偶原理指出，对于任意一个集合运算，如果将交换律、结合律和分配律中的交换符号与并符号交换，并且将空集与全集交换，则所得到的运算定义与原定义等价。
3. 线性规划中的对偶：线性规划中的对偶原理指出，给定一个原始线性规划问题，可以通过构建对偶问题，从原问题的角度找到一种更
好的解决方法。
对偶问题的解反映了原始问题的优化信息。
对偶原理在数学、逻辑学、计算机科学等领域中具有广泛的应用，在问题求解、证明推理、优化计算等方面发挥了重要作用。
它使我们能够从不同角度思考问题，发现问题的潜在联系和解决方式。
对偶定理运筹学
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
对偶原理名词解释
对偶原理名词解释
对偶原理名词解释：
对偶原理，又称为对偶原则。
是射影几何的一个基本原则，指在射影空间中，若一个命题成立，则其对偶命题也必成立。
对偶，是大自然中最为广泛存在的，呈“分形”形态分布的一种结构规律，及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系，且二象间具有完全性，互补性，对立统一性，稳定性，互涨性和互根性。
在射影平面上，如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调，即把点改成直线，把直线改成点，把点的共线关系改成直线的共点关系，所得的命题仍然成立，这称为对偶原则。
例如，德沙格定理是有关点、直线以及它们的衔接关系的定理，它是一个射影定理。
它的对偶定理就是它的逆定理。
该原理也可推广到n维射影空间中去。
对偶原理是一座桥梁，借助于它，可以从数学某领域中的一定理走到另一定理(对偶定理)，当前一定理从逻辑上被证明后，后一定理的正确性是无须再证的。
即对偶原理具有真的特点。
另一方面，对偶原理对于数学的发展具有很重要的促进作用，也就是说它在数学领域中具有实用价值，因而具有善的特点。
最后通过对对偶原理的具体分析，对偶原理刻画了数学理论的一种对称性，而对称具有美的特征，所以它也是一种具体的数学美学的方法。
对偶原理电容电感计算公式
对偶原理电容电感计算公式电容和电感是电路中常见的两种元件，它们分别用来存储电荷和磁能。
在电路设计和分析中，经常需要计算电容和电感的数值，以便选择合适的元件来满足电路的要求。
对偶原理是电路分析中的重要概念，它可以帮助我们在电容和电感之间建立对应关系，从而简化计算。
对偶原理指出，对于任何一个电路，如果我们将其中的电容和电感互换位置，并且将所有的电源和负载也互换位置，那么这两个电路是等价的。
换句话说，如果一个电路中有一个电容C和一个电感L，那么与之对偶的电路中会有一个电容L和一个电感C。
这个原理在电路分析中有着重要的应用，可以帮助我们简化问题的处理。
在电路中，电容和电感的计算公式分别为：电容的计算公式为C=Q/V，其中C表示电容，单位为法拉（F）；Q表示电容器上的电荷，单位为库仑（C）；V表示电容器上的电压，单位为伏特（V）。
电感的计算公式为L=Φ/I，其中L表示电感，单位为亨利（H）；Φ表示电感上的磁通量，单位为韦伯（Wb）；I表示电感上的电流，单位为安培（A）。
在实际的电路设计中，我们经常需要根据电路的要求来选择合适的电容和电感数值。
有时候，我们可能需要根据已知的电容数值来计算对应的电感数值，或者反过来。
在这种情况下，对偶原理可以帮助我们简化计算过程。
假设我们有一个电路，其中有一个电容C和一个电感L。
我们可以通过对偶原理将其转换成一个对偶电路，其中有一个电容L和一个电感C。
然后，我们可以根据已知的电容或电感数值来计算对应的电感或电容数值。
以电容C和电感L为例，我们可以根据对偶原理得到以下关系：C=Q/V，L=Φ/I。
对偶电路中的关系为：L=Φ'/I'，C=Q'/V'。
其中，Φ'表示对偶电路中的磁通量，I'表示对偶电路中的电流，Q'表示对偶电路中的电荷，V'表示对偶电路中的电压。
根据对偶原理，我们可以得到以下关系：L=Φ/I，C=Q/V。
对偶理论的原理
对偶理论的原理对偶理论（Duality Theory）是现代线性规划理论的重要组成部分，它与线性规划之间存在深刻的关系。
对偶理论的提出为线性规划问题的求解提供了一种全新的思路，使得原始问题与对偶问题之间能够相互转化和互相补充。
在对偶理论的引导下，线性规划问题的求解不再依赖于具体的算法和技巧，而是通过分析原始问题和对偶问题之间的关系，从而为问题的求解提供了更深入的理论支持。
对偶理论的基本原理来源于线性规划的最优性条件和对偶性原理。
在线性规划问题中，我们常常需要通过确定一组变量的数值来使得目标函数取得最大（或最小）值，并且满足一定的约束条件。
对于一个线性规划问题，我们可以将其分为两个部分，即原始问题（Primal Problem）和对偶问题（Dual Problem）。
原始问题的一般形式为：最大化：c^Tx约束条件：Ax ≤b其中，c为目标函数的系数向量，A为约束条件矩阵，x为决策变量向量，b为约束条件右端向量。
原始问题的最优解被称为原始问题的最优解。
对偶问题的一般形式为：最小化：b^Ty约束条件：A^Ty ≥c其中，y为对偶变量向量。
对偶问题的最优解被称为对偶问题的最优解。
对于线性规划问题的任意一个可行解，我们可以定义一个对应的对偶问题。
原始问题和对偶问题之间存在一种非常重要的关系，即弱对偶性和强对偶性。
弱对偶性指的是，对于原始问题和对偶问题的任意可行解，我们有：c^Tx ≤b^Ty强对偶性指的是，当原始问题和对偶问题都存在有限的最优解时，其最优解相等，即：c^Tx = b^Ty对偶理论的核心思想是通过最大化原始问题的目标函数和最小化对偶问题的目标函数，来求解原始问题和对偶问题的最优解。
具体而言，对偶理论主要包括以下几个方面的内容：1. 对偶定理：对于一个线性规划问题，从弱对偶性和强对偶性的角度出发，我们可以得到一些重要的结论。
例如，弱对偶性可以用来判断某个解是否为原始问题和对偶问题的最优解；而强对偶性则为原始问题和对偶问题的最优解提供了一个等价的刻画方式。
对偶问题的原理及应用
对偶问题的原理及应用1. 前言对偶问题是优化领域中一种重要的问题转化和求解方法，它通过转化原始问题为对偶问题，进而解决原始问题或者获得问题的一些有用信息。
本文将介绍对偶问题的原理以及其在优化问题中的应用。
2. 对偶问题的原理对偶问题是数学规划中一类常用的问题转化方法，它通过对原始问题进行变换，得到一个与原始问题等价的新问题。
对偶问题从不同的角度来看待原始问题，从而为求解或优化原始问题提供了一种新的视角。
对于一个标准形式的原始优化问题，其数学表示可以写成：minimize c^T xsubject to Ax <= bx >= 0其中，x是优化变量，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
对偶问题则可以表示为：maximize b^T ysubject to A^T y <= cy >= 0其中，y是对偶变量。
对偶问题的目标函数与原始问题的约束函数形式相似，而对偶问题的约束函数则与原始问题的目标函数形式相似。
3. 对偶问题的应用对偶问题在优化领域中的应用非常广泛，下面将介绍对偶问题在线性规划、凸优化和机器学习等领域的具体应用。
3.1 线性规划线性规划是对偶问题应用最为广泛的领域之一。
在线性规划中，对偶问题能够提供原始问题的下界，并且可以通过对偶问题的求解得到原始问题的最优解。
此外，在有些情况下，原始问题与对偶问题之间存在强对偶性，即原始问题与对偶问题的最优解相等。
3.2 凸优化对偶问题在凸优化中也有很多应用。
凸优化问题具有许多良好的性质，其中之一就是对偶问题的存在性和强对偶性。
通过对偶问题的求解，可以获得凸优化问题的最优解，并且可以通过对偶变量的解释来获得关于原始问题的一些有用信息。
3.3 机器学习对偶问题在机器学习中也有广泛的应用。
例如，在支持向量机（SVM）中，对偶问题的求解可以将原始问题转化为一个更简单的形式，从而提高求解效率。
此外，对偶问题还可以提供关于支持向量和间隔的有用信息，从而帮助理解和解释模型的性质。
对偶原理的性质分析
对偶原理的性质分析
偶对原理，也称为对偶原理或德摩根定理，是数理逻辑中的一个重要理论。
它指出，在命题逻辑中，任何一个式子和其否定的真值具有相反关系。
具体来讲，对偶原理有以下性质：
1. 对偶原理是指一个命题和其否定的真值是相反的。
也就是说，如果一个命题为真，则其否定为假，反之亦然。
例如，命题P为真时，其否定非P为假，命题P为假时，其否定非P为真。
2. 对偶原理适用于逻辑运算符。
对于包含逻辑运算符的复合命题，对偶原理适用于运算符之间的关系。
例如，对于逻辑与运算符（表示为∧），其对偶运算符是逻辑或（表示为∨）；对于逻辑或运算符，其对偶运算符是逻辑与；对于逻辑非运算符（表示为¬），其对偶运算符是非逻辑非（表示为~）。
3. 对偶原理可以推广到更复杂的命题。
对偶原理的概念可以推广到复合命题的情况下。
例如，对于一个包含多个逻辑运算符的复合命题，其对偶命题可以通过将每个逻辑运算符替换为其对偶运算符来得到。
4. 对偶原理可以推广到谓词逻辑。
对偶原理不仅适用于命题逻辑，还适用于谓词逻辑。
在谓词逻辑中，谓词表达式的对偶命题可以通过改变量的全称量化子为存在量化子，或改变逻辑连接词的关系来得到。
通过对偶原理，我们可以利用已知的真值关系来推导其他的真值关系，从而简化逻辑运算的过程。
对偶原理在数理逻辑、电路设计、计算机科学等领域都有重要应用。
对偶原理的数学
对偶原理的数学对偶原理是数学中的一种基本思想，它强调了命题之间的互补关系。
通过对一个命题的否定，得到了一个与之对偶的命题。
在逻辑推理和证明中，对偶原理常常被用来发现新的证明方法和创新的思路。
从逻辑的角度来看，对偶原理是基于命题逻辑中的两个基本运算：合取和析取。
合取运算可以理解为“与”，当且仅当两个命题都为真时，合取运算的结果才为真。
而析取运算可以理解为“或”，当且仅当两个命题都为假时，析取运算的结果才为假。
对偶原理告诉我们，通过对一个命题的否定，可以得到与之对偶的命题。
在命题逻辑中，一个命题可以被表示为一个变量和一个谓词的组合。
对一个命题的否定相当于对命题中的谓词取反，即改变该命题的真值。
通过对命题的否定，我们可以得到很多有趣的结论。
一个简单的例子是判断两个命题是否等价。
假设有两个命题P和Q，我们想要判断这两个命题是否等价。
根据对偶原理，我们可以通过对P的否定与对Q的否定进行比较，来判断P和Q是否等价。
具体来说，如果对于所有的真值赋值，P与Q的否定具有相同的真值，则可以得出P和Q等价的结论。
这是因为命题的否定具有互补关系，当一个命题为真时，其否定为假，反之亦然。
如果P和Q的否定具有相同的真值，那么P和Q本身的真值也必然相同，即P和Q是等价的。
通过对偶原理，我们不仅可以判断命题的等价关系，还可以建立逻辑推理的新方法。
在证明中，我们常常会遇到复杂的命题和复杂的推导过程。
通过对偶原理，我们可以将命题和推导过程转化为对偶的形式，从而使得推理过程更加简洁和直观。
例如，在证明中常常会使用分情形讨论的方法。
分情形讨论的思路是根据命题的不同情况进行推理，以此来得到结论。
而通过对偶原理，我们可以将分情形讨论的思路转化为合取的形式。
具体来说，我们可以将命题的每个情况取反，然后使用合取运算将这些情况连接起来。
通过对偶原理，我们可以将分情形讨论转化为合取的形式，从而使得推理过程更加简单和一致。
此外，对偶原理还可以应用于数学中的其他领域，如集合论和代数学。
对偶原理及其应用
对偶原理及其应用对偶原理是一种数学方法，它可以将一个命题中的所有元素转化为其恰好相反的形式。
这样做的好处是可以将原问题转化为对偶问题，从而更容易理解和解决。
对偶原理最早是由德国数学家格奥尔格·庞加莱在19世纪末提出的。
他发现，对于一个在欧几里得空间中的几何问题，如果将其所有定理中的点和直线互换，证明仍然成立，这便是对偶原理的最早版本。
随着时间的推移，对偶原理被越来越广泛地应用于不同领域的问题求解中。
下面介绍一些对偶原理的应用。
一、计算机科学中的应用在计算机科学中，对偶原理被广泛应用于编码和加密。
例如，将一个数字码的0和1互换，可以得到其对偶码，这两个码可以互相转换，从而实现编码和解码的功能。
另外，对偶原理还可以用于图像处理中。
在数字图像中，每个像素的颜色可以表示为一个数值，如果将黑色和白色互换，就可以得到原图像的对偶图像，这个过程也被称为反色处理。
二、逻辑学中的应用在逻辑学中，对偶原理的应用非常广泛。
例如，如果将命题中的“与”和“或”互换，将“真”和“假”互换，就可以得到对偶命题。
这个方法在逻辑推理中非常有用，因为它可以将一些复杂的命题简化，并且有助于推论的证明和辩论。
三、物理学中的应用在物理学中，对偶原理被用于解决一些看似无解的问题。
例如，在电磁学中，对于一个由电流形成的磁场和一个由磁场形成的电场，将它们的方向互换并取负，就可以得到对偶磁场和对偶电场。
这个过程可以简化一些计算，也有助于研究电磁场的性质和规律。
四、其他领域中的应用除了上述领域之外，对偶原理还被用于解决各种问题，如金融、生物学、社会科学等。
例如，在金融领域中，对偶原理可以用来衡量两种不同投资策略之间的风险和回报；在生物学中，对偶原理可以用来揭示不同生物群落之间的相互影响和生态演化规律。
总之，对偶原理是一种具有广泛应用的数学方法，它可以将一个问题转化为其对偶问题，从而简化计算和解决问题。
虽然对偶原理的应用领域非常广泛，但是其核心的思想和原理都是相同的，也正因为如此，对偶原理才能如此成功地应用于各种不同的问题中。
对偶定理_精品文档
（2）极小化问题（对偶问题）的任一可行解
上页
所对应的目标函数值是原问题最优目标函数值
的上界。
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返回
原问题
对偶问题
CX Y b
对偶问题的基本性质
定理三 最优性准则定理 若X~ 、Y~ 分 别为对称形式对C偶X 线 Y性b,规划X的 ,可Y 行解， 且两者目标函数的相应值相等， C X~ =bY~ ，则 X~ ，Y~ 分别为原始问题 和对偶问题的最优解。
x1, x2 0
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min 8 y1 4 y2 6 y3
返回
2 y1 4 y3 5
2 y1
3y2
y3
4
y1
,
y2 ,
y3
0
对 偶
课堂练习：已知线型规划问题
问
题
min Z 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5
上页
2x1x1 x2x223x3x3xx4 43xx55
偶 问
二、弱对偶性定理：
题
——若 和X 分别Y 是原问题（1）及
对偶问题（2）的可行解，则有
上页
CX Yb
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证明： AX b YAX Yb YA C YAX CX
返回
CX YAX Yb
从弱对偶性可得到以下重要结论：
对
偶 （1）极大化问题（原问题）的任一可行解所
问 题
对应的目标函数值是对偶问题最优目标函数值 的下界。
4 3
下页
x
j
0,
j
1,2...,5
返回 又已知其对偶问题的最优解为y1=4/5，y2=3/5，
Z＝5。试用对偶理论解原问题。
互补松弛定理应用：
对 偶
（1）从已知的最优对偶解，求原问题最
对偶原理对偶原理
例2 i1 R1
+
us1
il1
–
R3 R2 il2
+
is1
rm i1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
网孔方程：
节点方程：
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 -(R2- rm) il1 +(R2+R3) il2 =0
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1 -(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
I=0 节点法 并联
网孔 节点
对偶状态 开路
Y 短路
对偶元件 对偶结论
R
G
L
C
开路电流为零，短路电压为零；
理想电压源不能短路，
理想电流源不能开路；
戴维南定理，诺顿定理；
三、求对偶电路的方法（打点法） 例3
i1 R1
+ us1
–
R3 R2
+
rm i1
is1
–
un1 G2 un2
+
u1 G1
G3
–
gm u1
4.6 对偶原理
一、网络对偶的概念 1. 平面网络；
2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；
3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素
称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。
例1
R1
R2
G1
+
us
il –
un
G2
is
网孔电流方程： (R1 + R2)il = us
数学中最漂亮的定理——对偶原理！把数学的美妙体现得淋漓尽致！
数学中最漂亮的定理——对偶原理！把数学的美妙体现得淋漓尽致！越是基本的数学定理，越是美妙，我们来看一个数学中非常漂亮的定理，美妙到都难以找到第二个来相媲美——对偶原理。
对偶原理最先出现在射影几何当中，平面几何描述为：在射影平面中，把一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。
该定理的证明极不容易，说到发现过程，我们要追溯到300年前的1640年，16岁的法国数学家帕斯卡（1623~1662），发现了著名的“六边形定理”。
Pascal六边形定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线。
然后到了1806年的，法国一位大学生布列安桑，得到了另外一个著名的“六边形定理”。
Brianchon六边形定理：如果一个六边形的六条边都和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三对顶点的连线相交于一点。
在这之前，数学家已经开始注意到，几何当中“点线面“之间的神秘联系，Pascal定理和Brianchon定理之间的美妙对称，让数学家坚信了这之间，肯定存在不为人知的奥秘，并试图证明“对偶原理”。
对偶原理的特殊性，注定了无法从几何上得到一般性证明，直到进入二十世纪后，数学公理化的建立，才推动了该原理的逻辑证明。
在使用对偶定理前，我们必须有个约定：平面中的直线相交于无穷远，三维中的平行面共线于无穷远……。
这纯粹是一个数学处理技巧，好比在代数中，我们约定无穷大不是数一样。
如果没有这个约定，那么对偶原理将存在众多例外；一旦有了这个约定，对偶原理将没有例外地上升到三维，四维，甚至更高的n维几何中成立。
然后我们就可以，随心所欲地操控对偶原理了！比如：1、平面内，过两点只能做一条直线；对偶原理：两条线只能交于一点；2、平面内，不相交的三点，可唯一确定过这三点的圆；对偶原理：不共线的三条线，可唯一确定相切于这三条直线的圆；在射影几何中，很多难以证明的定理，经过对偶转换后，反而更容易得到证明。
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对偶性原理(1/7)
4.4 对偶性原理
本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题--对偶 性问题, 以及对偶性原理在系统分析中基本概念: 对偶性的定义
2. 对偶系统的结构特征 3. 对偶性与能控性和能观性的关系 4. 对偶性的意义
同一特征值的约旦 块对应B的分块的 最后一行是否相关 rank[I-A B]=n
同一特征值的约旦 块对应C的分块的 第一列是否相关 rank[I-A C] =n
模态判据2
对偶性原理(3/7)
这种相似关系决非偶然的巧合, 而是系统内在的结构上的必 然联系. 这种必然联系称为对偶性原理 下面给出对偶系统的定义 定义4-6 若给定的两个线性定常连续系统 ~ ~ ~~ ~ x A x B u x A x B u ~ ~~ y C x y C x 满足下列关系:
u B + + A
x
x
C
y
~ y
~ C
~ x
= B
~ A
~ x
+ +
~ B
~ u
= C
=A
对偶性原理(5/7)
根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论: 互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征 方程相同
现推证如下:
对于系统 ( A, B, C ),其传递函数阵是如下rm矩阵: ~ ~ ~ -1 ~ G ( s ) C ( sI - A) B
对偶性原理(2/7)
从前三节的讨论中可以看出, 系统状态能控性和能观性, 无论 是从定义或判据方面来看, 在形式和结构上都极为相似 这种相似关系可以总结成下表 能控性 控制 能观性 估计
意义
输入
状态
状态
输出
代数判据 rank[B AB … An-1B]=n 模态判据1
rank[C AC … (A)n-1C] =n
A A B C C B
则称系统(A, B, C)和 ( A, B, C ) 互为对偶
•
显然, 若系统(A,B,C)是一个r维输入,m维输出的n阶系统, 则 其对偶系统 ( A, B, C ) 是一个m维输入,r维输出的n阶系统
对偶性原理(4/7)
下图是对偶系统和 的结构图. 从图中可以看出, 两系统互为对偶意 味着输入端与输出 端互换 信号传递方向的相 反 信号引出点和相加 点的互换, 对应矩阵 的转置, 以及时间的 倒转
B ( sI - A ) -1 C τ [C ( sI - A) -1 B]τ Gτ ( s )
即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的
对偶性原理(6/7)
类似地, 还可以得出如下结论 互为对偶系统的特征方程和特征值相同 对于互为对偶的系统之间的状态能控性和能观性的关系, 有如下定理:
B B A ~ rank[ B AB ... An 1 B] rank Qc rank Qo rank ... B ( A ) n 1
即系统 的状态能观性等价于系统的状态能控性 同理可证, 系统 的状态能控性等价于系统的状态能 观性
定理4-11 设线性定常连续系统(A,B,C)和 ( A, B, C )互为对 偶, 则
系统的状态能控(能观)性等价于系统 的状态能观 (能控)性
对偶性原理(7/7)
证明 对系统 而言, 若能观性矩阵 的秩为n, 则 为状态完全能观 由对偶性关系, 上式又可记为
~ C ~~ ~ CA rank Qo rank ... ~~ n 1 C A