2018年高考数学按章节分类汇编(人教A必修四)：第一章三角函数
人教A版数学必修四第一章 三角函数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章 三角函数1.5三角函数sin()y A x ωϕ=+的图像一、函数sin()y A x ωϕ=+的图像及性质 课型A例1. 函数)43sin(π-=x y 图像的一个对称中心的坐标是 （ B ） A ．（0,12π-） B .（0,127π-） C .（0,127π） D . （0,1211π） 例2. 要得到函数)42cos(π-=x y 的图像，只需将2sin x y =的图像 （ A ） A . 向左平移2π 个单位 B . 向右平移2π 个单位 C . 向左平移4π 个单位 D . 向右平移4π 个单位 例 3. 函数()f x 的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2π个单位，所得到的曲线是1sin 2y x =的图像，求函数()f x 的解析式。
1()cos 22f x x =-例4. 若函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02)A ωϕπ>><<的最小值为2-，周期为32π，且它的图像过点)2,0(-，求此函数的解析式。
5()2sin(3)4f x x π=+或7()2sin(3)4f x x π=+例5．函数sin()k y A x ωϕ=++(0,0)A ω>>的图像相邻的最高点与最低点的坐标分别为)0,2(),3,3(ππ， 求函数解析式。
33()cos622f x x =+例6. 已知函数sin()y A x ωϕ=+(,0,0)R x A ω∈>>的图像在y 轴右侧的第一个最高点)3,2(M ，与x 轴在原点右侧的第一个交点是)0,6(N ，求函数解析式。
()3sin()84f x x ππ=+二、三角函数的综合 课型B1. 函数cos sin tan sin cos tanxx x x y x x =++的值域是 （ D ） A. {}1B. {}1,3C. {}1-D. {}1,3-2. 如果 sin 2cos 53sin 5cos αααα-=-+，那么tan α的值为 （ D ） A.2- B . 2 C. 2316 D. 2316- 3. 如果 3sin cos 4αα+=，那么33sin cos αα- 的值为 （ C ） A.2523128 B. 2523128- C. 2523128或2523128- D. 以上全错 4. 函数sin(2)4y x π=-的单调增区间是 （ D ） A. 33,,88Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. 15,,88Z k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， C. 13,,88Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D.37,,88Z k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 5.若函数()y f x =的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位；沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图象；则函数()y f x =是 （ B ） A. 1sin(2)122y x π=++ B. 1sin(2)122y x π=-+ C. 1sin(2)124y x π=++ D. 1sin(2)124y x π=-+ 6. 如果函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，函数()f x 的图象如图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是（ B ） A.(3,)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃B. (,1)(0,1)(,3)22ππ--⋃⋃ C.( (3,1)(0,1)(1,3)--⋃⋃ D. (3,)(0,1)(1,3)2π--⋃⋃7. 若 1cos(75)3α+=，其中α为第三象限角，则cos(105)sin(105)αα-+-= 2213- 8. 函数2lg(sin )16y x x =+-的定义域为 .[)()4,0,ππ--⋃9. 关于函数()4sin(2),()3R f x x x π=+∈，有下列命题：①函数()y f x =的表达式可改写为()4cos(2),6f x x π=-②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；③函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称. 其中正确的是_ 1,3__.10． 判断函数()xx x f cos sin 1log 2+=的奇偶性并证明。
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1.2.2 精品
3．化简下列各式：
(1)12－sin22cαos－2α1；
(2)
（1－tan θ）·cos2θ＋1＋tan1 θ·sin2θ.
解析：
2sin2α－1 (1)1－2cos2α
＝2sicno2sα2α－＋（sicno2sα2α－＋2csions22αα）＝ssiinn22αα－ －ccooss22αα＝1.
解析： (1)因为 α∈π，3π 2 ，sin α＝－35，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－45，
所以 tan
α＝sin
cos
αα＝34.
(2)∵cos α＝－35<0， ∴α是第二、三象限角．
若 α 是第二象限角，则 sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝
tan
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解析：
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
αα＝24ttaann
αα－－39＝24× ×22－ －39
＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝4sin2α－3ssinin2αα＋ccooss2αα－5cos2α
α）＝1－sincosαα，
∴左边＝右边，原等式成立．
[归纳升华] 简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
4．证明：1＋co2ss2θin －θscino2sθθ＝11＋ －ttaann
2018版高中数学人教A版 必修4部分 第1章 1-2 1-2-1 任
1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)2.掌握诱导公式及其应用.(重点)3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)[基础·初探]教材整理1 任意角的三角函数阅读教材P 11～P 12例1以上内容，完成下列问题.1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.2.定义：图1-2-1在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.3.正弦函数sin α的定义域是R ；余弦函数cos α的定义域是R ；正切函数tan α的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由sin α＝yr ，故角α终边上的点P (x ，y )满足y 越大，sin α的值越大.( )(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.( )(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.( )【解析】 (1)当y 越大时，yr 比值不变，故sin α不变.(2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√教材整理2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材P 13“探究”内容，完成下列问题.图1-2-2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.已知α是第三象限角，则sin α________0，cos α________0，tan α________0.(填“>”或“<”) 【答案】 < < > 教材整理3 诱导公式一阅读教材P 14“例4”以上内容，完成下列问题.cos ⎝⎛⎭⎫－11π6等于________. 【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫－11π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝cos π6＝32. 【答案】32教材整理4 三角函数线阅读教材P 15倒数第四行至P 17“练习”以上部分，完成下列问题.1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.2.三角函数线的定义：如图1-2-3，①设任意角α的顶点在原点O (O 亦为单位圆圆心)，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ，y )，②过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A (1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于y 轴).图1-2-3于是sin α＝y ＝MP ，cos α＝x ＝OM ，tan α＝y x ＝MP OM ＝ATOA＝AT .我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.如图1-2-4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图1-2-4A.正弦线PM ，正切线A ′T ′B.正弦线MP ，正切线A ′T ′C.正弦线MP ，正切线ATD.正弦线PM ，正切线AT【解析】 α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确. 【答案】 C[小组合作型]任意角三角函数的定义及应用(1)若sin α＝35，cos α＝－45，则在角α终边上的点有( )A.(－4,3)B.(3，－4)C.(4，－3)D.(－3,4)(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(3)已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝________.【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x ＝－4，y ＝3，r ＝5时，满足题意，故选A.(2)因为角－π3的终边与单位圆交于P ⎝⎛⎭⎫12，－32，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. (3)因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限， sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.【答案】 (1)A (2)－32 12－3 (3)1或－1由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0).则sin α＝y r ，cos α＝xr .已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.[再练一题]1.设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，求f (θ)的值. 【导学号：00680006】【解】 由点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32和三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，所以f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.三角函数符号的判断判断下列各式的符号. (1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°； (2)tan 191°－cos 190°； (3)sin 2cos 3tan 4.【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.【自主解答】 (1)∵2 015°＝1 800°＋215°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0. (2)∵191°角是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0.(3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<3π2，∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.判断三角函数值在各象限符号的攻略：(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.[再练一题]2.(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限(2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)； ③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个 【解析】 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限.(2)－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈⎝⎛⎭⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0；cos π＝－1<0. 【答案】 (1)C(2)D诱导公式一的应用求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. 【精彩点拨】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0 ＝sin π6＋0＝12.1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.[再练一题]3.求下列各式的值： (1)cos 253π＋tan ⎝⎛⎭⎫－154π； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan ⎝⎛⎭⎫－154π ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4 ＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.[探究共研型]三角函数线问题探究1 有人说：在三角函数线上，点P 的坐标为(cos α，sin α)，点T 的坐标为(1，tan α)，你认为正确吗？【提示】 正确.由三角函数的定义可知sin α＝y r ，cos α＝xr ，而在单位圆中，r ＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x ＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝yx，知纵坐标y ＝tan α，所以点T 的坐标为(1，tan α).探究2 利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)；cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式.【提示】 (1)对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围.图①(2)对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围.图②在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合. (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【精彩点拨】 根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围.【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.[再练一题]4.求函数y ＝2cos x －1的定义域. 【解】 由题意得：2cos x －1≥0， 则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围. ∴满足cos x ≥12的角的集合即y ＝2cos x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .1.已知角α终边经过P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33D.±12【解析】 由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 【答案】 B2.已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A.1 B.－1 C.22D.－22【解析】 由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.【答案】 B3.sin 1·cos 2·tan 3的值是( )【导学号：00680007】 A.正数 B.负数 C.0D.不存在【解析】 ∵0<1<π2，π2<2<π，π2<3<π，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，∴sin 1·cos 2·tan 3>0.【答案】 A4.已知tan α＝3，则tan(α＋4π)的值为________. 【解析】 因为tan α＝3，所以tan(α＋4π)＝tan α＝3. 【答案】 35.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义. (1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值. 【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限.(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。
2018版数学人教A版必修四文档：第一章 三角函数1-3二
学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角π2－α的三角函数值间的关系.(1)sin π6＝12，cos π3＝12，sin π6＝cos π3；(2)sin π4＝22，cos π4＝22，sin π4＝cos π4；(3)sin π3＝32，cos π6＝32，sin π3＝cos π6.由此可得 诱导公式五知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出π2＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？答案 以－α代替公式五中的α得到 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos(－α)， cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝sin(－α).由此可得 诱导公式六知识点三 诱导公式的推广与规律1.sin(32π－α)＝－cos α，cos(32π－α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，cos(32π＋α)＝sin α. 2.诱导公式记忆规律：公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k ·π2±α(k ∈Z )中k 的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号.类型一 利用诱导公式求值例1 (1)已知cos(π＋α)＝－12，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值. 解 (1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，又α为第一象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫122＝－32. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α·sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝－13sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－13cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－19. 反思与感悟 对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题. 跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值. 解 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 类型二 利用诱导公式证明三角恒等式例2 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 ∵左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边. ∴原等式成立.反思与感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2sin 2 (π＋θ)＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1.证明 因为左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ·(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.所以左边＝右边，故原等式成立. 类型三 诱导公式在三角形中的应用例3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状.解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B . ∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，即cos C ＝cos B .又∵B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.反思与感悟 解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋B ＋C 2＝π2，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.跟踪训练3 在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④ 答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin [2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin [2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos [2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos [2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.类型四 诱导公式的综合应用例4 已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin (π2＋α)cos (π＋α)sin (－α).(1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值.解 (1)f (α)＝sin αcos αcos α－cos α(－sin α)＝cos α.(2)因为f (A )＝cos A ＝35，又A 为△ABC 的内角，所以由平方关系，得sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin A cos A ＝43，所以tan A －sin A ＝43－45＝815.反思与感悟 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.跟踪训练4 已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值.解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎫－α－32πcos ⎝⎛⎭⎫32π－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin αcos α·tan 2α＝cos α(－sin α)sin αcos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.1.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.－233B.233C.13D.－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2.若cos(2π－α)＝53，则sin(3π2－α)等于( ) A.－53B.－23C.53D.±53答案 A解析 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α＝53， ∴sin(3π2－α)＝－cos α＝－53.3.已知tan θ＝2，则sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)等于( )A.2B.－2C.0D.23 答案 B解析 sin (π2＋θ)－cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值.解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. ∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3 ＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1) ＝4－17×(4＋1)＝335.5.求证：tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝－tan α.证明 因为左边＝tan (2π－α)cos (3π2－α)cos (6π－α)sin (α＋3π2)cos (α＋3π2)＝tan (－α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan αsin αcos αcos αsin α＝－tan α＝右边，所以原等式成立.1.诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类：①α＋k ·2π，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.②α＋π2，－α＋π2的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.(2)以上两类公式可以归纳为：k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成(0，π2)内的三角函数值”这种方式求解.用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到π2之间的角的三角函数的基本步骤：课时作业一、选择题1.已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α等于( )A.－25B.－15C.15D.25答案 C解析 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)等于( )A.45 B.－45C.±45D.35 答案 B解析 ∵cos(3π2＋α)＝sin α，∴sin α＝－35.又α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝45，∴cos(－3π＋α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－45，故选B.3.若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A.cos(A ＋B )＝cos CB.sin(A ＋B )＝－sin CC.cos A ＋C 2＝sin BD.sin B ＋C 2＝cos A 2答案 D解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 项不正确； ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2，∴cos A ＋C 2＝cos(π2－B 2)＝sin B2，故C 项不正确；∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，故D 项正确.4.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于( ) A.2 B.－2 C.2－π2D.π2－2 答案 C 解析 cos α＝2sin 2(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝sin 2， ∵α为锐角，∴α＝2－π2.5.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.6.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m2答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α ＝－m ，∴sin α＝m 2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－3m2.二、填空题7.若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝ . 答案265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫152＝－265. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝265. 8.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245° ＝44＋12＝892.9.已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝ . 答案 2解析 因为tan(3π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝2， 所以原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.10.在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝ . 答案 π2解析 由题意得3cos A ＝3sin A ， ① cos A ＝3cos B ，②由①得tan A ＝33，∴A ＝π6. 由②得cos B ＝cos π63＝12，∴B ＝π3.∴C ＝π2.三、解答题11.已知角α的终边经过点P (－4，3)，求 cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值.解 ∵角α的终边经过点P (－4，3)， ∴tan α＝y x ＝－34，∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin αsin α－sin αcos α＝tan α＝－34.12.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值. 解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α， ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.13.已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2；(2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α；(3)tan(5π－α). 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角.①当α为第一象限角时，cos α＝223，∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝24. 四、探究与拓展14.已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)＝ .答案 －34解析 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34.15.已知α是第四象限角，且 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α).(1)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (2)若α＝－1 860°，求f (α)的值.解 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (－π－α)cos (2π＋α)＝sin αcos α－sin αsin (π＋α)cos α＝1sin α.(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋2π＝15， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝15， ∴sin α＝－15，∴f (α)＝1sin α＝－5.(2)当α＝－1 860°时，f (α)＝1sin α＝1sin (－1 860°)＝1－sin 1 860°＝1－sin (5×360°＋60°)＝1－sin 60°＝－233.。
2018年高中数学人教A版必修4第1章三角函数1.5.1习题含解析.docx
人教版 2018-2019 学年高中数学必修4 习题1.5函数y=A sin(ωx+φ)的图象第 1 课时画函数 y=Asin(ωx+φ)的图象课时过关能力提升·基础巩固1 把y= sin x的图象向左平移个单位长度得到的图象的解析式为A .y= cos xB .y= sin xC.y= sin x解析 :把 y= sinx 的图象向左平移个单位长度 ,得到的图象的解析式为y=si x.答案 :A2 要得到函数y= cos 2x的图象,只需把函数y= sin 2x的图象()A. 向左平移个单位长度向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度解析 :y=cos2x= si则需把函数 y= sin2x 的图象向左平移个单位长度得到函数y= cos2x 的图象 .答案 :A3 要得到y= si-的图象只要将的图象A. 向左平移个单位长度向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度答案 :B4 为了得到函数y=si- 的图象可以将函数的图象A. 向右平移个单位长度向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度向右平移个单位长度解析 :y=si--则将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度,得函数y= sin-即y= si-的图象.答案 :A5 用“五点法”画函数y= 2si在一个周期内的简图时五个关键点是--则解析 :周期 T-答案 :26 把函数y= 2si的图象上的所有点向右平移个单位长度再把所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到的图象对应的解析 :把函数 y=2si的图象上的所有点向右平移个单位长度,得函数y= 2si-4=2sin3 - 4 的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 ,得到函数y= 2si-的图象,即y= 2si-答案 :y=2si-7 用“五点法”画y= 4si在一个周期内的简图时所描的五个点分别是--解析 :令则x即最后一个关键点是答案 :8把函数y= 3si的图象向右平移个单位长度再向下平移个单位长度则得到的函数的解析式是解析 :函数 y= 3si的图象向右平移个单位长度得函数y=3si-2x,再向下平移 1 个单位长度得y= 3sin2x-1.答案 :y=3sin 2x-19 已知函数f( x)= 3si-∈ R.(1)列表并画出函数 f(x)在一个周期内的简图 ;(2) 将函数 y= sin x 的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象 ?解(1) 函数 f(x)的周期 T由解得x列表如下 :x0π2π3si- 0 3 0 -3 0描出五个关键点并光滑连线,得到一个周期的简图.图象如下 :(2)先把 y= sinx 的图象向右平移个单位长度 ,再把所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍 (纵坐标不变), 最后把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍 (横坐标不变 ), 得到 f( x)的图象 .10 函数y=5si-的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到解将函数 y=sinx 的图象依次进行如下变换:①把函数 y= sinx 的图象向右平移个单位长度 ,得到函数 y= si- 的图象 ;②把函数 y= si-的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变),得到函数y= si-的图象;③把函数 y= si-的图象上各点的纵坐标伸长到原来的 5 倍 (横坐标不变 ), 得到函数y= 5si-的图象;④把函数 y= 5si-的图象向上平移 1 个单位长度 ,得到函数y= 5si-的图象.经过上述变换,就得到函数y= 5si-的图象.能力提升1 用“五点法”画函数f(x)=A sin(ωx+φ)的简图时,若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1,x2,x3,x4,x5,且 x1 +x 5则等于A答案 :C2 某同学用“五点法”画函数y=A sin(ωx+φ)( A> 0,ω> 0)在一个周期内的简图时,列表如下 :ωx+φ0π2πxy0 2 0 -2 0则有 ()A. A= 0,ωC.A= 2,ω= 3,φ=解析 :由表格得 A= 2∴ ω= 3.∴ ωx+ φ= 3x+ φ.当x时,3x+φ答案 :C3 若函数y= sin(2x+θ)的图象向左平移个单位后恰好与的图象重合则的最小正值是A解析 :函数 y= sin(2x+ θ)的图象向左平移个单位长度所得图象对应的解析式为y=si=sin2 + 3+ .∵ y= sin2x 与 y=si的图象重合,∈ Z ),θ= 2kπ∈ Z) .∴ θ的最小正值是答案 :D4 已知a是实数,则函数f(x)= 1+a sin ax的图象不可能是()解析 :当 a= 0 时 ,f(x)= 1,此时函数f(x) 的图象是 C 项 ;当 a≠0 时 ,周期 T若|a|> 1,则T< 2π,此时函数f(x)的最大值1+|a|> 1+ 1= 2,此时函数f(x)的图象可能是 B 项 ;若 |a|< 1,则 T> 2π,此时函数 f(x)的最大值1+|a|< 1+ 1=2,此时函数 f( x)的图象可能是 A 项 ;若 |a|= 1,则周期 T= 2π;所以函数 f(x)= 1+a sinax 的图象不可能是 D 项 .答案 :D5 函数f(x)= sin(ωx+ φ的最小正周期为且其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数则函数的图象A. 关于点对称关于直线对称C.关于点对称关于直线对称解析 :∵T= π,∴ω= 2.∴ f(x)= sin(2 x+ φ).由图象左移个单位长度后为奇函数知 ,y= si是奇函数 ,∴ φ∈ Z .∴ φ=kπ∈ Z.又∵ |φ|∴ f(x)= si-令 2x∈ Z ,∴ x∈ Z .故选B .答案 :B★ 6 将函数f( x)的图象向右平移个单位长度后再向上平移个单位长度得函数-的图象则解析 :将 y= 2si-的图象向左平移个单位长度,得函数y= 2si-1312 的图象,再向下平移一个单位长度,得函数y=2sin4 + 13 12 1的图象,即f(x)= 2si答案 :2si7 用“五点法”画出函数y在一个周期内的图象解列表 :2x0π2πxy000描点 ,连线 ,其图象如图 .★8 已知函数f( x)=5si的最小正周期为(1)求 f(x);(2)函数 y= sin x 的图象经过怎样的变换得到函数f(x)的图象 ?解(1) ∵ T= 4π,∴4π∴ f(x)= 5si(2)步骤 :①将函数 y= sinx 的图象向左平移个单位长度,得函数y= si的图象;②将 y=si的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 ,得函数 y= si6 的图象;③将函数 y= si的图象上所有点的纵坐标变为原来的 5 倍 ,横坐标不变 ,得函数y= 5si的图象;④将函数 y= 5si的图象向下平移 2 个单位长度得函数y= 5si的图象,即函数 f( x)的图象 .。
2018秋新版高中数学人教A版必修4：第一章三角函数 1.1.2
A.480 cm B.240 cm
C.
8π 3
cmD.
4π 3
cm
(2)如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积.
题型一 题型二 题型三 题型四
(1)解析:80°=
π 180
×
80
=
49π,
又
r=6
cm,故弧长
l=α·r=
4π 9
×
6
=
8π 3
(cm).
答案:C
(2)解:S
y 轴非正半轴
y轴
坐标轴
集合
α|α = 2k������,k∈Z
������|������ = 2������π + π,������∈Z
������|������ = ������π,������∈Z
������
������
=
2������π
π +π2
,������∈Z
������ ������
������ ������
123
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
123
2.弧度数
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零
该弧所对的圆心角的弧度数是
(圆心角的范围为(0,2π)).
答案:4
123
3.弧度制与角度制的换算
(1)角度转化为弧度:360°=2π
rad,180°=π
rad,1°=
π 180
2018年数学人教A版必修4课件：第一章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象 精品
[知识提炼·梳理]
解析式 图象
y＝tan x
定义域 x__x_∈__R_，__且__x_≠__π_2_＋__k_π__，__k_∈__Z
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性 _在__开__区__间__－__π_2_＋__k_π__，__π_2_＋__k_π___，__k_∈_Z 上都是增函数
温馨提示 函数 y＝tan x 的对称中心的坐标是 kπ 2 ，0，(k∈Z)，不是(kπ，0)(k∈Z)．
函数，所以 ymin＝sin－π4 ＋tan－π4 ＝－ 22－1，ymax
π
π
＝sin 3 ＋tan 3 ＝
323，所以所求函数的值域是－ 22－1，32 3.
答案：(1)xkπ－π2 <x<kπ＋π3 ，k∈Z
(2)－
22－1，3
2
3
归纳升华 1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函 数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 y＝tan x 有意 义即 x≠π2 ＋kπ，k∈Z.
3π
2π 3π π
7 ，且 0< 7 < 7 < 2 ，
又 y＝tan x 在0，π2 上单调递增，
2π 3π
2π 10π
所以 tan 7 <tan 7 ，即 tan 7 <tan 7 .
②tan
6π 5 ＝tan
π5 ，tan－135π＝tan
2π 5，
π 2π π 因为 0< 5 < 5 < 2 ，
又 y＝tan x 在0，π2 上单调递增，
所以 tan
π 5 <tan
2π 5 ，则 tan
6π5 <tan－135π.
2018秋新版高中数学人教A版必修4习题：第一章三角函数 1.2.1.1 Word版含解析
1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数第1课时三角函数的定义课时过关·能力提升基础巩固1sin 390°等于()A.12B.√22C.√32D.1解析:sin390°=sin(30°+360°)=sin30°=12.答案:A2若cos α<0,且tan α>0,则α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由于cosα<0,则α的终边在第二或第三象限,又tanα>0,则α的终边在第一或第三象限,所以α的终边在第三象限.答案:C3cos 1 110°的值为()A.12B.√32C.−12D.−√32解析:cos1110°=cos(3×360°+30°)=cos30°=√32.答案:B4√cos2201.2°可化为() A.cos 201.2° B.-cos 201.2°C.sin 201.2°D.tan 201.2°解析:∵201.2°是第三象限角,∴cos201.2°<0,∴√cos2201.2°=|cos201.2°|=-cos201.2°.答案:B5已知点P (1,y )是角α终边上一点,且cos α=√36,则y = . 解析:∵P (1,y )是角α终边上一点,且cos α=√36,∴r =√1+y 2,1r =√1+y =√36,∴y =±√11. 答案:±√116已知点P (−√3,−1)是角α终边上的一点,则cos α+tan α= .解析:∵x=−√3,y =−1,∴r =OP =√(-√3)2+(-1)2=2.∴cos α=−√32,tanα=√3=√33. ∴cos α+tan α=−√32+√33=−√36.答案:−√367已知α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α<0,则a 的取值范围是 .解析:∵sin α>0,cos α<0,∴α是第二象限角.∴点(3a-9,a+2)在第二象限.∴{3a -9<0,a +2>0,解得-2<a<3. 答案:(-2,3)8判断下列各式的符号.(1)tan 250°cos(-350°); (2)sin 105°cos 230°.解(1)∵250°是第三象限角,-350°=-360°+10°是第一象限角,∴tan250°>0,cos(-350°)>0,∴tan250°cos(-350°)>0.(2)∵105°是第二象限角,230°是第三象限角,∴sin105°>0,cos230°<0,∴sin105°cos230°<0.9利用定义求si n 5π4,cos 5π4,tan 5π4的值.解如图,在平面直角坐标系中画出角5π4的终边.设角5π4的终边与单位圆的交点为P ,则有P (-√22,-√22).故si n 5π4=−√22,cos 5π4=−√22,tan 5π4=-√22-√22=1.能力提升1已知角α的终边经过点P (m ,-3),且cos α=−45,则m 等于( )A.−114B.114C.−4D.4解析:由题意得cos α=√m 2+9=−45,两边平方可解得m=±4.又cos α=−45<0,则α的终边在第二或三象限,则点P 在第二或三象限,所以m<0,则m=-4.答案:C2已知P (2,-3)是角θ终边上一点,则tan(2π+θ)等于( ) A .32B.23C.−32D.−23解析:tan(2π+θ)=tan θ=-32=−32. 答案:C3如果点P (sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解析:由于点P (sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,则{sinθ+cosθ<0,sinθcosθ>0,所以有sin θ<0,cos θ<0,所以角θ的终边在第三象限.答案:C4已知角α的终边不在坐标轴上,则sinα|sinα|+cosα|cosα|+tanα|tanα|的取值集合是( )A.{1,2}B.{-1,3}C.{1,3}D.{2,3}解析:当α是第一象限角时,sinα|sinα|+cosα|cosα|+tanα|tanα|=3,当α是第二、三、四象限角时,其值为-1.所以sinα|sinα|+cosα|cosα|+tanα|tanα|的取值集合是{-1,3}.答案:B5已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=−2√55,则y=.解析:|OP|=√42+y2,根据任意角的三角函数的定义知,sinθ=√4+y2=−2√55,∴y<0,解得y=-8.答案:-8★6已知θ=−11π6,P为角θ终边上一点,|OP|=2√3,则点P的坐标为.解析:sinθ=si n(-11π6)=sin(-2π+π6)=sinπ6=12,cosθ=co s(-11π6)=cos(-2π+π6)=cosπ6=√32.设P(x,y),则sinθ=y|OP|,cosθ=x|OP|,∴y=|OP|·sinθ=2√3×12=√3,x=|OP|·cosθ=2√3×√32=3,∴P(3,√3).答案:(3,√3)★7已知角α的终边经过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k∈Z),求角α的各个三角函数值.分析本题中的点P的坐标是用θ的三角函数表示的,在求点P到原点的距离时,应特别注意角θ的范围对r值的影响.解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k∈Z),∴cosθ<0.∴点P在第四象限.∵x=-3cosθ,y=4cosθ,∴r=√x2+y2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=|5cosθ|=-5cosθ.∴sinα=−45,cosα=35,tanα=−43.★8已知1|sinα|=-1sinα,且lg cos α有意义. (1)试判断角α所在的象限.(2)若角α的终边上一点是M (35,m),且|OM|=1(O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值. 解(1)由1|sinα|=−1sinα可知sin α<0,所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角. 由lgcos α有意义可知cos α>0,所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角. 综上可知角α是第四象限的角.(2)因为|OM|=1,所以(35)2+m2=1,解得m=±45.又α是第四象限角,所以m<0,从而m=−45.由正弦函数的定义可知sin α=y r =m |OM |=-451=−45.。
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1.4.3 精品
学案·新知自解
1．能画出 y＝tan x 的图象． 2．理解正切函数 y＝tan x 在－π2 ，π2 上的性质． 3．能够熟练应用正切函数 y＝tan x 的性质．
函数y＝tan x的图象与性质
解析式
y＝tan x
图象
定义域
_____x__x_≠_k_π_＋__π2__，__k_∈__Z______
∴f(x)＝tan2x＋π3的周期是π2.
(2)定义域为x|
x≠kπ＋π2，k∈Z，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴它是奇函数．
[归纳升华] 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝|ωπ|，常常利用此公式 来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不 对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f(－x)与 f(x)的关系.
2．(1)函数 y＝tanπ2x＋3的最小正周期是()Aຫໍສະໝຸດ 4B．4πC．2π
D．2
(2)已知函数 f(x)＝tan x＋ta1n x，若 f(a)＝5，则 f(－a)＝________.
因此，函数 y＝1＋t1an x的定义域为
x|
x≠kπ－π4且x≠kπ＋π2，k∈Z.
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 多维探究型 (1)求 f(x)＝tan2x＋π3的周期； (2)判断 y＝sin x＋tan x 的奇偶性．
解析： (1)∵tan2x＋π3＋π＝tan2x＋π3，
即 tan2x＋π2＋π3＝tan(2x＋π3)，
2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二) 新人教A版必修4
即{θ|2kπ－23π≤θ<2kπ－π6或 2kπ＋π6<θ≤2kπ＋23π，k∈Z}.
解答
命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域. (1)y＝ 2sin x－ 3；
解 自变量 x 应满足 2sin x－ 3≥0，
即
sin
x≥
3 2.
图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，
解答
反思与感悟
用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再 加上周期； (2)注意区间是开区间还是闭区间.
跟踪训练 3 已知－12≤cos θ< 23，利用单位圆中的三角函数线，确定角 θ 的取值范围. 解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，
tan－58π＝AT.
解答
反思与感悟
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过 此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反 向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12 的角α的终边，并求角α的取值 集合. 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12. 所以在 y 轴上取点0，12，过这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，
则OP1，OP2是角α的终边， 因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋π6或
α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
解答
类型二 利用三角函数线比较大 例 2 利用三角函数线比较 sin23π和 sin45小π，cos23π和 cos45π，tan23π和 tan45π的大小.
2018年高中数学人教A版必修4第1章三角函数 1.5.2习题含解析
第2课时函数y=A sin(ωx+φ)的性质及应用课时过关·能力提升基础巩固1简谐运动y=3si的相位和初相分别是A.3,5B.5xC.3答案:B2函数f(x)=si-的图象的一条对称轴是A.xC.x=解析:函数f(x)=si-的图象的对称轴是x∈Z,即x=kπ∈Z.当k=-1时x=-π故选C.答案:C3设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是则的最小正周期是A.2πB.πC解析:函数y=sinωx的图象中,对称中心到对称轴的最小值是其中T为函数y=sinωx的最小正周期,则解得T=π.答案:B4已知f(x)=sin(3x+φ)的图象的一个对称中心是-则可取A解析:由于-则si-∴si验证各选项可知仅当φ=时满足si答案:B5已知ω>0,0<φ<π,直线x和是函数图象的两条相邻的对称轴则A解析:周期T=-∴f(x)=sin(x+φ).由题意知又0<φ<π,∴φ答案:A6函数y=A sin(ωx+φ∈的部分图象如图则此函数表达式为A.y=-4si-C.y=4si-解析:观察图象知函数的最大值是4,则A=4,函数的周期T=2×[6-(-2)]=16,则16则有y=4si又点(-2,0)在函数y=A sin(ωx+φ)的图象上,则0=4si-所以si-又|φ|所以所以y=4si答案:D解得7函数f(x)=A sin(ωx+φ其中的图象如图为了得到的图象则只要将的图象A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析:由函数f(x)的图象,知函数f(x)的最小值是-1,则A=1;函数f(x)的周期是-则解得ω=3,则f(x)=sin(3x+φ).又函数f(x)的图象经过点则即si又|φ|则所以f(x)=si所以要得到g(x)=sin3x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位长度.答案:B8关于函数f(x)=2si-以下说法其最小正周期为图象关于点对称直线是其图象的一条对称轴其中正确命题的序号是.答案:①②③9若f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数t都有-且则实数的值等于答案:-5或-110点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为3cm,周期为3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移x(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;(2)求该物体在t=5s时的位置.解(1)设x和t之间的函数关系式为x=3sin(ωt+φ)(ω>0,0≤φ<2π).则由T可得当t=0时,有x=3sinφ=3,即sinφ=1.又0≤φ<2π,所以φ故所求函数关系式为x=3si即x=3co(2)令t=5,得x=3co故该物体在当t=5s时的位置是在点O的左侧且距点O1.5cm处.11挂在弹簧下的小球上下振动,它在时间t(单位:s)内离开平衡位置(就是静止时的位置)的距离h(单位:cm)由函数关系式h=3si决定(1)以t为横坐标,h为纵坐标作出这个函数的图象(其中0≤t≤π);(2)经过多少时间,小球往复振动一次?(3)每秒小球能往复振动多少次?解(1)利用五点法可以作出其图象(如图).(2)小球经过πs往复振动一次.(3)每秒小球能往复振动次.能力提升1若函数f(x)=2si-是偶函数则的值可以是A解析:由于f(x)是偶函数,则 f (x )的图象关于 y 轴即直线 x=0 对称,则 f (0)=±2,又当 φ时,f (0)=2si -则 φ 的值可以是答案:A2 已知函数 f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在 x=1 和 x=-1 处分别取得最大值和最小值,且对于任意x 1,x 2∈[-1,1],x 1≠x 2,都有- -则A .函数 y=f (x+1)一定是周期为 4 的偶函数B .函数 y=f (x+1)一定是周期为 2 的奇函数C .函数 y=f (x+1)一定是周期为 4 的奇函数D .函数 y=f (x+1)一定是周期为 2 的偶函数 答案:A3 已知函数 f (x )=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f (x )≤对 ∈R 恒成立,且则的单调递增区间是A-∈Z )B∈Z )C∈Z )D- ∈Z )答案:C★4 若函数 f (x )=3sin(ωx+φ)对任意 x 都有则A.3 或 0 C.0B.-3 或 3D.-3 或 0解析:由于函数 f (x )=3sin(ωx+φ)对任意 x 都有则函数f (x )的图象关于直线x对称,则是函数f (x )的最大值或最小值,则或3.答案:B5函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图,则函数解析式为y=.解析:由题图知,A=5,由知T=3π,∴ω则y=5si由图象知最高点坐标为将其代入y=5si得5si∈Z),解得φ=2kπ∈Z).由于|φ|<π,则φ答案:5si★6已知函数f(x)=si若且在区间内有最大值无最小值则解析:由于f(x)在区间内有最大值,无最小值,则周期T故又则直线x是函数f(x)图象的对称轴,所以所以si所以∈Z),所以ω∈Z).又ω>0,所以ω答案:7已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),图象最低点的纵坐标是相邻的两个对称中心是和求:(1)f(x)的解析式;(2)f(x)的值域;(3)f(x)的对称轴.解(1)A-∴f(x)在f(x)的图象上,∴又-π<φ<0,∴φ=∴f(x)-(2)值域是[(3)令2x∈Z),∴x∈Z).∴对称轴是直线x∈Z).★8已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点对称且在区间上是单调函数求和的值解∵f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)在x=0时取得最值,即sinφ=1或sinφ=-1.又0≤φ≤π,故φ由f(x)的图象关于点M对称,可知si解得∈Z.又f(x)在上是单调函数,∴T≥π,即≥π.∴ω≤2,又ω>0,∴当k=1时,ω当k=2时,ω=2.故φ或。
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1-4-2 第一课时 精品
教案·课堂探究
三角函数的周期 自主练透型
求下列函数的周期． (1)y＝3sinπ2 x＋3； (2) y＝|cos x|.
解析： (1)y＝3sinπ2 x＋3 ＝3sinπ2 x＋3＋2π ＝3sinπ2 （x＋4）＋3， 即 3sinπ2 x＋3＝3sinπ2 （x＋4）＋3， ∴y＝3sinπ2 x＋3的周期为 4.
(2)函数 y＝|cos x|的图象如图所示． 由图象知 T＝π.
[归纳升华] 求函数最小正周期的常用方法
求三角函数的周期，一般有两种方法： (1)公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形
式，再利用 T＝|2ωπ|求得；
(2)图象法，利用交换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.
三角函数的奇偶性 多维探究型
(1)函数 f(x)＝ 2sin 2x 的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
(2)判断函数 f(x)＝sin34x＋3π 2 的奇偶性．
[边听边记] (1)∵f(x)的定义域是 R. 且 f(－x)＝ 2sin2(－x)＝－ 2sin 2x＝－f(x)， ∴函数为奇函数． (2)∵f(x)＝sin34x＋3π 2 ＝－cos 34x， ∴f(－x)＝－cos－34x＝－cos 34x， ∴函数 f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数． 答案： (1)A
法二：(公式法) ∵y＝cos2x＋π3 ，∴ω＝2.
又 T＝|2ωπ|＝2π 2 ＝π，
∴函数 f(x)＝cos2x＋π3 的周期 T＝π. (2)法一：∵f(x)＝|sin x|， ∴f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)， ∴f(x)的周期为π.
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号 右边是正号还是负号；“看象限”是指假设 α 是锐角，要看原函数名在本公式中 角的终边所在象限是取正值还是负值，如 sin(π ＋α)，若 α 看成锐角，则π ＋α 在第三象限，正弦在第三象限取负值，故 sin(π ＋α)＝－sin α . 2．诱导公式一 四的作用
＝sin2α＋cos2α＋1 ＝2. －cos αtan α（－tan α） (2)①原式＝ ＝－tan α. －sin α 2π 4π ②当 k 为偶数时，原式＝sin ·cos 3 3
π π ＝sinπ－ ·cosπ＋ 3 3
π π 3 ＝－sin cos ＝－ . 3 3 4 2π 4π 当 k 为奇数时，原式＝sin cosπ＋ 3 3
公式一的作用：把不在 0～2π 范围内的角化为 0～2π 范围内的角； 公式二的作用：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数； 公式三的作用：把负角的三角函数化为正角的三角函数； 公式四的作用：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.
1．sin 480°的值为( 1 A. 2 1 C．－ 2
答案：
(1)1
[归纳升华] 三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角 α 的三角函 数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． π (3)注意“1”的应用：1＝sin α＋cos α＝tan . 4
2 2
2．(1)化简 sin2(π －α)－cos(π ＋α)cos(－α)＋1，结果为( A．1 C．0 B．2 D．2sin2α
π π ＝sinπ－ cos2π＋ 3 3
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数
解析： (1)顺时针拧螺丝 2 圈，螺丝顺时针旋转了 2 周，因此表示的角为－ 720° . (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢 2 小时 30 分钟， 分针转过的角为 900° . (3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体 3 周，表示的角为－1 080° .
象限角的判断 自主练透型 (1)给出下列四个结论：①－15° 是第四象限角；②185° 是第三象限 角；③475° 是第二象限角；④－350° 是第一象限角．其中正确的个数为( A．1 C．3 B．2 D．4 )
C．k· 360°＋45°，k∈Z 解析：
B．k· 360°－405°，k∈Z
D．k· 180°＋45°，k∈Z
由于405°＝1×360°＋45°，
所以405°角的终边与45°角的终边相同． 答案： C
3．420°是第________象限的角．
解析： 答案： 420°＝360°＋60°，60°在第一象限，420°在第一象限． 一
教案·课堂探究
任意角的概念 自主练透型 (1)下列说法正确的有________．(填序号)
①零角的始边和终边重合． ②始边和终边重合的角是零角．
③如图，若射线 OA 为角的始边，OB 为角的终边，则∠AOB＝45° ；若射线 OB 为角的始边，OA 为角的终边，则∠BOA＝－45° . ④绝对值最小的角是零角． (2)经过 5 小时 25 分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
2．(1)若角 α 满足 α＝45° ＋k· 180° ，k∈Z，则角 α 的终边落在( A．第一或第三象限 C．第二或第四象限 B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
)
(2)若 β 是第四象限角，试确定 180° －β 是第几象限角．
2018学年高中数学人教A版课件必修四 第一章 三角函数 1.1.1 精品
[探究共研型] α k 所在象限的判定方法及角的终边
对称问题
α
探究 1 由 α 所在象限如何求 k (k∈N*)所在象限？ 【提示】 (1)画图法：将各象限 k 等分，从 x 轴正半轴开始逆时针方向依
α
次标注 1，2，3，4，循环下去，直到填满为止，则当 α 在第 n 象限时， k 就在
【解】 ∵α 是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
α
∴30°＋k·120°< 3 <60°＋k·120°，k∈Z.
＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则
α
30°＋k·120°< 3 <60°＋k·120°，k
α
∈Z，所以 3 在第一、二、四象限．
探究 2 若角 α 与 β 的终边关于 x 轴、y 轴、原点、直线 y＝x 对称，则角 α
与 β 分别具有怎样的关系？
【提示】 (1)关于 y 轴对称：若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则角α与 β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(1)(2016·北京高一检测)若 α 是第四象限角，则 180°－α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
α
(2)已知 α 为第二象限角，则 2α， 2 分别是第几象限角？
【精彩点拨】 (1)可通过写出α的取值范围，逐步求得 180°－α 范围来
α
求解；(2)可由 α 范围写出 2α， 2 的范围后，直接求得 2α 的范围，然后分 k 为
第三步：起始、终止边界对应角 α，β再加上 360°的整数倍，即得区间角
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1.2.1 第一课时 精品
[边听边记 ] (1)原式＝ sin(－4×360°＋45°)cos (3×360°＋30°)＋cos (－
3×360°＋60°)sin (2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝ 22× 23＋12×12＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)原式＝sin －2π＋π6 ＋cos 2π＋2π5 ·tan (4π＋0)＝
1．2 任意角的三角函数 1．2.1 任意角的三角函数 第一课时 任意角的三角函数(一)
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学案·新知自解
1．借助单位圆理解任意角的三角函数定义． 2．掌握三角函数在各象限的符号．
任意角的三角函数的定义 设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么：
正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
1．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析： 终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不 一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名 三角函数值可能相同．故只有②正确．
sin
π 6 ＋cos
2π5 ×0＝12.
[归纳升华] 诱导公式一的应用策略
应用诱导公式一时，先将角转化到 0～2π范围内的角，再求值．对于特殊角 的三角函数值一定要熟记.
3．求下列各式的值： (1)sin 253π＋tan －154π； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数
建立数学模型 ，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据 这里的关键是______________
求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行 数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际 问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
解析：
π t π 由 2kπ－ ≤ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得 4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z. 2 2 2
当 k＝1 时，得 t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故在[10，15]上是增加 的．
答案：
C
1 2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 周期后， 2 乙的位置将传播至( A．甲 C．丙 ) B．乙 D．丁
π s＝4sin ＝2 3， 3
所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 πs.
[归纳升华] 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具 有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要 熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
[边听边记]
(1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，由已知周期为 12 分钟，
2π π 可知 ω＝ ，即 ω＝ . 12 6 π 所以 y＝40.5－40cos t(t≥0)． 6 (2)令 y＝40.5－40cos π π 1 t＝60.5，得 cos t＝－ ， 6 6 2
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一、选择题 1 ． （2018 年高考（浙江文理） ）把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是
2 ． （2018 年高考（天津文） ） 将函数 f ( x ) sin x ( 0) 的图像向右平移
5 D．2 3 3 ． （2018 年高考（四川文） ） 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin CED
C． A．
3 , 0) ,则 的最小值是 4 1 A． B．1 3 (
个单位长度,所得图像经过点 4
（ ）
) 在 ( , ) 上单调递减.则 的取值范围 4 2
（ ）
1 5 2 4
B． [ , ]
1 3 2 4
C． (0, ]
1 2
D． (0, 2]
二、解答题 11． （2018 年高考 （重庆文） ） (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 f ( x ) A sin( x ) (其 中 A 0, 0, )在 x
4
D． x
2
（
）
9． （2018 年高考（安徽文） ）要得到函数 y cos(2 x 1) 的图象,只要将函数 y cos 2 x 的图象 （ A．向左平移 1 个单位 C．向左平移 B．向右平移 1 个单位 D．向右平移
）
1 个单位 2
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1 个单位 2
10 ． （2018 年高考（新课标理） ）已知 0 ,函数 f ( x ) sin( x 是 A． [ , ]
处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I)求 6 2 f (x ) 6
的值域.
f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x )
6 cos 4 x sin 2 x 1
12． （2018 年高考（陕西文） ）函数 f ( x ) A sin( x 称轴之间的距离为
2 , (0,π),则 sin 2 = （ 2 2
D．1
）
2 2
C．
6 ． （2018 年高考（课标文） ）已知 >0, 0 ,直线 x = 条相邻的对称轴,则 = π A． 4 B． π 3 C． π 2
5 和x= 是函数 f ( x ) sin( x ) 图像的两 4 4
3 10 10
B．
10 10
C．
5 10
D．
5 15
x (0 x 9) 的最大值与最小 4 ． （2018 年高考（山东文） ）函数 y 2sin 6 3 值之和为 （
）
A． 2 3
B．0
C．-1
D ． 1 3
5 ． （2018 年高考（辽宁文） ）已知 sin cos A． 1 B．
, 0 变为 1, 0 , 2 2
得到函数 g ( x ) f ( x ) sin ( x ) sin(x ) ,因为此时函数过点 4 4 4 4 3 3 3 ( ,0) ,所以 sin ( ) 0 ,即 ( ) k , 所以 2k , k Z ,所以 的最小值为 2, 4 4 4 4 4 2
则最大值与最小值之和为 2 3 ,答案应选 A. 5. 【答案】A 【解析】 sin cos 6.
2, (sin cos ) 2 2, sin 2 1, 故选 A
【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.
2 2
[点评]注意恒等式 sin α+cos α=1 的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 4. 解析:由 0 x 9 可知
7 x ,可知 3 6 3 6
sin(
3 x [ 3, 2] , x ) [ ,1] ,则 y 2sin 6 3 2 6 3
, 2
) 1 ( A 0, 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对 6
(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 (0,
) ,则 f ( ) 2 ,求 的值. 2 2
参考答案 一、选择题 1. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变换,在 x 轴、y 轴上的 平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】 由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),即解析式为 y=cosx+1, 向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),利用特殊点 选 A. 2. 【解析】函数向右平移
3.
选 D. [答案]B
[解析 ] AE 1，正方形的边长也为 1 ED
2 EC （ EA AB ） CB 2
AE AD
2
2
2
5
2
CD 1 cos CED ED EC - CD 2 ED EC
2 2
10 10
3 10 10
sin CED 1 cos 2 CED
（ 3π D． 4 （ ） ）
7． （2018 年高考（福建文） ）函数 f ( x ) sin( x
) 的图像的一条对称轴是 4
A． x
4
B． x
2
C． x
8． （2018 年高考（大纲文） ）若函数 f ( x ) sin A．
2
B．
2 3
x ( 0, 2 ) 是偶函数,则 3 3 5 C． D． 2 3