4.3指数函数2
4.3指数函数
， 1 .6
3.3
（2） 0.7 ， 0.7
1.1
1 .2
3
（3） 2.1 ， 2.1
2
2.1
（4） ( )
1 5
2
，( )
1 5
3
例 5：解下列方程： （1） 2 =2 （2）
x2 x
1 2
x -1
=1
x
（3） 0.5 -6 0.5 -16=0
2x
例 6：求下列函数的定义域： （1）y=0.53x-2 （2） y =
试写出细胞个数 y 与分裂次数 x 之间的函数关系式。 活动一：抽象概念 一般地， 形如 y= a (a>0， 且 a≠1)的函数叫做指数函数， 交流质疑 对话体验 例 1：判断下列函数是否指数函数 （1）y=x2
1
x
其中 x 为自变量，a 为常数。指数函数的定义域为 R。
（2）y=2x （3）y=2-x （4）y=（-3）x （5）y=23x （6）y=3x+1 注：ax 的系数为 1； 指数必须是单个 x 底数 a>0 且 a≠1 活动二：概念运用 例 2 ：在同一平面直角坐标系中，用描点法作指数函数
3 2 -8
x
（3） y = 5x -125
课堂练习 自主体验
作业布置 延伸体验
课后反思 教学相长
4
体验式课堂教学模式之文化基础课
江苏省启东中等专业学校 “15/20/10”集体备课导学案
课题： § 4.3 指数函数 主备人： 葛玲芳 任课教师： 第 课时 总第 授课时间： 个导学案 年 月 日
知识与技能目标：理解指数函数的概念，能正确指出指数函数的定义域；能区分指数函数与幂 函数； 教学 三维 目标 会用描点法作指数函数的图象； 能描述 a>1，0<a<1 两类指数函数的图像特征，能根据图像描述性质； 过程与方法目标：会用描点法作指数函数的图象； 会利用指数函数的单调性比较同底数幂的大小； 情感态度价值观目标：进一步渗透数形结合的思想，让学生从数学学习中获得成功体验，树立 自信心。 教学 重点 教学 难点 教具学具 教学 环节 问题探究： 某种生物的细胞在分裂过程中，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成 8 个……如下图所示， 分裂次数 情境创设 情感体验 为 x，分裂后的细胞个数为 y。 分裂次数（x） 细胞个数（y） 1 2 2 4 3 8 4 16 … … x y 学生观察 实际问题 并解决问 题 提出任务， 关键点拨， 倾听学生回 答，并补充 活动内容 教学活动过程 学生活动 教师活动 思考与 调整 指数函数的表达式与定义域、指数函数的图像及其特征 指数函数的图像及其特征
人教B版高中数学必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系
题型2 求函数的反函数
例2 求下列函数的反函数．
1 x
(1)y＝( )
3
(2)y＝5x＋1.
【解析】
1．判断函数是否单调．
2．求出x.
3．推导出f －1(x)的解析式．
1
3
1
3
(1)由y＝( )x得y＞0，对调其中的x和y，得x＝( )y，解得y＝log 1 x，所
象是下图中的(
)
答案：C
状元随笔 1.先求出f －1(x).
2．再求f －1(－x).
3．最后求出f －1(1－x).
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则
f(x)＝(
)
1
A．
B．log2x
2
C．log 1 x
D．2x－2
2
答案：B
解析：由于函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，则f(x)＝logax，
则f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.
限．
课堂探究·素养提升
题型1 判断函数是否有反函数(逻辑推理)
例1 下列函数中，存在反函数的是(
)
A．
B．
x
f(x)
x>0
1
x＝0
0
x<0
－1
C．
x
h(x)
【答案】
x x是有理数 x是无理数
g(x)
1
0
D．
1 2
－1 2
D
3
0
4
4
5
2
高中数学必修一 讲义 专题4.3 指数函数-重难点题型精讲(学生版)
专题4.3 指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数y=(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：①的系数为1;②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.4．比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法：【题型1 指数函数的解析式、定义域与值域】【例1】（2021秋•南宁期末）函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．[0，+∞）D．R【变式1-1】（2021秋•阎良区期末）函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【变式1-2】（2021秋•城区校级期中）指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（）A．4B．8C．16D．1【变式1-3】（2021秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2【题型2 比较幂值的大小】【例2】（2021秋•路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞b ＞c【变式2-1】（2021秋•厦门期末）下列选项正确的是（ ） A ．0.62.5＞0.63B ．1.7−13＜1.7−12C ．1.11.5＜0.72.1D ．212＞313【变式2-2】（2021秋•怀仁市校级期末）设a ＝0.60.6，b ＝0.60.7，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b【变式2-3】（2021秋•天宁区校级期中）已知a ＝0.3﹣0.2，b =(13)0.3，c ＝3﹣0.2，则（ ）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【题型3 解指数不等式】 (2)隐含性质法：解形如>b 的不等式，可先将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助函数y =的【例3】（2020秋•兴庆区校级期中）不等式a x ﹣3＞a 1﹣x （0＜a ＜1）中x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B ．（2，+∞） C ．（﹣∞，2）D ．（﹣2，2）【变式3-1】（2021秋•北碚区校级月考）不等式(13)x2−8＞3−2x 的解集是（ ）A ．（﹣2，4）B ．（﹣∞，﹣2）C ．（4，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【变式3-2】（2021秋•黄埔区校级期中）已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝x a﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a 3x +1＞a ﹣2x中x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，−15）B ．（−15，+∞）C ．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞）D ．R【变式3-3】（2021秋•丰台区期中）已知指数函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（1，12）．（I）求函数y＝f（x）的解析式；（II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【题型4 指数函数的图象及应用】【例4】（2021秋•临渭区期末）函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2021秋•微山县校级月考）若指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式4-2】（2021秋•中宁县校级期中）如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【变式4-3】（2021•长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(12)x的一个是（）A．①B．②C．③D．④【题型5 指数型复合函数性质的应用】【例5】（2021秋•蚌埠月考）已知函数f （x ）＝a x ﹣1（a ＞0，a ≠1）的图象经过点（3，19）．（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）＝a 2x ﹣a x ﹣2+8，当x ∈[﹣2，1]时的值域．【变式5-1】（2021秋•凌源市期中）设函数f （x ）＝（12）10﹣ax，其中a 为常数，且f （3）=116．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥4，求x 的取值范围．【变式5-2】（2021秋•钦州期末）已知函数f （x ）＝2x ﹣1+a （a 为常数，且a ∈R ）恒过点（1，2）．（1）求a 的值；（2）若f （x ）≥2x ，求x 的取值范围．【变式5-3】（2022秋•新华区校级月考）已知函数f （x ）＝a x +b 的图象如图所示． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）若不等式c⋅10x +6x f(x)+3＞0对任意x ∈（﹣∞，2]成立，求实数c 的取值范围．【题型6 指数函数的实际应用】【例6】（2022春•殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•a t（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【变式6-2】（2021秋•朝阳区期末）已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；20=1.009）（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（√1.2【变式6-3】（2021秋•长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？。
C语言中的数学函数
C语言中的数学函数数学函数在计算机编程中起着重要的作用，尤其是在C语言中。
C语言提供了丰富的数学函数库，方便开发者进行各种数学计算和操作。
本文将介绍C语言中常用的数学函数，包括数值运算、三角函数、指数函数等。
一、数值运算函数1.1 绝对值函数（fabs）绝对值函数fabs(x)返回x的绝对值。
例如，fabs(-5)的返回值是5。
1.2 向上取整函数（ceil）向上取整函数ceil(x)返回大于或等于x的最小整数。
例如，ceil(4.2)的返回值是5。
1.3 向下取整函数（floor）向下取整函数floor(x)返回小于或等于x的最大整数。
例如，floor(4.8)的返回值是4。
1.4 平方根函数（sqrt）平方根函数sqrt(x)返回x的平方根。
例如，sqrt(16)的返回值是4。
1.5 幂运算函数（pow）幂运算函数pow(x, y)返回x的y次方。
例如，pow(2, 3)的返回值是8。
二、三角函数2.1 正弦函数（sin）正弦函数sin(x)返回以弧度为单位的角x的正弦值。
例如，sin(0)的返回值是0。
2.2 余弦函数（cos）余弦函数cos(x)返回以弧度为单位的角x的余弦值。
例如，cos(3.14)的返回值是-1。
2.3 正切函数（tan）正切函数tan(x)返回以弧度为单位的角x的正切值。
例如，tan(0.8)的返回值是0.999.2.4 反正弦函数（asin）反正弦函数asin(x)返回x的反正弦值，以弧度为单位。
例如，asin(1)的返回值是1.57.2.5 反余弦函数（acos）反余弦函数acos(x)返回x的反余弦值，以弧度为单位。
例如，acos(0)的返回值是1.57.三、指数函数3.1 自然指数函数（exp）自然指数函数exp(x)返回e的x次方。
其中e的值约为2.71828。
例如，exp(1)的返回值是2.71828.3.2 对数函数（log）对数函数log(x)返回以e为底，x的对数值。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结1. 什么是指数函数？指数函数是数学中常见的一类函数，它以底数为基准，将指数作为自变量，得到相应的函数值。
指数函数可以用数学表达式y = a^x来表示，其中a表示底数，x表示指数，y表示函数值。
2. 指数函数的特点指数函数具有以下几个特点：•当底数a大于 1 时，函数呈递增的趋势；当底数a介于 0 和 1 之间时，函数呈递减的趋势。
•指数函数图像总是过点(0, 1)，因为a^0 = 1。
•指数函数的图像在x轴的正半轴上是渐进于 0 的，即函数值无限趋近于 0。
•当指数x为负数时，指数函数的值可以通过倒数得到，即a^(-x) =1 / a^x。
3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下几个基本性质：•指数函数在自变量为 0 时取值为 1，即a^0 = 1。
•当指数x为正整数时，指数函数表示连乘，即a^x = a * a * ... * a（共x个a相乘）。
•当指数x为负整数时，指数函数表示连除，即a^(-x) = 1 / (a * a * ... * a)（共x个a相除）。
•指数函数具有指数与对数的互逆性质，即loga(a^x) = x和a^(loga(x)) = x。
•当指数函数的底数a大于 1 时，函数图像与x轴交于点(0, 0)；当底数a介于 0 和 1 之间时，函数图像与y轴交于点(0, 0)。
4. 指数函数的图像变化规律指数函数的图像变化规律取决于底数a的大小，具体如下：•当a > 1时，指数函数图像从左下方逐渐增加到右上方。
•当0 < a < 1时，指数函数图像从左上方逐渐减小到右下方。
•当a = 1时，指数函数恒为y = 1，即一条水平直线。
5. 指数函数的应用指数函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：•金融领域：指数函数在复利计算中起到重要的作用，可以用来计算投资收益、贷款利息等。
•物理学：指数函数可以描述某些物理量的增长或衰减规律，如放射性物质的衰变、电路中的电荷充放电过程等。
2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第2课时换底公式课件
题型 3 实际问题中的对数运算
例3 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋
S
)，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道
N
带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，
S
S
其中 叫做信噪比．当信噪比 比较大时，公式中真数里面的1可以忽
N
N
S
b
将本例条件改为“4 ＝5 ＝10”，求 ＋ 的值．
解析：由4a＝5b＝10，得a＝logபைடு நூலகம்10，b＝log510，
1
2
1
2
所以 + ＝
+
＝lg 4＋2lg 5＝lg (4×25)＝2.
a
b
log4 10
log5 10
学霸笔记：
利用等式运算性质与换底公式求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和
第2课时
换底公式
预学案
共学案
预学案
换底公式❶
1．换底公式
log
log
b＝________(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
loga
2．对数换底公式的重要推论
1
(1)logaN＝
(N＞0，且N≠1；a＞0，且a≠1)．
logN a
m
log an ＝ logab(a＞0，且a≠1，b＞0)．
的值吗？(lg 2，lg 3可利用计算器查得)
(2)把(1)一般化，由对数的定义，你能否用logca，logcb表示logab(a>0，
且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)吗？
人教B版高中数学必修第二册 4.3 指数函数与对数函数的关系【课件】
可知 f(x)∈12，1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2，0)∪12，1.
5．[多选]已知函数 f(x)＝12x的图像与函数 g(x)的图像关于直线 y＝ x 对称，令 h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数 h(x)的说法正确的是( )
A．函数 h(x)的图像关于原点对称 B．函数 h(x)为偶函数 C．函数 h(x)的最小值为 0 D．函数 h(x)在(0，1)上为减函数
解析 ∵y＝e2x>0，2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x 的反函数为 y＝12ln
x，x>0.
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A．y＝3－3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0)
D．y＝3－3x(x≤1)
解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－ x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
8．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证：函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0， 即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1， 所以f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－ 2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函 数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
B．(0，＋∞)
C．－
4.3指数函数及其性质
二、如何更直观更深刻的记忆指数函数的基本性质？
答：联想指数函数的图像.
三、请对指数函数的性质作一次总结
答：指数函数的性质： （1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）； （2）函数图像过定点（0，1）； （3）函数的单调性：a>1时在R上单调递增,0<a<1时在 R上单调递减; （4）函数的奇偶性：非奇非偶函数.
y a （a>0且a≠1）
x
叫做指数函数，其中x是自变量，函
数的定义域是 R
探究1：为什么要规定a>0,且a ①若a=0，则当x>0时，
1呢？
当x
如 (2) x
=0； x 0时， a 无意义.
a
x
②若a<0，则对于x的某些数值，可使
1 1 ，这时对于x= ，x= 4 2
a
x
无意义.
……等等，在实数范围内函数值不存在.
性 质
定点 单调性 奇偶性
例1.判断下列函数的单调性： （1）y=2x (2)y=10-x
我要大显身手
例2.比较下列两个值的大小：
2
1 2
，
2
1 3
1 2
解 ：利用函数单调性, 2
与 2
1 3
的底数是2，它们可以看成函数 y=2x 当x= -1/2和-1/3时的函数值；
x在R上是增函数， 因为2>1，所以函数y=2 1 1 2 < 2 3 而-1/2<-1/3， 所以， 2
x
y
观察左边图像，回答下列问题：
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议-精选文档
《数学》第四章“指数函数与对数函数”教学建议在初中阶段学生已经掌握了正整数指数幂的定义及其运算性质，随着新知识学习的新要求，正整数指数幂已经不能满足学习的需要了。
本章将正整数指数幂的概念与运算推广到了实数范围，在对幂概念进一步理解的基础上，引入幂函数、指数函数、对数函数，学习其相关性质与应用。
通过探究、发现、感悟等形式，让学生体会指数函数与对数函数广泛的实际应用。
掌握本章内容，对学生今后的学习、实践将会产生重要的影响。
一、大纲分析数学课程任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。
通过教学发展学生的数据处理、工具运用等技能，培养学生观察、分析与解决问题等数学能力。
大纲建议指数函数与对数函数部分为12课时，本教材新授部分11课时，复习小结1课时。
大纲规定学习应达到的能级要求包括4项了解（幂函数、积商幂的对数、对数函数的图像和性质、指数函数与对数函数应用），3项理解（有理数指数幂、指数函数的图像和性质、对数的概念）以及2项掌握（实数指数幂及其运算法则、利用计算器求对数值）。
二、知识体系三、教学建议本章内容的学习基于已掌握的函数相关概念、性质以及幂的概念、运算等知识。
教学过程中应创设让学生主动探究、合作学习的教学氛围，注重运用类比、归纳等教学方法，将构建“知识体系”作为学习的策略和目标，切实激发学习的兴趣，提升学习的能力，达成教学目标。
下面，笔者按节就设计思路、教学目标、内容要点、教学建议（分课时）四个方面进行教材解读，给出教学建议。
（一）§4.1实数指数幂（2课时）设计思路：通过探究xn=a中a、n、x之间的关系，引导学生理解识记n次方根以及根式的概念及性质，引出分数指数幂的概念，将幂指数由正整数推广到有理数范围。
通过用计算器求幂的值及阅读“读一读”的内容，让学生体验到无理指数幂也有意义，进而将有理指数幂推广到无理指数幂的范围。
第四章,指数函数与对数函数,教材分析
第四章,指数函数与对数函数,教材分析第四章指数函数与对数函数教材分析本章为指数函数与对数函数函数，分两个单元共4节，内容如下实数指数幂、指数函数、对数、对数函数。
本章共需课时，具体分配如下：4.1有理数指数幂4课时4.2指数函数2课时4.3对数2课时4.4对数函数2课时小结与复习2课时一、内容与要求本章内容是在初中以及第三章函数的基础上研究指数函数、对数函数的概念、图象和性质，使学生在学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数应用意识，为今后学习打下良好的基础。
内容安排：第一单元是实数指数幂指数与指数函数，指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在第三章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本章在此基础上将指数概念扩充到实数指数幂，并给出了实数指数幂的运算性质之后，又简单的研究了幂函数的概念、图象和性质，并充分的利用课件进行演示指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函数图象是研究函数性质的直观图形指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律本节安排的例题与上一章的性质所呼应，充分的研究了函数的概念、图象和性质。
并在应用举例中，与生活紧密的结合起来。
第二单元是对数与对数函数对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到本单元讲对数的定义和运算性质的目的主要是为了学习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义logaN(a>0,a≠1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数a=10时，称为常用对数，简记作lgN=b；另一个是底数a=e(一个无理数)时，称为自然对数，简记作lnN=b这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可本章在对数函数概念的引入上并没有采用指数函数反函数的形式，而是将指数形式性质改写成对数形式，降低了难度。
高考数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义
指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
答案 C
解析
log512＝llgg152＝2l1g－2＋lgl2g
3 2a＋b ＝ 1－a ，故选
C.
10．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10 ＝2，∴m2＝10.又 m>0，∴m＝ 10，选 A.
解析 由对数的运算性质知 A，B 错误，C 正确；D 中－2 不能作底数， ∴D 错误，故选 C.
2．若 lg x－lg y＝a，则 lg 2x3－lg 2y3＝(
)
A．3a
3 B.2a
C．a
a D.2
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
解法二：原式＝lg
4 7
2－lg
4＋lg
7
5＝lg
4
2×7 7×4
5＝lg (
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
12．方程 log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 答案 4 解析 由换底公式得 log9(x＋5)＝12log3(x＋5)． ∴原方程可化为 2log3(x－1)＝log3(x＋5)， 即 log3(x－1)2＝log3(x＋5)， ∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得 x＝4 或 x＝－1.
高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数对数函数的图象与性质1学生用书湘教版必修第一册
4．3.3 对数函数的图象与性质最新课程标准1.通过具体实例，了解对数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．2．知道对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x互为反函数(a ＞0且a ≠1)．学科核心素养1.了解对数函数的概念．(数学抽象)2．掌握对数函数的图象和性质，并会解决相关的问题．(数学抽象，逻辑推理)3．会解决对数型函数的定义域、值域、单调性等有关的问题．(逻辑推理、数学运算 )第1课时 对数函数的图象与性质(1)教材要点要点一 对数函数的概念对数运算y ＝____________________确定了一个函数，叫作(以a 为底的)对数函数．状元随笔 (1)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a ＞0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x(a ＞0，且a≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数．要点二 反函数一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．要点三 对数函数的图象与性质表达式y ＝log a x (a ＞1)y ＝log a x (0＜a ＜1)图象性质定义域________值域R过点________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________状元随笔 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝log2x2是对数函数．( )(2)对数函数y＝log5x与y＝log15x的图象关于y轴对称．( )(3)对数函数的图象都在y轴的右侧．( )(4)函数y＝a x与函数y＝log a x的图象关于直线y＝x对称．( )2．(多选)若函数y＝log a x的图象如图所示，则a的值可能是( )A．0.3B．1 5C．32 D．π3．函数f(x)＝lg (2x－1)的定义域为( ) A．[12，+∞)B．(12，1) C．(12，+∞)D．[12，1]4．函数y＝log a(x－3)－2的图象过的定点是________． 对数函数的图象问题角度1 图象过定点问题例1 已知函数y＝log a(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．方法归纳解决与对数函数有关的函数图象过定点问题的方法：对任意的a＞0且a≠1，都有log a1＝0，例如，解答函数y＝m＋log a f(x)(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点的问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)．角度2 对数函数的底与图象变化的关系例2 如图所示的曲线是对数函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________.方法归纳当0＜a＜1时，对数函数的图象是下降的，而且随着a由大变小，图象下降的速度变慢．当a＞1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢．角度3 图象的识别问题例3 函数y＝log a|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )方法归纳(1)对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象是上升还是下降、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点等求解．(2)根据函数解析式确定函数图象的问题，主要是通过不同的角度来确定函数解析式与函数图象的对应关系，如函数的定义域(值域)、单调性，图象是否过定点、图象的对称性等．跟踪训练1 (1)函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的( )(2)图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取√3，43，35，110四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )A．√3，43，35，110B．√3，43，110，35C．43，√3，35，110D．43，√3，110，35(3)函数y＝log a(2x－1)＋2的图象恒过定点P，点P在指数函数f(x)的图象上，则f(－1)＝________．题型2 对数型函数的定义域例4 求下列函数的定义域：(1)y＝logx2−2(x−2)；(2)f(x)＝0√||lg (x＋2)．方法归纳求函数的定义域，首先要分析自变量x 的约束条件，在与对数函数有关的问题中应注意真数大于零，底数大于零且不等于1；其次求解不等式时，要充分应用函数的性质．跟踪训练2 (1)函数y ＝√log 2(2x −1)的定义域为( )A ．(12，+∞) B ．[1，＋∞)C ．(12，1]D ．(－∞，1)(2)函数y ＝log a (x －1)＋log a (1＋x )的定义域为________． 对数型函数的值域与最值问题例5 求函数f (x )＝log 2(4x )log 14x 2，x ∈[12，4]的值域．方法归纳(1)利用对数运算性质化为关于log 2x 的一个二次函数，再通过二次函数的性质求最值．(2)求形如y ＝log a f (x )(a ＞0且a ≠1)的复合函数值域的步骤：①求函数的定义域；②将原函数拆分成y ＝log a u (a ＞0，且a ≠1)，u ＝f (x )两个函数；③由定义域求u 的取值范围；④利用函数y ＝log a u (a ＞0且a ≠1)的单调性求值域．跟踪训练3 已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．易错辨析 忽视对底数的讨论致误例6 若函数y＝log a x(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为________．解析：当a＞1时，函数y＝log a x在[2，4]上是增函数，所以log a4－log a2＝1，即log a 42＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在[2，4]上是减函数，所以log a2－log a4＝1，即log a 24＝1，所以a＝12.综上可知a＝2或a＝12.答案：2或12易错警示易错原因纠错心得忽视对底数a的分类讨论，只考虑了a＞1底数的范围不同决定了对数函数的单调性不的情况，漏掉了0＜a＜1的情况．同，从而影响了在闭区间上的最值．所以一定要对底数进行讨论．课堂十分钟1．(多选)函数f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)的图象必过( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．函数f(x)＝√1−log2(x+2)的定义域为( )A．[－2，0] B．(－2，0)C．(－2，0] D．(－2，＋∞)3．函数f(x)＝x|x|log a x(0＜a＜1)的图象大致为( )4．若函数y＝(a2＋a－5)log a x为对数函数，则f(1)＝________．5．设a＞1，函数f(x)＝log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．4．3.3 对数函数的图象与性质第1课时 对数函数的图象与性质(1)新知初探·课前预习要点一log a x(x>0，a>0且a≠1)要点三(0，＋∞) (1，0) 增函数 减函数[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．解析：由图象可知函数y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a<1.答案：AB3．解析：由对数函数的概念可知2x－1>0，即x>12，故选C.答案：C4．解析：因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)恒过定点(1，0)，所以令x－3＝1，即x＝4，此时y＝－2，所以函数y＝log a(x－3)－2过定点(4，－2).答案：(4，－2)题型探究·课堂解透例1 解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝.答案：例2 解析：由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞1，b＞1，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜1，0＜d＜1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c.答案：b>a>1>d>c例3 解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.答案：A跟踪训练1 解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A 错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．(2)已知图中曲线是对数函数y＝log a x的图象，由对数函数的图象和性质，可得C1，C2，C3，C4的a值从小到大依次为：C4，C3，C2，C1，由a取，，，四个值，故C1，C2，C3，C4的a值依次为，，，.(3)根据题意，令2x－1＝1，得x＝1，此时y＝2，所以定点P的坐标是(1，2)，所以f(x)＝2x，所以f(－1)＝.答案：(1)C (2)A (3)例4 解析：(1)由得，所以定义域为(2，＋∞).(2)由得，所以定义域为(－2，－1)∪(－1，0).跟踪训练2 解析：(1)由题意得{x−1>olog(2x−1)≥0即{x>12x≥1故函数的定义域为[1，＋2∞).(2)由题意知{x−1>01+x>0 解得x>1，∴函数y＝log a(x－1)＋log a(1＋x)的定义域为(1，＋∞).答案：(1)B (2)(1，＋∞)例5 解析：f(x)＝log2(4x)·log\f(1,4＝(log2x＋2)·＝－.设log2x＝t.∵x∈，∴t∈[－1，2]，则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1，2]，因此二次函数图象的对称轴为t＝－，∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，∴当t＝－时，y有最大值，且y max＝；当t＝2时，y有最小值，且y min＝－2.∴f(x)的值域为.跟踪训练3 解析：(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3).(2)因为f(x)＝log a[(1＋x)(3－x)]＝log a(－x2＋2x＋3)＝log a[－(x－1)2＋4]，若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值log a4，所以log a4＝－2，a－2＝4，又0＜a＜1，所以a＝.若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值log a4，f(x)无最小值．综上可知，a＝.[课堂十分钟]1．解析：f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示．所以必过第二、三、四象限．答案：BCD2．解析：要使函数有意义，则1－log2(x＋2)≥0得log2(x＋2)≤1，即0＜x＋2≤2，得－2＜x≤0，即函数的定义域为(－2，0].答案：C3．解析：在log a x中x>0，∴y＝x|x|log a x＝log a x(0<a<1)，故选B.答案：B4．解析：由对数函数的定义可知a2＋a－5＝1.解得a＝2或a＝－3(a＝－3舍去)，∴f(x)＝log2x，∴f(1)＝0.答案：05．解析：∵a>1，∴f(x)＝log a x在(0，＋∞)上是增函数．∴最大值为f(2a)，最小值为f(a).∴f(2a)－f(a)＝log a2a－log a a＝，即log a2＝.∴a＝4.11。
4.3指数函数
例1已知指数函数 y ax (a 0且a 1) 的图像经过点（2，16）.
1、求函数的解析式及函数的值域。
2、求当x=1,3时的函数值。 解(1) 图像经过（2，16）即x 2时y 16
代入y ax得：a2 16又a 0，所以a 4 函数的解析式为 y 4x ,值域为（0， ）
(2) 当x=1，3时的，函数值分别为4 ，64。
练习2
已知指数函数 y a x (a 0且a 1) 的图像经过 （1，3）。 （1）求函数的解析式。 （2）当x=-1，0，2时的函数值。
例2、比较下列各组数的大小：
①、1.72.5 ,1.73
②、（
3
1
）6（,
3
1
）5
44
解：① 函数y 1.7x 在(, )是增函数，
两结个论函：数y 图a象x 关与于y y轴( 1对)x称关于y轴对称。
a
思考：
1、在第一象限内不同的底对应的图象有什么不同？
2、底互为倒数图象有什么不同？
y=(
1
y
)x
(
1 3
)y x
10
2
9
8
性质（6）
7 6
第一象限内底大
5 4
图高
3
2
y=3x y=2x
性质（7） 底互为倒数图象 关于y轴对称
2
认识指数函数：
指数函数的特点：
①底数是常数 ②指数是单个自变量 ③幂的形式后面不加任何项 ④系数为1
画一画：
在同一坐标系中分别作出函数y=2x，y=(12)x，的图象.
y=(
1 2
)x
y
10 9
y=2x
高三数学指数函数SXX
(2)当 x 1 时， y 4
当 x 3 时，y 64
（打开函数绘图，验证答案）
退出
例3 比较下列各组中两数的大小
(1)1.63.2 ,1.63.3 ;
(2)0.71.1 ,0.71.2 ;
§
4.3
指 数
(3)2.12 ,2.12.1;
(4)(1)2 , (1)3. 55
解（1）对于指数函数 y 1.6x （2）对于指数函数 y 0.7x
y (1)x 的图像，
3
§
4.3
指 数 函 数
y (1)x 3
图形
（1）图像向 x 轴正、负方向无 限延伸,它们的图像都在 x 轴
上方，即定义域为R,值域为
(0,)
（2）过点（0，1）
y 3x（3） y 3x 在R上单调递增
y (1)x在R上单调递减 3
o
退出
探究
观察两组指数函数 y 2x与 y 3x
§ 定义域为R
y (1)x 2
4.3
指
2.它们的图像都在 x 轴上方,值域为
数 (0,)
y 2x
函
3.图像与 y 轴有一个交点，
数
坐标为（0，1）
4.(1)函数 y 2x 的图象从左至右 逐渐上升
o
(2)函数 y (1)x 的图象从左至右
逐渐下降
2
退出
练习：同一坐标系下，做出函数 y 3x 和 并说说它们的图像特征.
§
4.3
指
数
§4.3指数函数
函
数
退出
创设情景
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算
4.3.2
对数的运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
自主预习·新知导学
一、对数的运算性质
1.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10+lg 100,lg 1 000;(2)log39+log327,log3243;
(3)lo +lo 8,lo 2;(4)logaa5+logaa3,logaa8(a>0,且 a≠1),并观
×
=12.
=- .
反思感悟
对数换底公式的应用技巧
(1)对数换底公式的作用是将不同底数的对数转化为同底数
的对数,将一般对数式转化成常用对数式或自然对数式来进
行运算,要注意对数换底公式的正用和逆用.
(2)当要求值的式子中既含有对数式又含有指数式时,应先将
它们进行互化,统一形式后再利用相关公式计算.
察每组中两个式子的值是否相等?由此你猜测有什么结论?
提示:(1)3,3;(2)5,5;(3)-1,-1;(4)8,8,每组中两个式子的值均相等.
两个正数的乘积的对数等于两个正数对数的和.
2.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10-lg 100,lg ;(2)log39-log327,log3 ;(3)lo -lo 8,lo
解:(1)因为 18b=5,所以 log185=b.
又因为 log189=a,
(×)
+
所以 log3645= = (×) = +
4.3指数函数ppt课件
1
实例分析一：假设给你一张足够长的纸，通过数次折叠能使它的 厚 度超过珠穆朗玛峰的 高度吗?
纸张折叠次数
1
2
3
4
……
30
纸张厚度倍数
2
4
8 16
……
y
21
22
23
24
230
折叠X次后纸张厚度y与折叠次数x的函数关系是 y=2x
2
计算：一张纸的厚度是0.01mm 0.01mm×230 ≈ 10737418mm≈10737.8m＞8848m
(5) y=-3x
(7) y=(3a-1)x(a> 且a≠ ) 1 3
答案:(1) (3) (7)
(6) y=xx
2 3
②.函数y=(a2-3a+3 )ax是指数函数,则a的值是( )
B
A.a=1 或 a=2 B .a=2 C. a=1 D.a∈(0, +∞)
10
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：
底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常数的函数叫 做 指数函数.
7
指数函数的定义
一般的,函数 y = a X(a>0,且a≠1) 叫作指数函数,其中x是自变量. 函数的定义域为R
8
注意:
1.函数的定义域为R
2.底数a>0且a≠1
当x>0时, a x恒等于0 如果a=0:
y=( 1 )x 10
y (1)x 2
y y=10x y=2x
定义域 值域 单调性 对称性
1
0
x
14
指数函数的图象和性质
y=ax ( a>1)
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教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
大纲要求：（B）理解
1．理解指数函数的性质；
2．掌握指数函数性质的应用； 3．能初步应用指数的性质解决相应问题.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【学习重点】
指数函数性质的应用
【学习难点】
指数函数性质的应用
A.(0,1)
）
B.(1,1)
C.(2,0)
D.(2,2)
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【例
a 2x a 2 3】 设 a R ，f ( x) 2x 1 ( x R) ， 试确定 a 的值， 使 f ( x)
为奇函数.
分析： 函数 f ( x) 为奇函数， 所以可利用 f ( x) f ( x) 求出
所以此函数经过定点（-2，-2）.
点评：一般地，求函数 y＝kaf(x)＋b(k≠0)经过某定点，可令 f(x)＝0，解方程得 x＝m， y k b ，从而求得该函数的图像 恒过定点(m，k＋b) .
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【举一反三】 函数 y a x2 1(a 0 且 a 1) 的图像必经过点（
2 3
.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【例 1】利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.
0 .3 2 2 0 . 3 2 2 0.6 0.6 （1） 和 ； （2） 和 ； (3) 和 .
1.7
3
2 3
3 4
x 解： （ 3 ） ∵ 指 数 函 数 y 2 在 ( , ) 上 是 增 函 数 ， 且 0.3>0
2 3
3 4
分析：第（1） 、 （2）两题中两个数的底数相同，可以 转化为比较同一指数函数的不同函数值的大小，第（3）小 题中两个数底数不一样，可寻找第三个数，将这两个数与 第三个数分别进行比较.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【例 1】利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
复习旧知——指数函数的图象和性质
a>1
图 象
y y=1 0 y=ax (a>1) (0,1) y=ax (0<a<1) y=1
0<a<1
y (0,1)
x
0
x
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 质
2.图象都过点（0，1），即当x=0时，y=1 3.在R上是增函数 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.
（
m
， 1+n
）.
3.在R上是减函数
4.当x>0时, 0<y<1; 当x<0时, y>1.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【例 1】利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.
0 .3 2 2 0 . 3 2 2 0.6 0.6 （1） 和 ； （2） 和 ； (3) 和 .
1.7
3
0 .3 2 2 0 . 3 2 2 0.6 0.6 （1） 和 ； （2） 和 ； (3) 和 .
1.7
3
2 3
3 4
x 解： （ 1 ） ∵ 指 数 函 数 y 2 在 ( , ) 上 是 增 函 数 ， 且
3 1.7
2
0.6
3
21.7 .
0.6
3 4
x 2 3 y 0.6 ( , ) （ 2 ）∵指数函数 在 上是减函数，且 3 4
a 的值.也可利用 f(0)=0 求出 a.
解法二：因为函数 f ( x) 是奇函数，且函数的定义域为 R,所以有 f (0) 0 .
aa2 即 0 2 解得a 1
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【例
a 2x a 2 3】 设 a R ，f ( x) 2x 1 ( x R) ， 试确定 a 的值， 使 f ( x)
a 的值.也可利用 f(0)=0 求出 a.
a 2 x a 2 a a 2 x 2 2 x (a 2) 2 x a f ( x) x x 2 1 1 2 2x 1 a 2x 2 a f ( x) 2x 1
分析：指数函数 y a x （ a 0且a 1) 的图像恒过定点(0，1), 即对任意的 a＞0 且 a≠1， 都有 a0＝1． 可将本题中的 x 2 看成整体 0，从而求出相应定点的坐标.
0 解：当 x 2 0 即 x 2 时， y a 3 1 3 2 .
例题分析
检测反馈
总结提升
【举一反三】
10x 1 已知函数 y 10x 1 ，则此函数是
（
）
A、奇函数 C、既奇又偶函数
B、偶函数 D、非奇非偶函数
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
课堂检测
1.已知函数 f ( x) a （ ） B． a 2 C． a
.
教学目标
重点难点
情境导入
探究新知
例题分析
检测反馈
总结提升
【举一反三】
用不等号连接下列各数：
2 4.1 3 . 2 , 1 , 3 . 2 , 0； （1）
4 2.1 0 . 7 , 0 , 0 . 7 , 1. （2）
教学目标
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例题分析Βιβλιοθήκη 检测反馈总结提升【例 2】函数 y a x2 3(a 0 且 a 1) 的图像必经过点
为奇函数.
分析： 函数 f ( x) 为奇函数， 所以可利用 f ( x) f ( x) 求出
a 的值.也可利用 f(0)=0 求出 a.
点评：若本题定义域不含有 0，也可借助函数图像 关于原点对称的特点，抓住两个特殊的对称数函数值建 立等式求出 a 的值.
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解法一：
∴ a 2 a ，∴ a 1
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【例
a 2x a 2 3】 设 a R ，f ( x) 2x 1 ( x R) ， 试确定 a 的值， 使 f ( x)
为奇函数.
分析： 函数 f ( x) 为奇函数， 所以可利用 f ( x) f ( x) 求出
2
2
1
x
在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是
A． a 1
D． 1 a
2
2．若函数 f（x）＝ax－1＋3 的图像比经过一定点 P，则 P 点 的坐标是_________． 3.已知函数 f ( x) 3
x
2 m 1
是奇函数，则常数m的值为
1
x2 4 x
4.（江苏省 2010 年单招数学试卷第 19 题）求不等式 ( 3 ) 的解集.
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1. 在利用单调性比较数值大小问题上，常用的处理方法为： ①看函数类型；②同底用单调性；③其它类型找中间量. 2.函数 f ( x) a
x m
n 的图像恒过某定点问题，可利用整体思想
x m 求 解 ， 令 指 数 值 x m 0 ， 从 而 求 得 f ( x) a n 横 过 定 点
0 .3 2 2 0 . 3 2 2 0.6 0.6 （1） 和 ； （2） 和 ； (3) 和 .
1.7
3
2 3
3 4
分析：两个数的大小比较常通过构造函数法，利用函数的单调 进行比较，一般顺序如下： ①若两个数指数相同，则可构造幂函数，利用幂函数的单 调性比较两个数的大小； ②若两个数底数相同，则可构造指数函数，利用指数函数 的单调性比较两个数的大小； ③若两个数不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻 找一个恰当的数（如 1、0、-1 等）作为桥梁来比较大小．
20.3 20 1
x 又 ∵ 指 数 函 数 y 0.3 在 ( , ) 上 是 减 函 数 ， 且 2>0
0.32 0.30 1
2
0 .3
2 0 . 3 >
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【例 1】利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.