初中数学一元二次方程复习专题

一元二次方程专题复习

【知识回顾】

1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:20(0)ax bx c a ++=≠

四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

12,x x =24b ac -≥0) 注意：（1）一定要注意0a ≠，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；

（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;

（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.

2．根的判别式及应用(24b ac ∆=-)：

(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：

①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；

②当0∆=时，方程有两个相等的实数根；

③当0∆<时，方程无实数根.

(2)判定一元二次方程根的情况；

(3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：

韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12c x x a ⋅= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平

方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.

注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅

（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅； 12x x -=

（3）①方程有两正根，则1212

000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；

②方程有两负根，则1212

000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；

③方程有一正一负两根，则12

00x x ∆>⎧⎨⋅<⎩； ④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0

x x ∆>⎧⎨--<⎩

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求

作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程

为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求

代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的

代数式的形式，整体代入。

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：

例：用配方法解24610x x -+=

第一步，将二次项系数化为1：231024x x -

+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124

x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -

+=-+ 第四步，完全平方：23

5()416

x -=

第五步，直接开平方：344x -=±，即

:1344x =++

,2344

x =-+ 一元二次方程的定义与解法

【要点、考点聚焦】

1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式2

0(0)ax bx c a ++=≠；

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降

幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要）

【课前热身】

1. 当a =____________时，方程2

310ax x ++=是一元二次方程.

2. 已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.

4. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，且0a b c ++=，则方程必有一根为

____________.

5. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )

A.2(2)2x -=

B.2(2)2x +=

C.2(2)2x -=-

D.2(2)6x -= 【典型例题解析】

1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.

2、已知：关于x 的方程22

6350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的

值。

3、用配方法解方程:2210x x --=

【考点训练】

1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）

A. 1

B.1-

C.1或1-

D.

12

2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）

A. 直接开平方法

B. 配方法

C. 因式分解法

D. 公式法

3、若0a b c -+=，则一元二次方程20ax bx c ++=有一根是（ ）

A. 2

B. 1

C. 0

D. －1

4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.

5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.

6、解下列方程：

（1）2(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)22740t t --=（用配方法） 一元二次方程根的判别式