新教材人教A版高中数学 必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 习题课件
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人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
习题2.1 第7、10题
等式2 + 2 ≥ 2;
2.习题2.1 第2、3、8题
0,要证
>
0,求证
1
,即证
证： 因为 > > 0,
1
1
所以
< ,
又因为 < 0,
所以
> ,
得证.
<
1
.
>
.
LOGO
例2：求解本节问题2所列不等式 8 −
解： 8 −
−0.5
0.1
−0.5
0.1
× 0.2 ≥ 20
× 0.2 − 20 ≥ 0
−2 2 + 13 − 20 ≥ 0
f≥2.5%,g≥2.3%
2
连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线
段最短。
CD<CE
3
三角形两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边；
a+b>c;a-b<c
LOGO
情景导入
某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可
提价后的销售总收
入≥2 x 1 x 4
作差
变形
定号
结论
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边的长为, .
> 4△
= 4△
=
（1）如图，可得不等式
2
+
2
> 2
人教A版(2019)必修第一册2.1等式性质与不等式性质 课件(共18张PPT)
1．不等关系 不等关系常用不等式 来表示．
2．实数 a，b 的比较大小
文字语言
数学语言
a－b 是正数a－b＞0源自a－b 等于零a－b＝0
a－b 是负数
a－b＜0
等价条件 a＞b a＝b a＜b
3
3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab， 当且仅当 a＝b 时，等号成立．
4
4．等式的性质 (1) 性质 1 如果 a＝b，那么 b＝a； (2) 性质 2 如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c； (3) 性质 3 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； (4) 性质 4 如果 a＝b，那么 ac＝bc； (5) 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒ _a_n_＞__b_n_＞__0_(_n_∈__N__,n_≥__2_)_．
ac＜bc .
6
C [限重就是不超过，可以直接 1．大桥头竖立的“限重 40 吨” 建立不等式 T≤40.] 的警示牌，是指示司机要安全通过该 桥，应使车货总重量 T 不超过 40 吨， 用不等式表示为( ) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40
D [可利用赋值法．令 a＝－5， ) b＝0，则 A、B 正确而不满足 a> b.
再令 a＝－3，b＝－1，则 C 正确而 不满足 a> b，故选 D.]
10
即时巩固
【解】运用作差法：
0是正数与 负数的分界线， 它为比较实数的 大小提供了标 杆.
即时巩固
【解】运用作商法：
1是相等与 不等的分界线， 它也为比较实数 的大小提供了标 杆.
人教A版 必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
人教A版高中数学必修第一册《等式性质与不等式性质》PPT
例 2．已知 a b 0 , c 0 .求证 c c .
ab
证明：因为 a b 0 ，两边同乘以正数 1 ，得 1 1 ，即 1 1 ，又c 0 ，所
ab
ba
ab
以c c.
ab
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
又因为 c d ,所以 b c b d . ②
由①、②及性质 2，得 a c b d .
，即
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
例题讲解
例 3.已知： a＞b ， e f ， c 0 ，求证： f ac＜e bc ． 证明：因为 a＞b ， c 0 ，所以 ac＞bc，即 ac＜bc ，又 f＜e，由不等式 性质 5 可得： f ac＜e bc ．
学习新知——等式性质
等式的基本性质
（1）如果 a＝b，那么 b=a .
（2）如果 a＝b，b＝c，那么 a=c .
（3）如果 a＝b，那么a±c=b±c .
（4）如果 a＝b，那么 ac=bc .
（5）如果 a＝b，c≠0，那么
ab cc
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
说明：如果 a b c ，则 a b b c b ，也就是a c b .
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3 若a b,则a c b c 不等式左右两边同时加上(或减去)同一个数,不等号方向不变.
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
可乘性
a>b，c>0⟺ ac>bc；a>b，c<0⟺ ac<bc.
不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
性质4扩展：如果a>b，c>0，则a/c>b/c； 如果a>b，c<0，则a/c<b/c.
例题讲解
例2
已知 a > b >0, c <0, 求证:
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f 2.5%
应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于2.3%；
p
2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
设三角形的三边分别为a,b,c，则有a+b>c,a-b<c.
O
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线
l
段最短.
c aLeabharlann c＞b.
证明：因为a > b >0, 于是 a 1 b 1 ,
ab ab
即 1 1.
ba
由 c<0 , 得 c c , 即 c c.
ba
ab
思考？
能否用 作差法 证明 ？
新知初探 不等式的性质
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
ac>>db，⟺ a+c>b+d.
同向可加性
a>b⟺ b<a
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性．
新知初探 不等式的性质
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共28张PPT)
ba
改变方向
由c < 0,得 c > c .
ab
还可以利用作差法证明吗？ 证明:
已知b克糖水中含有a克糖 （b＞a＞０），再添加m克 糖 （m＞０）（假设全部溶 解），糖水变甜了．
请将这一事实表示为一个不 等式，并证明这个不等式成 立．
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
21.0．已知三个不等式：①ab>0；②ac>db；③bc>ad.若以其中两 个作为条件，余下的一个作为结论，请写出两个正确的命题，并 写出推理过程．
解：答案不唯一． 命题一：若 ab>0，且ac>db，则 bc>ad. 证明：因为ac>db，且 ab>0， 所以ac·ab>db·ab，即 bc>ad. 命题二：若 ab>0，且 bc>ad，则ac>db. 证明：因为 ab>0，所以a1b>0，又 bc>ad， 所以 bc·a1b>ad·a1b，即ac>db.
反例：不一定，如3>1，－1>－10， 则3－(－1)>1－(－10)不成立．
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
不可以．两个不同向不等式的两 边不能分别相除，在需要商时，可利 用不等式性质转化为同向不等式相 乘．
练习
用不等号 “＞”或 “＜”填空：
（１）如果a＞b，c＜d，那么a－c
b－d；
d＝－2.
则
a c
＝－1，
b d
＝－1，排除选项
A B.
又
a d
＝－
3 2
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
新知探索 关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠
定了基础.那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可
以从等式的性质及其研究方法中获得启示.
不等式的性质： 性质1：如果a＞b，那么b＜a； 性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
新知探索
基本事实：a,b∈R
a>b a-b>0； a=b a-b=0；
a<b a-b<0
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
作差法比较大小的步骤：
作差 → 化简 → 定号 → 确定大小.
变式练习 1.已知x<y<0,比较(x2＋y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 2.比较x2+y2与2xy的大小.
能力提升
1.比较x2＋3与3x的大小. 2.已知a、b为正实数，比较
3.比较 2011 2010与
ab 与 ba
a b
的大小.
2012 2011 的大小.
4.用数学知识解释：糖水加糖变甜.
小结 1.实际问题抽取数学关系—注意实际意义； 2.实际问题解决途径—化为数学问题；
(1)抽取数学关系； (2)解决数学问题； (3)数学结论化实际结论. 3.作差法比较大小.
解法一： 设x=a+b,y=a-b, 得a x y ,b x y ,
2
2
∴4a-2b=2x+2y-x+y=x+3y.
∵1≤x≤4,-1≤y≤2,∴-3≤3y≤6. 则-2≤x+3y≤10,即-2≤4a-2b≤10.
新人教A版高中数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质 课件
答案：（1） > （2） < （3） <
（4） <
第十五页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
题型二 比较大小 例2：(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4)
=2>0， 所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解决相应的问
题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法 转化为加法，将除法转化为乘法）
第二十二页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需 费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22 元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元,购买3只康乃馨所需费用为B元, 则A,B的大小关系是( )
答案：A
第十页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
答案：A
第十一页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
3. 用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2
bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b
a.
(3)若a>b,c<d,则a-c
b-d.
答案(1)≥ (2)< (3)>
第十二页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
A.A>B
B.A<B
C.A=B
2.1.1等式的性质与不等式的性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件 (共29张PPT)
一般地，∀ a，b∈R，有 a²＋b²≥２ab， 当且仅当a＝b时，等号成立．
思考
能否利用作差比较 a²＋b²与２ab 的大小
解: a²＋b²－２ab＝（a－b）²
a，b∈R，（a－b）²≥０， 当且仅当a＝b时，等号成立，
所以 a²＋b²≥２ab， 当且仅当a＝b时，等号成立
思考
证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正 方形的面积．并据此说明，人们通常把自来 水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原 因．
[正解] 解法一：(待定系数法)：4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(－m＋n)b，
m＋n＝4，
m＝3，
所以 －m＋n＝－2， 解得 n＝1.
所以 4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为 1≤a－b≤2，所以 3≤3(a－b)≤6.
又因为 2≤a＋b≤4，
所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
作差步骤：作差，变形，定号
针对练习
【练习】1.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋
b3与a2b＋ab2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝ x－32 2＋3≥3>0，
44 ∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2.
分析：设周长相等为L，根据圆的周 长和正方形的周长公式分别求得圆 的半径和正方形的边长；再利用圆 的面积公式和正方形的面积公式分 别表示出它们的面积进行比较即可 解决问题．
思考
能否利用作差比较 a²＋b²与２ab 的大小
解: a²＋b²－２ab＝（a－b）²
a，b∈R，（a－b）²≥０， 当且仅当a＝b时，等号成立，
所以 a²＋b²≥２ab， 当且仅当a＝b时，等号成立
思考
证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正 方形的面积．并据此说明，人们通常把自来 水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原 因．
[正解] 解法一：(待定系数法)：4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)
＝(m＋n)a＋(－m＋n)b，
m＋n＝4，
m＝3，
所以 －m＋n＝－2， 解得 n＝1.
所以 4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)．
因为 1≤a－b≤2，所以 3≤3(a－b)≤6.
又因为 2≤a＋b≤4，
所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.
作差步骤：作差，变形，定号
针对练习
【练习】1.比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x2＋3与3x； (2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋
b3与a2b＋ab2的大小．
[解] (1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝ x－32 2＋3≥3>0，
44 ∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)． ∵a>0，b>0且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0. ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2.
分析：设周长相等为L，根据圆的周 长和正方形的周长公式分别求得圆 的半径和正方形的边长；再利用圆 的面积公式和正方形的面积公式分 别表示出它们的面积进行比较即可 解决问题．
新人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是
()
答案：D
知识点二 等式性质与不等式性质 (一)教材梳理填空 1．等式性质：
等式有下面的基本性质： 性质 1 如果 a＝b，那么 b＝a； 性质 2 如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c； 性质 3 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； 性质 4 如果 a＝b，那么 ac＝bc； 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
【对点练清】 1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应
满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边 15－x2≤11，所以 x≥8. 又 0＜x≤18 且 x≤11，所以 8≤x≤11. 2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？
解：函数 S＝x15－x2的对称轴方程为 x＝15，令 S≥110，x∈N ，经检验 当 x＝13,14,15,16,17 时 S≥110.
解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
法二：(特殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
答案：C
()
2．已知 c＞a＞b＞0，则c－a a________c－b a.(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：因为 c＞a，所以 c－a＞0，又因为 a＞b，所以c－a a＞c－b a. 答案：＞
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0，∴x＋122＋34≥34＞0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
人教A版高中数学必修第一册2.1 第1课时等式、不等式与比较大小【课件】
)
A.
B.1
+
解析:xy≤ =2,当且仅当
答案:C
C.2
x=y 时取“=”.
D.4
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一
种.( √ )
(2)实数x不大于3,用不等式表示为x<3.( × )
∵
x2-x+1=
-
+
≥
>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
反思感悟
1.本题采用的是作差法比较大小,一般地,涉及两个代数式比
解析:x2+2-3x=(x-2)(x-1),
∵x<1,∴x-2<0,x-1<0,
∴x2+2-3x>0,∴x2+2>3x.
答案:x2+2>3x
.
三、不等式:∀a,b∈R,a2+b2≥2ab
【问题思考】
1.分别以a,b为直角边,做四个全等的直角三角形,并将这四个
直角三角形拼成正方形,如图所示,则正方形ABCD的边长为
答案:B
二、两个实数大小关系的基本事实
1.想一想,怎样比较两个实数的大小?
提示:用作差法.
2.对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
A.
B.1
+
解析:xy≤ =2,当且仅当
答案:C
C.2
x=y 时取“=”.
D.4
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一
种.( √ )
(2)实数x不大于3,用不等式表示为x<3.( × )
∵
x2-x+1=
-
+
≥
>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
反思感悟
1.本题采用的是作差法比较大小,一般地,涉及两个代数式比
解析:x2+2-3x=(x-2)(x-1),
∵x<1,∴x-2<0,x-1<0,
∴x2+2-3x>0,∴x2+2>3x.
答案:x2+2>3x
.
三、不等式:∀a,b∈R,a2+b2≥2ab
【问题思考】
1.分别以a,b为直角边,做四个全等的直角三角形,并将这四个
直角三角形拼成正方形,如图所示,则正方形ABCD的边长为
答案:B
二、两个实数大小关系的基本事实
1.想一想,怎样比较两个实数的大小?
提示:用作差法.
2.对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
数学人教A版(2019)必修第一册2.1等式性质与不等式性质(共19张ppt)
(3) 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 【解析】 设△ABC的三条边为a，b，c，则a＋b＞c，a－b＜c.
内容索引
二 两个实数大小的比较
思考1►►► 实数比较大小的依据与方法是什么？
关于实数 a，b 大小的比较，有以下基本事实：
a>b⇔ a－b>0；
a＝b⇔ a－b＝0;
a<b⇔a－b<0.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1) 某路段限速40 km/h； 【解析】 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0＜v≤40. (2) 某 品 牌 酸 奶 的 质 量 检 查 规 定 ， 酸 奶 中 脂 肪 的 含 量 f 应 不 少 于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 【解析】 由题意得fp≥≥22..53%%，.
(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac＜bc.
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 证明：由a＞b和性质3，得a＋c＞b＋c.又由c＞d和性质3，得b＋c＞ b＋d，由性质2，得a＋c＞b＋d.
内容索引
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 证明：因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0， 由性质4，得bc＞bd.由性质2，得ac＞bd. 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【解析】 (1) 因为 3≤b<10，所以－10<－b≤－3. 因为 2<a≤5，所以－8<a－b≤2. 因为110＜1b≤13，所以15<ab≤53.
内容索引
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二 两个实数大小的比较
思考1►►► 实数比较大小的依据与方法是什么？
关于实数 a，b 大小的比较，有以下基本事实：
a>b⇔ a－b>0；
a＝b⇔ a－b＝0;
a<b⇔a－b<0.
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1) 某路段限速40 km/h； 【解析】 设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0＜v≤40. (2) 某 品 牌 酸 奶 的 质 量 检 查 规 定 ， 酸 奶 中 脂 肪 的 含 量 f 应 不 少 于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 【解析】 由题意得fp≥≥22..53%%，.
(a－b)c＞0，从而 ac＞bc；当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac＜bc.
性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. 证明：由a＞b和性质3，得a＋c＞b＋c.又由c＞d和性质3，得b＋c＞ b＋d，由性质2，得a＋c＞b＋d.
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性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 证明：因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得ac＞bc.因为c＞d＞0，b＞0， 由性质4，得bc＞bd.由性质2，得ac＞bd. 性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【解析】 (1) 因为 3≤b<10，所以－10<－b≤－3. 因为 2<a≤5，所以－8<a－b≤2. 因为110＜1b≤13，所以15<ab≤53.
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1 2
)2－
3 4
<0，
∴a<b，∴点A在点B的左边．
9．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路 程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200km，写成 不等式为___8_(x_＋__1_9_)_>_2_2_0_0__；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原8x来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表 示为____9_<_x_－__1_2_<_1_0__.
a－b2
2＋
3 4
b2≥0.
6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工 需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工 x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( A )
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200 C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
解析：由题意，可得400x＋500y≤20 5y≤200，故选A.
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1.1 不等关系与不等式 2.1.2 等式性质与不等式的性质 P19
——基础巩固——
一、选择题
1．若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h，
行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，则用不等式
表示为( B )
A．v≤120 km/h 或 d≥10 m
10．打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，但 椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，若购买桌子和椅 子的数目分别为x，y，用不等式组表示上述不等关系为
50x＋20y≤2 000， x≤y， y≤1.5x， x≥0，x∈N， y≥0，y∈N ______________________________.
y≥0.
——能力提升——
14．有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a，
b，c，d，已知 a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球
由重到轻的排列顺序是(
)A
A．d>b>a>c B．b>c>d>a
C．d>b>c>a D．c>a>d>b
解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c ＋d)，即a>c.∴b<d.又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c.
v≤120 km/h， B.d≥10 m
C．v≤120 km/h
D．d≥10 m
解析：考虑实际意义，知v≤120 km/h，且d≥10 m.
2．已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，
B在原点左侧，则下列不等式成立的是( D )
A．a－b≤0 B．a＋b<0
C．|a|>|b|
D．a>b
000，化简得4x＋
ห้องสมุดไป่ตู้
7．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝
2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( A )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．P≤Q
解析：P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2a－2b－2c＝(a－1)2＋(b－1)2 ＋(c－1)2≥0.∵a，b，c不全相等，∴P－Q>0，∴P>Q.
解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0， ∴x3－1<2x2－2x.
13．已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下 表：
A．①③⇒② B．①②⇒③
C．②③⇒① D．B选项错误
5．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；
③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对①，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；对②，a2＋b2－2a
＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；对③，a2＋b2－ab＝
15．甲、乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地，甲车用速度 a 行驶一半时间，用速度 b 行驶另一半时间；乙车用速度 a 行驶一 半路程，用速度 b 行驶另一半路程，若 a≠b，试判断哪辆车先到 达 B 地？
11．已知|a|<1，则1＋1 a与1－a的大小关系为__1_＋1__a_≥__1_－__a___.
解析：由|a|<1，得－1<a<1. 1
∴1＋a>0,1－a>0.∴11＋ －aa＝1－1 a2. ∵0<1－a2≤1，∴1－1a2≥1，∴1＋1 a≥1－a.
三、解答题 12．已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．
甲乙丙
维生素 A(单位/kg) 600 700 400
维生素 B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg)
11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各 x kg、y kg、z kg 配成 100 kg 的混
合食物，并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 63 000
单位维生素 B.试用 x、y 表示混合食物的成本 c(单位：元)，并写出
解析：a>0，b<0，∴a>b.
3．设M＝3x2－x＋1，N＝2x2＋x，则( D )
A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M≥N
解析：M－N＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
4．已知三个不等式：①ab>0，②
c a
>
d b
，③bc>ad.则下列结论
错误的是( D )
二、填空题 8．已知两实数 a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b 分 别对应数轴上两点 A，B，则点 A 在点 B 的_左__边___ (填“左边”或 “右边”)．
解析：∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)
＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋
x、y 所满足的不等关系．
解：依题意得，c＝11x＋9y＋4z，∵x＋y＋z＝100， ∴c＝400＋7x＋5y，
600x＋700y＋400z≥56 000， 由800x＋400y＋500z≥63 000，
x＋y＋z＝100，
得23xx＋－3y≥y≥13106.0，
2x＋3y≥160， ∴x，y所满足的不等关系为3x≥x－0y，≥130，