直线在平面内的射影共19页文档
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
直线和平面的位置关系
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
射影平面
射影平面３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解） 练习３－１１． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２１． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1l '和2l '的交点，即无穷远点，也就）（图1是1l '∥2l '． ３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是有2121//R R P P2121//R R Q Q所以2121//Q Q P P即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，11Q P ∥22Q P ．则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点． ４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．分析如图所示，平面α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面 上射影成∠B C A '''． 因为A ，B 为影消线上两点，OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X ）图题（第32R 1R ZY X2P 1P ∞B ∞A ∞M ∞O 2Q 1Q所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，OB ∥β，且OB ∥B C ''，所以∠B C A '''＝∠ACB ． 而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．３．3笛沙格定理 知识点解析三点形、三线形概念定理3.1（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．定理3.２ 如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．解题指导（习题选解） 练习３－３１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是R 为定点．２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A题图）（第1ABB 'P ClA 'C 'OQRn m分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A证明根据图形(见第２题图)可知，Λ),,,(21ΛB B B),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR 是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线．３．设A ，B ，C ，D 为平面上的 四点，R CD AB =⨯（AB 与CD 的交点 为R ），P AD BC =⨯，Q BD AC =⨯． 试证：BC 与QR 的交点1A ，CA 与RP 的 交点1B ，AB 与PQ 的交点1C 在同一直线上．证明如图所示．在三角形ABC 和PQR 中，对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ，由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C 共线．３．４齐次坐标 知识点解析 一维齐次坐标),(21x x ，其中1x ，2x 满足x x x =21)0(2≠x 二维齐次坐标),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32)0(3≠x ，),(y x 是欧氏平面内的笛氏坐标．)0,,(21x x （1x ，2x 不同时为0）是一个无穷远点的齐次坐标．A题图）（第21题图）（第3),,(321x x x )0(3≠x 是一个有穷远点的齐次坐标．)0,0,0(不表示一个点的齐次坐标．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标．直线方程欧氏坐标系下直线方程为)0(02221321≠+=++a a a y a x a其中),(y x 是直线上点的非齐次坐标．点),(y x 的齐次坐标为),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32． 直线的齐次方程为)0(022********≠+=++a a x a x a x a过原点的直线的齐次方程为)0(022212211≠+=+a a x a x a无穷远直线的齐次方程为03=x无穷远直线无非齐次方程． 齐次线坐标 直线的齐次方程为0332211=++x u x u x u321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为],,[321u u u ．]0,0,1[是y 轴的齐次线坐标． ]0,1,0[是x 轴的齐次线坐标． ]1,0,0[是无穷远直线的齐次线坐标．定理3.3一点),,(321x x x X =在一直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为0332211=++x u x u x u直线0332211=++x u x u x u 的非齐次坐标为31u u u =，32u uv =． 所有不通过原点的直线方程都可以写成01=++vy ux两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x即0)()()(312213311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的坐标为),,(122131132332b a b a b a b a b a b a ---解题指导（习题选解） 练习３－４１．试求出下面各点的齐次坐标． （１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(． （２）以43为方向的无穷远点。
射影几何学
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。
通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。
德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。
这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
初中数学竞赛专题-第十九章 空间射影图的性质及应用
第十九章空间射影图的性质及应用【基础知识】空间中一点在某直线或在某平面上的射影,就是从该点向直线或平面所作垂线段的垂足．空间一条直线在一平面内的射影可能是一条直线,也可能为一点,因而空间两异面直线之间的距离,可以转化成两异面直线在某一平面的射影或是两条平行直线,或是一点与一条直线而求． 空间图形有如下一系列有趣的性质：性质1从空间一点向一个平面所引的斜线段中,斜线段相等其射影相等,斜线段较长的其射影也较长．反之亦真．性质2长度为l 的线段与其射影线段的长0l 有如下关系：0cos l l α=⋅．其中α为长度为l 的线段所在直线与射影线段所在直线的夹角．性质3长度为l 的线段在与其共面的两相互垂直的直线上的射影长1l ,2l 有如下关系式：22212l l l =+．注此式即为三角形中的勾股定理．性质4长度为l 的线段,与它在三条两两互相垂直的直线上的射影长1l ,2l ,3l 有如下关系式：2222123l l l l =++注长方体对角线长的公式是其特例．性质5长度为l 的线段AB 的两端点A ,B 分别属于一个角度为θ的二面角的两个半平面α与β,AB 与平面α所成的角为1θ,与平面β所成的角为2θ,点A ,B 到这个二面角的棱的距离分别为1l ,2l ,则 2112sin sin sin l l lθθθ==． 证明如图191-,设AC 垂直于二面角的棱,作AO β⊥于O ,则CO 为AC 在平面β上的射影,知ACO θ∠=又BO 为AB 在β上的射影,知2ABO θ∠=,于是 1sin sin AO AC l θθ=⋅=⋅,2sin sin AO AB l βθ=⋅=⋅故有112sin sin l lθθ=． 同理可得21sin sin l l θθ=．故2112sin sin sin l l lθθθ==．注若AB 与二面角的棱垂直时,上式即为三角形中的正弦定理．性质6设APB θ∠=()0πθ<<在平面M 的一侧,顶点M 在平面M 上,边PA ,PB 与平面M 所成的角分别为1θ,2θ（10θ≤,2π2θ<）,在平面M 上的射影分别为1PA ,2PA ,()110πA PB αα∠=<<,平面APB 与平面M 所成的二面角为π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则1212cos sin sin cos cos cos θθθαθθ-⋅=⋅． 证明不妨设11AA BB <,PA a =,PB b =,过A 引11AC A B ∥,交1BB 于C ,则有222222111111111cos 22PA PB A B PA PB AC PA PB PA PB α+-+-==⋅⋅而222AC AB BC =-,2222cos AB a b ab θ=+-．21sin sin BC b a θθ=⋅-⋅,从而()()2222212cos sin sin AC a b ab b a θθθ=+---⋅()2221212cos cos 2cos sin sin a b ab θθθθθ=⋅+⋅--⋅．又11cos PA a θ=⋅,12cos PB b θ=⋅,由此印可证．性质7已知BAC ∠的两边与平面M 相交于B ,C 两点,点A 在平面M 内的射影为A ',且A ',B ,C 不共线．设直线AB 和AC 与平面M 所成的角分别为1θ,2θ,那么当且仅当1211sin sin cos 1cos cos BAC θθθθ⋅∠-⋅时,有cos BAC BA C '∠∠．证明如图192-,在Rt AA B '△中,222A A AB A B ''=-．图19-2A ′θ2θ1BCAM同理,222A A AC A C ''=-．在ABC △中,2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠．从而,在A BC '△中,2222cos cos 2A B A C BC AB AC BAC A A BA C A B A C A B A C '''+-⋅⋅∠-'∠==''''⋅⋅． 又1sin AA AB θ'=⋅,1cos A B AB θ'=⋅,2sin A A AC θ'=⋅,2cos A C AC θ'=⋅,从而 1211cos sin sin cos cos cos AB AC BAC AB AC BA C AB AC θθθθ⋅⋅∠-⋅⋅⋅'∠=⋅⋅⋅1212cos sin sin cos cos BAC θθθθ∠-⋅=⋅因此,有cos cos BAC BA C BAC BA C ''∠∠⇔∠∠1212cos sin sin cos cos sin BAC BACθθθθ∠-⋅⇔∠⋅()12121cos cos cos sin sin BACθθθθ⇔-⋅⋅∠⋅1212sin sin cos 1cos cos BAθθθθ⋅⇔∠-⋅．注（1）性质7中条件“A ',B ,C 不共线”可放宽为“A '与B ,C 都不重合”．（2）若已知BAC ∠的两边与平面M 相交于B ,C 两点,点A 在平面M 内的射影为A ',且A ',B ,C 不共线．令ABC α∠=, ACB β∠=,平面ABC 与平面M 所成二面角的大小为ϕ π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则当且仅当cos cot cot ϕαβ-⋅时,有BAC ∠BA C '∠．（此结论的证明可见《数学通报》2001年4期P22页）性质8在二面角的一个半平面上的任意多边形的面积S 与这个二面角度数π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的余弦之乘积,等于这个多边形在此二面角的另一个半平面上射影多边形的面积S '．即cos S S ϕ'=⋅．性质9设顶点P 在平面M 内,两边PA ,PB 分别与M 在同侧所成角为1θ,2θ,且()0πAPB θθ∠=<<的两边PA ,PB 在平面M 上的射线分别为1PA ,1PB ,1A PB α∠=,平面APB 与平面M 所成的二面角为π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,则12cos cos sin cos sin θθαϕθ⋅⋅=．证明由性质8,有11cos PA B PAB S S ϕ⋅△△=．于是,112121cos cos sin cos cos sin 2cos 1sin sin 2PA B PABPA PB S S PA PB θθαθθαϕθθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===⋅⋅△△． 由性质8并注意性质5,即得如下两个推论： 推论122212122sin sin 2sin sin cos sin sin θθθθθϕθ+-⋅⋅=．推论222212122tan tan 2tan tan cos tan sin θθθθαϕα+-⋅⋅=．性质10面积为S 的平面多边形与它在三个两两互相垂直的平面上的射影面积1S ,2S ,2S 有关系式：2222123S S S S =++．【典型例题与基本方法】例1如图193-,在ABC △中,P 、Q 、R 将其周长三等分,且P 、Q 在AB 边上,求证： 29PQR ABCS S >△△．图19-3A BCHL QRP（1988年全国高中联赛题）证明不妨设周长为1,设L 、H 分别为C 、R 在AB 上的射影．则 1212PQR ABCPQ RHS PQ AR S AB AC AB CL ⋅⋅==⋅⋅△△． 13PQ =,12AB <,23PQ AB ∴>． 111236AP AP BQ AB PQ ∴+=-<-=≤, 11113366AR AP =->-=,12AC <,116132AR AC ∴>=,212339PQR ABC S S >⋅=△△． 例2如图194-,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是BC 的中点,F 在1AA 上,且112A F FA =∶∶．求平面1B EF 与底面1111A B C D 所成的二面角．图19-4C 1GD 1E 1B 1A 1F ABCDE（1985年全国高中联赛题）解作111EE B C ⊥于1E ,设111FB A θ∠=,112EB E θ∠=,则11tan 3θ=,2tan 2θ=．易知111A B E ∠为FBE ∠在平面11A C 上的射影角,即11190A B E α∠==︒．由性质9的推论2,有222112223733tan 129ϕ⎛⎫+-⋅⋅ ⎪⎝⎭==,故平面1B EF与底面所成二面角为． 例3设11AA B B 为圆柱的轴截面,C 为底面圆周上一点,11AA =,4AB =,60BAC ∠=︒．求平面11A CB 与圆柱底面AB 所成的二面角．解如图195-,设11ACA θ∠=,12B CB θ∠=,11ACB θ∠=．由4AB =,60BAC ∠=︒,所以2AC =,BC =11AA =,故1A C =1B C =,则1cos θ2cos θ图19-5于是222111111cos 2AC B C A B AC B C θ+-=⋅,由此得sin θ=．显然,90BAC α∠==︒,以此代入性质9中结论,得12cos cos sin cos sin θθαϕθ⋅⋅=从而30ϕ=︒． 故平面11A CB 与底面成30︒的二面角．【解题思维策略分析】1．射影——空间通往平面的桥梁 一些空间元素间的距离,或者线、面之间所成的角,常常可以通过射影的方式,把要求的数据通过它们在某一平面的影象而获得．例4设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是面对角线1BC 上一动点,Q 是底面ABCD 上一动点,试求1D P PQ +的最小值．（1998年“希望杯”竞赛题）Q 1QCAB P 1PC 1D 1AC BQP D图19-6(b)(a)B 1D 1C 1A 1解由题设,知1D P PQ +最小时,点Q 必定是点P 在底面上的射影,如图19-6（a ）,1D P 与PQ 是在二面角11D BC C --的两个面内,为此将1BC C △绕1BC 旋转90︒,使1BC C △与对角面11ABC D 在同一个平面内,如图19-6（b ）．由PQ BC ⊥,故当1D ,P ,Q 共线且与1BC 垂直时,1D P PQ +最小,可求得()11111122221122D Q D P PQ =+=+-=+．故所求最小值为212+． 例5在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 是凸四边形,AC BD ⊥,且AC 与BD 的交点O 恰是顶点S 在底面上的射影,证明：O 点在四棱锥各侧面上的射影在同一圆周上． OPNMACDPMCB NOAQ (a)(b)S图19-7证明如图19-7（a ）,设K ,L ,M ,N 分别是O 点在侧面SAB ,SBC ,SCD ,SDA 上的射影．在侧面SCD 内,连CM 并延长交SD 于P 点．由OC SO ⊥及OC OD ⊥,得OC SD ⊥．因OM ⊥面SCD ,CM 是OC 在面SCD 内的射影,故SD CM ⊥．同理DM SC ⊥,因而M 是SCD △的垂心． 同理,K ,L ,M 分别是各相应侧面三角形的垂心．连PO ,由三垂线定理得OP SD ⊥．连AP ,同理得AP SD ⊥．从而AP 过SAD △的垂心N ． 同样地,分别在SAB △,SBC △内引棱SB 上的高AQ ,CQ ,它们分别过点K ,L ,且交SB 于Q 点． 在APC △中,PO AC ⊥,ON AP ⊥,OM PC ⊥,如图197- （b ）．设OA a =,OC b =,OP c =, 则2OA NA AP =⋅,2OP PN AP =⋅,从而2222PN OA a NA OP c ==,同理22CM b MP c =． 设OQ d =,类似可得22AK a KQ d =,22QL d LC b =． 点K ,L ,M 和N 分别在四面体AQCP 的棱AQ ,QC ,CP 和PA 上,且222222221AK QL CM PN a d b c KQ LC MP NH d b c a⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 由四面体中的梅涅劳斯定理,知K ,L ,M ,N 在同一平面（记为α）内．以SO 为直径作球,因为90SKO SLO SMO SNO ∠=∠=∠=∠=︒,所以K ,L ,M 和N 均在上述球面上．因此,K ,L ,M 和N 同在平面α与球面相交的圆周上．例6设有立方体ABCD A B C D ''''-（相对的面是ABCD 和A B C D '''',其中AA BB CC DD ''''∥∥∥）．点x 以恒速在正方形ABCD 的周界上按A 、B 、C 、D 的顺序运动,点y 以同样的恒速在正方形B C CB ''的周界上按B '、C '、C 、B 的顺序运动,点x 和y 分别从点A 和B '同时出发,求线段xy 的中点Z 的轨迹．（IMO 4-试题）解设棱AA '的中垂面变立方体于正方形0000A B C D ,并设1Z 为00A B 之中点,2Z 为00B C 之中点,3Z 为BD 之中点,如图198-．D 'C 'B'A'BX AZ 3Z 1'Z 2'B 0DX ′'Z 2Z 1ZC 0A 0D 0Y图19-8（i ）当点X 从点A 出发遍历线段AB ,点Y 从点B '出发以相同的速度遍历线段B C '',线段XY 的中点Z 则由线段AB '的中点1Z 出发到线段BC '的中点2Z ．设线段X Y ''表示线段XY 在平面0000A B C D 内的射影,则知线段XY 的中点Z 也是线段X Y ''的中点．因此中点Z 在平面0000A B C D 上,显然,线段12Z Z 是中点Z 的轨迹．（ii ）当点X 由点B 到C 遍历线段BC 时,则点Y 由点C '到C 遍历线段C C '．由于速度相同,所有在平面BCC '上的直线XY 都平行于线段BC ',且点X 和Y 同时到达点C ,因此线段2Z C 是线段XY 的中点Z 的轨迹．（iii ）同理,当点X 遍历线段CD ,同时点Y 遍历线段CB 时,则所有在平面ABC 上的直线XY 都平行于线段BD ,且点X 和Y 同时分别达到D 和B ,因此线段3Z C 是线段XY 的中点Z 的轨迹．（iv ）最后,当X 沿线段DA 返回点A ,同时点Y 沿线段BB '返回点B '时,则只要适当地交换正方体的棱就可知道位置与情况（i ）相同,因此线段XY 的中点Z 遍历线段31Z Z ．由于线段12Z Z 、2Z C 、3CZ 、31Z Z 和32Z Z 的长都等于一侧面的对角线之半,另外,线段12Z Z 在平面ABC 内的射影12Z Z ''平行于3Z C ,得线段123Z Z Z C ∥,因此四边形123Z Z CZ 是一个平行四边形,而且是菱形,其中一个角如3260Z CZ ∠=︒．2．灵活运用性质求解问题例7应当怎样放置长方体,才能使它在水平面的投影面积最大？（1962年莫斯科竞赛题）A D图19-9解长方体在水平面上的投影是六边形,设为ABCDEF 如图199-．因为长方体每个侧面在水平面上的投影都是平行四边形,所以ACE △的面积是整个长方体投影面积的一半,设ACE △是长方体内A C E '''△的投影,设ϕ为A C E '''△所在平面与水平面的夹角,则由性质8,知cos ACE A C E S S ϕ''=⋅△△．显然,要使得长方体的投影面积最大,应当ACE S △最大,因而必须有cos 1ϕ=,即0ϕ=︒,这表明,当长方体中的A C E '''△所在平面与水平面平行时,长方体的投影面积达到最大．因此,应当这样放置长方体,使得经过它的自同一个顶点出发的3条棱的另一端点A ',C ',E '的平面与水平面平行．例8如图1910-,四棱锥S ABCD -的底面为直角梯形,AB CD ∥,AB AD ⊥,侧面SAD 垂直于底面,设30ASB ∠=︒,45DCS ∠=︒．求当侧面SAD 与侧面SBC 所成的二面角为60︒时,求BSC ∠及ASD ∠的大小． 图19-10SA BCD解因侧面SAD ⊥底面ABCD ,AB CD ∥,AB AD ⊥,故AB ,CD 均垂直于侧面SAD ,则ASB ∠,CSD ∠分别为SB ,SC 与平面SAD 所成的角,于是130ASB θ∠==︒,2 45CSD θ∠==︒．已知60ϕ=︒,由性 质9的推论1,有2222sin 30sin 452sin30sin 45cos sin 60sin θθ︒+︒-︒⋅︒⋅︒=． 从而,23sin 3θθ=-,那(cos 3cos 0θθ-=． 于是1cos 0θ=,2cos θ=190θ=︒,2θ=． 又由性质6,当190θ=︒时,sin30sin 45cos cos30cos45α-︒⋅︒==︒⋅︒,则1πα=-；而当2θ=时,1cos α==,所以2α= 故90BSC ∠=︒,πASD ∠=-BSC ∠=ASD ∠= 例9如图1911-,平行四边形ABCD 的顶点A 在二面角MN αβ--的棱MN 上,点B ,C ,D 都在α上,且2AB AD =,45DAN ∠=︒,60BAD ∠=︒,求二面角MN αβ--的平面角ϕ的余弦值,使平行四边形ABCD 在半平面β上的射影是：（Ⅰ）菱形；（Ⅱ）矩形．图19-11N MA BC D αβ解由性质2,知AD ,BC 在平面β内的射影长度相等,AB ,CD 在β内的射影长度也相等,从而,平行四边形ABCD 在β内的射影也为平行四边形（或一线段）． 又由性质8,知其射影面的面积为cos ABCD S ϕ⋅． 设AD 与平面β所成的角为x ,则由性质5,知 sin 45sin sin AD AD x ϕ⋅︒=,即sin x ϕ=．其中用到AD 与MN 的夹角为45︒（从而D 到MN 的距离为sin45AD ⋅︒）．于是,设B ,C ,D 在平面β内的射影分别为B ',C ',D '时,则有AD AD '=．同理,AB AB '=． （Ⅰ）如果AB C D '''为菱形,则AB AD ''=,即AB AB ． 即()()222211sin 41sin 75sin 421cos150sin 2ϕϕϕ-=-︒⋅=--︒⋅．于是2sin 6θ=,故cos 2θ= （Ⅱ）如果A B C D ''''为矩形,则应有AB C D S AB AD '''''=⋅．于是cos ABCD S AB AD ϕ''⋅=⋅,即AB AD AB AD ϕ⋅⋅==⋅．进而有2221312cos 1sin 1sin 422ϕθϕ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-⋅- ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．于是,令2sin t ϕ=,则((222120t t -++=．即211t ==,从而1cos 2θ=为所求．【模拟实战】习题A1．设AM 是ABC △边BC 上的中线,任作一条直线分别交AB 、AC 、AM 于P 、Q 、N ．求证：AB AP 、AMAN 、AC AQ 成等差数列．（1978年辽宁省竞赛题）2．已知三角形123P P P 和其内的任意一点,设直线1PP 、2P P 、3P P 交三角形的对边于1Q 、2Q 、3Q ．证明：在比值11PP PQ 、22P P PQ 、33P P PQ 中,至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2． （IMO 3-试题）3．已知OAB △中90AOB ∠<︒,从OAB △中任一点(0)M ≠分别作OA 、OB 的垂线MP ,MQ ．设H 为OPQ △的垂心,当点M 遍历线段AB 时,点H 的轨迹是什么？（IMO 7-试题）4．长方体A C '中,5AB =,4BC =,6B B '=,且E 是AA '的中点,求异面直线BE 与A C ''间的距离． 5．正三棱柱111ABC A B C -,的侧面的三条对角线1AB 、1BC 、1CA 中,若11AB BC ⊥,求证： 11AC AB ⊥．（1985年北京市高一竞赛题） 6．棱长为12的正方体,被过A 、E 、F 三点的平面α所截,若9BE DF ==,求正方体被平面α所截的截面面积．（1979年辽宁省竞赛题）7．线段AB ,CD 夹在两个平行平面α与β之间,AC α⊂,BD β⊂,AB α⊥,5AC BD ==,12AB =,13CD =,E ,F 分别分AB ,CD 为12∶．求线段EF 的长．8．过ABC △的两个顶点A ,B 分别作平面ABC 的同一侧垂线AD ,BE ,得到正三角形CDE ,设1AD =,2BE =,3DE =．求平面CDE 与平面ABC 所成的二面角．9．在正三棱柱11ABC A B C -1中,1AB AA =,试确定1BB 上的点E ,使平面1A EC 与平面111A B C 所成的二面角为45︒．10．正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为3,点P ,Q ,R 分别是棱1AA ,1BB ,11C D 上的点,且11A P =,12B Q =,11C R =．设平面PQR 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为α,求α．习题B1．已知四面体ABCD 四个侧面的面积相等．求证：此四面体的三对对棱的长度相等．2．在三棱锥S ABC -中,SA ⊥面ABC ,AB BC ⊥,点E 为SC 的中点,D 为AC 上的点,且DE SC ⊥．又SA AB =．SB BC =,求以BD 为棱,以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．3．已知正四棱锥P ABCD -的侧面与底面所成的二面角的大小为α,相邻两个侧面所成二面角的大小为β求证：2cos cos βα=-．第十九章 空间射影图的性质及应用习题A1．设B ,M ,C ,P ,N ,Q 在过A 与PQ 平行的直线上的射影即证．2．分别设A ,B ,C ,P 在对边上的射影即证．3．设P ,A 在OB 所在直线上的射影为K ,D ,设Q ,B 在OA 所在直线上射影为T ,C ,所求轨迹为线段CD ．4．5．找1C B ,1A C 在面11ABB A 内的射影．6．利用性质8,求得截面面积为7．过D 作平面α的垂线交α于H ,由αβ∥,AB α⊥,得DH AB ∥．连AH ,HC ,在Rt DHC △中,12DH =,13,DC DH HC =⊥,从而5,5,60HC AH HCA ==∠=︒．显然E 在α上的射影为A ,F 在α上的射影为CH 的三等分点P ,即1533CP CH ==．利用余弦定理,求得AP =,故EF 8．设1DCA θ∠=,2ECB θ∠=,DCE θ∠=,所求二面角为ϕ．由11sin 3θ=,22sin 3θ=及θ=60︒,由性质9的推论1,求得24sin 9ϕ=．故平面CDE 与平面ABC 所成的二面角为2arcsin 3． 9．由题设知11EA B ∠,11CA C ∠分别是1A C ,1A E 与底面111A B C 所成的角,111B AC ∠为1EAC ∠在平面111A B C 上的射影．设111EA B θ∠=,112CAC θ∠=,111B AC α∠=,令1EB ∶1BB k =,则111111tan EB EB k A B BB θ===,2tan 1θ=,显然α=60︒．由性质9的推论2,有222tan 45(1)/k k ︒=+-⎝⎭,即24410k k -+=,亦即12k =,从而1BE EB =．故当点E 为1BB 的中点时,平面1A EC 与平面111A B C 所成的二面角为45︒．10．过R 作平面ABCD 的垂线,则垂足R '在线段CD 内,且1CR '=． 由于AR B '△是PRQ △在平面ABCD 上的射影,又可求得21922ABR S AB '==△,PQ =,PR =,QR =,等腰PQR △底边上的高为,有PQR S =△9cos 2α=α=为所求． 习题B1．设二面角A DC B --,A DB C --,A BC D --的大小分别为,,αβγ,而二面角C AB D --,B AC D --,C AD B --的大小分别为,,x y z ．由性质8,有 cos cos cos BCD ACD ADB ABC S S S S αβγ=⋅+⋅+⋅△△△△．结合题目条件,有cos cos cos 1αβγ++=．同理可证如下等式：cos cos cos x y γ++=1,cos cos cos 1x z β++=,cos cos cos 1y z α++=．注意到,,αβγ,x ,y ,z 都属于区间(0,π),由上述等式可得cos cos x α=,cos cos y β=,cos cos z γ=,从而,,x y z αβγ===．利用z γ=,过A 作面BCD 的垂线AE ,过E 作,EF AC F ⊥为垂足,则AFE γ∠=．类似地作出BGH z ∠=．由于13A BCD BCD V AE S -=⋅△,13B ACD ACD V BH S -=⋅△．结合A BCD B ACD V V --=,以及BCD ACD S S =△△,可知AE BH =,而sin AE AF γ=⋅,sin BH BG z =⋅,z γ=,故AF BG =．再利用12ABC S AF BC =⋅△,12BCD S BG AD =⋅△,ABC BAD S S =△△,可得BC AD =．类似可证AB CD =,AC BD =．2．由题设条件知E 为SC 的中点,SB BC =,可知BE SC ⊥．结合DE SC ⊥,可知SC ⊥面BDE ．这表明BDE △是BDC △在平面BDE 上的射影．设所求的二面角的度数为α,则由性质8,有BDE S =△cos BDC S α⋅△．由SC ⊥面BDE 及SE EC =,可知S BDE C BDE V V --=,即13C BDE BDE V SE S -=⋅△．注意到SA ⊥面ABC ,E 为SC的中点,可知点E 到面BCD 的高等于12SA ．于是1122E BCD BDC V SA S -=⋅⋅△,而C BDE E BCD V V --=,所以1136BDE BDC SE S SA S ⋅=⋅⋅△,故cos 2BDE BDC S SA SA S SE SC α===△△． 由条件SA ⊥面ABC ,故SA BC ⊥．结合BC AB ⊥,可知BC ⊥面SAB ,从而BC AB ⊥,于是2SC SB ==2(2)2SA SA =,故1cos 2α=,即α=30︒． 3．过P 作PO ⊥面ABCD ,过C 作CF DP ⊥,设正方形ABCD 的边长为a ,侧棱长PB b =．注意到CPF △与APF △中,PC PA =,PF 公用,FPA CPF ∠=∠,则CPF △≌APF △．又CF PD ⊥,可知AF DP ⊥,则AFC β∠=,从而22222cos 12AF CF AC a AF CF CF β+-==-⋅． 又22cos 42OCD PCD PCD S a a S S b CFα===⋅△△△． 又在PCD △中,有2211222a b CF a b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭知224a b a CF -=．于是2222224cos 44b a b a b a β-=1-=--,2222cos 4a b a α--=-,故2cos cos βα=-．。
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
射影几何入门
(一) 1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形 118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系 1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 1712. 一阶与二阶无穷集 1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线 1816. 平面系和点系 1917. 空间中的所有平面 1918. 空间中的所有点 2019. 空间系 2020. 空间中的所有直线 2021. 点与数之间的对应 2022. 无穷远元素 22（二）1-1对应基本形之间的关系 2523. 七种基本形 2524. 射影性 2525. Desargues 定理 2626. 关于二个完全四边形的基本定理 2727. 定理的重要性 2828. 定理的重述 2829. 四调和点概念 2930. 调和共轭的对称性 3031. 概念的重要性 3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线 3134. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 3236. 可射影性的定义 3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭 3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法 3541. 平行线与中点 3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系 3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式 3846. 非调和比（交比） 39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况 4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设 4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列 4452. 无公共自对应点的射影相关点列 4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列 4756. 轨迹的退化 4857. 两阶线束 4858. 退化情况 4859. 二阶圆锥面 49(四) 二阶点列 4960. 二阶点列与二阶线束 4962. 切线 5063. 轨迹生成问题的陈述 5064. 基本问题的解决 5165. 图形的不同构作法 5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线 5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理 5469. Pascal定理 5470. Pascal定理中点的名称的替换 5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定 5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线 5775. 圆锥线的切线 5876. 内接四边形 5977. 内接的三角形 6078. 退化圆锥线 61(五)二阶线束 6379. 已定义的二阶射线束 6380. 圆的切线 6381. 圆锥曲线的切线 6582. 系统的生成点列线 6583. 线束的确定 6584. Brianchon定理 6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形 6989. 外切三边形 7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线 7192. 可射影性和可透视性 7193. 退化情况 7294. 对偶律 72(六) 极点和极线 7595. 关于圆的极点和极线 7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹 7797. 更多的性质 7898. 极点极线的定义 7899. 极点与极线的基本定理78100. 共轭点与共轭直线 79102. 自配极三角形 79 103. 射影相关的极点与极线80104. 对偶性 81105. 自对偶定理 81106. 其他对应关系 82 (七) 圆锥曲线的度量性质83107. 直径与中心 83108. 相关的几个定理 83 109. 共轭直径 84110. 圆锥曲线的分类 84 111. 渐近线 84112. 有关的几个定理 85 113. 关于渐近线的定理 85115. 由双曲线及其渐近线切割的弦 86116. 定理的应用 86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形 87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程 88119. 抛物线方程 88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程 91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理 95122. 线性作图法 96123. 直线上点的对合的定义97124. 对合中的二重点 97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理 99126. 退化圆锥线 100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线 100128. 二重对应 100129. Steiner的作图方法101130. Steiner作图法在重对应中的应用 102131. 二阶点列中点的对合103132. 射线的对合 104133. 二重射线 105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线 105135. 双重对应 105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理 106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合 106139. 定理的陈述 106140. 定理的对偶 107 (九) 对合的度量性质 109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心 109142. 基本度量定理 109 143. 二重点的存在 110 144. 二重射线的存在 112 145. 通过圆来构筑对合 112146. 圆点 113147. 对合中的正交射线对, 圆对合 114148. 圆锥线的轴 114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点 115150. 圆点的性质 115151. 圆点的位置 116152. 寻找圆锥曲线的焦点117153. 圆和抛物线 117154. 圆锥线焦点性质 118 155. 抛物线的情况 119 156. 抛物面反射镜 119 157. 准线．主轴．顶点 119158. 圆锥线的另一种定义120159. 离心率 120160. 焦距之和与差 121 (十) 综合射影几何的历史123161. 早期成果 123162. 统一性原理 124163. Desargues 124164. 极点与极线 125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理 125166. 推广到空间的极点与极线理论 126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法 126168. Desargues 工作的被接纳127169. Desargues时代的保守性127170. Desargues的写作风格128171. Desargues工作缺乏欣赏129172. Pascal与他的定理 129 173. Pascal的短评 130174. Pascal的独创性 130 175. De La Hire和他的工作131176. Descartes和他的影响132177. Newton和Maclaurin 133178. Maclaurin的证法 133 179. 画法几何与综合几何的二次复兴 134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系 135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作 136 183. 解析几何妥欠综合几何的债 137184. Steiner和他的工作137185. Von Staudt和他的工作138186. 近期的发展 139附录 140参考文献148索引 151第1章 1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。
空间直线和平面的位置关系ppt课件
a
④求异面直线A1B与B1C1的距离
2a 2Biblioteka 例３：如图，已知长方体ABCD-A’B’C’D’的
棱长AA’=3cm,AB=4cm,AD=5cm.
(1)求点A和C’的距离；
(2)求点A到棱B’C’的距离；
(3)求棱AB和平面A’B’C’D’的距离；
(4)求异面直线AD和A’B’的距离．
D
C
A
B
D’
C’
取一点M，我们把__点__M___到___平__面____的___距___离_____
叫做直线l 和平面的距离。
3)平面和平面的距离： 设平面平行于平面β,在平面上任取一点M,我
们把_点__M__到_平__面__β_的__距__离__叫做平面和平面β
的距离。
M
MN
N
4)异面直线的距离
思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？
练习:1. 选择题:
(1) 直线 m 与平面 平行的充分条件是 ( )
A. 直线 m 与平面 内一条直线平行;
B. 直线 m 与平面 内无数条直线平行; C. 直线 m 与平面 内所有直线平行; D. 直线 m 与平面 没有公共点;
(2) 过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,这样的平面 ( ) A. 能作无数个; B. 只能作一个;
(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直 .
(3) 平面的垂线一定与平面相交,交点就是垂足 .
A
直线和平面垂直，记作
l
2、判定直线和平面垂直的方法 （1）根据定义
直线l与平面上的任何直线都垂直
（2）直线和平面垂直的判定定理
定理2:如果直线l与平面上的两条相交直线a,b都 垂直，那么直线l与平面垂直.
第二章射影平面
第二章射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。
然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。
§1 射影直线与射影平面1.1 中心射影与无穷远元素定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。
A′叫做A从O投射到a′上的对应点。
OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。
显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。
选取射心不同，就会得到不同的中心射影。
如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。
在欧氏平面上，中心射影不是一一的。
如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。
同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。
点P和Q′叫影消点。
类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。
而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。
另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。
１为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。
于是，我们约定：约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。
平面上原有的点称为有穷远点。
由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。
另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。
这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。
约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。
平面内原有的直线称为有穷远直线。
可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。
约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。
空间中原有平面叫有穷远平面。
定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。
§ 13 射影平面
(1). 点x在直线u上 x在u上. (1)'. 直线u过点x u过x.
(对 uj xj 0两边取共轭即得结论)
(2). 虚点x在实直线u上 x在 (2)'. 虚直线u过实点x u过x. u上.
(3). 实直线上的点或为实点或 为成对出现的共轭虚点.
(3)' . 过实点的直线或为实直线 或为成对出现的共轭虚直线.
u3 0.
(3) 无穷远直线上的点 (A, B,0)
Au1 Bu2 0.
(4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9
(1)' 直线 [A, B,C]
Ax1 Bx2 Cx3 0.
(2)' 无穷远直线 [0,0,1]
x3 0.
(3)' 过原点的直线 [A, B,0]
Ax1 Bx2 0.
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例
3、作一图形的对偶图形 例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12).
翻译
点 P,Q
2个 直线 p, q
2条
直线 l, a,b,c, d
5条 点 L, A, B,C, D
5个
关联关系 (1) P, Q在l上；
关联关系 (1) ' p, q过点L；
(2). 对偶运算 过一点作一直线
在一直线上取一点
(3). 对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算
(4). 对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系
构成的图形Σ，若将Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对 偶运算(即对Σ作对偶变换)，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ'为一对 对偶图形.
第二章射影平面
第二章 射影平面§1 中心投影与无穷远元素1．研究对象：物体在灯光照射下的变化规律。
连OP ，设OP 与l '的交点为P '，则称P '为P （在中心O 下）的射影。
问题：中心投影不是数学意义下的对应。
问题产生原因：如图所示，0P 无象点（因此称为影消点），其原因是O 0P // l '，从而O 0P 与l '无交点，所以中心投影不是数学意义下的对应。
为了将中心投影纳入对应的范畴，我们必须对其进行改造。
原因分析：产生0P 无象的原因是“平行线无交点”的约定。
处理方法：取消“平行线无交点”的约定。
这必须打破常规，给平行线引入一个原先认为不存在的“不平常的点”。
如图，当2πθ→时，∞→||0P P ，以P （θ）的“极限点”作为平行直线的“交点”，记作∞P （称为无穷远点），其几何表示如图所示。
评注：上述无穷远点的引入过程是在深入研究以O 点为中心的线束中的直线与非线束中的直线的交点的基础上，来探索如何引入平行直线的交点比较合适这一问题的。
这充分地反映了继承传统与发扬广大的关系。
问题：平行直线的交点能引进几个？（参考图形，探索解答） （一个。
原因是两不同的直线只能有一个交点。
）o o无穷远点的引进是一个创新的过程，需要大胆的想象力。
而直线上的无穷远点只能引进一个则是原来的原则“两直线只有一个交点”的要求所至。
无穷远点根据研究需要而引入，又是原系统的规则的延伸，从而“无穷远点”又受到原系统的规则的“约束”，这充分体现了继承与发展的关系。
对照一维中心投影，请自行考虑二维中心投影的相应问题。
2． 无穷远元素规定一 在平面内对任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点（记作∞P ）与之对应，此点在组中每一直线上而不在组外的任何直线上。
规定二 平面内无穷远点的集合是一条直线，叫做无穷远直线，记作∞l 。
规定三 空间里所有无穷远点的集合是一个平面，叫做无穷远平面，记作∞π。
几何空间选论(第三讲 射影几何与射影空间)
第三讲射影几何与射影空间一、射影几何的起源与确立射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。
射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。
射影几何的某些内容在公元前就已经出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
1.达·芬奇（1452—1519）射影几何的最早起源是绘画。
达·芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。
他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。
在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。
他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。
这幅画就是严格采用透视法的。
在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。
此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。
达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。
他绘制了比较详细的人体解剖图。
在建筑方面，达·芬奇也表现出了卓越的才华。
他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。
达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。
他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。
看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。
达·芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计优雅。
要打开密码筒，必须解开一个5位数的密码，密码筒上有5个转盘，每个转盘上都有26个字母，可能作为密码的排列组合多达11881376种。
点在平面内的射影
设 SB = a,在 R t△SBM 中 , SM = 2a, 2
在 R t△SB C中 , SC = 3a,
在 R t△SCM 中 , tan∠SCM
= SM SC
=
66.
甘肃省临泽一中 ( 734200)
● 张 波
线线角与线面角的求解方法
一 、异面直线所成的角
异面直线所成的角一般是按定义作出异面
·3·
数理化学习 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ高中版 )
在 R t△PAO 中 ,
PO = PA2 - AO2 = 3 3. 2
例 2 如图 3, 正方体 AB CD —A1 B 1 C1 D1 中 , 若 E, F分别为棱 AB , C1 D1 的 中点 , 求直线 A1B 1 与平面 A1 ECF 所 成 的 角 的 余 弦 值.
直线所成的角 ,然后通过解三角形来求角. 求异
面直线所成的角常先作出所成角的平面图形 ,
作法有 : ①平移法 : 在异面直线中的一条直线
上选择“特殊点 ”, 作另一条直线的平行线 , 常
利用中位线 ; ②补形法 : 把空间图形补成熟悉
的几何体 , 其目的在于容易发现两条异面直线
间的关系. 要特别注意异面直线所成的角的范
化到一个三角形内.
·4·
例 5 如图 4,由点 S
引三条射线 SA、SB、SC,
已知 ∠ASB
=
θ 1
,
∠B SC
=θ2 , ∠ASC =θ(都是锐
角 ) , 且 co sθ1 co sθ2 =
co sθ,求证平面 ASB ⊥平
面 B SC.
证明 :取 SA上一点 P (异于 S ) ,作 PQ ⊥SB
于 Q, QR ⊥ SC于 R,连 PR.
直线在平面内的射影
X
p Q
O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
的面在定线的平在斜斜段斜面斜线线叫线上线上段做上的的一。这任射射点点意影 影与到一， 上斜这点一 。足个间平
B CD
=cos cos
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
练 成角，B是A在上的射影,OD是内的
习 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6 3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它
在平面β上射影的2倍，
求斜线和平面β所成的 β B
O
角。
如图，斜线段AB是其射影OB的
两倍，求AB与平面β所成的角。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C
E
D
从平面外一点向这个
平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，那一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
OB＞OC AB ＞AC
O
C
AB=AC OB=OC
B
AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长
相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
3.1 平行射影 课件(人教A选修4-1)
[研一题] [例1] P为△ABC外一点且PA＝PB＝PC.
求证：P在面ABC内的射影为△ABC的外心．
分析：本题考查射影的概念，解答本题需先作出 点P在面ABC内的射影，然后证明该射影为△ABC的 外心．
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证明：如图．过P作PO⊥面ABC于O. 则O为P在面ABC内的射影，
∵PA＝PB，PO＝PO，
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[读教材·填要点] 1．正射影 (1)点A是平面α外一点，过点A向平面α作垂线，设垂 足为点A′，那么把 A′ 称作点A在平面α上的正射影． (2)一个图形F上的各点在平面α上的 正射影组成一个
图形F′，则
图形F′ 称作图形F在平面α上的正射影．
2．平行射影 设直线l与平面α相交，把直线l的方向称 投影方向，过点 A作平行于l的直线，与平面α交于点A′，点A′称作点A 沿直线l的方向 在平面α上的平行射影． 返回
返回
且O点在△ABC的内部，那么O点是
△ABC的什么心？ (2)若PA、PB、PC两两互相垂直，O点是△ABC的什 么心？ 返回
解：(1)由P到△ABC的三边距离相等，故有O到△ABC的
三边距离相等，∴O为△ABC的内心． (2)∵PA⊥PB，PA⊥PC， ∴PA⊥BC， 又∵PO⊥BC， ∴OA⊥BC，同理OB⊥AC，OC⊥AB， ∴O为△ABC的垂心.
行投影可以是矩形、平行四边形或线段，不正确；②矩形
的正投影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，不正确； ③梯形的平行投影可以是梯形、线段，不正确；④梯形的 正投影也可能是梯形、线段，不正确． 答案：A
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[悟一法]
不论是正射影还是平行射影都应考虑图形所在的平
面与年深圳模拟以填空题的形式考查了 正投影在立体几何中的应用，是高考模拟命题的一个 新亮点．
高一数学立体几何试题
立体几何复习题(直线与平面基本概念部分选择题汇总)班级姓名成绩.1．下列正确的命题是( )(A)平面α⊥平面β，直线a⊥平面α、β的交线l，则a⊥β(B)直线b、c⊂平面α，直线a⊥b，a⊥c，则a⊥α(C)直线a⊥平面β，a⊂平面α，则α⊥β(D)PO,P A分别是平面α的垂线,斜线,P A⊥直线a,则P A在平面α上的射影OA⊥a 2．下列四个命题中，(1)垂直于同一平面的两个平面互相垂直，(2) 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，(3) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行，(4) 垂直于同一平面的两条直线互相平行。
其中真命题的个数是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)43．在空间，下列命题一定正确的是( )(A)若直线a∥平面Ｍ，直线b⊥a，则b⊥M(B)若平面N内的两条直线都平行于平面M，则M∥N(C)若平面M和平面N的交线为a，直线b⊂M，b⊥a，则b⊥N(D)若平面M∥平面N，则平面M内的任意一条直线a∥N4．下列命题中是假命题的是( )(A)斜线上的任意一点在平面α内的射影必在这条斜线在平面α上的射影上(B)若S –ABCD是正四棱锥，则SA⊥BD(C)底面是长方形的直棱柱是长方体(D)两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱5．设直线l∥平面α，若两直线夹在l与α间的线段相等，则此两条直线必( ) (A)平行(B)相交(C)异面(D)平行、相交或异面6．下列命题中正确的是( )(A)三点确定一个平面(B)与一条直线相交的三条平行直线确定一个平面(C)一条直线和一个点确定一个平面(D)两条互相垂直的直线确定一个平面7．在空间，下列条件只能确定一个平面的是( )(A)两条平行直线(B)两条垂直直线(C)三个点(D)一条直线和一个点8．四个命题：(1)过直线外一点，有且仅有一条直线和这条直线垂直；(2)垂直于同一个平面的两条直线必互相平行；(3)过平面外一点，有且仅有一个平面和这个平面垂直；(4)同垂直于一条直线的两条直线必可确定一个平面。