新课标高考数学三角函数与解三角形提高专题讲义
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
π 4 π 4
＝
－3－1 1－3
＝
2
，
则
tan
β ＝ tan(α ＋ β － α) ＝
1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋3－3×2 2＝17.故选 D．
3. (2023·怀仁市校级四模)已知 α 为锐角，且 sin α＋sinα＋π3＋
sinα＋23π＝ 3，则 tan α＝_____3___.
2cos 40°＋cos 80°＋sin 80°tan θ＝0，
所以
tan
θ＝－2cos
40°＋cos sin 80°
80°＝－2cos120°s－in8800°°＋cos
80°
＝－2cos
120°cos
80°＋sin 120°sin sin 80°
80°＋cos
80°＝－
3sin 80° sin 80°
2 α＋3tan
≤ α2
2
1 tan
α·3tan
α
＝ 33，当且仅当tan1 α＝3tan α，即 tan α＝ 33时，等号成立，tan β 取得最
大值 33.故选 B．
核心考点2 正弦定理、余弦定理的应用
核 心 知 识·精 归 纳
1.正弦定理：在△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(R 为△ABC 的外 接圆半径)．
第一篇
核心专题提升•多维突破
专题一 三角函数与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形
分析考情·明方向 真题研究·悟高考 考点突破·提能力
分析考情·明方向
高频考点
高考预测
三角函数的化简与求值(倍角公式、
两角和与差公式进行恒等变换，角 继续以选择、填空题形式考查三角
高考数学复习考点知识讲解课件60 三角函数与解三角形
[解] 选择条件①： 由cosC＋(cosA－ 3sinA)cosB＝0， 可得－cos(A＋B)＋cosAcosB－ 3sinAcosB＝0， 即－cosAcosB＋sinAsinB＋cosAcosB－ 3sinAcosB＝0， 即sinAsinB－ 3sinAcosB＝0，
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高考数学复习考点知识讲解课件
高考重点专攻(二) 三角函数与解三角形
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高考对本部分内容的考查主要有：三角恒等变换与三角函数图象和性质结合，解三 角形与恒等变换，难度属于中低档题，但考生得分不高，其主要原因是公式不熟导致运 算错误．考生在复习时，要熟练掌握三角公式，特别是二倍角的余弦公式，在此基础上 掌握一些三角恒等变换．要注意公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条 件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
(x)的图象先向左平移
π 4
个单位长度，再将图象上所有点的
横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)在区间0，π4上的最大值和最小值．
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[解] (1)T2＝1112π－152π＝12π，∴T＝π，ω＝2Tπ＝2. 又sin2·51π2＋φ＝1，|φ|<π2，∴φ＝－π3， ∴f (x)＝sin2x－π3， ∴结合题中条件知，g(x)＝sin4x＋π6.
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题型二 解三角形
【例2】 (2022·湖南常德一中段考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c， 且ssiinnAB－ ＋ssiinnCC＝a＋b c.
高考数学专题《三角函数与解三角形》解读
新高考中，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化。
1、三角函数的图象与性质1、已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y =A sin （ωx ＋φ）或y =A cos （ωx ＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y =A sin(ωx ＋φ)，y =A cos(ωx ＋φ)，y =A tan(ωx ＋φ)的形式，再分别应用公式T =2||ωπ，T =2||ωπ，T =||ωπ求解．3、对于函数y =A sin （ωx ＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x =x 0或点（x 0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．4、若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为偶函数，则φ=k π＋2π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）取得最大或最小值．若f （x ）=A sin （ωx ＋φ）为奇函数，则φ=k π（k ∈Z ），同时当x =0时，f （x ）=0.2、利用正、余弦定理求边和角的方法（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.重难点02 三角函数与解三角形3、求三角形面积的方法：1）若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．2）若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.热点1、新题型的考查（1）以数学文化和实际为背景的题型；（2）多选题的题型；（3）多条件的解答题题型。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质课件
2. (2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是( C )
A．16
B．14
C．13
D．12
【解析】 由题意知：曲线 C 为 y＝sinωx＋π2＋π3＝sinωx＋ω2π＋π3， 又 C 关于 y 轴对称，则ω2π＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，解得 ω＝13＋2k，k∈Z， 又 ω>0，故当 k＝0 时，ω 的最小值为13.故选 C．
则
2ssininπ2π－－αα＋－cocsos32ππ＋＋αα＝
2sin cos
α＋cos α α＋sin α
＝21t＋antαan＋α1＝
2×1＋－－22＋ 1＝3.故
选 C．
2. (2022·襄城区校级模拟)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，
且f(3)＝3，则f(2 020)的值为( D )
3. (2023·大兴区模拟)若 α 为任意角，则满足 cosα＋k·π4＝cos α 的一
个 k 值为( D )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵cosα＋k·π4＝cos α，∴k·π4＝2nπ，n∈Z，∴k＝8n；n
∈Z；故选 D．
角度2：同角三角函数基本关系
4. (2023·南宁模拟)已知 sin2α＝cos α－1，则 sinα＋32π＝( B )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
【解析】 ∵函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，∴f(3)＝asin(3π
＋α)＋bcos(3π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝3，∴asin α＋bcos β＝－3.∴f(2
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
新高考新教材数学二轮复习六大核心专题1三角函数与解三角形解答题专项1三角函数与解三角形pptx课件
π
φ=-6.
考点二
利用正弦、余弦定理解三角形
考向1 求三角形中的边或角
例 2(2023 北京海淀一模)在△ABC 中,bsin2A= 3asinB.
(1)求 A;
(2)若△ABC 的面积为 3 3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知,使△ABC 存在且唯一确定,求 a 的值.
1
∵0<B<π,∴sinB≠0,则 cosA=-2.
2π
∵0<A<π,∴A= . ........................................................................................ 10
3
1
1
2π
1
3
3
由(1)知 bc=1,故 S△ABC=2bcsinA=2×1×sin 3 = 2×1× 2 = 4 . ................... 12
4
2
3
4
π
3
π
π
π
2π
整理得 sin(2x+3)= 2 ,即 2x+3=2kπ+3或 2x+3=2kπ+ 3 (k∈Z),
π
π
2π
π
当 k=0 时,2x+ = 或 ,即 x=0 或 ;
3
3
3
6
7π
当 k=1 时,x=π 或 6 .
π
7π
7π
故所有零点之和为 0+ +π+ = .
6
6
3
增分技巧1.三角恒等变换在三角函数图象与性质中应用的基本思路:通过
新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题二三角函数解三角形课件
的值
2
sin α
1
D．
2
C． 2
答案：D
α
解析：由tan
α
2
cos2 2
α
1+cos α 1+2 cos 2 −1
1
1
＝2，则
＝
α
α ＝
α
α＝
α＝ .故选D.
2
sin α
2
2 sin cos
sin cos
tan
2
2
2
2
2
(2)[2023·安徽宣城二模]已知 3sin α－sin
＝(
)
7
9
7
4
)
1
B．
2
D．－
3
2
答案：D
解析：由已知可得，sin
1−cos2α 3
＝ .
2
4
所以sin2α＝
3π
(2α＋ )＝cos
2
(2α＋π)＝－cos
3
2
1
2α＝ ，所以cos
2
又角α在第四象限内，所以sin α＝－ sin2 α＝－ .故选D.
1
2α＝－ ，
2
2. (1)[2023·安徽安庆二模]已知第二象限角α满足sin
2
即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝ ，所以2sinαcos
3
因为0<α<π，所以cos α<0<sin α，所以sin α－cos α>0.
1
4
2 3
.
3
因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋ ＝ ，所以sinα－cos α＝
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
高一数学三角函数综合提升讲义
k 180 , k
终边在 y 轴上的角的集合为
k 180 90 ,k
终边在坐标轴上的角的集合为
k 90 , k
与角 终边相同的角的集合为
k 360 , k
2. 已知 是第几象限角， 确定 n n
* 所在象限的方法： 先把各象限均分 n 等份，再从 x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
12.如下图为函数 y A sin( x ) c( A 0, 0, 0) 图像的一部分
（1）求此函数的周期及最大值和最小值
（2）求与这个函数图像关于直线 x 2 对称的函数解析式
【解】（ 1）由图可知， 从 4～ 12 的的图像是函数 y A sin( x ) c( A 0, 0, 0)
的三分之二个周期的图像，所以
3
tan
x
4
11 cos(
9 ) sin(
) sin cos
4
2
2
已知 cosα= 1 ， cos（ α+β） =1，求证： cos（ 2α+β） = 1 ．
3
3
证明：∵ cos（ α+β） =1，∴ α+β=2kπ．
∴ cos（ 2α+β）=cos（ α+α+β） =cos（ α+2 kπ） =cosα= 1 ． 3
10.是否存在一个实数 k ，使方程 8 x2 6kx 2k 1 0 的两个根是一个直角三角形的两个锐角 的正弦？
解：设直角三角形两个锐角为
， ，则 sin ，sin 是方程 8 x2 6kx 2k 1 0 的两个根．
∵
90°， ∴ sin cos ．
由根与系数的关系，得
(新高考)高考数学冲刺专项课件：专题四 三角函数 第二讲 三角恒等变换与解三角形
(2)商数关系：tan
α＝csoins
α α
2.诱导公式 (1)公式： 公式一：
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan 其中 k Z .
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
根据 tan α＝csoins αα可以把含有 sin α，cos α 的齐次式化为 tan α 的关系式．
提醒：
同角关系应用题型：利用同角三角函数的平方关系开方时， 不能忽略判断角所在的象限，正确判断三角函数符号．
[跟踪训练]
1.已知 cos
2 3
，0
π
，则
tan
π 4
(
D
)
A. 1
B.-7
『规律总结』
(1) 化简常用方法：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用； ②切化弦、异名化同名、异角化同角等． (2) 化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化； ②注意利用角与角之间的隐含关系，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ 等； ③注意利用“1”的恒等变形，如 tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1 等．
π 4
，
sin
2
37 8
，则
sin
(
B
)
A. 3
B. 7
C. 4
D. 3
5
4
5
4
[解析]
0,
π 4
，
2
0,
π 2
，
故 cos 2
1 sin2 2
1
3
7 8
2
1 8
，
又 cos 2 1 2sin2 ，即 1 1 2sin2 ，
高中数学人教新课标A版：“三角函数与解三角形”大题增分策略 课件
(1)求 A；
(2)若 BC＝3，求△ABC 周长的最大值．
[解题观摩] (1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.
①
由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．
②
由①②得 cos A＝－12.
因为 0＜A＜π，所以 A＝23π.
(2)由正弦定理及(1)得siAnCB＝siAnBC＝siBnCA＝2 3，从而 AC＝2 3sin B， AB＝2 3sin(π－A－B)＝3cos B－ 3sin B.
(2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－12， 即 cos(B＋C)＝－12. 所以 B＋C＝23π，故 A＝π3. 由题设得12bcsin A＝3sian2 A，即 bc＝8. 由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9， 得 b＋c＝ 33. 故△ABC 的周长为 3＋ 33.
＋2sin B＝4sin A＋2sin23π－A＝5sin A＋ 3cos A＝2 7sin(A＋φ)，其中 tan φ
＝ 53.当 sin A＝cos φ＝5147，cos A＝sin φ＝ 1241时，取到最大值 2 7.
题型二 基于面积等伴随要素构建代数条件 [例 2] (2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
解：(1)由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
得 a2＝9＋4－2×3×2×12＝7，所以 a＝ 7，
由正弦定理sina A＝sinc C，得 sin C＝
21 7.
(2)由已知得 sin A×1＋c2os B＋sin B×1＋c2os A＝3sin C，
即 sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝6sin C，
高考数学专题突破第一部分专题二第二讲三角变换与解三角形课件理
(3)在求角的大小一定要有两个条件才能完成：① 角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函
数值来判断角的大小时，一定要注意角的范围及 三角函数的单调性．
变式训练 2 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边 分别为 a，b，c，若锐角 C 满足 tan 2C＝－ 15. (1)求 sin C 的值； (2)当 a＝2，c＝4 时，求△ABC 的面积．解：1)∵tan 2C＝－ 15，
∴1－2tatannC2C＝－ 15， 15tan2C－2tan C－ 15＝
0，
即( 5tan C＋ 3)( 3tan C－ 5)＝0.
∵角 C 为锐角，∴tan C>0，解得 tan C＝ 35⇒sin
C＝
10 4.
(2)由(1)知，cos C＝ 46，由余弦定理，得 b2＋4 －2×2b× 46＝16，即 b2－ 6b－12＝0， 解得 b＝2 6或 b＝－ 6(不符合题意，舍去)． ∴S△ABC＝12absin C＝12×2×2 6× 410＝ 15.
3．正、余弦定理及三角形面积公式
(1)正弦定理：sinaA＝sinbB＝sincC＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－ 2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC. (3)三角形面积公式：
S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.
C＝2c－b a.
(1)求ssiinn CA的值；
(2)若 cos B＝14，b＝2，求△ABC 的面积 S.
【解】 (1)由正弦定理，设sina A＝sinb B＝sinc C＝
解三角形讲义(提高版)
必修5第一章 解三角形1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔= 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。
2、余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+=⋅-+=⋅-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab cb a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素。
3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、三角形内角和定理： ()A B C C A B ππ++=⇔=-+基础巩固:1. 在ABC ∆中，3,5==b a ，则sinA ：sinB=_____________.2. 在ABC ∆中，0060,75,3===B A c ,则b=_____________.3. 在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B=___________.5. 在ABC ∆中，060,22,2===C b a ,则c=__________ ,A=____________.6. 在ABC ∆中，5,3,7===c b a ,则最大角为____________.7. 在ABC ∆中,若ab c b a =-+222，则cosC=_____________.8. 在ABC ∆中，sin A :sin B :sin C ＝3:2:4，那么cos C ＝_________.9.在ABC ∆中，060=A ，AB=2，且ABC ∆的面积为23，则BC=_____________. 10.在ABC ∆中,已知2,32,1200===AC AB A 则ABC ∆的面积为__________.能力提升:例1 在ABC ∆中，若bcosA=acosB,试判断ABC ∆的形状.变式训练：设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,判断△ABC 的形状.例2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.变式训练：如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.例3 已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=,求△ABC 的面积.变式训练：在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知A b A c C a cos 2cos cos =+.(1)求角A 的值； （2）若1=a ，求c b +的取值范围.课后作业:1.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,A=30°,则B 等于________2.在△ABC 中,已知2sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.正三角形3.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b 等于( )D. 4.在△ABC 中,A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为,则BC 的长为( ) A. B.5.在△ABC 中,B=,AB=,BC=3,则sin A=__________.6.在△ABC 中,设角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知角C=120°,c=4,三角形的面积S=,则a+b= .7.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B; (2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.8.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的的边分别为c b a ,,.已知2)4tan(=+A π.（1）求AA A 2cos 2sin 2sin +的值； （2）若4π=B ，ABC ∆的面积为9，求边长a 的值.。
高一数学三角函数综合提升讲义
P xy AOM T 高一数学三角函数综合提升讲义一．重难点整合：1.第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z2.已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 3.弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．4.若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．5.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()220r r x y =+>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．6.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．7.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．7.同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222si n 1c o s ,c o sαααα=-=-； ()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．8.三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．9.函数sin y x =的图象上所有点向左平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．10.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数 性质对称轴()x k k π=∈Z二．典例精析 基础题：1.若角α与β终边相同，则一定有（ ）．A ．180αβ+=B ．0αβ+=C ．360,k k Z αβ-=⋅∈D ．360,k k Z αβ+=⋅∈2.设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．(360,0)- ∵αβ<，∴0αβ-< ，又180180α-<< ，180180β-<-< ，∴360360αβ-<-<．综上可知αβ-的范围是3600αβ-<-<． 3.若α为第一象限角，那么sin2α，cos2α，sin α2，cos α2中必定为正值的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于α为第一象限角，所以2α为第一或二象限角，sin2α>0，cos2α符号不确定，α2为第一或三象限角，sin α2，cos α2的符号均不确定．故选B. 答案：B4.解答下列问题：(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)>0，试指出θ所在象限，并用图形表示出θ2所取的范围．解：(1)∵θ在第四象限， ∴0<cos θ<1<π2，－π2<－1<sin θ<0，∴sin(cos θ)>0，cos(sin θ)>0， ∴sin(cos θ)·cos(sin θ)>0.(2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧ tan(cos θ)>0，tan(sin θ)>0或⎩⎪⎨⎪⎧tan(cos θ)<0，tan(sin θ)<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<cos θ<1，0<sin θ<1或⎩⎪⎨⎪⎧－1<cos θ<0，－1<sin θ<0，即θ在第一或第三象限； 若θ在第一象限，则θ2的取值范围如图①所示；若θ在第三象限，则θ2的取值范围如图②所示(见阴影部分，不含边界)．5.已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++．解：由已知，得1tan 2α=，则（1）sin 3cos sin cos αααα-+13tan 3521tan 1312αα--===-++； （2）2sin sin cos 2ααα++222sin sin cos 2(sin cos )ααααα=+++22223sin sin cos 2cos sin cos αααααα++=+ 223tan tan 2tan 1ααα++=+ 22113213225112⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6.已知1sin cos 5αα+=，(0π)θ∈，，求下列各式的值． （1）tan θ； （2）sin cos θθ-； （3）33sin cos θθ+．解：（1）1sin cos 5θθ+=∵，((0π))θ∈，， 21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+=∴·． 12sin cos 025θθ=-<∴·．sin 0θ>∴，cos 0θ<．联合221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，整理可得225sin 5sin 120θθ--=．解得4sin 5θ=，或3sin 5θ=-（舍去）．4sin 5θ=∴，3cos 5θ=-．4tan 3θ=-∴． （2）2247sin cos (sin cos )12sin cos 1255θθθθθθ-=-=-=+=∵·． （3）3322sin cos (sin cos )(sin cos sin cos )θθθθθθθθ+=++-· 11213771525525125⎛⎫=+=⨯=⎪⎝⎭． 7.化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．8.已知1cos(75)3α+=°，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-°°的值 ．解：cos(15)sin(75)αα-=+°°，又α是第三象限角，sin(75)0α+<∴°． 22sin(75)3α+=-∴°． 而1sin(15)cos(75)3αα-=-+=-°°．∴原式221221333+=--=-9.已知角α终边上一点P （－4，3），求)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+的值 【解】∵43tan -==x y α∴ 43tan cos sin sin sin )29sin()211cos()sin()2cos(-==⋅-⋅-=+---+ααααααπαπαπαπ已知cos α=31，cos （α+β）=1，求证：cos （2α+β）=31．证明：∵cos （α+β）=1，∴α+β=2k π．∴cos （2α+β）=cos （α+α+β）=cos （α+2k π）=cos α=31．10.是否存在一个实数k ，使方程286210x kx k +++=的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦？解：设直角三角形两个锐角为αβ，，则sin sin αβ，是方程286210x kx k +++=的两个根． 90αβ+=∵°，sin cos βα=∴．由根与系数的关系，得3sin cos 421sin cos 8k k αααα⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩①· ②2-⨯2①②，整理得298200k k --=，解得121029k k ==-，． 当2k =时，原方程变为281250x x ++=， 1441600∆=-<，∴原方程无解，2k =舍去． 将109k =-代入②，得11sin cos sin sin 72αααβ==-··， sin sin αβ，∴异号，应有sin 0α<或sin 0β<，实际上sin 0α>，sin 0β>， 109k =-∴不满足题意，k ∴值不存在．11.已知函数f (x )＝21log (sin x －cos x )（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间； （3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期. 【分析】 研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系.【解】 （1）由题意得sin x －cos x ＞0，即 2 sin(x －π4)＞0从而得2kπ＜x －π4 ＜2kπ＋π，所以函数的定义域为（2kπ＋π4 ，2kπ＋5π4 ）(k ∈Z )∵0＜sin(x －π4 )≤1，∴0＜sin x －cos x ≤ 2即有21log (sin x －cos x )≥21log 2 ＝－12 .故函数的值域是［－12，+∞).（2）∵sin x －cos x ＝ 2 sin （x －π4 )在f (x )的定义域上的单调递增区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4 ）(k ∈Z )，函数f (x )的递减区间为（2kπ＋π4 ，2kπ＋3π4）(k ∈Z ). (3)∵f (x )的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称， ∴函数f (x ）是非奇非偶函数.（4）f (x ＋2π)＝21log ［sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)］＝21log （sin x －cos x )＝f (x ).∴函数f (x )是周期函数，2π是它的一个周期.12.如下图为函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 图像的一部分（1）求此函数的周期及最大值和最小值（2）求与这个函数图像关于直线2=x 对称的函数解析式【解】（1）由图可知，从4～12的的图像是函数)0,0,0()sin(>>>++=ϕωϕωA c x A y 的三分之二个周期的图像，所以1)24(213)24(21=-==+=c A ，故函数的最大值为3，最小值为－3∵8232=⋅ωπ∴ 6πω=∴ 12=T 把x=12,y=4代入上式，得2πϕ=所以，函数的解析式为：16cos3+=x y π（2）设所求函数的图像上任一点（x,y)关于直线2=x 的对称点为（y x '',），则y y x x ='-=',4代入16cos3+=x y π中得1)632cos(3+-=xy ππ ∴ 与函数16c o s 3+=x y π的图像关于直线2=x 对称的函数解析式为：1)632cos(3+-=xy ππ13.已知函数x x y 21cos 321sin +=，求：（1）函数y 的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y 的单调递增区间 【解】∵ )321sin(2π+=x y （1）∴ 函数y 的最大值为2，最小值为－2，最小正周期πωπ42==T（2）由Z k k x k ∈+≤+≤-,2232122πππππ，得函数y 的单调递增区间为：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,34,354ππππ提高题：解：在单位圆中，作出锐角α在正弦线MP，如图2-9所示在△MPO中，MP+OM＞OP=1即MP+OM＞1∴sinα+cosα＞1于P1，P2两点，过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分k∈Z}【例3】求下列函数的定义域：解：(1)为使函数有意义，需满足2sin2x+cosx-1≥0由单位圆，如图2-12所示k∈Z}(4)为使函数有意义，需满足：取k=0和-1时，得交集为-4＜x≤-π或0≤x≤π∴函数的定义域为(-4，-π]∪[0，π]【例4】求下列函数的值域：∴此函数的值域为{y|0≤y＜1}∵1+sinx+cosx≠0 ∴t≠-1【例5】判断下列函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域，然后根据奇函数成偶函数的定义判断函数的奇偶性．∵f(1-x)=-sin(-2x)=sin2x=-f(x)(2)函数的定义域为R，且f(-x)=sin[cos(-x))=sin(cosx)=f(x)∴函数f(x)=sin(cosx)是偶函数．(3)因1+sinx≠0，∴sinx≠-1，函数的定义域为{x|x∈R且x≠2k既不是奇函数，也不是偶函数．【例6】求下列函数的最小正周期：(2)y=cos4x+sin4x=(cos2x+sin2x)2-2sin2xcos2x=|cosx|+|sinx|=f(x)正周期．(x+T)|+|cos(x+T)|=|sinx|+|cosx|都成立．特别当x=0时，有|sinT|+|cosT|=sinT【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例9】求下列函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的．(2)函数y=sin2x-2sinx+2，是由y=u2-2u+2及u=sinx及复合而成，∴|u|≤1【例10】当a≥0，求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值，及相应的x的取值．解：f(x)=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2由于a是常数，故这里只要求y=(sinx+cosx+a)2的最大值、最小值．合物线的图象如图2-14所示两种可能．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x0，而其中x0使f(x0)=1或f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x0，0)，其中x0使f(x0)=0【例12】求如图2-16所示的函数解析式．(ω＞0，θ∈[0，2π])【例13】设y=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π)最高点D的标为(6，0)，(1)求A、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．y单调递增故递增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Zy单调递减故递减区间为[16k+2，16k+10]，k∈ZA．sinθ＜cosθ＜ctgθB．cosθ＜sinθ＜ctgθC．sinθ＜ctgθ＜cosθD．cosθ＜ctgθ＜sinθ解一(直接法)：故选A．解二(图解法)：作出三角函数线，如图2-17MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ通过观察和度量得MP＜OM＜BS 从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ∴应选A∴cosθ＞sinθ从而可剔除B、D．再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C故选A解四(特殊值法)：B、C、D，应选A．∴应选Dx轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最的图象．∴选D再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是 [ ]∴选A．【例17】方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是[ ]A．1 B．2 C．3 D．4在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．【例18】设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____ 解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2又∵f(x)是周期为3的函数．∴f(3+x)=f(x)∴f(-1+3)=f(-1)=-2 即f(2)=-2f(2+3)=f(2)=-2 即f(5)=-2【例19】有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ又设矩形EFGH的面积为S，那么又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°设矩形的面积为S．那么S＝EFFG＝4R2sinθsin(30°-θ)＝2R2［cos(2θ-30°)－cos30°]又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1。
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类型一 三角函数的概念、诱导公式1．角α终边上任一点P (x ，y )，则P 到原点O 的距离为r ＝x 2＋y 2，故sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx .2．诱导公式：“奇变偶不变、符号看象限”．3．同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.[例1] 已知sin cos αα-=α∈(0，π)，则tan α=（ ）(A) -1 (B) 2-(C) 2(D) 1 跟踪训练1． sin (－225°)＝( )A.22 B ．－22 C.12 D.32 答案：A2．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( )A ．0 B.95 C.43 D.53 答案：B类型二 三角函数性质1．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数． 2．函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，令ωx ＋φ＝k π＋π2，可求得对称轴方程．令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标．3．将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin (ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号．[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin (ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0，2][答案] A跟踪训练1、若x ＝π6是函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx 图象的一条对称轴，当ω取最小正数时( )A ．f (x )在(0，π6)上单调递增B ．f (x )在(π6，π3)上单调递增 C ．f (x )在(－π6，0)上单调递减 D ．f (x )在(－π3，π6)上单调递减答案：A2、设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域 (Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值. 类型三 函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应y 的值，描点、连线可得． (2)图象变换：[例3] 已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．跟踪训练1、为了使得变换后的函数的图象关于点(－π12，0)成中心对称，只需将原函数y ＝sin (2x ＋π3)的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 答案：C2、函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 类型四 三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等． 3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． 4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin α2±cos α2)2等． 6．角的合成及三角函数名的统一a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，(tan φ＝b a )．[例4] 已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos (α＋β)的值．跟踪训练1、设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．答案：172502、设函数2()cos(2)sin 24f x x x π=++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时， 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.类型五 正、余弦定理的应用 1．正弦定理的变式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理的变式a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B (注意整体变形)． 3．面积公式S Δ＝12ab sin C ，S Δ＝abc4R (R 为外接圆半径)； S Δ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[例5] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．B ＝π3. a ＝3，c ＝2 3. 跟踪训练1．已知△ABC 中，a ＝1，b ，B ＝45°，则角A 的大小为( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30° 答案：D2．在△ABC 中，AC ·AB ＝|AC －AB |＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214C.212D ．321答案：B3、已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。
类型六 解三角形的实际应用1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等． 2．常见的类型：距离、高度、航海问题．[例3] 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314.)跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB .由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h )习题1、已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin (2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．2、设关于θθ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)内有相异的两个实根α、β.求实数a 的取值范围．3、设π3<α<3π4，sin (α－π4)＝35，求：sin α－cos 2α＋1tan α的值4、已知函数f (x )＝3sin x cos (x ＋π3)＋34. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝0，a ＝3，b ＝2，求△ABC 的面积S .5、已知向量a ＝(cos x ，2cos x )，向量b ＝(2cos x ，sin(π－x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)求函数f (x )的解析式和最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的最大值和最小值．6、在△ABC 中，已知AB ·AC ＝3BA ·BC . (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．8、已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小； (2)求2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围．。