《圆中常用辅助线》
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧 ()
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内切圆，内角平分线梦园。
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；?????②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；?????③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；?????②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4、?遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
??????5、遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：（1）??内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；?????（2）??内心到三角形三条边的距离相等7、?遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
圆中常见的辅助线
计算弧长
利用半径和直径，可以计算圆中的 弧长，如半圆、四分之一圆等。
证明定理
半径和直径在证明圆的定理中起到 关键作用，如垂径定理、切线长定 理等。
半径和直径的作法
作半径
从圆心出发，用直尺或圆规画出到圆上任意一点的线段。
作直径
通过圆心，用直尺或圆规画出穿过圆上任意两点的线段。
02 弦
定义与性质
弦的作法
01
02
03
04
通过作弦的中垂线来找到弦的 中点；
通过连接圆心和弦的一个端点 来找到弦；
通过作经过圆上两点的切线来 找到弦；
通过作经过圆心的直线来找到 弦。
03 切线
定义与性质
定义
切线是指与圆只有一个公共点的直线。
性质
切线与半径垂直，切线长度与半径相等，切线到圆心的距离为0。
切线在解题中的作用
定义
连接圆上任意两点的线段被称为圆的 弦。
性质
弦与直径垂直时，弦平分直径；同弦 所对的圆周角相等；弦长与半径成正 比。
弦在解题中的作用
利用弦的性质求角度
利用弦的性质证明定理
通过利用弦所对的圆周角相等，可以 求出某些角度。
通过利用弦的性质，可以证明一些与 圆有关的定理。
利用弦的性质求长度
利用弦长与半径的比例关系，可以求 出某些长度。
圆中常见的辅助线
目 录
• 半径和直径 •弦 • 切线 • 割线
01 半径和直径
定义与性质
定义
半径是连接圆心和圆上任意一点 的线段，直径是穿过圆心且两端 点在圆上的线段。
性质
半径长度等于圆的半径，直径长 度等于圆的直径。
半径和直径在解题中的作用
圆中常用的辅助线
圆中常用的辅助线在解决圆中的有关问题时，常需添加辅助线。
使分散的条件相对集中，让图形的性质充分显露出来，从而找出解决问题的途径。
添加的方法主要有以下几种：一、遇到弦时，常作弦心距、或者垂直于弦的半径（或直径），再连接圆心和弦的端点。
作用：1、利用垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质。
2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系。
例1：在半径为10cm 的圆柱形油管内装入一些油后，截面如图所示。
若油面宽AB=16cm ，则油的最大深度为 cm例1 例2 例3二、遇到直径时，常作直径所对的圆周角作用：利用直径所对的圆周角是直角例2：如图、AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°、∠D=50°求∠CEB 的度数？注意：在圆中构造同弧或等弧所对的圆周角可得到相等的角，也是常用的辅助线。
三、遇到90°的圆周角时，常作圆周角所对的弦作用：90°的圆周角所对的弦是直径四、遇到切线时，常作经过切点的半径作用：圆的切线垂直于过切点的半径五、遇到证明某一直线是圆的切线时1、已知直线与圆有公共点时，常连接公共点和圆心。
然后证明这个半径垂直于直线，简称为“有点连半径，证垂直”。
2、若直线与圆的公共点没有明确指出时，常过圆心作直线的垂线段。
然后证明垂线段的长等于半径，简称为“无点作垂直，证d=r ”。
例4、如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由；（2）若2OB BG ==，求CD 的长．例5.在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,以D 为圆心,DB 长为半径作⊙D.试说明:AC 是⊙D 的切线.六、遇到两圆相切时，常作公切线和连心线作用：1、利用相切的性质。
2、相切两圆的连心线，必经过切点例6：如图所示，图中各圆两两相切，⊙O 的半径为6，⊙A 和⊙B 的半径相等，求⊙C 的半径七、遇到两圆相交时，常作公共弦和连心线作用：1、利用圆内接四边形的性质。
圆中常见辅助线--强方法 - 副本
圆中常见辅助线强方法汇总一、解决证明弦相等的问题----连半径构造等腰三角形【问题背景】【方法凝练】连接半径，构造等腰三角形解决问题。
【例题展示】已知，如图所示，在⊙O中，AB、DE是直径，弦AC∥DE.求证：BE＝EC．证明：连结OC，∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠1，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE．【练习提升】1.如图，已知在⊙O中，AB和DE为两条直径，弦AC∥DE.求证：CE=BE.【答案解析】证明：连结OC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∵AC∥DE，∴∠BOE＝∠A，∠COE＝∠ACO，∴∠BOE＝∠COE，∴BE＝CE．二、解决有关弦的问题----构造直角三角形A CD EBO【问题背景】【方法凝练】常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1.利用垂径定理；2.利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3.利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4.可得等腰三角形；5.据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例题展示】如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C在弦AB上，且AC＝AB，则OC的长为（）A．2B．2C．4D．解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵AB＝8，AC＝AB，∴AC＝2，BC＝6，∴AD＝×8＝4．在Rt△AOD中，∵OA＝5，AD＝4，∴OD＝＝3，在Rt△OCD中，∵OD＝3，CD＝AD﹣AC＝4﹣2＝2，∴OC＝＝＝，【练习提升】1.如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的垂线，交AB于点C，交⊙O于点D，已知⊙O的直径为10，CD＝2，则AB的长为（）A．4B．6 C．8D．102.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.53.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+4.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.【答案解析】1.解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AC＝AB，∵⊙O的直径为10，∴OA＝OD＝5，∵CD＝2，∴OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3，∵AO2＝OC2+AC2，∴52＝32+AC2，∴AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8．故选：C．2.解：设⊙O的半径为r．∴AC ＝BC ＝2，在Rt △AOC 中，∵∠ACO ＝90°，∴OA 2＝OC 2+AC 2，∴r 2＝（r ﹣1）2+22，∴r ＝，∴OC ＝，∵OA ＝OE ，AC ＝CB ，∴BE ＝2OC ＝3，故选：A ．3. 解：过P 作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE ⊥AB 于E ，连接PB ，如图， ∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ），∴OC ＝3，PC ＝a ，把x ＝3代入y ＝x 得y ＝3，∴D 点坐标为（3，3），∴CD ＝3，∴△OCD 为等腰直角三角形，∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE ⊥AB ，∴AE ＝BE ＝AB ＝2，在Rt △PBE 中，PB ＝3，∴PE ＝＝＝1， ∴PD ＝PE ＝， ∴a ＝3+． 故选：D ．4.证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO.∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 三、解决角有关的问题----构造同弧所对的圆心角与圆周角【问题背景】【方法凝练】【例题展示】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，CD ⊥AB ，连接OD ，若∠CAB ＝20°，则∠AOD 的度数是（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．140°解：连接AD ，如图所示．∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴＝， ∴∠BAD ＝∠BAC ＝20°．∵∠BOD ＝2∠BAD ，∠AOD +∠BOD ＝180°，∴∠AOD ＝180°﹣2∠BAD ＝180°﹣2×20°＝140°．故选：D ．【练习提升】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，若∠A ＝22.5°，AB ＝，则CE 的长为（ ） A ． B ． C ．2 D ．12.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥OB 于E ，且点E 为半径OB 的中点，连结AC ，则∠A 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．45°D ．60°3. 如下图，已知△ABC 内接于⊙O ，若∠C ＝45°，AB ＝4，求⊙O 的面积．【答案解析】1.解：如图，连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∴∠EOC＝∠A+∠OCA＝45°，∵CD⊥AB，∴∠OEC＝90°，∵OC＝OA＝AB＝，∴EC＝OE＝1，故选：D．2.解：∵弦CD⊥OB于E，且点E为半径OB的中点，∴∠AEC＝90°，OE＝BE，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠A＝∠COB＝30°．故选：B．3.解：连接OA，OB；则OA＝OB，∠AOB＝2∠C；（2分）∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2；（4分）又∵AB＝4，∴2OA2＝42，OA2＝8；（6分）∴S⊙O＝π•OA2＝8π．（8分）。
初中数学课件：圆中常见辅助线(2021年浙教版)
F
例4 水平放置的圆形排水管的截面半径是 12cm，其中水面高为6cm，求有水部分弓 形的面积。
E
例5 如图，圆内接正三角形ABC边长为a， 求此三角形外接圆的半径
D
例6 已知⊙O的半径为5cm，弦AB//CD， AB=6，CD=8。求AB与CD之间的距离。
例7 如图，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于 Ｄ，求证：∠BAE=∠CAD。
D
19.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于 点E，点M在⊙O上，∠M=∠D． （1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由； （2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长； （3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
20.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣 弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD． （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O 的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合， ∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
22、已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C 在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． (1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求 AC，BD，CD的长；
(2)如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
பைடு நூலகம்
例8 如图，ΔABC中，AB=AC，以腰AB 为直径画半圆O，分别并BC、AC于点D、E。 求证：BD=CD。
例9 如图，OB是⊙O的半径，以OB为直径的 ⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，求证：ED=DB。
例例109 如如图图，，在ΔΔAABBCC内内接接于于⊙⊙O，O，∠半B=径45R0=，5， AACC==55，，求求⊙∠OB的。半径。
第3章 《圆的基本性质》复习 ——圆中常用辅助线
例1 如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB和小圆交于C、D。
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧
圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算;弦心距来中间站..圆上若有一切线;切点圆心半径连..要想证明是切线;半径垂线仔细辨..是直径;成半圆;想成直角径连弦..弧有中点圆心连;垂径定理要记全..圆周角边两条弦;直径和弦端点连..要想作个外接圆;各边作出中垂线..还要作个内切圆;内角平分线梦园..如果遇到相交圆;不要忘作公共弦..若是添上连心线;切点肯定在上面..二：圆中常见辅助线的添加：1、遇到弦时解决有关弦的问题时1、常常添加弦心距;或者作垂直于弦的半径或直径或再连结过弦的端点的半径..作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形;根据勾股定理求有关量..2、常常连结圆心和弦的两个端点;构成等腰三角形;还可连结圆周上一点和弦的两个端点..作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角..2、遇到有直径时常常添加画直径所对的圆周角..作用：利用圆周角的性质;得到直角或直角三角形3、遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点..作用：利用圆周角的性质;可得到直径..4、遇到有切线时1常常添加过切点的半径见切点连半径得垂直作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB;得到直角或直角三角形..5、遇到证明某一直线是圆的切线时1若直线和圆的公共点还未确定;则常过圆心作直线的垂线段;再证垂足到圆心的距离等于半径..2若直线过圆上的某一点;则连结这点和圆心即作半径;再证其与直线垂直..6、遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点;或过内心作三角形各边的垂线段..作用：利用内心的性质;可得：1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 2内心到三角形三条边的距离相等7、遇到三角形的外接圆时;连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等..例题1、如图;已知△ABC内接于⊙O;∠A=45°;BC=2;求⊙O的面积..例题2、如图;弦AB的长等于⊙O的半径;点C在弧AMB上;则∠C的度数是________.例题3、如图;AB是⊙O的直径;AB=4;弦BC=2;∠B=例题4、如图;AB、AC是⊙O的的两条弦;∠BAC=90°;AB=6;AC=8;⊙O的半径是例题5、如图所示;已知AB是⊙O的直径;AC⊥L于C;BD⊥L于D;且AC+BD=AB..求证：直线L与⊙O相切..例题6、如图;P是⊙O外一点;PA、PB分别和⊙O切于A、B;C是弧AB上任意一点;过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E;若△PDE的周长为12;则PA长为______________例题7、如图;△ABC中;∠A=45°;I是内心;则∠BIC=例题8、如图;Rt△ABC中;AC=8;BC=6;∠C=90°;⊙I分别切AC;BC;AB于D;E;F;求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．课后练习1、已知：P是⊙O外一点;PB;PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．2、如图;ΔABC中;∠C=90°;圆O分别与AC、BC相切于M、N;点O在AB 上;如果AO=15㎝;BO=10㎝;求圆O的半径.3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点;BC切⊙O于E点.求证：AD 也和⊙O相切.4、如图;学校A附近有一公路MN;一拖拉机从P点出发向PN方向行驶;已知∠NPA=30°;AP=160米;假使拖拉机行使时;A周围100米以内受到噪音影响;问：当拖拉机向PN方向行驶时;学校是否会受到噪音影响请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时;则受噪音影响的时间是多少秒总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线..圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一;与圆有关的问题;汇集了初中几何的各种图形概念和性质;其知识面广;综合性强;随着新课程的实施;园的考察主要以填空题;选择题的形式出现;不会有比较繁杂的证明题;取而代之的是简单的计算..圆中常见的辅助线有：1作半径;利用同圆或等圆的半径相等； 2涉及弦的问题时;常作垂直于弦的直径弦心距;利用垂径定理进行计算和推理； 3作半径和弦心距;构造直角三角形利用勾股定理进行计算； 4 作直径构造直径所对的圆周角； 5 构造同弧或等弧所对的圆周角； 6遇到三角形的外心时;常连接外心与三角形的各个顶点； 7 已知圆的切线时;常连接圆心和切点半径； 8 证明直线和园相切时;有两种情况：1已知直线与圆有公共点时;连接圆心与公共点;证此半径与已知直线垂直 ;简称“有点连线证垂直;”2已知直线与圆无公共点时;过圆心作已知直线的垂线段;证它与半径相等;简称“无点做线证相等”此外;两解问题是圆中经常出现的问题;涉及弧;弦;与圆有关的角;点与圆;直线与圆;圆与圆的位置关系等知识;着重考察思维的完备性和严谨性;应特别引起重视。
圆中常用辅助线的做法
Hale Waihona Puke ∴BD=CD例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点， ∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC 的度数。
解：连结 OB、 OC ，
∵ AB、AC是⊙O的切线 ∴ AB⊥OB， AC⊥OC， ∴∠ABO = ∠ACO = 90° 在四边形ABOC中，∠A = 50° ∴∠BOC = 360°- ∠A -∠ABO - ∠ACO = 360°- 50°- 90°-90° = 130° ∴ ∠BPC = = 65°
【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦 BC=2, C ∠B=
A O B
• 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与 AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的 • 延 长线于D，求证：AC=CD．
• 例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为 ⊙ O 的切线，切点为 B ， OC 平行于弦 AD ， 求证：CD是⊙O的切线.
圆的常用辅助线及作法
•圆的常用辅助线作法的“数学歌诀” 弦与弦心距，亲密紧相连。 中点与圆心，连线要领先。 两个相交圆，不离公共弦。 两个相切圆，常作公切线。 圆与圆之间，注意连心线。 遇直径想直角，遇切点作半径。
例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC =BD。
证明：过O作OE ⊥ AB， 垂足为E。 由垂径 定理得： AE = EB， CE = DE ∴ AE - CE = BE - DE 即：AC = BD
E
例：如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长 BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为 什么？ A 解：连接AD ∵AB是⊙ O的直径 分析：由于 AB是⊙ O的直径， 故连接AD。由直径所对的圆 O ∴∠ADB=90° 周角是直角，可得 AD⊥BC. 又因为△ ABC中，AC=AB， 即AD⊥BC 所以由等腰三角形的三线合 又∵AC=AB 一，可证得 BD=CD。
峰回路转一线添——圆中常用辅助线
ａ 圜 作割线Ｐ Ｂ 切割线定 Ａ ，由
理 得 Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ ｐ ２Ｐ ， Ｃ・Ｄ＝ Ａ・ Ｂ，Ｅ ＝ Ａ・ 所 以咫 ２ Ｃ・ ＝ × ３ ６ ： ７ 所 ｖＰ － ：Ｐ 加 ３ （＋ ）２ ， Ｘ Ｅ－
３／ ． 、了
已知 ｏＤ 与 ＱＯ 相切 于
点Ｐ ，过 点Ｐ 直 线 交 ｏＯ 于 点Ａ， 的 ． 交
黥
证明直线是圆的切线， 常
作公共弦
用的方法有两种 ： ①若已知直线经过 圆上一点 ，常常作 出经过此 点的半
Ａ 是 ｏ０ Ｅ 的直径这一 已知条件 。 易 容
想到 作 出直径 所对 的 圆周 角．
獭 图，０ （ 于 如 ３ 。３ 交 （－ ｏ ３￣
Ｐ喇 点 ， ， 经过点Ｐ 的直线分别交两圆
Ｐ ＝ ，Ｄ ６求 Ｐ Ｃ ３Ｃ ＝ ， Ｅ
盆 作过切点的半径， 出 或作
构 造 圆心 角 的半 径 可 以将 圆 中 的元
圈 懿 已 知一圆中割 的长度， 碱
求 另 一 圆的切 线 ．显 然 需要 桥 梁 过 渡， 因此 ， 自然 地 想 到 两 个 圆的 公 很
共割 线．
圈 由图形可以想到只要证 岛
明 厶４ ＋ＬＢ Ｉ ０ 即可． 证 明不在 同 ＝８。 要
一
思维灵活 ，知识点前后联 系密切 ， 为
同学 们 圆满 完 成 初 中数 学 学 习 设 置
到更 多命题 ． 作 垂线
圆 中的 两个 角之 间的 关 系． 间必 中
连 结 雎 ， 则 Ａ＝ ＬＤ Ｅ， Ｐ
峰 回路转一线
圆中常用辅助线
。 江 苏 平 潮高 级 中学 季 亮
ｔ ． ｇ ｜ ｜
《 是初 中数学 的重点章节 ， 圆》 其
圆中常见的辅助线的作法分类大全
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM •PN=2PO 2.分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=21PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •21PN ，∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那么OP 的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是________.CBBA2． 遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N ．（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；（2） 如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点，当AC=3时，求AB 的值．分析：要证BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而BN 是圆O 的直径，所以连结MN 可得∠BMN=90（1） 证明：连结MN ，则∠BMN=90°=∠ACB ∴△ACB ∽△NMB ∴BN AB BMBC∴AB ·BM=BC ·BN（2） 解：连结OM ，则∠OMC=90° ∵N 为OC 中点∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B=21∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3． 遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。
下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。
一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。
具体步骤如下：
1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。
2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。
二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。
具体步骤如下：
1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。
2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。
3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。
三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。
2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。
3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。
四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。
2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。
以上就是几种常见的圆的辅助线添法。
通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。
圆中常见辅助线
圆中常见辅助线得做法一．遇到弦时(解决有关弦得问题时）1、常常添加弦心距,或作垂直于弦得半径（或直径）或再连结过弦得端点得半径。
作用:①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对得弧、弦与弦心距之间得关系；③利用弦得一半、弦心距与半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例:如图，在以Ｏ为圆心得两个同心圆中,大圆得弦AB交小圆于Ｃ、Ｄ二点、求证：AC= BD 证明：过O作OE⊥AB于E∵Ｏ为圆心,OE⊥AB∴AＥ = BE CE ＝ DＥ∴AC = BD练习：如图，AB为⊙O得弦，P就是AB上得一点，AB = 10cm,PＡ= 4cm、求⊙Ｏ得半径、２、有等弧或证弧等时常连等弧所对得弦或作等弧所对得圆心角、例:如图，已知AＢ就是⊙O得直径，M、N分别就是AO、ＢO得中点，CM ⊥AB,ＤN⊥AＢ，求证：证明：(一）连结OC、OD∵Ｍ、N分别就是AO、ＢO得中点∴ＯM = AＯ、ON ＝BO∵ＯA = OB ∴OM ＝ ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OＣ = OD∴Rt△≌Rt△DOＮ∴∠COA ＝∠ＤOＢ∴(二)连结AC、ＯC、OＤ、BＤ∵M、N分别就是AO、BO得中点∴AC = OC BＤ＝ OＤ∵ＯC = ＯＤ∴ＡC = ＢD ∴3.有弦中点时常连弦心距例：如图，已知M、N分别就是⊙O 得弦AB、CＤ得中点,AB ＝ CＤ,求证：∠ＡMN = ∠ＣNＭ证明：连结OM、ON∵O为圆心,M、N分别就是弦ＡB、CD得中点∴OM⊥ＡB ON⊥CＤ∵AＢ＝ CD ∴ＯＭ = OＮ∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN ＝ 9０o－∠ＯMN∠CＮM = 90o－∠OＮM∴∠ＡMN =∠CNM4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距、例：如图,已知⊙O 1与⊙O 2为等圆,P 为O 1、O 2得中点,过P 得直线分别交⊙O 1、⊙O 2于A 、C 、D 、Ｂ、求证：AC ＝ B Ｄ证明：过O 1作Ｏ1M ⊥AB 于M ，过O 2作O ２N ⊥AB 于N,则O 1Ｍ∥O 2Ｎ∴∵O 1P = O 2P ∴O 1M = Ｏ2N ∴A Ｃ = ＢD二、有弧中点(或证明就是弧中点）时,常有以下几种引辅助线得方法：⑴连结过弧中点得半径 ⑵连结等弧所对得弦 ⑶连结等弧所对得圆心角例:如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 得中点，C 为弧A Ｂ得中点，求证:CD ＝ CE证明：连结OC∵C 为弧AB 得中点 ∴∴∠AOC =∠BOC∵D 、Ｅ分别为OA 、OB 得中点，且AO = BO ∴OD = O Ｅ = ＡO = BO 又∵OC = OC∴△OD Ｃ≌△ＯＥC∴ＣD = C Ｅ三.有直径时常作直径所对得圆周角，再利用直径所对得圆周角为直角证题、例：如图,AB 为⊙O 得直径，ＡＣ为弦，Ｐ为A Ｃ延长线上一点，且ＡC ＝ PC ，PB 得延长线交⊙Ｏ于D ，求证：AC ＝ DC 证明:连结AD∵ＡＢ为⊙O 得直径∴∠A ＤP = 9０o∵ＡC = PC ∴ＡＣ = CD =AP 例（2005年自贡市）如图２,P 就是⊙O 得弦CB 延长线上一点,点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C .求证：P Ａ就是⊙O 得切线。
圆中常用辅助线作法
2.4、两圆相交公共弦
----两圆相交，可作公共弦。
在解决两圆相交的问题时，常作两圆的 公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接 四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从 而寻找两圆之间的等量关系。
第十二页，编辑于星期日：二十二点 十分。
例4、如图，已知：⊙O 和⊙1 O 相交2 于A、B两点，过A点
∵ MN 是⊙0的切线
∴ ∠BAP = ∠ ACP
第九页，编辑于星期日：二十二点 十分。
2.3、切线径 ----有切点，可作过切点的半径。
在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦， 利用弦切角定理，使问题得以解决。
第十页，编辑于星期日：二十二点 十分。
例3、如图，AB、AC与⊙O相切有与B、C点，∠A = 50°，点P优弧BC的一个动点，求∠BPC的度数。
证明：过T点作两圆的内公切线MN
在⊙O 1中，∠A= ∠CTN
M
在⊙O 2 中， ∠B= ∠DTM
又∵ ∠CTN = ∠DTM
∴∠A= ∠B
∴AC∥BD
N
第十五页，编辑于星期日：二十二点 十分。
2.6、中点圆心线 ---有中点和圆心，可连结中点与圆心。
在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中 点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的 中位线定理，可求出所需要的结论。
∴AM=MB=CN=ND
又∵OM=ON， ∴RtΔPMO≌RtΔPNO ∴PM=PN ∴PM+MB=PN+ND
即：PB=PD
第十九页，编辑于星期日：二十二点 十分。
2、如图，以RtΔABC的直角边AC为直径作⊙O交斜边AB于P， 过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求 证：
初三圆中常见的辅助线的
..圆中常有的辅助线的作法1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常增加弦心距，也许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求有关量。
【例 1】如图，已知△ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙O的直径为10，弦 AB＝ 8，P 是弦 AB上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________．2．遇到有直径时常常增加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获取直角或直角三角形。
C【例 3】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,A BO∠ B=3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可获取直径。
【例 4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙ O的半径是AC BO4．遇到弦时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
【例 5】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.5．遇到有切线时（ 1）常常增加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥ AB，获取直角或直角三角形。
【例 6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与 AB成 30°角， CD与⊙ O切于 C，交 AB?的延长线于D，求证： AC=CD．（2）常常增加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6．遇到证明某向来线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确立，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
【例 7】以下列图，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
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一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是 30 湖上的一座桥，测得圆周角∠C=45 ° ，求桥AB的 60° ° 长。
E
解决问题的方法是： 添半径或直径转化为等腰三角形或直角三角形 从而得以解决
（浙教版教材九年级上册作业题p93第5题）
一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是湖 上的一座桥，测得圆周角∠C= 150 135 ° ，求桥AB的 120 ° ° 长。
圆周角为60°（120°）
圆心角90 °
圆心角120 °
所对的弦长AB=
所对的弦长AB=
2
R
3R
数学思想： 转化思想，类比思想
1、如图点 已知 A、B、C均在半径为2的⊙O上，BC= 2 2 , 0或 则∠A= 45 45 ° 1350 。 2、如图点A、B、C均在⊙O上，∠ABC=150°，AC=2 , 则⊙O半径 为 。 2
O
（ 1）
（ 1）
（2）
原题呈现（浙教版数学作业本1P27第10题） 1.如图， △ABC内接于⊙O ，AD为⊙O 的直径， 若∠ABC=∠DAC，AD=6cm，求AC的长
EF
归纳：圆中常用辅助线
(1)有关弦的问题，常作其弦心距或半径，构造直角三
角形；
பைடு நூலகம்
(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．
D
解决问题的方法是： 添半径或直径转化为等腰三角形或直角三角形 从而得以解决
E
已知⊙O的半径为R，弦AB以及圆周角或圆心角
解决问题的方法是：
一般情况
添半径或直径转化为等腰三角形或直角三角形
从而得以解决
特殊 情况
圆周角为30°（150°） 圆心角60 ° 所对的弦长AB=R
圆周角为45°（135°）
1
34 2
• • • •
两条圆中常用的辅助线是 （1）常添半径或直径 （就可以有等腰三角形或直角三角形） （2）常添弦心距构建直角三角形利用垂径 定理和勾股定理解决问题 • 一种思想： • 转化思想，将弦转化为弧，弧转化为角 （圆心角或圆周角）从而解决问题
• 1.如图，AB是⊙O 的直径，弦CD⊥AB， ∠CDB=300，CD= ，求图中阴影部分 的面积
E
直径所在的直线是圆的对称轴
2.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的 ⌒ ⌒ 中点,DE // AB,求证: EC=2EA. C E A D B
O
• 1.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E，G是 上一点，AG，DC的延长线交 于点F.求证：∠FGC= ∠AGD.
2 2 弦长 2 + 弦心距 半径 .
2
直径所对的圆周角是直角
• 例.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分
半径OA于点C，弦DF与半径OB相交于点P， 连结EF，若 • （1）求⊙O的半径. • （2）求 的长和图中阴影部分的面积.
作半径或直径还可以求弧长 以及阴影部分的面积