2013-2014学年高中数学 1.3.2三角函数的图象和性质(三)学案 苏教版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象与性质教案 苏
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1.3.2 三角函数的图象与性质错误!教学分析研究函数的性质常常以直观图象为基础,这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此,教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法"画正弦函数、余弦函数的简图．三维目标1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识,了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中,使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过学习本节,理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系,加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．重点难点教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．教学难点:1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．课时安排3课时错误!第1课时导入新课思路1.（复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状,看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线）？进而引导学生通过取值，画出当x∈［0，2π]时y＝sinx的图象．思路2。
高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.2 三角函数的图象和性质导学案 苏教版必修4
1.3.2 三角函数的图象与性质课堂导学三点剖析1.正弦函数、余弦函数的主要性质 【例1】求下列函数的定义域： （1）y=236x-+lgcosx; (2)y=log sinx (cosx+21). 思路分析：利用三角函数单调性求解.解：（1）由⎩⎨⎧>≥-0cos ,0362x x 得⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-.,2222,66Z k k x k x ππππ由上图可知不等式组的解集为［-6，-π23)∪(-2π,2π)∪(π23,6］. 故原函数的定义域为［-6，-π23)∪(-2π,2π）∪(π23,6］.(2)由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠>,21cos ,1sin ,0sin x x x得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<-+≠+<<,322322,22,22πππππππππk x k k x k x k (k∈Z ).∴原函数的定义域为（2kπ,2kπ+2π）∪（2kπ+2π,2kπ+23π）k∈Z . 温馨提示求函数的定义域,就是求使函数式有意义的x 值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出. 【例2】 比较下列各组中四个值的大小： （1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4.思路分析：转化到同一单调区间再比较. 解析：（1）∵0＜1＜2π＜2＜3＜π＜4＜π23, ∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3). 而0＜π-3＜1＜π-2＜2π,正弦函数y=sinx 在（0，2π）上为增函数， ∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3), cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜2π,余弦函数y=cosx 在（0，2π）上为减函数， ∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2), 即cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4; (2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 温馨提示①要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间. 2.正弦函数和余弦函数图象间的关系 【例3】作函数y=x 2cos 1-的图象.思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 解：y=x 2cos 1-化为y=|sinx|, 即y=⎩⎨⎧+<<+-+≤≤,222,sin ,22,sin πππππππk x k x k x k x (k∈Z )其图象如下图.温馨提示①画y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π. 3.三角函数图象和性质综合应用【例4】 作出函数y=|tanx|及y=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期. 思路分析：利用分段函数图象的画法. 解：（1）y=|tanx|=,0tan ,0tan ,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=|tanx|的图象如下：由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期T=π,函数是偶函数.函数的单调增区间是（kπ,kπ+2π）（k∈Z ）,减区间（kπ-2π,kπ）(k∈Z ). (2)y=tan|x|=,0,0,tan ,tan <≥⎩⎨⎧-x x x x 由y=tanx 图象可知，y=tan|x|的图象如下：由y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但y=tan|x|是偶函数，单调增区间［0, 2π）∪（kπ+2π,kπ+π23）（k∈N）.函数的单调减区间（-2π,0］∪（kπ-π23,kπ-2π)(k∈Z 且k≤0).各个击破 类题演练1求y=225sin x x -+的定义域. 解：根据函数表达式可得⎩⎨⎧≤≤-∈+≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥.55),(22,025,0sin 2x Z k k x k x x πππ 作出下图.由图示可得，函数定义域为［-5,-π］∪［0,π］. 变式提升1求下列函数的定义域.（1）y=xx tansin+;(2)y=)82cos(1tan)1sin2lg(π+--+-xxx解：(1)⎩⎨⎧≥≥,0tan,0sinxx将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图由图显然可得函数定义域集合为{x|2kπ≤x＜2kπ+2π,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π,k∈Z}.(2）由⎩⎨⎧≥-->-,01tan,01sin2xxcos(2x+8π)≠0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+≠+-≤>.,282,1tan,21sinZkkxxxπππ可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+≠∈-≤<-+<<+.432,42,65262ππππππππππkxZkkxkkxk其中∴函数定义域为{x|2kπ+2π＜x＜2kπ+43π,k∈Z}.类题演练2已知函数y=acosx+b 的最大值是1，最小值是-3，试确定f(x)=bsin(x+3π)的单调区间. 解：若a ＞0.则a+b=1,-a+b=-3,解得a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+3π).设k∈Z ,2kπ-2π≤2x+3π≤2kπ+2π时，f(x)单调递减，2kπ+2π≤2x+3π≤2kπ+π23的f(x)单调递增.于是，单调递减区间为［kπ-π125,kπ+12π］(k∈Z ),单调递增区间为［kπ+12π,kπ+π127］,k∈Z . 若a ＜0,则-a+b=1,a+b=-3,∴a=-2,b=-1.f(x)=-sin(-2x+3π)=sin(2x-3π). 其单调递增区间为［kπ-12π,kπ+125π］,k∈Z ,单调递减区间为［kπ+π125,kπ+π1211］,k∈Z .变式提升2 函数y=2sin(x 26-π)(x∈［0,π］)为增函数的区间是（ ）A.［0,3π］ B.［12π,127π］ C.［3π, 65π］ D.［65π,π］思路分析：利用三角函数的性质，求出y=2sin(6π-2x)在R 上的单调增区间，取特殊值验证即可解决此类问题.解：2sin(6π-2x)=-2sin(2x 6π-),当2kπ+2π≤2x 6π-≤2kπ+π23,即kπ+3π≤x≤kπ+65π (k∈Z ),当k=0时得在［0,π］上的单调增区间为［3π, 65π］.答案：C类题演练3 函数y=3sinx,x∈［-2π,23π］的简图是（ ）思路分析：用五点法作图即可得出答案. 答案：A 变式提升3函数y=-cosx 的图象与余弦函数的图象（ ）A.只关于x 轴对称B.只关于原点对称C.关于原点、x 轴对称D.关于原点、坐标轴对称解析：对于y=cosx 与y=-cosx ，当x 取相同值时，y 值相反，所以图象关于x 轴对称. 答案：A 类题演练4(2006全国高考Ⅰ，理5文6)函数f(x)=tan(x+4π)的单调增区间为（ ） A.(kπ-2π,kπ+2π),k∈Z B.(kπ,(k+1)π),k∈Z C.(kπ43π-,kπ+4π),k∈Z D.(kπ-4π,kπ+43π),k∈Z解析：kπ-2π＜x+4π＜kπ+2π(k∈Z ),∴单调增区间为(kπ43π-,kπ+4π),k∈Z .答案：C变式提升4(2004天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(π35)的值为（ ）A.-21 B. 21C.32-D.32解：f(π35)=f(π+π32)=f(π32)=f(π-3π)=f(-3π)=f(3π). ∵当x∈［0,2π］时，f(x)=sinx,∴f(3π)=sin 3π=32. 答案：D 温馨提示三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非偶函数.如f(x)=xx xx cos sin 1cos sin 1++-+奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质，也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等.。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.2三角函数的图象与性质教案苏教版必修4
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教学内容分析
本节课的主要教学内容为高中数学第一章三角函数1.3节三角函数的图象和性质中的1.3.2节，具体内容包括：
1.了解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象特点，掌握它们的基本性质，如奇偶性、周期性、对称性等。
2.实际应用：提供一些实际问题，让学生运用三角函数图象和性质的知识解决，例如测量角度、声音的传播等。
3.数学软件：推荐一些数学软件或APP，如Mathematica、MATLAB、Desmos等，让学生在课后自己探索三角函数图象和性质的更多内容。
4.在线课程：推荐一些在线课程或视频，如MOOC、Khan Academy等，让学生在课后自主学习三角函数图象和性质的进阶内容。
2.学生观看视频资源，加深对三角函数图象和性质的理解。
3.学生可就阅读和观看过程中遇到的问题向教师请教，教师应及时解答疑问。
4.学生结合本节课所学内容，尝试解决一些际问题，如测量物体的高度、计算电路中的电压等。
5.学生可参加数学社团或小组，与同学一起探讨三角函数图象和性质的更多知识点。
6.学生可用所学知识创作一些数学作品，如数学日记、数学小论文等，展示自己的学习成果。
4.板书要与教学内容紧密相关，避免与教学内容脱节。
5.板书要易于展示，方便学生观看和记录。
6.板书设计要根据教学进度和学生的实际情况进行调整，以适应不同的教学需求。
教学评价与反馈
1.课堂表现：
-观察学生是否积极参与课堂讨论和互动。
-评估学生对三角函数图象和性质的基本概念和性质的理解程度。
高中数学教案：探究三角函数的性质和图像
高中数学教案：探究三角函数的性质和图像一、引言数学作为一门理科学科，与现实生活有着密切的联系。
在高中数学课程中，三角函数是一个重要的内容之一。
掌握三角函数的性质和图像对于理解几何问题以及应用数学在物理、工程等领域具有十分重要的意义。
本教案将针对高中数学三角函数的性质和图像进行探究，帮助学生更好地理解和应用三角函数。
二、三角函数的定义和基本性质1. 三角函数的定义三角函数包括正弦、余弦、正切等，它们是由单位圆上一点坐标值所确定。
2. 三角函数的周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
3. 三角函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数既不奇也不偶。
4. 三角函数在特殊点处取值根据单位圆上各个象限内点坐标值得出。
三、探究正弦曲线的特点和图像变化规律1. 正弦曲线图像的概念根据正弦函数公式绘制出的曲线。
2. 正弦曲线的振幅、周期和相位正弦曲线在垂直方向上振动的幅度即为振幅，周期是指重复一次完整波动所需要的最小距离，相位是指与原点之间的水平距离。
3. 正弦函数图像的变化规律改变正弦函数中的系数A、B和C，会对曲线产生什么影响。
四、探究余弦曲线的特点和图像变化规律1. 余弦曲线图像的概念根据余弦函数公式绘制出的曲线。
2. 余弦曲线的振幅、周期和相位余弦曲线在垂直方向上振动的幅度即为振幅，周期是指重复一次完整波动所需要的最小距离，相位是指与原点之间的水平距离。
3. 余弦函数图像的变化规律改变余弦函数中的系数A、B和C，会对曲线产生什么影响。
五、探究正切曲线的特点和图像变化规律1. 正切曲线图象的概念根据正切函数公式绘制出的曲线。
2. 正切曲线的图象变化规律改变正切函数中的系数 A、B和C ，会对曲线产生什么影响。
六、三角函数的应用举例1. 三角函数在几何中的应用比如计算三角形的面积、边长等问题。
2. 三角函数在物理中的应用比如计算力的合成、机械振动等问题。
3. 三角函数在工程中的应用比如建筑物高度测量、电力传输过程中杆塔高度设计等问题。
高三专题复习《三角函数的图像与性质》教学设计
《三角函数的图像与性质》教案教学目标： 1、知识目标:进一步理解、掌握三角函数的图像及性质，能熟练应用三角函数的图像与性质解决相关数学问题。
2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。
3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。
教学重点：三角函数的性质及应用教学难点：三角函数的周期性、单调性、值域的应用． 教学过程：一、真题感悟,预习检测：1.(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________. 2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.3.(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.4.(2015·浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.二、知识点回顾，考点整合1、性质列表，网络建构2、三角函数的两种常见变换3.正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心、对称轴。
三、热点聚焦，题型突破热点一 三角函数的图象[微题型1] 图象变换【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________单位长度.[微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________. (2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.跟踪训练【训练1】 (1)(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.(2)(2015·南师附中模拟)把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移个单位∏/6长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为________. 热点二 三角函数的性质[微题型1] 考查三角函数的单调性与对称性【例2－1】 (1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.(2)(2015·南通调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________.[微题型2] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例2－2】 (2015·宿迁高三摸底考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，π))的图象如图所示.)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值.【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域.四、随堂检测1.求下列函数的值域（1）1sin cos 2+-=x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,4(ππx ； （2）3cos 3cos +-=x x y2．函数)32cos(π--=x y ),0(π∈x 的单调增区间 。
2013-2014学年高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质教案1 苏教版必修4
1．3.2 三角函数的图象与性质第1课时正弦、余弦函数的图象与性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．(2)弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系，记住正、余弦函数的特征，会用五点法画正、余弦函数的图象．(3)借助图象理解正、余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、对称性等性质．(4)通过观察、猜想、归纳，培养学生的数学能力，掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的能力．2．过程与方法借助单位圆，利用三角函数线作出正弦函数图象；让学生通过类比，联系诱导公式，自主探究出余弦函数的图象，尝试用五点作图法作正、余弦函数图象，并能结合图象分析有关性质．充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合〞思想．3．情感、态度与价值观(1)通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神．(2)通过正、余弦函数图象性质的理解，使学生体会从感性认识到理性认识，理解动与静的辨证关系，激发学生的学习积极性．●重点难点重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法〞作图．难点：正、余弦函数的性质及应用．(教师用书独具)●教学建议1．作正弦曲线关于作正弦曲线的教学，建议教师在教学过程中：(1)给学生讲清作正弦曲线既是本课的重点，又是学好后面内容的关键，故要对这一点进行重点教学；(2)引导学生明确正弦曲线的作法有两种，有条件的教师应利用多媒体演示两种方法，并指明两种方法的优缺点；(3)要突出作图象的两个过程，明确意义．2．正、余弦函数的性质关于正、余弦函数性质的教学建议教师让学生利用定义从理论上简单总结正、余弦函数的性质，然后借助正、余弦函数的图象，通过对图象的深入分析，引导学生得出正、余弦函数的所有性质．在教学过程中，要重点强调处理函数问题时，我们经常从图象看性质，用性质画图象，在反复演练中逐步渗透给学生数形结合思想．3．“五点法〞作图关于“五点法〞作图的教学，建议教师在教学过程中：(1)让学生观察函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点；(2)重视“五点法〞作图的作用，明确作图的步骤，通过适当的练习，让学生熟练掌握这种方法．●教学流程创设问题情境，借助单位圆，利用三角函数线，作出正弦函数的图象.⇒引导学生结合诱导公式和正弦函数图象，自主探究余弦函数的图象，并分析正、余弦函数的有关性质.⇒引导学生探究函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，找出对图象形状起关键作用的五个点，完成例1及其变式训练，从而解决利用“五点法〞作简图的问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握求三角函数值域的方法.⇒探究正、余弦函数的单调性，完成例3及其变式训练，从而掌握求单调区间的方法及须知.⇒通过例4及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的单调性比较三角函数值大小的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法〞画出正弦函数、余弦函数的图象．(重点)3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质．(重点、难点)正弦、余弦函数的图象与性质[问题导思]1．你能说出正弦函数、余弦函数定义域、值域吗？[提示] 定义域都是R ，由三角函数的定义知，值域都是[－1,1]． 2．正、余弦函数的奇偶性如何？ [提示] 由sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x 可知，正弦函数y ＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数．1．正弦、余弦函数的图象(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线．(2)函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)，(3)函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上起关键作用的五个点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．(4)正弦函数、余弦函数图象间的关系是：将正弦函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图象，因此正弦曲线和余弦曲线的形状完全相同，只是在直角坐标系中的位置不同．2．正弦函数、余弦函数的图象与性质 函数 正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]最值当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1 当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π 周期函数，T ＝2π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于y 轴对称 单调性在[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增函数；在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增函数；在[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z )上是在[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )上是减函数减函数利用“五点法〞作简图用“五点法〞作出以下函数的图象． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．[思路探究] 在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑曲线连接即可． [自主解答] (1)列表如下：x0 π2 π 32π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x －1－1－1－2－1描点连线，如图(1)所示．图(1)(2)列表如下：x0 π2 π 32π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2＋cos x32123描点连线，如图(2)所示．图(2)1．“五点法〞中的五点即y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点．“五点法〞是作简图的常用方法．2．列表、描点、连线是“五点法〞作图过程中的三个基本环节．作出以下函数的简图．(1)y ＝－1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝sin 2x ＋1，x ∈[0，π]． [解] (1)列表：x 0π2π3π22πcos x 10－10 1－1－cos x －2－10－1－2 描点作图，如下图：(2)列表：x 0π4π23π4π2x 0π2π3π22πsin 2x 010－10sin 2x＋11210 1描点、连线，如下图：求三角函数的值域求以下函数的值域．(1)y＝3－2cos x；(2)y＝cos2x＋2sin x－2.[思路探究] (1)由－1≤cos x≤1―→求3－2cos x的范围得值域．(2)令t＝sin x，化成关于x的二次函数求解．[自主解答] (1)∵－1≤cos x≤1，∴－1≤－cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤2，∴1≤3－2cos x≤5，即1≤y≤5.故函数y＝3－2cos x的值域为[1,5]．(2)令t＝sin x(x∈R)，那么由－1≤sin x≤1，知－1≤t≤1.∴y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－t2＋2t－1＝－(t－1)2(－1≤t≤1)，∵－1≤t≤1，∴－2≤t－1≤0，∴0≤(t－1)2≤4，即－4≤y≤0.故函数y＝cos2x＋2sin x－2的值域为[－4,0]．1．求形如y＝A sin x＋B或y＝A cos x＋B型的三角函数的最值问题，一般运用三角函数的有界性求最值．求最值时要注意三角函数的定义域，尤其要注意题目中是否给定了区间．2．求解形如y＝a sin2x＋b sin x＋c(或y＝a cos2x＋b cos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．本例函数解析式不变，定义域缩小为x ∈[－π4，π4]，如何求解？[解] (1)∵－π4≤x ≤π4，∴22≤cos x ≤1，∴－1≤－cos x ≤－22， ∴－2≤－2cos x ≤－2， ∴1≤3－2cos x ≤3－ 2.故函数y ＝3－2cos x ，x ∈[－π4，π4]的值域为[1,3－2]．(2)y ＝cos 2 x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－π4≤x ≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴－22－1≤sin x －1≤22－1. ∴0≤(sin x －1)2≤32＋ 2.∴－32－2≤y ≤0，故所求函数值域为[－32－2，0].求三角函数的单调区间(1)求函数y ＝cos(x 2＋π3)的单调区间；(2)求函数y ＝2sin(π3－2x )的单调增区间．[思路探究] 对于第(1)小题，可将角x 2＋π3看成一个整体，运用余弦函数的单调性求出x 的范围，得到所求的单调区间；对于第(2)小题，先用诱导公式把x 的系数化为正，然后用解第(1)小题的方法求解．[自主解答] (1)令2k π＋π≤x 2＋π3≤2k π＋2π，k ∈Z ，那么4k π＋4π3≤x ≤4k π＋103π，k ∈Z ，故函数的单调增区间是[4k π＋4π3，4k π＋10π3]，k ∈Z . 令2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z ，那么4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故函数的单调减区间是[4k π－2π3，4k π＋4π3]，k ∈Z .(2)函数y ＝2sin(π3－2x )＝－2sin(2x －π3)，因此要求函数y ＝2sin(π3－2x )的单调增区间只需求函数y ＝2sin(2x －π3)的单调减区间即可．令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z ，即原函数的单调增区间为[5π12＋k π，11π12＋k π]，k ∈Z .求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调区间的一般步骤：(1)当ω>0时，把“ωx ＋φ〞看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递增区间；由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，即为函数递减区间．(2)当ω<0时，可先用诱导公式转化为y ＝－sin(－ωx －φ)，那么y ＝sin(－ωx －φ)的递增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．余弦函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω≠0)的单调性讨论同上．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调区间．[解] y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，得2k π－π4≤x ≤2k π＋34π，k ∈Z .由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋32π，得2k π＋34π≤x ≤2k π＋74π，k ∈Z ，故函数y ＝2sin(π4－x )的递增区间为[2k π＋34π，2k π＋74π]，k ∈Z ；递减区间为[2k π－π4，2k π＋34π]，k ∈Z .利用三角函数的单调性比较大小 比较以下各组数的大小： (1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4； (2)cos 217°，cos(－1 220°)．[思路探究] 第(1)小题把自变量2,3都化到区间[0，π2]上，利用单调性比较大小，而sin 4＜0，从而可得四者的关系；第(2)小题只需把自变量化到0°～90°上即可比较大小．[自主解答] (1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0＜π－3＜1＜π－2＜π2，π＜4＜3π2，又函数y ＝sin x 在[0，π2]上单调递增，所以sin 2＞sin 1＞sin 3＞0，而sin 4＜0，故sin 2＞sin 1＞sin 3＞sin 4.(2)因为cos 217°＝－cos 37°，cos(－1 220°)＝－cos 40°，又y ＝cos x 在0°～90°上是减函数，所以cos 37°＞cos 40°，即－cos 37°＜－cos 40°， 即cos 217°＜cos(－1 220°)．比较三角函数值的大小时，假设函数名不同，一般应先化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较．比较以下各组数的大小．(1)cos(－π8)与cos 13π7；(2)sin 194°与cos 160°.[解] (1)cos(－π8)＝cos π8，cos 13π7＝cos(2π－π7)＝cos(－π7)＝cos π7.0<π8<π7<π2，y ＝cos x 在(0，π2)上是减函数． ∴cos π8>cos π7，即cos(－π8)>cos 13π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°， ∵sin 14°<sin 70°，∴sin 194°>cos 160°.判断函数奇偶性时忽略判断定义域是否关于原点对称判断f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的奇偶性．[错解] f (x )＝sin x ＋sin 2x 1＋sin x ＝sin x 1＋sin x1＋sin x＝sin x ，∴f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数.[错因分析] 判断函数的奇偶性，必须先判断函数的定义域是否关于原点对称，上述解法错误的原因是没有考虑定义域，事实上，此函数的定义域不关于原点对称．[防范措施] 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的基本条件，因此在判断函数的奇偶性时要先判断定义域是否关于原点对称．[正解] 由题意得1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ≠2k π－π2(k ∈Z )．∴函数的定义域不关于原点对称，∴函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x是非奇非偶函数．1．“五点法〞作图(1)利用“五点法〞画正弦、余弦函数的图象时应注意图象的对称性和凸凹方向． (2)利用“五点法〞作出正弦、余弦函数在[0,2π]内图象后，再通过平移即可得到正弦、余弦曲线．2．判断三角函数的奇偶性判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．3．正、余弦曲线的对称性正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形，并且有无数个对称中心和对称轴，其中正弦曲线对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴方程x ＝k π＋π2(k ∈Z )，余弦曲线的对称中心坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )．1．以下函数的图象相同的是________．(填序号) ①y ＝cos x 与y ＝cos(π＋x )；②y ＝sin(x －π2)与y ＝sin(π2－x )；③y ＝sin x 与y ＝sin(－x )； ④y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x .[解析] y ＝cos(π＋x )＝－cos x ，与y ＝cos x 的图象不同；y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，与y ＝sin(π2－x )＝cos x 图象不同；y ＝sin(－x )＝－sin x 与y ＝sin x 的图象不同； y ＝sin(2π＋x )＝sin x 与y ＝sin x 的图象相同． [答案] ④2．使cos x ＝1＋m1－m 有意义的实数m 的取值范围是________．[解析] 由题设|1＋m1－m|≤1⇒|1＋m |≤|1－m |且m ≠1，得m ≤0.[答案] (－∞，0]3．当φ取30°，60°，90°，180°中的________时，函数y ＝sin(φ－x )是奇函数． [解析] 要使此函数为奇函数，必须不改变函数名称，结合所给的角，当φ＝180°时，y ＝sin(180°－x )＝sin x 是奇函数．[答案] 180°4．不求值，比较各组中三角函数值的大小：(1)sin(－π18)与sin(－π10)；(2)cos(－13π5)与cos 11π5.[解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜0，y ＝sin x 在(－π2，0)上是单调增函数，∴sin(－π18)＞sin(－π10)．(2)cos(－13π5)＝cos 13π5＝cos(2π＋3π5)＝cos 3π5，cos 11π5＝cos(2π＋π5)＝cosπ5. ∵0＜π5＜3π5＜π，y ＝cos x 在[0，π]上是单调减函数，∴cos π5＞cos 3π5，∴cos(－13π5)＜cos 11π5.一、填空题1．以下所给的四个图象中，y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象是________．图1－3－2[解析] x ＝π2时，y ＝－sin π2＝－1，排除①②③，利用“五点法〞作图验证④正确．[答案] ④2．函数f (x )＝sin 2xsin x－1是________函数．(填“奇〞或“偶〞)[解析] 定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且f (－x )＝sin －2xsin －x－1＝sin 2xsin x－1＝f (x )． [答案] 偶3．函数y ＝3＋3cos(2x ＋π3)的值域是________．[解析] －1≤cos(2x ＋π3)≤1，∴0≤y ≤6. [答案] [0,6]4．函数y ＝cos(2x －π2)的单调减区间是________．[解析] 由2k π≤2x －π2≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π4≤x ≤k π＋34π，k ∈Z ，故单调递减区间是[k π＋π4，k π＋34π]，k ∈Z .[答案] [k π＋π4，k π＋34π]，k ∈Z5．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．[解析] cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜c os 760°＜sin 470°.[答案] cos 150°＜cos 760°＜sin 470°6．函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的选项是________．(只填序号)①函数f (x )的最小正周期为2π；②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称；④函数f (x )是奇函数．[解析] ∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，即①正确．y ＝cos x 在[0，π2]上是减函数，那么y ＝－cos x 在[0，π2]上是增函数，即②正确．由图象知y ＝－cos x 的图象关于x ＝0对称，即③正确．y ＝－cos x 为偶函数，即④不正确．[答案] ④7．(2013·南京高一检测)函数y ＝sin(x ＋π3)在区间[0，π2]的最小值为________．[解析] ∵0≤x ≤π2，∴π3≤x ＋π3≤5π6，∴12≤sin(x ＋π3)≤1. [答案] 128．函数f (x )＝lg(cos x －12)＋sin x 的定义域是________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧cos x －12＞0，sin x ≥0，解得2k π≤x ＜2k π＋π3，∴定义域为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．[答案] {x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }二、解答题9．用“五点法〞画函数y ＝2cos x ＋1在[0,2π]上的图象．(要求：列表，描点) [解] 列表如下：x 0 π2 π 3π22πcos x 1 0 －1 0 1 y 3 1 －1 1 3描点，连线得：10．求函数y ＝sin(x －π4)在[－3π4，π4]上的单调递减区间．[解] 由π2＋2k π≤x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )得3π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π(k ∈Z )，当k ＝－1时，－5π4≤x ≤－π4.又x ∈[－3π4，π4]，所以单调递减区间为[－3π4，－π4]．11．求以下函数的值域： (1)y ＝|sin x |＋sin x ；(2)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]．[解] (1)y ＝|sin x |＋sin x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x sin x ≥0，0sin x ＜0，又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即值域为[0,2]．(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，从而0≤2sin(2x ＋π3)≤2，∴0≤y ≤2，即值域为[0,2].(教师用书独具)求函数y ＝2cos(2x －π3)的对称中心和对称轴方程．[思路探究] 此题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解．[自主解答] y ＝cos x 的对称中心为(k π＋π2，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )．由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋512π(k ∈Z )；2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故y ＝2cos(2x －π3)的对称中心为(k π2＋512π，0)(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k∈Z )．1．正弦曲线y ＝sin x ，x ∈R 的对称轴方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ；对称中心为(k π，0)，k ∈Z .2．余弦曲线y ＝cos x ，x ∈R 的对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z ；对称中心为(k π＋π2，0)，k ∈Z .求函数y ＝3sin(12x －π4)的对称轴、对称中心．[解] 令12x －π4＝π2＋k π，解得x ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即函数的对称轴是直线x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．令12x －π4＝k π，解得x ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即对称中心为(π2＋2k π，0)(k ∈Z )．。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
2013高中新课程数学必修四教案第12课时《三角函数的图象与性质》3(苏教版)
1、利用正切函数线画正切函数x y tan =在)2,2(ππ-内的图象。
23、课前训练：（1）观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：①、0tan =x _______________________；②、0tan >x _______________________。
（2）不求值，比较大小：①、)5tan(π-_____)73tan(π- ②、87tanπ_____16tan π（3）函数)324(tan ππ≤≤ =x x y 的值域是__________________。
（4）函数)52tan(π+=x y 的周期是________，在区间_____________________________上是_____函数（填“增”或“减”）例题剖析例1、求函数)42tan(π-=x y 的定义域。
例2、求下列函数的单调区间： （1））621tan(π-=x y （2）)32tan(π+=x y例3、不求值，判断下列各式的符号：（1）︒-︒143tan 138tan（2）)517tan()413tan(ππ---巩固练习1、求下列函数的定义域： （1）x y 3tan = （2）)3tan(π+=x y（3）)33tan(π+=x y2、利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小： （1）)9tan(π-与)7tan(π-（2）89tanπ与6tan π课堂小结正切函数的基本性质及其应用课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题 1、函数)4tan(x y -=π的定义域为（ ） A 、}4|{π≠∈x R xB 、}4|{π-≠∈x R xC 、},4|{Z k k x R x ∈+≠∈ππD 、},4|{Z k k x R x ∈-≠∈ππ2、下列函数中，同时满足①在)2,0(π上递增，②周期为π2，③是奇函数的是（ ）A 、x y tan =B 、x y cos =C 、x y 21tan= D 、x y tan -=3、函数)3tan(π+=x y 的单调增区间是______________________。
高中数学1.3.2三角函数的图象与性质(3)教案苏教版必修4
．提升学生作图能力，分析能力和解决问题的能力，进行数形结合思想和类比思想的渗透．利用正切线画正切函数的图象，函数图象得到它们有哪些性质？时，正切值如何变化？当角无限接近如何画出正切函数在整个定义域内的图象？．课件演示：正切函数的图象O根据图象的特征得到正切函数的性质关系．，本节课学习了以下内容：．利用正切线画出正切函数图象；．能通过观察正切函数图象，利用类比思精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
高中数学1.3.2 三角函数的图象和性质(三) 教案(苏教版必修4)
第 11 课时： 1.3.2 三角函数的图象和性质（三）【三维目标】： 一、知识与技能1.借助正切线画出正切函数的图象，并通过图象理解正切函数的性质。
2.能够应用正切函数性质解决一些相关问题。
3.掌握用数形结合的思想理解和处理有关问题的技能；发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点. 二、过程与方法1.类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
2.通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”的思想三、情感、态度与价值观1.会用联系的观点看问题，使学生理解动与静的辩证关系。
2.通过学生动手操作，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
【教学重点与难点】：重点：正切函数的图象和性质； 难点：正切函数的图象和性质教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数； 【学法与教学用具】：1. 学法：通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
2. 教学用具：三角板、多媒体、实物投影仪.3. 教学模式：启发、诱导发现教学、讲练结合 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.回忆正、余弦函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
2.求出下列函数的最小正周期，并说明下列函数是否有最大值、最小值，如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合. （1）1sin(2)23y x π=--；（2）13cos()26y x π=+. 3. 提问：如何比较sin 20与sin30的大小？4. 提问：能否类比研究正弦、余弦函数性质的方法来研究正切函数的图象和性质？5.练习画下切线（分四个象限） 二、研探新知1.正切函数x y tan =的定义域是什么？2.作)2,2(,tan ππ-∈=x x y 的图象。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.2 三角函数的图象与性质》3
三角函数题型与方法金坛四中 张丽霞 高二（8）牢记二倍角公式：sin 22sin cos ∂=∂∂2222cos 2cos sin 2cos 112sin ∂=∂-∂=∂-=-∂一、 求单调区间、值域或最值。
（注意：区间指的是的取值范围） （一）限定范围方法：需要先求出x ϖϕ+的范围，将x ϖϕ+看为整体，画出()sin()f x A x ϖϕ=+在给定区间上的图像，然后根据图像增长趋势，得到f 在x ϖϕ+这一整体的什么范围内递增、什么范围内递减，或者整体取何值时f 达到最大或最小，如果要求单调区间，还需要由整体x ϖϕ+的范围反求的范围。
例1：已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．例2：已知函数2()2sincos 1f x x x x =-++。
（1） 求f 的最小正周期及图像的对称中心；（2） 求f 在区间[,]63ππ-的单调区间。
例3：已知函数2()sin 2cos 2f x x x m =--，当53[,]244x ππ∈时，函数f 的最大值为0，求实数m的值。
（二）没有限制的范围。
方法：()sin()f x A x ϖϕ=+的递增区间：由2222k x k πππϖϕπ-≤+≤+求范围；()sin()f x A x ϖϕ=+的递减区间：由32222k x k πππϖϕπ+≤+≤+求范围 例1：已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π2，求函数()y f x =的单调增区间．（三）不能化为同名三角函数，则运用二次函数或基本不等式。
苏教版高中数学4教学案：第一章三角函数第13课时三角函数的图象与性质(3)
第13课时 三角函数的图象与性质（3）【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；【重点难点】正切函数的图像与性质一、预习指导1、利用正切线来画出2、正切函tan ((,))22y x x ππ=∈-的图像. 数的图像：3、定义域：；4、值域： ；5、周期性： ；6、奇偶性：tan y x = 是 函数，其图像关于 对称，它的对称中心为__________7、单调性:正切函数在每一个开区间 上是单调增函数.思考:正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？答：二、典型例题例1、求函数tan(2)4y x π=-的定义域、周期和单调区间.例2、已知2()tan5tan (),4f x x x x π=+求()f x 的最小值。
变式:已知2()tantan ()4f x x a x x π=+的最小值-4,求a 的值。
例3、已知函数tan()(0,0,)2y A x A πωϕωϕ=+>><的图象与x 轴相交于两个相邻点的坐标为(,0)6π和5(,0),6π且经过点(0,3)-，求其解析式。
三、课堂练习1、观察正切函数的图像，分别写出满足下列条件的x 的集合： （1)tan 0x = （2）tan 1x <2、求下列函数的定义域：（1）tan 3y x =（2)tan()3y x π=+3、求函数tan()(0)266y x x x πππ=--≠且的值域。
4、函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有 个交点.5、函数tan 1cos x y x =+的奇偶性是 。
四、拓展延伸 若函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1,求实数a 的值.【课堂小结】。
苏教版必修四 1.3.2三角函数的图像与性质(3) 教案
1.3.2 三角函数的图像与性质（3）一、课题：正弦、余弦函数的值域（1）二、教学目标：1.理解正、余弦函数的值域；2.会求与正、余弦函数相关的函数的值域和最值。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的值域的求法。
四、教学过程：（一）复习：1．正、余弦函数的定义域、值域；2．练习：求下列函数的定义域：（1）y =（2）12sin 1y x =-． （答案：（1）[4,)(0,)ππ--；（2）{|(1),}6k x x k k Z ππ≠-⋅+∈）．（二）新课讲解：例1：求函数sin cos y x x =+的值域。
解：sin cos y x x =+)4x π=+，∵1sin()14x π-≤+≤，∴)4x π≤+≤所以，函数sin cos y x x =+的值域是[．例2：求函数sin y x x =-的值域。
解：1sin 2(sin )22y x x x x =-=- 2sin()3x π=--∵1sin()1x π-≤-≤，∴22sin()24x π-≤--≤，所以，函数sin y x x =-的值域为[2,2]-．【变题】若把本题再加上24[,]33x ππ∈的条件，则结果又如何？ 说明：sin cos y a x b x =+形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为sin()y A x ωϕ=+形式的函数来求解。
例3：求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。
解： 234sin 4y x cos x =-- 24sin 4sin 1x x =--214(sin )22x =--， 令sin t x =，则11t -≤≤，∴214()22y t =--（11t -≤≤）， ∴当12t =，即26x k ππ=+或526x k ππ=+（k Z ∈）时，min 2y =-，当1t =-，即322x k ππ=+（k Z ∈）时，max 7y =． 例4：求函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(三)学案 苏教版必修4-苏教版高一必修
1.3.2 三角函数的图象与性质(三)[学习目标] 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．[知识链接]1．正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．2．如何作正切函数的图象？答 类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，－1，其中k ∈Z ，两线分别为直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π－π2(k ∈Z )． 3．根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？ 答 由诱导公式tan(x ＋π)＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. 4．根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答 从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tanx ．故正切函数是奇函数．[预习导引]函数y ＝tan x 的图象与性质见下表：y ＝tan x图象定义域 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域R周期最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内递增对称性对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，无对称轴要点一 求正切函数的定义域例1 求函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域．解 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x <π2＋k π，x ≠－π6＋k π，x ≠π3＋k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4＋k π，π3＋k π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．规律方法 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．跟踪演练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤ta n x <1.在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以函数定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 要点二 正切函数的单调性及应用例2 (1)求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调区间；(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．解 (1)y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数，∴tan (2－π)<tan (3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3 <tan 1.规律方法 正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内．跟踪演练2 (1)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间； (2)比较tan 65π与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π的大小．解 (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，则－π8＋k π2<x <3π8＋k π2，k ∈Z ，从而函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z ，故函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎪⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2，k ∈Z .(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，∵－π2<π7<π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，∴tan π7<tan π5，即tan 65π>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π. 要点三 正切函数图象与性质的综合应用例3 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集； (3)作出函数y ＝f (x )在一个周期内的简图．解 (1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠5π3＋2k π，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z. ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调递增区间是(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π＋23π， 故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0(k ∈Z )．(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )．解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z. (3)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3.令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3. 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得函数y ＝f (x )在一个周期⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3内的简图(如图)．规律方法 对于形如y ＝tan(ωx ＋φ)(ω、φ为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解．如果ω<0，一般先利用诱导公式将x 的系数化为正数，再进行求解．跟踪演练3 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性． 解 由y ＝|tan x |得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2k ∈Z ，－tan x ，－π2＋k π<x <k πk ∈Z .其图象如图．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，π2＋k π(k ∈Z )，单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )，是周期函数，最小正周期为π.1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是________．答案 {x |x ∈R ，x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }2．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间为________． 答案 (k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z3．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的对称中心的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0(k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π3，0(k ∈Z )．4．方程tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是________．答案 4解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝3解得 2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z )，∴x ＝k π2(k ∈Z )，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2.1.正切函数的图象：正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (A ，ω≠0)的周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础达标1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5(x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z )的一个对称中心是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π－π5，0，k ∈Z2．函数y ＝tan x －1的定义域是________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z 3．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π5(x ∈R 且x ≠110π＋k π，k ∈Z )，离坐标原点最近的对称中心的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10，04．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为________．答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π； ②由图象知，函数的周期T ＝π； ③T ＝π； ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. 5．下列各式中正确的是________(写出正确的所有序号)． ①tan 735°>tan 800°； ②tan 1>－tan 2； ③tan 13π4<tan 17π5；④tan 9π8<tan π7.答案 ③④6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________． 答案 0解析 由题意得，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π＝0. 7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4的值域．解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 二、能力提升8．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 答案 －1≤ω<0解析 ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， ∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是________．答案 ④解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x .10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝________.答案 ±2 解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2. 11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])， ∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43； 当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2.从而f (x )＝tan(2x ＋φ)． ∵函数y ＝f (x )的图象关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π或π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4或φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与创新13．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？ (2)求函数y ＝|tan x |的最小正周期．解 (1)因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >x >sin x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x在区间[0,2π]内的图象如图所示：观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点．(2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0， 则f (x )＝tan x ；当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0， 则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图象如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。
高三数学 第32课时 三角函数的图像和性质(3)教案 教案
课题：三角函数的图象和性质（三）教学目标：掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题． 教学重点：三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用． （一） 主要知识：（二）主要方法：1.sin()y A x ωϕ=+为奇函数k ϕπ⇔=；函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数2k πϕπ⇔=+cos()y A x ωϕ=+为偶函数k ϕπ⇔=；函数cos()y A x ωϕ=+为奇函数2k πϕπ⇔=+2.函数sin()y Ax ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+解出； 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+解出，单调减区间可由arcsin θ≤2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+解出（三）典例分析：问题1． 判断下列函数的奇偶性：()1()sin 2tan f x x x x =-⋅；()2(()lg sin f x x =；()3cos (1sin )()1sin x x f x x -=-；()4()()cos sin f x x =；()5tan 1()lg tan 1x f x x +=-问题2．比较下列各组中两个值的大小：()13cos2，1sin 10，7cos 4-；()23sin(sin )8π，3sin(cos )8π．问题3．()1求下列函数的单调递增区间：①3()sin 24f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；②2()sin sin f x x x =+；③()12()log sin 2cos 2f x x x =+；④()sin 4f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭()2（07全国Ⅰ）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是.A 233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.B 62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.C 03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，.D 66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3（06某某）已知函数()2sin f x x ω=(0)ω>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-， 则ω的最小值等于 .A 23.B 32.C 2.D 3（四）课后作业：1.若()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则.A (1)(0)(1)f f f ->>.B (0)(1)(1)f f f >>-.C (1)(0)(1)f f f >>-.D (0)(1)(1)f f f >->2.（07届高三某某一中模拟）设函数)()cosf x ϕ=+()0πϕ-<<，若()()f x f x +'是偶函数，则ϕ等于 .A 3π.B 3π-.C 6π.D 6π-3.（07届高三某某某某模拟）设函数()()cos 1sin f x x k x =++sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭4.若04παβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则 .A a b <.B a b >.C 1ab <.D 1ab >5.函数3sin(2)3y x π=-的单调递减区间是6.①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③函数sin()y A x ωϕ=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3y x π=+的最小正周期为2π．上列四个命题中，正确的命题是 .A ①.B ④.C ①、②.D ②、③7.设定义域为R 的奇函数()y f x =是减函数，若当02πθ≤≤时，2(cos 2sin )(22)0f m f m θθ++-->，求m 的值．8.试讨论函数：()lg(tan f x x =的奇偶性。
高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质互动课堂学案 苏
高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.正弦函数的图象（1）用单位圆中的正弦线，作出函数y=sinx 在x∈［0,2π］上的图象，步骤如下： ①在x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆；②从这个圆与x 轴交点A 起把圆分成12等份；③过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0，6π，3π，…，2π的正弦线； ④相应的再把x 轴上从原点O 开始，把0—2π这段分成12等份；⑤把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x 轴上对应的点重合；⑥用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来即得.如图（2）正弦函数y=sinx ，x∈R 的图象——正弦曲线.因为sin(x+k·2π)=sinx，k∈Z ，所以正弦函数y=sinx 在x∈［-2π,0］，x∈［2π,4π］，x∈［4π,6π］，…时的图象与x∈［0,2π］的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把y=sinx 在x∈［0,2π］的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…就可得到y=sinx,x∈R 的图象（如下图）.2.作正弦函数简图的方法——五点法观察正弦函数的图象，可以看出下面五点：（0，0），（2π，1），（π，0），（π23，-1），（2π，0）. 在确定图象形状时起着关键作用，这五点描出后，正弦函数y=sinx,x∈［0,2π］的图象的形状就基本上确定了.在精确度要求不高的情况下，我们常用“五点法”作y=sinx 在［0，2π］上的近似曲线.3.正弦函数的性质（1）值域：从正弦线可以看出，正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=-1之间，从这两方面来看，都表明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［-1，1］（x∈R ）.(2)周期性①周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f(x±T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.②正弦函数的周期从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)是它的周期，最小正周期是2π.正弦函数的周期也可由诱导公式sin （x+2kπ）=sinx(k∈Z )得到，由sin (x+2kπ)=sinx(k∈Z )可知，当自变量x 的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦函数值重复出现，即正弦函数具有周期性，且周期为2kπ(k∈Z )，最小正周期为2π.（3）奇偶性正弦函数y=sin(x∈R )是奇函数.①由诱导公式sin(-x)=-sinx 可知，上述结论成立.②反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称.③正弦曲线是中心对称图形，其所有对称中心为（kπ,0），正弦曲线也是轴对称图形，其所有对称轴方程为 x=kπ+2π,k∈Z . （4）单调性 在正弦函数的一个周期中，如［-2π，π23］由正弦线或正弦曲线都可以看出，当x 由-2π增加到2π时，sinx 由-1增加到1；当x 由2π增大到π23时，sinx 由1减小到-1；情况如下表： x -2π 0 2π π π23 sinx -1 0 1 0 -1 由正弦函数的周期性可知：正弦函数y=sinx 在每一个闭区间［-2π+2kπ, 2π+2kπ］(k∈Z )上，都从-1增大到1，是增函数；在每一个闭区间［2π+2kπ, π23+2kπ］(k∈Z )上都从1减小到-1，是减函数. 活学巧用【例1】 作出函数y=tanx·cosx 的图象.解析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.变形：当cosx≠0，即x≠2π+kπ(k∈Z )时， 有y=tanx·cosx=sinx，即y=sinx(x≠2π+kπ,k∈Z ). 其图象如下图：点评:函数y=tanx·cosx 的图象是y=sin(x≠2π+kπ,k∈Z )的图象，因此作出y=sinx 的图象后，要把x=2π+kπ(k∈Z)的这些点去掉. 【例2】作函数y=x 2cos 1-的图象.解析：同例1，首先将y=x 2cos 1-变形，然后作图. y=x 2cos 1-化为y=|sinx|，即y=⎩⎨⎧∈+<<+-∈+≤≤))(222(,sin ))(22(,sin Z k k x k x Z k k x k x πππππππ其图象如下图：【例3】 若sinx=a-1有意义，则a 的取值范围是___________. 解析：因为|sinx|≤1，所以|a-1|≤1，∴-1≤a -1≤1，∴0≤a≤2.答案：0≤a≤2【例4】 求下列函数的周期.（1）y=sin21x ；(2)y=2sin(3x -6π). 解析：（1）如果令m=21x ，则sin 21x=sin m 是周期函数且周期为2π. ∴sin(21x+2π)=sin 21x ，即sin ［21(x+4π)］=sin 21x. ∴y=sin 21x 的周期是4π. （2）∵2sin(3x -6π+2π)=2sin(3x -6π)， 即2sin ［1[]3(x+6π)-6π］=2sin(3x -6π)， ∴2sin(3x -6π)的周期是6π. 【例5】 若函数f(x)是奇函数，当x ＞0时,f(x)=x 2-sinx ，当x ＜0时，求f(x)的解析式.解析：设x ＜0，则-x ＞0，因为x ＞0时，f(x)=x 2-sinx ，∴f(-x)=x 2-sin(-x)=x 2+sinx ，又∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=x 2+sinx ，即f(x)=-x 2-sinx ，即当x ＜0时有f(x)=-x 2-sinx. 【例6】 写出函数y=sin(2x+4π)图象的对称轴方程及对称中心坐标. 解析：令2x+4π=kπ+2π (k∈Z )得x=2πk +8π(k∈Z )，令2x+4π=kπ(k∈Z )得x=k 2π-8π(k∈Z )， ∴函数y=sin(2x+4π)图象的对称轴方程为x=k 2π+8π(k∈Z ),对称中心坐标为（2πk -8π，0）(k∈Z ).【例7】 求函数y=2sin(4π-x)的单调区间. 解析：y=2sin(4π-x)=-2sin(x-4π)， ∵y=sinu(u∈R )的递增、递减区间分别为［2kπ-2π,2kπ+2π］(k∈Z )，［2kπ+2π,2kπ+23π］(k∈Z )， ∴函数y=-2sin(x-4π)的递增、递减区间分别由下面的不等式确定： 2kπ+2π≤x -4π≤2kπ+π23 (k∈Z )， 2kπ-2π≤x -4π≤2kπ+2π (k∈Z )得 2kπ+43π≤x≤2kπ+47π(k∈Z ) 2kπ-4π≤x≤2kπ+43π(k∈Z )， ∴函数y=2sin(4π-x)的单调递增区间、单调递减区间分别为 ［2kπ+43π,2kπ+47π］(k∈Z )，［2kπ-4π,2kπ+43π］(k∈Z ).。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性
1.3.2 三角函数的图象与性质(二)[学习目标] 1.掌握y＝sin x与y＝cos x的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．[知识链接]1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称．2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立．3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少．答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.[预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上单调递减 最值在x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max＝1；在x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1在x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；在x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min＝－1要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间． 解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间， 即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log 12cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )，亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )．亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z .∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，且y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，∵0°<150°<170°<180°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x .从而原式就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.要点四 三角函数的奇偶性 例4 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )； (3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ，f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称． 又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x ) ∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )] ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1， ∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z .∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．规律方法 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系．跟踪演练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x ) ＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12.∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z .∴f (x )既是奇函数又是偶函数.1．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最小值等于________． 答案 －2解析 y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－sin 2x ＋2sin x ＋1＝－(sin x －1)2＋2.当sin x ＝－1时，y min ＝－2.2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.3．求下列函数的单调增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)要求原函数的增函数，即求函数y ＝sin x2的减区间．由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3.要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0. ∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )．整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域． 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)， g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内，g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]．1.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．一、基础达标1．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π2．函数y ＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是_______________________________________ _________________________________． 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 3．函数y ＝2sin x的单调增区间是________________．答案 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )解析 函数y ＝2x为增函数，因此求函数y ＝2sin x的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间．4．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )＝________. 答案 f (x )＝sin |x |，x ∈R解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， ∵f (－x )＝f (x )， ∴x <0时，f (x )＝－sin x . ∴f (x )＝sin |x |，x ∈R .5．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立．6．若|x |≤π4，则函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是________．答案1－22解析 由cos 2x ＝1－sin 2x ， 故f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，由|x |≤π4，由图象知t ∈[－22，22]， 故函数化为y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54，当t ＝－22时，y min ＝12－22＝1－22. 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(cos x )； (2)f (x )＝1＋cos x ＋52π1－cos x ＋52π.解 (1)定义域为R ，f (－x )＝sin(cos(－x ))＝sin(cos x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵cos(x ＋52π)＝cos(x ＋π2)＝－sin x .∴f (x )＝1－sin x1＋sin x .∵1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1， ∴x ≠2k π－π2(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π－π2，k ∈Z }，不关于原点对称．∴原函数为非奇非偶函数． 二、能力提升8．下列函数中，周期为π，且在[π2，3π4]上为增函数的有________(只填相应函数的序号)． ①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；②y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2；③y ＝|sin x |；④y ＝|cos x |. 答案 ①②④解析 四个函数的周期都是π，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上为增函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上为增函数，①②都符合；⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π2＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 3π4＝22，③不是增函数，不符合；⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π2＝0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 34π＝22，④符合，故填①②④. 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋a sin x(0＜x ＜π)， ①有最大值而无最小值；②有最小值而无最大值；③有最大值且有最小值；④既无最大值又无最小值．其中正确命题的序号是________．答案 ②解析 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，所以f (x )≥1＋a ，即函数f (x )有最小值而无最大值．10．下列函数中的奇函数的是________．①y ＝－|sin x |；②y ＝sin(－|x |)；③y ＝sin |x |；④y ＝x sin |x |.答案 ④解析 利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数．11．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围． 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω. ∴f (x )的单调递增区间是[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]，k ∈Z . 根据题意，得[－π3，π4]⊆[－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω]．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值范围是(0，32]． 12．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . (1)当x ∈[－π，0]时，求f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )在[－π，π]上的函数简图；(3)当f (x )≥12时，求x 的取值范围． 解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．而当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x . ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时， f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x .又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x .∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x .(2)如图．(3)由于f (x )的最小正周期为π，因此先在[－π，0]上来研究f (x )≥12， 即－sin x ≥12，∴sin x ≤－12，∴－5π6≤x ≤－π6. 由周期性知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－56π，k π－π6，k ∈Z 时， f (x )≥12.三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值． 解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得 4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )． ∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730， 又k ∈Z ，∴k 不存在．令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
2013高二数学教案1.3.2《三角函数的图象与性质》(1)(苏教版必修4)
1.3.2 三角函数的图象与性质（1）教学目标：1．掌握正弦函数的图像和性质；2．培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；3．培养数形结合和化归转化的数学思想方法．教学重点：“五点法”画正弦函数图象；正弦函数的性质．教学难点：运用几何法画正弦函数图象．教学过程：一、问题情境问题1 如何精确的作出点C )3sin ,3(ππ. 问题2 能否借用作点C )3sin ,3(ππ的方法，作出[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像呢？二、学生活动学生分组讨论研究，总结交流成果．一方面分组合作探究，展示动手结果，上黑板板演，同时回答同学们提出的问题．问题3 如何得到R x x y ∈=,sin 的图象？问题4 如何更加快捷地画出正弦函数的图象呢？问题5 请同学们观察，在[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，起关键作用的点有 几个？引导学生自然得到五个关键点．三、建构数学1．课件演示：正弦函数图象的几何作图法：2．五点法作图：描出五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数 的简图．小结作图步骤：1．列表． 2．描点． 3．连线．四、数学运用例1 利用“五点法”画出函数[]π2,0,1sin ∈+=x x y 的简图．变式一：[]π2,0,2sin ∈=x x y 变式二：[]π2,0,sin ∈=x x y问题6 正弦函数有哪些主要性质？函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性 （学生总结）．例2 已知函数2)32sin(++=πx y（1）求函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合．（2）求函数的单调增区间五、小结1．正弦曲线：（1）几何画法． （2）五点法．2．注意与三角函数线等知识的联系；3．正弦函数的性质及应用．。
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1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法，能通过观察正切函数图象，利用类比思想归纳正切函数的性质；
2．提升学生作图能力，分析能力和解决问题的能力，进行数形结合思想和类比思想的渗透．
【课前预习】
1．正切函数的图象
2.性质：
(1)正切函数 的最小正周期为____________； 的最小正周期为_____________.
(1)正切函数 的最小正周期为____________； 的最小正周期为_____________.
(2)正切函数 的定义域为____________；值域为_____________.
(3)正切函数 在每一个开区间__________内为增函数.
(4)正切函数 为___________函数.（填：奇或偶）图象关于对称
课题:1.3.2三角函数的图象与性质（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法，能通过观察正切函数图象，利用类比思想归纳正切函数的性质；
2．提升学生作图能力，分析能力和解决问题的能力，进行数形结合思想和类比思想的渗透．
【课前预习】
1．正切函数的图象
2.性质：
(2)正切函数 的定义域为____________；值域为_____________.
(3)正切函数 在每一个开区间__________内为增函数.
(4)正切函数 为___________函数.（填：奇或偶）图象关于对称
【课堂研讨】
求函数 的定义域.
不求值，判断下列正切值的大小：
例3求函数 的周期、单调区间.
4.不求值比较下列正切值的大小:
【课后巩固】
1.不求值比较下列正切值的大小:
2.求下列函数的定义域:
(2) y＝tan(x＋ )
3.求函数 的单调增区间
4.判断函数 的奇偶性
5.求函数 的值域
【课堂研讨】
求函数 的定义域.
不求值，判断下列正切值的大小：
例3求函数 的周期2三角函数的图象与性质（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．函数 满足下列哪些条件________．
①在 上单调递增；②为奇函数；
③以 为最小正周期；④定义域为
2．函数y＝3tan(2x＋ )的周期为________
3.求下列函数的定义域:
(4) y＝tan(x＋ )
4.不求值比较下列正切值的大小:
【课后巩固】
1.不求值比较下列正切值的大小:
2.求下列函数的定义域:
(2) y＝tan(x＋ )
3.求函数 的单调增区间
4.判断函数 的奇偶性
5.求函数 的值域
课题:1.3.2三角函数的图象与性质（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学后反思】
课题:1.3.2三角函数的图象与性质（3）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．函数 满足下列哪些条件________．
①在 上单调递增；②为奇函数；
③以 为最小正周期；④定义域为
2．函数y＝3tan(2x＋ )的周期为________
3.求下列函数的定义域:
(4) y＝tan(x＋ )