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完全平方公式
完全平方公式编辑词条完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
目录1学习方法公式特征完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的重要公式方法。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
1学习方法公式特征（一）学会推导公式：（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（三）这两个公式的结构特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．aa+2ba+bb=(a+b)²一、理解公式左右边特征（一）学会推导公式（这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性；（二）学会用文字概述公式的含义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．（三）这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）；3、公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
完全平方公式知识点分解
完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。
假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。
而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。
根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。
-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。
-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。
4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。
例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。
常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。
解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。
由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
第十四章 14.2 14.2.2 完全平方公式
解：原式＝(2000＋18)2＝20002＋2×2000×18＋182＝ 4000000＋72000＋324＝4072324.
5. 已知 x＋y＝4，xy＝2，试求： (1)x2＋y2 的值；
解：∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy， 又 x＋y＝4，xy＝2，∴x2＋y2＝42－2×2＝16－4＝12；
9. 已知多项式 A＝(x＋2)2＋x(1－x)－9.
(1)化简多项式 A 时，小明的结果与其他同学的不同， 请你检査．
小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出 现错误的是出错的是①；正确的解答过程为 正确的解
答过程为：A＝x2＋4x＋4＋x－x2－9＝5x－5 ．
(2)小亮说：“只要给出 x2－2x＋1 的合理的值，即可 求出多项式 A 的值．”小明给出 x2－2x＋1 值为 4，请你 求出此时 A 的值．
．
【解析】由题意，①9x2＋1－9x2＝12；②9x2＋1－1 ＝(3x)2；③9x2＋1±6x＝(3x±1)2；④9x2＋1＋841x4＝(92x2＋ 1)2.
7. 计算： (1)(x＋3)(x－3)(x2－9)； 解：原式＝x4－18x2＋81； (2)(a＋2b－c)(a－2b－c)；
解：原式＝a2－2ac＋c2－4b2.
4. 已知 a－b＝2，b－c＝3，则 a2－2ac＋c2＝ 25 ．
5. 若x＋1x2＝9，则x－1x2的值为 5
．
6. (易错题)多项式 9x2＋1 加上一个单项式后，能成为
一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 6x 或
－6x 或841x4 或－9x2 或－1
解：(m＋n)2＝69.
1．完全平方公式的特征：左边是一个二项式的完全 平方，右边是一个二次三项式，其结构是：“首平方，尾 平方，积的 2 倍放中央”．
完全平方公式(完整知识点)
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式(与平方差公式)③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的 2 倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的 2 倍；2、左边两项符号相同时，右边各项全用”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“ - ”两项乘积的 2 倍同号加、异号减，符号添在异号前。
(可以背下来)变形的方法( 1 ) (-4x+3y)2 ( 2 ) (-a-b)2解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2解答：原式=9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2( 1 ) (x+y)(2x+2y)( 2 ) (a+b)(-a-b)( 3 ) (a-b)(b-a)解答：( 1)原式=2(x+y)(x+y)=2(x+y) 2=2x2+4xy+2y2 ( 2 )原式 =-(a+b)(a+b)=-(a+b) 2= -(a2+2ab+b2) ( 3 )原式 =-(a-b)(a-b)=-(a-b) 2= -(a2-2ab+b2)数字变形的应用( 1 ) 9992( 2 ) 100.12解答：( 1 )原式=(1000-1)2 =998001( 2 )原式=(100+0.1)2=10020.01公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。
求下列各式的值：( 1 ) a2+b 2； ( 2 ) (a-b)2解答：( 1 )原式=(a+b)2-2ab=10-2=8( 2 )原式=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=10-4=6注意事项1、左边是一个二项式的完全平方。
初中数学《完全平方公式》知识点归纳
初中数学《完全平方公式》知识点归纳初中数学《完全平方公式》知识点归纳完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。
帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
（a b）2=a 2ab b ，（a-b）2=a -2ab b 。
（1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
（2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
结构特征：1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。
使用误解：①漏下了一次项；②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
注意事项：1、左边是一个二项式的完全平方。
2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。
3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
完全平方公式例题解析：（一）、变符号例：运用完全平方公式计算：（1）(-4x 3)（2）(-a-b)分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成原公式中的b，即可直接套用公式计算。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
完全平方公式-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
完全平方公式【知识梳理】一．完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．二．完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b 的长方形的面积和作为相等关系）【考点剖析】一．完全平方公式（共21小题）1．（2022秋•徐汇区期末）下列等式中，能成立的是（）A．（a+b）2＝a2+ab+b2B．（a﹣3b）2＝a2﹣9b2C．（1+a）2＝a2+2a+1D．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣4【分析】根据完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（a﹣3b）2＝a2﹣6ab+9b2，故本选项错误；C、（1+a）2＝1+2a+a2，故本选项正确；D、（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，注意：平方差公式是：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，完全平方公式是：（a±b）2＝a2±2ab+b2．2．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b+c）2．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣2b）2+c2+2c（a﹣2b）＝a2﹣4ab+4b2+c2+2ac﹣4bc．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．（2022秋•静安区校级期中）计算：（a﹣2b﹣3c）2＝．【分析】原式可化为[（a﹣2b）﹣3c]2，再应用完全平方公式进行计算即可得出答案．【解答】解：（a﹣2b﹣3c）2＝[（a﹣2b）﹣3c]2＝（a﹣2b）2﹣6c（a﹣2b）+9c2＝a2﹣4ab+4b2﹣6ac+12bc+9c2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式进行求解是解决本题的关键．4．（2022秋•静安区校级期中）已知a+b＝6，a2+b2＝20，则ab的值为．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵a+b＝6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝20，即36﹣2ab＝20，解得ab＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．5．（2022秋•青浦区校级期末）计算：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2．【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【解答】解：（x+2）（4x﹣3）﹣（2x﹣1）2＝4x2﹣3x+8x﹣6﹣4x2+4x﹣1＝9x﹣7．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键．6．（2022秋•静安区校级期中）已知ab＝3，a﹣b＝4，求2a2+7ab+2b2的值．【分析】根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，由ab＝3，a﹣b＝4，即可算出a2+b2的值，再由2a2+7ab+2b2，可得2（a2+b2）+7ab，代入计算即可得出答案．【解答】解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝22，2a2+7ab+2b2＝2（a2+b2）+7ab＝2×22+7×3＝44+21＝65．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键．7．（2022秋•宝山区校级期中）计算：（a+2b）2﹣2b（a﹣b）．【分析】根据完全平方公式及整式加减法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝a2+4ab+4b2﹣2ab+2b2＝a2+2ab+6b2．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及整式加减法则进行求解是解决本题的关键．8．（2022秋•黄浦区期中）计算：（x+y）2﹣2（x﹣y）（2x+y）．【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣2（2x2﹣xy﹣y2）＝x2+2xy+y2﹣4x2+2xy+2y2＝﹣3x2+4xy+3y2．【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式，掌握其公式结构是解题关键．9．（2022秋•奉贤区期中）计算：（2a+b）（a﹣2b）﹣（2a﹣b）2．【分析】根据完全平方公式、平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣（4a2﹣4ab+b2）＝2a2﹣3ab﹣2b2﹣4a2+4ab﹣b2＝﹣2a2+ab﹣3b2．【点评】本题考查完全平方公式、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．10．（2022秋•黄浦区期中）计算：（a﹣b+2c）2＝．【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．【解答】解：原式＝（a﹣b）2+4c（a﹣b）+4c2＝a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．故答案为：a2﹣2ab+b2+4ac﹣4bc+4c2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（2022秋•嘉定区校级期中）计算：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）．【分析】利用完全平方公式以及多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（2x﹣5）2﹣（2x+3）（3x﹣2）＝4x2﹣20x+25﹣（6x2﹣4x+9x﹣6）＝4x2﹣20x+25﹣6x2﹣5x+6＝﹣2x2﹣25x+31．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．12．（2022秋•浦东新区期中）今年各地疫情时有出现，为了不影响学习，学校组织同学们进行网上学习，课堂上老师布置了四个运算题目，小刚给出了四个题的答案，小刚做对的题数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：①（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误；②（﹣a2）⋅a3＝﹣a5，原计算错误；③（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2，原计算错误；④a2+4a2＝5a2，原计算错误．所以小刚做对的题数是0个，故选：A．【点评】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项，正确掌握积的乘方的运算法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、合并同类项法则是解题的关键．13．（2022秋•浦东新区期中）如果a﹣b＝4，ab＝1，则a2+b2＝．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵a﹣b＝4，ab＝1，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查了完全平方公式和立方差公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．14．（2022秋•闵行区期中）已知x+y＝6，xy＝7，那么（3x+y）2+（x+3y）2的值为．【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式＝10（x2+y2）+12xy，再进行配方得到原式＝10（x+y）2﹣8xy，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：原式＝9x2+6xy+y2+x2+6xy+9y2＝10x2+12xy+10y2＝10（x2+y2）+12xy＝10（x+y）2﹣8xy，当x+y＝6，xy＝7，原式＝10×62﹣8×7＝304．故答案为：304．【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（2022秋•嘉定区校级期末）计算：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可．【解答】解：（2x+y）2﹣y（y+4x）+（﹣2x）2＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4xy+4x2＝8x2．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．（2022秋•嘉定区期中）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求下列各式的值：（1）a2+b2；（2）ab．【分析】（1）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相加即可求得a2+b2的值；（2）先利用完全平方公式将等式（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13的左边展开，然后两式相减即可求得ab的值．【解答】解：（1）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴a2+b2＝[（a+b）2+（a﹣b）2]÷2＝（17+13）÷2＝15；（2）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13，∴ab＝[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷4＝（17﹣13）÷4＝1．【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键．17．（2022秋•闵行区期中）计算：（2x﹣3y）（3x+2y）﹣（2x﹣3y）2．【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解．【解答】解：原式＝6x²+4xy﹣9xy﹣6y²﹣（4x²﹣12xy+9y²）＝6x²﹣5xy﹣6y²﹣4x²+12xy﹣9y²＝2x²+7xy﹣15y²．【点评】本题考查整式的运算，正确使用多项式乘多项式的运算法则和完全平方差公式是求解本题的关键．18．（2022秋•宝山区校级月考）解方程：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5）．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则解答即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝（x+3）（2x﹣5），2（x2﹣6x+9）＝2x2﹣5x+6x﹣15，2x2﹣12x+18＝2x2+x﹣15，﹣13x＝﹣33，∴x＝．【点评】本题考查了完全平方公式和多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则．19．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣＝3，求x2+和x4+的值．【分析】把该式子两边平方后可以求得x2+的值，再次平方即可得到x4+的值．【解答】解：∵x﹣＝3，（x﹣）2＝x2+﹣2∴x2+＝（x﹣）2+2＝32+2＝11．x4+＝（x2+）2﹣2＝112﹣2＝119．【点评】本题考查了完全平方公式，利用x和互为倒数乘积是1与完全平方公式来进行解题．20．（2022秋•长宁区校级期中）已知x﹣y＝2，xy＝80，求x2+y2的值．【分析】利用完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，（2分）∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy（2分），当x﹣y＝2，xy＝80时，x2+y2＝22+2×80＝164．（3分）若有其他方法，可参照答案，给分．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy是解决问题的关键．21．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考：计算472时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：47接近整十数50，50﹣47＝3；第二步：取50的一半25，25﹣3＝22；第三步：32＝9第四步：把第二、三步综合起来，472＝（25﹣3）×100+32＝2209．（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1492＝（﹣）×100+2＝2401．（2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式．（50﹣n）2＝（﹣）×100+2．（3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性．（4）写出利用这个公式计算562＝3136的过程．（5）计算63×67也有一个简单的口算方法，具体步骤如下：第一步：6×（6+1）＝42；第二步：3×7＝21第三步：前面两步的结果综合起来，63×67的结果是4221．写出上述过程所依据的计算公式．（6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性．【分析】（1）根据材料中的方法计算即可；（2）同理可得结论；（3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论；（4）代入（2）中的公式可得结论；（5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可；（6）根据多项式乘以多项式法则计算即可．【解答】解：（1）依此方法计算49：第一步：49接近整十数50，50﹣49＝1；第二步：取50的一半25，25﹣1＝24；第三步：12＝1；第四步：把第二、三步综合起来，492＝（25﹣1）×100+12＝2401．故答案为：25，1，1；（2）（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2．故答案为：25，n，n；（3）∵左边＝2500﹣100n+n2，右边＝n2﹣100n+2500，∴左边＝右边，∴（50﹣n）2＝（25﹣n）×100+n2；（4）562＝（50+6）2＝（25+6．（5）写出上述过程所依据的计算公式：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；故答案为：（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）；（6）∵左边＝（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝（10a+b）（10a﹣b+10）＝100a2﹣10ab+100a+10ab﹣b2+10b＝100a2+100a+10b﹣b2，右边＝a（a+1）×100+b（10﹣b）＝100a（a+1）+b（10﹣b）＝100a2+100a+10b﹣b2，∴（10a+b）[10a+（10﹣b）]＝a（a+1）×100+b（10﹣b）．【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键．二．完全平方公式的几何背景（共5小题）22．（2022秋•嘉定区校级期末）一个正方形的边长为acm，若它的边长增加5cm，则新正方形面积增加了（）cm2．A．25B．10a C．25+5a D．25+10a【分析】完全平方公式（a+b）＝a2+2ab+b2的应用．【解答】解：原正方形的面积＝a2（cm2）新正方形的面积＝（a+5）2＝（a2+10a+25）cm2所以增加的面积＝（10a+25）cm2．故本题选D．【点评】本题主要是考查了完全平方公式的应用．23．（2022秋•宝山区校级期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个面积相等的小正方形纸片，然后将其中一张小正方形纸片再剪成四个面积相等的小正方形纸片，如此剪下去，第n次剪好后，所得到的所有正方形纸片的个数是（）A．4n B．3n C．3n+1D．2n+2【分析】通过观察已知图形可得：每剪一次都比上一次增加3个正方形纸片；所以可得规律为：第n次操作后共得到4+3（n﹣1）．【解答】解：分析可得：每次都比上一次增加3个．∴第n次操作后共得到4+（n﹣1）×3＝（3n+1）个．故选：C．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力．24．（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（2a+b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为（）A．B．C．4a2+b2D．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解．【解答】解：（）2＝＝++，故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键．25．（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（8a+4b）（其中a＞0，b＞0），则该正方形的面积为．【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可．【解答】解：一个正方形的周长为（8a+4b），所以边长为（2a+b），所以面积为（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，故答案为：4a2+4ab+b2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．26．（2022秋•嘉定区校级期中）如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于b的等式．【分析】空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可．【解答】解：空白部分为正方形，边长为：（a﹣b），面积为：（a﹣b）2．空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023·上海·七年级假期作业）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A ．()()4774x y y x −−− B ．()()4774x y x y −−+ C ．()()4774x y y x −−+ D ．()()4747x y x y −+【答案】C【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】A ：()()4774(47)(47)x y y x x y x y −−−=−−+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； B ：()()()()47744774x y x y x y x y −−+=−++，不能用完全平方公式运算，不符合题意；C ：()()()2477447x y y x x y −−+=−+，能用完全平方公式运算，符合题意；D ：()()4747x y x y −+，不能用完全平方公式运算，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校联考期中）已知5x y +=−，3xy =，则22x y +=（ ）【答案】C【分析】根据完全平方公式，即可解答． 【详解】解：∵5x y +=−，3xy =， ∴()()2222252325619x y x y xy +=+−=−−⨯=−=，故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． 3．（2023秋·上海青浦·七年级校考期末）下列计算中错误的有（ ）①()23320x x x −+⋅=；②222()2x y x xy y −−=−+；③248236x x x ⋅=；④22()()x y x y x y −−+=−A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式、单项式乘法的计算法则计算出结果即可判断．【详解】解：①()2523630x x x x x −++=⋅≠，原计算错误；②22222()22x y x xy y x xy y −−=++≠−+，原计算错误；③24682366x x x x ⋅=≠，原计算错误；④()22222(2)()x y x y y xy x y x x y =−−+=−+−≠−−−，原计算错误．综上，四个计算都是错误的， 故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法，掌握运算法则是解题的关键．4．（2022秋·七年级单元测试）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a ，宽为b ，a b ＞）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28.下列结论中，正确的有（ ）.① ()228a b −=；② 26ab =；③ 2280a b +=；④ 2264a b −= A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】A【分析】根据拼图得出，（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=26，再根据公式变形逐项进行判断即可． 【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b ，中间的小正方形的边长为a-b ，∴（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，ab=132284−=26，故①，②正确，∴a2+2ab+b2=132，∴a2+b2=132-2×26=80，故③正确， 由于（a+b ）2=132，（a-b ）2=28，而a ＞b ，∴，∴a2-b2=（a+b ）（a-b ）=④不正确， 故选：A ．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确判断的前提．5．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）一个正方形的边长为cm a ，若它的边长增加5cm ，则新正方形面积增加了（ ）2cm ．A ．25B ．10aC ．255a +D ．2510a +【答案】D【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：22(5)1025a a a +−=+，即新正方形的面积增加了()2510a +2cm ，故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2023·上海·七年级假期作业）已知：3a b c ++=，2223a b c ++=，则201120112011a b c ++的值是（ ） A ．0 B ．3C ．20052D ．200532⋅【答案】B【分析】根据已知，得到()()222230a b c a b c ++−+++=，再利用完全平方公式，得出()()()2221110a b c −+−+−=，然后根据平方的非负性，求得1a b c ===，代入计算即可求出201120112011ab c ++的值．【详解】解：3a b c ++=，2223a b c ++=，()()2222332330a b c a b c ∴++−+++=−⨯+=，()()()2222121210a ab bc c ∴−++−++−+，()()()2221110a b c ∴−+−+−=，10a ∴−=，10b −=，10c −=， 1a b c ∴===，0201201120112111201120111111113a b c ∴++=+=++=+，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，代数式求值，有理数的乘方，根据已知得出()()()2221110a b c −+−+−=是解题关键．二、填空题7．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个答案即可）【答案】6x （答案不唯一）【分析】利用完全平方公式解答即可．【详解】解：()2296131x x x ++=+．故答案为：6x （答案不唯一）【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．8．（2022秋·上海·七年级校联考期末）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为__________． 【答案】6±【分析】这里首末两项是x 和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故6k =±． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，6k ∴=±故答案为：6±．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9．（2021秋·上海嘉定·七年级统考期中）已知：二次三项式239x mx −+是一个完全平方式，则 m =__________． 【答案】2±【分析】由于m 的正负未知，根据完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，从而得到2m =±．【详解】解：由完全平方公式可知()22239369x mx x x x −+=±=±+，36m ∴−=±，解得2m =±，故答案为：2±．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟记并理解完全平方公式是解决问题的关键．10．（2022秋·上海·七年级校考阶段练习）已知3a b +=，2ab =，则代数式22a b +的值为_______． 【答案】5【分析】首先将22a b +变形为2()2a b ab +−，然后代入求解即可．【详解】∵3a b +=，2ab =，∴22a b +2()2a b ab =+−2322=−⨯5=．故答案为：5．【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将22a b +变形为2()2a b ab +−．11．（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）已知6a b +=，2220a b +=，则ab 的值为________． 【答案】8【分析】先把6a b +=两边进行平方，再根据2220a b +=，即可得到ab 的值．【详解】解：∵6a b +=，2220a b +=，∴222()236a b a b ab +=++=，即20236ab +=，∴8ab =， 故答案为：8．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．【答案】2【分析】根据题意可知，12m m +=，将等式左右两边同时平方即可求出221m m +的值． 【详解】∵12m m +=， ∴21()4m m +=， ∴22124m m ++=， ∴2212m m +=【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记完全平方公式的常见变形公式是解此类题的关键． 13．（2023·上海·七年级假期作业）已知3x y −=，2229x y +=，那么xy =________． 【答案】10【分析】根据完全平方公式变形即可求解．【详解】解：∵3x y −=，2229x y +=，∴()()222292920x y x y xy −−+=−=−=−∴10xy =， 故答案为：10．【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．【答案】 14 194【分析】根据完全平方公式得出2221112x x x x x x ⎛⎫+=+−⋅⋅⎪⎝⎭，代入求出即可；根据完全平方公式得出2424211x x x x ⎛⎫+=+− ⎪⎝⎭ 2212x x ⋅⋅，代入求出即可．【详解】解： 14x x +=，∴2116x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴221216x x ++=，∴22114x x +=∴2221196x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴4412196x x ++=∴441194x x +=．故答案为：14；194．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，能正确运用完全平方公式进行变形是解答此题的关键，注意：完全平方公式为()2222a b a ab b +=++和()2222a b a ab b −=−+．本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累1x x +的变化方式．15．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）若216x ax ++是一个完全平方式，则实数a 的值为___________ 【答案】8±/8−或8/8或8−【分析】根据完全平方式的一般形式222a ab b ±+求解即可．【详解】解：216x ax ++是一个完全平方式，248ax x x ∴=±⋅=±， 8a ∴=±,故答案为：8±．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的一般形式是解答的关键．【答案】7【分析】将方程两边同时除以字母x ，把整式方程化为分式方程，再结合完全平方公式及其变式即可求解． 【详解】解：将方程2310x x −+=两边同时除以字母x 得：130x x −+=，13x x ∴+=21()9x x ∴+=22129x x ∴++=2217x x ∴+=故答案为：7．【点睛】本题考查完全平方公式及其变式，掌握相关知识是解题关键．17．（2023·上海·七年级假期作业）如果25m m +=，那么代数式的()()222m m m −++值为___________． 【答案】14【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值． 【详解】解：()()222m m m −++22244m m m m =−+++ 2224m m =++∵25m m +=，∴原式()2=24=254=14m m ++⨯+．故答案为：14．【点睛】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．18．（2023·上海·七年级假期作业）请同学运用计算()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++，解决问题：已知x 、y 、z 满足2224y x z ++=，求()()()222x y y z z x −+−+−的最大值是______． 【答案】12【分析】根据已知条件化简()()()222x y y z z x −+−+−，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解．【详解】∵2224y x z ++=， ∴()()()222x y y z z x −+−+−222222222x y y z z x xy yz xz =+++++−−−()2222x y z xy yz xz =++−−−()82xy yz zx =−++；∵()2222222x y z x y z xy xz yz++=+++++，∴()()2222222xy xz yz x y z x y z ++=+++−+∴原式=()22228x y z x y z +++−++()212x y z =−++， ()2x y z ++≥，∴原式12≤．故原式的最大值是12； 故答案为：12．【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．三、解答题【答案】222x y +，42【分析】根据完全平方公式展开，单项式乘以多项式把括号去掉，合并同类项，代入求值即可．【详解】解：22()[2()]x y x x x y −−−+22222(22)x xy y x x xy =−+−−− 2222222x xy y x x xy =−+−++222x y =+，把12x =，=2y −代入得，原式222211122(2)244242x y ⎛⎫=+=⨯+−=⨯+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（2022秋·上海·七年级校考期末）计算：()()()224321x x x +−−−． 【答案】97x −【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式计算，再合并同类项，即可求解．【详解】解：()()()224321x x x +−−224386441x x x x x =−+−−+−97x =−．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式法则，完全平方公式是解题的关键． 21．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）利用完全平方公式计算：230.2． 【答案】912.04【分析】根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：230.2()2300.2=+22302300.20.2=+⨯⨯+900120.04=++912.04=【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握2222a b a ab b ±=±+（）是解题的关键． 22．（2022秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）解方程：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+． 【答案】32x =【分析】利用完全平方公式及平方差公式去括号，再根据解方程的步骤求解即可．【详解】解：22(12)(1)3(1)(1)x x x x −−−=−+，2221441233x x x x x +−−−+=−，14123x x −−+=−， 23x −=−，解得：32x =．【点睛】此题考查了平方差公式，熟记平方差公式、完全平方公式及解一元一次方程的步骤是解题的关键．【答案】正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为268cm ．【分析】先根据题意列出长方形ABCD 关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案．【详解】解：设长方形ABCD 的长为cm a ，则宽为cm b ， ∵长方形ABCD 的周长为20cm ，面积为216cm ， ∴1016a b ab +==，，正方形ABGH 和ADEF 的面积之和为22a b +，∵()()2222221021668cma b a b ab+=+−=−⨯=．∴正方形ABGH和ADEF的面积之和为268cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键．24．（2023·上海·七年级假期作业）一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了452cm，这时原来边长是多少呢？【答案】6cm；9cm【分析】设原来正方形的边长为x cm，根据：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了452cm，列出方程即可求解；同样的方法即可解答边长减少问题．【详解】设原来正方形的边长为x cm．则()22345x x+=+，解得：6x=．∴正方形原来的边长为6cm．设原来正方形的边长为y cm，则()22345y y−=−，解得：9y=．∴正方形原来的边长为9cm．【点睛】本题主要考查完全平方公式在实际问题中的运用，正确理解题意、得出方程是解题的关键．【答案】(1)12(2)①6；②17 (3)92【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；（2）注意整体法的运用，将（4-x ）、（5-x ）看成一个整体去求解；（3）表示两个正方形的面积1S 、2S ，得到2218AC BC +=，结合22()6AC BC +=，推出9AC BC =，再去计算阴影部分面积．（1）∵8x y +=，∴22()8x y +=，22264x xy y ++=， 又∵2240x y +=， ∴22264()xy x y =−+＝64－40＝24，∴12xy =；（2）①222(4)(4)2(4)x x x x x x −+=−+−−＝16－10＝6；②222(4)(5)[(4)(5)]2(4)(5)x x x x x x −+−=−−−+−−＝2(1)28−+⨯＝17；（3）∵AB ＝6，∴22()6AC BC +=，∴22236AC AC BC BC ++=，又∵1218S S +=，∴2218AC BC +=，∴9AC BC =，∵BC ＝CF ， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．26．（2022秋·七年级单元测试）若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形，求阴影部分的面积．【答案】（1）5；（2）28．【分析】（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．【详解】解：（1）设（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3，∴MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，∴（x﹣1）·（x﹣3）＝48，∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴a＝8，b＝6，a+b＝14，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．即阴影部分的面积是28．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，主要围绕图形面积展开分析．。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是一种求解二次方程的方法，通常用于解决含有未知数的平方项和一次项的方程。
这个公式的公式表达形式为：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$完全平方公式在数学中具有广泛的应用，可以用来解决一元二次方程、分解因式、证明等问题。
首先，我们可以考虑一个特殊的二次多项式：$$(x+a)^2$$这里，a 是一个常数。
根据分配律，我们可以展开该二次多项式：$$(x+a)(x+a)=x^2+ax+ax+a^2$$合并相同项得到：$$x^2+2ax+a^2$$我们可以观察到，这个二次多项式中的平方项（$x^2$）和常数项（$a^2$）是完全平方的结构。
而一次项的系数项（$2ax$）是两个a的乘积的两倍。
这就是所谓的完全平方。
根据以上的推导，我们得出了完全平方的一般形式。
接下来，我们将利用完全平方公式来解决一元二次方程的问题。
对于一元二次方程$$ax^2+bx+c=0$$其中a、b、c是已知实数常数。
我们将该方程两边移项，并利用一种变形技巧，将方程转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将方程两边移项，使等式右边等于0，得到$$ax^2+bx=-c$$2.对于方程的左边，我们将其利用完全平方公式进行变形。
如果我们能找到一个常数k，使得左边可以变为$(x+k)^2$的形式，那么我们就可以利用完全平方公式直接求解。
3. 考虑到$(x+k)^2=x^2+2kx+k^2$，我们可以发现，当$b=2k$时，方程的左边可以写成完全平方形式。
4. 所以，我们可以得到方程$$ax^2+2kx+k^2=-c$$5.然而，我们不能直接将方程的右边变为k的平方形式，因为我们无法确切地知道k的值。
所以，我们需要做一个额外的变形。
6. 我们可以再次考虑方程的两边，得到$$ax^2+2kx+k^2+c=0$$7.现在，我们成功地将方程转化为一个完全平方的形式。
进一步观察，我们可以发现，左边的二次项是$x^2$的系数与$a$的乘积，一次项是$x$的系数与$2k$的乘积，常数项则是$k^2+c$。
完全平方公式知识点总结
完全平方公式知识点总结一、完全平方公式的定义在代数中，完全平方是指一个数的平方能够整除另一个数。
在一元二次方程中，如果其二次项和一次项可以写成一个完全平方的形式，那么我们就可以利用完全平方公式来求解方程的根。
二、完全平方公式的形式一元二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，而完全平方公式的一般形式为(a+b)^2 =a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为任意实数。
根据这个形式，我们可以进一步推导出完全平方公式的常用形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
三、完全平方公式的推导要理解完全平方公式的推导过程，我们可以通过简单的代数运算来进行推导。
假设我们有一个二次方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成完全平方的形式，即(x+3)^2 = 0。
通过这个例子，我们可以看到完全平方公式的推导过程，即将一元二次方程的一次项系数分解成两个相同的系数，然后将其写成完全平方的形式。
四、完全平方公式的应用技巧在使用完全平方公式求解一元二次方程时，我们需要注意以下几点应用技巧：1.将一元二次方程转化为完全平方的形式2.确定完全平方公式的形式，即(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^23.利用完全平方公式求解方程的根4.注意判断方程的解的情况，即判断判别式的正负性五、完全平方公式的拓展应用除了求解二次方程外，完全平方公式还可以在数学和科学领域的其他问题中进行拓展应用。
比如在几何学中，我们可以利用完全平方公式来求解圆的面积和周长；在物理学中，我们可以利用完全平方公式来分析物体的运动规律等。
总之，完全平方公式是求解一元二次方程的重要方法之一，它有着广泛的应用领域，对于学生来说掌握完全平方公式是十分重要的。
通过以上的知识点总结，相信大家对完全平方公式有了更深入的理解和掌握，希望能够帮助大家更好地学习和应用完全平方公式。
完全平方公式讲解
完全平方公式讲解完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式。
它通过分解复数式，使得许多数学问题变得简单明了，也可以用于求解非线性方程，是一个必不可少的数学理论的重要组成部分。
完全平方公式的定义：如果a和b是整数，那么a的完全平方公式表示为：a2 + b2 = c2，其中c也是一个整数。
这里的a和b是两个不同的整数，而c是由a和b构成的两个不同数字的和。
完全平方公式的算法：1.于两个不同的整数a和b，将它们求和，即a+b，然后将该和平方，即（a+b）2。
2.该平方值减去a2和b2，求出它们的差值，即（a+b）2 - a2 - b2。
3.后，根据此差值，结合a和b的值，求出c的值，即a2 + b2 = c2，即 c =（a2 + b2）。
完全平方公式的应用：1.以用完全平方公式来求解非线性方程，即求解x2+2x+1=0，在这个例子中，它可以转化为x2+2x= -1，那么用到完全平方公式，即x2+2x+1=0可以求得x=-1±√2。
2.全平方公式还可以帮助我们解决类似于a2+b2+c2+d2的多项式的求根问题。
例如：a2+b2+c2+d2=3，那么用到完全平方公式，可以求得a2+b2=3-c2-d2，即a2+b2=1，这样就可以把这个问题转变成一个完全平方的求根问题。
3.全平方公式还可以用来解决类似于a2+2ab+b2=c2+2cd+d2的多项式方程。
例如，a2+2ab+b2=4，c2+2cd+d2=9，那么可以分别求出a2，b2和c2，d2，即a2=2，b2=2，c2=7，d2=7，从而求出a，b，c，d的值。
完全平方公式是数学中重要的基本定理，它可以将复杂的高等数学问题简化成简单的形式，给予解决数学问题带来极大的便利，是研究数学理论的最佳工具之一。
它的应用非常广泛，几乎可以用于各种数学问题的解决，也可以用来解决复杂的非线性方程，对于提高数学水平有重要的意义。
第4讲 完全平方公式七年级数学下册同步精品讲义
第4讲 完全平方公式1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】完全平方公式1．（2021秋•白云区期末）计算：9992＝ ．2、 下列各式是完全平方式的是（）．知识精讲目标导航A ．412+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x3.（1）如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为 ； （2）如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为 . 4．（2021秋•天河区期末）若x +y ＝3，且xy ＝1，则代数式x 2+y 2的值为 ．5．（2021秋•永吉县期末）a ，b 是两个实数，若a +b ＝﹣3，ab ＝﹣10，则a 2+b 2的值为 ． 6．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若x ﹣y ＝8，xy ＝40．则x 2+y 2＝ ；（2）已知，若x 满足（25﹣x ）（x ﹣10）＝﹣15，求（25﹣x ）2+（x ﹣10）2值．7．（2021秋•通榆县期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：x （x +2y ）﹣（x +1）2+2x＝（x 2+2xy ）﹣（x 2+2x +1）+2x 第一步 ＝x 2+2xy ﹣x 2+2x +1+2x 第二步 ＝2xy +4x +1第三步（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 （2）写出此题正确的化简过程．8．（2021秋•成都期末）若实数x 、y 满足x ﹣2＝y ，则代数式x 2﹣2xy +y 2的值为 ．9．（2021秋•洪山区期末）若（2022﹣a ）（2021﹣a ）＝2020，则（2022﹣a ）2+（2021﹣a ）2＝ ．10．（2021秋•铁西区期中）已知（a ﹣b ）2＝6，（a +b ）2＝4，则a 2+b 2的值为 ． 11．（2021秋•海淀区期末）化简：（x ﹣2）2+（x +3）（x +1）．12．（2021秋•丰台区期末）计算：（2x ﹣3）2﹣（x ﹣3）（2x +1）．13.（1）21449x x ++； （2）29124x x -+； （3）214a a ++； （4）22111162a b ab -+．【知识拓展2】完全平方公式的几何背景14．（2021秋•越秀区期末）小张利用如图①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（2a +b ）2＝4a 2+4ab +b 2C ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4abD ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 215．（2021秋•丰台区期末）如图，根据正方形ABCD 的面积，写出一个正确的等式16．（2021秋•宽城区期末）【教材呈现】图①、图②、图③分别是华东师大版八年级上册数学教材第33页、第34页和第52页的图形，结合图形解决下列问题：（1）分别写出能够表示图①、图②中图形的面积关系的乘法公式：，．（2）图③是用四个长和宽分别为a、b的全等长方形拼成的一个正方形（所拼图形无重叠、无缝隙），写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、4ab之间的等量关系：．【结论应用】根据上面（2）中探索的结论，回答下列问题：（3）当m+n＝5，mn＝4时，求m﹣n的值．（4）当A＝，B＝m﹣3时，化简（A+B）2﹣（A﹣B）2．17．（2021秋•桦甸市期末）如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为．（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB ＝8，两正方形的面积和S1+S2＝28，求图中阴影部分面积．18．（2021秋•延边州期末）（1）在数学中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．若a﹣b＝3，ab＝2，则a2+b2＝；（2）如图1，线段AB上有一点C，以AC、CB为直角边在上方分别作等腰直角三角形ACE和CBF，已知，EF＝2，△ACF的面积为6，设AC＝a，BC＝b，求△ACE与△CBF的面积之和；（3）如图2，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝7，CN＝3，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为60，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为．【知识拓展3】完全平方式19．（2021秋•绥棱县期末）要使x2+kx+4是完全平方式，那么k的值是（）A．k＝±4B．k＝4C．k＝﹣4D．k＝±220．（2021秋•铁锋区期末）如果多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是．21．（2021秋•河东区期末）已知关于x 的多项式16x 2+mx +1是一个完全平方式，则常数m 的值是 ． 22．（2021秋•无为市期末）若4x 2﹣12x +k 是完全平方式，则k 的值为 ．类型一、公式法——完全平方公式 例1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-； （2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+； （4）4224816a a b b -+．【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．例2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．能力拓展【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.类型二、配方法分解因式例3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平方式？2222()2222b b b x bx x x x ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：2352x x +-.类型三、完全平方公式的应用例4、若a 、b 、c 为三角形的三边边长，试判断222222()4a b c a b +--的正负状况．【变式】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满足222166100a b c ab bc --++=， 求证：2a c b +=.题组A 基础过关练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•江油市期末）已知x 2﹣2mx +9是完全平方式，则m 的值为（ ） A ．±3B ．3C ．±6D ．62．（2021秋•集贤县期末）已知x 2﹣4x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（ ） A ．2B ．±2C ．4D ．±43．（2020秋•宜宾期末）若a +b ＝﹣3，ab ＝﹣10，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或7B ．0或﹣13C ．﹣7或7D ．﹣13或13二．填空题（共5小题）4．（2021秋•西城区期末）若a 2+ka +9是一个完全平方式，则常数k ＝ ．5．（2021秋•克东县期末）如果x 2﹣2（m +1）x +m 2+5是一个完全平方式，则m ＝ ． 6．（2021秋•郾城区期末）如果x 2+mx +9是完全平方式，则m ＝ ．7．（2021秋•双辽市期末）若x 2﹣2（m ﹣1）x +16是一个完全平方式，则为m 的值 ． 8．（2021秋•武威月考）下面两个图形能验证的乘法公式是 ．分层提分三．解答题（共4小题）9．（2021秋•汝南县期末）认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图①中的条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：如图②，两个正方形边长分别为m，n，如果m+n＝mn＝4，求阴影部分的面积．10．（2021秋•昌吉州期中）（1）已知a m＝3，a n＝4，求a2m+3n的值．（2）已知x+y＝6，，求x2+y2的值．11．（2021春•石景山区校级期中）已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）的值．12．（2021春•甘孜州期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．（2021秋•崇川区校级月考）若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（）A．11B．3C．11或27D．3或112．（2021春•迁安市期末）对于等式（a+b）2＝a2+b2，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（）甲：无论a和b取何值，等式均不能成立．乙：只有当a＝0时，等式才能成立．丙：当a＝0或b＝0时，等式成立．A．只有甲正确B．只有乙正确C．只有丙正确D．三人说法均不正确3．（2021春•沙坪坝区校级期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是关于x的完全平方式，则常数K的值为（）A．0B．﹣5或7C．7D．94．（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab5．（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（）A．30B．34C．40D．44二．填空题（共6小题）6．（2021秋•科左中旗期末）若a+b＝8，ab＝﹣5，则（a﹣b）2＝．7．（2021秋•勃利县期末）若4x2﹣2kx+1是完全平方式，则k＝．8．（2021秋•铁西区期末）多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m＝．9．（2021春•拱墅区校级期中）若25x2+1加上一个单项式能成为一个完全平方式，这个单项式是．10．（2021春•醴陵市期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是．11．（2021春•南浔区期末）建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是．三．解答题（共3小题）12．（2021秋•海淀区校级期末）已知x+y＝7，xy＝﹣8，求（1）x2+y2的值；（2）（x﹣y）2的值．13．（2021秋•吉林期末）有若干张正方形和长方形卡片如图①所示，其中A型、B型卡片分别是边长为a、b的正方形．C型卡片是长为a、宽为b的长方形．【操作一】若用图①中的卡片拼成一个边长为a+3b的正方形，则需要A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张；【操作二】将C型卡片沿如图①所示虚线剪开后，拼成如图②所示的正方形，则选取C型卡片张，阴影部分图形的面积可表示为；【操作三】如图③，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中．若图②中阴影部分的面积为4，图③中阴影部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为S A、S B、S C，求S A+S B+S C的值．14．（2021秋•滑县期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．题组C 培优拔尖练1．（2021秋•虹口区校级月考）若，x+＝3，则＝．2．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝．3．（2018秋•西湖区校级月考）已知m2+2km+16是完全平方式，则k＝．4．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝，并说出第7排的第三个数是．5．如果x﹣y＝+1，y﹣z＝﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx＝．6．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．7．已知a2+b2＝4，则（a﹣b）2的最大值为．二．解答题（共7小题）8．（2021秋•黄石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．9．（2021秋•平邑县期末）图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是；（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？10．（2021春•电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为或，这就验证了乘法公式（用式子表达）；（2）问题提出：如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：13+23+33＝．（要求自己构造图形并写出推证过程）．（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝．11．（2020秋•安岳县期末）阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解决问题：（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为平方单位．12．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．（1）用含a、b的代数式表示GC＝；（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝．13．（2021秋•石景山区校级期中）下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b）7的展开式共有项，（a+b）n的展开式共有项，各项的系数和是．14．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．（1）图2的阴影部分的正方形的边长是．（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．【方法1】S阴影＝；【方法2】S阴影＝；（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．。
用完全平方公式因式分解
所以-kXY =±2×4X·3Y 即： -k=±2×4×3=±24
所以：K= ±24 Page 41
对应练习：
式子4X2+MX+9是一个完全平方式， 试求M的值
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八年级 数学
第十五章 因式分解
拓展运用---试一试
三、利用因式分解计算
(2)18 x 81 x2
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例3 把下列各式因式分解。
a4 2a2b b2
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习题：(1) p4 4 p2q 4q2
(2)x4 2x2 y 2 y 4
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小结：
完全平方式具有：
1、是一个三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因 式分解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
注意： 1、有公因式要先提出公因式，再考虑平方差公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
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5、将下列各式分解因式
(1)x2 12 x 36
(2) 2xy x2 y2
2
(3) 3x
6xy
3y2
(4)16n2 8n(m n) (m n)2
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◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0, 求(a+2b)2005的值.
初一人教版七年级下册数学完全平方公式
初一人教版七年级下册数学完全平方公式知识点归纳总结一、完全平方公式的概念完全平方公式是数学中一种重要的恒等式，它描述了一个二次多项式如何表示为一个平方的形式。
具体地说，完全平方公式是形如a²±2ab+b²=(a±b)²的等式。
其中，a和b 是任意实数或代数式，它们可以是数字、字母、单项式或多项式。
二、完全平方公式的定义完全平方公式可以定义为：一个二次多项式，如果它可以表示为(a±b)²的形式，则称该二次多项式为完全平方公式。
其中，a和b可以是任意实数或代数式。
三、完全平方公式的性质唯一性：对于给定的a和b，完全平方公式(a±b)²是唯一的。
这意味着没有其他形式的二次多项式可以表示为完全平方。
展开性：完全平方公式可以展开为a²±2ab+b²的形式。
这是完全平方公式的一个重要性质，它允许我们将一个看似复杂的二次多项式简化为一个更简单的形式。
对称性：完全平方公式具有对称性，即(a+b)²=(b+a)²和(a-b)²=(b-a)²。
这意味着在完全平方公式中，a和b的位置可以互换而不影响公式的值。
四、完全平方公式的特点平方项：完全平方公式的第一项和最后一项都是平方项，即a²和b²。
这两项代表了公式中的主要部分，它们决定了公式的整体形状。
乘积项：完全平方公式的中间项是a和b的乘积的两倍，即±2ab。
这项是公式中的关键部分，它连接了平方项并使整个公式成为一个整体。
正负号：完全平方公式中的正负号取决于中间项是正是负。
如果中间项是正数，则公式为(a+b)²；如果中间项是负数，则公式为(a-b)²。
五、完全平方公式的规律二次项和一次项的关系：在完全平方公式中，二次项（a ²）和一次项（±2ab）之间存在密切的关系。
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乘法公式知识点分解 李锦扬整理一、 知识点1：直接套用公式-----注：（－a －b ）2=（a ＋b ）2 ，（－a ＋b ）2=（a －b ）2 1、（1）（a －b ）2；（2）（2x －3y ）2（3） ()252ba --（4）（2a ＋3b ）2（5）[x +（-y ）] 2 （6） ()22y x +-2．(1)(2a 1)(2a 1)-+=____________．(2) ()()=+-⋅--y x y x 464622______________． (3)21(b)2a -=____________．(4)2(2)x y -+=__________．(5)21()x x+=__________．二、 知识点2：重复套用公式（1）()()()22y x y x y x -+- （2）22)2()2(y x y x -+（3）24(2)(2)(4)(16)x x x x -+++（4）．某同学在计算)14)(14(32++时，把3写成4-1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算： 255116)14)(14()14)(14)(14()14)(14(322222=-=+-=++-=++．三、 知识点3：三项1．若(1)(1)3x y x y -+--=，则y x -= ．2. 2()a b c +-3. 2(23)x y z --4.（a +2b ﹣3）（a ﹣2b +3）；5. (3)(3)a b c a b c +---四、知识点4：完全四公式1．已知实数a 、b 满足ab=1，a +b=3．（1）求代数式a 2+b 2的值； （2）求a ﹣b 的值．（3）求代数式a 2-b 2的值； （4）求a 4﹣b 4的值．（5）求a 4+b 4的值． （6）|x ﹣y |2.已知()(),4,722=-=+b a b a 求22b a +和ab 的值3．已知a +b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ）A ．4 B ．3 C ．12 D ．14．若A y x y x +-=+22)2()2(成立，则A =5．已知2()13x y +=，2()1x y -=，求xy ，22x y +和44x y +的值。
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乘法公式知识点分解李锦扬整理一、知识点1：直接套用公式--- 注：(一a—b) 2= (a+b) 2 , (-a+b) 2= (a~b) 21、(1) (a-b) 2；(2) (2x-3y) 2(3) (- 2a - 5b}~(4) (2a+3b) 2(5) [ x+ (-y) ]2(6) (一x + 2y]2.(1)(2a—1)(2a+1) =. (2) (—6x~ 4y),(—6x^ + 4y) =.(3)(« —— b)2 = __________ . (4)(—x+2y)，= __________ . (5)(% + —)2 = ________2 x二、知识点2：重复套用公式(1)(x - y\x + y\x2 - y2) (2)(工 + 2)，)2(工一2)，)2(3) (X-2)(X +2)(X2+4)(X44-16)(4).某同学在计算3(4 + l)(42 +1)时，把3写成4T后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3(4 +1)(42 +1) = (4 -1)(4 +1)(42 +1) = (42 -1)(42 +1) = 162 -1 = 255 .请借鉴该同学的经验，计算：(1+?)(1+})(1+9)(1+}) + $?・三、知识点3：三项1.若(工一)，+ 1)(尤一)"1) = 3,贝^\x-y=.2.(a-^-b-c)23. (x-2y-3z)24.(a+2b-3) (a - 2b+3)；5. (a + 3b-c)(a-3b-c)四、知识点4：完全四公式1.已知实数a、b满足ab=l, a+b=3.(1)求代数式aM?的值；(2)求a・b的值.(3)求代数式a2f2的值；(4)求a4-b4的值.(5)求a'+b"的值. (6) |x - y |2.已知(a + bf = 7, (a 一切2 = 4,求a? +胪和泌的值3.己知a+b=4, a-b=3,则a2 - b2= ( ) A. 4 B. 3 C. 12 D. 14.若(x + 2y)2=(x-2y)2 + A 成立，则A=5.已知(x+y)2=13, (x-y)2=l,求个，*y2 ^x4+ / 的值。
6.已知：(a-b)七4, ab=—,贝】J (a+b) 2= .27.己知a - b=l, a2+b2=25,则a+b 的值为.8.已知x+y=7且xy=12,则当xVy时，—-—的值等于.x y9.若JV—y = 2,疽+),2=4,则/)i6 +),2oi6 =.五、知识点5： m+—m1.已知：工+上=2,那么亍+〈_ = X X3._____________________________ 若m2 - 5m+1 =0,则竖■= _______________ . m 2.若m为正实数，且m-l=3,则n?-皂广m in24.已知2n+2「n=k （n为正整数），贝0 4,4-n=.（用含k的代数式表示）六、知识点6：简便运算1. 10222.3. 88x924.5 . 20152-4030 X 2016+201626、20112・ 2010X20120.6252+1.25x0.375 4-0.37529x11x101x10001(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) ... (22n+l) +1七、知识点7：配方与最值1.已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（）A. 2B. ±2C. - 6D. ±62.代数式4*2 + kxy + *2是关于*,夕的一个完全平方式，则左二3.若*2 一6x +历是完全平方式，则BF4.将多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方.则添加单项式的方法共有多少种？清写出所有的式子及演示过程.5.将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：6.己知疽+/?2_6白_8/? + 25 = 0,求3a + 4b的值.7.求代数式x2+2x+/-4y + 9的最小值.8.无论寻y取何值时，j+y2_2x + i2)，+ 38的值是()A.正数B.负数C.零，D.非负数9.若ZkABC的三条边b、c满足等式疽+屏+C2=6Q +80+10C —50,判断ZXABC的形状10.________________________________________________ 己知a - b=b - c=_£ a2+b2+c2=l,则ab+bc+ca 的值等于_____________________________________511.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2= (a±b) 2.例如：(x-l) 2+3、(x-2) 2+2X> (lx-2) 2+^-x2是X2-2X+4的三种不同形式的配方(即〃余2 4项〃分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x2 - 4x+2三种不同形式的配方；(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式)；(3)已知a2+b2+c2 - ab - 3b - 2c+4=0,求a+b+c 的值.12.先阅读理解下而的例题，再按要求解答下列四个问题：例题：求代数式y2+4y + 8的最小值.解：•.・y2 +4y + 8 = / +4y+ 4 + 4 = (y+ 2尸+4'•* (y + 2)2 N 0 (y + 2)2 +424 y2 + 4y + 8 的最小值是4.⑴4X2-10X+()=( ) 2(2)求代数式m2 +2m + 4的最小值；(2分)⑶试证明：代数式/+屏_6。
+ 4。
+ 14的值总是正数.(2分)(4)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上建一个长方形花园ABCD,花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成.如图，设AB=x (m),请问：当X取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？(2分)解：八、知识点8：数形结合1.如图所示的图形面积由以下哪个公式表示( )A.a2—b1=a Ca—b) +b (a—b)B.(a—b) ~=a'—2沥+/JC.(Q+8)2=a'-\-2ab-\rb1D.a1—b2=a Ca+b) ~b Ca+b)2.如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab >b),再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形(阴影部分的面积)，验证了一个等式是( )A. a2 - b2= (a+b) (a - b)B. (a+b) 2=a2+2ab+b2C. (a - b) 2=a2 - 2ab+b2D. (a+2b) (a - b) =a2+ab - 2b23.(2002・泉州)如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD,则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：.4.图中阴影部分面积等于()A.疽 +屏B.a2-b2C.abD. 2ab5.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4,则另一边长为6..如图，在边长为。
的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(o>b),把剩下的部分拼成一个梯形, 分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了一个什么公式？为什么？ma a2.请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2)： 1 11 1 3 1 4 11 3 14 14. 观察下列等式： 1X 32X 5+4=72=(12+4X 1+2)2X 52X 7+4=232=(32+4 X 3+2)22X 42X 6+4=142=(22+4X 2+2)24X 62X 8+4=342=(42+4X 4+2)2九、知识点9：混合运算1. 3(/77 + 1)2 - 5(/〃 + 1淑-1) + 2(/77 - 1)29 12. 化简求值(2x -3y)" - (2x + y)(2x - y),其中了=一一,y = -2 . 63. 解不等式(1-3工)2+(2工-1)2>13(尤-1)(工+1) .4. (2a —3b) (2a+3b) — (2a —3b) 2十、知识点10：压轴提高1.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数〃(如3=22 - I 2, 16=5? -32).已知按从小到大顺序构成如下列：3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 25,....则第 2013 个“智慧数〃是.. 15—i)* =a —b(a-b)3-&(a -矿=/ -4日易-6/不一8(2)根据前面各式的规律，则(a+b) 63. 若mi ，m2，...m2oi5是从0，1, 2这三个数中取值的一列数， 若 mi+m2+...+m2oi5=1525,(mi - 1) 2+ (m2 - 1)、..+ (m2oi5 ~ 1)2=1510,则在mi ，m2，...012015中，取值为2的个数为・(1) 根据你发现的规律，12x142x16+4是哪一个正整数的平方; ⑵靖把n(n+2)2(n+4)+4写成一个整数的平方的形式.5.(规律探究题)已知混1,计算(1+x) (1 —x) =1 —x2, (1 —x) (1+x+x2) =1 —x3, (1 —X)( 1+x+x2+x3) =1 —X4.(1)观察以上各式并猜想：(1—x) (l+x+x2+...+x n) =. (n为正整数)(2)根据你的猜想计算：%1( 1-2) ( 1+2+22+23+24+25) =.②2+22+2A...+2』(n 为正整数).③(X—1) (x"+x98+x97+... +x2+x+l) =.(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a-b) (a+b) =.%1(a—b) (a2+ab+b2) =.③(a—b) (a?+a2b+ab2+b3) =.6.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为〃神秘数〃.如：4=22- 02, 12=42 - 22, 20=62 - 42,因此4, 12, 20 都是"神秘数〃（1） 28和2012这两个数是〃神秘数〃吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4 的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？7. 图①是一个长为2a,宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图 ②的形状拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积： 方法1： ； 方法2： ____ ；(2) 根据(1)的结果，请你写出(a+b) 2、(a ・b) 2、ab 之间的等量关系是 ________ (3) 根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：a+b", a-b=Ji 求ab 的值.8. 如图，四边形ABCD 是正方形，F 是对角线8。