反比例函数中的数学思想

反比例函数中的数学思想

数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。它是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，是提高解题能力的根本所在。在平时的学习过程中，如果能注意有意识地发现解题过程中的数学思想，并能加以归纳，则抓住了问题的本质，升华了思维，真正学到了数学方法。

一、分类讨论思想

例1.已知一次函数与反比例函数的图象交于点(3)(23)P m Q --，，，． （1）求这两个函数的函数关系式；

（2）在给定的直角坐标系（如图1）中，画出这两个函数的大致图象； （3）当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

解：（1）设一次函数的关系式为y kx b =+，反比例函数的关系式为n

y x

=

， 反比例函数的图象经过点(23)Q -，

，362

n

n ∴-==-，． ∴所求反比例函数的关系式为6

y x

=-．将点(3)P m -，的

坐标代入上式得2m =，∴点P 的坐标为(32)-，

． 由于一次函数y kx b =+的图象过(32)P -，和(23)Q -，，322 3.k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩

，

解得11.

k b =-⎧⎨

=-⎩，

∴所求一次函数的关系式为1y x =--．

x 图1

（2）两个函数的大致图象如图． （3）由两个函数的图象可以看出．

当3x <-和02x <<时，一次函数的值大于反比例函数的值． 当30x -<<和2x >时，一次函数的值小于反比例函数的值．

点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点：

（1）正确选择一个分类标准；

（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏． 二、数形结合思想

例2．利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．

（2）已知函数6y x =-的图象（如图2所示），利用图象求方程630x x -+=的近

似解（结果保留两个有效数字）．（6分）

解：（1）32-x ；

（2）画出直线3y x =-+的图象． 由图象得出方程的近似解为：

图2

图2

121.4 4.4x x -≈，≈．

点评：本题体现了数形结合思想。数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．

三、方程思想

例3．已知一次函数y =ax ＋b 的图象与反比例函数4

y x

= 的图象交于A （2，2），B (－1，m )，求一次函数的解析式． 解：因为B （－1，m ）在4

y x

=

上， 所以4m =-，所以点B 的坐标为（－1，－4），又A 、B 两点在一次函数的图象上， 所以4

2

,

222a b a a b b -+=-=⎧⎧⎨⎨

==-⎩⎩解得:＋，

所以所求的一次函数为y =2x -2．

评注：在解决函数问题时，从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化。要做到得心应手，就得善于挖掘隐含条件，具有方程的思想意识，在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法． 四、转化思想

例4.如图3，梯形AOBC 的顶点A 、C 在反比例函数图象上，OA ∥BC ，上底边OA 在直线y=x 上，下底边BC 交x 轴于E （2，0）， 则四边形AOEC 的面积为（ ）

A ．3

B ．3

C ．3-1

D ．3+1 解析：过点C 作CD ⊥O

E ，垂足为D ，由OA ∥BC ，

A 在直线y=x 上，可知CD=ED=1，EC=2而OE=2，∴OD=3， 则C （3，1）设反比例函数解析式为：k y x =

，则有k=3．∴3

y x

=， 设A （a, a ）则有32

=a ，∴A （3，3），于是有OA=6．

过点E 作EF ⊥OA ，则△OEF 为等腰直角三角形，∴EF=2．

∴由梯形面积公式可求四边形AOEC 的面积为： 1(62)22

+=3+1，故选D ．

图3

评注：本题的主要是把已知条件中的点C的纵坐标，及OE的长，通过借助直线OA的解析式与OA和EC的平行关系，转化为梯形CAEO中的两底及高，从而求得梯形的面积．