1.2.1充分条件、必要条件(改)
学案12：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件
1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件学习目标(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．学习重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．学习难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？知识梳理1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p q p q条件关系p是q的条件q是p的条件p不是q的条件q不是p的条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件.互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件规律方法1．判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q，及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件；若q⇒p真，则p是q成立的必要条件．要否定p与q不能相互推出时，可以举出一个反例进行否定．2．判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．类型3 充要条件的证明例3 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．变式训练求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．当堂检测1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？参考答案知识点充分条件、必要条件与充要条件问题导思1．【提示】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A 不一定闭合，即p ⇒q ，qp ；②开关A 闭合，灯泡B 不一定亮，灯泡B 亮，开关A 必须闭合，即p q ，q ⇒p ；③开关A 闭合，灯泡B 亮，反之灯泡B 亮，开关A 一定闭合，即p ⇔q ；④开关A 闭合与否，不影响灯泡B ，反之，灯泡B 亮与否，与开关A 无关，即pq ，且q p .2．【提示】 p ⇔q .知识梳理1．⇒ 充分 充分 必要 必要2.充分必要 充要 互为充要互动探究类型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断例1 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D.(2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件． 变式训练 【答案】 ①③④【解析】 ①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a >b ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b . ∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b，即ab ＝1， ∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6. ∴是充要条件，④正确．类型2 充分条件、必要条件、充要条件的应用例2 解：(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则¬q ⇒¬p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由¬p 是¬q 的必要不充分条件，可得¬q ⇒¬p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 变式训练解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．∴¬p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，¬q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }．∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}．法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3.∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.类型3 充要条件的证明例3 证明：充分性(由条件推结论)：∵0＜m ＜13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0， ∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13. 综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 变式训练证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.(1)证明p ⇒q ，即证明必要性．∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性．由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b .∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.当堂检测1．【答案】A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．【答案】B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．3．【答案】x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
2021北师大版(2019)高中数学必修一教案：：1.2.1 必要条件与充分条件含解析
第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。
PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q 不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定a b>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若a=-b，则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
充分条件与必要条件教学设计(含教学设计说明+教学点评)
1.2.1 充分条件与必要条件一、教学内容解析：1. 教学内容：“充分条件与必要条件”是在p q⇒时，对p与q之间关系的一种描述，是一个数学概念.“p q⇒”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假.考虑到充分条件与必要条件的相对性，在判断上还需关注方向性.另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.2. 知识地位：“充分条件与必要条件”是高中人教A版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容.逻辑是研究思维规律的学科，逻辑用语在数学中具有重要的作用.学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用.而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，在数学学科中大量的命题用它们来叙述.“充分条件与必要条件”是在前一节“命题及其关系”的基础产生的新知，也为后续“充要条件”的学习提供了保障.另外，本节课的学习可以对我们已经学习过的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习.3. 思想方法：充分条件与必要条件的知识学习过程中蕴含着数学发现中的观察、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合的数学思想，这些都是数学的精髓.4. 教学重点：充分条件与必要条件.5. 教学难点：必要条件概念的理解.二、教学目标设置：1. 理解充分条件、必要条件的意义；能正确判断是否是充分条件或必要条件.2. 通过对充分条件与必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性.3. 通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，体验获取知识的感受；4. 通过对充分条件和必要条件与集合间的联系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯.三、学生学情分析：1．教学有利因素：学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式（若p则q）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.淮南三中高二实验班学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2.教学不利因素：“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念，以学生已有的知识基础对“充分条件”的理解较为容易，但对“必要条件”概念的理解较为困难.另外，充分条件与必要条件的是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求.3.难点突破策略：通过较为简单易懂的例题、练习、学生活动举例，积累足够的充分条件、必要条件的逻辑体验；循序渐进，再从充分条件、必要条件与集合间的联系上，结合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解“必要条件”；最后再从逆否命题与原命题同真假的角度理性认识“必要条件”的概念，帮助学生准确而深刻的理解充分条件与必要条件的概念.四、教学策略分析：鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，课堂教学主要贯彻与执行以下思路：1. 坚持“师为主导，生为主体”的教学理念本节课的教学，教师更多的要站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力.2. 问题引领、启发诱导，注重对学生的思维训练教师通过问题引领、启发诱导，引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题，从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更深刻.在充分条件与必要条件的概念教学中，为了更好的理解概念，可以通过具体问题引导学生从表达形式（符号表示与文字表示）、通俗语言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念间的联系（充分条件与必要条件和集合间的联系）来辅助概念教学.3. 课堂教学层次鲜明、衔接自然，逐步培养学生数学学习能力整个教学过程划分为七个环节：问题引入、铺垫过渡、新知建构、巩固新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结.以问题为主线，为了解决问题，学习新知识，掌握了新知识再来解决问题.这样就把几个环节很自然地联系在一起，也为学生对新事物的普遍认识提供了一般性的指导.五、教学过程：1. 问题引入：问题1：同学们，前面我们讨论了“若p，则q”形式的命题，其中有的命题是真命题，有的命题是假命题，你能分别举出一些这样的命题的例子吗？【设计意图】从学生已有知识体系出发提出问题，在学生的最近发展区构建新知，符合学生普遍认知规律.另外，对于充要条件和必要条件的学习涉及命题的真假，通过具体的例子有助于学生对这两个概念的理解.2. 铺垫过渡：“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q，数学讲究简洁美，用符号语言，记作p q⇒.例如：“若1x>”为真命题, 即：“10x>，则0>⇒>”；x x【设计意图】通过对命题的新的表述方式的引入，意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.3. 新知建构下面我们探究命题中条件与结论之间的关系.“若p ，则q ”为真命题，由于p 的成立可以使得q 成立，我们就称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件.定义：一般地，如果有p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 结合学生之前举例，直观感知概念.从定义可见，“充分条件”、“必要条件”是在“若p ，则q ”为真命题时，对命题中的p 与q 之间关系的一种描述，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.例1、下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？(1)若3x > ，则2x >；(2)若1x = ，则2430x x -+=；(3)若()f x x =，则()f x 在()-∞+∞，上为增函数;追问问题：对于命题(1)、(2)、(3)，我们可不可以称q 是p 的必要条件呢？【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.4. 巩固新知练习1、判断下列问题中，p 是q 的充分条件吗？(1)p : 两圆面积相等； q : 两圆半径相等；(2)p : 22x a b >+ q : 2x ab >;(3)p : a b > q : ac bc >；(4)p : x 为无理数 q : 2x 为无理数;问题：像在(3)(4)两个问题中p 与q 的关系应如何描述？【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念. 练习2、判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？（1）p :3x > q :5x > ;（2）p :a b ⊥ q :0a b = ;（3）p :同位角相等 q :两直线平行 ;（4）p :四边形对角线相等 q :四边形是平行四边形 ;【设计意图】提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”.总结例1、练习1、练习2:（1）判断p 是不是q 的充分条件，q 是不是p 的必要条件，都是在判断“若p ，则q ”是否为真命题；（2）“p q ⇒”与“p 是q 的充分条件”，“q 是p 的必要条件”之间是“三种表述，一个意思”.问题2：在什么条件下，我们能说q 是p 的充分条件?p 是q 的必要条件？ 例2、用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）5a >是0a >的______________；（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.【设计意图】本例的设计和应用主要目的有：（1）强调“推出”符号的方向性；（2）体会“充分条件”和“必要条件”的不同表述方式；（3）让学生初步体会充分条件与必要条件的四种不同类型，为下节课提前准备.课堂活动：请同学们自己举例给出p 、q 并判断其二者之间存在的是否是充分条件或必要条件的关系.【设计意图】让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识. 教师补充：:,:p x Z q x R ∈∈,p q ⇒（p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件）【设计意图】为讨论充分条件、必要条件与集合的联系做铺垫.思考： 充分条件和必要条件与集合之间的联系已知:,:p x A q x B ∈∈，且p q ⇒，集合A 与B 间之间有怎样的关系？（1）在A 中，一定在B 中：p 成立，q 一定成立；有它即可.（2）不在B 中，一定不在A 中：q 不成立，p 一定不成立；缺它不行.【设计意图】从集合关系的角度帮助同学进一步理解“充分条件”和“必要条件”，并建立两者之间的联系，在提升学生对新知识的理解的同时，还可以使得学生对数学知识的掌握达到融会贯通的效果.历史文化：我国战国时期墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述： 充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ”【设计意图】通过历史文化的学习，增强学生学习数学的兴趣和激发对民族文化的热爱的同时，进一步加深对新知的全面认识.理性认识：追根溯源，其实对必要条件的理解，还可以从逆否命题的角度看待：原命题“若p 则q ”为真命题，其逆否命题“若q ⌝则p ⌝” 也为真命题. 即“q 不成立，则p 一定不成立”.例如： “小明是淮南人，则小明是安徽人”；“小明是淮南人”是“小明是安徽人”的充分条件.“小明不是安徽人，则小明不是淮南人”.“小明是安徽人”是“小明是淮南人”的必要条件.【设计意图】通过原命题与逆否命题的真假联系，从理性上认识必要条件这一难懂的概念认识，加深学生对“必要”二个字的理解，实现难点的有效突破.5. 能力提升例3、 填空（写出一个满足题意的即可）（1）“0ab =”的一个充分条件是 ；（2）“3x <”的一个必要条件是 .练习1、（1）“x a >”是“2x >”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）“x a >”的一个充分条件是“2x >”，求实数a 的取值范围.变式思考：将上述练习中“充分条件”改为“必要条件”，结果又会如何？【设计意图】（1）引导学生观察问题的问法和之前例题有无不同，培养学生的观察能力；（2）从条件判断填空到开放的填写条件有助于彰显学生对问题的理解程度，通过这组练习，可以了解学生“会了什么？”、“还存在什么问题？”，使后面的教学更有针对性！6. 牛刀小试练习：判断下列各组问题中，p 是不是q 的充分条件以及p 是不是q 的必要条件？(1) p : x x = q :20x ≥ ；(2) p :tan 1α= q :4πα=；(3) p : 直线l 与平面α内的两条相交线垂直 q : 直线l 与平面α垂直；(4) p :函数()f x 满足(0)0f = q : 函数()f x 是奇函数. 结合练习，引导学生归纳如下：从练习中我们发现在p 与q 之间存在以下几种关系：（1）p q ⇒且q p ⇒/； （2）p q ⇒/且q p ⇒；（3）p q ⇒且q p ⇒； （4）p q ⇒/且q p ⇒/.对于这几种关系我们应如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.【设计意图】反馈练习的设计，既帮助学生全面掌握本节课的学习内容，再次巩固所学知识和方法，也在前面例3的基础上明确了充要条件涉及的四种类型，为顺利进入下节课的学习打下坚实的基础.7. 课堂小结师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：（1）知识内容：①充分条件与必要条件的概念；②充分条件与必要条件的判断；③充分条件和必要条件与集合的联系.（2）思想方法：学会观察、归纳、总结，进行探索发现，注意逻辑推理的合理性和严密性.【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.8. 作业布置（1）（必做题）课本第12页A 组1、2 ，B 组1；（2）（选做题）判断下列命题的真假：①“0a b >>”是“22a b >”的充分条件；②“a b >”是“22ac bc >”的必要条件；③“A B ⊆”是“A B =” 的必要条件；（其中,A B 是集合）④“函数()f x 是奇函数”是“()f x 为幂函数”的充分条件.六、板书设计：七、教学设计说明：“充分条件与必要条件”作为高中数学的重点内容、难点内容.我希望通过本节课的教学，让学生准确地理解这一概念，能简单的运用这一知识，并希望能够通过较为愉悦的课堂环境，使学生保持浓厚的学习兴趣，不要产生畏难情绪.课后，我将根据本节课实际教学过程中出现的问题，在下一课时的教学中作出调整和弥补，并在下一课时中，加强对学生运用知识解决问题环节的训练.《充分条件与必要条件》教学点评安徽省淮南市中小学教研室 苏里阳（淮南市学科带头人）安徽省淮南市第二中学 高长玉（安徽省特级教师）本节课教学主题是充分条件与必要条件概念的理解、判断以及简单应用.代银老师对教学内容的理解深刻、透彻，对学情的分析详尽、细致，教学方法灵活多样，教学思路清晰、自然，教学重点突出，教学难点得到有效突破，课堂教学效果显著.本节课的教学主要有以下五个亮点：1. 尊重学生，关注学生学习体验本节课采用问题引入，从学生的最近发展区搭起“台阶”，通过对学生自己所举例子的研究，分析构建新知，学生以“主人翁”的角色“身临其境”的体验了知识的形成过程.在学生对新知识有足够认知的基础上，将课堂交给学生，让学生自己举例，安排课堂活动，真正体现了教师为主导、学生为主体的科学理念.2. 妙问诱导，关注学生思维训练课堂中许多看似不经意的启发性问题（或是追问），适时的打破原有“平衡”，引领学生寻找新的“平衡点”，不显山不露水的揭示了概念的本质，起到了润物细无声的教学效果，加深了学生对概念的深层理解，创新了思维，提高了认识.3. 注入文化，关注学生情感教育在对概念的理解有足够认识的基础上，教师介绍我国战国时期《墨经》对两个概念的描述，通过古代精辟的概括性语言加深学生对概念理解的同时，领略我国数学历史文化的博大精深，增强了学生的民族自豪感，提高了学生学习兴趣.4. 循序渐进，渗透数学思想方法将充分条件与必要条件与集合建立联系，并通过韦恩图直观认识概念.另外，从原命题与逆否命题的角度，理性论证了概念的内在涵义，帮助学生从“形”“数”的不同维度理解概念.有效突破教学难点，加强了对学生数学思想、方法的渗透.5. 巧设伏笔，串联章节知识网络考虑到下节内容要带领学生学习“充要条件”，教师在“巩固新知”和“小试牛刀”中分别安排了例2和课堂练习题. 这些习题的安排检验了本节所学的同时，也为下一节充要条件的学习做好铺垫、打下基础，可以很好的将本章知识继续“串”下去.教师能站在系统的高度实施教学，体现了教师教学的“大局观”.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件学案(含解
§1.2充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件命题真假若“p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件知识点二充分条件、必要条件与集合的关系思考“x<2”是“x<3”的__________条件，“x<3”是“x<2”的__________条件．答案充分必要梳理A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件A⊈Bp是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件B⊈Aq是p的不充分条件p是q的不必要条件特别提醒：(1)p⇒q，q⇏p，p是q的充分不必要条件；(2)p⇏q，q⇒p，p是q的必要不充分条件；(3)p⇏q，q⇏p，p是q的既不充分也不必要条件．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．( ×)2．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件( √)3．“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件．( √) 4．若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立．( √)类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是____________________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇏q ；③p ⇏q ，故填①. (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2016，q ：x 2>2015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③解析 ①q ⇏p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故填②③. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 答案 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎪⎨⎪⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇏p ．故填①②.反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 (1)a>b的一个充分不必要条件是( )A．a2>b2B．|a|>|b|C.1a<1bD．a－b>1考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 D解析a－b>1⇒a－b>0而a－b>0⇏a－b>1，故选D.(2)如果命题“若p，则q”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则p是q的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”)考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案必要不充分解析由逆命题与否命题是等价命题知q⇒p，由原命题与逆否命题的等价性得p⇏q，故p是q的必要不充分条件．类型二充分条件与必要条件的应用例2 已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p 是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a<x<a，所以p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0，解得－23≤a <0，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0. 引申探究本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 解 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0，得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ， 即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 所以q ：－2≤x ≤3， 即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}．因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >3，a <－2，a >0，解得a ∈∅.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2 已知p ：x <－2或x >10，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的必要条件，求负实数a 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a的取值范围是(－∞，－9].1．“x>0”是“x≠0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析∵x>0⇒x≠0，而x≠0⇏x>0，∴x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( ) A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，又不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析∵a∥b，∴(x－1)(x＋1)－8＝0，解得x＝±3，∴x＝3是a∥b的充分条件．3．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．无法判断考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 A解析当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________． (2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的________． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断答案 (1)必要条件 (2)充分条件5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．1．充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p 和结论q 相应的集合分别为A 和B ，那么若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A ＝B ，则p 既是q 的充分条件又是q 的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、选择题1．“x为无理数”是“x2为无理数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B解析当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 B3．“x>0”是“x2＋x>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析由x2＋x>0⇔x<－1或x>0，知A符合要求．4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析k＝1⇒圆心到直线x－y＋k＝0的距离d＝12<1，即相交，而直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交D⇏k＝1，故选A.5．设x∈R，则x＞π的一个必要不充分条件是( )A．x＞4 B．x＜4C．x＞3 D．x＜3考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点必要不充分条件的判定答案 C6．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的( )A．充分条件B．必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案 B解析原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q⇒p，所以p是q的必要条件．7．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝32，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点充分不必要条件的判定答案 A解析因为sin 60°＝32，故p⇒q，但sin A＝32时，A＝60°或120°.8．给出三个条件：①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2.其中能成为x>y的充分条件的是( ) A．①②③B．②③C．③D．①考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件的判断答案 D解析 ①由xt 2>yt 2可知t 2>0，所以x >y ，故①对； ②当t >0时，则x >y ，当t <0时，则x <y ，故②错； ③由x 2>y 2，得x >y 或x <y ，故③错．9．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |－a <x －b <a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－2,0) B ．(0,2] C ．(－2,2)D ．[－2,2]考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C解析 A ＝{x |(x ＋1)(x －1)<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为a ＝1，所以B ＝{x |b －1<x <b ＋1}， 若A ∩B ＝∅，则b ＋1≤－1或b －1≥1， 即b ≤－2或b ≥2， 所以A ∩B ≠∅时，－2<b <2. 二、填空题10．设A ，B 是非空集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的______条件．(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要解析 由A ＝B ⇒A ∩B ＝A ，A ∩B ＝A ⇏A ＝B ， 可知“A ∩B ＝A ”是“A ＝B ”的必要条件． 11．下列说法正确的是________．(填序号) ①“x >0”是“x >1”的必要条件；②已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件； ③“a 3>b 3”是“a >b ”的必要条件；④在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点必要条件的判断答案①③解析①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．12．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (0,2] [3，＋∞)解析 p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，a ≤3，∴a ≤2，又a >0，∴a 的取值范围是(0,2]．若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≤－2，a ≥3，∴a ≥3，∴a 的取值范围是[3，＋∞)．三、解答题13．已知p ：x 2－2x －3<0，若－a <x －1<a 是p 的一个必要条件，求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围．考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 由于p ：x 2－2x －3<0⇔－1<x <3，－a <x －1<a ⇔1－a <x <1＋a (a >0)．依题意，得{x |－1<x <3}⊆{x |1－a <x <1＋a }(a >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤－1，1＋a ≥3，a >0.解得a ≥2，则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b <2，即(－∞，2)．四、探究与拓展14．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件．(填“充分”或“必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 充分条件的判断答案 充分解析 因为“a ≥b ⇒c >d ”为真，所以它的逆否命题“c ≤d ⇒a <b ”也为真命题， 又“a <b ⇒e ≤f ”也是真命题，所以“c ≤d ⇒a <b ⇒e ≤f ”，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分条件．15．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0，且a ≠1)有意义，q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 (1)因为命题p 为真，则－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52， 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集， 因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2，所以只需a ＋2≥52，解得a ≥12， 即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
1.2.1充分与必要条件
数列{an}是摆动数列，不是递增数列，所以，a1<a3an<an+1；反之，若
an<an+1，则数列{an}是递增数列，则有a1<a2<a3，故有a1<a3，因此 “a1<a3”是“an<an+1”的必要条件. 答案：必要
1 0； b a b 当b<0<a时， 1 0 1 ； 当0<b<a时，0 1 1 . b a a b 所以能使 1 1 成立的充分条件有①②④. a b
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记充分条件与必要条件的 概念，初步掌握判定的方法.
【知识链接】 1.命题的结构：命题的一般结构为“若p，则q”，其中p为条件，q为 结论. 2.命题真假的判断方法：直接利用相关数学知识推理判断，或转化为 逆否命题判断.
主题：充分条件和必要条件 【自主认知】 1.判断下列两个命题的真假，若为真命题，说明条件和结论有什么关 系？ (1)若x>a2+b2，则x>2ab. (2)若ab=0，则a=0. 提示：(1)为真命题，(2)为假命题，(1)为真命题说明：由条件 x>a2+b2，通过推理可以得出结论x>2ab.
2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若 p，则q”的命题都成立？ 提示：都成立.
【归纳总结】 1.充分条件概念的两个关注点 (1)“p是q的充分条件”的等价说法有： ①“若p，则q”为真命题； ②p⇒q； ③q的充分条件是p. (2)p是q的充分条件的理解：“有p，q必成立，无p，q未必不成立”.
2.必要条件概念的两个关注点 (1)“p是q的必要条件”的等价说法： ①“若q，则p”为真； ②q⇒p； ③q的必要条件是p. (2)p是q的必要条件的理解：“有p，q未必成立，无p，q必不成立”.
原创1：1.2.1 充分条件与必要条件
【典例训练】 1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ________． 2.已知命题p：对数loga（-2t2+7t-5）(a>0,a≠1)有意义；q： 关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）<0. （1）若命题p为真，求实数t的取值范围； （2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范 围．
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必 要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充 分条件； ③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件； ④若A / B，且B / A，则p是q的既不充分也不必要条件．
【典例训练】 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分 条件？ （1）若A= ，则A⊆B； （2）若函数的定义域关于原点对称，则函数是奇函数； （3）若loga5>1，则a>1； （4）若两条直线平行，则两条直线的斜率相等.
【即时训练】已知条件p：x≤1，条件q：1 ＜1，则 p是q的 x
________条件.
【解析】因为p：x≤1，所以 p：x>1.由x>1⇒ 1<1，所以 1
x
x
＜1，即 p⇒q.而 ＜11⇒ x
>x0⇒1 x<0或x>1 x>1，即q x
p.所以 p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
1.下列所给的p，q中，p是q的充分条件的个数是( ) ①p:函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），q：函数f（x）的图 象关于直线x=a对称； ②p：x∈{x|0<x<1}，q：函数f（x）=x2的值域为（0,1）； ③p:已知函数f(x)，f(0)=0，q:函数f(x)是R上的奇函数; ④p：函数f（x）=ax+b，q：函数f（x）为一次函数. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
充分条件与必要条件
(4)要证明命题的条件是充要的，就是既要证明原命题成
立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的 充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必 要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－
－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
审题指导
[规范解答]令 M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝ 1 {x|x≤－ 或 x≥2}； 2 活页规范训练
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－ 2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}， 由已知p⇒q，且q p，得M N. 4分 6分
所以p是q的充分不必要条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p q (4)因为p：A＝{(1，2)}，
q，又取A＝30°，B＝120°，
p，所以p是q的既不充分也不必要条件．
q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，
AB，所以p是q的充分不必要条件．
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
规律方法
提示
p是q的充要条件指的是p⇒q是充分性，q⇒p是必要
性，即p是条件，q是结论；p的充要条件是q中，q⇒p是充 分性，p⇒q是必要性，即q是条件，p是结论．
人教A版高中数学选修一1-2-1 《充分条件与必要条件》教案
§1.2.1 充分条件与必要条件教学目标1、知识与技能（1）理解充分条件、必要条件及充要条件的概念；理解“⇒”的含义。
（2）初步掌握充分、必要条件及充要条件的判断方法。
（3）在理解定义的基础上，能对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系。
2、过程与方法通过对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3、情感、态度与价值观（1）通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．（2）通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．教学重点（1）对充分条件、必要条件、充要条件概念的理解和判断.（2）利用定义法、从集合角度、等价命题解决充要条件问题.教学难点理解充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.教学方法小组合作学习，由微课引入课题，用例子的形式和同学一起探究得出问题的解决办法. 教学过程一、微课《水滴石穿》引入新课教师板书课题--1.2 充分条件与必要条件二、新授课1、新的数学符号：“⇒”读作:推出； “⇒/”读作：推不出.2、教师总结板书定义：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.也可以简单说成：⎧⎨⎩前者是后者的充分条件；如果前者能推出后者后者是前者的必要条件. 3、教师板书定义：如果q ⇒p ，那么我们就说，p 是q 的必要条件,q 是p 的充分条件.4、教师板书定义：若p ⇒q 且q ⇒/p ，即p 是q 成立的充分条件，但不是必要条件，我们称p 是q 的充分不必要条件．下面我们对定义加以运用，看下面的例题.221.(1).1,430.(2).(),().(3).,.p q p q x x x f x x f x R x x =-+==例下列“若、则”的命题中，哪些命题中的是的充分条件？若则若则在上是增函数若为无理数则为无理数学生思考分析：因为(1) (2)中p ⇒q ，(3)中p ⇒/q ，所以p 是q 的充分条件.教师点评例2 下列“若p ，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的必要条件？(1)若x 2=y 2，则x=y.(2)若两个三角形的面积相等,则这两个三角形全等.(3)若ac 2>bc 2，则a>b.学生思考分析：命题(1) (2)中q ⇒p ，命题(3)中q ⇒/p ，所以命题(1)(2)中的p 是q 的必要条件. 教师点评加法总结：如何判断p 是q 的充分条件,p 是q 的必要条件？教师板书：1、可以判断命题的真假；2、看p q ⇒是否成立；看q p ⇒是否成立.例3下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分不必要条件？（1）若x y =，则22x y =；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（3）若0ab =，则a=0.学生思考分析：命题（1）（2）中p ⇒q 且q ⇒/p ，所以命题（1）（2）中的q 是p 的充分不必要条件. 教师提问：命题（3）中p ⇒q ，q ⇒p 吗？那么p 是q 的什么条件呢？我们给出新的定义.5、教师板书定义：若p ⇒/q 且q ⇒p ，即p 是q 成立的必要条件，但不是充分条件，我们称p 是q 的必要不充分条件．思考：条件p ：三角形的三条边相等，结论q ：三角形的三个角相等，p ⇒q ，q ⇒p 成立吗？因此，p q 是的什么条件？6、教师板书定义：如果p ⇒q 且q ⇒p ，记作p ⇔q ．这时，p 既是q 成立的充分条件，又是q 的必要条件，我们称p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件．另外，如果p ⇒/q 且q ⇒/p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件练习1：下列各组语句中，p 是q 的什么条件？（1）p ：a ＞0，b ＞0，q ：a ＋b ＞0； 充分不必要条件（2）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形； 必要不充分条件（3）p ：|x|＜1，q ：－1＜x ＜1； 充要条件（4） p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2. 既不充分也不必要条件学生小组研究完成，再由学生回答。
20-21版：1.2.1 充分条件与必要条件（创新设计）
课堂反馈
【训练1】 指出下列各题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC >AC. (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1) (x－2)＝0.
12
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2.“a>b”是“a>|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既是充分条件，也是必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由a>|b|⇒a>b，而a>b推不出a>|b|. 答案 B
@《创新设计》
13
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3.若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.无法判断 解析 当a＝1时，|a|＝1成立， 但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立. ∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件. 答案 A
2
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【预习评价】
思考 (1)数学中的判定定理给出了结论成立的什么条件？ (2)性质定理给出了结论成立的什么条件？ 答案 (1)充分条件 (2)必要条件
@《创新设计》
3
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课堂互动
课堂反馈
题型一 充分条件、必要条件
【例1】 试分别指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc.
1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充分条件与判定定理 1.2.3 必要条件与判定定理
思考交流1
请用充分条件的语言表述下面的判定定理
1.指数函数y=ax(a＞1) 是R上的增函数.
2.等比数列{an}的首项a1＞0且公比q＞1成立，那么
这个数列是递增数列.
ab ab . 3.若a，b是非负实数，那么 2
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式b2-4ac≥0,那么
方程ax2+bx+c=0在实数范围内有实数解
q是p的必要条件.
根据定义 下结论.
勇士搏击惊涛骇浪而不沉沦，懦夫在风
平浪静中也会溺水.
1.理解充分条件和必要条件的意义.（重点）
2.会判断充分条件和必要条件.（难点）
探究点1 充分条件与必要条件 先看几个我们学过的定理：
定理1：如果闭区间[a，b]上函数f(x)的图像是
连续曲线,且满足f(a)f(b)＜0,那么f(x)在开区
间(a，b)内至少存在一个零点.
定理2：如果一条直线垂直于一个平面内两条相 交直线，那么这条直线垂直于这个平面.
“如果„那么„”的形式，要先改写，再判断能否
p q
.
探究点3
必要条件与性质定理
思考：分析上面的定理3及下面的定理5，6思考 必要条件与性质定理有怎样的关系，性质定理的 作用是什么？ 定理5：菱形的对角线互相垂直.
定理6：函数f(x)=sin x是R上的奇函数.
性质定理是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学
定定理有怎样的关系，判定定理的作用是什么？
定理1是零点存在的判定定理，其作用是给出 零点存在的充分条件，定理2是直线与平面垂 直的判定定理，其作用是给出直线与平面垂 直的充分条件.
判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结
原创1：1.2.1 充分条件与必要条件
(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.
典例剖析
【解析】(1)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p⇒q，且q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p⇏q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b⇏a·b>0，
B．p：m>0，q：x2－x－m＝0无实根
C．p：a>0，且a≠1，q：y＝ax是增函数
D．p：f(x)＝loga(x＋1)，q：f(x)为增函数
典例剖析
题型二
例2
充分不必要条件，必要不充分条件的判定
指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．
q
p
解惑释疑
如果“p⇏q，且q⇒p”，那么称p是q的必要不充分条件．
例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”
显然p⇏q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件.
p
q
“p是q的充分不必要条件”
等价于“q是p必要不充分条件”
典例剖析
题型一
例1
用定义判定充分条件与必要条件
解惑释疑
1.对充分条件、必要条件的理解
①一般地，若p⇒q，则p是q的充分条件．
“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．
即是说有条件p成立，q就一定成立．
另一方面，q又是p的必要条件．
“必要”是说缺少q，p就不会成立．
解惑释疑
1.2.1必要条件与充分条件(第1课时必要条件与充分条件)课件高一上学期数学北师大版
(1)定义法:直接判断命题“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合之间的包含关系判断.
(3)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,例如由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得
p1⇒pn;充要条件也有传递性.
变式训练3指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要
不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解 (1)因为矩形的对角线相等,即p⇒q,所以q是p的必要条件.
(2)因为p⇒q,所以q是p的必要条件.
(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.
规律方法
必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解 (1)由于Q⊆R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.
(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的
充分条件.
(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q
的充分条件.
规律方法 充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
变式训练2下列命题中,p是q的充分条件的是
①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
②p:a是自然数,q:a是正整数;
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
1.2.1充分条件与必要条件（公开课）
1.2.1充分条件与必要条件（公开课）充分条件与必要条件教学⽬标：（1）正确理解充分条件、必要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件还是必要条件；教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解充分条件和必要条件的概念教学类型：新授课教学⽤具：多媒体课件⿊板教学过程：⼀，创设情境，激发兴趣，引出课题：考虑到⾼⼀学⽣学习这⼀章的知识储备不⾜，为了让学⽣更易接受这⼀节内容，我利⽤⽇常⽣活中的具体事例来提出本课的问题，并与学⽣共同利⽤原有的知识分析，事例中包括⼏个问题，为后⾯定义的分析埋下伏笔。
第⼀个事例是：由歌曲《我是⼀条鱼》引出“⽔”与“鱼能活命与否”的关系。
⽤这个事件的⽬的是为了引导学⽣得出必要条件的定义。
这⾥要强调该事件包括：A：有⽔；B：鱼就能活。
第⼆个事例是：“做⼀件衬衫，需⽤布料，到布店去买，问营业员应该买多少？他说买3⽶⾜够了。
”这样，就产⽣了“3⽶布料”与“做⼀件衬衫够不够”的关系。
⽤这个事件⽬的是为了第⼆部分引导学⽣得出充分条件的定义。
这⾥要强调该事件包括：p：有3⽶布料；q：做⼀件衬衫够了。
⽤以上两个⽣活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学⽣感到亲切⾃然，有助于提⾼兴趣和深⼊领会概念的内容，特别是它的必要性。
⼆，引导分析，给出定义，讲解新课。
在第⼀部分激发起学⽣的学习兴趣后，紧接着开展第⼆部分，引导学⽣分析实例，让学⽣从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。
在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学⽣分析。
1 ⾸先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义我们约定：若p则q为真，记作：p q 或 q?p若p则q为假，记作：qp?结合具体事例，让学⽣体会推断符号?的优点：在表达上的简洁性，同时还可以标明命题的真假，并会使⽤。
2给出充分条件和必要条件的定义：充分条件与必要条件：⼀般地，如果已知 p ? q那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．理解充分条件，这⾥只要具备p，就能得到q。
1.2.1充分与必要条件(2)
D
(
)
B.ab>0
A.ab＝0
C.a2＋b2＝0
解析
D.a2＋b2>0
a2＋b2>0，则a、b不同时为零；
a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)x> 2 的一个必要不充分条件是____ x>0 ；x＋y>0的一个充 分不必要条件是____________________. x>0且y>0(答案不唯一) (3)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是______. a<－1 解析 函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，
解： a 2 是 A B 的充分不必要条件. 下面证明
(1)B { x | 1 | x a | 0} 证明：
| x a | 1 1 x a 1 1 a x 1 a
B [1 a , 1 a].
当a2时，-1-a-3，1-a-1，
即 p q但q p
即 p q且 q p
(3)充要条件，
即 p (4)既不充分又不必要条件， q且 q p
充分条件与必要条件的判断： （1）直接利用定义判断：即“若p q成立， 则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的） （2）利用命题的对称关系判断：“p q”的 等价命题是“┐q ┐p”. 即“若┐q ┐p成立，则p是q的充分条件，q 是p的必要条件” . （3）利用命题的传递关系判断： “p q且 q r，则 p r”. 则p是r的充分条件，r是p的必要条件”.
（教材习题 1.2B 组第 2 题） 证 明 ： ABC 是 等 边 三 角 形 的 充 要 条 件 是 2 2 2 a b c ab ac bc（这里 a, b, c 是 ABC 的三 条边）.
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解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
从集合的角度来理解充分条件、必要条件
p
q，相当于P
q ，即
P
q 或 P、q
•P足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
请思考
X>1
X>2
X>0
X>3
X>4
试举一充分条件的例子
两个三形面积相等
两三角形全等
练习 用符号
与
填空。
（1） x2=y2
（2）内错角相等
x=y；
两直线平行；
（3）整数a能被6整除
a的个位数字为偶数；
（4）ac=bc
a=b
二、新课讲授
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q那 么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
例如：
x a 2 b 2 x 2ab
思考领悟
X<5 X<6
x<3
X<8
X<10
例3、设 p : x 5, q : x 3 ，则p是q的什么条件？
变式1:写出 q : x 3 的一个充分条件 变式2：若 p : x a 是 q : x 3 的一个充分 条件, 则实数a的取值范围是————
例3．开关A闭合作为命题的条件p， 灯泡B亮作为命题的结论q，你 能根据下列各图所示．判断p是 q的什么条件吗？
C
A
B E
D
知识小结
1、定义： (1)若p (2)若q (3)若p q，则p是q的充分条件。（p可能会多余浪费） p,则p是q的必要条件（p可能还不足以使q成立） q,则p是q的充要条件。（p不多不少，恰到好处）
2、判别步骤：
（２）判断p （3）根据定义下结论。
（1）找出p、q；
q与q
p的真假。
3、判别技巧： （1）简化命题。 （2）否定命题时举反例。 （3）利用等价的逆否命题来判断。
继续1
继续2
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
例题：
目的
（1）“a>0，b>0”是“ab>0”的什么条件？ （答：充分不必要条件） q p （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的什么 q （答：必要不充分条件） 条件？ p （3）在三角形ABC中，|BC|=|AC|是A=B 的什么条件？ （答：充要条件） （4）“ a2>b2 ”是“ a>b ”的什么条件？ （答：非充分非必要条件） p q
（1）有志者事竟成 （2）不入虎穴，焉得虎子 （3）A single spark can start a prairie fire. 星星之火，可以燎原。 （4）骄兵必败
例题：说出下列各组命题中，p是q的什么条件？ q是p的什么条件？
(1)p: x=y ,
解：因为： x=y x 2=y 2 ,
q: x =y
本 节 主 要 知 识
归纳小结
一种约定： “若p则q为真”约定为“p能推出q”
两个定义： 充分条件与必要条件
三种方法：
定义 集合 电路图
课后作业
1、课本P 10 练习3、4。 2、写出生活中有充分条件、必要条件关系的名言名 句各1句。 (剖析名言名句充分、必要关系）。
探讨下列生活中的常用语本身是否存 在充要关系，如果有请找出。
• [题后感悟] 处理充分条件、必要条件问题时， 首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和 判断； • 用定义判断充分条件和必要条件的方法(定义 法)： • (1)若p⇒q但q⇒/ p，则p是q的充分但不是必要 条件； • (2)若q⇒p但p⇒/ q，则p是q的必要但不是充分 条件； • (3)若p⇔q，则p是q的充要条件； • (4)若p⇒/ q且q⇒/ p，则p 既不是q的充分条件 也不是q的必要条件．
2
2
且x 2=y 2
x=y
即：
p
q,
而q
p
所以：p是q的充分不必要条件，q是p的 必要不充分条件.
（2） p: (a-2)(a-3)=0, q: a=3
因为：p q , 而q p 所以：p是q的必要不充分条件，q是p的 充分不必要条件.
(3)
ABC中，P: A > B . q: BC > AC .
引导分析：
p:有3米布料
2013-10-16
q:做一件衬衫
二、新课讲授
p 1、我们约定：若p则q为真，记作： q 或 q p p 若p则q为假，记作： q
例如：
如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
两三角形全等 两三角形面积相等
如果两个三形面积相等，那么两三角形全等。
若x>a2+b2，则x>2ab
p
q
找p、q
判断p q，与 q p的真假
根据定义 下结论
第三组题
1.命题p：“x>3”是命题q：“︱x-2 ︱>2”的 条件 2.命题p：“x=1”是命题q：“x23x+2=0”的 条件
3.若A是B的充要条件，B是C和D的必要条件，E是 D的充分条件，E是A的充要条件， E B 充要条件 则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件， C A 充分不必要 C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， 充要条件 A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， 必要不充分 D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. A C D D
练习
下列条件中哪些是a+b>0的充分 条件？
① a>0，b>0 ② a<0,b<0 ③ a>0，b<0且|a|>|b| ④ a=3,b=-2 ⑤ a>-b 特点：先给多个p，进行选择，通过选择， 感知p的不唯一性。
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若 x=y,则x2=y2; (2)若x<3,则x<5; (3)若a>b,则ac>bc.
一、引入
事例一
音乐欣赏《我是一只鱼》 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？ 探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
2013-10-16
一、引入
事例二：
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：“要做一 件衬衫，应该买多少布料？” 营业员回答：“买三米足够 了！”
x a 2 b 2是x 2ab的充分条件
x 2ab是x a 2 b 2的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等
两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件． 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例1、下列“若p，则q”形式的命题中， 哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若 x=1,则x2-4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数 . 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
A > B BC > AC . 即：p q
因为：
所以：p与q互为充要条件 a （4）P: a < b . q: <1 b 因为: p q 且q p
所以：p是q的既不充分也不必要的条件
q是p的既不充分也不必要的条件
课堂练习: 1.在下列电路图中,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的什么条件:
充分不必要 ⑴如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; 必要不充分 ⑵如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; 充要 ⑶如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件; ⑷如图④所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的__________条件. 既不充分也不必要