第五章残差与误差检验
第五章抗差估计RobustEstimation
Z 0.463 0.435 0.457 0.462
Sum 0.715 0.679 0.682 0.670
X 5.334 5.335 5.248 0.720
Y 4.661 4.661 4.629 1.077
Z 5.367 5.367 5.193 0.420
Sum 5.131 5.131 5.031 0.787
三、应用实例——基准转换
背景
➢ 基准转换一般通过公共点坐标求转换参数； ➢ 公共点坐标难免有误差，甚至有异常误差； ➢ 我国经典大地基准是通过三角测量、导线测量传算
的，累积误差明显——边远地区误差达数米或数十 米； ➢ 利用公共点坐标求解转换参数必然歪曲坐标基准间 的真正关系； ➢ 进而扭曲转换后的大地网。
➢ 再用效率高的权函数进行迭代计算，提高转换参数效 率。
第五章 抗差估计（Robust Estimation）
三、应用实例——基准转换
参数初值
tˆx0 med (Wxi ) tˆy0 med (Wyi )
tˆz0 med (Wzi )
0 wx
med
(
e
0 xi
) / 0.6745
e0 xi
tˆx0
X=[
1 5
(
13 i9
X
2 i
)]
1
2
sum= [
1 15
13 i9
(X
2 i
Yi2
Z
2 i
1
)] 2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
无额外粗差情形中误差
LS LS+Test
第五章线性回归模型的假设与检验
⎟⎟⎠⎞
于是
βˆ1 = ( X1′X1)−1 X1′y1 ， βˆ2 = ( X 2′ X 2 )−1 X 2′ y2
应用公式(8.1.9)，得到残差平方和
和外在因素.那么我们所要做的检验就是考察公司效益指标对诸因素的依赖关系在两个时间 段上是否有了变化,也就是所谓经济结构的变化.又譬如,在生物学研究中,有很多试验花费 时间比较长,而为了保证结论的可靠性,又必须做一定数量的试验.为此,很多试验要分配在 几个试验室同时进行.这时,前面讨论的两批数据就可以看作是来自两个不同试验室的观测 数据,而我们检验的目的是考察两个试验室所得结论有没有差异.类似的例字还可以举出很 多.
而刻画拟合程度的残差平方和之差 RSSH − RSS 应该比较小.反过来,若真正的参数不满足
(5.1.2),则 RSSH − RSS 倾向于比较大.因此,当 RSSH − RSS 比较大时,我们就拒绝假设(5.1.2),
不然就接受它.在统计学上当我们谈到一个量大小时,往往有一个比较标准.对现在的情况,我
们把比较的标准取为 RSS .于是用统计量 (RSSH − RSS) RSS 的大小来决定是接受假设
(5.1.2),还是拒绝(5.1.2). 定理 5.1.1 对于正态线性回归模型(5.1.1)
(a )
RSS
σ2
~
χ2 n− p
(b )
若假设(8.1.2)成立,则 (RSSH
− RSS)
σ2
~
χ2 n− p
得愈好.现在在模型(5.1.1)上附加线性假设(5.1.2),再应用最小二乘法,获得约束最小二乘估计
βˆH = βˆ − ( X ′X )−1 A′( A( X ′X )−1 A′)−1 ( Aβˆ − b)
残差检验-误差检验
2 2 n
0
S0 0.8154 ； n 1
2
3）计算残差
i 1 0
的均值为： 0 0.00524 ；
S1 0.06128 ； n 1
2
4）计算残差的均方差为： S1 其中： S1 0 i 0
2 i 1 n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
S1 0.075 ； S0 6）进行检验：根据残差检验规定预测精度等级表（见表 1）
5）计算方差比为： c
c值 <0.35 <0.50 <0.65 <0.65
预测精度等级 好 合格 勉强合格 不合格
表 1 预测精度等级划分 则可知该模型的预测等级为:“好” 。
报告中的误差项和残差分析
报告中的误差项和残差分析一、误差项和残差的概念和区别误差项和残差是统计学中常用的两个概念，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
误差项指的是观测值与真实值之间的差异，而残差则是观测值与模型预测值之间的差异。
在实践中，误差项和残差往往被用来描述数据的随机性和模型的拟合程度。
二、误差项和残差的计算方法计算误差项和残差的方法主要有最小二乘法和最大似然估计法。
最小二乘法是一种常见的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
最大似然估计法则是在给定观测数据时，寻找使得观测数据在给定模型下的概率最大的参数值。
三、误差项和残差的意义和应用误差项和残差的存在使得我们能够对数据和模型进行有效的分析和评估。
通过对误差项和残差的研究，我们可以了解数据中的随机噪声，评估模型的拟合优度，检验模型的假设，识别异常值等。
四、误差项和残差的检验方法误差项和残差的检验方法包括正态性检验、异方差性检验和独立性检验。
正态性检验用于检验误差项或残差是否满足正态分布的假设，常用的方法有正态概率图和K-S检验。
异方差性检验用于检验误差项或残差的方差是否与自变量或因变量相关，常用的方法有方差齐性检验和异方差鉴别。
独立性检验用于检验误差项或残差是否具有独立性，常用的方法有自相关检验和Durbin-Watson检验。
五、误差项和残差的解释和汇报在报告中，正确解释和汇报误差项和残差的结果对于研究人员和决策者具有重要意义。
我们应该通过描述统计量和图表，结合领域知识和背景信息，解释误差项和残差的含义和影响。
此外，还可以通过引用相关文献和研究成果，对结果进行进一步的解释和讨论。
六、误差项和残差的应对和改进方法当我们遇到误差项或残差偏离预期时，应该及时采取相应的应对和改进方法。
对于异常值和离群点的处理，我们可以考虑删除、修复或调整这些数据。
对于异方差或自相关的问题，我们可以进行变量转换、加权最小二乘法或时间序列分析等处理方法。
计量经济学 第五章习题答案
第五章异方差性5.2答案：（1）EVIEWS估计的结果为：Yˆi= 9.3475+0.6371X iT=(2.5691) (32.0088)R2 =0.9464 F=1024.564（2）首先，用Goldfeld-Quandt法进行检验。
将样本X按递减顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即N1=N2=22。
分别对两个部分样本求最小二乘估计，在样本区为1—22的Eviews估计如下：样本区39—60的Eviews估计如下：得到两个部分各自的残差平方和，即∑e 12 =2495.840∑e 22 =603.0148求F 统计量为： F=∑∑e e 2221=2495.840/603.0148=4.1390给定α=0.05，查F 分布表，得临界值为F 0.05=(20,20)=2.12.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>F 0.05=(20,20)=2.12，说明该模型的随机误差项存在异方差。
其次，用White 法进行检验结果如下：给定α=0.05，在自由度为2下查卡方分布表，得χ2=5.9915。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=10.8640>χ2=5.9915，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。
（2）用权数W1=1/X，作加权最小二乘估计，得如下结果用White法进行检验得如下结果：F-statistic 3.138491 Probability 0.050925Obs*R-squared 5.951910 Probability 0.050999。
比较临界值与卡方统计量值，即nR2=5.9519<χ2=5.9915，说明加权后的模型中的随机误差项不存在异方差。
其估计的结果为：Yˆi= 10.3705+0.6309X iT=(3.9436) (34.0467)R2 =0.21144 F=1159.176 DW=0.95855.3答案：（1）EVIEWS估计结果：Yˆi= 179.1916+0.7195X iT=(0.808709) (15.74411)R2 =0.895260 F=247.8769 DW=1.461684 （2）利用White方法检验异方差，则White检验结果见下表：由上述结果可知，该模型存在异方差。
第05章多元时间序列分析方法
第05章多元时间序列分析⽅法142第五章多元时间序列分析⽅法[学习⽬标]了解协整理论及协整检验⽅法；掌握协整的两种检验⽅法：E-G 两步法与Johansen ⽅法； ? 熟悉向量⾃回归模型VAR 的应⽤； ? 掌握误差修正模型ECM 的含义及检验⽅法； ? 掌握Granger 因果关系检验⽅法。
第⼀节协整检验前⾯介绍的ARMA 模型要求时间序列是平稳的，然⽽实际经济运⾏中的⼤多数时间序列都是⾮平稳的，通常采取差分⽅法消除时间序列中的⾮平稳趋势，使得序列平稳后建⽴模型，这就是第四章所介绍的ARIMA 模型。
但是，变换后的时间序列限制了所要讨论问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，从⽽使得转换为平稳后的序列所建⽴的时间序列模型的解释能⼒⼤⼤降低。
1987年，Engle 和Granger 提出的协整理论及其⽅法，为⾮平稳时间序列的建模提供了另⼀种重要途径。
①⽬前，协整问题研究已经成为20世纪80年代末到90年代以来经济计量学建模理论的⼀个重⼤突破，在分析变量之间的长期均衡关系中得到⼴泛应⽤。
⼀、协整概念与定义在经济运⾏中，虽然⼀组（两个或两个以上）时间序列变量(例如⼈民币汇率与外汇储备、货币供应量和股票指数)都是随机游⾛，但它们的某个线性组合却可能是平稳的，在这种情况下，我们称这两个变量是平稳的，既存在协整关系。
其基本思想是，如果两个(或两个以上)的时间序列变量是⾮平稳的，但它们的某种线性组合却表现出乎稳性，则这些变量之间存在长期稳定关系，即协整关系。
根据以上叙述，我们将给出协整这⼀重要概念。
⼀般⽽⾔，协整(cointegration)是指两个或两个以上同阶单整的⾮平稳时间序列的组合是平稳时间序列，则这些变量之间的关系的就是协整的。
为何会有协整问题存在呢？这是因为许多⾦融、经济时间序列数据都是不平稳的，但它们可能受到某些共同因素的影响，从⽽在时间上表现出共同趋势，即变量之间存在⼀定稳定关系，他们的变化受到这种关系的制约，因此它们的某种线性组合可能是平稳的，即存在协整关系。
实用回归分析课件 (残差与残差图)
5.3 异常值与强影响值
一、关于因变量y的异常值
在残差分析中，认为超过 3ˆ 的残差为异常值。
标准化残差
ZREi
ei
ˆ
学生化残差
SREi ˆ
ei 1 hii
ZREi / SREi 3 观测数据判定为异常值
存在y的异常观测值，普通/标准化/学生化残差都不适用
5.3 异常值与强影响值
当数据中存在关于 y 的异常观察值时，异常值把回归线拉向 自己，使异常值本身的残差减少，而其余观察值的残差增大，这时 回归标准差ˆ 也会增大，因而用“3σ”准则不能正确分辨出异常值。 解决这个问题的方法是改用删除残差。
其中, hii
1 n
(xi x)2 Lxx
称为杠杆值
靠近x附近的点相应的残差方 差较大，
远离x附近的点相应的残差方 差较小.
5.2 残差的性质
一、残差的性质
性质3. 残差满足约束条件:
n
ei 0
i 1 n
xiei 0
i 1
5.2 残差的性质
二、改进的残差
5.3 异常值与强影响值
异常值分为两种情况： 一种是关于因变量y异常； 另一种是关于自变量x异常。
第三步,做等级相关系数的显著性检验。在n＞8的情况下, 用下式对样本等级相关系数rs进行t检验。检验统计量为:
t n 2 rs 1 rs2
如果t≤tα/2(n-2)可认为异方差性问题不存在， 如果t＞tα/2(n-2),说明xi与|ei|之间存在系统关系,异方差性 问题存在。
违背基本假设的情况
第六章 关于异方差性问题 第七章 关于自相关性问题 第八章 关于多重共相关问题
第六章 关于异方差性问题
var(i ) var( j ), i j
残差与误差的区别复习进程
残差与误差的区别残差与误差的区别误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。
误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。
误差分为两类：系统误差与随机误差。
其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。
随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。
残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。
残差越大表示预测越不准确。
残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。
随机误差项Ut反映除自变量外其他各种微小因素对因变量的影响。
它是Y t 与未知的总体回归线之间的纵向距离，是不可直接观测的。
残差e t 是Yt 与按照回归方程计算的Yt 的差额，它是Yt 与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算et 的具体数值。
利用残差可以对随机误差项的方差进行估计。
随机误差是方程假设的，而残差是原值与拟合值的差。
实践中人们经常用残差去估计这个随机误差项。
意义不一样哈，残差一般只的是在计算近似值过程中某一步与真实值得差值，而误差指的的是最终近似值与真实值得差值残差就是回归所得的估计值与真值（实际值）之间的误差；修正的R square就是剔出了数据量影响后的R23.4.3 测量不确定度评定方法参考公式及其详解参考：/sfzx/sy3.docISO发布的“测量不确定度表示指南”是测量数据处理和测量结果不确定度表达的规范，由于在评定不确定度之前，要求测得值为最佳值，故必须作系统误差的修正和粗大误差（异常值）的剔除。
最终评定出来的测量不确定度是测量结果中无法修正的部分。
测量不确定度评定总的过程如图3－3所示的流程。
具体的方法还要有各个环节的计算。
图3-3 测量不确定度评定流程图1、标准不确定度的A类评定此法是通过对等精度多次重复测量所得数据进行统计分析评定的，正如前面介绍的随机误差的处理过程，标准不确定度u(xi)＝s(xi)，是用单次测量结果的标准不确定度算出：（3-20）其单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔法求得，即：= （3-21）其实，单次测量结果的标准不确定度还有如下求法：①最大残差法： = ，系数如表3-2所示。
残差与误差的区别
残差与误差的区别误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。
误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。
误差分为两类：系统误差与随机误差。
其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。
随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。
残差一一与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。
残差越大表示预测越不准确。
残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。
随机误差项Ut反映除自变量外其他各种微小因素对因变量的影响。
它是Y t与未知的总体回归线之间的纵向距离，是不可直接观测的。
残差e t是Yt与按照回归方程计算的Yt的差额，它是Yt与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算et的具体数值。
利用残差可以对随机误差项的方差进行估计。
随机误差是方程假设的，而残差是原值与拟合值的差。
实践中人们经常用残差去估计这个随机误差项。
意义不一样哈，残差一般只的是在计算近似值过程中某一步与真实值得差值，而误差指的的是最终近似值与真实值得差值残差就是回归所得的估计值与真值(实际值)之间的误差；修正的R square就是剔出了数据量影响后的R2343测量不确定度评定方法参考公式及其详解参考：.c n/sfzx/sy3.docISO发布的测量不确定度表示指南"是测量数据处理和测量结果不确定度表达的规范，由于在评定不确定度之前，要求测得值为最佳值，故必须作系统误差的修正和粗大误差(异常值)的剔除。
最终评定岀来的测量不确定度是测量结果中无法修正的部分。
测量不确定度评定总的过程如图3-3所示的流程。
具体的方法还要有各个环节的计算。
图3-3测量不确定度评定流程图1、标准不确定度的A类评定此法是通过对等精度多次重复测量所得数据进行统计分析评定的，正如前面介绍的随机误差的处理过程，标准不确定度u(xi) = s(xi)，是用单次测量结果的标准不确定度算岀：(3-20)其单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔法求得，即：=(3-21 )其实，单次测量结果的标准不确定度还有如下求法：①最大残差法：=，系数如表3-2所示。
课件-数理统计与多元统计 第五章 回归分析 5.3-5误差方差的估计
9
lxy ( xi x)( yi y) 2995 i 1
9
9
lxx ( xi x)2 6000, l yy ( yi y)2 1533.38
i 1
i 1
bˆ0
y bˆ1 x
11.6，bˆ1
l xy l xx
0.499167
即得经验回归方程： yˆ 11.6 0.499167x
被估计的回归方程所解释的变差数量，即当
自变量个数增加时，会使预测误差变小，从
而减少SSE，此时SSR变大，R2会变大，可 能因此而高估R2造成误读。因此实际中常用 修正的复决定系数(adjusted multiple cofficient of determinnation) ：
Ra2
1
(1
R2 )( n
xi/0C
0
10
20
30
40
yi/mg 14.0 17.5 21.2 26.1 29.2
xi/0C
50
60
70
80
yi/mg 33.3 40.0 48.0 54.8
试估计回归参数b0,b1, σ2,给出经验回归方程:
yˆ bˆ0 bˆ1x
12
解：由数据计算：
1 9
19
x 9 i1 xi 40, y 9 i1 yi 31.56667
H0 : b1 b2 L bp 0 的假设检验步骤:
i) 提出假设: H0 : b1 b2 L bp 0
ii)给定显著性水平α=?,样本容量n=?,p=?
iii) 选择检验统计量,当H0真时:
F SSR / p ~ F ( p, n p 1) SSE / (n p 1)
iv) H0的拒绝域为：
回归模型的残差分析
回归模型的残差分析回归模型的残差分析是评估回归模型表现的一种重要工具。
残差是指实际观测值与回归模型预测值之间的差异，它们表示了变量之间的未解释部分。
通过残差分析，可以检验回归模型是否适用于数据，以及进一步了解模型的有效性和弱点。
下面将详细介绍回归模型的残差分析，包括常见的统计检验和图形可视化。
一、残差检验残差检验是通过统计检验来评估残差的统计性质是否满足模型假设的重要工具。
下面是常见的残差检验方法：1. 正态性检验：使用诸如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov 检验或Anderson-Darling检验等统计检验方法，验证残差是否满足正态分布假设。
如果残差不符合正态分布，则可能存在模型的偏误。
2. 独立性检验：残差应该是相互独立的，这意味着它们之间应该没有明显的相关性。
可以通过Durbin-Watson检验或Ljung-Box检验等方法来检验残差之间的相关性。
3. 同方差性检验：残差应该具有恒定的方差，即同方差性。
常用的检验方法有Breusch-Pagan检验或White检验。
如果检验结果拒绝了同方差性假设，则说明模型不适用于数据。
4.线性性检验：残差应该与自变量之间没有明显的线性关系。
通过绘制残差与预测值、自变量的散点图或低阶多项式回归分析等方法来检验线性性。
5.异常值检测：有时残差会被异常值影响，可以使用统计方法识别和处理异常值，如标准化残差大于一些阈值或离群值距离大于一些阈值等。
通过以上的残差检验，可以获得对回归模型的可靠性的判断。
如果残差满足模型假设，可以认为模型是有效的；如果残差不满足一些假设，则需要考虑模型的修正或改进。
二、残差图形可视化除了统计检验，残差的图形可视化也是评估回归模型的重要手段。
常见的残差图形包括：1.散点图：绘制残差与预测值或自变量的散点图，观察是否存在明显的模式或关联性。
如果散点图中观察到的残差分布均匀、随机分布在0值附近，说明模型是良好的。
第五章5讲 残差自回归模型 (1)
例5-6
（4）检验残差项是否相关，对此回归模型的残差 进行自相关性检验，一般采用DW检验（建议）： library(lmtest) dwtest(x.fit1)
从这里可以看出该残差序列有着明显的自相关性，需要 对其残差序列进行拟合。
例5-6
（5）画出残差序列自相关，偏自相关图来识别模 型： x.fit2=x.fit1$residual acf(x.fit2,col=4,lwd=2) pacf(x.fit2,col=4,lwd=2)
根据样本容量n 和多元回归模型中解释变量的数 目 k (不包括常数项)查DW分布表，得临界值 dL 和 dU ，然后依下列准则考察计算得到的DW值，
以决定模型的自相关状态。
31
回顾：Durbin-Waston检验（DW检验）
DW检验决策规则
0 ≤ DW ≤ dL
误差项 u1,u2 ,...,un 间存在 正相关
（DW原假设）H0 : ρ = 0 ⇔ H0 : E(εtεt−1) = （0 残差相关性原假设）
26
回顾：Durbin-Waston检验（DW检验）
假设条件 原假设：残差序列不存在一阶自相关性
H 0
:
E(εtεt
)
−1
= 0 ⇔
H 0
:ρ
= 0
备择假设：残差序列存在一阶自相关性
H 0
: E(εtεt −1) ≠
思考：若模型不唯一，怎么处理？
建模步骤：模型的选择问题
模型
ARIMA(0,1,1)模型：
(1 − B)xt = 4.99661 + (1 + 0.70766B)ε t
Auto－Regressive模型一：
εxtt
基本定向点残差、检查点误差、公共点较差最大限值
基本定向点残差、检查点误差、公共点较差最大限值一、基本定向点残差1.概念基本定向点残差是指在摄影测量中，由于测量误差、基准点坐标精度不高等因素导致的定向点坐标与实际地物位置的差异。
通常是使用平差方法对观测数据进行处理后得出的。
2.影响因素基本定向点残差的大小受到多种因素的影响，主要包括测量精度、基准点质量、摄影测量仪器精度等。
3.重要性基本定向点残差的大小直接影响着摄影测量的精度和可靠性，是评价定向质量的重要指标之一。
二、检查点误差1.概念检查点误差指摄影测量后对已知地物进行精度验证所得到的误差，也是检验摄影测量质量的重要手段之一。
2.测量方法检查点误差的测量通常采用与摄影测量同样的观测方法和数据处理方法，通过比对实际地物坐标和摄影测量计算的坐标来得出误差值。
3.误差限值通常情况下，检查点误差的限值应符合国家标准和行业规范，超出限值的检查点误差需要重新进行测量和处理。
三、公共点较差最大限值1.定义公共点较差是指在重叠区域内用来计算同名点空间后方交会坐标的一组点，其内部点的坐标与所计算外部点的空间后方交会坐标之间的离差。
2.限值确定公共点较差最大限值的确定应当遵循国家标准和行业规范，同时也可以根据实际应用情况进行适当调整。
3.重要性公共点较差最大限值的设定对于摄影测量结果的精度和可靠性至关重要，是摄影测量质量控制的关键环节之一。
结论基本定向点残差、检查点误差、公共点较差最大限值是摄影测量质量控制中的重要指标，它们直接影响着摄影测量的精度和可靠性。
在进行摄影测量时，需要严格控制这些指标，以保证测量结果的准确性和可靠性。
相关标准和规范的不断完善也对提高摄影测量质量起着重要作用。
摄影测量是一种利用摄影测量仪器对地表特定区域进行空间定位和地图制作的测量技术。
在现代工程测量、地理信息系统、城市规划等领域，摄影测量技术已经成为不可或缺的重要工具。
然而，要保证摄影测量的准确性和可靠性，就需要严格控制基本定向点残差、检查点误差和公共点较差最大限值。
残差正态分布检验原假设
残差正态分布检验原假设残差正态分布检验是统计学中广泛使用的一种假设检验方法，用于检验线性回归模型中残差是否符合正态分布假设。
在进行线性回归分析时，我们通常会根据一组自变量的值来预测响应变量的值，但由于模型假设与数据样本之间的不匹配，实际预测值与观测值之间将存在误差，这些误差通常被称为残差。
考虑到模型预测精度的关键因素是残差的分布情况，因此在进行线性回归分析时，无论是预测还是假设检验，对残差分布的检验都是至关重要的。
残差正态分布检验的原假设是：残差符合正态分布。
在这种假说下，我们可以对残差分布进行正态性检验，以确定它是否符合该假设。
在统计分析中，一个成功的残差正态分布检验结果可以有效地消除噪声，从而使我们更高效地添加，删除或修改回归模型中的变量，以创建更为准确的模型。
如果残差不符合正态分布的假设，则回归模型的预测能力将受到影响。
残差正态分布检验是确定模型是否精确描述数据的重要方法。
如果残差不符合正态分布的假设，则模型的预测能力将会受到影响，并且模型的假设检验也会受到影响。
另外，残差正态分布检验还可以用于比较不同的回归模型。
在两个或多个回归模型之间进行比较时，我们可以使用残差正态分布检验来识别哪个模型更符合正态分布假设，并在此基础上确定最佳模型。
在残差正态分布检验中，我们使用一些统计学方法来确定残差是否符合正态分布假设。
例如，我们可以使用偏态指标来检查残差分布是否偏离了正态分布。
然后，我们可以使用图形表示法，如Q-Q图，来帮助可视化残差是否符合正态分布，传统意义上称为正态概率图。
在整个残差正态分布检验过程中，需要对偏度和样本大小进行评估，以便准确地识别残差分布，从而消除噪声和构建更准确的回归模型。
在实现残差正态分布检验以确定回归模型的实际效果时，研究人员需要对残差分布的各个方面进行深入分析并根据检验结果调整模型，从而在实践中实现更准确的预测和分析能力。
第五章残差与误差检验
检验统计量：
uk
vk
vk
vk
0 QV
k
vk
lk rk
当原假设 H0 成立时，统计量 uk ~ N (0,1); k很小时影响判断。
检验步骤：
1） 计算 uk;
2) 选择适当的显著水平 α，查得分位值 u α/2 ;
3) 比较 uk 与 u α/2 ， 若 uk < u α/2 ， 则接受 H0
原假设 H0: E ( vk) = 0; 备选假设 H1: E ( vk) ≠ 0;
检验统计量
* uk
ˆ(k )
vk ; Qkk (1 hk )
2 2 ˆ0 ( n p uk ) vk ˆ ， u (k ) k ˆ n p 1 vk
2 { ~ N (0, 0 Q)} , Biblioteka 为对角阵 .ˆL V AX
n ,1 n ,t t ,1
2, 平差因子( 帽子矩阵,投影矩阵)
H AN 1 AT P
(1) H是幂等阵 H * H AN 1 AT PAN1 AT P AN 1 AT P H ; hij hik hkj
最优的这是由于模型将不是模型求出的参数估值此时再用传统的数轴上产生了移分布而是母体期望在存在的观测误差不服从系统误差
5, 残差与误差检验
5.1 残差 5.2 粗差与数据探测 5.3 模型误差及其检验 5.4 稳健估计 5.5 基于相关分析的粗差检验
5.1 残
差
1) 普通残差及其性质
1, 普通残差的定义 观测方程: L = AX - Δ 误差方程: 回归模型: y = xβ- e
残差与误差的区别.doc
残差与误差的区别误差与残差，这两个概念在某程度上具有很大的相似性，都是衡量不确定性的指标，可是两者又存在区别。
误差与测量有关，误差大小可以衡量测量的准确性，误差越大则表示测量越不准确。
误差分为两类：系统误差与随机误差。
其中，系统误差与测量方案有关，通过改进测量方案可以避免系统误差。
随机误差与观测者，测量工具，被观测物体的性质有关，只能尽量减小，却不能避免。
残差――与预测有关，残差大小可以衡量预测的准确性。
残差越大表示预测越不准确。
残差与数据本身的分布特性，回归方程的选择有关。
随机误差项Ut反映除自变量外其他各种微小因素对因变量的影响。
它是Y t 与未知的总体回归线之间的纵向距离，是不可直接观测的。
残差e t 是Yt 与按照回归方程计算的Yt 的差额，它是Yt 与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算et 的具体数值。
利用残差可以对随机误差项的方差进行估计。
随机误差是方程假设的，而残差是原值与拟合值的差。
实践中人们经常用残差去估计这个随机误差项。
意义不一样哈，残差一般只的是在计算近似值过程中某一步与真实值得差值，而误差指的的是最终近似值与真实值得差值残差就是回归所得的估计值与真值（实际值）之间的误差；修正的R square就是剔出了数据量影响后的R23.4.3 测量不确定度评定方法参考公式及其详解参考：/sfzx/sy3.docISO发布的“测量不确定度表示指南”是测量数据处理和测量结果不确定度表达的规范，由于在评定不确定度之前，要求测得值为最佳值，故必须作系统误差的修正和粗大误差（异常值）的剔除。
最终评定出来的测量不确定度是测量结果中无法修正的部分。
测量不确定度评定总的过程如图3－3所示的流程。
具体的方法还要有各个环节的计算。
图3-3 测量不确定度评定流程图1、标准不确定度的A类评定此法是通过对等精度多次重复测量所得数据进行统计分析评定的，正如前面介绍的随机误差的处理过程，标准不确定度u(xi)＝s(xi)，是用单次测量结果的标准不确定度算出：（3-20）其单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔法求得，即：= （3-21）其实，单次测量结果的标准不确定度还有如下求法：①最大残差法：= ，系数如表3-2所示。
残差离差和误差
残差离差和误差
离差：
别称：常见的名称有离差，偏差，离均差，距平，一般都是指deviation。
定义：是变量的一个观测值与某个特定的参照值之间差异的度量。
参照值通常指变量的平均值，此时称为离均差或距平。
而一变量的各数值对于其平均值的偏离，称为变异（variation）。
特点：有正负。
残差：
残差在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差。
常在建模中使用。
误差：
测量值与真实值的差。
对任何一个物理量进行测量都不可能得出一个绝对准确的数值，误差表示测量结果偏离真值的程度。
误差项和残差项
误差项和残差项
误差项和残差项是统计学中常用的概念，它们都代表了实际观测值与理论预测值之间的差异。
误差项一般用于描述数据生成过程中的随机误差，而残差项则指的是在建立模型后，用该模型对数据进行拟合所产生的误差。
误差项一般被认为是一个随机变量，其期望值为0。
在回归分析中，误差项与解释变量之间的关系被视为随机误差。
误差项的方差可以用来衡量模型的拟合程度，越小代表模型的拟合效果越好。
而残差项则是实际观测值与模型预测值之间的差异，可以通过观测值减去预测值而得到。
残差项可以用来评估模型的拟合效果，如果残差项的平方和较小，则说明模型的拟合效果较好。
残差项还可以用于检验模型的假设条件是否满足，例如是否存在异方差性或自相关性等。
总之，误差项和残差项都是统计学中重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数据和模型之间的关系，从而提高模型的拟合效果和预测准确度。
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ui ˆ
vi
Qii 1
hii
;
Q(ui ) 1;
Q(uiu j ) ˆ 2
Q(viv j )
QiiQjj (1 hii )(1 hjj ) ˆ 2
hij Qjj
QiiQjj (1 hii )(1 hjj ) ˆ 2
(n t)
{V T PV 2 ~ 2 (n t)}
4,
ui2 nt
vi2 Qvi ˆ 2 (n t)
vi2 Qvi 2 V T PV 2
~ 1 , n t 1 2 2
X1
~ (n 1);
n
1
n
X
2 i
1
n
Xi ~ N (0, 2 );
X
2 i
/
2
~
2(n)
1
Z X ~ (m, n);
(3)
Q(vi ) (1 hii )Qii riiQii
当 hii 1 时, rii 0 (rii：多余观测分量）
Q(vi ) 0 强权 (高杠杆) 观测值 (抵抗粗差能力最差)
当 hii 0(rii 1) 时, Q(vi ) 1 完全"多余"的观测值;
(4) QXˆV N 1AT PQ(I PAN1AT ) 0; QLˆV 0.
4,
ˆ
2与ˆ
2 (i
的关
)
系
vi
vi 近似 t(n t 1)
Qii 1 hii
ˆ(i) Qvi
VT (i)
P(
i
)V(i
)
LT(i) P(i) L(i)
( A(Ti) P(i) L(i) )T
Xˆ (i)
(LT PL
Pi L2i ) {(AT PL)T
( AiT Pi Li )T }(Xˆ
{ ~ N(0, 02Q)} , Q为对角阵.
2, 平差因子( 帽子矩阵,投影矩阵)
H AN 1 AT P
(1)H是幂等阵
H * H AN 1AT PAN1AT P AN 1AT P H ;
n
hij hik hkj k 1
(2)令 R I H ,
则R 也是为幂等阵;且 HR H (I H ) 0;
2, δi与 vi的关系
因 Xˆ (i) (N AiT Pi Ai )1( AT PL AiT Pi Li )
{N
1
N
1
AiT
( Pi 1
Ai
N
A 1 T i
)1
Ai
N
1} ( AT
PL
AiT
Pi
Li
)
Xˆ
1
1 hii
N 1 AiT Pi
Ai Xˆ
N 1 AiT Pi Li
hii 1 hii
N 1 AiT Pivi 1 hii
)
LT PL ( AT PL)T
Xˆ
Pi Li Ai Xˆ
Pi L2i
Xˆ T AiT Pivi 1 hii
Lihii Pivi 1 hii
V T PV Pivi2 1 hii
(n t)ˆ 2 ui2ˆ 2
(n t ui2 )ˆ 2
即:
(n
t
N 1 AiT Pi Li
Xˆ
1 1 hii
N 1 AiT Pi
( Ai Xˆ
Li )
Xˆ
1 1 hii
N 1 AiT Pivi
所以
i
Ai Xˆ (i)
Li
vi
Ai 1 hii
N 1 AiT Pivi
vi
hii 1 hii
vi
vi 1 hii
即:
i
vi 1 hii
Qii 1 hii
(3)Rank(QvvP) Rank(R) tr(R)
tr( I ) n,n
tr(
N
1
AT
P A)t ,t
nt
r
n
4)令 ri Rii (QvvP)ii , 则 ri tr(R) r; (称ri为多余观测分量)
1
(5) Li Lˆi Vi ， QLˆV 0, Qii QLˆi Lˆi QViVi
5, 残差与误差检验
5.1 残差 5.2 粗差与数据探测 5.3 模型误差及其检验 5.4 稳健估计 5.5 基于相关分析的粗差检验
5.1 残 差
1) 普通残差及其性质
1, 普通残差的定义
观测方程:
L = AX - Δ
回归模型: y = xβ- e
误差方程:
V A Xˆ L
n,1 n,t t,1
1)
ˆ
2 (i
)
(n
t
ui2 )ˆ 2
4) 不相关残差
1, 普通残差的相关性
Qvv Q AN1AT (I H )Q RQ; 当Q是对角阵时, QVi (1 hii )Qii ;
2, 标准化残差的相关性
Rank(Qvv) n t r QViVj hijQii hjiQjj 0
X Y
22
X ~ 2(m); Y ~ 2(n)
3) 预测残差δi 与学生化残差
1,定义: 在 观测值 L 中 去掉 Li 后 , 有:
V(i) A(i) Xˆ (i) L(i) ;
可解得 :
Xˆ (i)
(
AT (i)
P(i) A(i) )1 A(Ti) P(i) L(i)
则称 i Ai Xˆ (i) Li 为预测残差.
ui ~
N (0, 2Qii ); 1 hii
Var(i )
Var(vi ) (1 hii )2
2Qii 1 hii
.
3, 标准化预测残差与学生化残差
ui
i
Qii /(1 hii )
vi
Qii 1
hii
~
N 0，1
用
ˆ
(i
代
)
替
,
有学生化残差:
ui* ˆ(i)
i
Qii /(1 hii ) ˆ(i)
2) 标准化残差
1,
定义
ui
vi
vi
vi Qvi
vi
;
Qii (1 hii )
ui
vi
ˆ vi
ˆ
vi Qvi
ˆ 2 1 V T PV
nt
2, E(ui ) 0; D(ui ) 1;
Cov(ui , u j ) 0
往往未知.
3,
ui
vi
ˆ vi
vi
V T PV
2
Qvi
~ (n t 1);
则
0 QViVi Qii QLˆi Lˆi Qii
所以 0 ri Q P ViVi i Qii Pi 1 , 即0 ri 1
由Qii QLˆi Lˆi QViVi 还可得： QLˆiLˆi Qii 可见平差后观测值的精度比平差前是提高了。
3,普通残差的性质
(1) V QvvP( AX ) QvvP R
上式中： QvvPA (I AN 1AT P) A 0
所以：
vi (1 hii )Li hij Lj (1 hii )i hij j
ji
ji
(2) E(V ) 0, D(V ) Qvv 2
Qvv (I AN1AT P)Q(I PAN1AT ) Q AN1AT (I H )Q RQ