第五章残差与误差检验

4,
ˆ
2与ˆ
2 (i
的关
)
系
vi
vi 近似 t(n t 1)
Qii 1 hii
ˆ(i) Qvi
VT (i)
P(
i
)V(i
)
LT(i) P(i) L(i)
( A(Ti) P(i) L(i) )T
Xˆ (i)
Fra Baidu bibliotek
(LT PL
Pi L2i ) {(AT PL)T
( AiT Pi Li )T }(Xˆ
(3)Rank(QvvP) Rank(R) tr(R)
tr( I ) n,n
tr(
N
1
AT
P A)t ,t
nt
r
n
4)令 ri Rii (QvvP)ii , 则 ri tr(R) r; (称ri为多余观测分量)
1
(5) Li Lˆi Vi ， QLˆV 0, Qii QLˆi Lˆi QViVi
(n t)
{V T PV 2 ~ 2 (n t)}
4,
ui2 nt
vi2 Qvi ˆ 2 (n t)
vi2 Qvi 2 V T PV 2
~ 1 , n t 1 2 2
X1
~ (n 1);
n
1
n
X
2 i
1
n
Xi ~ N (0, 2 );
X
2 i
/
2
~
2(n)
1
Z X ~ (m, n);
X Y
22
X ~ 2(m); Y ~ 2(n)
3) 预测残差δi 与学生化残差
1,定义: 在 观测值 L 中 去掉 Li 后 , 有:
V(i) A(i) Xˆ (i) L(i) ;
可解得 :
Xˆ (i)
(
AT (i)
P(i) A(i) )1 A(Ti) P(i) L(i)
则称 i Ai Xˆ (i) Li 为预测残差.
上式中： QvvPA (I AN 1AT P) A 0
所以：
vi (1 hii )Li hij Lj (1 hii )i hij j
ji
ji
(2) E(V ) 0, D(V ) Qvv 2
Qvv (I AN1AT P)Q(I PAN1AT ) Q AN1AT (I H )Q RQ
5, 残差与误差检验
5.1 残差 5.2 粗差与数据探测 5.3 模型误差及其检验 5.4 稳健估计 5.5 基于相关分析的粗差检验
5.1 残 差
1) 普通残差及其性质
1, 普通残差的定义
观测方程:
L = AX - Δ
回归模型: y = xβ- e
误差方程:
V A Xˆ L
n,1 n,t t,1
N 1 AiT Pi Li
Xˆ
1 1 hii
N 1 AiT Pi
( Ai Xˆ
Li )
Xˆ
1 1 hii
N 1 AiT Pivi
所以
i
Ai Xˆ (i)
Li
vi
Ai 1 hii
N 1 AiT Pivi
vi
hii 1 hii
vi
vi 1 hii
即:
i
vi 1 hii
Qii 1 hii
2, δi与 vi的关系
因 Xˆ (i) (N AiT Pi Ai )1( AT PL AiT Pi Li )
{N
1
N
1
AiT
( Pi 1
Ai
N
A 1 T i
)1
Ai
N
1} ( AT
PL
AiT
Pi
Li
)
Xˆ
1
1 hii
N 1 AiT Pi
Ai Xˆ
N 1 AiT Pi Li
hii 1 hii
N 1 AiT Pivi 1 hii
)
LT PL ( AT PL)T
Xˆ
Pi Li Ai Xˆ
Pi L2i
Xˆ T AiT Pivi 1 hii
Lihii Pivi 1 hii
V T PV Pivi2 1 hii
(n t)ˆ 2 ui2ˆ 2
(n t ui2 )ˆ 2
即:
(n
t
1)
ˆ
2 (i
)
(n
t
ui2 )ˆ 2
4) 不相关残差
1, 普通残差的相关性
Qvv Q AN1AT (I H )Q RQ; 当Q是对角阵时, QVi (1 hii )Qii ;
2, 标准化残差的相关性
Rank(Qvv) n t r QViVj hijQii hjiQjj 0
{ ~ N(0, 02Q)} , Q为对角阵.
2, 平差因子( 帽子矩阵,投影矩阵)
H AN 1 AT P
(1)H是幂等阵
H * H AN 1AT PAN1AT P AN 1AT P H ;
n
hij hik hkj k 1
(2)令 R I H ,
则R 也是为幂等阵;且 HR H (I H ) 0;
2) 标准化残差
1,
定义
ui
vi
vi
vi Qvi
vi
;
Qii (1 hii )
ui
vi
ˆ vi
ˆ
vi Qvi
ˆ 2 1 V T PV
nt
2, E(ui ) 0; D(ui ) 1;
Cov(ui , u j ) 0
往往未知.
3,
ui
vi
ˆ vi
vi
V T PV
2
Qvi
~ (n t 1);
ui ˆ
vi
Qii 1
hii
;
Q(ui ) 1;
Q(uiu j ) ˆ 2
Q(viv j )
QiiQjj (1 hii )(1 hjj ) ˆ 2
hij Qjj
QiiQjj (1 hii )(1 hjj ) ˆ 2
(3)
Q(vi ) (1 hii )Qii riiQii
当 hii 1 时, rii 0 (rii：多余观测分量）
Q(vi ) 0 强权 (高杠杆) 观测值 (抵抗粗差能力最差)
当 hii 0(rii 1) 时, Q(vi ) 1 完全"多余"的观测值;
(4) QXˆV N 1AT PQ(I PAN1AT ) 0; QLˆV 0.
则
0 QViVi Qii QLˆi Lˆi Qii
所以 0 ri Q P ViVi i Qii Pi 1 , 即0 ri 1
由Qii QLˆi Lˆi QViVi 还可得： QLˆiLˆi Qii 可见平差后观测值的精度比平差前是提高了。
3,普通残差的性质
(1) V QvvP( AX ) QvvP R
ui ~
N (0, 2Qii ); 1 hii
Var(i )
Var(vi ) (1 hii )2
2Qii 1 hii
.
3, 标准化预测残差与学生化残差
ui
i
Qii /(1 hii )
vi
Qii 1
hii
~
N 0，1
用
ˆ
(i
代
)
替
,
有学生化残差:
ui* ˆ(i)
i
Qii /(1 hii ) ˆ(i)