2016年高考理科数学总复习不等式及推理证明6-4
2016届高三数学一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明6-6
3．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边 分别为a，b，c.求证：a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c.
证明 要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3也就是a＋c b＋b＋a c＝1， 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
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变式思考 3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝ 2.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
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解 (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
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由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．
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知识点二
间接证明
4.用反证法证明命题“如果a＞b，那么 3 a ＞ 3 b ”时，假设 的内容应是( )
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变式思考 1 设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，
Sn是其前n项的和．记bn＝
nSn n2＋c
，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，
且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
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又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝
【福建省】2016届高考数学(理科)-数列、不等式、算法初步及推理与证明-专题练习-答案
11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=， 左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立 即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+． 则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=，又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b =（Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2）(1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+．13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤；（Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习 数列、不等式、算法初步及推理与证明解 析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O 与直线l=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）OxyA11 -133 l5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5....log 2lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++，又因为123..k a a a a 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22nk =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+， 又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822m i n+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+yxx y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列， ，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。
2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习不等式、推理与证明
第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式基础盘查一 两个实数比较大小的方法 (一)循纲忆知1．了解现实世界和日常生活中的不等关系； 2．了解不等式(组)的实际背景． (二)小题查验 判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现( ) (2)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种( ) (3)若ab ＞1，则a ＞b ( )答案：(1)√ (2)√ (3)× 基础盘查二 不等式的基本性质 (一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用． (二)小题查验 1．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性( ) (4)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒a d ＞bc ( )(5)若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(人教A 版教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ； (4)a ＞b ＞0⇒1a 2________1b2.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜考点一 比较两个数(式)的大小|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]两个实数比较大小的法则[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1.∴当a >1时，a ＋2>31－a；当a <1时，a ＋2<31－a.[类题通法]比较两个数(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．(2)用作商法比较代数式的大小一般适用于分式、指数式、对数式，作商只是思路，关键是化简变形，从而使结果能够与1比较大小．考点二 不等式的性质|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.[提醒] 不等式两边同乘数c 时，要特别注意“乘数c 的符号”．[典题例析]1．(2013·天津高考)设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件．2．(2015·西宁二模)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞bc，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．[类题通法](1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．[演练冲关]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值．考点三 不等式性质的应用|(题点多变型考点——全面发掘)[一题多变] [典型母题]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围． [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b . f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10].[题点发散1] 若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4，求f (－2)的取值范围．解：由本例知f (－2)＝f (1)＋3f (－1)． 又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)．[题点发散2] 若本例条件不变，求2a －3b 的取值范围． 解：设2a －3b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝52，所以2a －3b ＝－12(a ＋b )＋52(a －b )＝－12f (1)＋52f (－1)∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴－2≤－12f (1)≤－1，52≤52f (－1)≤5，∴12≤2a －3b ≤4. 故2a －3b 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，4. [题点发散3] 若本例条件变为：已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解：由1≤lg xy ≤4，－1≤lg xy ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2， 而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y的取值范围是[－1,5]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．一、选择题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B. 2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2015·西安检测)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析： 选D 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.4．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b 成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab <0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．5．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.6．(2015·北京平谷模拟)已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab ＞0，bc －ad ＞0，则c a －db ＞0；②若ab ＞0，c a －db ＞0，则bc －ad ＞0；③若bc －ad ＞0，c a －db ＞0，则ab ＞0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析：选D ∵ab ＞0，bc －ad ＞0， ∴c a －d b ＝bc －ad ab ＞0，∴①正确； ∵ab ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴bc －ad ＞0，∴②正确；∵bc －ad ＞0，又c a －db ＞0，即bc －ad ab ＞0，∴ab ＞0，∴③正确．故选D. 二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确命题的序号是__________．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立． 答案：②③8．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________． 解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：(－3,3)9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，有b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解．综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1) 三、解答题11．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0.求证：e (a －c )2＞e(b －d )2. 证明：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1(a －c )2＜1(b －d )2.又∵e ＜0，∴e (a －c )2＞e(b －d )2. 12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法基础盘查 一元二次不等式 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． (二)小题查验 1．判断正误(1)不等式ax 2＋x －1＞0一定是一元二次不等式( )(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合( )(3)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)的解集为R 时，ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立( )(4)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解是x 1，x 2，且x 1＜x 2，则ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{}x |x ＜x 1或x ＞x 2()答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 3．(人教A 版教材例题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅4．已知集合A ＝{}x |－5＜x ＜1，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案：－1 1考点一 一元二次不等式的解法|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]设一元二次不等式为ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)，其中Δ＝b 2－4ac ，x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根且x 1＜x 2.(1)当a ＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x ＜x 1，或x ＞x 2}；若Δ＝0，则不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，且x ≠－b 2a ； 若Δ＜0，则不等式的解集为R .(2)当a ＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}； 若Δ＝0，则不等式的解集为∅； 若Δ＜0，则不等式的解集为∅.[题组练透]1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.2．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.[类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．考点二 一元二次不等式恒成立问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[多角探明]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6.所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＜0或0＜m ＜67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．考点三 一元二次不等式的应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析]甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则 y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．[类题通法]求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[演练冲关]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成(要求售价不能低于成本价)．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x ＝20(10－x )(50＋8x ) 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得x ≤2. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.一、选择题1．(2014·大纲卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}，故选C.2．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B ①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.3．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，94.故选B.4．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( ) A ．[80,125) B ．(80,125) C ．(－∞，80)D ．(125，＋∞) 解析：选A 由5x 2－a ≤0，得－ a5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5＜5， ∴80≤a ＜125. 故选A.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则： y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间． 故选C.6．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞， 二、填空题7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}8．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}，则a 的值为________． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}， ∴1－a ＜0，即a ＞1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6＜0，a －1＞0， 其解集为{x |－3＜x ＜1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎨⎧a ＞1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.答案：39．某种产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是________台．解析：由题意知3 000＋20x －0.1x 2－25x ≤0， 即0.1x 2＋5x －3 000≥0， ∴x 2＋50x －30 000≥0， ∴(x －150)(x ＋200)≥0. 又x ∈(0,240)， ∴150≤x ＜240，即生产者不亏本时的最低产量为150台． 答案：15010．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32. 12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础盘查一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (一)循纲忆知1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． (二)小题查验 1．判断正误(1)二元一次不等式的解是由x 和y 两部分构成的有序实数对(x ，y )( )(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集( ) (3)原点能判断二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0所表示的平面区域( )(4)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方( ) (5)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＜0( )(6)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy ＜0表示( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ 2．(人教A 版教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B基础盘查二 线性规划中的基本概念 (一)循纲忆知会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(线性约束条件、线性目标函数等概念)．(二)小题查验 1．判断正误(1)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x 或y 的值( ) (2)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(人教A 版教材练习改编) 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：3考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0. (1)直线与平面内的点直线l 把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线上的点；在直线上方区域内的点；在直线下方区域内的点．(2)不等式表示的区域：以不等式的解(x ，y )为坐标的所有点构成的区域，即为不等式表示的区域．[题组练透]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0.由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]求目标函数的最值要明确几个概念(1)约束条件：由变量x ，y 组成的不等式(组)；(2)线性约束条件：由关于x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)； (3)目标函数：关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等； (4)可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )；(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．[多角探明]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8.2．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y的最小值为 ________.解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1.答案：1角度二：求非线性目标的最值3．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13. 4．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4]解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．角度三：求线性规划中的参数5．(2014·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12.故选D.6．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点三 线性规划的实际应用|(重点保分型考点——师生共研)[典题例析](2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[类题通法]1．解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[演练冲关]A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700. 故最大利润是1 700元．答案：1 700一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：选A 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3.3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝ OA ·OP 的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D 如图作可行域，z ＝ OA ·OP ＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D.。
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-6
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第六章 第六节 第二页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
考 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 纲 法；了解分析法和综合法的思考过程和特点． 导
2.了解反证法的思考过程和特点. 学
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第六章 第六节 第三页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理
第一页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第六节 直接证明与间接证明
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
(2)∵a，b，c 全不相等，且都大于 0.
∴ba与ab，ac与ac，bc与bc全不相等．
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第六章 第六节 第三十页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
∴ba＋ab＞2，ac＋ac＞2，bc＋bc＞2， 三式相加得ba＋ac＋bc＋ab＋ac＋bc＞6， ∴ba＋ca－1＋cb＋ab－1＋ac＋bc－1＞3， 即b＋ac－a＋a＋bc－b＋a＋cb－c＞3.
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
5．已知点 An(n，an)为函数 y＝ x2＋1图像上的点，Bn(n，bn) 为函数 y＝x 图像上的点，其中 n∈N*，设 cn＝an－bn，则 cn 与 cn＋1 的大小关系为__________．
解析：由题意知，an＝ n2＋1，bn＝n，∴cn＝ n2＋1－n＝ n2＋11＋n.显然，cn 随着 n 的增大而减小，
高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[7]
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[规律方法]
用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤 缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则 失去了递推依据．
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多
少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k ＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就
[听课记录] (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于 b＞0 且 b≠1， 所以 n≥2 时，{an}是以 b 为公比的等比数列． 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， ∴aa21＝b，即b（bb＋－r1）＝b，解得 r＝－1.
D [由 f(n)可知，共有 n2－n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14.]
4 ． 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 ＋ 2 ＋ 22 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 ＝ 2n ＋ 2 －
1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为
_____．
答案 1＋2＋22 [关Βιβλιοθήκη 要点点拨] 数学归纳法的应用
(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明 方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假
设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，
否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑 结论”．
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)f（k＋1）－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第6章 不等式、推理与证明-4
第六章
不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理
第一页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
第四节 基本不等式
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
自主园地 备考套餐
开卷速查
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第六章 第四节 第十二页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
1．函数 y＝x＋1x(x＞0)的值域为( )
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞)
D．(2，＋∞)
解析：∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号．
解析：(1)∵0＜x＜1， ∴f(x)＝x(4－3x) ＝13·3x(4－3x) ≤13×3x＋42－3x2 ＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取得“＝”，故选 D 项．
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第六章第二十六第页，四编节辑于星期五：二十一点 二十二
分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
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第六章 第四节 第二十页，编辑于星期五：二十一点 二十二分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
►名师点拨 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变 形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变 形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-6
2．已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13<(a2＋b2)12.
第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
反证法的应用(师生共研) 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解析 (1)当 n＝1 时，a1＋S1＝2a1＝2，则 a1＝1. 又 an＋Sn＝2，所以 an＋1＋Sn＋1＝2， 两式相减得 an＋1＝12an， 所以{an}是首项为 1，公比为21的等比数列，所以 an＝2n1－1.
第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十二 分。
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c 三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
证明：假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°， 从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边， 即b>a，b>c. ∴1a>b1，1c>1b，相加得 a1＋1c>1b＋1b＝2b，这与1a＋1c＝2b矛盾． 故∠B≥90°不成立，即∠B<90°.
第六页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
一、直接证明
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos4
θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2θ”，此过
程应用了( )
A．分析法
B．综合法
答案：D
第八页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
二、间接证明
3．(2014年东营模拟)用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可被5整
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-2
最新考纲展示 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2.通过函数图象 了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3.会解 一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
第一页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
一元二次不等式的解集 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：
第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十二 分。
由基本不等式得
x＋1x≥2，当且仅当
x＝1
1 时，等号成立，即x＋1xmax
＝12.
故 a2－a≥12，解得 a≤1－2
3或 a≥1＋2
3 .
答案：(1)12，＋∞ (2)C
第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十二 分。
解析：(1)由 x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0， ∵a>0，∴不等式 x2－2ax－8a2<0 的解集为(－2a,4a)，又∵不等式 x2－2ax－8a2<0 的解集为(x1，x2)， ∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得 a＝52， 故选 A. (2)由(1－ax)2<1，得 a2x2－2ax<0，即 ax(ax－2)<0，当 a＝0 时，x∈ ∅.
a<－2
时，不等式的解集为x －1≤x≤a2
.
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据： (1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将 不等式转化为二次项系数为正的形式． (2) 当 不 等 式 对 应 方 程 的 根 的 个 数 不 确 定 时 ， 讨 论 判 别 式 Δ 与 0 的 关 系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根 的大小关系，从而确定解集形式．
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-4
二、几个重要的不等式 1．a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． 2.ab＋ba≥ 2 (a，b 同号)． 3．ab≤a＋2 b2(a，b∈R)． 4.a2＋2 b2≥a＋2 b2(a，b∈R)．
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
三、算术平均数与几何平均数
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为 ab， 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ．
()
A．1
B．2
C．4
D．8
第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
解析 (1)由 x2－3xy＋4y2－z＝0，得 z＝x2－3xy＋4y2， ∴xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3. 又 x，y，z 为正实数，∴xy＋4xy≥4， 当且仅当 x＝2y 时取等号，此时 z＝2y2. ∴2x＋1y－2z＝22y＋1y－22y2＝－1y2＋2y ＝－1y－12＋1，当1y＝1，即 y＝1 时，上式有最大值 1.
第十九页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
解析 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S＝xy，依 题设，得 40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x·90y ＋20xy＝120 xy＋20xy＝120 S＋20S，则 S＋6 S－160≤0，即( S－ 10)( S＋16)≤0，故 0< S≤10，从而 0<S≤100，所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40x＝90y 且 xy＝100，解得 x＝15， 即铁栅的长应设计为 15 米．
解析：(1)设每件产品的平均费用为 y 元，由题意得 y＝80x0＋8x≥2 80x0·8x＝20. 当且仅当80x0＝8x(x>0)，即 x＝80 时“＝”成立，故选 B. (2)设原价为 1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p%)(1＋q%)， 方案乙：1＋p＋2 q%2，
2016届高三数学一轮总复习课件：第六章 不等式、推理与证明6-4
听 课 记 录 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. ∴3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13. (2)∵ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
第十七页，编辑于星期五：二十点 十四分。
问题探究 问题1 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”，应 怎样理解这句话？ 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”时，应理解 为：①“当”就是a＝b时，a2＋b2＝2ab；②“仅当”指的是a2＋ b2＝2ab时，a＝b.也就是a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．
第四页，编辑于星期五：二十点 十四分。
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
第五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
知识梳理
知识点一
基本不等式
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
a＋b
(3)其中 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab 称为正数 a，
明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件
定价为30元．
第三十八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【规律方法】 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔 细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变 量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不 到，可利用函数单调性求解．
2016高考数学(理)大一轮复习配套课件：第六章 不等式、推理与证明6-4
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
[奇思妙想] 本例(2)中，若 log2x＋log2y＝1，求 x＋y 的取值 范围．
解：log2x＋log2y＝1，∴log2(xy)＝1，∴xy＝2，∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 2.当且仅当 x＝y＝ 2时取等号．
第六章 第4讲
第23页
第二十三页，编辑于星期六：点 五十四分。
第六章 第4讲
第24页
第二十四页，编辑于星期六：点 五十四分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
记牢2个必备考点 突破3个热点考向
破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成 立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是 最容易发生错误的地方．
答案：100 m2
第六章 第4讲
第15页
第十五页，编辑于星期六：点 五十四分。
金版教程 ·高三一轮总复习 ·理科数学
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迎战2年高考模拟
限时规范特训
5. [2015·山东模拟]已知 x，y∈R＋，且满足3x＋4y＝1，则 xy 的
最大值为________．
第十四页，编辑于星期六：点 五十四分。
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解析：设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(x＋y)＝40，
即 x＋y＝20.
∴矩形的面积 S＝xy≤x＋2 y2＝100，当且仅当 x＝y＝10 时， 等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是 100 m2.
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-1
第一页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
高考总复习 A 数学
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
第一节 不等关系与不等式
最新考纲展示
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的 山
实际背景． 3.掌握不等式的性质及应用．
东 金
太
阳
书
山
其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．
东 金
解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．
太 阳
答案：②③
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第九页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
抓主干 知识 回扣
研考向 考点 探究
提素能 高效 训练
高考总复习 A 数学
用不等式(组)表示不等关系(师生共研)
山 东
aS33－Sa55＝aa11q21－1－q3q－aa11q41－1－q5q
金 太 阳
＝q21－qq431－－q1－q5＝－qq－4 1<0，所以aS33<Sa55.
书 业 有
限
综上可知aS33<aS55.
公 司
菜 单 隐藏
第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
高考总复习 A 数学
抓主干 知识 回扣
菜 单 隐藏
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
抓主干 知识 回扣 研考向 考点 探究 提素能 高效 训练
菜 单 隐藏
高考总复习 A 数学
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
第四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-3
某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超 过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄
瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0
B．30,20
C．20,30
侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的 符号即可判断 Ax＋By＋C＞0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
第二页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
二、线性规划相关概念
第三页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
三、应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： 1．在平面直角坐标系内作出可行域． 2．考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形． 3．确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从 而确定最优解． 4．求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
第四页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧： 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特 殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不 等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足 不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一 侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0) 或者(0,1)作为测试点．
第三节 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
最新考纲展示 1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2.了解二元一次 不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3.会从实 际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2016高考总复习课件高中数学 第六章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法
第六章 不等式、推理与证明
[规律方法] “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全 归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是： 通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学 归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或 与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、 猜想出公式．
a2k＋1＝a2k＋a1k2＋2＞2k＋3＋a12k＞2(k＋1)＋1.
∴当 n＝k＋1 时，ak＋1＞ 2（k＋1）＋1成立．
综上，an＞ 2n＋1对一切正整数 n 都成立．
栏目 第十四页，编辑于星期六：点 二十导一引分。
第六章 不等式、推理与证明
[规律方法] 数学归纳法证明不等式应注意： (1)当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法 不容易证，则可考虑应用数学归纳法； (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，推证 n ＝k＋1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、 综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．
栏目 第四页，编辑于星期六：点 二十一导分引。
第六章 不等式、推理与证明
2．明确数学归纳法的两步证明 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方 法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳 假设起着“已知条件”的作用，在 n＝k＋1 时一定要运用 它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设， 二凑结论”．
第六章 不等式、推理与证明
考点一
用数学归纳法证明等式
考点二 用数学归纳法证明不等式
考点三 归纳—猜想—证明
栏目 第七页，编辑于星期六：点 二十一导分引。
2016届高考数学理科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明6-7
(2)假设当 n＝k 时，结论成立，即 2≤xk<xk＋1<3. ∴直线 PQk＋1 的方程为 y－5＝fxxkk＋＋11－－45(x－4)． 又 f(xk＋1)＝x2k＋1－2xk＋1－3，代入上式，令 y＝0，得 xk＋2＝32＋＋4xxkk＋＋11＝ 4－2＋5xk＋1， 由归纳假设，2<xk＋1<3，xk＋2＝4－2＋5xk＋1<4－2＋5 3＝3； xk＋2－xk＋1＝3－x2k＋＋1x1k＋＋1 xk＋1>0，即 xk＋1<xk＋2. 所以 2≤xk＋1<xk＋2<3，即当 n＝k＋1 时，结论成立． 由(1)、(2)知对任意的正整数 n,2≤xn<xn＋1<3.
14＋…＋n＋1 1＝2n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n时，若已假设 n＝k(k≥2 为偶数)
时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝( )时等式成立( )
A．k＋1
B．k＋2
C．2k＋2
D．2(k＋2)
解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数 为k＋2，故选B.
答案：B
D．f(n)中共有 n2－n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14
解析：项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
答案：D
第六页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
4．用数学归纳法证明“1＋21＋31＋…＋2n－1 1<n(n>1)”，由 n＝k(k>1) 不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是________．
第九页，编辑于星期五：二十一点 四十二分。
规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等 式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
【福建省】2016届高考数学(理科)-数列、不等式、算法初步及推理与证明-专题练习及答案解析
A ．7k =B ．6k ≤ 6．已知数列{}n a 满足*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，定义：使乘积123...k a a a a ，为正整数的*()k k ∈N 叫做“期盼数”，则在区间[1,2011]内所有的“期盼数”的和为（ ） A ．2 036B ．4 076C ．4 072D ．2 026二、填空题：本大题共4小题，每小题6分． n++，则数列10．“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……，则第50个数对是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分10分）给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；14916(1234)......-+-=-+++．猜测第*()n n ∈N 个等式，并用数学归纳法证明．12．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且n S 满足：2,n S n n n +=+∈N ．等比数列{}n b 满足：21log 02n n b a +=． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项的和n T ． 13．（本小题满分15分）已知函数21()()1f x x a x a=-++，0a >．（Ⅰ）当12a =时，解不等式()0f x ≤； （Ⅱ）比较1a 与的大小；11．证明：（Ⅰ）当1n =时，211=左边=，01(11)(1)12⨯+-⨯=右边=， 左边=右边，等式成立．（Ⅱ）假设*()n k k =∈N 时，等式成立 即22221212(1)1234...(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k --+-+-++-=-+-+． 则当1n k =+时，222212212(1)1234...(1)(1)(1)(1)(1)(1)2k k k k k k k k k --+-+-++-+-+=-+-+ 2(1)[(1)1]()(1)[(1)](1)22kk k k k k k +++=-++-=- ∴当1n k =+时，等式也成立根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对于任何*n ∈N 等式均成立．12．解：（Ⅰ）当1n =时，12S =即12a =，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=， 又1221a ==⨯，∴2n a n =由21log 02n n b a +=得1()2n n b = （Ⅱ）11()2n n n n c a b n -==01221111111()2()3()...(1)()()22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯（1）121111111()2()...(1)()()22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯（2） (1)(2)-得12111()11111121()()...()()()122222212nn n n n T n n --=++++-⨯=-⨯- ∴114()(2)2n n T n -=-+． 13．解：（Ⅰ）当12a =时，有不等式23()102f x x x =-+≤，∴1()(2)02x x --≤，∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤； （Ⅱ）∵1(1)(1)a a a a a+--=且0a >∴当01a <<时，有1a a >；当1a >时，有1a a <；当1=a 时，1a a=；（Ⅲ）∵不等式1()()()0f x x x a a=--≤当01a <<时，有1a a >，∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤；当1>a 时，有1a a <，∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤；当1a =时，不等式的解集为{1}x ∈．福建省2016届高考数学（理科）-专题练习 数列、不等式、算法初步及推理与证明解 析一、选择题．1．【解析】由等差数列的性质可得4681012240a a a a a ++++=，解得848a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，()911888112332333a a a d a d a -=+-+==，故选C ．2．【解析】因为21102,4,n n a a a n +=-=所以214a a -=，解得198a =，由累加方法求得数列22298n a n n =-+，所以222989822226n a n n n n n n -+==+-≥=，而982n n =解得249n =，当n=7时，na n 由最小值263．【解析】∵4a 与14a 的等比中项为，∴8=，∴711288a a a +≥⨯=，∴7112a a +的最小值为8．4．【解析】依题约束条件表示的平面区域如下图目标函数22x y +表示可行域内任一点(),A x y 到原点O 距离的平方，由图可知当OA 垂直于直线l ：30x y +-=时，目标函数有最小值，又点O与直线l2=，所以目标函数的最小值为92，故选（B ）5．【解析】由题可知，第一步，359,11≠==S k S ，，进入循环，第二步，358,20≠==S k S ，，进入循环，第三步，357,28≠==S k S ，，进入循环，第四步，356,35===S k S ，，循环结束，综上分析可得，判断框中应填入6>k ； 6．因为)2(log 1+=+n a n n ，所以()()()1232lg 2lg3lg 4lg5....log 2lg 2lg3lg 4lg 1k k a a a a k k +==++L L ，又因为123..ka a a a L 为整数，所以k+2必须是2的n 次幂，即22n k =-，又[]1,2011k ∈，所以1222011n ≤-≤，所以解得210n ≤≤，则在区间[]2011,1内所有的“期盼数”的和为：()()()()21123410222222222229202612--+-+-+-=-⨯=- ，故选择D 二、填空题．7．【解析】由已知，111411,4(),2(1)(2)12n n n n a a a n n n n ++===-++++所以，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111124[()()...()]4()233412222nn n n n -+-++-=-=++++． 8．【解析】因为(0,1)a b ∈、且,a b ≠根据基本不等式ab b a 222≥+，又ab ab >，有ab b a 222>+， 又因为22,b b a a >>，所以22b a b a +>+，所以a b +最大．9．【解析】由于m m y x x y 2822+>+恒成立，需m m y x x y 2822min+>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，由基本不等式得882282≥⋅≥+y x x y y x x y ，因此m m 282+>，∴24<<-m ．10. 【解析】观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列，，和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列，，，和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列， ，，，……依此类推；由于9(19)129452⨯++++==，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对(5,6)；故答案为：．三、解答题．(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1))6,5(11．【解析】由归纳推理不难写出第个等式．用数学归纳法证明：分两步进行，第一步验证时等式成立，第二步假设时，等式成立，证明当时等仍然成立即可．第个等式为：＝()n n *∈N 1n =(*)n k k =∈N 1n k =+n 2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+。
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题 组 层 级 快 练
第 4页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
课 前 自 助 餐
第 5页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
1．基本不等式
a＋b 若 a， b∈R＋， 则 2 ≥ ab， 当且仅当 a＝b 时取“＝”．
这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 不小于 它们的 几何平均数．
第31页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
y 9x 当且仅当x＝ y ，即 y＝3x 时，取等号． 1 9 又x ＋y ＝1，∴x＝4，y＝12. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
【答案】 16
第32页
第七章
不等式及推理与证明
高考调研
探究2
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
第23页
9 5 2 9 ＝ － 5－9＋3＝4 5.
第七章 不等式及推理与证明
高考调研
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②设 4x－5＝t，则 t≠0. 1 ∴y＝t＋ t ＋3. 当 t＞0 时，y≥2＋3＝5； 当 t＜0 时，y≤－2＋3＝1. ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．
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3．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(
A．4 C．2 2 答案 B B．8 D．4 2
)
解析
∵2x＋4y≥2 2x· 22y＝2 2x＋2y＝2 24＝8，当且仅
当 2x＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号， ∴2x＋4y 的最小值为 8.
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授人以渔
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题型一 利用基本不等式求最值
1 例 1 在下列条件下，求 y＝4x－2＋ 的最值． 4x－5 5 ( 1 ) 当 x<4时，求最大值； 5 ( 2 ) 当 x>4时，求最小值； ( 3 ) 当 x≥2 时，求最小值．
思考题1
16x2－28x＋11 (1)已知函数 y＝ . 4x－5 4 ①当 x≤5时，求 y 的最大值； 5 ②当 x≠4时，求 y 的值域； 5 ③当 0<x<4时，求 y 的最大值．
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( 2 ) 自 己 总 结 形 如
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1．x∈R，下列不等式恒成立的是(
)
A．x ＋1≥x C．lg(x2＋1)>lg(2x)
答案 A
2
1 B. 2 <1 x ＋1 D．x2＋4>4x
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解析 ∵x<0，∴2x∈( 0 1 ,)
－ －
，2 x> 1 .
－
∴2x＋2 x>2 2x· 2 x＝2.∴D 正确． 而 A，B 首 先 不 满 足 “一正”，C 应当为“≤”．
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2．常用不等式 (1) 若 a ， b∈R ，则 a2 ＋ b2≥2ab ，当且仅当 a＝b 时取
“＝”．
a2＋b2 a＋b2 (2) 2 ≥ ≥ab. 2
(3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (4)x＋x ≥2.
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【 解 析 】
5 ( 1 ) ∵x<4，∴5－4x> 0 .
1 1 ∴y＝4x－2＋ ＝－5－4x＋5－4x . ＋ 3≤ － 2 ＋ 3 ＝ 1 4x－5
当 且 仅 当
1 5－4x＝ ， 即 x＝1 时 ， 上 式 等 号 成 立 ． 5－4x
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) B．10 D．2
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5．(课本习题改编)建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方 体无盖水池，如果池底和池壁 1 m2 的造价分别为 120 元和 80
元，那么水池表面积的最低造价为________元．
答案 1 760
解析 设水池底面的长度、宽度分别为 a m，b m，则 ab＝4，令水池表面的总造价为 y， 则 y＝ab×120＋2(2a＋2b)×80 ＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2 ab＝480＋320×4＝1 760，当且仅当 a＝b＝2 时取“＝”．
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探究1
用均值定理求最值要注意三个条件一正、二定、
三相等． “ 一正 ” 不满足时，需提负号或加以讨论，如例 (1)，“二定”不满足时，需变形如例(2)，“三相等”不满足
时，可利用函数单调性如例(3)．
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2．下列不等式证明过程正确的是(
)
b a A．若 a，b∈R，则a＋b≥2
ba a· b＝2
B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx· lgy 4 C．若 x<0，则 x＋x ≥－2 4 x· x ＝－4
D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x· 2－x＝2
答案 D
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请注意 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点
考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且
常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围 以及最值等几方面的应用．
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课 前 自 助 餐
授人以渔 自助餐
课外阅读
故 当 x＝1 时 ， ym . x a ＝1
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5 ( 2 ) ∵x>4，∴4x－5 > 0 . 1 1 y＝4x－2＋ ＝4x－5＋ ＋3≥2＋3＝5. 4x－5 4x－5 1 3 当且仅当 4x－5＝ ，即 x＝2时上式“＝”成立． 4x－5 3 即 x＝2时，ym n i ＝5.
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思考题2
1 2 (1)已知x ＋y ＝1(x＞0，y＞0)，求 x＋y 的最小值． 1 2 (2)已知正数 x，y 满足 x＋y＝4，求x ＋y 的最小值．
1 2 y 2x 【解析】 (1)x＋y＝(x＋y)· (x ＋y )＝3＋x＋ y ≥3＋2 2. 1 2 1 2 x＋y 1 y 2x 3＋2 2 (2)x ＋y ＝(x ＋y )· 4 ＝4(3＋x＋ y )≥ 4 .
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当 且 仅 当
9 y－9＝ ， 即 y＝1 2 时 取 等 号 ． y－9
1 9 又x ＋y ＝1， 则 x＝4 . ∴当 x＝4，y＝1 2 时 ， x＋y 取 最 小 值 1 6 .
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【答案】 3＋2 2 1 9 ( 2 ) 已知 x>0，y>0，且x ＋y ＝1，求 x＋y 的最小值．
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【解析】 解 出 y， 用 只 含
1 9 方法一：减少元素个数．根据条件 x ＋ y ＝1 x的 代 数 式 表 示 y， 代 数 式 x＋y 转 化 为 只 含 x
【 解 析 】 ∵x＋2y＝1， 1 1 1 1 x 2y ∴x ＋y ＝( x＋ y( ) · x＋2y)＝3＋y＋ x ≥3＋2 x 2y y· x ＝3＋2 2.
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x 2y x＝ 2－1， ＝ ， 当且仅当y x 即 时取等号． 2 y＝1－ 2 x＋2y＝1， 1 1 故x ＋y 的最小值为 3＋2 2.
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方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用 “1” 的 代换，也会给解决问题提供简捷的解法．
1 9 ∵x ＋y ＝1， 1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· (x ＋y )＝10＋x＋ y . y 9x ∵x>0，y>0，∴x＋ y ≥2 y 9x x· y ＝6.
4 ． ( 课本习题改编 ) 设 x>0 ， y>0 ，且 x ＋ 4y ＝ 40 ，则 lgx ＋