虹口区高考数学二模含答案
上海市虹口区2021届高三二模数学试卷(含答案)
上海市虹口区2021届高三二模数学试卷（时间120分钟，满分150分）一．填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）l.己知集合A斗IY= lOX ,xεR}, B斗IY= X2,1豆x三2｝，则AnB=3’＇－12.lim一一一＝n→00 3" + 13.在（x+_!_)6的二项展开式中，常数项是4.某班级要从4名男生和3名女生中选取3名同学参加志愿者活动，则选出的3人中既有男生又要有女生的概率等于5.给出下列命题：①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行：③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．其中所有正确命题的序号为6.己知P为抛物线C: y2 = 2 p x(p > 0）上一点，点P到抛物线C的焦点的距离为7，到y 轴的距离为5，则p=7.若sinθ＝kcosθ，则sinθ·COSθ的值等于（用k表示）．8.设函数f(x）的定义域为D.若对于D内的任意码，X2(x1手：X2），都有(x2 -x,)[f(x i)-j(x,)] > 0，则称函数f(x）为“Z函数”有下列函数：①J(x)= 1；②f(x) =-2x+ 1;③f(x) = x3；④f(x) = lgx其中‘Z函数”的序号是（写出所有的正确序号）9.己知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18(cm3）.若该三棱柱的所有顶点都在球。
的表面上，则球。
的体积等于（cm�）.10.在平面直角坐标系xOy中，定义A(x1,y1), B(x2,y2）两点的折线距离d(A,B）二I x,-x2l+IY, -Y2I设点P(m2月2),Q(m,n），。
（0,0),C(2,0），若d(P,O）二1,虹口区高三数学本卷共4页第1页。
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
虹口二模高三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x - 1)B. y = 1/xC. y = x^2D. y = log(x + 1)答案：C解析：选项A的定义域为x ≥ 1；选项B的定义域为x ≠ 0；选项C的定义域为全体实数；选项D的定义域为x > -1。
因此，选C。
2. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a3 = 8，则d =（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：由等差数列的性质，a3 = a1 + 2d，代入a1 = 2，a3 = 8，得 2 + 2d = 8，解得d = 3。
因此，选B。
3. 下列命题中，正确的是（）A. 函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上单调递减B. 若a > b > 0，则a^2 > b^2C. 等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n - 1)dD. 对于任意实数x，有x^2 ≥ 0答案：D解析：选项A错误，因为f(x) = x^2在区间[0, 1]上单调递增；选项B错误，因为a^2 > b^2当且仅当a > b；选项C正确，是等差数列的通项公式；选项D正确，因为任意实数的平方都大于等于0。
因此，选D。
4. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a =（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：C解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的对称轴为x = -b/(2a)，因为f(x)在x = 1时取得最小值，所以对称轴为x = 1，即-b/(2a) = 1，解得 a = -1。
因此，选C。
5. 下列函数中，在x = 0处连续的是（）A. y = |x|B. y = x^2C. y = x/(x - 1)D. y = 1/x答案：B解析：选项A在x = 0处不连续，因为|0| = 0，但左极限为0，右极限为0；选项B在x = 0处连续，因为x^2在x = 0处连续；选项C在x = 0处不连续，因为x/(x - 1)在x = 0处有间断点；选项D在x = 0处不连续，因为1/x在x = 0处有间断点。
2020届上海市虹口区高三下学期二模考试数学试题及解析
【答案】
【解析】
由根式函数定义域的求法得到 ，再转化为 ，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
3.设全集 ，若 ，则 _______________.
【答案】
【解析】
先利用绝对值不等式的解法化简集合A，然后再根据全集求补集.
所以H为CK的中点，
所以 ，又 平面 平面 ，
所以 平面 ；
（2）建立如图所示直角坐标系
则 ，
所以 ，
设平面PBC一个法向量为： ，
则 ，有 ，
令 ， ，
设直线FH与平面 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
18.已知函数 （a为实常数）.
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由;
（2）当 为奇函数时，对任意的 ，不等式 恒成立，求实数u的最大值
，转化为： ，平移直线
当直线经过点 时，在y轴上的截距最小，
此时目标函数取得最大值，最大值为16
故答案为：16
10.已知 、 是椭圆 左、右焦点，过原点O且倾斜角为 的直线与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆C的长轴长为_______.
【答案】
【解析】
由题意设直线为 ，代入 ，求得 ，根据 ，得到 ，将M的坐标代入求解.
【答案】C
【解析】
先由等比数列的基本运算得到通项，根据 、 、 成等差数列，由等差数列的中项性质得到 ，即 ，然后根据 讨论求解.
【详解】由 ，且 ，
整理得： ，
所以 ， ，
因为 、 、 成等差数列，
所以 ，
2023年上海市虹口区高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年上海市虹口区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______ .2. 函数的定义域为______ .3. 复数，在复平面上对应的点分别为，，则______ .4. 抛物线上的点到其焦点的距离为______ .5. 已知x是第二象限的角，且，则______ .6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是______ .7. 在中，已知，，，则______ .8. 对于定义在R上的奇函数，当时，，则该函数的值域为______ .9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为______ .10. 已知A，B是球O的球面上两点，，P为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为______ .11. 过原点的直线l与双曲线C：的左、右两支分别交于M，N两点，为C的右焦点，若，且，则双曲线C的方程为______ .12. 已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数t，均有，则的最小值为______ .13. 已知复数为虚数单位，则( )A. B. C. D. 214. 某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为( )A. B. C. D.15. 对于函数，给出下列结论：函数的图像关于点对称；函数在区间上的值域为；将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；曲线在处的切线的斜率为则所有正确的结论是( )A. B. C. D.16. 在数列中，若有均为正整数，且，就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前n项和记为，若，，，则( )A. 4720B. 4719C. 4718D. 471617. 记为数列的前n项和，已知，为正整数求数列的通项公式；设，若…，求正整数m的值.18. 如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，C是底面圆周上的一点，且，，，M是BC的中点.求证：平面平面POM；求二面角的余弦值.19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类铝䇚是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；电解电容为次品电解电容为正品铝箔为次品17476铝箔为正品108142电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容每箱50个，第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：，其中k20. 已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点M的轨迹记为曲线C，过点F的直线l与曲线C相交于P，Q两点.求曲线C的方程；若，求直线l的方程；已知，直线AP，AQ分别与直线相交于M，N两点，求证：以MN为直径的圆经过点21. 设，，求函数，的单调区间和极值；若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值；若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：由已知直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：要使原函数有意义，则，解得函数的定义域为故答案为：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】【解析】解：复数，在复平面上对应的点分别为，，则，，故故答案为：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．4.【答案】5【解析】解：抛物线的准线为，则，故，到焦点的距离等于到准线的距离，为故答案为：确定抛物线的准线为，，再计算距离即可．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5.【答案】【解析】解：由，知，因为x是第二象限的角，所以，所以，所以故答案为：结合诱导公式，同角三角函数的关系式，求得，再利用两角和的正切公式，即可得解．本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为，所以该小组成员年龄的第25百分位数是故答案为：根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可．本题考查了茎叶图与百分位数的应用问题，是基础题．7.【答案】4【解析】解：在中，已知，，，利用余弦定理：，整理得，即，解得：或故故答案为：直接利用余弦定理求出BC的长．本题考查的知识要点：余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：因为为R上的奇函数所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为R上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为故答案为：根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域．本题考查函数的值域和奇偶性，属于基础题．9.【答案】【解析】解：设取到白米粽的个数为随机变量X，则，1，2，3，所以，，所以故答案为：设取到白米粽的个数为随机变量X，求出对应的概率，利用期望公式求解．本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设球的半径为R，当面AOB时，三棱锥体积的最大，因为，所以为等边三角形，可得，所以，可得，所以球的表面积，故答案为：设球的半径R，由题意当面AOB时，三棱锥体积的最大，由，可得为等边三角形，进而求出它的面积，代入三棱锥的体积公式，可得R的值，进而求出球的表面积．本题考查三棱锥的体积的求法及球的表面积的求法，属于基础题．11.【答案】【解析】解：如图，，，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，又，，又，，解得，，即双曲线C的方程为故答案为：由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，，由对称性可得，四边形为矩形，则，结合已知求得，，由双曲线的定义可得a，再由隐含条件求解b，则双曲线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】【解析】【分析】作，，以为x轴建立平面直角坐标系，由题意写出点A、点E的坐标，设点，，可得出点B在以A为圆心，以1为半径的圆上，由得出恒成立，作，设点，得出点C在直线上；由此求出的最小值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了平面向量的数量积运算问题，是难题．【解答】解：作，，以为x轴建立平面直角坐标系，如图所示；因为，，，所以点A的坐标为，点E的坐标为，作，设点，因为，所以，所以，所以点B在以为圆心，以1为半径的圆上；因为对任意的实数t，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，设点，则，即，所以点C在直线上；因为，且点B在圆上，点C在直线上，所以点B到点C的最小距离是圆心A到最新的距离减去圆的半径，即，当且仅当点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；因为点到直线的距离为，所以点A到点C的距离大于或等于，即，所以，当且仅当AC垂直于直线，且点B为线段AC与圆的交点时“=”成立；所以的最小值为故答案为：13.【答案】A【解析】解：，则故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为：故选：由n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．本题考查概率的求法，考查n次独立事件中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．15.【答案】C【解析】解：因为，因为，所以函数的图像不关于点对称，故错误；当时，，所以，故正确；将函数的图像向左平移个单位长度得，故错误；因为，所以，所以，即曲线在处的切线的斜率为1，故正确．故说法正确的有、故选：由三角恒等变化得，对于，验证是否成立即可；对于，由三角函数的性质，求出函数的值域即可；对于，由函数的平移及诱导公式即可判断；对于，验证即可．本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．16.【答案】B【解析】解：已知数列满足，且，则，则，则，即，又，，则，，又若有均为正整数，且，就有，即，又，即，则，，，依次类推可得数列是周期为3的周期数列，则故选：由题意可得，然后结合题意可得数列是周期为3的周期数列，然后求解即可．本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题．17.【答案】解：已知，为正整数，则，，两式相减可得，即，，又，则；因为，所以，又…，当时，…，即不满足题意，即，则…，即，即正整数m的值【解析】由已知可得，，又，则，得解；由可得，然后讨论当时和时两种情况，结合等差数列的通项公式求解即可．本题考查了利用数列的递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的求和公式，属基础题．18.【答案】证明：如图，由题意，，为AB的中点，M为BC的中点，，则，而平面ABC，平面ABC，则，又，平面POM，又平面PBC，平面平面POM；解：平面ABC，平面PAB，则平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，则平面EFM，得，可得为二面角的平面角．由已知可得，，，则，，，，，，又，，得在中，，，得即二面角的余弦值为【解析】由已知证明，，可得平面POM，即可得到平面平面POM；证明平面平面ABC，在平面ABC中，过M作，垂足为E，在平面PAB中，过E作，垂足为F，连接MF，可得为二面角的平面角，再由已知求解三角形得答案．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的求法，是中档题．19.【答案】解：列联表如下：电解电容为次品电解电容为正品合计铝箔为次品17476250铝箔为正品108142250合计282218500，有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关；设第一次取出的是优等品为事件A，第二次取出的是合格品为事件B，，，【解析】先填写联列表，再求出，即可判断．利用条件概率公式，求解即可．本题考查独立检验的应用，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，，，曲线C的方程为；当过点F的直线l的斜率为0时，直线l的方程为，直线l与椭圆的交点为，，，，，，，，与矛盾，当过点F的直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，联立得，即，设，，则①，②，，，③，由①②③得，，直线l的方程为或；证明：，，，直线AP的方程为，直线AQ的方程为，联立得，解得，同理得，，，，，以MN 为直径的圆经过点【解析】根据距离公式代入化简；设出直线的方程，联立方程组，再利用向量的相等，即可求解；先求出，，再证明即可．本题考查求曲线的轨迹方程，直线与椭圆位置关系的应用，综合性强，运算大，属于难题．21.【答案】解：由题意可得，，所以当时，，当时，，令，所以函数在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数在上的单调递增区间为与，递减区间为与，所以，，关于x 的不等式，即在区间恒成立，令，则，且，，由知，在上的极大值为，所以在上的最大值为1，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上严格单调递增，所以，若，即，则在上严格递增，所以在上恒成立，若，即，则由，，由零点的存在定理可得，存在，使得，所以在上，单调递减，所以，所以在上，不符合在上恒成立的条件，所以当且仅当时，在上恒成立，综上所述，实数a的取值范围为证明：函数，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，对于函数，令，则，所以在上，，在上单调递增，在上，，在上单调递减，所以，所以函数与有相同的最大值，其图象如下：下面先证明：曲线与有唯一交点，由，即，即方程有唯一实数根，令，，则，所以在上恒为负数，所以曲线与在区间上没有交点，在区间上，函数单调递减，函数单调递增，所以在上单调递减，所以函数在上单调递减，由，及零点的存在定理可得：函数在上存在唯一零点，所以方程在上有唯一实数根，且，下面证明：直线与曲线，共有3个不同交点，所以直线必经过点，且，，，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，由，得，即，函数在上单调递增，，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以，，成等比数列．【解析】由题意可得，令，求导分析单调性，极值，即可得出答案．关于x的不等式，即在区间恒成立，令，只需，即可得出答案．函数，令，求导分析单调性，进而可得，对于函数，令，求导分析单调性可得，函数与有相同的最大值，证明曲线与有唯一交点，再证明：直线与曲线，共有3个不同交点，可得，，进而可得答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
2024届上海市虹口区高三二模数学试题及答案
第10题图1第10题图2上海市虹口区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若3sin 5x ，则cos 2x ．2.已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为．3.过抛物线24y x 焦点的弦AB 的中点横坐标为2，则弦AB 的长度为．4.5.6.7.8.则lim n n S9.c a 的最大值为10.O ，将篮球且AB BC11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ．若12AB AA ，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段PA 、PM 的长度和的最小值为．第11题图12.已知关于x 的不等式 2ln 340x k x x k x 对任意 0,x 均成立，则实数k 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.欧拉公式e cos sin i i把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos 和sin 联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数z 满足32e 2i z i i，则z （）.A 14.设 f x y g x 的.A 2x对称；.C 2 ．15.②数据③已知.A 16.①对任意12,x x R ，都有 1212f x f x g x g x ；②若 g x 的值域为 ,m M ， 1f m ， 1f M ，则对任意x R 都有 f x g x ．则下列判断正确的是（）.A ①②都是假命题；.B ①②都是真命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①是真命题，②是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知等差数列 n a 满足25a ，9672a a ．（1）求 n a 的通项公式；（2）设数列 n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a ，若432m S ，求正整数m 的最小值．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，CA CB ，D 为AB 的中点，2CA CB ，13CC ．（1）求证：1//AC 平面1B CD ；（2）若1CC 平面ABC ，点P 在棱1AA 上，且PD 平面1B CD ，求直线CP 与平面1B CD 所成角的正弦值．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：（1）求样本质量差的平均数x ；假设零件的质量差 2~,X N，其中216，用x 作为 的近似值，求 5668P X 的值；（2）0.9973．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1x y a b（0a b ）的焦距为 0,1P 在椭圆 上，动直线l 与椭圆 相交于不同的两点A 、B ，且直线PA 、PB 的斜率之积为1．（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线PA 的法向量为 1,2n，求直线l 的方程；（3）是否存在直线l ，使得PAB 为直角三角形？若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数 y f x 满足：对任意12,x x R ，120x x ，都有12120f x f x x x ，则称函数 y f x 具有性质P ．（1）设 e xf x ， 3g x x x ，分别判断 y f x 与 y g x 是否具有性质P ？并说明理由；（2）设 sin 2f x x a x 若函数 y f x 具有性质P ，求实数a 的取值范围；（3）已知函数 y f x 具有性质P ，且图像是一条连续曲线，若 y f x 在R 上是严格增函数，求证： y f x 是奇函数．上海市虹口区2024届高三二模数学试卷-简答（第18题图1）A 11参考答案和评分标准2024年4月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分）1．7252．36π3.64．,226.1445．127.9.8．3112.1,1e二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.A14.D15.C16.B三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：(1)设等差数列 n a 的公差为d ，则由条件，得11155278a d a d a d ， (3)分解得13a ，2d ，故 1121n a a n d n ……6分．（2）由（1）可得123n a n ，则228(1).1)(23)(2n n n b n ……8分所以18,n n b b 故数列 n b 是以116b 为首项、8为公差的等差数列，故168(1)4(3).2m m m T m m……11分因为432m T ，所以23108m m ，所以 1290m m ，所以9m 或12m ．因为m 为正整数，所以m 的最小值是10……14分．18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)证：（1）连接B 1C 与CB 1底相交于点E ，因四边形1BCC B 为平行四边形，所以点E 是B 1C ……2分的中点.又因D 为AB 的中点，故DE 为1BAC 的中位线，从而1.AC DE ∥……4分故由111B CD DE B D A C C 平面,平面，得（第18题图2）1AC ∥平面1B CD .……6分解：(2)由条件知1,,CA CB CC 两两垂直，故以点C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别为,,x y z ：的坐标为点;则相关轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(2,0,3),C A B D A 11(0,2,3),(0,0,3).B C ……8分设点(2,0,t),P 的坐标为则1(1,1,t),(1,1,3),DP DB从而由1(1,1,t)(1,1,3)3t 20,DP DB 得2t .3所以点22(2,0,),(2,0,).33P CP 的坐标为故……10分设平面1B CD 的一个法向量为(,,),n则1(,,)(1,1,0)0,(,,)(0,2,3)230,n CD x y z x y n CB x y z y z即,2,3x y z y取3,y 得(3,3,2).n (12)分设直线CP 与平面1B CD 所成的角为,则222(2,0,)(3,3,2)3cos ,sin 2(3,3,2)(2,0,)3CP n (14)分19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）由条件得：样本平均数为54557216046632566360100x (2)分由22,,60,16,X N x 得：(5668)(6046024)P X P X ……4分()(22)P X P X0.68270.95450.8186.……6分解：（1）由条件知1,b c (2)分所以2224,a b c 于是椭圆 的方程为22 1.4x y ………4分（2）由条件知：直线PA 的斜率为12，方程为11,2y x 则由2211,214y x x y得，220,x x 所以 2.A x 从而(2,0).A ………6分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为21,y x 同理可得1615(,).1717B所以直线l 的斜率为150()5171662()17A Bk，………8分从而直线l 的方程为50(2),6y x 即55(56100).63y x x y或……10分（3）假设存在满足条件的直线l ，并设直线PA 的方程为1(0),y mx m 则由221,14y mx x y 得22(41)80,m x mx 以所2841A mx m．………12分由于1PA PB k k ，所以直线PB 的方程为11,y x m同理可得221881414()B m mx m m故直线l 的斜率为11(1)(1)A B A B A B A B A BA Bmx x mx x y y m m k x x x x x x222222222222222421818(()41(4)41441488(41)(4)))((4144411111(15333(1)m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m mm m m 分当PAB 为直角三角形时，只有可能90,90,PAB PBA 或于是1.,m k k m或若1k m，由111(),3m mm可得m k 从而若k m ，由11(3m m m可得22m k 也有因此，直线l的斜率为2………18分21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）()y f x 不具有性质P .理由：取122,1x x ，有22112()()e e01f x f x x x (2)分()y g x 具有性质P .理由：对任意12,x x R ，120x x ，有23322212112221122121212()()1310124f x f x x x x x x x x x x x x x x x x (4).分（2）函数()y f x 具有性质P ，故对12,x x R ，120x x ，都有1212()()0f x f x x x ，而()y f x 是奇函数，故2112()()0f x f x x x ，即()y f x 是严格增函数， '12cos 20f x a x恒成立. (7)分若0a ，则 min '120f x a ，解得102a ；若0a ，则 '10f x 恒成立；若0a ，则 min '120f x a ，解得102a.综合上述，实数a 的取值范围为11,.22……10分证明：（3）因函数()y f x 的定义域为R ,要证明()y f x 是奇函数，只要证明：对任意实数0,x 000f x f x 即可.对任意实数0,x 设 0,f x c 则由()y f x 具有性质P 知：当00x x 时，000.f x f x x x ① (12)分设 0(),h x f x f x f x c 当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ② (14)分当000,x x x x 即时，由①得0()()0,f x f x 即0(,)x x 当时，()0.h x ③于是由曲线()y h x 的连续性，函数()y h x 在R 上存在零点,x 即0()()()0.h x f x f x ④……16分由函数()y f x 在R 上严格增，知：函数()y h x 在R 上严格增；所以由②知0,x x 由③知0;x x 故0.x x 故由④得：000()()()0,h x f x f x 即对任意对任意实数0,x 均有000f x f x ；因此，函数()y f x ……18分是奇函数.另证：（3）由()y f x 具有性质P ，知：当0x 时 00f x f ，当0x 时00f x f ，由零点存在定理知 000f f ，即 00f ……12分.下面用反证法证明()y f x 是奇函数.假设存在0x 使得 000f x f x ，不妨设00x ，则由()y f x 在R 上严格增，知000f x f f x .若 000f x f x ，则构造函数00()2f x f x F x f x，00000000(0)222f x f x f f x f f x F f，0000000()22f x f x f x f x F x f x，由零点存在定理知，存在0(),t x 0,使得()0F t ……14分,即000()2f x f x f t f x；而()y f x 在R 上严格增，同样由单调性知00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，从而有00000()()()()102f t f x f x f x t x t x ，与()y f x 具有性质P 矛盾.……16分若 000f x f x ，构造函数00()2f x f x G x f x，同理也可推出与()y f x 具有性质P 矛盾.综合上述，存在0x 使得 000f x f x 的假设不能成立，即对任意R x 都有0f x f x ，故()y f x 是奇函数.……18分。
2022届上海市虹口区高三数学二模试卷(含答案)
2022届上海市虹口区高三数学二模试卷（时间120分钟，满分150分）2022.6一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．不等式11<-x 的解集为．2．函数)0(9)(>+=x xx x f 的值域为_____________.3．函数)R (cos sin )(∈+=x x x x f 的最小正周期为_________．4．若n a 为n x )1+（的二项展开式中2x 项的系数，则=+∞→2lim na nn ．5．在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为.6．若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+034y x y y x ，则y x 32+的取值范围是_____________.7．已知向量b a,2=1=3=，=-．8．已知椭圆C ：)0(19222>=+b b y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点．若AB F 1∆是等边三角形，则b 的值等于___.9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1>q ，且12+a 为1a 与3a 的等差中项，143=S ．若数列{}n b 满足n n a b 2log =，其前n 项和为n T ，则=n T ．10．已知A ，B ，C 是ABC ∆的内角，若i 2321)cos i )(sin cos i (sin +=⋅+⋅+B B A A ，其中i 为虚数单位，则C 等于．11．设R ∈a ，R ∈k ，三条直线052:1=+--a y ax l ，043:2=--+a ay x l ，kx y l =:3，则1l 与2l 的交点M 到3l 的距离的最大值为．12．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，且图像关于直线1=x 对称，当]2,0[∈x 时，)2()(x x x f -=，对于闭区间I ，用I M 表示)(x f y =在I 上的最大值．若正数k 满足]2,[],0[2k k k M M =，则k 的值可以是.（写出一个即可）.二．选择题（每小题5分，满分20分）13．已知1l ，2l 是平面α内的两条直线，l 是空间的一条直线，则“⊥l α”是“⊥l 1l 且⊥l 2l ”的……………………………………………………………………………（）．.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分条件也不必要条件14．已知双曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x 11（t 为参数），则此双曲线的焦距等于…（）．.A 2.B 4.C 22.D 2415．函数)(x f y =是定义域为R 的奇函数，且对于任意的21x x ≠，都有1212()()1f x f x x x -<-成立．如果m m f >)(，则实数m 的取值集合是……………………………………（）．.A {}0.B {}0>m m .C {}0<m m .D R16．在数列{}n a 中，21=a ，a a =2，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥=+++++nn n n n n nn n aa a a a a a a a 11112,,)(*N n ∈．对于命题：①存在),2[+∞∈a ，对于任意的正整数n ，都有n n a a =+3.②对于任意),2[+∞∈a 和任意的正整数n ，都有a a n ≤.下列判断正确的是……………………………………………………………………（）．．A ①是真命题，②也是真命题.B ①是真命题，②是假命题.C ①是假命题，②是真命题.D ①是假命题，②也是假命题三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，1PD DC ==，直线PB 与平面ABCD 所成的角为6π.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AM 与PC 所成的角的大小.18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数．（1）求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；（2）已知0a >且 1 a ≠，若对于任意的1x 、2[1,3]∈x ，都有2213()2-+≥x f x a 恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分14分.第（1）小题７分，第（2）小题７分.）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.（1）若37,373,374===BD AB AD （长度单位：米），求种植花卉区域的面积；（2）若扇形的半径为10米，圆心角为︒135，则∠BDA 多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？20．（本题满分16分.第（1）小题３分，第（2）小题６分，第（3）小题７分）已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于),(11y x M ，),(22y x N )(12x x >两点.（1）若p x x 221=+，求NF MF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由.21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i ja a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P .（1）分别判断数列9,3,1和数列8,4,2是否具有性质P ，并说明理由；（2）如果数列4321,,,a a a a 具有性质P ，求证：11=a ,324a a a ⋅=；（3）如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数.判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．参考答案一．填空题（1～6 题每小题4 分，7～12 题每小题5 分，本大题满分54 分）1．)2,0(2．[)∞+，63．π24．215．536．[]11,07．78．69．22n n +10．3π11．25+12．222+或4210-二．选择题（每小题5分，满分20分）13．A 14．D 15．C16．A三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）解：（1）联结BD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠即为直线PB 与平面ABCD 所成的角，所以6π=∠PBD ．………………3分又36cot =⋅=πPD BD ，所以222AD BD AB =-=所以四棱锥P ABCD -的体积(1212133V =⨯⨯=．………………7分（2）方法1：如图建立空间直角坐标系，则)()()22,0,0,,1,0,0,1,0,0,0,12AM C P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,1,0,0,1,12AM PC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．……11分设向量,AM PC的夹角为θ，则13cos 3322AM PCAM PCθ⋅==⋅⋅ ，3arccos3θ=，所以异面直线AM PC 、所成的角3arccos 3.…………14分方法2：取AD 中点N ，联结NC NP ，，则//CN AM ，所以PCN ∠是异面直线AM PC 、所成的角（或其补角），以下略.18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）解：（1）因为函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数，所以()00=f ，得1=-b ．当1=-b 时，()3131-=+x x f x ，()()31(31)31331(31)313--------====-+++x x x x xx x xf x f x ，所以()f x 是奇函数成立，所以1=-b ．…………4分下面证明()f x 在R 上单调递增．任取R ,21∈x x ，设12<x x ，则()()121212121231312(33)3131(31)(31)----=-=++++x x x x xx x x f x f x ，因为3=x y 在R 上单调递增，得12330-<x x ，所以()()120-<f x f x ，所以()f x 在R 上单调递增．………………7分（2）由题知，只需221max min3()()2-⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦x f x a ，由（1）知，()f x 在[]1,3上单调递增，所以1min 33()(1)222⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦f x f ，所以22max 2()-≥x a ，2[1,3]∈x ．…………11分当1>a 时，=x y a 在[1,3]上单调递增，所以2≥a ，所以12<≤a ．当01<<a 时，=x y a 在[1,3]上单调递减，所以12-≥a ，所以112≤<a ．综上，实数a 的取值范围是(]1,11,22⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭a ．………………14分19．（本题满分14分.第（1）小题７分，第（2）小题７分.）解：（1）设扇形的半径为r ，在△ADB 中，1cos 2=-A ，得120∠=︒A .……3分在△ADB 中，由11sin12022︒⋅⋅⋅=⋅⋅AD AB BD r ，得=r21227223ππ=⨯⨯⨯=S （平方米）.……7分（2）设平行四边形绿地ABCD 占地面积为S ，过点A 作AE BD ⊥于点E，因为圆弧均与BD 相切，所以E 即为切点，则10=AE ，设BDA θ∠=，135∠=︒BAD ，所以45θ∠=︒-DBA ，045θ︒<<︒.…………9分解法一：=D sin θ=AE AD ，得10sin θ=AD ，在△Rt ABE 中，sin(45)θ=︒-AE AB ，得10sin(45)θ=︒-AB ，………………11分所以1010sin135sin sin(45)2sin sin(45)θθθθ=⋅⋅︒=⋅⋅=︒-︒-S ADAB 100200sin (cos sin )sin 2cos 21θθθθθ===-+-045θ︒<<︒，因为045θ︒<<︒，所以当24590θ+︒=︒即22.5θ=︒时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小，且最小值为1)平方米.…………14分解法二：在Rt ADE △中，tan AE DE θ=，所以10tan θ=DE .在Rt ABE △中，()tan 45θ=︒-AEBE，所以()10tan 45θ=︒-BE ，则()22101011tan 10(1tan)10()tan tan 45tan 1tan tan tan θθθθθθθθ++=+=+=+=︒---+DB DE BE ，则2221tan 1tan 100()100(1tan tan tan tan θθθθθθ++=⋅==-+--S BD AE ，令1tan (12)θ=+<<m m ，则21100(1100(12323=-+=-+----m S m m m m因为12<<m ，所以2+≥m m，当且仅当=m 即22.5θ=︒时等号成立，又203()3<-+≤-m m1323≥+--m m所以22.5θ=︒时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小，且最小值为1)平方米.20．（本题满分16分.第（1）小题３分，第（2）小题６分，第（3）小题７分）解：（1） )0,2(p F ，2:px l -=，∴p p x x p x p x NF MF 3222121=++=+++=+.………………3分（2） )0,2(p A -，由M 是线段AN 的中点得⎪⎩⎪⎨⎧=+=1212222y y p x x ，又由⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 得⎪⎩⎪⎨⎧+==)22(2)2(2121121p x p y px y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±==p y p x 22411.……7分∴直线MN 的方程为2(2422p x p p p y ++±=，即)2(322p x y +±=.……9分（3）设),2(t p P -，),2(t p Q --)0(≠t .直线)0(2:≠-=m pmy x MN .由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p my x 222，得0222=+-p pmy y ，有⎩⎨⎧=⋅=+221212p y y pm y y .…………11分又)2(2:11px p x t y t y PM ++-=-，即)2(:11p x my t y t y PM +-=-……①)2(2:22px p x t y t y QN +++=+，即)2(:22p x my t y t y QN ++=+……②…………13分由①-②得2(22211p x my t y my t y t ++--=-，整理得)2)((22121p x y y y y m t t ++-=-，从而2(2122p x p pmm +⋅=，解得2p x =.所以直线PM 与QN 的交点的横坐标为2p ,从而交点在定直线2px =上.………………16分21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）.解:（1） 111=⨯，133=，199=，331=⨯，991=⨯，339=均是数列9,3,1中的项，∴数列9,3,1具有性质P ．…………2分而188=，6488=⨯都不是数列6,4,2中的项，∴数列6,4,2不具有性质P ．……4分（2） 4444,1a a a a >⋅>，∴44a a ⋅不是数列中的项，∴144=a a 必是数列中的项，∴11=a ．……………………6分又 424a a a >⋅,434a a a >⋅，∴24a a ⋅和34a a ⋅不是数列中的项，∴24a a 和34a a 是数列中的项．由于424341a a a a a <<<，∴324a a a =，∴324a a a ⋅=．…………10分（3）当数列{}n a 的项数)2,(12≥∈+=*k N k k m 时12121212,1++++>⋅>k k k k a a a a ，∴1212++⋅k k a a 不是数列中的项，∴11212=++k k a a 必是数列中的项，∴11=a ． 对于满足122+≤≤k i 的正整数i ，均有1212++>⋅k i k a a a ，∴),122(12*+∈+≤≤⋅N i k i a a i k 不是数列中的项，从而ik a a12+是数列中的项，又1211221231212121221212121+++++-++++=<<<<<<<<=k k k k p k k k k k k k a a aa a a a a a a a a a a a ，∴p pk k a a a =-++2212),121(*∈+≤≤N p k p ，从而有pk p p k p k a a a a a -++-++⋅=⋅=1212212（12p k ≤≤），∴pp pk p k a a a a 11222+-+-+=，从而212212a a a a a k k ==+，23122a a a a k k =-，……，123-++=k k k k a a a a ,kk k k a aa a 112+++=．………………14分 对于满足k i 23≤≤的正整数i ，均有12222+=⋅>⋅k k i k a a a a a ，∴∈i k a a 2{}1221,,,+k a a a ，又12212312322222122221+-+--<<=<<<<<<<=k k k k k p k k k k k k k a a a a aa a a a a a a a a a ，∴p p k ka a a =-+122),221(*∈-≤≤N p k p ，从而p k p p k p k a a a a a -+-+⋅=⋅=21122),121(*∈-≤≤N p k p ，∴p p p k p k a a a a 1212+--+=，从而212122a a aa a k k ==-，232212a a a a k k =--，……，2123--++=k k k k a a a a ,112-++=k k k k a a a a ．从而有),21(21*+∈≤≤=N p k p a a a pp ．所以对于项数大于等于5且具有性质P 的数列{}n a ，是以1为首项，公比为2a 的等比数列．………………18分。
2022年上海市虹口区市级名校高三第二次联考数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．32．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥ 3．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-，则M N ⋃=（ ）A ．[0,3)B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅4．已知集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{0，1，2} D ．{x ﹣1≤x ≤2}5．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4} C ．{2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}6．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B 5 C ．102 D ．237．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．38．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．79．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23 B ．2 C ．3 D ．110．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )A ．51-B ．512-C ．51+D ．512+ 11．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%12．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市虹口区高三二模数学试卷(精校Word版含答案)
2020年上海市虹口区高三二模数学试卷（精校Word 版含答案）2020. 5考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内. 1. 函数()3cos 21f x x =+的最小值为_________. 2.函数()f x =的定义域为_________. 3. 设全集{},23,U R A x x ==-≥若则U A =ð_________.4．3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为_________.5．已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =_________.6.设复数cos sin i z iαα=（i 为虚数单位），若,z =则tan 2α=_________.7.若25(a x 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为________.8. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c若8,30,b c A ===︒则sin C =_________.9. 已知点(3,2),A P -点满足线性约束条件20,10,24,x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩设O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r的最大值为_________.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M .若1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r,则椭圆C 的长轴长为________.（第14题图）侧视图俯视图11. 已知球O 是三棱锥P ABC-的外接球，2,PA AB BC CA PB ===== 点D BC为的中点，且PD =则球O 的体积为 _________.12.已知函数()1,18,115x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a = 恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分. 13.已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点 的距离为5，则点M 到y 轴的距离为 （ ）（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）614．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的表面积（单位：cm 2）为 （ ）（A ）32 （B ）36 （C ）40 （D ）4815．已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为 ( )（A ）1423⎛⎤ ⎥⎝⎦,（B ）142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭（C ）10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）10,63⎛⎤ ⎥⎝⎦ 16．设等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 首项11,a =且24323.S S S +=已知,,m n N *∈若存在正整数,(1),i j i j <<使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为 （ ）（A ）16 （B ）12 （C ）8 （D ）6（第17题图）BD（第19题图）三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形， ,PA ABCD ⊥底面且22,PA AD AB ===设,,E F G,,PC BC CD 分别为的中点，H EG 为的中点，如图.（1）求证：// FH PBD 平面；（2）求直线FH PBC 与平面所成角的大小.18．(本题满分14分) 本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数4()().31xf x a a =-+为实常数 （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[]1,5x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.19．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的 “H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2,AOB α∠= 记 “H ”型图形的面积为S ．（1）将AB , AD 用R ,α表示，并将S 表示成α 的函数；（2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可 能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 设双曲线222:1x C y a-=的左顶点为,D 且以点D 为圆心的圆222:(2)(0)D x y r r ++=>与双曲线C 分别相交于点,,A B 如图所示.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 求DA DB ⋅u u u r u u u r的最小值，并求出此时圆D 的方程；(3) 设点P 为双曲线C 上异于点,A B 的任意一点，且直线,PA PB 与x 轴分别相交于点 ,,M N 求证：OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.21.(本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知项数为(,2)m m N m *∈≥的数列{}n a 满足条件:① (1,2,,);n a N n m *∈=L ② 12.m a a a <<<L若数列{}n b 满足 12()(1,2,,),1m nn a a a a b N n m m *+++-=∈=-L L 则称{}n b 为数列{}n a 的“关联数列”.(1)数列1,5,9,13,17是否存在“关联数列”？若存在,写出其“关联数列”；若不存在,请说明理由；(2)若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ,证明:11(1,2,,1);n n a a m n m +-≥-=-L (3)已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ,且11,2049,m a a ==求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值 .（第20题图）虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试 高三数学 参考答案和评分标准 2020年5月一、填空题（本大题满分54分）第1-6题，每空填对得4分;第7-12题，每空填对得5分. 1．2- 2．(]3,1- 3. ()1,5- 4．18 5．2 6. 17. 12-8．．． 12.8,45⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13. B 14.A 15. D 16. C 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 证：(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 解：（2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则（第19题图）(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r得……11分设FH PBC 与平面所成的角为,θ则12sin cos ,FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅u uu r r u u u r r u u u r r 故FH PBC 与平面所成角的大小为arc …… 14分18．（本题满分14分）本题共2小题，每小题7分．解：（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且 于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分当2a =时， 44()()2240,3131x xf x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31x f x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t -≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t tϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19．(本题满分14分) 本题共2小题，每小题7分. 解：（1）过点O 作,OM AB M ⊥于点交,CD N 于点则,,M N AB CD 分别为的中点,从而1.2AOM AOB α∠=∠=记横向矩形为,EFGH 如图所示.由条件，可得 22sin 2sin ,AB AM OA R αα==⋅=112223121cos sin (3cos 2sin )3333AD MN OM ON OM EF OM ABOM AB R R R αααα==-=-=-⋅=-=-=-L L 分2282233816sin (3cos 2sin ).39ABCD EFGH ABCD ABCD ABCD S S S S S S AB AD R ααα=+=+==⋅=-矩形矩形矩形矩形矩形于是又由“H ”型图形的特征，得2,,3EF FG AB AD >>即亦即41sin (3cos 2sin )0,33R R ααα>-> 解得13tan ().22αα<<为锐角 于是21613sin (3cos 2sin ),(arctan ,arctan ).922S R αααα=-∈ …… 7分 （2）由（1）可得2221616sin (3cos 2sin )(3sin cos 2sin )99S R R αααααα=-=-2288(3sin 22cos 22))2,99R R αααϕ⎤=+-=+-⎦ 2tan .3ϕϕ=其中锐角满足： …… 10分所以当S 取得最大值时，322tan 2cot 222ππαϕαϕαϕ+=⇒=-⇒==，即1313arctan (arctan ,arctan )2222α=∈.于是，S的最大值为282)9R -. …… 14分 20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 解：（1）由条件知：双曲线C 的左焦点为(2,0),D -于是 2.a =故双曲线C 的方程为：22 1.4x y -= ……4分（2）易知点A , B 关于x 轴对称，设111111(,),(,)(2,0),A x y B x y x y -<->则由点A 在双曲线C 上，得 22111.4x y =-由于1111(2,),(2,),DA x y DB x y =+=+-u u u r u u u r……6分所以22221111111113381(2,)(2,)(2)45().4433DA DB x y x y x y x x x ⋅=+⋅+-=+-=++=+-u u u r u u u r因12,x <-故当1min 81().33x DA DB =-⋅=-u u u r u u u r 时, ……8分此时222218811((2).339y A r DA =-==-++=u u u r 即从而所以当DA DB ⋅u u u r u u u r取最小值时，圆D 的方程为2211(2).9x y ++= ……10分（3）设0001(,)(),P x y y y ≠±则0101(,),AP x x y y =--u u u r直线AP 的方程为010010()()()()0.y y x x x x y y -----= ……12分令001100100101()0,.M y x x x y x y y x x y y y y --==-=--得同理，可得 100101.N x y x y x y y +=+ ……14分因点A , M 在在双曲线C 上，故222211004(1),4(1),x y x y =+=+于是 222222221001100101222222010101()()4(1)4(1)4()4.M N x y x y y y y y y y x x y y y y y y -+-+-====--- 因此4.M N M N OM ON x x x x ⋅=⋅==为定值 ……16分21. (本题满分18分) 本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 解：（1）因为12(1591317)1(1591317)511,10,5151b b ++++-++++-====--3(1591317)99,51b ++++-==-45(1591317)13(1591317)178,7.5151b b ++++-++++-====--均为正整数所以数列1,5,9,13,17存在“关联数列”,且其“关联数列”为11，10，9，8，7. ……4分（2）因为数列{}n a 存在“关联数列”{},n b 所以+10(11),n n a a n m ->≤≤-且 1,.n n b b N *+∈ ……6分进而1111111()().111m n m n n nn n a a a a a a a a a a b b N m m m *++++++-+++---=-=∈---L L从而111,1(1,2,,1).1n n n n a aa a m n m m ++-≥-≥-=--L 故 ……10分（3）① 因为11,2049, 2.m a a m ==≥其中当1221,2049,m a a ===时,有1212049)1(12049)20492049,1.2121b b +-+-====--（均为正整数即当21,2049m =时,数列存在“关联数列”:2049，1.因此m 的最小值为2. ……12分② 一方面，由（2）知：11(1,2,,1),n n a a m n m +-≥-=-L 于是21122111()()()(1)(1)(1)(1),m m m m m m a a a a a a a m m m m -----=-+-++-≥-+-++-=-L L 1444442444443个所以2(1)204846().m m m N *-≤⇒≤∈因 ……14分 另一方面，由数列{}n a 存在“关联数列”{},n b 知1111111()()2048.1111m m m m m a a a a a a a a a a b b N m m m m *+++-+++---=-==∈----L L所以1m -是2048的正约数，1m -取23112,2,2,,2,L 即m 取3,5,9,17，33,65, (2049)综合上述， m 的最大值可能为33. ……16分 当33m =时，可取6463(1,2,,33),n a n n =-=L 有 11()(1651292049)(6463)105921331m n n a a a a n b n N m *+++-++++--=-=-∈--L L 符合条件.因此m 的最大值为33. ……18分。
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市虹口区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=()A. 4B. 3C. 2D. 12.某几何体三视图如图所示(单位：cm)，其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A. 103√3 B. 4√3 C. 83√3 D. 2√33.设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，若f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为()A. [125,2910] B. (125,2910] C. (125,2910) D. [125,2910]4.设等比数列{a n}的首项a1=13，前n项和为S n，若S1、2S2、3S3成等差数列，则{a n}的通项为()A. a n=13n B. a n=3n C. a n=13n−1D. a n=131−n二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知函数y=3cos(π−x)，则当x=________时，函数取得最大值．6.函数f(x)=√1+ln x1−ln x的定义域为________．7.设全集U={x|1≤x≤5}，A={x|2≤x<5}，则∁U A=______________．8.某校志愿者小组有2名男生和1名女生，现从中任选2人参加活动，则女生入选的概率是______．9. 已知y =f (x )与y =3x 的图象关于直线y =x 对称，若f (a )=3，则a =________．10. 若复数z =∣∣∣sinθi −1cosθi ∣∣∣(i 为虚数单位)，则z 的模的最大值为______． 11. 若(2x −1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n =________，展开式中的常数项是________．12. △ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+a 2−c 2=2ac ，sinB =√33，则C =______． 13. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3，则z =2x −y 的最大值为______．14. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2与C 交于M ，N 两点，若|MF 1|=|MF 2|，MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率是______．15. 已知三棱锥S −ABC 中，SA ⊥BC ，AB =BC =SA =√22BS =√22AC =2，则三棱锥S −ABC 外接球的体积为______．16. 已知函数f(x)={x +1x ,x >04−2−x ,x ≤0，若关于x 的方程f(2x 2+x)=a 恰有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为√2的正方形，且PA ⊥BD ，若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ．(1)求证：EF//平面PAD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．18. 已知函数f(x)为奇函数，当x ≥0时，f(x)=√x ，g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0， (1)求当x <0时，函数f(x)的解析式；(2)求g(x)的解析式，并证明g(x)的奇偶性．19. 如图，长方形材料ABCD 中，已知AB =2√3，AD =4.点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AD 于F ，且PE =1，PF =√3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN =150∘，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1)设∠FPN =θ，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；(2)试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．20.如图，圆O：x2+y2=4与坐标轴交于点A，B，C．(1)求与直线AC垂直的圆的切线方程；(2)设点M是圆上任意一点(不在坐标轴上)，直线CM交x轴于点D，直线BM交直线AC于点N，①若D点坐标为(2√3,0)，求弦CM的长；②求证：2k ND−k MB为定值．21.已知数列{a n}满足na n+1=(n+1)a n+1，n∈N∗，a1=a>0．(1)求a2，a3，a4的值并猜出{a n}的通项公式；(2)求证，分别以a2，a3，a4为边的三角形不可能是直角三角形．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：抛物线y2=4x的焦点F为(1,0)，准线l为x=−1，由抛物线的定义可得，|MF|=x+1，由题意可得x+1=3，解得x=2，故选C．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得x+1=3，即可解得x．本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义的运用，考查运算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，然后由柱体体积减去三棱锥体积求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H−EFG，三角形ABC的面积S=12×2×√22−12=√3．∴几何体的体积V=√3×4−13×√3×2=10√33．故选A．3.答案：A解析：本题考查三角函数的性质，属于中档题．求出的范围，结合三角函数的性质，得到，解得ω的取值范围．解：当x∈[0,2π]时，ωx+π5∈[π5,2πω+π5]，∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点，，∴125⩽ω<2910．故选A．4.答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，若S1、2S2、3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，即为4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，即有4+4q=4+3q+3q2，解得q=13，即有a n=a1q n−1=13⋅(13)n−1=13n．故选A．设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式即可得到．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，考查化简的运算能力，属于基础题．5.答案：2kπ+π(k ∈Z)解析：本题考查余弦函数的最大值，属于基础题．根据题意得y =3cos(π−x)=−3cos x ，余弦函数的性质可得x =2kπ+π(k ∈Z)时，y 有最大值3． 解：y =3cos(π−x)=−3cos x ，当cos x =−1，即x =2kπ+π(k ∈Z)时，y 有最大值3．6.答案：[1e ,e)解析：本题主要考查函数的定义域，属于基础题，根据二次根号下要大于等于0，分母不为0求解即可．解：要使函数f(x)=√1+ln x1−ln x 有意义，则1+ln x1−ln x ≥0， 即{(1+ln x)(1−ln x)≥0,1−ln x ≠0即{(1+ln x)(ln x −1)≤0,1−ln x ≠0解得−1≤ln x <1，即1e ≤x <e ，所以函数f(x)=√1+ln x 1−ln x 的定义域为[1e ,e)． 7.答案：{x|1≤x <2或x =5}解析：此题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键，利用补集的运算求出A 的补集即可． 解：全集U ={x|1≤x ≤5}，A ={x|2≤x <5}，则C U A ={x|1≤x <2或x =5}．故答案为{x|1≤x <2或x =5}．8.答案：23解析：本题考查古典概型，是基础题．先对2名男生和1名女生编号，写出从中任选2人参加活动的基本事件，根据古典概型的概率计算即可．解：2名男生记为A ，B ，1名女生记为a ，则从中任选2人参加活动的基本事件为AB ，Aa ，Ba 共3种，女生入选的基本事件为Aa ，Ba 共2种，所以女生入选的概率是23．故答案为23． 9.答案：27解析：本题主要考查互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数反函数的求法，是基础题．由题意可得函数y =f(x)与y =3x 互为反函数，则f(x)=log 3x ，结合f(a)=3，即可求出a 的值． 解：∵y =f(x)与y =3x 的图象关于直线y =x 对称，∴函数f(x)与函数y =3x 互为反函数，∴f(x)=log 3x ，f(a)=log 3a =3，∴a =33=27．故答案为27．10.答案：√5+12解析：解：∵z =∣∣∣sinθi −1cosθi ∣∣∣=sinθ⋅i −cosθ(i −1)=cosθ+(sinθ−cosθ)i ， ∴|z|=√cos 2θ+(sinθ−cosθ)2=√sin 2θ+2cos 2θ−2sinθcosθ=√1−cos2θ2+2⋅1+cos2θ2+sin2θ=√32+sin2θ+12cos2θ=√32+√52sin(2θ+α)≤√32+√52=√5+12．故答案为：√5+12．由已知展开二阶行列式，求得复数模，利用倍角公式降幂后求最值．本题考查二阶行列式的定义，考查复数模的求法及三角函数的化简求值，是中档题．11.答案：6；240解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．解：∵(2x−1x2)n的展开式中所有二项式系数和为2n=64，则n=6；根据(2x−1x2)n=(2x−1x2)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅(2x)6−r⋅x−2r=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−3r，令6−3r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项是C62⋅24=240，故答案为6；240．12.答案：π6解析：本题考查正余弦定理的应用，属于基础题．由已知条件及余弦定理可得bcosC=c，再由正弦定理及B的正弦值可得C的正切值，即可得C的值．解：因为b2+a2−c2=2ac，而b2+a2−c2=2abcosC，所以bcosC=c，由正弦定理可得sinBcosC=sinC，而sinB=√33，所以tanC=√33，而C∈(0,π)，所以C=π6故答案为π6．13.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时， 直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8， 即目标函数z =2x −y 的最大值为8． 故答案为：8．14.答案：√22解析：本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，写出直线l 的方程，与椭圆方程联立求得N 点坐标，结合向量等式求解． 解：如图，由|MF 1|=|MF 2|，可知M 在椭圆的短轴的一个端点上，不妨设为(0,−b)， 又F 2(c,0)，则k MF 2=bc ，∴直线l 的方程为y =bc (x −c)=bc x −b ，联立{y =bcx −b x 2a2+y 2b 2=1，得(a 2+c 2)x =2a 2c ，即x N =2a 2c a 2+c2，∴y N =b 3a 2+c 2，∵MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴b =3b 3a 2+c 2，即a 2+c 2=3(a 2−c 2)，解得e =√22．故答案为：√22．15.答案：4√3π解析：本题考查了棱锥的结构特征，以及外接球的体积公式，属于中档题．根据棱锥的结构特征求出外接球的球心位置，得出球的半径，从而得出球的体积． 解：∵AB =BC =SA =2，SB =AC =2√2， ∴AB ⊥BC ，SA ⊥AB ，又SA ⊥BC ，BC ∩AB =B ，BC ，AB ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥AC ，由AB ⊥BC ，SA ⊥BC ，AB ∩SA =A ，AB,SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以SB ⊥BC ， 即△SAC ，△SBC 都为直角三角形； 综上所证，构造一个边长为2的正方体， 将三棱锥S −ABC 置于正方体中，如图所示．所以SC即为三棱锥S−ABC外接球的直径，又因为SC=√SA2+AC2=2√3，所以外接球的半径为√3，∴外接球的体积V=43π⋅(√3)3=4√3π.故答案为：4√3π.16.答案：[2,3]解析：解：∵函数f(x)={x+1x,x>04−2−x,x≤0，由函数f(x)的图象得，f(x)=a恰有3个不同的实数根时，需满足2≤a≤3，∴令t=2x2+x，∴t≥−18，且除去顶点之外，每个t对应2个x值．∵方程f(2x2+x)=a恰有6个不同的实数根，∴等价于f(t)=a恰有3个不同的实数根，∴f(t)=a恰有3个不同的实数根时，需满足2≤a≤3．故答案为：[2,3]．由分段函数的图象以及换元的方法，以及二次函数的图象和性质，得到a的范围．本题考查分段函数的图象，换元思想，以及二次函数的图象和性质．17.答案：证明：(1)设PD的中点为Q，连结AQ，EQ，则EQ//CD，EQ=12CD，又AF//CD，AF=12AB=12CD，∴EQ//AF ，EQ =AF ，∴四边形AQEF 为平行四边形，∴EF//AQ ， ∵EF ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， ∴EF//平面PAD ．(2)∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ， ∵PD ⊂平面PCD∴AQ ⊥PD ，∵Q 是PD 的中点，∴AP =AD =√2， ∵AQ ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ∴AQ ⊥CD ， 又AD ⊥CD ，AQ ∩AD =A ，AQ 、AD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ， 又BD ⊥PA ，BD ∩CD =D ，BD 、CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(√2,0,0)，P(0,0，√2)，A(0,0，0)，Q(0,√22,√22)，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,√22)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2)，∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,√22)是平面PCD 的一个法向量， ∴cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12，设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为θ，则sinθ=|cos <AQ ⃗⃗⃗⃗⃗,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12，∴直线PB 与平面PCD 所成角的大小为π6．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．(1)设PD 的中点为Q ，连结AQ ，EQ ，推导出四边形AQEF 为平行四边形，从而EF//AQ ，由此能证明EF//平面PAD ；(2)由EF ⊥平面PCD ，得AQ ⊥平面PCD ，从而AQ ⊥PD ，由AQ ⊥平面PCD ，得AQ ⊥CD ，再由AD ⊥CD ，得CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA ，从而PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB 与平面PCD 所成角的大小．18.答案：解：(1)设x <0，则−x >0，此时有f(−x)=√−x ． 又∵函数f(x)为奇函数， ∴f(x)=−f(−x)=−√−x ． ∴当x <0时，f(x)=−√−x ． ∴f(x)={√x,x ≥0−√−x,x <0；(2)函数g(x)解析式为g(x)={f(x),x ≥0f(−x),x <0={√x,x ≥0√−x,x <0，g(x)的定义是R ，关于原点对称，当x >0时，−x <0，g(−x)=√−(−x)=√x =g(x)， 当x <0时，−x >0，g(−x)=√−x =g(x)， 综上所述，函数g(x)为偶函数．解析：解析：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数奇偶性的判断方法，是中档题． (1)设x <0，则−x >0，结合已知与函数是奇函数可得x <0时的解析式，则答案可求； (2)由已知结合(1)写出分段函数解析式，然后利用奇偶性的定义证明g(x)的奇偶性．19.答案：解：(1)在直角△NFP 中，因为PF =√3，∠FPN =θ，所以，所以．在直角△MEP 中，因为PE =1，，所以，所以．所以，．(2)因为．令，由，得t∈[1,4]，所以S=√3+3t2−4t+42√3t =√32(t+43t)+√33≥√32×2×√t×43t+√33=2+√33．当且仅当t=2√33时，即时等号成立．此时，AN=2√33，S min=2+√33．答：当AN=2√33时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为2+√33．解析：本题主要考查函数模型的应用，是高考中常见的题型，属于难题．(1)在直角△NFP中，因为PF=√3，∠FPN=θ，所以，化简即可求解；(2)因为，化简即可求解．20.答案：解：(1)由题意，A(−2,0)，B(2,0)，C(0,2)，∴直线AC：x−2+y2=1，即x−y+2=0，设l：x+y+b=0，∴√12+12=2，则b=±2√2，∴l：x+y±2√2=0；(2)①CM：x+√3y−2√3=0，圆心到直线CM的距离d=√3√12+(√3)2=√3，∴弦CM的长为2√4−3=2．②设M(x0,y0)，则x0≠±2,x0≠0,x02+y02=4，直线l CM：y=y0−2x0x+2，则D(2x02−y0,0)，k MB=y0x0−2，直线l BM：y=y0x0−2(x−2)，又l AC：y=x+2AC与BM交点N(4−2x0−2y0x0−y0−2,−4y0x0−y0−2)，k ND=4y0x0−y0−22x02−y0−4−2x0−2y0x0−y0−2=4y0−2y02x02−2x0y0+4y0−4−y02将x02=4−y02，代入得k ND=y0−2x0+y0−2，所以2k ND−k MB=2(y0−2)x0+y0−2−y0x0−2=x0y0−2y0−4x0+8−y02x02−4x0+x0y0−2y0+4，得2k ND −k MB =x 0y 0−2y 0−4x 0+8−y 024−y 02−4x 0+x0y 0−2y 0+4=x 0y 0−2y 0−4x 0+8−y 028−y 02−4x 0+x 0y 0−2y 0=1为定值．解析：(1)先求直线AC 的方程，设出切线方程，利用点线距离等于半径，即可求与直线AC 垂直的圆的切线方程；(2)①求出CM 的方程，圆心到直线CM 的距离，即可求弦CM 的长； ②确定N ，D 的坐标，表示出2k ND −k MB ，即可证明2k ND −k MB 为定值．本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.答案：(1)解：∵na n+1=(n +1)a n +1，n ∈N ∗，a 1=a >0，∴令n =1得a 2=2a 1+1=2a +1 …(1分) 令n =2得2a 3=3a 2+1=3a +2 …(3分) 令n =3得3a 4=4a 3+1=4a +3 …(5分) ∴a n =(a +1)n −1…(7分)(2)证明：假设以a 2，a 3，a 4为边的三角形是直角三角形∵a >0，∴4a +3>3a +2>2a +1，∴4a +3为直角三角形的斜边 …(8分) ∴(4a +3)2=(2a +1)2+(3a +2)2 …(9分) ∴3a 2+8a +4=0，∴a =−23或a =−2 …(10分) 以上二根均为负数，与已知a >0矛盾 …(11分) ∴假设不成立，原命题成立 …(12分)解析：(1)n =1，2，3，分别代入，即可求a 2，a 3，a 4的值，从而猜出{a n }的通项公式； (2)利用反证法证明，即可得出结论．本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
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1A2018年虹口区高考数学二模含答案（时间120分钟，满分150分）一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-L则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A BC D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<L且[]12,,,0,8nx x xπ∈L（10n≥），记1223341()()()()()()()()n nM f x f x f x f x f x f x f x f x-=-+-+-++-L，则M的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分）13．下列函数是奇函数的是（）．.A ()1f x x =+ .B ()sin cos f x x x =⋅ .C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅u u u v u u u v ，当PM PN ⋅u u u u v u u u v取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.P 2P 1C 1A N 2N 1x19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d u r 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b u u r ，如果01ρρ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u r 和“公差向量”d u r 表示12n a a a +++u r u u r u u rL ；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =u r ，1(1,1)a =u r ，(,)n n n a x y =u u r ；{}n b u u r是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅u r u r u u r u u r u u r u u rL ．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x=-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[,1)2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++L L成立的充要条件是a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1）Q 12ABC S ∆= ，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分P 2P 1C 1A N 2N 1（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC . Q 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分Q121PM AM ==1PC =，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为12z =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A = ，3A π= .…………4分∴5sin sin12C π== ，sin sin c a C A=，得c =7分 （2）Q 2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =u u r ，12(,)d d d =u r .由1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++u r u u r u u rL L L 11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-u v u v.………………6分（2）设(,)n n n a x y =u u r ，(,)n n n b m k =u u r.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=u u u r u u r，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=u u u r u u r得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++u r u r u u r u u r u u r u u rL L L令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯L L ………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L …………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅L ，得5(35)2nn S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--L 从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+u r u r u u r u u r u u r u u rL ………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=（2）Q 点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P .:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-u r ，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---u u u u r ，2(1,)MF m n =--u u u u r ，记d u r 与1MF u u u u r 的夹角α，d u r 与2MF u u u u r 的夹角β.………12分11cos d MF d MF α⋅====u r u u u u ru r u u u u r22cos d MF d MF β⋅====u r u u u u r u r u u u u r ，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由3()()022a a -+--≤，得a ≥………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<≤1212 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1212x x <<，122x x -<+ 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当1202x x ≤<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1202x x ≤<，120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->. ∴ ()g x在(1,2-递减，在[0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分 (3) 充分性：当a ≥时，有3(022a f a a =-=-≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++L L .……14分 必要性：当0q =时，0a =.当0q ≠时，由4732n a q q q q-=+++++L L 成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q =-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在(1,-递减，在[1)递增，从而，1()2g x <-或()3g x ≥.从而31qa q=-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。