北师大版数学八下5.4.2《分式方程(二)》教学设计

从而找 到解分式方程的途径.
（三）情感与价值观要求
1.培养学生自觉反思求解过程和自 觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.
2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学 习数
学的 自信.
教学重点
1.解分式方程的一般步骤 ，熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.
［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解
分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.
［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？
［生］x（x－2）.
［师生共析］方程两边同乘以 x（x－2）,得 x（x－2）· 1 =x（x－2）· 3 ,
［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.
［例 1］解方程： 1 = 3 . x−2 x
（1）
［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？
［师］同学们说他的想法可取吗？
［生］可取.
［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？
x= ah . 2a + h
Ⅳ.课时小结 ［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小. ［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式 方程转化为整式方程为什么会产生增根. ［生］我又一次体验到了“转化”在 学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一 步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程. …… Ⅴ.课后作业 习题 3.7 Ⅵ.活动与探究
（2） h = a （a,h 是常数且都大于零） 2x a − x
去分母，方程 两边同乘以 2x（a－x），得 h（a－x）=2ax 解整式方程，得 x= ah （2a+h≠0）
2a + h
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
检验：把 x= ah 代入原方程中，最简公分母 2x（a－x）≠0，所以原方程的根为 2a + h
若关于 x 的方程 x −1 = m2 有增根，则 m 的值是____ ________. x − 3 3x − 9
［过程］首先增 根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为 零.
［结果］关于 x 的方程 x −1 = m2 有增根，则此增根必使 3x－9=3（x－3）=0，所 x − 3 3x − 9
［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯.
我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）
议一议
解方程 2 − x = 1 －2. x−3 3−x
（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法 的同学，可用实物投影仪显示他
的解法，并一块分析）
［师］ 我们来看小亮同学的解法： 2 − x = 1 －2 x−3 3−x
等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也
就不适合原方程了.
［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的
增根.
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采
用什么方法补救？
［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看
解：（1） 3 = 4 x −1 x
去分母，方程两边同乘以 x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得 x=4
检验：把 x=4 代入 x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为 x=4. （2） 10 + 5 =2
2x −1 1− 2x 去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
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［师］ 为什么 x=3 是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根
呢？同学们可在小组内讨论.
（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）
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［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果
整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相 当于分式方程两边都乘以零，不符合
论.
（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）
［生］x=3 是由一元一次方程 x=3（x－2） （2）解出来的，x=3 一定是方程（2）的解.
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但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把 x=3 代入方程（1）的左边= 1 =1，右边= 3
（1） 9000 = 15000 ; x x + 3000
（2） h = a （a,h 常数） 2x a − x
［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以 x（x+3000）,得 9000（x+3000）=15000x 解这个整式方程，得 x=4500 检验：把 x=4500 代入 x（x+3000）≠0. 所以原方程的根为 4500
3−2
3
=1，左边=右边，所以 x=3 是方程（1）的解.
［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例 2.
［例 2］解方程： 300 － 480 =4 x 2x
（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答） 解：方程两边同乘以 2x，得 600－480=8x
解这个方程，得 x=15
检验：将 x=15 代入原方程，得 左边=4，右边=4，左边=右边,所以 x=15 是原方程的根.
这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次
方程的解法，也许你会从中得到启示，寻 找到解分式方程的方法.
解方程 3x −1 + 5x + 2 =2－ 4x − 2
2
3
6
［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数 6，得
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3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.
（2）去括号，得 9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得 9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得 23x=13, （5）使 x 的系数化为 1，两边同除以 23，x= 13 .
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Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法
是不是原方程的解.
［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？
［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简
单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增
根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.
［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的
根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检
验的错误.
Ⅲ.应用，升华
1. 解方程：
（1） 3 = 4 ;（2） 10 + 5 =2.x −1 x2x −1 1− 2x
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得 x= 7 4
检验：把 x= 7 代入原方程分母 2x－1=2× 7 －1= 5 ≠0.
4
42
所以原方程的根为 x= 7 . 4
2.回顾，总结
想一想 解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ ［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结. ［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方 程为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根. 3.补充练习 解分式方程：
解：方程两边同乘以 x－3,得 2－x=－1－2（x－3）
解这个方程，得 x=3.
［生］小亮解完没检验 x=3 是不是原方程的解.
［师］检验的结果如何呢？
［生］把 x=3 代入原方程中，使方程的分母 x－3 和 3－x 都为零，即 x=3 时，方程中的 分式无意义，因此 x=3 不是原方程的根.
［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？ ［生］x=3 是去分母后的整式方程的根.
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
分式方程的解法（二）教学设计
教学目标
（一）教学知识点
1.解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
（二）能力训练要求
1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.
2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，
教学难点 明确分式方程验根的必要性. 教学方法 探索发现法
学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的
必要性.
教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——
分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.
x−2
x
化简，得 x=3（x－2）.
（2）
我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一