上海五校高三数学联考试卷(2015.12)
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 ． 12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a 满)4,3,2,1(1=i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m <D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
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2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷
数学（理科） 一．填空题：共 14 小题，每小题 4 分，共 56 分。
1．设全集U R ，若集合 A 1, 2,3, 4， B x 2 x 3，则
A ðU B _________。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，则其母线与轴的夹角的大小为
_______。
7．方程 log2 9x1 5 log2 3x1 2 2 的解为___________。2
8．在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
（A）充分非必要条件
（C）充要条件
（B）必要非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
16．已知点 A 的坐标为 4 3,1，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 至 OB ，则点 3
33 B 的纵坐标为（ ） （A）
2
13
（D）
2
17．记方程①： x2 a1x 1 0 ，方程②： x2 a2 x 2 0 ，方程③：
f T 4 。⑴验证 h x x sin x 是以 6 为周期的余弦周期函数；⑵设 a b ，证明
3
对任意 c f a, f b ，存在 x0 a,b，使得
f x0 c ；⑶证明：“ u0 为方程 cos f x 1在
0,T 上得解”的充要条件是“ u0 为方程
x2 a3x 4 0 ，其中 a1, a2 , a3 是正实数。当 a1, a2 , a3 成等比数列时，下列选项中，能推
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则UA B = ．【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=-> 21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ1.42.8 4.2 5.6 P25425C = 253310C = 25215C = 251110C = 所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin ,cos ,sin 24125255A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cossin )(43)()3322OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n nx yP是直线21nx yn-=+（n*∈N）与圆222x y+=在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx→∞-=-（）A．1- B．12- C．1 D．2【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
上海市五校届高三12月联考数学试卷Word版含答案
2016-2017学年上海五校联考试卷数学2016.12一、 填空题1. 1和4的等比中项是2. 设0)1)((:,134:≤---≤-a x a x q x P ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围是3. 已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f4. 各项均为正数的等比数列{}n a ，若12122=+a a ，则7a 的最大值是5. 已知向量与的夹角是6052==，则-2在方向上的投影是6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比是π2，其母线与轴的夹角的大小是7. 已知某等腰三角形底角的正弦值是53，则顶角的余弦值是 8. 如果用反证法证明“数列{}n a 的各项均小于2”，有下列四种不同的假设： （1）数列{}n a 的各项都大于2（2）数列{}n a 的各项都大于或等于2 （3）数列|{}n a 中一定存在一项2,≥k k a a（4）数列{}n a 中一定存在一项2,≥k k a a其中正确的序号是 （填出所有正确的序号） 9. 已知等差数列|{}n a 满足：11011-<a a 且它的前n 项和n S 有最大值，当n S 取到最小正数时， =n10. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，直线AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小是30°，则该四棱柱的外接球表面积大小是11. 若函数3621-+-+-=x x m x y 在2=x 时取得最小值，则实数m 的取值范围是 12. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC =75°，从C 点测得∠MCA=60°，己知山高BC=100m ，则山高MN= m13. 已知函数)0,20)(2sin()(><<+=A x A x f πϕϕ部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的 ],[,21b a x x ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则=ϕ。
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题含答案
上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92==， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则AB C ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q的取值范围是 ． 12．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a )4,3,2,1(1==i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i 32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m < D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
上海市高三五校联考数学试卷.docx
高中数学学习材料唐玲出品上海市高三五校联考数学试卷2016.03一．填空题1.已知集合A={}02<-x x x ，B=（0，a ）（a>0），若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 2.已知幂函数()x f =αx k ⋅的图象经过点（8,4），则k-a 的值为3.已知双曲线1222=-my x （m>0）的一条渐近线方程为03=+y x ，则m=4.甲箱子里有3个白球，2个黑球，乙箱子里有2个白球，3个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率为5.()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x 的展开式中常数项为6.已知向量a=（2，θsin ），b =（1，θcos ），若b a //，则θtan =7.在极坐标中，已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4-22π，，圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，则圆E 的圆心与点A 的距离为d=8.已知等差数列921,,,a a a 的公差为3，随机变量ξ等可能地取值921,,,a a a ，则方差ξD = 9.将半径为5的圆分割长面积之比为1：2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为321,,r r r ，则321r r r ++=10.已知关于x 的一元二次不等式022>++b x ax 的解集为{}c x x ≠，则ca b a +++722（其中a+c 0≠）的取值范围为11.设椭圆192522=+y x 的左右焦点分别为21,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A,B 两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为4π设A,B 的两点坐标分别为()()2211,,,y x B y x A ，则21y y -值为 12.函数()x f =x 3sin ，满足()11x x f =m ，其中[]*∈=-∈N n n i x i ,,,2,1,2,2 ππ，则n 的最大值为 13.设函数()x f =⎩⎨⎧≥<-1,21,13x x x x，则满足()[]()a f a f f 2=的a 取值范围是14.如图，记棱长为1的正方体1C ，以1C 各个面的中心为顶点的正八面体为2C ，以2C 各面的中心为顶点的正方体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的正八面体为4C ，……，以此类推得一系列的多面体n C ，设n C 的棱长为n a ，则数列{}n a 的各项和为二．选择题15.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A.xe x y += B.x x y 1+= C.x xy 212+= D.21x y += 16.已知A 为ABC ∆的一个内角，且32cos sin =+A A ，则ABC ∆的形状是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定17.已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P,Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ,OP （如图），则阴影部分面积1S ,2S 的大小关系是（ ）A. 1S =2SB.1S ≤2SC.1S ≥2SD.先1S <2S ,再1S =2S ，最后1S >2S18.设函数()x f =)sin()sin()sin(2211n n a x a a x a a x a ++++++ ，其中j i a a ,（i=1,2，…，n ，*∈N n ，n 2≥）为已知实常数，x R ∈，下列关于函数()x f 的性质判断正确的个数是（ ） ①若()0f =⎪⎭⎫⎝⎛2πf =0，则()x f =0对任意实数x 恒成立；②若()0f =0，则函数()x f 为奇函数；③若⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf =0，则函数()x f 为偶函数；④当()02022≠⎪⎭⎫⎝⎛+πf f 时，若()1x f =()2x f =0，则()Z k k x x ∈=-π21；A. 4B. 3C. 2D. 1三．解答题19. （本小题满分12分）如图所示，棱长为a 的正方体，N 是棱11D A 的中点；（I ）求直线AN 与平面D D BB 11所成角的大小； （Ⅱ）求1B 到平面ANC 的距离。
2015年高考文科数学上海卷及答案解析
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数213sin f x =x -（）的最小正周期为 . 2．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x =≤≤，则U A B ð= . 3．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .4．设-1f x （）为=21x f x x +（）的反函数，则=-12f （） .5．若线性方程组的增广矩阵为122301c c 骣琪琪桫、解为35x y ì=ïí=ïî，，则12c c -= . 6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a= .7．抛物线2=2>0y px p （）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = .8．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 . 9．若x ，y 满足0,2,0,x y x y y ì-ïï+íïïî≥≤≥则目标函数2f x y =+的最大值为 .10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.11．在621(2)x x+的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.12．已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为22=14x y -.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .13．已知平面向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，且{|a |，|b |，|c |}={1,2,3}，则|a +b +c |的最大值是 .14．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m -+--?*N （）（）（）（）（）（≥），则m 的最小值为 .二、选择题：本大题共有4小题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z ÎC ，则“12,z z 均为实数”是“12z z -是实数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式2+8<223x x x ++解集相同的是( )A .2(+8)(+2+3)<2x x xB .2+8<2(+2+3)x x xC .212<23+8x x x ++ D .2231>+82x x x ++17．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13218．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n -=?+*N 与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x -=-( )A .1-B .12- C .1 D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19.（本小题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （Ⅰ）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （Ⅱ）若(1,3)a Î，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本小题满分14分） 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米.现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时.乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地；2t t =时，乙到达Q 地. （Ⅰ）求1t 与1()f t 的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本小题满分16分）已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记△AOC 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y =-；（Ⅱ）设1:l y kx =，C ，13S =，求k 的值； （Ⅲ）设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.23.（本小题满分18分）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n Î*N . （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n Î*N ≥.求证：{}n b 的第0n 项是最大项；（Ⅲ）设130a l =＜，()n n b n l =?*N .求l 的取值范围，使得对任意m ，n Î*N ，0n a ¹，且1(,6)6m n a a Î.1235c c ⎡⎤⎤⎡⎤=⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦【提示】根据增广矩阵的定义得到【解析】正三棱柱的体积为14330x -+=30=，即得【提示】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可【考点】对数方程.10.【答案】120122，2(m f x -++2m x ，，满足6m x <<≤27811π0,π,22x x x ===，，【提示】由正弦函数的有界性可得，对任意πsin 3OB θ⎛+ ⎝(4OB =cos OP OR O ∠31212OA d x y =1,=得21x =13kx1221mx x kx k -1212k m x x k -=222k m+42(4k S ++k 无关，(21212m k +【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学理试题上海卷和答案
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2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B = ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B = 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+=>=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y x = 【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为2y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）． 【答案】0.2【解析】赌金的分布列为所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为所以223111.4(1234)2.8510510E ξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE -E =0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅=．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 242A A AB AC A AB AC ==⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(15DE DF A π⋅⋅-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．2B ．2C ．112D ．132【答案】D【解析】113(cos sin ))()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅+= ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015上海高三-高考真题理科数学
理科数学 2015年高三2015年高考真题上海理科数学卷理科数学考试时间：____分钟题型填空题单选题简答题总分得分填空题（本大题共14小题，每小题____分，共____分。
）（4分）（2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=____．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=____．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=____．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=____．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=____．（4分）（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为____．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为____．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为____（结果用数值表示）．（2015•上海）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为____．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为____．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为____（结果用数值表示）．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=____（元）．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为____．（2015•上海）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=____．单选题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
五校联考高三数学试卷附加题答案.docx
2015届高三第四次模拟考试答案数学（II ）(考试时间：30分钟 总分：40分)21.［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，选修4-1几何证明选讲）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明： AD ·DE ＝2PB 2.证明：由切割线定理得P A 2＝PB ·PC . 因为 PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . ………5分由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2. ………10分B ．（本小题满分10分，选修4—2 矩阵与变换）EDBO A PC已知矩阵312221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦（1）求1A -；（2）满足AX =1A -二阶矩阵X解：(1) 12143A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………4分(2)852013X -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦………10分C ．（本小题满分10分，选修4—4 坐标系与参数方程选讲）已知圆C 的参数方程为()为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=sin 23,cos 21y x ，若P 是圆C 与x 轴正半轴的交点，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解 由题设知,圆心 ()()0.2, 3,1P C 2分 ∠CPO=60°,故过P 点的切线的倾斜角为30° 4分 设()θρ,M 是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中，∠MOP =θ 00150, 30=∠-=∠OPM OMP θ由正弦定理得()θρ-=∴∠=∠0030sin 2sin150, sin sin OMP OP OPM OM 8分()()()130sin 160cos 00=-=+∴θρθρ或，即为所求切线的极坐标方程. 10分D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数z y x ,,满足123=++z y x ，求22232z y x ++的最小值.解：由柯西不等式，22222221()(2)(3)3(2)()(32)13x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ………4分所以22232334x y z ++≥，当且仅当231323x y z ==，即931,,343434x y z ===时，等号成立，所以22232z y x ++的最小值为334． ………10分［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值． 解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩,令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =. 同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =, 所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. ………5分 1A 1B 1C ABC（2）设D (,,)x y z 是直线BC 1上一点,且1BD BC λ=. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=. 所以(4,33,4)AD λλλ=-. 由1·0AD A B =,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B . 此时,1925BD BC λ==. ………10分 23.（本小题满分10分)（1）证明：①111r r r n n n C C C ++++=；②122212n nn n C C +++=（其中,,01,n r N r n *∈≤≤-）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设21n +局，每局比赛甲获胜的概率均为12p p ⎛⎫>⎪⎝⎭，首先赢满1n +局者获胜（n N *∈）. ①若2n =，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+………2分②由①1+122212121=+2n n n nn n n n C C C C +++++=………3分（2）①若2n =，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ………5分②证明：设乙每一局获胜的概率为q ，则210,1<<=+q q p 。
上海市十二校2015届高三12月联考数学(理)试题
学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32 x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92，a 与b 的夹角为3π，则b a +在a 上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则ABC ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 ． 12．已知函数())(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a 满)4,3,2,1(1=i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i ，则32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x ⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m <D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。
上海市五校联考高三数学上学期质检试卷 理(含解析)
上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．2．（4分）已知向量，若，则=．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为．（用反三角函数值表示）7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．上海市五校联考2015届高三上学期质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．（4分）已知P（﹣3，4）为角α终边上的一点，则cos（π+α）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，诱导公式求得要求式子的值．解答：解：∵P（﹣3，4）为角α终边上的一点，∴x=﹣3，y=4，r=|OP|=5，∴cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．2．（4分）已知向量，若，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．解答：解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．3．（4分）已知集合M={x|y=lg（2x﹣x2），x∈R}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是分析：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．解答：解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．点评：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．（4分）若无穷等比数列{a n}满足：，则首项a1的取值范围为（0，4）∪（4，8）．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：依题意知|q|＜1且q≠0，由=4⇒q=1﹣∈（﹣1，1），从而可求得a1的取值范围．解答：解：依题意知|q|＜1且q≠0，∴S n=，∴=，∴，∴q=1﹣∈（﹣1，1），q≠0，即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，解得0＜a1＜4或4＜a1＜8．故答案为：（0，4）∪（4，8）点评：本题考查数列的求和与数列的极限，求得q=1﹣是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．6．（4分）若直线l：ax+y+1=0平分圆x2+y2﹣2x+6y+5=0的面积，则直线l的倾斜角为π﹣arctan2．（用反三角函数值表示）考点：直线与圆的位置关系；直线的倾斜角．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3），求出a，即可求出直线l的倾斜角．解答：解：由题意可得，直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）．故有a﹣3+1=0，解得a=2，∴k=﹣2，∴直线l的倾斜角为π﹣arctan2．故答案为：π﹣arctan2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，得到直线l：ax+y+1=0过圆心（1，﹣3）是解题的关键，属于中档题．7．（4分）已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上满足：当x1，x2∈（﹣∞，0]且x1≠x2时，总有，则不等式f（x﹣1）＜f（x）的解集为{x|x＞}．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在上单调递减，所以f（x）在8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由函数图象经过点（0，1），代入解析式得sinφ=，解出φ=．根据A、B两点之间的距离为5，由勾股定理解出横坐标的差为3，得函数的周期T=6，由此算出ω=，得出函数的解析式，从而求出f（﹣1）的值．解答：解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵≤φ≤π，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．故答案为：2点评：本题给出正弦型三角函数的图象，确定其解析式并求f（﹣1）的值．着重考查了勾股定理、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m2﹣m 恒成立，则实数m的取值范围为或m≥1．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m2﹣m恒成立转化为m2﹣m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．解答：解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=；当x＞1时，f（x）=＜0．∴要使不等式f（x）≤m2﹣m恒成立，则恒成立，即或m≥1．故答案为：或m≥1．点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．10．（4分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M 到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：根据AB=3，BD=1，确定点D在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．解答：解：∵AB=3，BD=1，∴D是BC上的三等分点，∴，∴===9﹣=，故答案为．点评：此题是个中档题．考查向量的加法和数量积的运算法则和定义，体现了数形结合和转化的思想．12．（4分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．解答：解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．点评：本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．13．（4分）过点且方向向量为（2，1）的直线交双曲线x2﹣y2=4于A n，B n两点，记原点为O，△OA n B n的面积为S n，则=．考点：数列的极限．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：依题意，可知过点（2﹣，0）的直线的斜率为，n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，利用直线与圆锥曲线的位置关系，利用弦长公式、三角形的面积公式即可求得答案．解答：解：∵过点且方向向量为（2，1），即其斜率k=，（2﹣）=2，∴当n→+∞时，点（2﹣，0）→（2，0），∴n→+∞时，△OA n B n的面积就是直线y﹣0=（x﹣2），即x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积，设为S，由消去x得：3y2+8y=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，=﹣，y1•y2，=0，x1+x2，=2y1+2y2，+4=﹣，∴|AB|==•=•=．又O点到直线x﹣2y﹣2=0的距离d==，∴S==|AB|•d=××=．为S n，故答案为：．点评：本题考查数列的极限，理解题意，求得（2﹣）=2，原问题转化为直线x﹣2y﹣2=0与双曲线x2﹣y2=4的两个交点A、B与原点O所组成的三角形的面积是关键，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查弦长公式，考查转化思想与综合运算能力．14．（4分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）15．（5分）已知命题α：|x﹣1|≤2，命题β：≤0，则命题α是命题β成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解得出不等式命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3，∵≤0，∴﹣1＜x≤3，∴命题α：﹣1≤x≤3，命题β：﹣1＜x≤3，∴根据充分必要条件的定义可判断：命题α是命题β成立的必要不充分条件．故选：B点评：本题考查了不等式的求解，注意分式不等式的求解，利用充分必要条件的定义可判断，属于容易题．16．（5分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：分别找出两直线的斜率，根据正弦函数的值域得到直线l1斜率的范围，发现两直线的斜率不可能相等，所以两直线不可能平行，必然相交，故直线l1绕交点旋转可以与l2重合．解答：解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈，即直线l1的斜率k1∈，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选D点评：此题考查了两直线的交点坐标，正弦函数的值域，以及直线斜率的求法，根据直线方程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键．17．（5分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=（表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y= B．y= C．y= D．y=考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．解答：解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．点评：本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案．对于选择题要会选择最恰当的方法．18．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．解答：解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．点评：本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a， b，c，向量，，（1）求sinA的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：平面向量及应用．分析：（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cosA=，由同角三角函数的基本关系可得sinA；（2）由正弦定理可得sinB=，结合大边对大角可得B值，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．解答：解：（1）由题意可得=cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=cos=cosA=，∴sinA==；（2）由正弦定理可得，∴sinB===，∵a＞b，∴A＞B，∴B=，由余弦定理可得=，解得c=1，或c=﹣7（舍去），故向量在方向上的投影为cosB=ccosB=1×=．点评：本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．20．（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：向量与圆锥曲线．分析：（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长半轴长，再由a﹣c=1求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出P点坐标，代入椭圆方程，求出直线PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐标，得到向量的坐标，代入数量积公式可得为定值．解答：解：（1）由抛物线y2=12x，得焦点为（3，0），已知可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a﹣c=1，则c=2，∴b2=a2﹣c2=5，故椭圆的方程为：；（2）设P（x0，y0），则，且A（﹣3，0），B（3，0），又直线PA：，直线PB：，令x=0，得：，故为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．21．（14分）等差数列{αn}的前n项和S n=n2，数列{βn}满足βn=．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：①sin2α1+cos2β1﹣sinα1cosβ1=m；②sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=m；③sin2α3+cos2β3﹣sinα3cosβ3=m；④sin2α4+cos2β4﹣sinα4cosβ4=m；⑤sin2α5+cos2β5﹣sinα5cosβ5=m；⑥sin2α6+cos2β6﹣sinα6cosβ6=m．（Ⅰ）求数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）试从上述六个等式中选择一个，求实数m的值；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，将同学甲的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．考点：三角函数的化简求值；归纳推理．专题：三角函数的求值；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用等差数列{αn}的前n项和S n=n2，分n=1与n≥2讨论，即可求得数列{αn}的通项公式；（Ⅱ）选择②，计算即可；（Ⅲ）利用两角差的余弦将所求关系式中的cos2（）及cos（）展开，利用平方关系计算即可证得结论成立．解答：（Ⅰ）解：当n=1时，α1=…（1分）当n≥2时，αn=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=n﹣…（3分）∵当n=1时，a1适合此式∴数列{αn}的通项公式为a n=n﹣…（5分）（Ⅱ）解：选择②，计算如下：β2=…（6分）m=sin2α2+cos2β2﹣sinα2cosβ2=sin2+cos2﹣sin cos=1﹣sin=…（8分）（Ⅲ）证明：sin2θ+cos2（）﹣sinθcos（）…（9分）=sin2θ+（cos cosθ+sin sinθ）2﹣sinθ（cos cosθ+sin sinθ）…（10分）=sin2θ+cos2θ+sin2θ+sinθcosθ﹣sinθcosθ﹣sin2θ…（11分）=cos2θ+sin2θ=…（12分）点评：本题考查归纳推理，着重考查三角函数的化简求值，考查运算与推理证明能力，属于难题．22．（16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知函数，试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（1）运用两角和与差的正弦公式，化简f（﹣x）+f（x），再由由局部奇函数的定义，即可判断；（2）根据局部奇函数的定义，可得方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，运用换元法，令t=2x∈，则﹣2m=t+，求出右边的最值即可；（3）根据“局部奇函数”的定义可知，（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，即有方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，由对称轴和区间的关系，列出不等式，解出即可．解答：解：（1）由于f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜），f（﹣x）=sin（﹣x+φ）=﹣sin （x﹣φ），则f（﹣x）+f（x）=sin（x+φ）﹣sin（x﹣φ）=2cosxsinφ，由于0＜φ＜，则0＜sinφ＜1，当x=时，f（﹣x）+f（x）=0成立，由局部奇函数的定义，可知该函数f（x）为“局部奇函数”；（2）根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为，所以方程2x+2﹣x+2m=0在上有解，令t=2x∈，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈时，g（t）∈．所以﹣2m∈，即m∈．（3）根据“局部奇函数”的定义可知，函数f（﹣x）=﹣f（x）有解即可，即f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，即（2x+2﹣x）2﹣2m⋅（2x+2﹣x）+2m2﹣8=0有解即可．设t=2x+2﹣x，则t=2x+2﹣x≥2，∴方程等价为t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，设g（t）=t2﹣2m⋅t+2m2﹣8，对称轴x=﹣=m，①若m≥2，则△=4m2﹣4（2m2﹣8）≥0，即m2≤8，∴﹣2，此时2，②若m＜2，要使t2﹣2m⋅t+2m2﹣8=0在t≥2时有解，则，即，解得1﹣≤m＜2，综上得，1﹣≤m..点评：本题考查新定义的理解和运用，考查方程有解的条件及二次函数的图象和性质的运用，以及指数函数的图象和性质的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．23．（18分）由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r）．（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；（2）试推导P（n，r）关于n、r的解析式；（3）是否存在这样的“n边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：（1）由已知可得P（3，r）=，解不等式可得最小r的取值；（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，进而由等差数列的前n项和公式，可得答案．（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，即可得出结论．解答：解：（1）由题意得：P（3，r）=1+2+…+r=令＞36即r2+r﹣72＞0，解得r＞8∴最小的r=9．（2）设n边形数列所对应的图形中第r层的点数为a1，则P（n，r）=a1+a2+…+a r，从图中可以得出：后一层的点在n﹣2条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以a r+1﹣a r=n﹣2，a1=1所以{a r}是首项为1公差为n﹣2的等差数列，所以P（n，r）=r+；（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n﹣2）r2+2r+1，n=3时，满足题意；而结论要对于任意的正整数r都成立，则（n﹣2）r2+2r+1的判别式必须为0，∴4﹣4（n﹣2）=0，∴n=3，故满足题意的数列为“三角形数列”．点评：本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力．。
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上海五校高三联考数学试卷
2015.12
一. 填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）
1. 已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi += ；
2. 函数2sin y a x π=(0)a >的最小正周期为2，则实数a = ；
3.
函数y 的定义域为 ；
4. 集合{||2|3,}x x R A x =-≤∈，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，()R C A B = ；
5. 如果2i +是关于x 的实系数方程2
0x mx n ++=的一个根，则mn = ； 6. 已知双曲线22
212
x y a -=，
其双曲线的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，则该双曲 线的方程为 ；
7. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，
若22
a b -=
，sin C B =，则角A = ；
8. 等比数列{}n a 各项均为正数，510119122a a a a e +=，1220ln ln ln a a a +++= ； 9. 在△ABC 中，5AB =，6AC =，点P 是△ABC 的外接圆圆心，则AP BC ⋅= ；
10. 无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项是10a >，若1
1lim n n S a →∞=，则1a 的取值范围 是 ；
11. 对于函数()f x ，若在定义域D 上存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为D 上“局部奇函数”，已知()2x
f x m =+是定义在[1,1]-上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是 ；
12. 已知数列{}n a 满足，当3n >时，12n n a a -=或12n n n a a a --=+，若11a =，22a =，则此数列的前2015项中，奇数项最多有 项； 13. 已知M 是△ABC 内的一点（不含边界）
，且AB AC ⋅= 30BAC ︒∠=，若△
MBC 、△MAB 、△MAC 的面积分别是x 、y 、z ，则14x y z
++的最小值为 ； 14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:650C x y x +-+=，点,A B 在圆C
上，且
AB =||OA OB + 的取值范围是 ；
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
15. 已知直线1:20l x ay ++=和直线2:(2)360l a x y a -++=，则“3a =”是“1l ∥2l ”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
16. 已知函数log ()a y x c =+(,a c 为常数，其中)1,0≠>a a 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A. 1a >，1c >
B. 1a >，01c <<
C. 01a <<，1c >
D. 01a <<，01c <<
17. 下列命题正确的是（ ）
A. 若0ab ≠，则
2b a a b
+≥ B. 若0a <，则44a a +≥-
C. 若0,0a b >>，则lg lg a b +≥
D. 若,x k k Z π≠∈，则224sin 5sin x x
+≥ 18. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，221()(|||2|2f x x a x a =
-+-- 23)a ，若对任意x R ∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）
A . 11[,]66- B. [ C. 11[,]33- D. [
三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）
19. 如图，,A B 是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=；
（1）当点A 的坐标为34(,)55时，求
cos 21sin 2αα+的值； （2）若03πα≤≤
，且当点,A B 在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC
的取值范围；
20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x <≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数；
（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；
（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值；（精确到1年/小时）
21. 已知圆22(1):1M x y ++=，圆22(1):9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ；
（1）求曲线C 的方程；
（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB 长；
22. 已知函数()22x x f x a -=+⋅，其中常数0a ≠，
（1）当1a =时，()f x 的最小值；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（3）当256a =时，是否存在实数(1,2]k ∈，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意x R ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由；
23. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称数列{}n a 是“E 数列”；
（1）数列{}n a 的前n 项和3n n S =*()n N ∈，判断数列{}n a 是否为“E 数列”，说明理由；
（2）数列{}n b 是等差数列，其首项11b =，公差0d <，数列{}n b 是“E 数列”，求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“E 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ *()n N ∈成立；。