受正弦扰动的线性时滞系统的最优输出跟踪控制

第 38 卷 第 1 2008 年 1 月
期
中国海洋大学学报
PERIODICAL OF OCEAN UN IV ERSIT Y OF CHINA
38 (1) :129～134 Jan. , 2008
受正弦扰动的线性时滞系统的最优输出跟踪控制Ξ
唐功友1 , 胡乃平2 , 赵艳东3
(1. 中国海洋大学信息科学与工程学院 , 山东 青岛 266100 ; 2. 青岛科技大学信息科学技术学院 , 山东 青岛 266042 ; 3. 青岛科技大学自动化工程学院 , 山东 青岛 266042)
假设 2 参考输入外系统 (2) 稳定或渐近稳定 , 且 ( F ,
H) 完全可观测 。
由于有持续的正弦扰动存在 , 系统的状态向量 x
和控制向量 u 会至少有 1 个不趋于零 。因此对于此类
最优输出跟踪问题 ,若选择无限时域二次型性能指标 ,
其性能指标函数是不收敛的 。于是 , 本文选取如下二
次型平均性能指标
和伴随向量微分方程
- g ( t) = ( A - S P1) T g ( t) + P1 A1 x ( t - τ) +
A
T 1
P1
x
(
t
+τ)
+
A1T P2 w ( t
w( t) = ⁝
=⁝
(3)
w m ( t)
αm sin (ωm t + φm )
其中不妨设频率 ωi ( i = 1 ,2 , …, m ) 有如下关系
- π< ω1 ≤ω2 ≤…ωm ≤π
(4)
在以下的研究中 ,做下列假设 :
假设 1 ( A , B ) 完全可控 , ( A , C) 完全可观测 ;
对于状态含有时滞的系统基于二次型性能指标的 最优输出跟踪问题将导致 1 个既含时滞项又含超前项 的两点边值 ( TPBV) 问题 。通常 ,求解该问题的解析解 是非常困难的 。因此 ,研究者们通过研究问题的数值 解法从而得到时滞系统的近似控制律 。其中 ,逐次逼 近法[11 ]和灵敏度法[12 ]就是其中非常有效的 2 种方法 。 这 2 种方法只需要迭代求解向量微分方程 ,计算量小 , 收敛速度快 ,是研究时滞系统最优控制和最优输出跟
λ( ∞) = 0
的解 ,其中 S = B R - 1 B T 。可知对于两点边值问题 (8) ,
无论是求精确解还是求数值解都是非常困难的 。因
此 ,寻求该类问题的近似求解方法是研究问题的重点 。
本文给出了一种逐次逼近的求解算法 。
2 主要结果
2. 1 预备引理 下面引入 1 个预备引理 。
引理 1[11 ] 考虑时滞系统 x ( t) = A ( t) x ( t) + A1 x ( t - τ) + f ( t , x , w , w ) ,0 < t ≤tf
(10)
记 I + = { 0 , 1 , 2 , …} ,定义函数向量序列{ x ( k) ( t) } 为
x (0) ( t) = Φ( t , 0) <(0) , 0 ≤t ≤tf
∫t
x( k) ( t) = Φ( t ,0) <(0) +
Φ( t , r) [ A1 x( k - 1) ( r - τ) +
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中 国 海 洋 大 学 学 报
2008年
其中 , z ∈R p 为外系统的状态 , y ∈Rq 为外系统的输
出 , F , H 为具有适当维数的常量矩阵 。扰动 w 的动态
特性为已知正弦扰动
w1 ( t)
α1sin (ω1 t + φ1)
w2 ( t)
α2sin (ω2 t + φ2)
0
f ( r , x ( k - 1) ( r) , w ( r) , w ( r) ) ]d r , 0 < t ≤tf x ( k) ( t) = <( t) , - τ≤t ≤0 , k = 1 , 2 , …
(11) 其中 Φ 为系统 (9) 对应于矩阵 A ( t) 的状态转移矩阵 。 则 ,函数向量序列 (11) 一致收敛于系统 (9) 的解 。 2. 2 前馈反馈最优输出跟踪控制律
(17)
求解 P2 , P3 , P4 的矩阵方程
P1 D + ( A - S P1) T P2 - P3Ω2 = 0
P2 + ( A - S P1) T P3 = 0
(18)
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唐功友 ,等 :受正弦扰动的线性时滞系统的最优输出跟踪控制
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P4 F + ( A - S P1) T P4 - CT Q H = 0
1 问题描述
考虑如下线性时滞系统 :
x ( t) = Ax ( t) + A1 x ( t - τ) + B u ( t) + Dw ( t) , t > 0
x ( t) = <( t) , - τ≤t ≤0
(1)
y( t) = Cx ( t) 其中 , x ∈R n 为状态向量 , u ∈R r 为控制向量 , y ∈Rq 为输出向量 , w ∈R m 是外部扰动向量 ;τ > 0 为时滞
P1 Sg( t) + g ( t)
(15)
将 (12) 式代入 (8) 中第二式可得
- λ( t ) = ( CT QC + A T P1 ) x ( t ) + A T P2 w ( t ) +
A T P3 wω( t ) + ( A T P4 - C T Q H ) z ( t ) + A T g ( t ) +
项; A , A1 , B , D , C 均为具有适当维数的常量矩阵; < 为已知的初始状态向量 。设系统的输出 y 所要跟踪
的参考输入 y 为如下外系统 ( Exosystem) 的输出
z ( t) = Fz ( t) (2)
y ( t) = Hz ( t)
Ξ 基金项目 :国家自然科学基金 (60574023 ,40776501) ;山东省自然科学重点基金 ( Z2005 G01) 资助 收稿日期 :2007203225 ;修订日期 :2007206221 作者简介 :唐功友 (19532) ,男 ,博士 ,教授 ,博导 。E2mail :gtang @ouc. edu. cn
踪控制的有效工具 。 本文针对具有正弦扰动的线性连续时滞系统进行
了研究 ,利用逐次逼近法提出一种前馈反馈最优输出 跟踪控制器的近似设计方法 。首先利用最优控制理论 的极大值原理得到了含有时滞项和超前项的两点边值 问题 ,然后利用逐次逼近算法 ,将该不可解问题转化为 不含时滞项和超前项的线性两点边值问题序列 。通过 迭代求解该问题序列得到了用于补偿时滞而引入的伴 随向量解序列 。对于由外系统给定的参考输入信号 , 直接利用外系统的状态构造前馈控制项 。对于系统中 的正弦干扰 ,利用了扰动及其导数信号引入前馈控制 力 。得到的最优输出跟踪控制律由反馈项 、前馈项和 时滞补偿项组成 。通过截取最优输出跟踪控制律中伴 随向量序列的有限步迭代值得到了前馈反馈次优控制 律 。最后 ,给出了仿真研究结果 。
x ( t) = <( t) , - τ≤t ≤0
(9)
其中 A ( t) ∈Rn ×n是时变矩阵 。假设 f ( t , x , w , w )
关于 x 满足 Lipschitz 条件
‖f ( t , z , w , w ) - f ( t , x , w , w ) ‖≤F ‖z - x ‖,
Π x , z ∈R n
滞作用影响的伴随向量 ,且有
wω( t) = - Ω w1
π t - 2ω1
, w2
π t - 2ω2
, …,
πT
wm t - 2ωm
(13)
考虑到正弦扰动的特殊性 ,可知有
w = wω , wω = - Ω2 w , Ω = Diag (ω1 ,ω2 , …,ωm ) (14) 将式 (12) 两边求导可得
λ( t) = P1 x ( t) + P2w ( t) + P3wω( t) + P4 z ( t) + g ( t) = ( P1 A - P1 S P1) x ( t) + P1 A1 x ( t - τ) +
( - P1 S P2 + P1 D - P3Ω2) w ( t) +
( P2 - P1 S P3) ww ( t) + ( P4 F - P1 S P4) z ( t) -
要得到最优输出跟踪控制律 (7) , 必须求解含有时 滞项和超前项的两点边值问题 (8) , 因此首先将问题进 行变换 。令
λ( t) = P1 x ( t) + P2 w ( t) + P3 wω( t) + P4 z ( t) + g( t)
(12)
ห้องสมุดไป่ตู้
其中 P1 , P2 , P3 , P4 为待求的系数矩阵 , g ( t) 为补偿时
摘 要 : 考虑参考输入由外系统给出的状态含有时滞的线性系统在正弦干扰下的最优输出跟踪问题 。利用逐次逼近法 ,通 过构造线性非齐次两点边值问题序列 ,求得了用于补偿时滞的伴随向量 。分别利用参考输入外系统状态 、干扰及其导数信号 引入前馈控制作用 。得到的控制律包含精确反馈项 、前馈项和伴随向量极限形式的时滞补偿项 。通过引入参考输入观测器 解决由于引入外系统状态而导致的前馈控制律的物理不可实现问题 。仿真结果表明该方法的有效性 。 关键词 : 时滞系统 ; 最优控制 ; 输出跟踪 ; 正弦扰动 ; 观测器 中图法分类号 : TP13 文献标识码 : A 文章编号 : 167225174 (2008) 012129206