江苏省盐城中学2013届高三下学期开学考试 数学

盐城中学2013届高三年级随堂练习（2013.2）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.设集合}032|{2<--=x x x M ,{|220}N x x =->，则N M 等于(1,3).2.在复平面内，复数21i i-+对应的点位于第四象限.3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600.4.已知正六棱锥ABCDEF P -的底面边长为1cm ，侧面积为32cm ，则该棱锥的体积为433cm .5.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于1或-3 .6.执行上面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是720.7.向量的夹角为120°，=7．8.如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线 任一点处的切线的倾斜角的取值范围是.9.设等差数列的前项和为且满足则13132211,,,a S a S a S 中最大的项 b a ,|5|,3||,1||b a b a -==则)(x f ')(x f '3)(x f y =α)2,3[ππ}{n a n ,n S ,0,01615<>S S （第3题图）（第6题图）DB D 1E为.10.一同学为研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x xx f 的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和,BEFC 点P 是边BC 上的一动点，设,x CP =则).(x f PF AP =+请你参考这些信息，推知函数9)(4)(-=x f x g 的零点的个数是2.11.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b ab-=>>的的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若2A B F ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为7.12.函数()f x 的定义域为D ,若满足：①()f x 在D 内是单调函数,②存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b 上的值域为[],b a --,那么()y f x =叫做对称函数,现有k x x f --=2)(是对称函数, 那么k 的取值范围是92,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．13．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC ABACBC BCAC ⋅++214.AB 为单位圆上的弦，P 为单位圆上的动点，设f λ=)(的最小值为M ，若M 的最大值max M 满足23max≥M，则的取值范围为]3,0(.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．(本小题满分14分)如图所示，在正方体1111ABC D A B C D -中，E 是棱1DD 的中点． ( I )证明：平面11AD C B ⊥平面1A BE ；88a S （第10题图）AD（第11题图）11( II)在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1//平面BE A 1？ 证明你的结论． 解：（Ⅰ）证明:因为多面体1111D C B A ABCD -为正方体， 所以1111B C A ⊥面ABB ；因为111A B A ⊂面ABB ，所以111B C A ⊥B ．又因为11A AB ⊥B ，1111B C AB B ⋂=，所以111D C A A B ⊥B 面 因为11A A ⊂B 面BE ,所以平面11AD C B ⊥平面1A BE . （Ⅱ）当点F 为11D C 中点时，可使F B 1//平面BE A 1. 以下证明之： 易知：EF //112C D ，且EF 11=2C D ，设11AB A B O ⋂=，则1B O //112C D 且1B O 11=2C D ,所以EF //1B O 且EF 1=B O ，所以四边形1B O EF 为平行四边形. 所以1B F //O E . 又因为11B F A BE ⊄面，1O E A BE ⊂面．所以F B 1//面BEA 116．(本小题满分14分)已知向量．( I )当时，求的值；( II)设函数，已知在△ ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为，若,求（）的取值范围． 3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-//a b2cos sin 2x x -()2()f x a b b =+⋅a b c 、、36sin ,2,3===B b a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f 0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦解： （1）（2）+由正弦定理得或因为，所以,, 所以17．(本小题满分14分)某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工m 2人(50060<<m ，且m 为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的%20，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的%20，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的%75．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．( I )设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （元）关于x 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）；( II)为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人? （1）解：设公司裁员人数为x,获得的经济效益为y 元， 则由题意得当()()1022100205x m y m x x x <≤⨯=-+-时。

()()212210022054m x m y m x x x ≤≤⨯=-+-当时，①33//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=- 22222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5x x x x x x x xx---===++()2())4f x a b b x π=+⋅=+32sin ,,sin sin 24a b A A ABπ===可得所以43π=A a b >4π=A ()⎪⎭⎫ ⎝⎛++62cos 4πA x f=)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f ()()222260200,05,212230200,,52x m x m x m x N y x m x m m x m x N⎧⎡⎤---+<≤∈⎣⎦⎪⎪∴=⎨⎪⎡⎤---+<≤∈⎣⎦⎪⎩且②（2）由①得对称轴600,x m =->当060100m <-≤，即60100m <≤时，60x m =-时，y 取最大值21803600y m m =++，当100500m <<时，25x m =时，y 取最大值221615225y m m =+由②得对称轴30-=m x ，160500,302m m m ∴-><<23314022m x y y m m ∴==+当时，取得最大值()22231601000.56036000.56054000.5120540018000m y y m m m ≤-=+-=+->⨯-=> 当<时，2323100500434312120,60m 5005050m y y m m m m y <<⎛⎫-=-=-><< ⎪⎝⎭当时，即当时，最大即当公司应裁员数为m 21，即原有人数的41时，获得的经济效益最大。

18．(本小题满分16分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的左顶点为A ，左右焦点为21,F F ，点P 是椭圆上一点，212123PF PF PA -=，且21F PF ∆的三边构成公差为1的等差数列．( I )求椭圆的离心率；( II)若72=OP ，求椭圆方程；(III)若1=c ，点P 在第一象限，且21F PF ∆的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点P 的坐标﹒19．(本小题满分16分)设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ．对于 任意的正整数n ，)(n f S a k n n =+都成立． ( I )若0=k ，求证：数列{}n a 是等比数列；( II)试确定所有的自然数k ，使得数列{}n a 能成等差数列．（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=，①112n n a S --+=，②①－②得120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+，③11(1)n n a S b n c --+=-+，④③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数）， 而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ，故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++，⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+，⑥⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥，要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d=+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ， 此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n } 不能成等差数列．综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．20．(本小题满分16分) 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x ef x ex R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (III)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以3|3||2|131()2xx x xx xe ef x ee eee ee--+--=+=+=+≥=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e (2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee-+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立, 则由2220232a a a a ≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤ (3)记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==②当a <1时,可知2a －1<a ,所以(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)af e -=(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)af e -=③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->,(ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e-=(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e == (ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值 为52(6)a f e-=综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466a a a a e a e a a e a e a a e----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩盐城中学2013届高三年级随堂练习（2013.2）数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）试题Ⅱ（附加题）21．[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，已知两圆交于B A ,两点，过点B A ,的直线分别与两圆 交于Q P ,和N M ,，求证：QN PM //．AQNBPM （第21—A 题图）解：连结AB ，易得ABN APM ∠=∠， ABN AQN ∠+∠=π，(6分) 所以APM AQN ∠+∠=π， 又点 P A Q ，，三点共线， 故//PM QN .(10分)B ．（选修4—2：矩阵与变换） 已知矩阵A 的逆矩阵1A -1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ． 解：设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则由1-=A A E 得10100201a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，(5分) 解得1 0 0 1 2a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，所以10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A .(10分)C ．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xoy 中，过椭圆141222=+yx在第一象限内的一点),(y x P 分别作x 轴、y轴的两条垂线，垂足分别为N M ,，求矩形PMON 周长最大值时点P 的坐标． 解：设 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（α为参数），(4分)则矩形PM O N 周长为)3sin(8)sin 2cos 32(2πααα+=+ (8分)所以，当απ=6时，矩形PM O N 周长取最大值8，此时，点)1,3(P .(10分) D.（选修4—5：不等式选讲）已知关于x 的不等式01>-+-x a x 的解集为R ，求实数a 的取值范围． 证明：若10x -<，则R a ∈；(2分)若10x -≥，则()()221x a x ->-对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立， 即()()1120a a x -+->⎡⎤⎣⎦对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立，(4分)所以10 12 a a x ->⎧⎨+<⎩，，或10 12a a x -<⎧⎨+>⎩，对任意的[)1 x ∈+∞，恒成立，(8分)解得1a <.(10分)[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AD =，12D D =，点P 在棱1CC 上，且1A PB π∠=2．( I )求PC 的长；( II)求钝角二面角1A A B P --的大小．解：（1）如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD , , 分别为x y z , , 轴 建立空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()1102A , , ，设()01P λ,, ，其中[]02λ∈, ， 因为1A PB π∠=2，所以10A P BP ⋅=，即()()112100λλ--⋅-=,, , , ，得1λ=， 此时()011P ,, ，即有1PC =； （2）6623．（本小题满分10分）某品牌设计了编号依次为1 2 3 n ⋅⋅⋅，，，，()*4 n n ∈N ≥，且的n 种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择 (0 )i j i j n i j ∈N ≤≤，，，且，种款式用来拍摄广告．( I )若2i j ==，且甲在1到m (m 为给定的正整数，且22)m n -≤≤号中选择，乙在1m +（）到n 号中选择．记P st (1 1)s m m t n +≤≤≤≤，为款式（编号）s 和t 同时被选中的概率，求所有的P st 的和；( II)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．解：（1）甲从1到m (m 为给定的正整数，且22)m n -≤≤号中任选两款，乙从1m +（）到n 号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为22C C mn m -， 记“款式s 和t (1 1)m s m t n +≤≤≤≤，同时被选中”为事件B ，则事件B 包含的基本事件的种数为1111111(1)C C C C m n m --+⋅，PABCD1A1B1C 1D （第22题图）所以()P B =1111111(1)22C C C C 4()C Cm n m st mn mP m n m --+-⋅==-，则所有的st P 的和为：114C C 4()m n m m n m -⋅=-；(4分)（2）甲从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：012C C C C nnn n n +++⋅⋅⋅+=2n ， 同理得，乙从n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n ， 据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：224n n n ⋅=，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有 一个款式为甲和乙共同认可”， 而事件A 包含的基本事件种数为：12C (C C C C )nn n n n n ⋅+++⋅⋅⋅++11211111C (C C C C )n n n n n n -----⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+10111C (C C )n n -⋅+0+C (C )nn ⋅111C 2C 2C 2C 2nn n nn n nn --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅(12)n=+3n=，所以()()3()114nP A P A =-=-.(10分)。