2020届甘肃省白银市靖远县高三上学期期末联考数学(理)试题
甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
甘肃省白银市靖远县第一中学2024学年高三数学第一学期期末质量检测试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，2．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）A ．30B ．312C ．2D ．623．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1- C ．1,0,1,2 D ．{}0,1,24．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ） A ．5 B ．10 C ．15D ．20 5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ）A ．11[,]216-B ．1(,]16-∞C ．1[,0]2- D ．(,0]-∞6．已知3log 74a =，2log b m =，52c =，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17 7．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114 C ．1054 D ．1174 8．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足5i 12i z =-+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．12i -D ．12i + 10．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e 11．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >> 12．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
甘肃省2020-2021届高三数学上学期期末考试试题理
高三数学上学期期末考试试题 理第I 卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
）1．已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= （ ） A ．｛-2，-1，0,1｝ B ．｛-3，-2，-1，0｝ C ．{-2，-1，0} D ．{-3，-2，-1 } 2．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R,2x 0>0 B ．存在x 0∈R,2x 0≥0 C ．对任意的x∈R,2x≤0 D ．对任意的x∈R,2x>0 3． 下列命题中，为真命题的是 ( ) A ．若ac>bc ，则a>b B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若a>b ，则<D ．若ac 2>bc 2，则a>b4．己知等差数列{}n a 中，1714a a +=，则4a =（ ） A ．7B ．8C ．14D ．165. 若x ，y 满足约束条件10,0,0,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．3-C ．0D ．2-6. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±B ．4C ．2±D ．27. 函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值是（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．与a 有关8．设m ，n 表示直线，α，β表示平面，下列命题为真命题的是( ) A ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βB.m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αD ．m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n9．已知向量(1,2)a =，(2,)b x =，a b +与b 平行，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410.已知函数f(x)＝xln x ，则f(x) ( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减 11．函数||x y x x=+的图象是( )A ．B ．C ．D ．12. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是( ) A ．（1,2） B ．（e ，3） C ．（2，e ） D ．（e ，+∞） 第II 卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数()()()2log ,03,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的函数值是____________. 14．若x>o,y>0且2x+y=1，则yx 11+的最小值是 . 15．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .16. 已知函数f(x)=4x 2-kx-8在[5，20]上具有单调性，实数k 的取值范围是____________ 三、解答题（本题共6小题，第17小题10分、其余每小题12分，共70分） 17. 已知函数2(sin cos )y x x =+⑴求它的最小正周期和最大值；⑵求它的递增区间.18. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．19．四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为BC 和PC 的中点. （1）求证：EF ∥平面PBD ；（2）如果AB=PD ，求EF 与平面ABCD 所成角的正切值.20．记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知246a a +=，410S =.（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令2n n n b a =()n N *∈，求数列{n b }的前项和n T ．21. 在ABC ∆中，b =cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．22．已知函数2()1f x ax =+，（0a >），3()g x x bx =+（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a,b 的值（2）当3,9a b ==-时，若函数()()f x g x +在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。
甘肃省白银市靖远县2020-2021学年高三上学期期末模拟数学(理)试题
绝密★启用前高三数学试卷（理科）(考试时间:120分钟 试卷满分:150分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后﹐用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结来后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数()212z i =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．2. 已知集合{}{}60,35A x x B x x =-><-<=，则A B ⋂=（ ）A ．{}36x x -<<B ．{}65x x <<C ．{}35x x -<<D ．{}356x x x <-<<或 3. 等差数列{}32n -与等差数列{5}2n -的公差之和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．84.某校高--年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下:则及格(不低于90分)的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[90,100]内B ．在(]110,120内C ．在(]100,110内D ．在(]120,130内 5. 已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，若P 为C 上异于顶点的任意一点，则1POF ∆与2POF ∆的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或166.已知函数()()f sin x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,0,,062ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()243f x sin x π⎛⎫= ⎝-⎪⎭ B ．()124f x sin x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．()cos 62f x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()36f x sin x π+⎛⎫= ⎪⎝⎭7. 已知,a b 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平而，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若,//,//,a b αβαβ⊥则a b ⊥B ．若//,αβ则,,b a a b αβ∃⊂⊂⊥C ．若,//,//,a b ααββ⊥则//a bD ．若//,,a b ααβαβ⊂⋂=，则a 与b 异面8. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题:“今有三鸡共啄粟一千—粒，雏啄--，母琢二，翁啄四.主责本粟.问三鸡啄各偿各几何?”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．1539.若2311212log xlog >，则x 的取值范围是（ ） A ．()23,log -+∞ B ．()32,log -+∞C ．()3,2log -∞-D ．()2,3log -∞- 10.正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22+ D 11. 已知函数()()22144f x cos x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．412. 在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24,π则2cos θ=（ ）A ．13- B ．35- C ．23- D ．45- 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.8名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有_ 种.14.函数()321(f x x x =+）的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为_ ． 15.已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S = ．16.已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点()(),00P m m >且交C 于,A B 两点.过点A 和C 的顶点О的直线交C 的准线于点,D 若BD 与的C 对称轴平行，则m = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2sinA sinB b a +==. ()1求cosA .()2若D 是AB 边上一点，且ACD ∆2，证明:AD CD =. 18. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=()1求C 的方程.()2直线l 与y 轴平行，且与C 交于,P Q 两点，,A B 分别为C 的左、右顶点，直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值.19. 如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,ABCD E F 分别为侧棱,PD PB 的中点，且24PA AD AB ===.()1证明:平面AEF ⊥平面PCD .()2若PC 是平面α的一个法向量，求α与平面AEF 所成锐二面角的余弦值.20. 现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为()01p p <<.若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好嬴两场的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 取得最大值.()1求0p ；()2设0p p =，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励.经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X 万元，求X 的分布列及其数学期望.21. 已知函数()()ln 0xf e x a x a =≠. ()1讨论()f x 的单调性；()2若()()20,1,x f x na x xl ∀∈+<，求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+. ()1求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；()2若l 与C 交于,M N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值. 23.[选修4—5:不等式选讲]已知函数()211f x x x =-++. ()1求()f x 的值域；()2若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值. 试卷答案 一、选择题1.D 【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力.因为34,z i =--所以144,z i -=+则1z -==2.C 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|6A x x =<， 所以{}315B x A -⋂=<<.3.A 【解析】本题考查等差数列的定义，考查推理论证能力.等差数列{}32n -的公差1312()(323)d n n =+--=-，同理可得等差数列{}52n -的公差22d =-，故121d d +=.4.B 【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力.由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内.5.D 【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想.C 的方程可化为2216416y x -=， 所以8,a =易知1POF 与2POF 周长差的绝对值为216a =，故1POF 与2POF 的周长之差为16-或16.6.C 【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力.设()()f sin x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则(22,6)2k Z T πππω-=∈=，则()3k k Z ω=∈，排除,A B 而()36f sin x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，排除D ， 故选C . 7.B 【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力.对于选项A ，当,a b 都平行于α与β的交线时，//,a b所以A 为假命题.对于选项B ，,,,b a a a b β∃⊂⊂⊥所以B 为真命题.若,//a ααβ⊥，则αβ⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题.若//,,a a a b αββ⊂⋂=，则//a b ，所以D 为假命题.8.C 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养.2,2,y x z y ==247s x x r x ∴=++=由算法的功能可知，输出的:10011437x ==. 9.A 【解析】本题考查对数运算，考查运算求解能力.因为231212log xlog >-， 所以22122312123312log x log log log log ≥-=-⋅=-. 10.D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养.连接631472,,A A A A A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =，设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=，由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A A AB A A A A ++=+===⋅，故λ=11.B 【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想.令21,x t +=则()f x 有且只有一个零点等价于()()21gt cost a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()100g a =-=，故1a =.12.A 【解析】本题考查立体几何中的线面角问题、球体的表面积以及三角恒等变换，考查运算求解能力与空间想象能力.设球О的半径为r ，则2424r ππ=，解得r =因为1AA ⊥平面1111A B C D ，所以11AA A E ⊥，因为AE =所以AE =，所以E 为11A C 的中点，则1BEB θ=∠，且3cos θ==， 故212213cos cos θθ=-=-二、填空题13.70【解析】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力与应用意识.依题意可得，不同的安排方法种数为4870C =. 14.81【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.因为()32()213212()f x x x x '=+++⨯， 所以()'1275481f =+=.15.()123n --【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力. 设{}n a 的公比为q ，则324443S q q=++=， 解得2q =-，则()1121,3n n a S --==. 16.2 【解析】本题考查直线与抛物线，考查抽象概括能力与运算求解能力.设()2000,08y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭则直线OA 的方程为08y x y =， 由028x y xy =-⎧⎪⎨=⎪⎩得016D y y =- 又直线AP 的方程为()02088y y x m y m =-- 由()0202888y y x m y m y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得08B m y y =- 因为BD 与C 的对称轴平行，所以B D y y =，故2m =.三、解答题17.()1解:2,b a =2,sinB sinA ∴=又8sinA sinB += 8sinA ∴=2,b a = ,,0,2a b AB A π⎛⎫∴<∈ ⎪⎝⎭故78cosA ==.()2证明:212ACD S b ADsinA AD ∆=⋅=⋅= 47AD b ∴= 由余弦定理得2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 47CD b ∴=， 故AD CD =评分细则:【1】第()1问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到78cosA =±，扣2分. 若只得到,A B <而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分. 【2】第()2问中，未写2222CD AC AD AC ADcosA =+-⋅， 直接得到2222447477872b CD b b b b =+⎛⎫⎛⨯⨯⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，不扣分. 18. ()1解:因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=， 所以24a = 因为12c e a ==， 所以2221,3c b a c ==-=，故C 的方程为22143x y +=. ()2证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ，则(),,22Q m n m --<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22n y x m =++，直线BQ 的方程为()22n y x m =--+， ()()2222n y x m n y x m ⎧=++=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m= 故44p G x x m m ⋅=⨯=为定值. 评分细则:【1】第()1问中，根据圆的方程得到同样2a =给2分.【2】第()2问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分.19.()1证明:因为PA ⊥底面,ABCD所以PA CD ⊥在矩形ABCD 中，,CD AD ⊥因为,AD PA A ⋂=所以CD ⊥平面,PAD所以CD AE ⊥因为,PA AD E =为PD 的中点，所以AE PD ⊥，又,CD PD D ⋂=所以AE ⊥平面,PCD因为AE ⊂平面,AEF所以平面AEF ⊥平面PCD .()2解:以A 为坐标原点，AP 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,A xyz - 则()()()()0,0,0,4,0,0,2,0,22,1,0(),,0,2,4A P E F C ，()()2,0,2,2,1,0,4,2,4()AE AF PC ===-.设平面AEF 的法向量为,(),n x y z =，则0n AE n AF ⋅=⋅=，即 220,20,x z x y +=+=⎧⎨⎩令1x =，得1),(,21n =--.所以,3cos PC n <>==- 评分细则: 【1】第()1问解析第二行未写AD PA A ⋂=，但写了,AB AD ⊥所以AB ⊥平面,PAD 不扣分.第五行未写,CD PD D ⋂=要扣1分.【2】第()2问解析中得到平面AEF 的一个法向量只要与1),(,21n =--共线即可得分.20. 解:()()222244(1)(1)16f p C p p p p --==， ()()2222116624f p p p p ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为01p <<， 所以当12p =时，()f p 取得最大值，则012p = ()2因为012p p ==，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍， 输的概率为13，两队平局的概率为吉16. 当甲连赢两场时，10,X =且()11110224P X ==⨯=， 当甲赢一场平一场时，5,X =且()11152266P X ==⨯⨯=，当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X =，且()11111302236636P X ==⨯⨯+⨯= 甲输—场平—场时，5,X =-且()11152369P X =-=⨯⨯=， 当甲连输两场时，10,X =-且()11133091P X =⨯==- 所以X 的分布列为故10551046993EX =⨯+⨯-⨯-⨯= 评分细则:【1】第()1问还可以借助导数的方法求0p ，其步骤如下:()()221()6221(1121)()2f p p p p p p p p ⎡⎤'=-⎣⎦=----， 当102p <<时，()0,f p '> 当112p <<时，()0f p '<. 故当12p =时. ()f p 取得最大值，则012p =. 第()1问还可以借助基本不等式求0p ，其步骤如下: 因为()()423681162p p f p p p -+-⎛⎫=≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 当且仅当1p p =-，即12p =时，等号成立， 所以012p = 【2】第()2问，严格按照步骤给分.21.解:()()1f x 的定义域为()()1,ln 0,x f x ae x x ⎛⎫+∞ ⎪⎝'=⎭+. 设函数()1ln x g x x =+， 则()21'x g xx -=. 当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >.故()()11g x g ≥=，从而10lnx x+>. 当0a >时，()()'0,f x f x >在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减.()2由题意可知0a >，由2ln x x xlna ae x +>， 得ln ln x x a x ae x+>，即ln ln ln x x e a x ae x +< 即()ln ln x x ae x x ae<对1()0,x ∈恒成立 令()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'= 当1()0,x ∈时，()()'0,h x h x >单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0,h x >当1()0,x ∈时，()()10h x h <= 由()ln ln x x ae x x ae <，得()()x h x h ae <，所以x x ae <， 所以xx a e >对()0,1x ∈恒成立. 设()()0,1x x m x e=∈， 则()1'0x x m x e -=>，所以()m x 在()0,1上单调递增， 所以1a e ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 评分细则:【l 】第()1问中，未写定义域，直接得到()1ln x f ae x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭不扣分. 【2】第()2问中，写到1a e ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分. 22. 解:()1l 的普通方程为10x y +-= 由22123cos ρθ=+得2223312cos ρρθ+=， 则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=. ()2由题意，l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(t 为参数)， 代入22134x y +=，得27160t --=. 设,M N 对应的参数分别为12,t t ，则12121677t t t t +==-， 则1212121211t t t t PM PN t t t t +-+===24371627== 评分细则:【1】第()1问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分.【2】第()2问得到27160t --=后，可以直接求出12,t t ，其步骤如下: 设,M N 对应的参数分别为1212,()t t t t ≤，则12t t ==则12111172431122PM PN t t ⨯+=+=+== 23.解:()1当1x ≤-时，()33f x x =-≥； 当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>. 综上，()32f x ≥. 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ()2由()1知，223, 3.2m a b =+= 则22122a b ++= 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭+ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭当且仅当22221212b a a b +=+即2211,2a b ==时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2. 评分细则:【1】第()1问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分.【2】第()2问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分.。
2020届高三数学上学期期末质量检测试题理(含解析)_4
2020届高三数学上学期期末质量检测试题理（含解析）注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.2.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简后可得其对应的点，从而可得正确的选项.【详解】，该复数对应的点为，它在第一象限，故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法、除法及复数的几何意义，本题属于基础题.3.已知函数，则的值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求的值后可得正确的选项.【详解】，故选：B.【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小代入相应的解析式中计算函数值，本题属于基础题. 4.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. B. C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据结合棱柱的体积公式可得正确的选项.【详解】由三视图可知，几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，其腰长为，棱柱高为，故其体积为，故选：C.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，注意根据三视图合理复原几何体，本题属于基础题.5.函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，解出后可得函数图象的对称轴方程的一般形式，取可得正确的选项.【详解】令，解得，当时，函数图象的一条对称轴为直线.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的图象的对称轴，注意利用整体思想来求对称轴，本题属于基础题.6.已知向量，满足，，，则，的夹角为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将两边平方后求出，再利用数量积的定义可求、的夹角.【详解】由可以得到，所以，所以，解得，因，故.故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积和向量的夹角，注意数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.7.若在如图所示的程序框图中输入，则输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐次计算每次判断的奇偶性前各变量的值，结合的值判断循环何时终止，从而得到输出的的值.【详解】第一次判断奇偶性前，；第二次判断的奇偶性前，；第三次判断的奇偶性前，；第四次判断的奇偶性前，；此时判断后，，终止循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的理解，这类问题可以按程序运行的模式逐次计算各变量的值即可得到程序终止的条件、输出的结果等，本题属于基础题.8.下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为；③图象经过第四象限”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据奇函数的定义可排除B，依据图象过第四象限可排除A、D，从而可得正确的选项.【详解】对于B的函数，令，其定义域为，而则，故为不是奇函数，故B不正确.对于A中的函数，当时，，故该函数的图象不过第四象限，故A不正确.对于D中的函数，当时，，故该函数的图象不过第四象限，故D不正确.对于C中的函数，令，该函数的定义域为，又，故为奇函数.又的值域为，当时，，故图象经过第四象限，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查具体函数的奇偶性、值域及函数值符号的讨论，函数值符号的讨论需结合解析式的特征来考虑，必要时需对解析式变形以便定号，本题属于中档题.9.已知数列满足，且，则的值为（）A. B. C. 3 D. 10【答案】A【解析】【分析】由可得数列是周期数列且周期为2，故根据可得，求得的值后可得的值.【详解】因为，故，所以，所以数列是周期数列且周期为2，因为，故，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查周期数列及指定项的计算，注意根据递推关系寻找数列的性质，本题属于容易题.10.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】根据可得，设直线，用表示后可求的最小值.【详解】因为点在的延长线上，且，所以.因为，故设直线，，由可得，所以.又，当时等号成立，故的最小值为2，所以面积的最小值为4.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的三角形面积的最值问题，注意根据抛物线的形式假设合理的直线方程，本题属于基础题.11.已知函数是定义在上的增函数，且其图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象关于点对称可得，从而原不等式可化为，利用函数的单调性可得关于的不等式，从而可得的取值范围.【详解】因为的图象关于点对称，所以.因为，故，所以.因为是定义在上的增函数，故即，解得，故原不等式的解集为，故选：B.【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数图象的对称性和函数的单调性把函数不等式转化为一元二次不等式，本题属于中档题.12.已知三棱锥外接球的表面积为，，，直线与平面所成角为，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】取的中点为，可以证明为外接球的球心，利用勾股定理可求的长.【详解】取的中点为，连接，过作，交于.因为，所以，故.又，所以，同理，因为，故平面.因为平面，故平面平面，因为平面平面，平面，故平面，所以为直线与平面所成的角，因此，故为等边三角形，故.因为，所以，同理，故，所以为外接球的球心且为球的半径.因为外接球的表面积为，故，故，所以.故选：B.【点睛】本题考查线面角的计算、三棱锥外接球的表面积，注意线面角的计算需根据线面垂直构造线面角，而三棱锥的外接球问题需根据球心的几何特征（到各顶点的距离相等）确定球心的位置，本题属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程是______.【答案】x-y-2=0【解析】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=014.已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.【答案】10【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线到后可得的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由可得，故.当动直线过时，有最大值且最大值为.故答案为：10.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．15.已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于______.【答案】【解析】【分析】求出的值后可得，再利用同角的三角基本关系式可求的值.【详解】因为，故，所以或，所以或.因为，故，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查直线的倾斜角和同角的三角函数的基本关系式，注意根据角的范围对所求的三角函数值进行取舍，本题属于基础题.16.已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、，设，，利用圆的几何性质可得与的关系，再由双曲线的几何性质可得的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、、，设，，则.因为为圆的弦，故，故，解得，故.又，故.因为、分别为、的中点，故，由双曲线的定义可知，故即，整理得到，解得.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的离心率的计算，根据圆的几何性质和双曲线的定义构建的关系是关键，本题属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在各项均为正数的等比数列中，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），.（2），【解析】【分析】（1）利用等比数列通项公式表示出已知等式，可得关于公比的方程，解方程求得，根据等比数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得通项公式，利用分组求和的方式，对两部分分别采用等比数列求和和等差数列求和的方法求得结果.【详解】（1）设等比数列的公比为，又解得：，（2）由（1）知：.数列的前项和为，【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；涉及到等差数列和等比数列求和公式的应用，属于常考题型.18.如图1，在四边形中，，，为中点，将沿折到的位置，连结，，如图2.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，从而可证.（2）设平面平面，可证为二面角的平面角，根据可求的大小，从而可得所求得锐二面角的大小.【详解】（1）四边形中连接，在四棱锥中连接.如图，在四边形中，因为，故四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，同理四边形为菱形，故，所以，故为等边三角形，所以也为等边三角形.在四棱锥中，取的中点，连接.因为为的中点，所以，同理，因为，所以平面，因平面，故.（2）设平面平面，由（1）可知，而平面，平面，所以平面.又平面，所以，故.由（1）得，，故为二面角的平面角.因为为等边三角形且，故，同理，因为，所以，因为，故.所以平面与平面所成锐二面角的值为.【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明与二面角的计算，前者需通过线面垂直得到，后者需构造二面角的平面角并通过余弦定理来求，本题有一定的综合度，属于稍难题.19.某公司设计的太阳能面板构件的剖面图为三角形，设顶点为，，，已知，且（单位：）.（1）若，求的周长；（2）根据某客户需求，的面积至少为.请问该公司设计的太阳能面板构件能否满足该客户需求？说明理由.【答案】（1）10；（2）该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求..【解析】【分析】（1）根据余弦定理可求的长，得到三边的边长后可得所求的周长.（2）求出的面积最大值后可判断面板构件能否满足该客户需求.【详解】（1）因为，所以，所以，故，所以，三角形的周长为.（2）设，则，由余弦定理得，因为，所以，故，当且仅当时，等号成立.因为，故该公司设计的太阳能面板构件能满足该客户需求.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积的最值，后者需构建面积关于边长的函数后才能求得最值，本题属于中档题.20.已知是圆：上的动点，设在轴上的射影为，动点满足，的轨迹为.（1）求的方程；（2）圆及曲线与轴的四个交点，自上而下记为，，，，直线，与轴分别交于，（为相异两点），直线与的另一个交点为，求证：，，三点共线.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】（1）设，则，所以，故的轨迹的方程为：，它是焦点在轴上的椭圆.（2）设，则，故，同理.设（），则，由可得，故，所以.又，而，要证三点共线，即证：，也就是即证：，即证：，即证：①.因为在圆上，故即，所以①成立.故三点共线.【点睛】本题考查动点的轨迹以及椭圆中的三点共线，求动点的轨迹，一般先考虑动点是否满足曲线的定义，再考虑用动点转移的方法，而证明三点共线，可用共线向量定理来考虑，本题属于难题.21.已知函数，.（1）证明：在区间上单调递增；（2）若存在，使得与在的值域相同，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出，可证明，恒成立，故可得为上的增函数.（2）先讨论时的情形，此时可把的存在性问题转化为在存在两个不同的零点问题，利用导数和零点存在定理可得.再讨论的情形，利用两个函数的函数值的符号可判定这种情况不成立，两者结合可求的取值范围.【详解】（1）因为，故且，令，故.当时，，故在上为增函数，所以，故，，故为上的增函数.（2）因为，故在为增函数，故在上的值域为.当时，的值域为，故，所以在有两个不同的解.令，故在有两个不同的零点.又，当时，，故为上的单调增函数，故在最多有一个解，舍去.当时，.取，，令，则，故在为增函数，故，故在有且只有一个实数解且.当，，故在为减函数；当时，，故在增函数；故.又，所以因为在有两个不同的零点，故即.令，其中，故，故在上为减函数，故不等式的解为，所以.令及，因为为开口向上的二次函数，故存在，使得当任意时，总有，而，故在上为增函数，当对任意的时，总有，因为，故当，，根据零点存在定理，在上有且只有一个零点.因为在有两个不同的零点，故，所以即，又，故，所以.当时，在上始终满足，由（1）可知在为增函数，故，不符合题设要求，舍去.综上，.【点睛】本题考查函数的单调性与函数的零点，单调性的讨论需结合导数的符号来讨论，而零点问题则利用零点存在定理和单调性来讨论，注意必要时需通过构建新函数来判断函数在某些点处的函数值的符号，本题属于难题.（二）选考题：本题满分10分.请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程;（2）求被截得的线段长.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标化直角坐标的原则直接化简整理可得结果；（2）将参数方程化为普通方程，与的直角坐标方程联立，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1），由得：化简得的直角坐标方程为：（2）由直线的参数方程得其普通方程为：由消去得：设与的交点为，则，则被截得的线段【点睛】本题考查极坐标化直角坐标、参数方程化普通方程、弦长公式的应用；考查学生对于基础公式和方法的应用能力，属于常考题型.[选修4-5：不等式选讲]23.已知正数，，满足.（1）证明：；（2）若，求的最大值.【答案】（1）见解析（2）最大值【解析】【分析】（1）由已知等式得到，结合基本不等式可配凑出，进而证得结论；（2）对采用基本不等式的方式求得，由此可得，进而求得的最大值.【详解】（1）（当且仅当时取等号）（2），即（当且仅当时取等号），即此时当时，取得最大值【点睛】本题考查利用基本不等式证明和求解最值的问题，关键是能够对所求内容进行合理的配凑，配凑出符合基本不等式的形式，属于常考题型.2020届高三数学上学期期末质量检测试题理（含解析）注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：集合，集合，所以,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.2.设是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简后可得其对应的点，从而可得正确的选项.【详解】，该复数对应的点为，它在第一象限，故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法、除法及复数的几何意义，本题属于基础题.3.已知函数，则的值为（）A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求的值后可得正确的选项.【详解】，故选：B.【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小代入相应的解析式中计算函数值，本题属于基础题.4.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. B. C. 4 D. 8【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据结合棱柱的体积公式可得正确的选项.【详解】由三视图可知，几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，其腰长为，棱柱高为，故其体积为，故选：C.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，注意根据三视图合理复原几何体，本题属于基础题.5.函数图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，解出后可得函数图象的对称轴方程的一般形式，取可得正确的选项.【详解】令，解得，当时，函数图象的一条对称轴为直线.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的图象的对称轴，注意利用整体思想来求对称轴，本题属于基础题.6.已知向量，满足，，，则，的夹角为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将两边平方后求出，再利用数量积的定义可求、的夹角.【详解】由可以得到，所以，所以，解得，因，故.故选：D.【点睛】本题考查向量的数量积和向量的夹角，注意数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.7.若在如图所示的程序框图中输入，则输出的的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据程序框图逐次计算每次判断的奇偶性前各变量的值，结合的值判断循环何时终止，从而得到输出的的值.【详解】第一次判断奇偶性前，；第二次判断的奇偶性前，；第三次判断的奇偶性前，；第四次判断的奇偶性前，；此时判断后，，终止循环，输出.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的理解，这类问题可以按程序运行的模式逐次计算各变量的值即可得到程序终止的条件、输出的结果等，本题属于基础题.8.下列函数中，同时满足条件“①奇函数；②值域为；③图象经过第四象限”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据奇函数的定义可排除B，依据图象过第四象限可排除A、D，从而可得正确的选项.【详解】对于B的函数，令，其定义域为，而则，故为不是奇函数，故B不正确.对于A中的函数，当时，，故该函数的图象不过第四象限，故A不正确.对于D中的函数，当时，，故该函数的图象不过第四象限，故D不正确.对于C中的函数，令，该函数的定义域为，又，故为奇函数.又的值域为，当时，，故图象经过第四象限，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查具体函数的奇偶性、值域及函数值符号的讨论，函数值符号的讨论需结合解析式的特征来考虑，必要时需对解析式变形以便定号，本题属于中档题.9.已知数列满足，且，则的值为（）A. B. C. 3 D. 10【答案】A【解析】【分析】由可得数列是周期数列且周期为2，故根据可得，求得的值后可得的值.【详解】因为，故，所以，所以数列是周期数列且周期为2，因为，故，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查周期数列及指定项的计算，注意根据递推关系寻找数列的性质，本题属于容易题.10.已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，，点在线段上，点在的延长线上，且.则面积的最小值为（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】【分析】根据可得，设直线，用表示后可求的最小值.【详解】因为点在的延长线上，且，所以.因为，故设直线，，由可得，所以.又，当时等号成立，故的最小值为2，所以面积的最小值为4.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的三角形面积的最值问题，注意根据抛物线的形式假设合理的直线方程，本题属于基础题.11.已知函数是定义在上的增函数，且其图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据的图象关于点对称可得，从而原不等式可化为，利用函数的单调性可得关于的不等式，从而可得的取值范围.【详解】因为的图象关于点对称，所以.因为，故，所以.因为是定义在上的增函数，故即，解得，故原不等式的解集为，故选：B.【点睛】本题考查函数不等式，注意根据函数图象的对称性和函数的单调性把函数不等式转化为一元二次不等式，本题属于中档题.12.已知三棱锥外接球的表面积为，，，直线与平面所成角为，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】取的中点为，可以证明为外接球的球心，利用勾股定理可求的长.【详解】取的中点为，连接，过作，交于.因为，所以，故.又，所以，同理，因为，故平面.因为平面，故平面平面，因为平面平面，平面，故平面，所以为直线与平面所成的角，因此，故为等边三角形，故.因为，所以，同理，故，所以为外接球的球心且为球的半径.因为外接球的表面积为，故，故，所以.故选：B.【点睛】本题考查线面角的计算、三棱锥外接球的表面积，注意线面角的计算需根据线面垂直构造线面角，而三棱锥的外接球问题需根据球心的几何特征（到各顶点的距离相等）确定球心的位置，本题属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程是______.【答案】x-y-2=0【解析】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=014.已知实数，满足约束条件，则的最大值为______.【答案】10【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线到后可得的最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由可得，故.当动直线过时，有最大值且最大值为.故答案为：10.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．15.已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于______.【答案】【解析】【分析】求出的值后可得，再利用同角的三角基本关系式可求的值.【详解】因为，故，所以或，所以或.因为，故，所以，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查直线的倾斜角和同角的三角函数的基本关系式，注意根据角的范围对所求的三角函数值进行取舍，本题属于基础题.16.已知是双曲线的一个焦点，是上的点，线段交以的实轴为直径的圆于，两点，且，是线段的三等分点，则的离心率为______.【答案】【解析】【分析】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、，设，，利用圆的几何性质可得与的关系，再由双曲线的几何性质可得的关系，从而得到双曲线的离心率.【详解】如图所示，取的中点为，为双曲线的另一个焦点，连接、、，设，，则.因为为圆的弦，故，故，解得，故.又，故.因为、分别为、的中点，故，由双曲线的定义可知，故即，。
甘肃省靖远县2020届高三第一次联考数学(理)试题
高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|2150A x x x =+-≤，{}|24B x x =-<<，则A B =I （ ）A. {}|23x x -<≤B. {}|54x x -≤<C. {}|52x x -≤≤-D. {}|34x x ≤<2. 若复数z 满足()2313i z i +=，则z =（ ） A. 32i -+B. 32i +C. 32i --D. 32i -3. 若向量()1,5a =r ，()2,1b =-r，则()2a a b ⋅+=r r r （ ）A. 30B. 31C. 32D. 334. 已知函数()()2log 1,13,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，则()()2f f -=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青.苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗.青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同，马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）A. 257，507，1007 B.2514，257，507 C. 1007，2007，4007D. 507，1007，20076. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A.13B. 13-C.3D. 3-7. 若函数()323f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A. -3B. 3C. -2D. 28. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3B. 43πC.3D. 39. 设8log 0.2a =，0.3log 4b =，0.34c =，则（ ） A. c b a <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<10. 给出下列三个命题：①“0x R ∃∈，200210x x -+≤”的否定；②在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中假命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A. 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,212. 已知函数()ln mxf x me x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭C. [)1,+∞D. (),e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 若实数x ，y 满足约束条件32020440x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.14. 若函数()2221x ax f x x =++为奇函数，则a =______.15. 记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分別为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 16. 在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，且()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求cos C 的值；（2）若ABC ∆的面积是ABC ∆的周长.18. 已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19. 已知函数()1sin cos 22f x a b x a x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，且()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()()22314g x x x m m =-+-<≤，若对任意的[]10,x π∈，总存在[]22,x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.20. 如图，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，224AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值. 21. 已知函数()2xf x me x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）若()0f x >在()0,+∞上恒成立，求m 的取值范围. 22. 已知函数()252ln f x x x x =-+.（1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5：ABCCD 6-10：BADDC 11-12：BA1. A 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.因为{}|53A x x =-≤≤，{}|24B x x =-<<，所以{}|23A B x x =-<≤I . 2. B 【解析】本题考查复数的运算，考查运算求解能力. 因为()2313i z i +=，所以()()()13231332232323i i i z i i i i -===+++-. 3. C 【解析】本题考查平面向量，考查运算求解能力.因为()1,5a =r ，()23,7a b +=-r r，所以()235732a a b ⋅+=-+⨯=r r r .4. C 【解析】本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力. 由题意可得()2239f -==，则()()()()229log 913ff f -==-=.5. D 【解析】本题考查数列与数学文化，考查运算求解能力.设羊户赔粮1a ，马户赔粮2a ，牛户赔粮3a ，则1a ，2a ，3a 成等比数列，且公比2q =，12350a a a ++=，则()21150a q q++=，故1250501227a==++，2110027a a ==，23120027a a ==. 6. B 【解析】本题考查三角函数，考查推理论证能力与运算求解能力. 由图象知，534884T πππ=-=，即T π=，则2ω=±，从而()()sin 2f x A x ϕ=±+.因为()1sin 23f A ππϕ⎛⎫=±+= ⎪⎝⎭，所以1sin 3A ϕ=-，()()1sin 2sin 3f A A ππϕϕ=±+==-.7. A 【解析】本题考查导数与函数的极值，考查运算求解能力. 因为()323f x ax x b =++，所以()2'36f x ax x =+，则()()'1360132f a f a b =+=⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得2a =-，1b =，则3a b -=-.8. D 【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥，下半部分是一个底面边长为4，高为4的正三棱柱，则上半部分的半个圆锥的体积111423V π=⨯⨯⨯=21442V =⨯⨯=12V V V =+=+9. D 【解析】本题考查指数、对数的比较大小，考查运算求解能力与推理论证能力.因为0.30.310log 4log 13<=-，0.38881log 0.125log 0.2log 10,41-=<<=>，所以b a c <<. 10. C 【解析】本题考查命题，考查运算求解能力与推理论证能力.因为“0x R ∃∈，200210x x -+≤”是真命题，所以其否定是假命题，即①是假命题；在ABC ∆中，“30B >︒”是“cos B <”的充要条件，即②是真命题；将函数2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2cos 23y x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象，即③是假命题.11. B 【解析】本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力. 因为cos y x =在[],0π-上单调递增，所以cos y x ω=在,0πω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()()2cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在2,33ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2,,3233ππππωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得203ω<≤.12. A 【解析】本题考查导数与函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力.由题意可知0m >，则ln 0mx me x ->在(]0,1上恒成立.当1x >时，()0f x >等价于ln mx me x >，因为1x >，所以ln ln mx x mxe e x >.设()()0xg x xe x =>，显然()g x 在()0,+∞上单调递增，因为0mx >，ln 0x >，所以()()ln g mx g x >等价于ln mx x >，即ln x m x >.设()()ln 0xh x x x=>，则()()21ln '0xh x x x-=>.令()'0h x =，解得x e =，则()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减.从而()()max 1h x h e e ==，故1m e>.二、填空题13. 3 14. -2 15.11516. 252π 13. 3 【解析】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想.作出可行域（图略），当直线2z x y =+经过点()1,1A 时，max 1213z =+⨯=. 14. -2 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查运算求解能力.()22212121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，记()121xa g x =++，因为()f x 是奇函数，所以()g x 为奇函数，则()()g x g x -=-，即112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭，整理得20a +=，解得2a =-.15.115【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力. 因为357n n S n T n +=+，所以7137133135111375a S b T ⨯+===+. 16. 252π 【解析】本题考查简单几何体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力.设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心.取BE 的中点F （图略），连接1O F ，2O F ，由条件得213O O F F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =.连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，又16O A =，则22211273663OA OO O A =+=+=，故所得几何体外接球的表面积等于252π.三、解答题17. 解：（1）因为()()sin sin sin sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-，所以()()22a b c a b c c ab -+--=-，即2222a b c +=.因为a =，所以2242b c =，所以c =，由余弦定理可得222222cos 2a b c C ab +-===. （2）由（1）可得cos C =，则sin C =， 因为ABC ∆的面积是，所以1sin 2ab C =即22=2b =，则a =c =故ABC ∆的周长为2+. 评分细则：（1）在第1问中，先由正弦定理将边转化为角，得到222sin sin 2sin A B C +=，从而得到2222a b c +=不予扣分；（2）在第2问中，由cos C 值求出sin C 给1分，求出a ，b ，c 给3分： （3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.18.（1）证明：因为11221n n n na a n +++=+，所以()11122n n n n a na +++=+，所以()111122n n n nn a na +++=+，从而()111122n nn nn a na +++-=.因为12a =，所以112a =. 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. （2）解：由（1）可知2nn na n =，则2n n a =. 因为n n b a n =+，所以2nn b n =+，则123n n S b b b b =++++L ()()()()232122232nn =++++++++L()()232222123nn =+++++++++L L ()()122121112212222n n n n n n +⨯-+=+=++--.评分细则：（1）在第1问中，可从等差数列的定义出发，将11221n n n na a n +++=+代入()11122n n n n n a na +++-，通过化简得到()111122n nn nn a na +++-=；（2）在第2问中，由等差数列的通项公式求出2nn a =给2分，通过分组求出n S 给3分，中间步骤没有分组直接计算可不扣分；（3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.19. 解：（1）因为()01f =-，13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()101211132222f a fa b a π⎧==-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1a =，b =. 故()13sin cos 2222x x f x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为[]0,x π∈，所以5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]1,2f x ∈-， ()223g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.因为14m <≤，2x m -≤≤，所以()()min 14g x g m ==-，()()max 25g x g m =-=+，则144152m m m <≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得13m <≤. 故m 的取值范围是(]1,3。
2022届甘肃省白银市靖远县高三上学期期末考试数学(理)试题解析
2022届甘肃省白银市靖远县高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知R 是实数集，集合{}3A x x =∈<Z ，{}2230B x x x =-->，则()RAB =（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．1,0,1,2答案：B【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得结果. 解：因为{}{}32,1,0,1,2A x x =∈<=--Z ，解不等式2230x x -->，可得1x <-或32x >，故R 312B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，因此，(){}1,0,1A B =-R.故选：B.2．已知复数(2i)(13i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为12，则|5|z -=（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：C【分析】先把已知(2i)(13i)()z a a =-+∈R 化简，整理出复数z 的实部与虚部，接下来去求|5|z -即可解决.解：(2i)(13i)(6)(32)i z a a a =-+=++-， 则有，63212a a ++-=，解得2a =，则84i z =+，534z i -=+，故|5|z -=． 故选：C3．已知向量(1,7a =-，3b =，36a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 答案：A【分析】先计算向量a 的模，再根据向量数量积的定义，将36a b ⋅=展开，即可求得答案.解：因为(1,7a =-，所以2||1(a =+-= 又因为36a b ⋅=，设a 与b 的夹角为θ ，[0,]θπ∈ ，所以||||cos 36a b θ= ，即223cos 36θ⨯⨯= ， 解得3cos 2θ= ，故6πθ= ，故选：A.4．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（ ）A ．189B ．252C ．324D ．405答案：C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意和等差数列的通项公式得出11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程得出1,a d ，最后根据等差数列的求和公式得出8S . 解：解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩， 所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.5．已知M 为抛物线:C ()220x py p =>上一点，点M 到C 的焦点的距离为7，到x 轴的距离为5，则p =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6答案：B【分析】根据抛物线的定义计算可得；解：解：抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2p y =-，因为点M 到C 的焦点的距离为7，到x 轴的距离为5，所以22p=，所以4p =； 故选：B6．已知tan 2α=，则3cos cos cos 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．25 B ．34 C ．23D ．12答案：A【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可. 解：因为tan 2α=， 所以()()223222cos cos 1cos sin cos cos sin cos tan 2sin cos sin sin sin cos 1tan 5cos 2αααααααααααπαααααα⋅-⋅--======--++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：A.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．18B ．36C ．54D ．108答案：C【分析】结合已知条件可知几何体为直三棱柱，然后利用柱体体积公式计算即可. 解：由三视图可知，几何体为直三棱柱，如下图所示：由三视图中所给数据可知，ABC 的面积16392S =⨯⨯=，从而该几何体体积9654V =⨯=. 故选：C.8．某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 答案：D【分析】首先利用第二季度的销售额占比和销售总额求出全年的销售额，然后根据双层饼图逐项求解即可.解：不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)，故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.9．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18答案：B【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答. 解：因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有22A 2=种；若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有12C 2=种，然后剩下的一个人和甲、乙被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有2232C A 6=种，则共有2612⨯=种，综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为12214+=. 故选：B10．在四边型ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=︒，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC '∠=︒，则四面体A BCD '外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．8πC ．7πD ．6π答案：D【分析】根据题意，可知,90A B A D BA D ︒=∠='''，由勾股定理求出2A B A D ''=进而得出90A BC A DC ''∠=∠=︒，取A C '的中点O ，连接,BO DO ，则12BO DO A C =='，由于球心到球上任意一点的距离相等，从而可知点O 为四面体A BCD '外接球的球心，求出外接球的半径221122R A C A B BC '='=+，最后根据球的表面积公式24S R π=进行计算，即可求出结果. 解：解：AB AD =，45ABD ∠=︒，,90A B A D BA D ︒∴=∠='''，又2BC BD CD ===，则224A B A D ''+=，2A B A D ''∴==， 可知A BC A DC ≅''，则90A BC A DC ''∠=∠=︒， 取A C '的中点O ，连接,BO DO ，则12BO DO A C =='， 所以点O 为四面体A BCD '外接球的球心， 则外接球的半径为：()22221116222222R A C A B BC ==+=+=''， 所以四面体A BCD '外接球的表面积2264462S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D.11．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 3B ．若12PF PF ⊥，且123PF F S =△，则2a =C ．以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D ．若点2F 到C 3C 的实轴长为4 答案：C【分析】设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两点坐标求斜率的方法求得12223PA PA b k k a ⋅==，再由e 求出结果，即可判断A 选项；由2c e a ==，得2c a =，根据双曲线的定义可得212PF PF a -=，根据题意得出126PF PF ⋅=和()222122PF PF c +=，可得出a 的值，即可判断B 选项；设1PF 的中点为1O ，O 为原点，则1OO 为12PF F △的中位线，所以()12111112222OO PF PF a PF a ==+=+，根据两个圆的位置关系即可判断C 选项；由点2F 到C 的b =ba=a 的值，即可得出C 的实轴长，即可判断D 选项.解：解：对于A ，设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()12,0,,0A a A a -，直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，所以12222223PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得2e ==，故A 错误； 对于B ，因为2ce a==，所以2c a =， 而P 为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得212PF PF a -=， 又因为12PF PF ⊥，且123PF F S =△， 所以1212132PF F S PF PF =⋅=△，则126PF PF ⋅=， 由()222122PF PF c +=，可得()22121224PF PF PF PF c -+⋅=，即2241216a a +=，解得：1a =，故B 错误；对于C ，设1PF 的中点为1O ，O 为原点，则1OO 为12PF F △的中位线， 所以()12111112222OO PF PF a PF a ==+=+， 则以线段1PF 为直径的圆，圆心为1O ，半径1112r PF =， 以线段12A A 为直径的圆，圆心为O ，半径2r a =， 所以111212OO PF a r r =+=+，故两个圆外切，故C 正确；对于D ，因为点2F 到C 33b = 又由前面的推理可知3ba1a =，故C 的实轴长为22a =，故D 错误. 故选：C.12．已知*i ∈N ，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1，···，1，2，4，···，2i ，12i -，···，2，1，···的前n 项和为n S ，若2022n S >，则n 的最小值为（ ） A ．81 B ．90C ．100D ．2021答案：B【分析】将数列排成杨辉三角的形式，得到各行所有数的项及其和的通项公式，再求前i 行的数的和求解.解：依题意，把数列排列成如下所示的形式： 第1行 1 第2行 1，2，1 第3行 1，2，4，2，1 第4行 1，2，4，8，4，2，1 … … 第1i行 1，2，4，…，2i ，…，4，2，1可知此数列第1行有1项，第2行有3项，第3行有5项，…，第i 行有21i -项， 前i 行共有2135(21)i i ++++-=项．设第i 行的21i -个数的和为i b ，则1211124224212121322i i i i i i b ----=+++++++++=-+-=⨯-．则前i 行的和2123i i S b b b b =++++，()0121322222i i -=⨯++++-，()32123223i i i i =--=⨯--，所以298193229315152022S S ==⨯-⨯-=<，2101001032210330492022S S ==⨯-⨯-=>．又7811242151525517702022S +++++=+=<，8811242151551120262022S +++++=+=>，81990+=，所以n 的最小值为90． 故选：B 二、填空题13．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()()ln f x ax =-．若()2e 2f -=，则=a ______．答案：1【分析】根据题意，利用奇函数的性质可知()2e 2f =-时，代入()()ln f x ax =-中可求出a 的值. 解：解：因为()f x 是奇函数，()2e 2f -=， 所以()2e 2f =-，因为当0x >时，()()ln f x ax =-，所以()()22e ln e 2f a =-=-，所以22e e a =，解得：1a =.故答案为：1.14．若x ，y 满足约束条件1,350,3210,y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩则z x y =+的最大值为________．答案：3【分析】根据线性规划的约束条件画出图像，然后求目标函数的最大值. 解：解：画出可行域知，直线350x y +-=和直线3210x y -+=的交点为(1,2). 当直线z x y =+过点(1,2)时，z 取得最大值3． 故答案为：315．函数()21f x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______． 答案：3-【分析】求出函数的导函数，代入计算()1f '即可；解：解：因为()21f x x x =-+，所以()212f x x x '=--，即()2112131f '=-⨯-=-，故函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为3-； 故答案为：3-16．函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，其中5(0)()9f f π=，2()09f π-=，若对于任意的1[,)96x ππ-∈，2(,)63x ππ∈，121()cos 2sin 3f x x x λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】由题知23T π=，进而待定系数得23ϕπ=，即2()2sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得123cos3cos2x x λ>+13cos33]x ∈，211cos 2,22x λλλ⎛⎫+∈-+ ⎪⎝⎭，故102λ+，解不等式即可得答案. 解：解：因为5(0)9f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线518x π=对称． 又209f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由图知35241892T πππ=+=，所以23T π=，从而3ω=， 由2309πϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭得23ϕπ=， 所以2()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． ()121cos2sin3f x x x λ->-12cos2x x λ>+，当1,96x ππ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，2,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1x ∈，211cos 2,22x λλλ⎛⎫+∈-+ ⎪⎝⎭，所以102λ+，解得12λ-，即1,2λ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦． 故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，已知cos cos a C c A +=a =．(1)求a ；(2)若)222S a c b =+-，求A ．答案：(1)a =(2)4π或34π.【分析】（1）根据余弦定理将已知cos cos a C c A +=b =a =，求得结果.（2）利用三角形的面积公式结合余弦定理化简)222S a c b =+-，可求得角B ，再根据a =，结合正弦定理将边化为角，可得答案.解：(1)在ABC 中，由cos cos a C c A += 22222222a b c b c a a c ab bc+-+-⨯+⨯=，即22b = ，则b =，而a ，所以a =；(2)由)222S a c b =+-得：2cos cos S ac B B =⨯= ， 又1sin 2S ac B =，所以1sin cos 2ac B B = ,则tan B =， 因为(0,)B π∈ ，故6B π= ,根据a 得，sin A B ，A B > , 又(0,)A π∈ ,所以4A π=或34π . 18．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为X ，求X 的分布列和期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：(1)没有 (2)分布列见解析，83解：解：（1）因为22200(80404040)505.5566.63512080120809K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关． （2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为8021203=， 故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为23，由题意知，2~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则44442C 22()C 1333kkk kk P X k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =． X 的分布列为XX0 1 2 3 4 P181 88182732811681故182432168()0123481818181813E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 19．如图，AB 是圆O 的直径，PA ⊥圆O 所在的平面，C 为圆周上一点，D 为线段PC 的中点，30CBA ︒∠=，2AB PA =．(1)证明：平面ABD ⊥平面PBC .(2)若G 为AD 的中点，求二面角P BC G --的余弦值. 答案：(1)证明见解析 25【分析】（1）先证明BC ⊥平面PAC 得BC AD ⊥，再根据几何关系得AD PC ⊥，进而得AD ⊥平面PBC ，最后结合判定定理即可证明；（2）根据题意，以C 为原点，分别以CA ，CB 的方向为x 轴、y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -,利用坐标法求解即可.解：(1)证明：因为PA ⊥圆O 所在的平面，即PA ⊥平面ABC ， 而BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥． 因为AB 是圆O 的直径，C 为圆周上一点， 所以AC BC ⊥． 又PAAC A =，所以BC ⊥平面PAC ，而AD ⊂平面PAC ， 则BC AD ⊥，因为AC BC ⊥，30CBA ︒∠=， 所以2AB AC =．又2AB PA =，所以PA AC =，而D 为线段PC 的中点， 所以AD PC ⊥． 又PC BC C ⋂=， 所以AD ⊥平面PBC ，而AD ⊂平面ABD ，故平面ABD ⊥平面PBC ．(2)解：以C 为原点，分别以CA ，CB 的方向为x 轴、y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．不妨设2AB =，则(1,0,0)A ，(0,3,0)B ，11,0,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,0,44G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,3,0)CB =，31,0,44CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设平面GBC 的法向量为(,,)m x y z =，则30,310,44m CB y m CG x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，得()1,0,3m =-． 由（1）知平面PBC 的一个法向量为11,0,22DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P BC G --为θ，易知θ为锐角，则25cos 5m DA m DAθ⋅==， 即二面角P BC G --的余弦值为255．20．已知O 坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，AOB 的面积为22，原点O 到直线AB(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，求FPQ △面积的最大值． 答案：(1)2212x y +=(2)19【分析】（1）设出直线AB 的方程为：1x y a b +=，原点到直线AB，列出关系式，通过222b c a +=，根据三角形的面积，求出a ，b ，即可得到椭圆C 的标准方程．（2）依题意可得DE MN ⊥，即可判断直线DE 与MN 的斜率均存在，设DE ：()1y k x =+，1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y 联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到P 点坐标，同理得到Q 点坐标，从而得到PF 、QF ，12QFPSPF QF =⋅再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得； 解：(1)解：由题意，12AOB S ab ==△① (0,)A b ，(,0)B a ，则直线AB 的方程为：1x ya b+=，即为0bx ay ab +-=， 原点到直线AB，∴=222232()a b a b ∴=+，②222b c a +=，③由①②③得：22a =，21b =，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=；(2)解：由（1）可知()1,0F -，因为0DE MN ⋅=，所以DE MN ⊥，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在， 设DE ：()1y k x =+，则MN 的斜率为1k-，由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：2222(12)4220k x k x k +++-=， 设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则2122412k x x k+=-+，21222212k x x k -=+，所以21222212P x x k x k +==-+()2222111212P P k kk y k k x k ⎛⎫-++=+== ⎪⎝+⎭，即2222,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理将1k -代入得222,22Q k k k ⎛⎫ ⎪+⎝-+⎭-，所以P F =，Q F ==，所以1122QFPSQF P F ⋅==()242211225k k k k ++⨯+=12=2222512k k k ⎪=++ ⎝⎭225122k k ++=令t =，则2t ≥，当且仅当221k k =即1k =±时取等号， 所以22221k kt +=-，所以2111121222QFPt t t tS ⨯=⨯+=+，因为函数12y x x=+在[)2,+∞上单调递增，所以当2x =时min 92y =，所以()max19QFP S=，即FPQ △面积的最大值为19；21．已知函数()ln 2f x x =+，()()212e ln 0x g x a a a=->． (1)设函数()()12h x f x x =+--，求()h x 的最大值； (2)证明：()()f x g x ≤． 答案：(1)0； (2)证明见解析.【分析】（1）利用导数分析函数()h x 在定义域上的单调性，由此可求得函数()h x 的最大值；（2）原不等式等价于()22e ln 2ln0xx a x a a aϕ=---≥，利用导数分析函数()x ϕ的单调性，求出函数()x ϕ的最小值，结合基本不等式可证得所求不等式成立. 解：(1)解：因为()()()ln 11h x x x x =+->-，所以()()11111x h x x x x '=-=->-++． 当()1,0x ∈-时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在()1,0-上为增函数，在()0,∞+上为减函数，从而()()max 00h x h ==． (2)证明：原不等式等价于()22e ln 2ln0x x a x a a aϕ=---≥， 则()222e 2e x xa x a x x x ϕ-'=-=，令()22e xa m x x =-，则()224e 0x a m x x '=+>，所以，()x ϕ'在()0,∞+上单调递增．令()22e xt x x a =-，则()00t a =-<，()()222e 2e 10a a t a a a a =-=->，所以，存在唯一()00,x a ∈使得()02002e0x t x x a =-=，即()02002e0x ax x ϕ'=-=， 当00x x <<时，()0x ϕ'<；当0x x >时，()0x ϕ'> 此时()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 要证()0x ϕ≥，即要证()00x ϕ≥．于是原问题转化为证明不等式组()00202002e 02e ln 2ln 0x x a x x a x a a a ϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=---≥⎪⎩，由0202e 0x a x -=，得020e 2x a x =，代入()02002e ln 2ln xx a x a a aϕ=---．对020e 2x a x =两边取对数得00ln ln 22a x x =-，代入()0002ln 2ln 2a x a x a a x a ϕ=---，得()000222ax ax a x ϕ=+-． 因为()00022202a x ax a a x ϕ=+-≥=，当且仅当012x =，e a =时，等号成立， 所以()()f x g x ≤．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4,122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为（4，2），求PA PB +． 答案：(1)()()22126x y -+-=；(2)【分析】（1）利用互化公式222,cos ,sin x y x y =+==，即可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意，直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程得230t -+=，设12,t t是方程230t -+=的两个根，根据韦达定理和直线参数方程中t 的几何意义，可知1212PA PB t t t t +=+=+，即可得出结果.解：(1)解：将222,cos ,sin x y x y =+==代入22cos 4sin 10ρρθρθ---=，得222410x y x y +---=，即()()22126x y -+-=， 所以圆C 的直角坐标方程为()()22126x y -+-=.(2)解：由题可知，直线l的参数方程为4,122x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得221362t ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230t -+=，由27430∆=-⨯>，设12,t t是方程230t -+=的两个根，则12t t +=1230t t =>， 又因为直线l 经过点()4,2P，所以1212PA PB t t t t +=+=+=. 23．已知函数()()1220f x x x a a a=-++>．(1)当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； (2)若362f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，求a 的取值范围．答案：(1)3344x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)()3-.【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式得出()14,,2112,,2214,,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，再根据分段函数即可求出不等式()3f x ≤的解集；（2）由题可知31332f a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而362f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，分类讨论解绝对值不等式即可求出a 的取值范围．解：(1)解：当1a =时，()14,,21121212,,2214,,2x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，43x -≤，即34x ≥-，故3142x -≤≤-；当1122x -<<时，23≤恒成立，故1122x -<<；当12x ≥时，43x ≤，即34x ≤，故1324x ≤≤；综上得，不等式()3f x ≤的解集为3344x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.(2)解：由题可知31332f a a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，而362f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，当13a >时，31662f a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，得113a <<；当103a <≤时，3162f a a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得133a -<≤；综上得，a的取值范围为()3-.。
甘肃省2020版高三上学期期末数学试卷(理科)A卷
甘肃省2020版高三上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）复数的共轭复数是（）A .B .C .D .2. （2分）用数学归纳法证明时，从到，左边需增添的代数式是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·台州期中) 已知函数 ,点 , 都在曲线上,且线段与曲线有个公共点,则的值是（）A .B .C .D .4. （2分）已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意，存在，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“集合”. 给出下列4个集合：①②M={(x,y)|y=ex-2} ③M={(x,y)|y=cosx}④M={(x,y)|y=lnx}其中所有“集合”的序号是（）A . ②③ ．B . ③④ ．C . ①②④．D . ①③④．5. （2分）如图是一个程序框图，则输出S的值是（）A . 84B . 35C . 26D . 106. （2分） (2020高一下·宜宾期末) 在等腰直角中，是斜边的中点，，则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）已知直线与曲线相切（是自然对数的底数），则的值是（）A .B .C .D . 18. （2分） (2016高一下·揭阳开学考) N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0 ， y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A . ﹣2B . ﹣C . +D . +9. （2分） (2020高一下·滦县期中) 设等比数列的前n项和为，且，则（）A . 255B . 375C . 250D . 20010. （2分） (2017高二下·成都开学考) 经过双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若|MN|= ，则该双曲线的离心率是（）A . 2或B . 或C .D .11. （2分） (2016高二下·海南期末) 已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立．给出如下函数：①f（x）=x；②f（x）=2x；③f（x）= ；④f（x）=x2；则属于集合M的函数个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高一下·大同期末) 对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于零，那么x的取值范围是（）A . （1，3）B . （﹣∞，1）∪（3，+∞）C . （1，2）D . （3，+∞）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·无锡期末) 在△ABC中，若2sinA+sinB= sinC，则角A的取值范围是________．14. （2分） (2019高二下·金华期末) 已知等比数列的前项和为，，则⑴a=________；⑵比较大小： ________ （填，或）．15. （1分）(2017·青岛模拟) 已知函数 f（x）=1+x﹣，g （x）=1﹣x+ ，设函数F（x）=f（x﹣4）⋅g（x+3），且函数 F （ x）的零点均在区间[a，b]（ a＜b，a，b∈Z ）内，则 b﹣a 的最小值为________．16. （1分） (2017高一下·鸡西期末) 在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②直线与平面所成的角的大小不变；③二面角的大小不变；④ 是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线其中真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·辽宁期中) 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，， .（1）求角A；（2）求的面积.18. （15分）(2019·金山模拟) 在等差数列中，， .（1）求数列的通项公式；（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数；（3）若，使不等式成立，求实数的取值范围.19. （10分） (2018高二上·黑龙江期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．（1）求直线PB与平面POC所成角的余弦值;（2）线段上是否存在一点 ,使得二面角的余弦值为 ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. （5分） (2016高二上·定州期中) 已知点A（0，﹣2），椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21. （10分） (2020高三上·大庆期中) 已知函数，若的图像在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求在上的最值．22. （5分）(2017·成都模拟) 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．23. （15分） (2020高三上·四川月考) 某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥kc）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001Kc 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100。
2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷(理科)
2020年甘肃省白银市靖远县高考数学第四次联考试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|x −2<0}，则A ∩B =( )A. {x|0≤x <2}B. {x|x <2}C. {x|0≤x ≤4}D. {x|x ≤4}2. 在复平面内，表示复数z =1+2i 1−i的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 要得到函数y =sin(3x +2)的图象，只需将函数y =sin(3x −1)的图象( )A. 向左平移3个单位长度B. 向右平移3个单位长度C. 向左平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度 4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =2n +a ，则a =( )A. 0B. −2C. −1D. 15. 在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且CD =2BD ，E 为AC 的中点，则DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 7. 在数列{a n }中，a 2=3，a 3=5，且a n+2=2a n+1−a n ，则a 6=( )A. 9B. 11C. 13D. 15 8. (3x +2)(2x −1)5展开式中x 3的系数为( )A. 40B. 80C. −40D. −809. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( ) A. 3 B. −3 C. 7 D. −710. 在四面体ABCD 中，BD =AC =2，AB =BC =CD =DA =√3，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，点Q(0,b).已知点P 在双曲线C 的左支上，且P ，Q ，F 不共线，若△PQF 的周长的最小值是8a ，则双曲线C 的离心率是( )A. 3B. √3C. 5D. √512. 设函数f(x)是定义在[1,+∞)上的单调函数，且∀x ∈[1,+∞)，f(f(x)+x −lnx)=0.若不等式f(x)−f′(x)≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−14]B. [−14,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知函数f(x)=log 2(x +1)+3，若f(a +2)=5，则a =______．14. 已知实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≥0,x −y +2≥0,2x −y −5≤0,则z =x +3y −4的最小值为______．15. 辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块．农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种．这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．若甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，直线l ：y =kx +b(k ≠0)与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AF|+|BF|=6，线段AB 的垂直平分线过点M(0,4)，则抛物线C 的方程是 (1) ；若直线l 过点F ，则k = (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4c=b+4acosB．(1)求sin A；(2)若a=4，且b+c=6，求△ABC的面积．18.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，E为AC的中点，且AC=2BE．(1)证明：BC⊥平面PAB．(2)若PA=AB=BE，求二面角A−PB−E的余弦值．19.已知函数f(x)=x+1e x−a(a∈R)．(1)当a=−2时，求f(x)的最值；(2)讨论f(x)的零点个数．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且椭圆C的右顶点到直线x−y+√2=0的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(2,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)．21. 某公司为了丰富员工的业余文化生活，召开了一次趣味运动会．甲、乙两人参加“射击气球”这项比赛活动，他们依次轮流射击气球一次，每人射击n 次(射击次数由参与比赛的两人决定)，其中射击气球只有两种结果：“中”与“不中”.比赛规则如下：甲先射击，若结果是“中”，则本次射击得2分，否则得1分；再由乙第一次射击，若结果为“中”，其得分在甲第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第二次射击，若结果为“中”，其得分在乙第一次得分的基础上加1分，否则得1分；再由乙第二次射击，若结果为“中”，其得分在甲第二次得分的基础上加1分，否则得1分；再由甲第三次射击，按此规则，直到比赛结束．已知甲、乙每次击中气球的概率均为23.记X i ，Y i (i =1,2，3，…，n)分别表示甲、乙第i 次射击的得分． (1)若n =3，记乙的累计得分为Y ，求Y >3的概率． (2)①求数学期望EX 1，EY 1，EX 2；②记a 1=EX 1，a 2=EY 1，a 3=EX 2，….证明：数列{a n −3}为等比数列．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t y =1+3t (t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =m 2−1y =2m (m 为参数)．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)已知点M(2,1)，若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求||MA|−|MB||的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|2x −1|．(1)求不等式f(x)<6的解集；(2)若函数f(x)的最小值为m ，且实数a ，b 满足a 2+b 2=2m ，求3a +4b 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|0≤x ≤4}，B ={x|x <2}， ∴A ∩B ={x|0≤x <2}． 故选：A ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B【解析】解：由复数除法运算，可得z =1+2i 1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i ，∴z 在复平面内对应点的坐标为(−12,32)，位于第二象限．故选：B ．根据复数除法运算，化简即可判断对应的点所在象限．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.【答案】C【解析】解：因为y =sin(3x +2)=sin[3(x +1)−1]，所以要得到函数y =sin(3x +2)的图象，只需把函数y =sin(3x −1)的图象上所有的点向左平移1个单位长度． 故选：C ．y =sin(3x +2)=sin[3(x +1)−1]，然后根据函数图象的平移变换法则即可得解．本题考查三角函数的图象变换，理解图象的变换法则是解题的关键，考查学生的运算求解能力与推理论证能力，属于基础题． 4.【答案】C【解析】解：a 1=21+a =2+a ，a 2=S 2−S 1=2，a 3=S 3−S 2=4， ∴(2+a)⋅4=4，求得a =−1 故选：C ．先根据等比数列的前n 项的和分别求得a 1，a 2，a 3的值进而利用等比数列的等比中项求得a ．本题主要考查了等比数列的前n 项的和，以及等比数列的等比中项的知识点．注重了对等比数列基础知识的考查． 5.【答案】A【解析】解：如图，根据题意得，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据题意即可得出DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后带入DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 进行向量的数乘运算即可用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：画出截面图形如图显然A正三角形，B正方形：D正六边形可以画出五边形但不是正五边形；故选：C．画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．本题是基础题，考查学生作图能力，判断能力，以及逻辑思维能力，明确几何图形的特征，是解好本题的关键．7.【答案】B【解析】解：因为a n+2=2a n+1−a n，所以a n+2−a n+1=a n+1−a n，所以数列{a n}是等差数列．因为a2=3，a3=5，所以a1=1，d=2，所以a6=a1+5d=11．故选：B．利用数列的递推关系式推出数列是等差数列，求出公差，然后求解a6即可．本题考查等差数列，考查运算求解能力，是基本知识的考查．8.【答案】A【解析】解：根据题意，(2x−1)5展开式的通项为T r+1=(−1)r⋅C5r⋅(2x)5−r，当r=2时，T3=C52⋅(2x)3=80x3，此时(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为3x⋅(−40x2)，当r=3时，T4=−C53⋅(2x)2=−40x2，此时(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为2×80x3，则(3x+2)(2x−1)5的展开式中含x3的项为3x⋅(−40x2)+2×80x3=40x3，故(3x+2)(2x−1)5展开式中x3的系数为40；故选：A．根据题意，求出(2x−1)5展开式的通项，由多项式乘法的性质分r=2和r=3两种情况讨论，求出(3x+2)(2x−1)5展开式中x3的项，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，涉及多项式的乘法，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得f(x+2)=f(−x+2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D．由已知结合函数的对称性可得f(x+2)=f(−x+2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求．本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．10.【答案】B【解析】解：如图，把四面体ABCD补成一个长，宽，高分别为√2，√2，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF．因为G ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以GF//AC ，GF =12AC =1， 同理GE//BD ，GE =12BD =1． 因为AC ⊥BD ，所以GE ⊥GF ，所以△GEF 是等腰直角三角形，则∠EFG =π4， 即异面直线EF 与AC 所成的角为π4，故选：B ．由于四面体ABCD 对棱相等，所以补成一个长方体，取AB 的中点G ，根据GF//AC ，在三角形GEF 中计算角的大小即可．本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力． 11.【答案】D【解析】解：双曲线的右焦点为F(c,0)，F′为双曲线的左焦点，点Q(0,b)，P 为双曲线左支上的动点，且△PQF 周长的最小值为8a ，|QF|=√c 2+b 2． 因为P 在双曲线上，所以|PF|=2a +|PF′|，则|PQ|+|PF|=|PQ|+|PF′|+2a ≥|QF′|+2a =2a +√c 2+b 2， 因为Q(0,b)，F(c,0)，△PQF 周长的最小值为8a ，则2√c 2+b 2=6a ， c 2=5a 2，所以双曲线的离心率为：e =√5． 故选：D ．求出双曲线的右焦点坐标，利用已知条件推出a 的表达式，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题． 12.【答案】D【解析】解：设f(x)+x −lnx =t ，则f(t)=0，所以f(x)=lnx −x +t ，令x =t 得f(t)=lnt −t +t =0，解得t =1， 所以f(x)=lnx −x +1，f′(x)=1x −1，当x ≥1时，f′(x)≤0，可得f(x)在[1,+∞)递减．若不等式f(x)−f′(x)≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立， 即为lnx −x +2−1x ≤a(x −1)对x ∈[1,+∞)恒成立， 显然x =1时，不等式即为0≤0，恒成立； 当x >1时，a ≥lnxx−1−x−1x，可得a +1≥lnxx−1+1x ， 设g(x)=lnxx−1，g′(x)=x−1x−lnx (x−1)2，由y =1−1x −lnx 的导数为y′=1x 2−1x =1−x x 2<0，可得y =1−1x −lnx 在(1,+∞)递减，即有1−1x −lnx <0， 则g′(x)<0，可得g(x)在(1,+∞)递减，又y =1x 在(1,+∞)递减， 则y =lnxx−1+1x 在(1,+∞)递减， 当x >1时，y =lnxx−1+1x >0，由y =lnx −(x −1)，x >1，y =lnx −x +1的导数为y′=1x −1<0， 可得y =lnx −x +1在(1,+∞)递减， 即有lnx −(x −1)<0，即lnx <x −1， 则y =lnxx−1+1x <x−1x−1+1=2， 可得0<lnxx−1+1x <2，所以a +1≥2，解得a ≥1． 故选：D ．先利用换元法求出f(x)的解析式，求得导数，讨论x =1时，不等式恒成立，当x >1时，用分离变量法，借助函数的单调性和不等式的性质即可得到所求范围．本题考查函数恒成立问题解法，主要考查换元法和参数分离法、构造函数法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 13.【答案】1【解析】解：由题意可得f(a +2)=log 2(a +3)+3=5，解得a =1． 故答案为：1．直接把变量代入解析式即可求解．本题考查函数，考查运算求解能力，属于基础题目． 14.【答案】2【解析】解：画出实数x ，y 满足不等式组{x +y −4≥0,x −y +2≥0,2x −y −5≤0,的可行域如图：由{x +y =42x −y −5=0解得A(3,1)， 当直线z =x +3y −4经过点A(3,1)时，z 取得最小值2． 故答案为：2．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可． 本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，是基础题．15.【答案】25【解析】解：六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若．甲从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，放回后，乙再从这六片叶齿中任取两片不同的叶齿，基本事件总数n =C 62C 62，这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m =C 62C 42， 则这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率为：P =C 62C 42C 62C 62=615=25．故答案为：25．基本事件总数n =C 62C 62，这两人选的叶齿对应的“度”没有相同包含的基本事件个数为m =C 62C 42，由此能求出这两人选的叶齿对应的“度”没有相同的概率．本题考查概率的求法，考查数学文化与古典概型，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】x 2=4y±√22【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线的定义|AF|=y 1+p2，|BF|=y 2+p2，则|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =6，即y 1+y 2=6−p ．因为点M(0,4)在线段AB 的垂直平分线上，所以|MA|=|MB|，则x 12+(y 1−4)2=x 22+(y 2−4)2．因为x 12=2py 1，x 22=2py 2，所以(y 1−y 2)(y 1+y 2+2p −8)=0， 因为y 1≠y 2，所以y 1+y 2=8−2p ，则8−2p =6−p ，解得p =2， 故抛物线C 的方程是x 2=4y ．因为直线l 过点F ，所以直线l 的方程是y =kx +1，联立{x 2=4y y =kx +1，整理得x 2−4kx −4=0，则x 1+x 2=4k ，从而y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2=4k 2+2，因为y 1+y 2=6−p =4，所以4k 2+2=4，解得k =±√22．故答案为：x 2=4y ；±√22．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用抛物线的性质结合|MA|=|MB|，转化求解抛物线方程；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，转化求解直线的斜率即可．本题考查抛物线，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力．是中档题．17.【答案】解：(1)因为4c =b +4acosB ，所以4sinC =sinB +4sinAcosB ，…………………………………(2分) 所以4sin(A +B)=sinB +4sinAcosB ，所以4cosAsinB =sinB ，……………………………………(4分)因为sinB ≠0，所以cosA =14，所以sinA =√154.…………………………………………………………(6分)(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−2bc(1+cosA)，………………………………(8分) 因为a =4，b +c =6，所以36−52bc =16，所以bc =8.…………………………………………………(10分) 故△ABC 的面积为12bcsinA =12×8×√154=√15.………………………………………………………(12分)评分细则：(1)在第一问中，也可以用角转化成边，得到b 2+c 2−a 2=12bc ，从而求出cosA =14，不予扣分；(2)在第二问中，先由正弦定理求出△ABC 外接圆的半径r ，再由余弦定理求出bc 的值，最后通过三角形的面积公式S =abc 4r，求出△ABC 的面积，只要计算正确，不予扣分；(3)若用其他解法，参照评分标准按步给分．【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，可求cos A ，再结合同角平方关系即可求解；、(2)由已知结合余弦定理可求b +c ，进而可求bc ，代入三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)证明：因为E 为AC 的中点，且AC =2BE ，所以AE =BE =CE ， 所以∠BAE =∠ABE ，∠BCE =∠CBE ，所以∠BAE +∠BCE =∠ABE +∠CBE =∠ABC ． 因为∠BAE +∠BCE +∠ABC =180°， 所以∠ABC =90°，即AB ⊥BC ．因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ． 因为PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，且PA ∩AB =A ， 所以BC ⊥平面PAB ．(2)解：由(1)可知AB ，BC ，PA 两两垂直， 则可以以B 为原点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y 轴的正方向，过点P 作平行于PA 的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ．设PA =2，则B(0,0，0)，E(√3,1,0)，P(0,2，2)， 故BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,2)．设平面PBE 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，不妨设x =1，则n ⃗ =(1,−√3,√3)．因为BC ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√7=√77． 设二面角A −PB −E 为θ，由图可知θ为锐角， 则二面角A −PB −E 的余弦值为cosθ=√77．【解析】(1)推导出AE =BE =CE ，从而∠BAE =∠ABE ，∠BCE =∠CBE ，进而AB ⊥BC.PA ⊥BC.由此能证明BC ⊥平面PAB ．(2)以B 为原点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ，y 轴的正方向，过点P 作平行于PA 的直线为之轴，建立空间直角坐标系B −xyz.利用向量法能求出二面角A −PB −E 的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)因为a =−2所以f(x)=x+1e x+2，所以f′(x)=−xe x ，令f′(x)>0，得x <0；令f′(x)<0，得x >0，则f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减， 故f(x)在x =0时取得最大值f(x)=3，没有最小值． (2)令f(x)=x+1e x−a =0，得a =x+1e x，设g(x)=x+1e x，由(1)可知g(x)≤g(0)=1，当x >−1时，g(x)>0；当x <−1时，g(x)<0． 当a >1时，方程g(x)=a 无解，即f(x)没有零点；当a =1时，方程g(x)=a 有且只有一解，即f(x)有唯一的零点． 当0<a <1时，方程g(x)=a 有两解，即f(x)有两个零点．④当a ≤0时，方程g(x)=a 有且只有一解，即f(x)有唯一的零点； 综上，当a >1时，f(x)没有零点；当a =1或a ≤0时，f(x)有唯一的零点． 当0<a <1时，f(x)有两个零点．【解析】(1)化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最值． (2)根据f(x)的单调性，求出f(x)max =1−a ，再通过分类讨论，得出f(x)的零点情况即可． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，是难题．20.【答案】解：(1)由椭圆的方程可得右顶点(a,0)，所以右顶点到直线x −y +√2=0的距离为d =√2|√2=3，a >0可得：a =2√2， 由离心率e =√32=c a=2√2，可得c =√6，所以b 2=a 2−c 2=8−6=2， 所以椭圆C 的方程为：x 28+y 22=1；(2)由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：x =my +2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程可得：{x =my +2x 28+y 22=1，整理可得：(4+m 2)y 2+4my −4=0，y 1+y 2=−4m 4+m 2，y 1y 2=−44+m 2所以S △OAB =12|OP|⋅|y 1−y 2|=12⋅2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16m 2(4+m 2)2+164+m 2=4√4+2m 24+m 2，设t =2≥2，则m 2=t 22−2，所以S △AOB =4t4+t 22−2=42t +t ≤2√2t⋅t =√2，当且仅当2t=t ，即t =±√2时取等号， 所以△OAB 面积的最大值为√2．【解析】【试题解析】(1)由离心率的值及右顶点到直线x −y +√2=0的距离为3和a ，c ，b 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可知Y ≥3，且每次射击得分为(1分)的概率均为13，则P(Y =3)=(13)3=127，故P(Y >3)=1−P(Y =3)=1−127=2627．(2)①由题意可得X 1的可能取值为1，2．P(X 1=1)=13，P(X 1=2)=23．故EX 1=1×13+2×23=53．由题意可得Y 1的可能取值为1，2，3．P(Y =1)=13；P(Y =2)=13×23=29；P(Y =3)=23×23=49．第11页，共12页 故EY 1=1×13+2×29+3×49=199．由题意可得X 2的可能取值为1，2，3，4．P(X 2=1)=13；P(X 2=2)=13×23=29；P(X 2=3)=29×23=427；P(X 2=4)=49×23=827．故EX 2=1×13+2×29+3×427+4×827=6527．②由题意可知a n+1=23(a n +1)+13×1=23a n +1．则a n+1−3=23(a n −3)，即a n+1−3a n −3=23． 因为a 1−3=EX 1−3=−43，所以数列{a n −3}是首项为−43，公比为23的等比数列．【解析】(1)由题意可知Y ≥3，且每次射击得分为(1分)的概率均为13，利用独立重复实验以及对立事件的概率求解即可． (2)①由题意可得X 1的可能取值为1，2.求出概率得到分布列然后求解期望；Y 1的可能取值为1，2，3.求出概率，得到分布列，求解期望；X 2的可能取值为1，2，3，4.求解概率，得到分布列，然后求解期望；②由题意推出a n+1=23a n +1.然后转化判断数列{a n −3}是首项为−43，公比为23的等比数列．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，数列的应用，是难题，如果是考试用题，建议评分细则：(1)在第一问中，将Y >3的所有情况找出，再求出Y >3的概率，只要计算正确，不予扣分；(2)在第二问中，在①中没有写出分布列，直接求出期望，只要计算正确，不予扣分，在②中没有求出数列{a n −3}的首项a 1−3，得到a n+1−3a n −3=23，直接判断数列{a n −3}是等比数列，不予扣分；(3)若用其他解法，参照评分标准按步给分． 22.【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程{x =2+t y =1+3t (t 为参数)，消去t ，得y =3x −5．由曲线C 2的参数方程{x =m 2−1y =2m(m 为参数)，消去m ，得y 2=4x +4． (2)曲线C 1的标准参数方程为{x =2+√1010t y =1+3√1010t(t 为参数)， 代入y 2=4x +4，整理得910t 2+√105t −11=0， ∴t 1+t 2=−2√109，t 1t 2=−1109，∵t 1+t 2<0，t 1t 2<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2√109．第12页，共12页 【解析】(1)根据曲线C 1和C 2的参数方程，消去参数即可得到其普通方程；(2)先求出曲线C 1的标准参数方程，然后将方程代入曲线C 2中，由根与系数的关系得到t 1+t 2和t 1t 2，再根据||MA|−|MB||=|t 1+t 2|求出||MA|−|MB||的值．本题考查了参数方程转化为普通方程和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −2|+|2x −1|={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2， ∵f(x)<6，∴{x ⩽12−3x +3<6或{12<x <2x +1<6或{x ⩾23x −3<6， ∴−1<x ⩽12或12<x <2或2⩽x <3，∴−1<x <3，∴不等式的解集为(−1,3)．(2)由(1)知，f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，∴f(x)min =f(12)=32，∴m =32，∴a 2+b 2=2m =3， ∴3a +4b ⩽√(a 2+b 2)(32+42)=5√3，当且仅当a =4√35,b =3√35时取等号，∴3a +4b 的最大值为5√3．【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式，然后由f(x)<6，利用零点分段法解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值m ，然后由3a +4b ⩽√(a 2+b 2)(32+42)，利用柯西不等式求出3a +4b 的最大值． 本题考查了绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届甘肃省白银市靖远县高三第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|2150,{|24}A x x x B x x =+-≤=-<<，则A B =I （ ） A ．{|23}x x -<≤ B ．{|54}x x -≤< C ．{|52}x x -≤≤- D ．{|34}x x ≤<【答案】A【解析】先求出集合A ,再与集合B 取交集即可. 【详解】因为{}2|2150{|53},{|24}A x x x x x B x x =+-≤=-≤≤=-<<,所以{|23}A B x x =-<≤I .故选:A. 【点睛】本题考查集合的交集,考查不等式的解法,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 2．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -【答案】B【解析】由题意得,13i23iz =+,求解即可. 【详解】因为(23i)13i z +=,所以13i 13i(23i)26i 3932i 23i (23i)(23i)49z -+====+++-+. 故选:B. 【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=vv v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C【解析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案. 【详解】因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r.故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.4．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 5．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A ．2550100,,777B ．252550,,1477C ．100200400,,777 D ．50100200,,777【答案】D【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案. 【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==.故选:D. 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则(π)f =（ ）A ．13B ．13-C 2D ．2-【答案】B【解析】结合图象,可求出,T ω的值,由π123f ⎛⎫=⎪⎝⎭,可求得sin A ϕ的值,再由(π)sin f A ϕ=可求出答案.【详解】由图象知，5π3ππ4884T =-=，即2ππT ω==，则2ω=±，从而()sin(2)f x A x ϕ=±+.因为πsin(π)2f A ϕ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭13=,所以1sin 3A ϕ=-,则1(π)sin(2π)sin 3f A A ϕϕ=±+==-.故选:B. 【点睛】本题考查三角函数求值,考查三角函数的图象性质的应用,考查学生的推理能力与运算求解能力,属于中档题.7．若函数32()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3 B ．3C ．-2D ．2【答案】A【解析】对函数()f x 求导,可得(1)0(1)2f f =⎧⎨='⎩,即可求出,a b ,进而可求出答案.【详解】因为32()3f x ax x b =++,所以2()36f x ax x '=+,则(1)360(1)32f a f a b '=+=⎧⎨=++=⎩,解得2,1a b =-=,则3a b -=-.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π163B ．4π1633C 16343π+D ．43π163【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π33V V V =+=+故选:D. 【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.9．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.10．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos 2B <,即充分性成立;必要性:ABC V 中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 11．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】B 【解析】由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -≤≤,可得πππ333ππ32x ωωω--≤--≤,0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,而ππ,320⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π[π,0]3--∈, 所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则πππ33ππ0230ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,即2230ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤.故选:B. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 12．已知函数()e ln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A【解析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)x g x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>.设ln ()(0)xh x xx=>,则21ln()(0)xh x xx'-=>.令()0h x'=,解得ex=,易得()h x在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减,从而max1()(e)eh x h==，故1em>.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.二、填空题13．若实数x，y满足约束条件32020440x yx yx y--≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y=+的最大值为________. 【答案】3【解析】作出可行域,可得当直线2z x y=+经过点(1,1)A时,z取得最大值,求解即可. 【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立32020x yx y--=⎧⎨+-=⎩,可求得点()1,1A,当直线2z x y=+经过点(1,1)A时,max1213z=+⨯=.故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.14．若函数22()21x ax f x x =++为奇函数，则a =_______.【答案】-2【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数,可知对任意的x ,()()f x f x -=-都成立,代入函数式可求得a 的值. 【详解】由题意,()f x 的定义域为R ,222()12121x x ax a f x x x ⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭, ()f x 是奇函数,则()()f x f x -=-,即对任意的x ,()22112121x xa a x x -⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭都成立, 故112121x xa a -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭,整理得20a +=,解得2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 15．记等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若357n n S n T n +=+，则77a b =______. 【答案】115【解析】结合等差数列的前n 项和公式,可得()()771377113111331313132132a ab b b a a T b S ===++,求解即可. 【详解】 由题意,()11313713132a a S a +==,()11313713132b b b T +==,因为357n n S n T n +=+,所以7713771313313511131375a a Sb b T ⨯+====+.故答案为:115. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.16．在平面五边形ABCDE 中，60A ∠=︒，AB AE ==BC CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120︒，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积是______. 【答案】252π【解析】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ，得到直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解. 【详解】设ABE ∆的中心为1O ，矩形BCDE 的中心为2O ，过1O 作垂直于平面ABE 的直线1l ，过2O 作垂直于平面BCDE 的直线2l ， 则由球的性质可知，直线1l 与2l 的交点O 为几何体ABCDE 外接球的球心， 取BE 的中点F ，连接1O F ，2O F ，由条件得123O F O F ==，12120O FO ∠=︒，连接OF ，因为12OFO OFO ∆≅∆，从而1OO =， 连接OA ，则OA 为所得几何体外接球的半径，在直角1AOO ∆中，由16O A =，1OO =，可得22211273663OA OO O A =+=+=，即外接球的半径为R OA ==，故所得几何体外接球的表面积为24252S R ππ==. 故答案为：252π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知3a b ，且()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-.（1）求cos C 的值；（2）若ABC V 的面积是22ABC V 的周长. 【答案】（1）3cos 3C =；（2）22322+ 【解析】（1）由正弦定理可得,2()()2a b c a b c c ab -+--=-,化简并结合3a b ,可求得,,a b c 三者间的关系,代入余弦定理可求得cos C ;（2）由（1）可求得sin C ,再结合三角形的面积公式,可求出,,a b c ,从而可求出答案. 【详解】（1）因为()(sin sin sin )sin 2sin a b c A B C c C a B -+--=-, 所以2()()2a b c a b c c ab -+--=-,整理得:2222a b c +=. 因为3a b ,所以2242b c =,所以2c b =.由余弦定理可得22222223cos 2323a b c C ab b+-===⨯. （2）由（1）知3cos 3C =,则26sin 1cos 3C C =-=,因为ABC V的面积是,所以1sin 2ab C =即2132⨯=解得2b =,则a c ==故ABC V 的周长为:2+. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.18．已知首项为2的数列{}n a 满足11221n n n na a n +++=+.（1）证明：数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）12112222n n S n n +=++- 【解析】（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122n nn n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得2n n na的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】（1）证明:因为11221n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+,所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n nn a na +++-=,因为12a =,所以112a =, 故数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112nn na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232nn =++++++++L()232222(123)nn =+++++++++L L ()212(1)122nn n ⨯-+=+-12112222n n n +=++-.本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.19．已知函数1()sin cos 2f x b x a x ⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知2()23(14)g x x x m m =-+-<≤，若对任意的1[0,π]x ∈，总存在2[2,]x m ∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(]1,3 【解析】（1）由π(0)1,13f f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭,可求出,a b 的值,进而可求得()f x 的解析式; （2）分别求得()f x 和()g x 的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出m 的取值范围. 【详解】（1）因为π(0)1,13f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以1(0)12π11132222f a f a b a ⎧==-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,解得1,a b ==故13()sin cos 2222f x x x ⎛⎛⎫=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （2）因为[0,π]x ∈,所以ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[1,2]f x ∈-,2()23g x x x m =-+-图象的对称轴是1x =.因为14,2m x m <≤-≤≤,所以min max ()(1)4,()(2)5g x g m g x g m ==-=-=+,则144152m m m <≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩,解得13m <≤,故m 的取值范围是(]1,3.本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.20．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）470sin θ=【解析】（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF和DBF 的法向量,m n u r r ,然后由cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r ,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且60BAD ︒∠=,所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(1,0,2)A B E DF ----,则(1,3,0),(2,0,2),(3,3,0)AB BF BD ==-=-u u u r u u u r u u u r,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =u r,则111130220m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取11y =-,则(3,1,3)m =-u r ,设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =r,则2222330220n BD x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取21x =,则(1,3,1)n =r , 故3105cos ,||||75m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r ru r r u r r .记二面角A BF D --的大小为θ,故3470sin 13535θ=-=.【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题. 21．已知函数()e 2xf x m x m =--.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）y x =-；（2）[2,)+∞【解析】（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.【详解】（1）因为1m =,所以()e 21xf x x =--,所以()e 2xf x '=-,则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.（2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2xf x m '=-,①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增, 从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意; ②当02m <<时,令()0f x '<,解得20lnx m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则2ln(0)0f f m ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2xf x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不符合题意. 综上,m 的取值范围为[2,)+∞. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题. 22．已知函数2()52ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>. 【答案】（1）()f x 极大值为92ln 24--；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】（1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值; （2）构造函数1()()(1),0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,再结合110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x'--=-+=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 故()f x 的极大值为115192ln 2ln 224224f ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+.（2）证明:由（1）知1231022x x x <<<<<, 设函数1()()(1),0,2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭, 则()()()22()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦,2(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--,则()0F x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故1()2F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭,又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫=--<∈ ⎪⎝⎭, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立.因为110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-,因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,且()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以211x x >-,故121x x +>. 【点睛】本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题.。
甘肃省2020届高三数学上学期期末考试试题理
高三数学上学期期末考试试题理第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.）1. 已知M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N等于 ( )A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2．已知向量a与b的夹角为30°，且|a||b|＝2，则|a－b|的值为( ) A．1 B.3 C．13 D.213.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4 B．6 C．8 D．124．如图所示,在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)5．若(x－1)8＝1＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a5＝( )A．56 B．－56 C．35 D．－356．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)8.要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移23π个单位D ．向右平移23π个单位9.已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°10. 已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥nC ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n 11．在等差数列中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 18＋a 19＋a 20＝87，则此数列前20项的和等于( )A ．290B ．300C ．580D ．60012．若定义在R 上的二次函数bax a x f x +-=4)(2[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0),则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4]B [0,2]C ．(－∞，0]D ．(－∞，0] [)∞+，4第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．14如果直线x ＋y ＋2a ＝0和圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且弦长|AB |＝2，则实数a ＝________．15.函数223(0)()2ln,(0)x x xf xx x⎧++≤=⎨-+>⎩的零点个数是_____________16.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（10分）已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12.(1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)设b n＝10－a n，数列{b n}的前n项和为S n，若b1≠b2，则n为何值时，S n最大？S n 最大值是多少？18.（12分如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高SO＝4，E是BC边的中点，AB＝6，求正四棱锥S－ABCD的斜高、侧面积、体积．19．（12分）已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 的最大值及取最大值时x 的集合.20.（12分）已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．21．（12分）已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a，b∈R.(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性.22.（12分）已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长2为时，求实数m的值．答案一、选择题二、填空题13. 45- ； 14. 2626-或 .15. 1 ; 16. (x ＋1)2＋(y 2＝1.三、解答题：17. 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝2a 1.-------- ----------------2 当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a n ＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30；-----------------4 当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25.-------------------5 (2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， 由(1)知a n ＝2n －1，-----------------7∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ，S n ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25.---------9 ∴当n ＝5时，S n 取得最大值，最大值为25.------------------10 18. 解：在Rt △SOE 中OE ＝3，SO ＝4，所以斜高为：SE ＝＝＝5.----------------------2 侧面积为：0.5×6×5×4＝60.-----------------6体积为：(1/3)×62×4＝48. --------------------------1219.解：由已知，()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=- (4)（１）由222262k x k πππππ-≤-≤+,k Z ∈，得增区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈.………8（２）当2262x k πππ-=+，k Z ∈，即sin(2)16x π-=时，()f x 取最大值2， (10)此时x 的集合为{|,}3x x k k Z ππ=+∈ (12)20．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p/2.因为|AF |＝3，即2＋p/2＝3，解得p ＝2，------------------------2 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .------------------------------------4 (2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,2)．由A (2,2)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝2(x －1)．-------------6 由得2x 2－5x ＋2＝0，---------------------------8 解得x ＝2或x ＝，从而B . 又G (－1,0)，所以k GA ＝＝，------------------------------------------10k GB ＝＝－，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．-------------------------1221.解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：上是减函数．22.解：(1)∵圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为(3,0)．--------------------------------------------------------4 ∵直线x－my＋3＝0与圆相切，r＝2，解得m＝±2.------------------------------------------------------6(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d由r＝2得， 3＋3m2＝36，------------------------------------10解得m2＝11，故m＝±11.-------------------------------------12。
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高三数学上学期期末考试试题 理一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1.已知全集，，，则A ．B ．C ．D ．`2.复数z 满足，则复数的共轭复数（ ）A ．1+3iB ．1﹣3iC ．3+iD ．3﹣i 3.已知向量,满足1||||||=+==,则向量,夹角的余弦值为 （ ）A ．12 B ．12- C ．- 4. 已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．15.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0．2588，sin7．5°=0．1305）A ．6B ．12C ．24D ．486. 设∈R，则是直线与直线2:(1)40l a x ay +-+=垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于（ ）A ．B ．2C ．3D ．68.如图是函数图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将（x∈R）的图像上所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．C ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．9.若直线220(00)ax by a b -+=>>，被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则b a 11 的最小值是（ ） A. 41 B. 21C. 2D. 410. 有名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：号或号选手得第一名；观众乙猜测：号选手不可能得第一名；观众丙猜测：号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有人猜对比赛结果，此人是（ ）A ．甲B ．乙 C.丙 D.丁11. 在公比为的等比数列中，若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．12. 设函数,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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绝密★启用前2020届甘肃省白银市靖远县高三上学期期末联考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若2020i 3i1iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{|A x y ==，{|ln(1)}B x y x ==-，则()A RB =I ð（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(1,2]-D ．(1,2]3．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．在等差数列{}n a 中，12a =，3728a a +=，若26m a =，则m =（ ） A ．6B ．7C ．8D ．95．某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2: 6: 4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，则n =（ ） A ．400B ．200C ．150D ．3006．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ）………外…………○…………装…………○…………订………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题………内…………○…………装…………○…………订………………线…………○……A ． B ．C ．D ．7．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤8．已知函数()sin f x x x ωω=+(0)>ω的图象的相邻对称轴间的距离为2π，………订………__________考号：____………订………把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 是奇函数B ．其图象关于直线4x π=对称C ．在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,0]- D ．在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数9．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6++B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+10．已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．)+∞B ．C ．2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛ ⎝⎭11．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC -的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O .若三棱锥P ABC -的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ） A ．3∶1B ．2∶1C ．7∶4D ．5∶312．若存在0a >，使得函数2()6ln f x a x =与2()4g x x ax b =--的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A ．213e- B ．216e-C ．216eD ．213e第II 卷（非选择题)二、填空题13．821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为_________.（用数字作答） 14．已知向量m u v ，n v 的夹角为60︒，且||1m =u v，||m n -=u v v ||n =v ________.15．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F M 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为9π，则p =_______. 16．已知14a =，112n n n a a a ++=-，12n n n a b a -=+，*n ∈N ，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =________. 三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=.（1）求A ；（2）若2b c =，点D 为边BC的中点，且AD =，求ABC ∆的面积.18．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”. 表1：男生表2：女生○…………外……○…………内……（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19．如图，在三棱锥P ABC -中，ABC V 是边长为4的正三角形，PA PC ⊥，PA PC =，4PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱PC 上，且2MC PM =，求二面角M AB C --的大小.20．设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M ，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程. 21．已知函数213()ln 222fx x ax x =+-+(0)a ≥. （1）讨论函数()f x 的极值点的个数；（2）若()f x 有两个极值点1,x 2x ，证明：()()120f x f x +<.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B 两点，求2.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】 因为2020i 1=，故2020i 3i 13i12i 1i 1iz --===--++，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】 因为13121iz i i-==--+，所以z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】分别将集合A 和集合B 求出来，再求A R ð，最后求()A RB I ð即可. 【详解】{| 2 1}A x x x =≥≤-或，{|1}B x x =>，{|12}R A x x =-<<ð，故()A B {|12}R x x =<<I ð. 故选：B. 【点睛】本题考查函数定义域的求法，考查集合的运算，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可. 【详解】211533311220,log 03355a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<<==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即c a b <<.故选：A本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由375228a a a +==，得514a =，又因为12a =，所以5134a a d -==，再由26m a =，得出m 的值即可. 【详解】Q 12a =，375228a a a +==，∴公差5134a a d -==， 1(1)31m a a m d m ∴=+-=-，又26m a =，所以3126m -=，得9m =. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列通项公式的应用，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可. 【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查， 其中青年人数为10，则1004264n =++， 解得300n =. 故选：D. 【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题. 6．B 【解析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案. 【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A .故选：B. 【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题. 7．B 【解析】 【分析】由题意知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意可得出判断条件. 【详解】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”. 故选B. 【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得ω，利用函数图象平移求得()g x ，再由sin()y A x ωϕ=+型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象的相邻对称轴间的距离为2π， 故()f x 的最小正周期为T π=， 所以22Tπω==，于是2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以()2sin 2123g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos2x =， 故()g x 为偶函数，并在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以A ，D 错误；04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 错误； 因为243x ππ≤≤， 所以42,23x ππ≤≤2cos 2[2,0]x ∈-， 所以C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的性质，考查计算能力，属于常考题. 9．A 【解析】 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+.故选：A. 【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力. 10．C 【解析】 【分析】设直线l ：()b y x c a =+，由2F 到l 的距离大于a ，得出b a 的范围，再由e =即可. 【详解】设过1F 与渐近线by x a =平行的直线l 为()b y x c a=+， 由题知2F 到直线l 的距离d a >， 即d =2b a =>，可得12b a >，所以离心率e =>故选：C. 【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式e =可使计算变得简便，属于常考题. 11．C 【解析】 【分析】根据题意可设正三棱锥P ABC -的底面边长为2a ,高为h ,再构造图形中的直角三角形,利用勾股定理求解高h 与a 的关系,再分别求得两个外接球的半径分析即可. 【详解】设正三棱锥P ABC -的底面边长为2a ,高为h ,则柱高为2h ,,利用勾股定理,可求得圆柱外接球半径R =由2h R =,可求得43h a =.设正三棱锥P ABC -的外接球的半径为r ,则球心到底面距离为,h r OA -=,利用勾股定理222()r h r ⎫=-+⎪⎪⎝⎭,可得76r a =.故74r R =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间几何体中构造直角三角形求线段关系与外接球的问题,属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】设曲线()y f x =与()y g x =的在公共点()00,x y 处的切线相同，先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用两直线重合列出等式即可求得b 的值，然后利用导数来研究b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得． 【详解】设曲线()y f x =与()y g x =的公共点为()00,x y ，因为26(),a f x x'=()24g x x a '=-，所以200624a x a x -=，则220230x ax a --=，解得0x a =-或3a ，又00x >，且0a >，则03x a =. 因为()()00f x g x =，所以2200046ln x ax b a x --=，2236ln 3b a a a =--(0)a >.设()h a b =，所以()12(1ln3)h a a a '=-+， 令()0h a '=，得13ea =.所以当103ea <<时，()0'>h a ； 当13ea >时，()0h a '<. 所以b 的最大值为2113e 3e h ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查导数的几何意义，考查逻辑思维能力，属于常考题. 13．-56. 【解析】 【分析】根据展开式的通项求解即可. 【详解】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项()821631881C C (1)rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭, 令55685,(1)56r T C x x ==-=-.故答案为：56- 【点睛】本题主要考查了二项展开式求指定项的系数问题,属于基础题. 14．2 【解析】 【分析】由1cos602m n m n m n ︒⋅==u v v 及||1m =u v ，2222||()2m n m n m mn n -=--=+u v v u v v u v u vv v ，设||n x =，列出方程求得||n v的值.【详解】因为已知向量m u v ，n v 的夹角为60︒，且||1m =u v ，所以1cos602m n m n m n ︒⋅==u v v ，设||n x =，所以22222||()213m n m n m mn n x x -=--+=-==+u v v u v v u v u vv v ， 即220x x --=，解得2x =或1x =-（舍去）， 故||2n =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量的模，考查运算求解能力，属于常考题. 15．4. 【解析】 【分析】根据圆的性质与抛物线的定义列式求解即可. 【详解】∵OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切,∴OFM ∆的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径. ∵圆的面积为9π,∴圆的半径为3, 又∵圆心在OF 的垂直平分线上,||2p OF =,∴3,424p pp +==.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的运用,属于基础题. 16．112n-【解析】 【分析】将112n n n a a a ++=-变形为121n n a a +=+，由11112n n n a b a +++-=+211221n n a a -+=++1122n n a a -=+12n b =可得数列{}n b 为等比数列，求出n S 即可.【详解】 由条件得121n n a a +=+， 则11112n n n a b a +++-=+211221n n a a -+=++1122n n a a -=+12n b =， 且112b =，故数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列， 则11112211212nn nS ⎛⎫-⎪⎝⎭==--.故答案为：112n -. 【点睛】本题考查利用数列的递推式求等比数列前n 项和，属于常考题. 17．（1）3A π=；（2）ABC S ∆=【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, 故3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,两边同时平方可得22242||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,故2228c b bc =++.因为2b c =,所以2,4c b ==. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题. 18．（1）35；（2）填表见解析，没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【解析】 【分析】（1）由题可知共有2615C =个基本事件，“运动达人”的可能结果为1142229C C C ⋅+=个，求得概率即可；（2）根据题意列出22⨯列联表，代入公式计算结果，然后判断即可. 【详解】（1）每周运动的时长在[20,25)中的男生有4人，在[25,30]中的男生有2人，则共有2615C =个基本事件，其中[25,30]中至少有1人被抽到的可能结果有1142229C C C ⋅+=个，所以抽到“运动达人”的概率为93155=； （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人； 每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人. 可得下列22⨯列联表：2280(26241416)40404238K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯20006 6.635399=<<， 所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关. 【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题. 19．（1）证明见解析；（2）30︒. 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，先证PO AC ⊥，再证PO OB ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接PO ，OB ，因为ABC V 是正三角形， 所以OB AC ⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥.在POB V 中，2PO =，OB =4PB =， 所以222PO OB PB +=， 所以PO OB ⊥，因为OB AC O =I ， 所以PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABC .（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知(0,2,0)A -，B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，240,,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,0)AB =u u u r，840,,33AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =v，所以2084033AB n y AM n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩v v ，令x =3,6)n =-v.取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =u v， 记二面角M AB C --的平面角为θ，||cos ||||m n m n θ⋅==， 易知θ为锐角，所以二面角M AB C --为30︒. 【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20．（1）22142y x +=；（2）直线l的方程为2y =±.【解析】【分析】（1）由已知可得，椭圆经过点(1,，列出方程组22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，求得a 和b 的值即可； （2）设直线l的方程为y m =+，与椭圆2222:1y x C a b+=联立得：22440x m ++-=，进而得到||AB =2=，又点M 到AB 的距离d =，故1||2MAB S AB d =⋅V ，当2m =±时，面积最大，求出直线方程即可. 【详解】（1）由已知可得，椭圆经过点(1,，由22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得2,a =b = 故椭圆C 的方程为22142y x +=. （2）设直线l 的方程为y m =+，A ，B 的坐标()11,x y ，()22,x y，由22142y my x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=， 则()228164m m ∆=--()2880m =->，所以(m ∈-.由12,x x +=21244m x x -=，得||AB ==又点M 到AB 的距离d =，所以 1||2MAB S AB d =⋅V=4=()22842m m +-≤ =当且仅当228m m =-，即2m =±时取等号，此时直线l 的方程为2y =±.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1,x 2x ，且1,x 2x 为方程2210ax x -+=的两根，122,x x a+=121x x a =，求出()()12f x f x +，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1）1()2f x ax x '=+-221,ax x x-+=(0,)x ∈+∞.①当0a =时，21()x f x x-+'=.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 即函数()f x 只有一个极大值点12，无极小值点. ②当01a <<时，440a ∆=->，令()0f x '=，得1x a±=.当x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，()0f x '>， 所以()f x在,⎛ ⎝⎭⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；当x ∈⎝⎭时，()0f x '<， 所以()f x在11,a a ⎛+ ⎝⎭上单调递减. 即函数()f x有一个极大值点1a，有一个极小值点1a. ③当1a ≥时，440a ∆=-≤，此时()0f x '≥恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点.综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点；当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点；当1a ≥时，()f x 没有极值点.（2）由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1,x 2x ，且1,x 2x 为方程2210ax x -+=的两根， 即122,x x a+=121x x a =， 所以()()()()2212121212ln 232a f x f x x x x x x x +=++-++21424ln 32a a a a a⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭ 2ln 2a a=--+. 令2()ln 2,g a a a=--+(0,1)a ∈， 则22122()0a g a a a a -'=-+=>恒成立， 所以()g a 在(0,1)上单调递增，所以()(1)ln1220g a g <=--+=，即()()120f x f x +<.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用函数的单调性证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.22．（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】【分析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程； （2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解.【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=， 因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=， 故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】【分析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解.【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <； 由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<. 故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-.（2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <，由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-.因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-， 所以a 的取值范围为(2,1)--.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。