自由项为分段函数的二阶线性方程初值问题的解
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法
二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。
这就是所谓的边值问题。
最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。
二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。
微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。
进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。
在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。
对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma 。
这是著名的牛顿第二定律，其中，F 表示力，m 表示物体的质量，而a 表示物体运动的加速度。
由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程02=+''y y ω如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况⎩⎨⎧='==+''βαω)0(,)0()(2y y x f y y 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。
求解上面方程需要用常数变易法。
先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。
一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解简化的（源函数为零）的方程：0)()(=+'x ry x y由分离变量：ry dxdy-=，→ rdx y dy -= 积分：c rx y +-=ln ，→ )exp()(rx C x y -=应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即)exp()()(rx x u x y -=求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入化简前的方程，得等式)()exp()(x f rx x u =-'，→ )()exp()(x f rx x u ='积分，得C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。
二阶线性微分方程理论及解法
2013-8-21
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 ① 和它的导数只差常数倍, 所以令①的解为 y e r x ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r 2 pr q ) e r x 0 2 ② r pr q 0 称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
代入 y p y q y f (x) 得
e x [ Q ( x) (2 p)Q ( x) ( 2 p q)Q ( x)] e x Pm ( x)
化简得 ( x) (2 p)Q ( x) ( 2 p q)Q ( x) Pm ( x) Q
u 0
y ( C1 C2 x ) e
r1 x
34-15
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3. 当 p 2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
此时微分方程有两个复数解:
在第十三章 中介绍
y1 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e ( i ) x e x (cos x i sin x ) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:
2013-8-21
f ( x) e x Pm ( x) 型 1、 （其中 为实数，Pm (x) 为 m 次多项式）
设特解为 y* e x Q ( x) , 其中 Q (x) 为待定多项式, 则
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ]
e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ] y*
y ( n) a1 y ( n 1) an 1 y an y 0 ( ak 均为常数 )
特征方程:
(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文
二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
04第四讲微分方程
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n yf x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题. 一、基本概念问题1 微分方程的基本概念答 考纲要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数. 微分方程的解：满足微分方程的函数. 微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件（初始条件和边界条件）. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）. 二、一阶微分方程问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyf x dx h y =⎰⎰.2.齐次型方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()du u x u dxϕ+=并求解. ▲可化为齐次型的方程：11111()a b dy ax by c dx a x b y c a b++=≠++. 解法 令x X h =+，y Y k =+，方程化为11111()()dy dY aX bY ah bk c dx dX a X b Y a h b k c ++++==++++， 再令1110ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ 求出h ，k ，这样方程就化为齐次型方程：11dY aX bYdX a X bY +=+. 3.一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()e P x dx y C -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()e P x dxy C x -⎰=，代入方程求出()C x . 其通解公式为()()e (()e )P x dx P x dxy Q x dx C -⎰⎰=+⎰▲一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的一个特解.4.伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较） 解法 令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.例题1 1.y y x y x +-='22 【C x xyx +=>ln arcsin,0】2.)ln (ln x y y y x -=' 【1e Cx y x +=】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】 5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.)(2x y y ϕ=-'，2,1,()1, 1.x x x ϕ<⎧=⎨>⎩ 求连续函数)(x y y =，使0)0(=y .【2222e 1,e e ,x x x y -⎧-=⎨-⎩11>≤x x 】7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 8.4252+---='y x x y y 【)2(13-=-++-y C y x y x 】 9.当0→∆x 时，α是比x ∆高阶的无穷小，α++∆=∆21x xy y ，π=)0(y ，求)1(y .【4ππe 】10.设e xy =是微分方程()xy P x y x '+=的一个解，求此微分方程满足条件ln20x y ==的特解. 【1e 2e ex x xy -+-=-】11.作变量替换2y u x =，求解x y y x y dx dy 2tan 212+=.【Cx xy =2sin 】 例题2 综合题 1.设()f x 为连续函数，⑴求初值问题0(),0x y ay f x y ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩的解()y x ，其中a 为正常数；【0e ()e x ax at y f t dt -=⎰】⑵若()f x k ≤（k 为常数），证明：当0x ≥时，有()(1e )ax ky x a-≤-. 2.设()()()F x f x g x =，其中函数()f x ，()g x 在(,)-∞+∞内满足以下条件：()()f x g x '=，()()g x f x '=，且(0)0f =，()()2x f x g x e +=.⑴求()F x 所满足的一阶微分方程；⑵求出()F x 的表达式. 【⑴2()2()4xF x F x e'+=；⑵22()xx F x ee -=-】3.设()f x 为可微函数，且对任意,x y 恒有()e ()e ()yxf x y f x f y +=+，(0)2f '=，求()f x 满足的一阶微分方程，并求()f x .【()()(0)0,(0)2x f x f x e f f '⎧-=⎨'==⎩；()2xf x xe =】习题1.微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .【06-1-2，e xy Cx -=】 2.微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =-的解为 .【05-1-2，11(ln )33y x x =-】3.微分方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为 .【05-3-4，2xy =】4.微分方程3()20y x dx xdy +-=满足6(1)5y =的特解为 .【04-2，315y x =+ 5.微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解是 .【94-3，4(4)x y Cx -=】6.微分方程22x y xy y '+=满足(1)1y =的特解为 .【93-1-2，221xy x=+】 7.微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足初始条件11x y ==的特解为y = .【07-3-4，8.微分方程2(e )0xy x dx xdy -+-=的通解为 .【08-2-4，(e )xy x C -=-】 9.设非齐次线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=有两个不同的解12(),()y x y x ，则该方程的通解为 .【06-3-4，112()[()()]y x C y x y x +-】三、二阶可降阶的微分方程问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程一般形式(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，数学一、数学二的考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1.()y f x ''=型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2.(,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dp p f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）； ⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例题1.求微分方程(ln ln )xy y y x ''''=-的通解.解 令y p '=，则dp y dx''=， 方程化为ln dp p p dx x x =， 再令p u x =，p xu =，dp duu xdx dx =+， ln du u x u u dx+=，(ln 1)du dxu u x =-⎰⎰，ln(ln 1)ln ln u x C -=+，1ln 1u C x -=，11e C x u +=，11e C x p x +=，11e C x y x +'=， 1111112111111e [e e ]C x C x C x y xd x C C C C +++==-+⎰ 2.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+. ▲二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解. 3.物体A 从)1,0(出发沿y 轴正向运动，速度大小为v ，另一物体B 从)0,1(-同时出发，始终指向物体A ，速度大小为v 2，建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件. （93-1）解 【利用速度的方向和大小建立方程】设物体B 的运动轨迹方程为()y y x =，t 时刻，物体B 位于(,)x y ，物体A 位于(0,1)vt +，依题意，有1dy y vtdx x--=，即1dyx y vt dx=--，对x 求导，得22dy d y dy dt x v dx dx dx dx +=-，220d y dt x v dx dx +=， ①又xs -=⎰，对t 求导，得2ds dt v dt dx ==⇒=，代入①，得0xy ''=，初始条件为(1)0y -=，(1)1y '-=. 习题1.微分方程03='+''y y x 的通解为 .【221xC C y +=】2.求初值问题2(1)2,(0)1,(0)3x y xy y y '''⎧+=⎨'==⎩的解.【y =】3.解方程20yy y '''-=.【12C xy C e=】4.求初值问题0)1(,1)1(,12='='+=''y y y y y 的解.【)(2111xx e e y --+=】 5.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.【07-2，322133y x =+】四、二阶常系数线性微分方程问题4 关于线性微分方程解的性质、解的结构.答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++=， 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 二阶线性微分方程一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*ky 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1nkk y=∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2.线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例题 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r xr xy C C =+ 两个相等实根12r r = 112()e r xy C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]xy C x C x αββ=+▲考纲还要求会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解. 读者要熟练掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积时特解的形式.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k xm y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]xm l f x P x x P x x λωω=+，则令 **e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.例题1.求022=-'-''xey y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求2sin y a y x ''+=的通解，其中0>a .【122sin 1,cos sin 1x a y C ax C ax a ≠=++-，x x x C x C y a cos 21sin cos ,121-+==】 3.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】4.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 【*2(cos sin )y ax bx c x A x B x =++++】5.设()x ϕ是方程0y y ''+=的满足条件(0)0y =，(0)1y '=的解，证明()()xy t f xt d t ϕ=-⎰是方程()y y f x ''+=的满足条件(0)(0)0y y '==的解.习题1.微分方程562xy y y e -'''++=的通解为 .【2312e e e xx x y C C ---=++】2.微分方程244ex y y y -'''++=的通解为 .【22121()ee 2xx y C C x x --=++】 3.微分方程24e xy y ''-=的通解为 .【222121e e e 4xx xy C C x -=++】 4.函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（）.【06-2，D 】（A ）23e x y y y x '''--=（B ）23e xy y y '''--= （C ）23e x y y y x '''+-=（D ）23e xy y y '''+-=5.在下列微分方程中，以123e cos 2sin 2xy C C x C x =++为通解的是（）.【08-1-2，D 】（A ）440y y y y ''''''+--= （B ）440y y y y ''''''+++=（C ）440y y y y ''''''--+= （D ）440y y y y ''''''-+-= 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？（数学一） 答 令,ln tx e t x ==，则dy xy Dy dt'=，222(1)d y dy x y D D y dt dt''=--，代入欧拉方程，将方程化为二阶常系数线性方程求解.例题 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221xC x C y +=】 五、其它问题8 如何利用变量替换化简方程？ 例题1.利用变量替换xu y cos =将xe x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求原方程的通解.【xe x C x x C y xcos 5sin cos 2cos 21++=】 解 【函数替换，关键是求出,y y '''】sec cos uy u x x==，sec sec tan y u x u x x ''=+， 23sec 2sec tan sec tan sec y u x u x x u x x u x '''''=+++，代入原方程，得4e xu u ''+=.（下略） ▲cos cos sin cos uy u y x u y x y x x''=⇒=⇒=- cos 2sin cos u y x y x y x '''''⇒=--，再代入原方程.2.利用变量替换)0(cos π<<=t t x 将方程0)1(2=+'-''-y y x y x 化简，并求2,100='===x x y y的特解 【05-2，212x x y -+=】解 【自变量替换，关键是求出,y y '''】1sin dy dy dt dyy dx dt dx t dt'===-，221()()sin d y d dy d dy dt y dx dx dx dt t dt dx''===-2222223cos 111cos ()()sin sin sin sin sin t dy d y d y t dy t dt t dt t t dt t dt =--=-， 代入原方程，得220d yy dt+=.（下略）问题9 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？ 答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例题1.设函数()f x 可导，且满足0()cos 2()sin 1x f x x f t tdt x +=+⎰，求()f x .【()cos sin f x x x =+】 2.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f .解 0()sin ()()x xf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴两边对x 求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-， 由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.3.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式1()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，⑴求()f x '；【e ()1xf x x -'=-+】⑵证明：当0x ≥时，e()1xf x -≤≤.解 ⑴ 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得(0)1f '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.⑵当0x ≥时，0e ()(0)()1()1t x x f x f f x f t dt dt t -'-=-==-+⎰⎰， 0e ()11tx f x dt t -=-+⎰，其中00e 0e 1e 1t x x t x dt dt t ---≤≤=-+⎰⎰，故当0x ≥时，e ()1xf x -≤≤.4.设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对任意,(0,)x t ∈+∞满足条件111()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰，求)(x f .【01-4，5()(ln 1)2f x x =+】5.设函数()f x 在[0,)+∞上可导，(0)0f =，且其反函数为()g x ，若()20()e f x x g t dt x =⎰，求)(x f .【01-2，()(1)e 1x f x x =+-】6.设函数()f x 在[0,]4π上单调、可导，且()10cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰，求)(x f .【07-2，()ln(sin cos )f x x x =+】 7.设连续函数)(x f 满足1()()(1)f tx dt nf x n =≠⎰，求)(x f .【1()n nf x C x-=】8.求连续函数)(x f ，使它满足1()()sin f tx dt f x x x =+⎰.【()cos sin f x x x x C =-+】六、微分方程的应用问题10 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）.例题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1,)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4】 解 ⑴【利用导数的几何意义建立微分方程】 曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'.由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1,)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,sin ,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰⎰. 4===⎰.3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x =≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】 质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-， 依题意dv kv m dt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即e kt m v C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离0700()700ee 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）5.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例系数为0k >.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆全部融化需要多少时间？【6小时】 解 设雪堆t 时刻的半径为r ，体积323V r π=，侧面积22S r π=，则dV kS dt =-（注意符号），即222323dr r k r dtππ⋅=-⋅，即dr k dt =-，初始条件为00t r r ==，解得0r kt r =-+.由318t t VV ===，解得016k r =，0016r r t r =-+，雪堆全部融化时，0r =，6t =. 6.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ，在0t =时，已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t ，已掌握新技术的人数为()x t （连续可微变量），其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，比例常数0k >，求()x t .【000kNtkNtNx e x N x x e=-+】 7.有一平底容器，其内侧壁是由()(0)x y y ϕ=≥绕y 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求，当以33m /min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以2m /min π的速率均匀扩大.（假设注入液体前，容器内无液体）⑴根据t 时刻液面的面积，写出t 与()y ϕ之间的关系；（2()4t y ϕ=-）⑵求曲线()(0)x y y ϕ=≥的方程.（03-2，62yx eπ=）解 ⑴t 时刻液面的面积2()4y t πϕππ=+，故2()4t y ϕ=-； ⑵t 时刻容器内液体体积203()y t y dy πϕ=⎰，对y 求导，得23()dty dyπϕ=，即26()()()y y y ϕϕπϕ'=，()()6y y πϕϕ'=，初始条件为(0)2ϕ=，解得6()2yy e πϕ=，所求曲线()(0)x y y ϕ=≥的方程为62(0)yx e y π=≥.8.设有一高度为()h t （t 表示时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时？（01-1，100t =）9.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h ，上底面直径为2a ，要求桥墩在任意水平截面上所受的平均压强为常数p ，求桥墩的形状.解 建立坐标系如下：以桥墩下底面直径为x 轴，桥墩中心轴为y 轴，设桥墩母线方程为()x x y =，[0,]y h ∈.考察中心轴上点y 处水平截面上所受的压力，有222()()hyp x y p a g x y dy ππρπ=+⎰，方程两边的对y 求导，得22()()dxp x y g x y dyπρπ=-，初始条件为()x h a =，解得()2g y h px aeρ--=.10.桶内有清水100升，现在以每分钟3升的速度向桶内注入浓度为每升2克的食盐水，同时以每分钟4升的速度流出混合液，求30分钟后桶内液体的含盐量.解 【用微元法建立方程】设t 时刻桶内液体的含盐量()x x t =，在[,]t t dt +内桶内液体的含盐量的改变量64100xdx dt dt t=-⋅-，即46100dx x dt t+=-，初始条件为00t x ==. 七、差分方程（数学三） 内容提要1.概念 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-，二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+，2.一阶常系数线性差分方程：1()t t y py f t ++=解法 特征方程0r p +=，特征根r p =-，对应齐次方程10t t y py +-=通解为()tt y C p =-，设*()k tt m y t Q t b =，0,1,b pk b p≠⎧=⎨=⎩非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*()t t t y C p y =-+.例题1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】 2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)ta a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2tt y C t =+-】解 先解特征方程10r -=，得特征根1r =，齐次方程的通解为1tt y C C =⋅=， 令非齐次方程的特解为*()2tt y at b =+，代入原方程，得1[(1)]2()22t t t a t b at b t +++-+=，2at a b t ++=，比较同次幂系数，得1,2a b ==-，特解为*(2)2tt y t =-， 所求通解为(2)2tt y C t =+-.4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .解 先解特征方程10r -=，得特征根1r =，齐次方程的通解为1tt y C C =⋅=， 令非齐次方程的特解为*()t y t at b =+【因为右端项为1tt ⋅，而1是特征根】，代入原方程，得22(1)(1)()a t b t at bt t +++-+=，2at a b t ++=，比较同次幂系数，得11,22a b ==-，特解为*21122t y t t =-， 所求通解为21122t y C t t =+-.5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126tt y C t =-+-】 解 先解特征方程2100r +=，得特征根5r =-，齐次方程的通解为(5)tt y C =-， 令非齐次方程的特解为*t y at b =+【因为右端项为51tt ⋅，而1不是特征根】，代入原方程，得2[(1)]10()5a t b at b t ++++=，122125at a b t ++=，比较同次幂系数，得55,1272a b ==-，特解为*51()126t y t =-， 所求通解为51(5)()126tt y C t =-+-.6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
重庆文理学院学报(自然科学版)2007年(第26卷)总目次
邓 于， 张家伟 ， 吴
强（ １—０ ５ ３）
泥浆沥清过程熵增物理机 制研 究… … 田小平（ １—０ ６ ５） 高斯束谐振系统对遗迹 高频 引力 波方向的选择效 应 …
… … … … … … …
罗 万 成 （ 一ｏ ４ ４ ｏ）
带斯塔克势的非线性 Ｓｈ￣ ｉｇｒ ｃ ｒ ｎｅ 方程解 的不稳定性 ｄ
… … … … … … … … … …
集值映射 的广义梯度 与弱有效解 ………………………
… … … … … … …
朱志勇 ， 董恩梅 （ ０ ５ １ ２）
阳南宁， 付守贵 ， 赵桂 芝（ —０ ９ ６ ０） 孙亚 弟， 薛会琴 ， 马国顺 （ —０ ２ ６ １）
及 万 会 ， 宝骊 （ 一Ｏ ７ 黑 ６ １）
… … … … … … … … … …
孙 慧 玲 ， 秀梅 （ —０ ８ 何 ５ １）
Ｇ ｅｎ ｒ 公式及其证 明 ｅ
……… 李
玲， 胡学刚（ —０ ０ ５ ４ ）
廖 正琦 ， 贺清碧 （ １—０ １ ０）
毛 一 波 （ —０ ９ １ １）
正余弦 函数 的麦克劳林级数 的一种 简易推导法
… … … … … … … … … … … … … …
二元 函数极限求法 中一种误解 的说 明 …………………
… … … … … … … … … … 一 … … … ・
王 海 萍 （ —０ １ １ ２）
赵 清贵 （ —０ ６ ６ ０）
一
种计算 Ｃ ｎ ｒ 分集 盒维数的有效方法 ａｔ 三 ｏ
… … … … … … … … … … … … … …
候青 霞， 张德生 ， 武新 乾 ， （ 等 ６—０ １ ４ ）
第九章二阶线性常微分方程级数解法
a1
得到l 阶勒让德方程解：
y
a2k x2k
a x2k1 2k 1
a0y0 ( x) Nhomakorabeaa1 y1( x)
y0
(x)
1
(l)(l 1) 2!
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
...
(2k 2 l)(2k 4 l)
(l)(l 1)(l 3) (2k )！
程在点 z0的邻域 z z0 R 内的解可以表示成泰勒级数的
形式:
w(z) an (z z0 )n，
n0
a0 , a1 , …ak , … 待定系数
级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。
初始条件： w(z0 ) C0, w '(z0 ) C1.（C0 , C1为任意复常数）
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2
0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2
0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2
2r
dR dr
l(l
1) R
一类变系数线性微分方程初值问题的连续解
ｆ ＋ 。 ｃ
（）“ ｅ Ｊ
， ６ 。 ＜， ≤
ｌ ｆ ［ ） ｆ ｅ ｅ 』
在 分 段 点 ＝ ｂ处 连 续 ， 令 可
＋ ］≤ ｃ， ６
（ ｅ ） ｄ］ ｘ
【 键 词 】 系数 线 性 微 分 方 程 ； 由项 ； 段 函 数 ； 关 变 自 分 初
－
・
．
．
ｙ＝ 一 ｛ （） ｅ』 ｆ ｅ 加
（ ＋ （ ＋ ） 卢 ）
［ （ｅ ｄＩ｝ ＿ 』 ｆ ） ］＝ ｘ ｏ
＝ｙ。 ｅ
』
。一 ＋一 ｆ ｅ ｅ』 ｅ』 （） 』
ｆ （
ｙ ‘
．
Ｊ ｒ（ （ ］ ［ ！［ ）２ ） （ 口 ！
。＿ 囊下 ▲． 。
一
研 究
姆 ＊
龚变 暴数 线 性漱 笏 初儋 阐 方程 题 连 续 解
◎赵 玉 海 （ 北 民族 师 范 学 院数 学 与计 算 机 系 河 ０７ ０ ） ６ ００
【 摘要 】 在应用数学、 力学及物理学 中极为重 要的一 阶、
二 阶 变 系数 线 性 微 分 方 程 只 有 在 特 殊 情 况 下 才 能够 求 出用 初 等 函数 表 示 的 解 ， 文 探 讨 这 类 方 程 当 自 由 项 为 分 段 函 本 数 时求 满 足 初 始 条 件 连 续 解 的 方 法 ， 得 出用 分 段 函 数 表 并
、
定 理 及 其 证 明
１ ．自由 项 为 分 段 函 数 的 一 阶 变 系 数 线 性微 分 方 程 初 值
问 题 的 连 续 解
定 理 １ 一 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 初 值 问题
数学物理方法_第3章 二阶线性常微分方程的幂级数解法本征值问题
y ( x) 2 1a2 3 2a3 x (k 2)( k 1)ak 2 x k
把以上结果代入方程，比较系 数得 2 2
2 1a2 a0 0, 3 2a3 a1 0, 4 3a4 2 a2 0, 5 4a5 2 a3 0,
(2k 1)!
a1.
于是方程的级数解为
1 1 1 y( x) a0 1 ( x)2 ( x) 4 (1) k ( x) 2 k 4! (2k )! 2! 2 k 1 a1 1 1 3 5 k ( x) x ( x) ( x) (1) 3! 5! (2k 1)! a a0 cos x 1 sin x.
n 1
n 1
cn1 (n 1)( x x0 )n ,
n 0
可将式（3.1.4）写成
c
n 0 n n
n ( n 2)( n 1)( x x ) [ ( k 1) a c ]( x x ) n2 0 n k k 1 0 n n 0 k 0
y( x) an x n
n 0
(3.3.2)
于是
y( x) nan x
n 1 n 1
(k 1)ak 1 x k ,
k 0
y( x) n(n 1)an x
n2
2 k 0
n2
(k 2)(k 1)ak 2 x k ,
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 y1 ( x) x x x 3! 5! (2k 1 l )(2k 3 l ) (1 l )(l 2)(l 4) (l 2k ) 2k 1 x (2k 1)!
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧
一、基本原理
二、求解步骤
1. 解本征方程
方程：$y^{\prime \prime}+Py^{\prime}+Qy=0$
$其中P,Q$分别为常数
首先，把方程化为本征方程：$x^2+Px+Q=0$
解本征方程：$x_{1,2}=-\frac{P}{2}\pm \sqrt{(\frac{P}{2})^2-Q}$，即特征根为：$x_{1,2}＝x_1，x_2$
2. 求通解
根据特征根求通解，$y=c_1e^{x_1t}+c_2e^{x_2t}$
其中$c_1，c_2$为任意常数，$x_1，x_2$为方程的特征根。
3. 求特解
从特征根的性质可以知道：
（1）当$x_1＝x_2$时，此方程有冗余解，即特解形式为：
$y=e^{x_1t}(A+Bt)$
（2）当$x_1＝-x_2$时，此方程有特解形式为：$y=e^{x_1t}(At+B)$（3）当$x_1$及$x_2$不相等时，此方程没有特解
4. 求积分常数
将我们从步骤2和3中得到的解带入原方程，得到
$b_1=\frac{e^{x_1t}}{x_1-x_2}$，$b_2=\frac{e^{x_2t}}{x_2-x_1}$把$b_1,b_2$代入积分常数的公式，$C_1=\frac{y_1(0)-
b_1y_2(0)}{b_1-b_2},C_2=\frac{y_2(0)-b_2y_1(0)}{b_2-b_1}$即可得到积分常数$C_1,C_2$。
2.2二阶常系数线性微分方程的解法
13
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
1. f (x) Pm(x)ex ( 其中 pm ( x)是 x 的 m 次多项式 )
这时方程②为 ay by cy Pm ( x)ex
③
可以设 y Q( x)ex ( 其中Q( x) 是多项式 ) 。
例 1．求方程 y 5 y 6 y 2x 3 的特解。
解： f ( x) 2x 3 (2x 3)e0x ，
属 f ( x) Pm ( x)e x 型（ m 1, 0 ），
特征方程为 r2 5r 6 0 ， r1 2 ， r2 3 ，
∵ 0 不是特征根，
∴设特解为 y Q1( x)e0x Aox A1 ，
得 erx (ar 2 br c) 0 ，但 erx 0 ，故有
ar 2 br c 0 ，
②
2
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
ar 2 br c 0 ，
②
若 r 是一元二次方程②的一个根，则 y erx 就是 方程①的一个特解。
方程②叫做方程①的特征方程。
按特征方程的两个根 r1, r2 的三种可能情况： 1． r1 r2 是两个不相等的实根； 2． r1 r2 是两个相等的实根；
9
2.2 二阶常系数线性微分方程的解法
高阶常系数线性齐次方程的解法 n 阶常系数线性齐次方程为
a0 y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ， ③
其特征方程为 a0r n a1r n1 an1r an 0 . ④
方程②是一个一元 n 次方程， 有 n 个根。类似二阶常系
Q( x) 应为 m 次多项式 , Q( x) 应为 m 1 次多项式 ,
二阶线性微分方程理论及解法
f (x) 0 ，就称为对应的 n 阶常系数齐次线性微分方程．
现在讨论二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题． 设二阶常系数齐次线性微分方程为
式中 p,q 为常数．
y py qy 0 ，
(7.3.6)
•？-9
根据定理 7.3.1，我们只要求出方程(7.3.6)的两个线性无关的特解， 就可以得到它的通解．
y y1(x) y2 (x)
是二阶非齐次线性微分方程 y P(x) y Q(x) y f (x) 的一个特解．
•？-6
性质 7.3.3 如果函数 y1(x) 与 y2(x) 是二阶非齐次线性微分方程 y P(x) y Q(x) y f (x) 的两个特解，那么
y y1(x) y2 (x),
y P(x) y Q(x) y 1 f1(x) 2 f2 (x) 的特解，其中1,2 为任意常数（也可以是复数）． 特别地 y*(x) y1*(x) y2*(x) 是 y P(x) y Q(x) y f1(x) f2 (x) 的特解．
•？-7
例 7.3.1 已知微分方程方程 y P(x) y Q(x) y f (x) 有三个解 y1 x ，
1 y1(x) 2 y2 (x) n yn (x) 0 ， 就称 y1(x), y2(x), , yn (x) 在区间 I 上线性相关；否则称为线性无关．
例如，因为1 cos 2x 2sin2 x 0 ，所有函数1,cos2x,sin2x 在 (, ) 内是线性相关的．又如函数1,x, x2 在任何区间(a,b) 内线性无关．事实上， 由 1 2x 3x2 0, x(a,b) 知，1 2 3 0 ．
定义 7.3.1 形如
y(n) pn1(x) y(n1) p1(x) y p0(x) y f (x)
教学备课解分段函数方程
教学备课解分段函数方程分段函数是高中数学中常见的问题类型之一，在解分段函数方程时，我们需要将函数分段进行讨论，找出每个区间的解，并将解合并得到最终的解集。
本文将介绍解分段函数方程的步骤和技巧。
一、分析分段函数方程的定义域首先，我们需要确定分段函数方程的定义域，即确定自变量的取值范围。
对于分段函数方程来说，不同的区间可能存在不同的定义域。
例如，对于函数f(x) = {x + 1, x<2; x^2, x≥2}，第一个区间x<2的定义域为(-∞, 2)，第二个区间x≥2的定义域为[2, +∞)。
明确定义域有助于我们区分不同情况下的解。
二、分析分段函数的不同区间接下来，我们需要将分段函数方程拆解为不同的区间进行分析。
根据不同区间的定义域，我们可以将整个自变量的取值范围分为若干个子区间，然后在每个子区间内讨论函数的解。
例如，对于函数f(x) = {x + 1, x<2; x^2, x≥2}，我们可以将自变量的取值范围分为两个子区间：x<2和x≥2。
然后分别讨论这两个子区间内的解。
三、求解每个子区间的方程针对每个子区间，我们需要求解对应区间内的方程。
具体步骤如下：1. 对于x<2的情况，我们将函数f(x) = x + 1代入方程，得到x + 1 = 0，解得x = -1。
因此，在区间x<2内，方程的解为x = -1。
2. 对于x≥2的情况，我们将函数f(x) = x^2代入方程，得到x^2 = 0，解得x = 0。
因此，在区间x≥2内，方程的解为x = 0。
四、合并解集最后，我们将每个子区间的解集合并，得到最终的解集。
对于之前的例子，解集为{x = -1, x = 0}。
需要注意的是，在步骤三中，我们使用了等式解法来求解方程。
对于复杂的分段函数方程，我们可能需要运用其他解方程的方法，如配方法、因式分解或二次方程的根的性质等。
总结：解分段函数方程的关键在于将整个自变量的取值范围分为若干个子区间，然后在每个子区间内求解方程，最后将解集合并得到最终的解。
二阶微分方程类型及其解法
~
y ＝x2Qn(x)e αx
例 3.
d2y dy
(1)
＋5 ＋6y＝e 3x
dx2 dx
d2y dy
(2)
＋5 ＋6y＝3xe －2x
dx2 dx
d2y dy
(3)
＋α ＋y＝－(3x2＋1)e －x
dx2 dx
解 (1)因α＝3 不是特征方程 r2＋5r＋6＝0 的根，故方程具有形如
~
y ＝a0e 3x
决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)
方程(7.3)的特解形式，与方程右边的 f(x)有关，这里只就 f(x)的两种常见
一、f(x)＝pn(x)eαx
pn(x)是 n 次多项式，我们先讨论当α＝0 时，即当
f(x)＝pn（x
d2y dy dx 2 ＋p dx ＋qy＝pn(x)
[数学]二阶线性微分方程理论及解法
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f (x) 0 时, 称为二阶齐次线性微分方程； f (x) 0 时, 称为二阶非齐次线性微分方程.
复习: 一阶非齐次线性微分方程：y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
求特解 y *的方法 — 待定系数法
①根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
②代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
34-21
2019/9/6
1、f (x) e x Pm (x) 型 （其中 为实数，Pm (x) 为 m 次多项式）
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式, 则 y* e x[ Q (x) Q(x) ]
e x cos x
y2
1 2i
(
y1
y2
)
e
x
sin
x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
34-16
小结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0, 特征根：r1, r2
34-2
一、二阶齐次线性微分方程解的结构
2019/9/6
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次微分方程
y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. （解的叠加原理）
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得
几种常见的微分方程简介,解法
第十二章：微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x . 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=x d x y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5)把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )s i n c o s (s i n c o s 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dtx d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .§12. 2 可分离变量的微分方程观察与分析:1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数).2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为x d x dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx .(2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx .(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2).(5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xy y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ;第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解.例1 求微分方程xy dxdy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得x d x dy y21=, 两边积分得⎰⎰=x d x dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1,从而 2112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得x d x dy y21=, 两边积分得 ⎰⎰=x d x dy y 21,即 ln|y |=x 2+ln C ,从而 2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dt dM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM)(λ, 即 ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt .由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m -=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv , 1)l n (1C m t kv mg k+=--, 即 t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=), 将初始条件v |t =0=0代入通解得km g C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km g v --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy +++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy ++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan . 于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律.解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故 gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh .通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h g dt )200(262.02321--=π. 两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π, 其中C 是任意常数.由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π, 5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ. 因此 )310107(262.05335h h g t +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.§12. 3 齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程),(y x f dxdy =中的函数f (x , y )可写成 x y 的函数, 即)(),(xy y x f ϕ=, 则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程.1)(222-+=⇒-+=⇒x y x y dx dy x x y y dx dy . (2)2211y y x -='-不是齐次方程.2211x y dx dy --=⇒. (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0是齐次方程. x y y x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22. (4)(2x +y -4)dx +(x +y -1)dy =0不是齐次方程.142-+-+-=⇒y x y x dx dy . (5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x y x 是齐次方程. x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法:在齐次方程)(xy dx dy ϕ=中, 令x y u =, 即y =ux , 有 )(u dx du x u ϕ=+, 分离变量, 得xdx u u du =-)(ϕ.两端积分, 得⎰⎰=-xdx u u du )(ϕ. 求出积分后, 再用xy 代替u , 便得所给齐次方程的通解. 例1 解方程dx dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程可写成1)(222-=-=x y x y x xy y dx dy , 因此原方程是齐次方程. 令u x y =, 则 y =ux ,dxdu x u dx dy +=, 于是原方程变为12-=+u u dx du x u , 即 1-=u u dx du x . 分离变量, 得xdx du u =-)11(. 两边积分, 得u -ln|u |+C =ln|x |,或写成ln|xu |=u +C . 以xy 代上式中的u , 便得所给方程的通解 C xy y +=||ln . 例2 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求这旋转曲面的方程.解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L : y =y (x )(y >0)绕x 轴旋转而成, 光源在原点. 在L 上任取一点M (x , y ), 作L 的切线交x 轴于A . 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线. 由光学及几何原理可以证明OA =OM ,因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot , 而 22y x OM +=. 于是得微分方程22y x x y y +=-', 整理得1)(2++=yx y x dy dx . 这是齐次方程. 问题归结为解齐次方程1)(2++=y x y x dy dx . 令v y x =, 即x =yv , 得12++=+v v dy dv y v , 即 12+=v dydv y , 分离变量, 得y dy v dv =+12, 两边积分, 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C y v v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-Cyv C y , 以yv =x 代入上式, 得)2(22C x C y +=. 这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线, 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+. 这就是所求的旋转曲面方程. .例3 设一条河的两岸为平行直线, 水流速度为a , 有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O , 设鸭子的游速为b (b >a ), 且鸭子游动方向始终朝着点O , 已知OA =h , 求鸭子游过的迹线的方程. 解 取O 为坐标原点, 河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸. 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ), 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v , 故有y x v v dy dx =. 另一方面, ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v , ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v . 因此yx y x b a v v dy dx y x ++-==1)(2, 即y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 问题归结为解齐次方程y x y x b a dy dx ++-=1)(2. 令u y x =, 即x =yu , 得 12+-=u ba dy du y , 分离变量, 得dy by a u du -=+12, 两边积分, 得 )ln (ln arsh C y ab u +-=, 将yx u =代入上式并整理, 得])()[(2111b a b a Cy Cy C x +--=. 以x |y =h =0代入上式, 得hC 1=, 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211b a b a hy h y h x +--=, 0≤y ≤h . 将y x u =代入)ln (ln arsh C y ab u +-=后的整理过程: )ln (ln arsh C y ab y x +-= a b Cy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba b Cy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111b b Cy Cy C x +--=⇒.§12.4 线性微分方程一、 线性方程线性方程:方程)()(x Q y x P dxdy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-)2(⇒021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程.(3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程.(4)y x dxdy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法:齐次线性方程0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P ydy )(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程y dxdy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dx x P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得 ⎰='dx x P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dx x P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u 21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为 ])1(32[)1(232C x x y +++=. 解: 这里12)(+-=x x P , 25)1()(+=x x Q . 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P , 2)1l n (2)()1(+==⎰+-x e e x dx x P , 2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P , 所以通解为])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q e y dx x P dx x P +++=+⎰⎰=⎰-. 例3 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dt di L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dt di LE , 即 LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t L E t Q m s i n )(ω=. 由通解公式, 得])([)()()(C dt e t Q e t i dt t P dt t P +⎰⎰=⎰-) s i n (C dt e t L E e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω )s i n (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R m Ce t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 LR LE C m ωω+=, 因此, 所求函数i (t )为) c o s s i n ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 二、伯努利方程伯努利方程: 方程n y x Q y x P dxdy )()(=+ (n ≠0, 1) 叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+, 是伯努利方程. (2)5xy y dxdy +=, ⇒5xy y dx dy =-, 是伯努利方程. (3)x y y x y +=', ⇒11-=-'xy y x y , 是伯努利方程.(4)x xy dxdy 42=-, 是线性方程, 不是伯努利方程. 伯努利方程的解法: 以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n=+-- 令z =y 1-n , 得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+. 例4 求方程2)(ln y x a xy dx dy -+的通解. 解 以y 2除方程的两端, 得x a y xdx dy y ln 112=+--, 即 x a y x dx y d ln 1)(11=+---, 令z =y -1, 则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-. 这是一个线性方程, 它的通解为 ])(l n 2[2x aC x z -=.以y -1代z , 得所求方程的通解为1])(l n 2[2=-x a C yx .经过变量代换, 某些方程可以化为变量可分离的方程, 或化为已知其求解方法的方程. 例5 解方程yx dx dy +=1. 解 若把所给方程变形为y x dydx +=, 即为一阶线性方程, 则按一阶线性方程的解法可求得通解. 但这里用变量代换来解所给方程. 令x +y =u , 则原方程化为u dx du 11=-, 即uu dx du 1+=.分离变量, 得dx du u u =+1, 两端积分得u -ln|u +1|=x -ln|C |.以u =x +y 代入上式, 得y -ln|x +y +1|=-ln|C |, 或x =Ce y -y -1.§12. 5 全微分方程全微分方程:一个一阶微分方程写成P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0形式后, 如果它的左端恰好是某一个函数u =u (x , y )的全微分:du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy ,那么方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0就叫做全微分方程. 这里),(y x P x u =∂∂, ),(y x Q yu =∂∂, 而方程可写为du (x , y )=0.全微分方程的判定:若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数, 且xQ y P ∂∂=∂∂, 则方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0是全微分方程, 且du (x , y )=P (x , y )dx +Q (x , y )dy则 u (x , y )=C ,即 )),(( ),(),(00000G y x C dx y x Q dx y x P yy x x ∈=+⎰⎰.是方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的通解例1 求解(5x 4+3xy 2-y 3)dx +(3x 2y -3xy 2+y 2 )dy =0.解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236, 所以这是全微分方程. 取(x 0, y 0)=(0, 0), 有 ⎰⎰+-+=y x dy y dx y xy x y x u 020324)35(),( 332253123y xy y x x +-+=.于是, 方程的通解为C y xy y x x =+-+332253123.积分因子:若方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0不是全微分方程, 但存在一函数μ=μ(x , y ) (μ(x , y )≠0), 使方程μ(x , y )P (x , y )dx +μ(x , y )Q (x , y )dy =0是全微分方程, 则函数μ(x , y )叫做方程P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0的积分因子.例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解:(1)ydx -xdy =0;(2)(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0.解 (1)方程ydx -xdy =0不是全微分方程.因为2)(y x d y y d x y xd -=, 所以21y 是方程ydx -xdy =0的积分因子, 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程, 所给方程的通解为C y x =. (2)方程(1+xy )ydx +(1-xy )xdy =0不是全微分方程.将方程的各项重新合并, 得(ydx +xdy )+xy (ydx -xdy )=0,再把它改写成0)()(22=-+y dy x dx y x xy d , 这时容易看出2)(1xy 为积分因子, 乘以该积分因子后, 方程就变为 0)()(2=-+ydy x dx xy xy d , 积分得通解C yx xy ln ||ln 1=+-, 即xy Ce y x 1=. 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x ).可以验证⎰=dx x P e x )()(μ是一阶线性方程y '+P (x )y =Q (x )的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dx x P e x )()(μ得 ⎰=⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e x yP e y )()()()()(, 即 ⎰='⎰+⎰'dx x P dx x P dx x P e x Q e y e y )()()()(][, 亦即 ⎰='⎰dx x P dx x P e x Q ye )()()(][.两边积分, 便得通解C dx e x Q ye dx x P dx x P +⎰=⎰⎰)()()(,或 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-. 例3用积分因子求x xy dxdy 42=+的通解. 解 方程的积分因子为22)(x x d x e e x =⎰=μ.方程两边乘以2x e 得22242x x x xe y xe e y =+', 即224)(x x xe y e =',于是 C e dx xe y e x x x +==⎰22224. 因此原方程的通解为2224x x Ce dx xe y -+==⎰. §12. 6 可降阶的高阶微分方程一、y (n )=f (x )型的微分方程解法: 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, ⋅ ⋅ ⋅.例1 求微分方程y '''=e 2x -cos x 的通解.解 对所给方程接连积分三次, 得12s i n 21C x e y x +-='',212c o s 41C x C x e y x +++=',3221221s i n 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.或 122sin 21C x e y x +-='',2122c o s 41C x C x e y x +++=',32212s i n 81C x C x C x e y x ++++=,这就是所给方程的通解.例2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t ). 在开始时刻t =0时F (0)=F 0, 随着时间t 的增大, 此力F 均匀地减小, 直到t =T 时, F (T )=0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =. 由题设, 力F (t )随t 增大而均匀地减小, 且t =0时, F (0)=F 0, 所以F (t )=F 0-kt ; 又当t =T 时, F (T )=0, 从而)1()(0Tt F t F -=.于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=, 其初始条件为0|0==t x , 0|0==t dt dx . 把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F dt dx +-=. 再积分一次, 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=. 由初始条件x |t =0=0,0|0==t dt dx , 得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为 )621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 解 设x =x (t )表示在时刻t 时质点的位置,根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为mx ''=F (t ).由题设, F (t )是线性函数, 且过点(0, F 0)和(T , 0),故 1)(0=+T t F t F , 即)1()(0Tt F t F -=. 于是质点运动的微分方程又写为)1(0Tt m F x -=''. 其初始条件为x |t =0=0, x '|t =0=0.把微分方程两边积分, 得120)2(C Tt t m F x +-=', 再积分一次, 得2320)621(C Tt t m F x +-=, 由初始条件x |t =0=0, x '|t =0=0,得C 1=C 2=0.于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=, 0≤t ≤T . 二、y ''= f (x , y ')型的微分方程解法:设y '=p 则方程化为p '=f (x , p ).设p '=f (x , p )的通解为p =ϕ(x ,C 1), 则),(1C x dxdy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ.例3 求微分方程()2xy''y'x 12=+满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解.解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的. 设y '=p , 代入方程并分离变量后, 有dx x x p dp 212+=. 两边积分, 得ln|p |=ln(1+x 2)+C ,即 p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C ).由条件y '|x =0=3, 得C 1=3,所以 y '=3(1+x 2).两边再积分, 得 y =x 3+3x +C 2.又由条件y |x =0=1, 得C 2=1,于是所求的特解为y =x 3+3x +1.例4 设有一均匀、柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受重力的作用而下垂. 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y ''=f (y , y ')型的微分方程解法: 设y '=p ,有dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p=. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为 21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分yy ''-y '2=0的通解. 解 设y '=p , 则dy dp py ='', 代入方程, 得02=-p dydp yp . 在y ≠0、p ≠0时, 约去p 并分离变量, 得ydy p dp =. 两边积分得ln|p |=ln|y |+ln c ,即 p =Cy 或y '=Cy (C =±c ).再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为ln|y |=Cx +ln c 1,或 y =C 1e Cx (C 1=±c 1).例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.§12. 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧, 上端固定, 下端挂一个质量为m 的物体. 取x 轴铅直向下, 并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v 0≠0后, 物体在平衡位置附近作上下振动. 在振动过程中, 物体的位置x 是t 的函数: x =x (t ).设弹簧的弹性系数为c , 则恢复力f =-cx .又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比, 比例系数为μ, 则dtdx R μ-, 由牛顿第二定律得dt dx cx dtx d m μ--=22. 移项, 并记mn μ=2, m c k =2, 则上式化为 02222=++x k dt dx n dt x d , 这就是在有阻尼的情况下, 物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F =H sin pt的作用, 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++, 其中mH h =. 这就是强迫振动的微分方程. 例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路, 其中R 、L 、及C 为常数, 电源电动势是时间t 的函数: E =E m sin ωt , 这里E m 及ω也是常数.设电路中的电流为i (t ), 电容器极板上的电量为q (t ), 两极板间的电压为u c , 自感电动势为E L . 由电学知道dt dq i =, Cq u c =, dt di L E L -=, 根据回路电压定律, 得0=---Ri Cq dt di LE , 即 t E u dt du RC dt u d LC m c c c ωsin 22=++, 或写成t LC E u dt du dt u d m c c c ωωβsin 22022=++,其中L R 2=β, LC10=ω. 这就是串联电路的振荡方程. 如果电容器经充电后撤去外电源(E =0), 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ. 二阶线性微分方程: 二阶线性微分方程的一般形式为y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x ),若方程右端f (x )≡0时, 方程称为齐次的, 否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 即0)()(22=++y x Q dx dy x P dxy d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0.的两个解, 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程的解, 其中C 1、C 2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.证明 [C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2',[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''.因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0, 所以有y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0,从而 [C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解函数的线性相关与线性无关:设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅ , k n , 使得当x ∈I 时有恒等式k 1y 1(x )+k 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n (x )≡0成立, 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关; 否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为y1''+y1=-cos x+cos x=0,y2''+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin x≡0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y''+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为(x-1)y1''-xy1'+y1=0-x+x=0,(x-1)y2''-xy2'+y2=(x-1)e x-xe x+e x=0,所以y1=x与y2=e x都是方程的解,因为比值e x/x不恒为常数,所以y1=x与y2=e x在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y''-xy'+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2e x.推论如果y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,y n(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+⋅⋅⋅+a n-1(x)y'+ a n(x)y=0的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+⋅⋅⋅+ C n y n(x),其中C1,C2,⋅⋅⋅,C n为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y''+P(x)y'+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: [Y(x)+y*(x)]''+P(x)[ Y(x)+y*(x)]'+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]=[Y ''+P(x)Y '+Q(x)Y ]+[ y* ''+P(x)y* '+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y''+y=0的通解,y*=x2-2是y''+y=x2的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y''+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,如y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y''+P(x)y'+Q(x)y=f1(x)与y''+P(x)y'+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.证明提示:[y1+y2*]''+P(x)[ y1*+y2*]'+Q(x)[ y1*+y2*]=[ y1*''+P(x) y1*'+Q(x) y1*]+[ y2*''+P(x) y2*'+Q(x) y2*]=f 1(x )+f 2(x ).§12. 8 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程 y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0.由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2422,1q p p r -±+-=求出. 特征方程的根与通解的关系:(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=.(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时,函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又x r x r x r x r x r x r q x e e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,所以xr xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为x r x r xe C e C y 1121+=.(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时,函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ),y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ),y 1+y 2=2e αx cos βx , )(21cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y ix e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.因此方程的通解为y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:第一步 写出微分方程的特征方程r 2+pr +q =0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数围是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)是线性无关的,因为在该区间要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r eC e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .- . -考试文档-因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y xsin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得-. -考试文档- 14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题自洽解的一种数值方法
含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题自洽解的一种数值方法微分方程是一种常见的数学形式，表示物理、化学、生物和其他自然现象的模型。
二阶常微分方程本征值问题是一类具有重要意义的微分方程，其解可以用于研究狭义波、空气动力学、电磁场等社会问题。
本文介绍了一种新的数值方法，用于求解含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题的自洽解。
首先，我们需要明确待求解问题的数学模型，这是一类二阶椭圆型微分方程本征值问题，其中有一次微商项。
它可以表示为：$$frac{d^{2}x}{dy^{2}}+P(y)frac{dx}{dy}+Q(y)x=0$$ 其中，P(y)为椭圆型方程系数，Q(y)为一次微商项的系数。
接下来，我们给出此类问题的一种数值解法：使用 Adaptive Runge-Kutta-NystromARKN）方法。
这种方法由一系列Runge-Kutta 格式来求解微分方程，其中预测步长是自适应改变的，因此比一般Runge-Kutta方法有更高的数值精度。
使用此算法，对于给定的椭圆型本征值问题，可以将其表示为一个以一次微商项为项的常规微分方程，并采用合适的ARKN方法来解决。
通过使用此方法，我们可以将本征值问题中的微分方程变换为一维常微分积分的典型问题。
通过调整步长和空间分辨率（如加密、缩减等），我们可以进一步改进计算精度。
此外，可以预先计算计算精度，并通过调整相应的参数来调整精度。
通过分析，可以发现，采用Adaptive Runge-Kutta-NystromARKN）方法可以有效地求解含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题。
该方法不仅可以解决常规椭圆型本征值问题，而且可以解决更为复杂的一次微商项本征值问题。
该方法具有科学、准确、高效等优点，可以有效地解决实际工程中遇到的问题。
综上所述，Adaptive Runge-Kutta-NystromARKN）方法是一种用于求解含有一次微商项的二阶常微分方程本征值问题的有效数值方法。
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解 ｅ 舶 ～
由欧拉（ ｕ ｒ待定指函数法容易求得对应齐次方程的基本解组为： 。ｔ Ｅｌ） ｅ （）＝ｅ （）＝ 、 ｔ ｌ￡ （ 训 ＝
一
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Ｊｎ ｕ ．，２ ０ ０７
ＶＤ， ６ ，Ｎｏ ３ 】２ ’ ．
第２ ６卷
第 ３期
自由项 为 分 段 函数 的二 阶线 性 方 程 初 值 问题 的解
李 长 江
（ 承德 民族师范高等专科学校 数学系 ， 河北 承德 ０ ７０ ） ６０ ０
［ 摘
要］ 利用二阶线性微分方程通解公式， 出了自由项为分段 函数的二阶线性方程初值 问 给
ｃ ： ＋
Ｌ
丁 ．
其ｔｃ ，。 ：， ，． 参 献 ３・ 中∈， ｃ 丁 ｌ （ ｃ 看 ３ 。ｎ ｃ： 证 文 第 页 ， （ Ｉ明 ６ 丁ｃ ２
１２ 定 理 及 其 证 明 ．
定理
二 阶线性微 分方 程
ｆ”ｔ （）＋ｎ（） ｔ １ｔｘ（）＋ｎ （） （） ＝ ｔ ， ２ｔｘ ｔ ）
【 （ ） ＝ ， （ ） Ｉ ｎ ０ ａ ＝ ；
厂 ｔ （） ｎ≤ ‘＜６ 其中 ｎ（）、 ：ｔ （）、 （）为连续 函数 ， ６、 。 （）： ‘， （ ｔ ｎ （）、 ｔ ｔ ｎ、 。、 为任意
，
‘
（） ｂ≤ ｔ ｔ， ；
常数 ） 值 问题 的解为 ： 初
０． 代人（ ｍ １ ） － ￣
、一
／ Ｊ 值问题的解为 ：
一
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ｆｅ。～．！ ２ ，‘ ‘： ， ｔ ； ‘ ｅ＋ 半 ＋ ２（ ！ ｄ ≤： ‘ ｒ 。 － － 。 ＝ Ｔ 。 等州 Ｊ ＋ ｅ ＝ 《 ｆ ÷ …； ：
ｔ
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㈩
其 毫 中＝
解组 ．
， 筹 志 ＝
；ｔ ：为应次程基 ） （ 对齐方的本 。、ｔ （ ）
证 明 （ ）当 ａ≤ｔ＜ｂ ， ｉ 时 由引 理知 方程 Ｘ （ ）＋ａ （） ｔ ｎｔ 。 ｔｘ （）＋ａ （ ） （）＝ （ ）的通 解 为 （） ２ ｔｘ ｔ ｔ ｆ
ｄ。＋ ＋ 宝 ．（ ［ ｛ ｒ ｔ ］）
㈩
ｄ （ ．ｔ ｒ） ］ ＋
综合 （） （ ） 可以得到给定初值 问题 的解为（ ） ， ｉ、ｉ ， ｉ １ 式 证毕． ２ 应 用举例 例 １ 求解初值问题
Ｊ（ 一 ） ‘， ｔ： ｅ０ ＜ ； ｔ ４ ‘ ＝ ） ） ｆｔ ≤ｔ １ ”） （ ２ ，
ｃ． ．ｒ ｒ， ， ｄ
㈩ － ．Ｊ ｃ ６ ） ，
ｄ （＝ ． ６ ｒ ） ］ ｝
］（ ＋ ＋ ６ ［ 。）
２ 。
比较两边同 类项系数有ｃ ＝ —Ｊ 。 ・ Ｄ
（ （ ） ． ． ｒ ｒ （） （ ］ ． ， ） ｒ
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维普资讯
２０ ０ ７年 ６月
重庆文理学院学报 （ 自然科学版）
Ｊｕ ａ ｏ ｈｎｑｎ ｎｖｒｉ ｆ ｒ ｎ ｃｅｃｓ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒ ｌ ｆ ｏ ｇｉｇＵ ｉｅｓｙｏ ｔａ ｄＳ ｉ ｅ Ｎ ｔｒｌ ｉｎｅＥ ｉｏ ） ｎ Ｃ ｔ Ａｓ ｎ Ｓ ｉ
维普资讯
整 得 于、 代方 ｆ：：，Ｊ 之： 理 到 ｃｚ 数程ｔ１＋ － ，得 后 关 － 的 组： （： 解 ｃ Ｃ Ｃ ＝ ａ ａ １口 ， ０ ）。 【 ； Ｊ ｘ ，
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也就 是 Ｃ １ｂ １ （ ）＋Ｃ＇２ ｂ ２ｐ （ ）． ｔ
题连 续解 的表 达 式．
［ 关键词］ 自由项 ； 分段函数 ； 初值 问题 ； 解 ［ 中图分类号］ １５ １ ［ ０７ ． 文献标识码 ］ ［ Ａ 文章编号］６３ ８ １ （０７ ０ — ０ ９ ０ １７ — ０２ ２０ ）３ ００ — ２
１ 引理与定 理 １ １ 引理 ．
＝ （ ｃ（＋ ｛三篆 ｃ ｔ ：ｔＪ 。 ） ）［ ＋： ‘
｝ ［ 收稿 日期 ］２ ０ ０ ７—０ ３—２ ９
（丁 入始件 ｎ 戈戈） － 丁 ． 初条 ） 。 ＝ ）代 ｄ （＝、ｎ （
９
［ 作者简介］ 李长江 （ ９７一） １５ ，男 ，辽宁沈阳人 ，副教授 ， 从事数学分析 、常微分方程 的教学与研究
设 。 ｔ ： ｔ 是 对应 于二 阶线 性微 分方 程 Ｘ （）＋ｎ （ ） （ ）＋ｎ （） ｔ ｔ （）、 （） ｔｔ ｔ 。ｔ ｔ ：ｔ （ ）＝ ）的齐 次方程
的基本解组 ， ｔ ａ （）、 （） ［ ，］ ａ （）、 ：ｔ 厂 ｔ 在 ａ ｂ 上连续， 则在 ［ ，］ ａ ｂ 上该方程的通解为 ： （）＝Ｃ ・ｔ ＋ ｘｔ １ （）