第十四章思考与练习

14思考与练习1. 什么叫张量？张量有什么性质？答：张量：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量组成的集合，称为张量，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示。

它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。

基本性质：1） 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数)(ij P f ，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。

二阶张量存在三个独立的不变量。

2） 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。

两个相同的张量之差定义为零张量。

3） 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质jiij P P =，就叫对称张量；若张量具有性质jiij P P -=，且当i=j 时对应的分量为0，则叫反对称张量；如果张量jiij P P ≠，就叫非对称张量。

任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。

4） 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。

2. 如何表示任意斜微分面上的应力？答：若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。

如图14-1所示，设过Q 点任一斜切面的法线N 与三个坐标轴的方向余弦为l ，m ，n ，图14-1 任意斜切微分面上的应力l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z)。

若斜微分面ABC 的面积为dF ， 微分面OBC(x 面)、OCA(y 面)、OAB(z 面)的微分面积分别为dFx 、dFy 、dFz ， 则各微分面之间的关系为 dFx ；dFy= mdF ； dFz=ndF又设斜微分面ABC 上的全应力为S ，它在三坐标轴方向上的分量为Sx 、Sy 、Sz ，由静力平衡条件∑=0xP，得：d d d d zx yx x =---Fz F F F S y x x ττσ整理得⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ （14-6）用角标符号简记为()z y x j i l S iij j ，，，==σ显然，全应力2222zy x S S S S ++=斜微分面上的正应力σ为全应力S 在法线N 方向的投影，它等于x S ,y S ,z S 在N 方向上的投影之和，即nS m S l S z y x ++=σ)(2222nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσ+++++= （14-7）斜切微分面上的切应力为 222στ-=S （14-8）所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。

3. 应力张量不变量如何表达？ 答：应力张量的三个不变量为⎪⎭⎪⎬⎫=++-=++=321313322123211)(σσσσσσσσσσσσJ J J其中1J 、2J 、3J 为应力张量第一、第二、第三不变量。

4. 应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么？答：应力：在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。

单位面积上的内力称为应力，可采用截面法进行分析应力球张量：也称静水应力状态，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力。

特点：在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。

应力偏张量：是由原应力张量分解出应力球张量后得到的。

应力偏张量的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。

特点：应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。

材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。

5. 平面应力状态和纯切应力状态有何特点?答：平面应力状态的特点为：变形体内各质点与某坐标轴垂直的平面上没有应力。

纯切应力状态：6. 等效应力有何特点？写出其数学表达式。

答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。

人们把它称为广义应力或应力强度。

等效应力也是一个不变量。

其数学表达式如下： 等效应力在主轴坐标系中定义为22132322213)()()(21J '=-+-+-=σσσσσσ在任意坐标系中定义为)(6)()()(21222222zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσσ+++-+-+-=7. 已知受力物体内一点的应力张量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=30758075050805050ij σ （MPa ），试求外法线方向余弦为l=m=1/2，n=21的斜切面上的全应力、正应力和切应力。

解：设全应力为S ， sx，ys , sz分别为S 在三轴中的分量，⎪⎭⎪⎬⎫++=++=++=n m l S n m l S n m l S z yz xz z zy y xy y zx yx x x στττστττσ则有:⇒sx=5021⨯+ 5021⨯+8021⨯=106.6 y s =5021⨯+021⨯-7521⨯=-28.0sz =8021⨯-7521⨯-3021⨯=-18.7 2222zy x S S S S ++= 则得到 S ＝111.79 MPa nS m S l S z y x ++=σ 则得到 σ＝26.1 MPa而222στ-=S 则得到 τ＝108.7 MPa8. 已知受力体内一点的应力张量分别为①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=10010010010010ijσ， ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100000017201720ijσ， ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=400014047ijσ (MPa) 1） 画出该点的应力单元体；2） 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量和应力球张量；3） 画出该点的应力莫尔圆。

解：1）略 2）在①状态下：J 1=x σ+y σ+z σ=10J 2=-(x σy σ+z y σσ+xz σσ)+2xy τ+2yz τ+2zxτ=200J 3=z y x σσσ+2zx yz xy τττ-(2yz x τσ+2zx y τσ+2xy z τσ)=0式1014—和由032213=---J J J σσσ ⇒1σ＝20 ， 2σ＝0 ， 3σ＝-10代入公式对于1σ＝20时：对于2σ＝0时：对于3σ＝－10时：： 主切应力最大切应力523223±=-±=σστ1022112±=-±=σστ1521331±=-±=σστ1521331±=-±=σστ,211=l 01=m 211-=n l212=l 02=m 212=n 03=l 13=m 03=n等效应力：22132322213)()()(21J '=-+-+-=σσσσσσσ ＝700应力偏张量：m σ＝)(31321σσσ++＝310)10020(31=-+故应力球张量：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡310000310000310⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---='32001003400100320ij σ320='⇒x σ320='z σ340-='y σ9. 某受力物体内应力场为：3126x c xy x +-=σ， 22y c 23xy -=σ，yx c y c xy 2332--=τ，===zx yz z ττσ，试从满足平衡微分方程的条件中求系数1c 、2c 、3c 。

解：∂;36212x c y yx+-=∂∂σσxyc yy 23-=∂∂σ23223x c y c yyx --=∂∂τyc xxy 32-=∂∂τ由平衡微分条件：0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂zx x zyzxz zx zy yx σττττ⎩⎨⎧=--=--+-0320336232322212xy c xy c x c y c x c y ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒321321c c c。