DVD在线租赁的分配问题

DVD的在线租赁【摘要】本文研究的是DVD在线租赁，购买和分配问题。

通过对问题进行合理的假设，将问题简单化，引入0-1变量，在满足约束条件下建立模型，利用Lingo软件求解。

针对问题一，以每种DVD为对象。

利用概率统计，求得愿意看五种DVD的人数。

对租赁每种DVD的人数进行约束分析，以每种DVD的购买量最小为目标建立线性整数规划模型。

求解得出每种DVD的具体购买量。

针对问题二，不考虑会员租赁两次的情况，对目前的DVD进行分配。

引入两种0-1变量分别表示会员是否获得DVD和该会员获得哪种DVD。

利用已给的偏好程度,取非零数值的倒数和0表示会员对DVD的满意度，以会员对所得DVD的满意度最大为目标，建立最优化模型，求解得知DVD的具体分配情况。

针对问题三,假设会员只租赁1次，仍引入两种0-1变量。

根据会员的偏爱程度确定每种DVD的购买量范围，以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标建立双目标规划模型,并将DVD购买量最小转化成约束条件。

求解得知20种DVD 的购买量依次是17，10，16，15，11，19，15，16，19，16，16，14，15，11，15，15，14，17，7。

关键字：满意度0-1变量双目标规划1问题重述考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。

并具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如何决定每种DVD 的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。

2问题分析根据题目要求,对DVD在一月内所利用的次数进行合理的假设,利用Lingo软件求解。

问题一中，利用概率统计，通过对随机选取的1000个人进行问卷调查，得到愿意观看这五种DVD的人数。

根据历史数据，得出每种DVD中一月内租赁1次和2次的人数。

一个月内租赁1次的会员在该月末归还，租赁2次的会员最后一次也必须在该月末还。

分析租赁每种DVD的人数，分别以满足会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD和三个月内至少95%的会员能够看到该DVD为约束条件，以每种DVD购买量最小为目标，求出每种DVD的最小购买量。

问题二中，针对当前DVD的分配，不考虑会员租赁2次的情况。

考虑到DVD 的数目不够，引入2个0-1变量，分别表示会员是否获得DVD和获得哪种DVD。

将表示会员对20种DVD偏好程度的数字（除0以外）取倒数，作为会员对各种DVD的满意度。

在满足条件时求解，可得会员对所得DVD的最大满意度及此时DVD的分配情况。

问题三中，只考虑会员租赁1次。

以DVD购买量最小和会员满意度最大为目标建立双目标规划。

统计表2中会员所喜欢的DVD张数，由于DVD购买量不超过该数，将DVD购买量最小转化为约束条件。

引入0-1变量表示会员是否获得DVD，对保证95名会员得到作出约束分析。

再引入0-1变量，表示会员获得哪种DVD。

会员对每种DVD的需求张数不小于该种DVD的购买量。

3问题假设1．不考虑会员提交订单、网站邮递、看DVD以及看完DVD邮回所用去的时间。

2．每个月内每个会员都租赁DVD；3．问题一中每个会员当月如果不再需要租赁，该DVD月底寄回；4．假设会员选择的DVD之间互不影响5．问题二,三中在一月内每张DVD只被一名会员利用4重要符号说明5模型的建立和求解5.1 问题一5.1.1模型的准备愿意观看DVD人数的求解运用概率统计知识，从总体（10万会员）中进行随机调查1000人，统计出总根据题意，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，可知每个月每个会员都借DVD。

一月内会员租赁DVD的次数是1或2次。

对于后者，必归还第一次所租的DVD，该DVD可能被别的会员再次租赁。

如果考虑有的会员看DVD的周期很短，该DVD会被第三次租赁，甚至更多次。

基于网站对会员满意的最低保证，我们规定一张DVD最多被利用2次，相当于一个月内租赁1次的会员在该月末归还，租赁2次的会员最后一次也必须在该月末还。

◆一个月内每种DVD的分配图如下：◆在一个月结束后，所有的2个月的分配都相当于第一个月的重复。

确定目标A. 以保证希望看到该DVD 的会员中至少50%DVD为约束条件，以每种DVD 的购买量最小为目标。

12Minz x x =+B. 以保证在三个月内95%的会员看到该DVD 为约束条件，以每种DVD 购买量最小为目标 123()Minz x x =+约束分析A. 第一小问1) 租赁两次DVD i 的人数大于等于总体的50％：1360%50%x x M +≥⨯⨯2) 租赁一次DVD i 的人数大于等于总体的50％：2440%50%x x M +≥⨯⨯3) DVD i 被第二次租赁的张数不大于第一次被会员（一个月内租赁2次）租赁的张数341x x x +≤B. 第二小问1) 租赁两次DVD i 的人数大于等于总体的95％133()60%95%x x M +≥⨯⨯2) 租赁一次DVD i 的人数大于等于总体的95％243()40%95%x x M +≥⨯⨯3) 一个月内DVD i 被第二次租赁的张数不大于第一次被会员（一个月内租赁2次）租赁的张数,对于三个月,可知：341x x x +≤5.1.2模型的建立A. 第一小问121324341123460%50%40%50%..,,,Minz x x x x M x x M s tx x x x x x x N =++≥⨯⨯⎧⎪+≥⨯⨯⎪⎨+≤⎪⎪∈⎩B. 第二小问123()Minz x x =+132434112343()60%95%3()40%95%,,,x x M x x M x x x x x x x N +≥⨯⨯⎧⎪+≥⨯⨯⎪⎨+≤⎪⎪∈⎩符号说明：5.1.3模型的求解（1）满足第一小问的条件时，五种DVD 的购买数量依次为5000,2500,1250,625，250。

（2）满足第二小问的条件时，五种DVD 的购买数量依次为3167，1854，776，388，159。

5.2问题二5.2.1模型的准备 满意度分析根据题目要求，求会员满意度。

已知表二中的数字代表会员对DVD 的偏爱程度，数字越小偏爱程度越大，且0表示会员没有预定该DVD ，即偏爱程度最小。

因此可以将这些数字当作满意度。

但为了用一组单调递增数字表示满意度越来越高，将表二中所有数字ij α（除0以外）取倒数，得到会员j 对各种DVD i的满意度为ij β。

1000ij ijij ij ααβα⎧≠⎪=⎨⎪=⎩确定目标引入最优化模型的决策变量0－1变量ij f ：1i j 0ij DVD f ⎧=⎨⎩第个人得到第种否则以会员对所分配的DVD 满意度最大为目标建立最优化模型：1002011ij i iji j Maxz f g β===⨯⨯∑∑约束分析◆ 引入0-1变量1i DVD 0i g ⎧=⎨⎩第个人得到否则通过0-1变量控制会员可得到3张DVD 或不能获得3张DVD 。

2013(1100)ijij fg i ===∑◆ 每种DVD 的发出数量不超过网站现有的数量：1001(120)ijjj fa j =≤=∑5.2.2模型的建立{}{}100201120110013(1100)(120)..0,10,1i j i iji j ij i j ij ji ij i Maxz f g f g i f a j s t f g β=====⨯⨯⎧==⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪∈⎪∈⎪⎩∑∑∑∑5.2.3模型的求解利用Lingo 迭代求解，得到会员满意度最大时，DVD 的具体分配情况。

前30名会员所得DVD 的具体情况见附录表1。

5.3问题三5.3.1模型的准备利用问题二的会员对各种DVD 的满意度ij β和所引入的0-1变量，进行如下分析：◆ 确立目标根据题目要求，建立双目标规划模型。

从网站利益考虑，第一目标是每种DVD 购买量尽量小，第二目标是会员满意度最大。

2011002011jj ij i iji j Minc y Maxz f g β=====⨯⨯∑∑∑以每种DVD 购买量尽量小为约束条件,在不同购买量下求解会员最大的满意度实现双目标规划。

◆ 约束分析1) 统计喜欢每种DVD 的会员数j C 。

由表2知,每个会员所喜欢的DVD 种数都不小于3，因为会员一次只能获得3张DVD ，DVD 会出现闲置情况。

考虑到网站的利益,为了避免上述情况发生和使所买DVD 的利用率尽量大，所以DVD 的购买量不会超过'C 。

即：2) 网站保证一个月内95名会员获得他们想看的DVD 100110095%ii g==⨯∑3) 当会员i 不能获得DVD 时，ij f 取0且i g 取0；当会员i 获得3张DVD 时，ij f 取1且i g 取1。

对上述2种情况构造等式，即2013( 1.........100)ijij fg i ===∑4) 每种DVD 的购买量即为会员所得该种DVD 的总数100( 1......20)iji ji fg y j ===∑5.3.2模型建立1002011ij iji j Maxz f β===⨯∑∑{}{}20'1100120110095%1003( 1.........100)( 1......20)0,10,1j j i i ij i j ij i ji j i ij y C g f g i f g y j y N g f ====⎧<⎪⎪⎪≤⨯⎪⎪⎪==⎪⎪⎨⎪≤=⎪⎪⎪∈⎪=⎪⎪∈⎪⎩∑∑∑∑ 5.3.3模型求解利用Lingo 编程求解得出20种DVD 的购买量（见下表3） 和具体分配情况（见附录表2）66.1结果分析为简单验证所得结果的正确，我们对问题一的第一小问做了如下工作： 利用第一小问每种DVD 的准备数量，对结果进行检验。