2019人教版 高中数学【选修 2-1】2.1.2《演绎推理》习题及答案

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数学·选修1－2(人教A版)
2．1合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
►达标训练
1．下面说法正确的有( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①③④正确，②错误的原因是：演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都为真．
答案：C
2．下列三段可以组成一个“三段论”，则“小前提”是( )
①因为指数函数y＝a x(a＞1)是增函数②所以y＝2x是增函数③而y＝2x是指数函数
A．① B．②
C．①② D．③
解析：根据三段论的原理，可知选D.
答案：D
3．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中“小前提”是( )
A．① B．② C．①② D．③
答案：B
4．在不等边三角形中，a 边最大，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )
A ．a 2<b 2＋c 2
B ．a 2＝b 2＋c 2
C ．a 2>b 2＋c 2
D ．a 2≤b 2＋c 2
解析：由cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
<0知b 2＋c 2－a 2<0，所以应选C.
答案：C
5．“由于所有能被6整除的数都能被3整除，18是能被6整除的数，所以18能被3整除．”这个推理是( )
A ．大前提错误
B ．结论错误
C ．正确的
D ．小前提错误
解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C. 答案：C
6．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )
A ．三角形的中位线平行于第三边
B ．三角形的中位线等于第三边的一半
C ．EF 为中位线
D ．EF ∥CB
答案：A
►素能提高
1．下列推理是演绎推理的是( )
A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆
B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1的面积
为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：B是归类推理，C、D是类似推理，只有A是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．
答案：A
2．推理“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③所以正方形是平行四边形”中的小前提是( )
A．① B．②
C．③ D．①和②
解析：①为大前提，②为小前提，③为结论．
答案：B
3．(2013·深圳二模)非空数集A＝{a1，a2，a3，…，a n}(n∈N*)
中，所有元素的算术平均数记为E(A)，即E(A)＝a1＋a2＋a3＋…＋a n
n
.
若非空数集B满足下列两个条件：①B⊆A；②E(B)＝E(A)，则称B 为A的一个“保均值子集”．据此，集合{1,2,3,4,5}的“保均值子集”有( )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
答案：C
4．以下是小王同学用“三段论”证明命题“直角三角形两锐角之和为90°”的全过程，请你帮助他在括号内填上适当的内容，使之成为一个完整的“三段论”：
因为任意三角形三内角之和是180°，(____①____)
而(____②____)，小前提
所以直角三角形三内角之和是180°.结论
设Rt△ABC的两个锐角分别是A，B，
则∠A＋∠B＋90°＝180°，大前提
而(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°，(__③___)小前提所以∠A＋∠B＝90°.结论
答案：①大前提②直角三角形是三角形③因为等量减等量差相等
5．“一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35是奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．
大前提：__________________________________________，
小前提：_____________________________________________，结论：______________________________________________.
答案：不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数
6．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．
解析：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提
海王星是太阳系中的大行星，小前提
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论
(2)菱形对角线互相平分．
解析：平行四边形对角线互相平分，大前提
菱形是平行四边形，小前提
菱形对角线互相平分．结论
(3)函数f(x)＝x2－cos x是偶函数．
解析：若对函数f(x)定义域中的x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提
对于函数f(x)＝x2－cos x，当x∈R时，有f(－x)＝f(x)，小前提
所以函数f(x)＝x2－cos x是偶函数．结论
7．如下图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE ＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
证明：如右图，取EC的中点F，连接DF，
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC.
易知DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵EF＝1
2
EC＝BD，
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.
∴DE＝DA.
(2)平面BDM⊥平面ECA；
证明：取CA的中点N，连接MN、BN，
则MN綊1
2 EC.
∴MN∥BD.
∴N点在平面BDM内．
∵EC⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵CA⊥BN，EC∩CA＝C，
∴BN⊥平面ECA.
∵BN在平面MNBD内，
∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明：∵易知DM∥BN，BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA.
又∵DM⊂平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA.
8．证明函数f(x)＝－x2＋6x在(－∞，3]上是增函数(指出大前提、小前提、结论)．
分析：本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则有f(x1)＜f(x2)．
小前提是f(x)＝－x2＋6x在(－∞，3]上满足增函数的定义，这是证明的关键．
证明：任取x1，x2∈(－∞，3]，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(－x21＋6x1)－(－x22＋6x2)
＝(x2－x1)(x2＋x1－6)．
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0；
又x1，x2≤3，x1≠x2，所以x2＋x1－6<0，
因此，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
于是，根据三段论，可知函数f(x)＝－x2＋6x在(－∞，3]上是增函数．
►品味高考
1．(2013.湖南卷)对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；
解析：根据题意可知子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.
答案：2
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i ＋p i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________________________________________________________ ______________．
解析：根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，1,0，则P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)，子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有17项．
答案：17
2．对于n∈N*，将n表示为n＝a k×2k＋a k－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，a i＝1，当0≤i≤k－1时，a i为0或1.定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n＝1；否则b n＝0.
(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；
解析：2＝1×21＋0×20，∴b2＝1；
4＝1×22＋0×21＋0×20，∴b4＝1；
6＝1×22＋1×21＋0×20，∴b6＝0；
8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，∴b8＝1.
∴b2＋b4＋b6＋b8＝3。

答案：3
(2)记c n为数列{b n}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是
__________________________________________________________ ______________.
解析：设{b n}中第m个为零的项为b t(t∈N*)，即b t＝0，将t写成二进制数，则有两种情形：
①t的二进制数表达式为：，
则t＋1的二进制数表达式中“1”的个数的变化数可能为奇数，也可能为偶数．若变化数为奇数，则b t＋1＝1
且t＋1用二进制数表示为：，于是t＋2用二进制数表示为：
，即b t＋2＝0；
若变化数为偶数，则b t＋1＝0.这时c m的最大值为1.
②t的二进制数表达式为，则t＋1用二进制数表示为
，即b t＋1＝1，则t＋2的二进制数形式中“1”的变化数为奇数或偶数，若变化数为奇数，则t＋2用二进制数表示为：
，即b t＋2＝0；若变化数为偶数，则t＋2用二进制数表示为，即b t＋2＝1，于是t＋3用二进制数表示为：，即b t＋3＝0.这时c m的最大值为2.
综合①②，c m的最大值为2.
答案：2。